2020年材料力学第3章扭转

圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
B
Me
D

C

dx δ
4.推导公式
A dA r rAdA r(2π r ) T


T 2πr 2

此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
_
4kN·m
C
T2 Me1
Me2
B
C
（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置
max

Tmax Wt
A

Tmax
πD3 (1 4 )
16

34.5MPa
max
最大切应力发生在截面的周边上,且 垂直于半径.
M1
M2
B
C
l
l
T
max
四、强度条件
1. 数学表达式 2.强度条件的应用
max
T
Wt
[ ]
Wt
1 D3
16
扭转刚度条件
' max
T GI p
[' ]
Ip

1 D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
程与拉压变形能的推
导过程相同。
剪切变形比能
u 1 d 0
当切应力小于剪切
比例极限时:
u 1
2
也可写为:
u 1 G 2 或: u 2
2
2G
§3.4 圆轴扭转时的应力
变
观察变形
形
提出假设
几
何
关
系
变形的分布规律
物 理 关 系
应力的分布规律
静
力
关
系
建立公式
一、变形几何关系
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
二、切应力互等定理
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, y
其方向与 y 轴平行.
由平衡方程
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
dy
τ
τx
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
dx
其矩为( dy dz) dx
2. 要满足平衡方程
Mz 0 Fx 0
T Wt

1500 29400 109
51 MPa

[ ]
例题4 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径
d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14
kN·m. 已知材料的许用切应力[] = 80MPa,试校核该轴的强度.

1.194
两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面
面积之比
A2 A1

π 4
(
D22

d
2 2
)
π 4
d12

D22(1 2 )
d12
1.1942(1 0.82 )

0.512
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
§3. 5 圆轴扭转时的变形
扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D

Me


9
549

p kw
n
r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值. 由平衡方程


T
2πr 2
r
l
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系.
G
O

该式称为材料的剪切胡克定律

G –剪切弹性模量
三个弹性常数的关系 G E
2(1 )
O

思考题：指出下面图形的切应变
切应变为 2
切应变为 0
四、 剪切变形能
剪切变形能的推导过
解：作轴的扭矩图
MeA
MeB
MeC
分别校核两段轴的强度
1max

T1 Wt1

T1 πd13 / 16

22 103 π(0.123 ) / 16
A
22 kN·m
+
B
C
64.84MPa [ ]
_
2max

T2 Wt 2

T2
πd
3 2
/
16

14 103 π(0.13 ) / 16

Tmax Wt

[
]
强度校核
Tmax [ ]
Wt
设计截面
Wt

Tmax
[ ]
确定许可载荷
Tmax Wt[ ]
扭转强度条件：
max
Tmax Wt


1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max

Tmax Wt
max

(
Tmax Wt
)max
例 3 (书例3. 2)
微段的扭转角
d T
d x GIp
d T d x
GIp
整体的扭转角
l T d x
0 GIp 39
整体的扭转角
l T d x
0 GIp
等直圆轴且扭矩不变时
Tl
GIp 圆轴的抗扭刚度。
GIp
n
台阶轴或扭矩分段变化
Tili
i1 GIpi
+ _
Tmax 9549 N m
4774.5 N·m
9549 N·m
讨论: 若将A，D互换，扭矩图发生什么变化？
_ _
4774.5 N·m 9549 N·m
15915 N·m
§3-3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚


1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析
1.实验前 （1）画纵向线,圆周线;
变形几何关系
aa R d
ad d x
R d
dx
距圆心为处




d
dx
即：各点的切应变与其到圆 心的距离成正比。
二、 物理关系
剪切胡克定律 G
距圆心为处 G
切应力沿半径呈线性分布。


G
d
dx
三、静力关系
1.公式的建立
dA T
2. max的计算
max

Tmax
Ip

T Ip
T Wt
max
Wt

Ip
max
dA T
max
ρ ρ O
rρ dA
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算
（1）实心圆截面
dA 2π(d )
d
Ip
2dA
A
d
2 2π 3d
已知： 传动轴为无缝钢管， D=90mm，t = 2.5 mm， Tmax= 1.5kN·m,
[]=60MPa。
求：校核轴的强度。
解：计算Wt d D 2t 0.944
DD
Wt

D3
16
(1 4)


903 16
(1
0.9444 )

29400
mm 3

切应力
max
（1） 画轴的扭矩图；
（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.
M1
M2
A百度文库
B
C
l
l
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0
T1 = -4kN·m （-）
AB段 T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m （+）
最大扭矩发生在BC段
Tmax=4kN·m
2kN·m
+
2
1
Me1
Me2
A
B
C
l
l
T1 Me2
14 kN·m
71.3MPa [ ]
因此,该轴满足强度要求.
例题5 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
= 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴
的重量比.
分析：设实心圆截面直径为d1,空心 圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭 转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，
同理,在 BC 段内
Me2 1 Me3
Me1 3 Me4
在
T1 Me2
AD 段内

4774.5
Nm
B
Me2
T3 Me4 6366 N m
1C T1
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同.
A 3D Me4
T3 6366 N·m
作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内.
3.扭矩图
Me
用平行于杆轴线的坐标 x 表示
横截面的位置;用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的
扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x
轴下方. T
n Me
•
x
n T
•
x
• T
Me
x
•
+
_
x
例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的 功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输 出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
试验现象:
(1)各圆周线绕轴线相对转动一 微小转角，但大小，形状及相 互间距不变；
(2) 各纵向线平行地倾斜一个微 小角度，认为仍是直线；
平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.圆轴扭转 时，横截面保持为平面,形状和大小不变，半径仍保持为直 线；且相邻两截面间的距离不变，只在原地绕轴线发生 “刚性”转动。
§3. 1 扭转的概念和实例
一、工程实例
汽车方向盘
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶.
三、变形特点
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.

Me
Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
设为 T .
已知： max1 max2
max1

T Wt1
max2

T Wt 2
d l (a)
d2 D2 l (b)
TT
Wt1 Wt2
Wt1
Wt2

πd13 16

πD23(1 4 )
16
因此
d13 D23 (1 4 )
16
16
解得
D2 d1

3
1 1 0.84
单位长度扭转角 d T
d x GIp
等直圆轴且扭矩不变时 T
l GIp
刚度条件
max
Tmax GIp
[]
( rad/m )
若 的单位为“度”，则
max
Tmax GIp
180


[ ]
( º/m )
41
扭转强度条件
max
（2）施加一对外力偶.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
x
dx
Me
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3.推论
Me （1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
A dA T
A
ρ

G

ρ

dφ dx

dA

T
ρ ρ
O
rρ
ρ
G d 2dA T dx A
A ρ2dA Ip
dA
结论 d T
dx GIp
代入物理关系中得到


T
IP
式中：T — 横截面上的扭矩
— 求应力的点到圆心的距离
Ip —横截面对圆心的 极惯性矩
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
W

Me
2

n 60
P
P
若功率的单位为马力时，则公式为
M 7024P
n
二、内力的计算
1.求内力 截面法
在n-n 截面处假想将轴截开取 左侧为研究对象
Mx 0
T Me
Me
Me
Me
T
2.扭矩符号的规定
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负.
Me2
Me3 2
Me1
Mx 0
B C2 A
Me2 Me3 T2 0
Me2
T2 Me2 Me3 9549N m
Me3 T2 x
结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩 同理,在 BC 段内
BC
T1 Me2 4774.5 N m
Me2 T1 x
Me4 D
y
