2020年材料力学第3章扭转
合集下载
材料力学课件第3章 扭转
i 1
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学第03章02-扭转强度和刚度
解：1、求外力偶矩
M 9549 N n
9549 150 1.55KN.m 15.4 60
2、作扭矩图 T
M
2=75
1=70
M
3=135
+1.55KN.m
3、计算并校核剪应力强度
max
T
Wt
16 1.55 103 3.14 0.073
23MPa [ ]
x
满足强度要求。
例题7 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,
解：1、求外力偶矩
M 9549 N 9549 331 10.54(KN .m)
n
300
2、内力-----扭矩T
T M 10.54KN.m
3、由强度条件：
max
T
Wt
16 10.54 103
d 3
[ ]
d 11.02 102 (m)
4、由刚度条件：
T GI p
32 10.54 103
max
T Wt
51.7MPa
17
(2)等强度轴的直径
max
T Wt
T
1 16
D03
51.7MPa
D0
3
16T
max
0.053m
(3)实心轴与空心轴质量比
Q0 Q
A0 A
D02 / 4 (D2 d2) / 4
3.2
18
[例3] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 KW， 输出功率分别 P2 = 147KW, P3 = 221KW，已知：G=80GPa ， [ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？
材料力学第3章扭转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3. 1 扭转的概念和实例
一、工程实例
汽车方向盘
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直
r
Wt
Ip
max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 （1）实心圆截面
dA 2π (d )
4 π d 2 3 I p dA 2π d A 32 Ip πd 4 / 32 πd 3 Wt max d /2 16 d 2 0
1max
T1 T1 22 10 3 Wt1 πd1 / 16 π(0.123 ) / 16
3
A 22 kN· m +
B
C
64.84MPa [ ]
_
2 max
T2 T2 14 103 3 Wt 2 πd 2 / 16 π(0.13 ) / 16 71.3MPa [ ]
14 kN· m
因此,该轴满足强度要求.
例题5 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M
和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
= 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴
的重量比. 分析：设实心圆截面直径为d1,空心 圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭
平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.圆轴扭转 时，横截面保持为平面,形状和大小不变，半径仍保持为直 线；且相邻两截面间的距离不变，只在原地绕轴线发生 “刚性”转动。
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3. 1 扭转的概念和实例
一、工程实例
汽车方向盘
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直
r
Wt
Ip
max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 （1）实心圆截面
dA 2π (d )
4 π d 2 3 I p dA 2π d A 32 Ip πd 4 / 32 πd 3 Wt max d /2 16 d 2 0
1max
T1 T1 22 10 3 Wt1 πd1 / 16 π(0.123 ) / 16
3
A 22 kN· m +
B
C
64.84MPa [ ]
_
2 max
T2 T2 14 103 3 Wt 2 πd 2 / 16 π(0.13 ) / 16 71.3MPa [ ]
14 kN· m
因此,该轴满足强度要求.
例题5 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M
和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
= 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴
的重量比. 分析：设实心圆截面直径为d1,空心 圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭
平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.圆轴扭转 时，横截面保持为平面,形状和大小不变，半径仍保持为直 线；且相邻两截面间的距离不变，只在原地绕轴线发生 “刚性”转动。
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
6-材料力学讲稿第3章扭转1-1
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、 (D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
灰铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
（+）
（-）
63.7Ngm
159.2Ngm
Tmax 159.2(Ngm)
（在CA段和AD段）
扭 转/杆受扭时的内力计算
将A、D轮的位置更换，则
B
C
A D
63.7
（-）
159.2
扭矩T-图
318.3
Tmax 318.3(N m) （AD段）
因此将A、D轮的位置更换不合理。
三、薄壁圆轴的扭转
A
B
C
D
扭 转/杆受扭时的内力计算 解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
MA
9.549
PA n
9.549 10 300
0.3183(kNgm)
MB
9.549 PB n
9549 2 300
63.7(Ngm)
MC 95.5(Ngm),
B
C
I
M D 159.2(Ngm),
A
D
II
当 R时， max
TR Ip
T Wp
式中
Wp
Ip R
称为抗扭截面模量。
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 (4)公式中几何量 I p 与 Wp 的计算。
D=2R
a、实心圆截面
dA 2d
dA 因此
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
灰铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
（+）
（-）
63.7Ngm
159.2Ngm
Tmax 159.2(Ngm)
（在CA段和AD段）
扭 转/杆受扭时的内力计算
将A、D轮的位置更换，则
B
C
A D
63.7
（-）
159.2
扭矩T-图
318.3
Tmax 318.3(N m) （AD段）
因此将A、D轮的位置更换不合理。
三、薄壁圆轴的扭转
A
B
C
D
扭 转/杆受扭时的内力计算 解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
MA
9.549
PA n
9.549 10 300
0.3183(kNgm)
MB
9.549 PB n
9549 2 300
63.7(Ngm)
MC 95.5(Ngm),
B
C
I
M D 159.2(Ngm),
A
D
II
当 R时， max
TR Ip
T Wp
式中
Wp
Ip R
称为抗扭截面模量。
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 (4)公式中几何量 I p 与 Wp 的计算。
D=2R
a、实心圆截面
dA 2d
dA 因此
材料力学第三章扭转
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上 0, 0
0 0
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T
扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx T dx
GI P
L GI P
扭矩不变的等直轴 Tl
GI p
扭转角单位： 弧度（rad）
各段扭矩为不同值的阶梯轴 Tili
GI pi
GIP—抗扭刚度。
d T
dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。 AC=? 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
1.1710-2
rad
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
dx dx
d
dx
d / dx－扭转角变化率
横截面上任意点的剪应变与该点到圆 心的距离ρ成比例
二、物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 弹性范围内
G → G
G
d
dx
材料力学B第3章扭转
r0
τ=T/(2πR2t )
第三章 扭转
材料力学
2. 剪应力互等定理
y
’ ’ dy
根据平衡条件
F
F
x
0
0
x
自动满足
z
dx
y
M 0 d y d z d x d x d z d y
z
于是得到
这就是剪应力互等定理.
第三章 扭转
材料力学
材料力学
(2)物理关系
已知
剪切胡克定律
O
d G dx d G G dx
第三章 扭转
材料力学
物理关系
d G G dx
第三章 扭转
材料力学
(3)静力关系
dA ＝T
A
2
d d d 2 M A G dx dA G dx A dA GI p dx T x
近似认为管内变形与管表面变形相同
第三章 扭转
材料力学
单元体 – 微小六面体
A D D’ B C
r0
C’
微体只产生剪切变形。 沿圆周方向所有微体的剪切变形相同。 横截面上只存在垂直于半径的剪应力，沿圆周大小不 变，沿壁厚均匀分布。
第三章 扭转
材料力学
剪应力的计算 扭矩等于剪应力的合力矩
T= (2πRt)τR
1
0
dydz d dx
O
第三章 扭转
材料力学
纯剪切状态的应变能密度
dy
单元体的剪切变形能: d Vε d W
dydz d dx
大学课程材料力学第三章_扭转(上)课件
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
材料力学第3章 扭转
r：为薄壁圆筒的外半径
13
剪切胡克定律
Me
Me
1 10
r0
Me
通过薄壁圆筒 的扭转实验发 现：当外力偶 矩Me在某一范 围之内时，相
对扭转角与外
力偶矩Me之间 成正比（左图）
14
根据力的平衡法则，内力
T
偶矩 （扭矩）T=Me
外力偶矩在某一范围内
T
( 2A 0) ( L/ r)
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
M2
M3 M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kNm)
n
B
C
D
M 2 M 3 9 .5P n 2 5 9.1 3 55 0 5 4 .7 0 0(8 k m N)
试问两杆横截面上的最大切应力之比自习71应变能与应变能密度当圆杆扭转时杆内将积蓄应变由于杆件上各横截面上的扭矩可能变化同时横截面上各点处的切应力也随该点到圆心的距离而改变因此对于杆内应变能的计算应先求出纯剪切应力状态下的应变能密度再计算全杆内所积蓄的应等直圆杆在扭转时的应变能左图所示单元体处于纯剪切应力状态假设其左侧面固定则单元体在变形后右侧面将向下移动dx
Me
9.55103 PkW N.m nr/min
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，而 从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。
19
20
扭矩及扭矩图
材料力学-圆杆扭转时的变形及刚度条件
扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：
1. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式
将不再成立。
d
dx
2. 材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有
这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：
G
d
dx
二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结
何斌
Page 28
材料力学
第4章 圆轴扭转
连接件强度计算的工程意义
两个或多个构件相连 —— 1. 用 钉子、铆钉等联结 2. 焊接 3. 其它
联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点： 力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同）
问题：1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
何斌
Page 12
材料力学
例 题1
第4章 圆轴扭转
θ M x θ ＝1.5 ＝1.5 π rad / m
GIp
2m 2 180
I
＝π D4 p 32
1－α 4
，α＝ d D
轴所能承受的最大扭矩为
M x
θ
GI
＝1.5 p2
π 180
rad/m G
π D4 32
1－α 4
1.5π
受扭圆轴的相对扭转角
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
d M x dx
GIP沿轴线方向积分，得到源自d M x dxl
l GIp
何斌
Page 6
材料力学
第4章 圆轴扭转
圆杆扭转时的变形及刚度条件
受扭圆轴的相对扭转角
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相
材料力学 第3章扭转
d 90 ×10 −3 m − 2 × 2.5 × 103 m α= = D 90 × 10 −3 m = 0.944
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
第3章+扭转
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个， 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。 就可以推算出来。
材料力学
由静力学关系 τ = 及物理关系
第三章
扭
转
γ ⋅L = ϕ ⋅R
四、切应变、扭转角与外力偶的关系： 切应变、扭转角与外力偶的关系：
M T T = = e 2π r 2 δ 2 A δ 2 A δ
材料力学
γ ⋅L =ϕ⋅R γ =ϕ ⋅R L
第三章
扭
转
薄壁圆筒纯扭转时： 角位移） 剪应变）的关系： 薄壁圆筒纯扭转时：ϕ（角位移）与 γ（剪应变）的关系： 纯扭转时
ϕ
γ 沿厚度δ 不变化
沿轴向是变化的
实心圆筒扭转时：dϕ 与 γ ρ 的关系： 实心圆筒扭转时： 的关系： 扭转时
γ ρ ≈ tgγ ρ = dx γ ρ 沿半径变化，与ρ 有关 沿半径变化， dϕ 沿轴向是变化的
扭
转
3、轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。其横截 、
面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学
第三章
扭
转
本章要解决：
1、受扭杆件在外力偶（或扭矩）作用下， 杆件截面上的内力（扭矩）及内力图； 2、受扭杆件在外力偶（或扭矩）作用下， 杆件截面上的切应力、切应变； 3、受扭杆件在外力偶（或扭矩）作用下， 杆件横截面的扭转角； 4、建立轴扭转强度条件。
材料力学
∑m
=0
第三章
扭
转
a
二、切应力互等定理： 切应力互等定理： 1、切（剪）应力互等定理 、
z
γ τ´
dx
τ´
b
τ （δ ⋅ dy )dx = τ ′ ⋅ (δ ⋅ dx)dy ⋅ 故 τ =τ′
材料力学
由静力学关系 τ = 及物理关系
第三章
扭
转
γ ⋅L = ϕ ⋅R
四、切应变、扭转角与外力偶的关系： 切应变、扭转角与外力偶的关系：
M T T = = e 2π r 2 δ 2 A δ 2 A δ
材料力学
γ ⋅L =ϕ⋅R γ =ϕ ⋅R L
第三章
扭
转
薄壁圆筒纯扭转时： 角位移） 剪应变）的关系： 薄壁圆筒纯扭转时：ϕ（角位移）与 γ（剪应变）的关系： 纯扭转时
ϕ
γ 沿厚度δ 不变化
沿轴向是变化的
实心圆筒扭转时：dϕ 与 γ ρ 的关系： 实心圆筒扭转时： 的关系： 扭转时
γ ρ ≈ tgγ ρ = dx γ ρ 沿半径变化，与ρ 有关 沿半径变化， dϕ 沿轴向是变化的
扭
转
3、轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。其横截 、
面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学
第三章
扭
转
本章要解决：
1、受扭杆件在外力偶（或扭矩）作用下， 杆件截面上的内力（扭矩）及内力图； 2、受扭杆件在外力偶（或扭矩）作用下， 杆件截面上的切应力、切应变； 3、受扭杆件在外力偶（或扭矩）作用下， 杆件横截面的扭转角； 4、建立轴扭转强度条件。
材料力学
∑m
=0
第三章
扭
转
a
二、切应力互等定理： 切应力互等定理： 1、切（剪）应力互等定理 、
z
γ τ´
dx
τ´
b
τ （δ ⋅ dy )dx = τ ′ ⋅ (δ ⋅ dx)dy ⋅ 故 τ =τ′
材料力学课件3第三章扭转3-3
一类(重点) —单个圆轴
变截面圆轴(难点) 另一类——轴系（或称结构)
• 每一类可以解决以下三个问题（或三方 面应用）： 1）刚度校核
' max
Tmax 180 ' GI P
Tmax 180 Ip ' G
'
2）设计(最小)截面尺寸 (合理性)
4
D
32 108 Tmax 3 125.5 10 m 2 4 ' G(1 )
所以： 外径 D= max{D 强度 , D刚度 }=125 . 5mm 126mm 内径 d=α× D=63mm
补充：斜截面上的应力
• 如何确定斜截面k—k上的应力？
4 扭转的强度条件
圆轴的材料扭转时如同拉伸杆的材料 一样有两种失效形式，分别为: （1）塑性屈服---指材料失效时产生明显的 塑性变形，并伴有屈服现象。塑性材料如 低碳钢等以塑性屈服为标志。 （2）脆性断裂---材料失效时未产生明显的 塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等 以脆断为失效标志。
极限应力、许用应力和强度条件
例3-6:已知空心轴如图，α=½ ， G=80GPa,
[ τ ]=40MPa ，[ ]=0. 3( o/ m)。试按强
度条件和刚度条件选择d 。
4.78kNm 4.78kNm
15.92kNm 6.37kNm
B
C
A
D
解：
4.78kNm 4.78kNm 15.92kNm
6.37kNm
B
C
A
D 6.37kNm
Tmax Wtp
解题的基本过程（与上一章类似）： ①分析题意是等直、还是变截面轴(难点) 。 ②是三类问题中的那一类问题。 ③一般而言先求约束轴或结构的反力。 （有时可略） ④求作每一轴的内力图(即扭矩图)。 确定可能危险段(危险截面) ⑤写出公式，再求解。 ⑥正确回答问题。如：强度够、强度足够。
材料力学 第三章 扭转
例3—5 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率 NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料 为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
(1) 计算外力偶矩
T A 9550 T B 9550 N n N n NC n
0 .2 d T
3
d
0 . 2 [ ]
3
543 0 . 2 40 10
6
选取轴的直径 d=4.5cm。 （3）校核轴的刚度
T GI
p
180
543 80 10 0 . 1 0 . 045
9 4
180 3 . 14
0 . 945 m [ ] 1 m
B A
9550 9550
36 . 7 300 14 . 7 300
1170 N m 468 N m 11 300 351 N m
T C T D 9550
9550
(2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
T 1 T B 468 N m T 2 T A T B 1170 468 702 N m T 3 T A T B T C 1170 468 351 351 N m
各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
2、剪应力互等定理
由静力平衡条件的合力矩 方程可以得到
'
两互相垂直截面上，剪应力成对存在， 且数值相等、符号相反（要么同时指向公共 棱边，要么同时背离公共棱边），这称为剪 应力互等定理。
材料力学课件第3章扭转
扭转外力及变 形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A dA T
A
ρ
G
ρ
dφ dx
dA
T
ρ ρ
O
rρ
ρ
G d 2dA T dx A
A ρ2dA Ip
dA
结论 d T
dx GIp
代入物理关系中得到
T
IP
式中：T — 横截面上的扭矩
— 求应力的点到圆心的距离
Ip —横截面对圆心的 极惯性矩
4.纯剪切单元体
单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
三、剪切胡克定律
在切应力的作用下，单元体
Me
的直角将发生微小的改变，
这个改变量 称为切应变。
Me
由图所示的几何关系得到
r
l
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经.
薄壁圆筒的扭转试验发现,在切应力低于材料的剪切比例极 限时，φ与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
+ _
Tmax 9549 N m
4774.5 N·m
9549 N·m
讨论: 若将A，D互换，扭矩图发生什么变化？
_ _
4774.5 N·m 9549 N·m
15915 N·m
§3-3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析
1.实验前 （1）画纵向线,圆周线;
1.194
两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面
面积之比
A2 A1
π 4
(
D22
d
2 2
)
π 4
d12
D22(1 2 )
d12
1.1942(1 0.82 )
0.512
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
§3. 5 圆轴扭转时的变形
扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。
（1） 画轴的扭矩图；
（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.
M1
M2
A
B
C
l
l
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0
T1 = -4kN·m （-）
AB段 T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m （+）
最大扭矩发生在BC段
Tmax=4kN·m
2kN·m
+
2
1
Me1
Me2
A
B
C
l
l
T1 Me2
同理,在 BC 段内
Me2 1 Me3
Me1 3 Me4
在
T1 Me2
AD 段内
4774.5
Nm
B
Me2
T3 Me4 6366 N m
1C T1
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同.
A 3D Me4
T3 6366 N·m
作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内.
程与拉压变形能的推
导过程相同。
剪切变形比能
u 1 d 0
当切应力小于剪切
比例极限时:
u 1
2
也可写为:
u 1 G 2 或: u 2
2
2G
§3.4 圆轴扭转时的应力
变
观察变形
形
提出假设
几
何
关
系
变形的分布规律
物 理 关 系
应力的分布规律
静
力
关
系
建立公式
一、变形几何关系
14 kN·m
71.3MPa [ ]
因此,该轴满足强度要求.
例题5 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
= 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴
的重量比.
分析：设实心圆截面直径为d1,空心 圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭 转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，
T Wt
1500 29400 109
51 MPa
[ ]
例题4 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径
d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14
kN·m. 已知材料的许用切应力[] = 80MPa,试校核该轴的强度.
微段的扭转角
d T
d x GIp
d T d x
GIp
整体的扭转角
l T d x
0 GIp 39
整体的扭转角
l T d x
0 GIp
等直圆轴且扭矩不变时
Tl
GIp 圆轴的抗扭刚度。
GIp
n
台阶轴或扭矩分段变化
Tili
i1 GIpi
变形几何关系
aa R d
ad d x
R d
dx
距圆心为处
d
dx
即：各点的切应变与其到圆 心的距离成正比。
二、 物理关系
剪切胡克定律 G
距圆心为处 G
切应力沿半径呈线性分布。
G
d
dx
三、静力关系
1.公式的建立
dA T
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
Me
9
549
p kw
n
r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值. 由平衡方程
已知： 传动轴为无缝钢管， D=90mm，t = 2.5 mm， Tmax= 1.5kN·m,
[]=60MPa。
求：校核轴的强度。
解：计算Wt d D 2t 0.944
DD
Wt
D3
16
(1 4)
903 16
(1
0.9444 )
29400
mm 3
切应力
max
πd 4032来自WtIp
max
πd 4 / 32 d/2
πd 3 16
（2）空心圆截面
Dd
Ip
πD4(1 4 )
32
其中
Wt
πD3 16
(1
4)
d
D
dρ ρ O
dρ ρ O
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变模量 G=80GPa.
（2）施加一对外力偶.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
x
dx
Me
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3.推论
Me （1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
Tmax Wt
[
]
强度校核
Tmax [ ]
Wt
设计截面
Wt
Tmax
[ ]
确定许可载荷
Tmax Wt[ ]
扭转强度条件：
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(
Tmax Wt
)max
例 3 (书例3. 2)
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
W
Me
2
n 60
P
P
若功率的单位为马力时，则公式为
M 7024P
n
二、内力的计算
1.求内力 截面法
在n-n 截面处假想将轴截开取 左侧为研究对象
Mx 0
T Me
Me
Me
Me
T
2.扭矩符号的规定
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负.
T
Wt
[ ]
Wt
1 D3
16
扭转刚度条件
' max
T GI p
[' ]
Ip
1 D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
y
在单元体的上、下两平面上必有
大小相等，指向相反的一对内力元素
它们组成力偶，其矩为 ( dxdy)dz
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
dy
τ
τx
数量相等而转向相反，从而可得
z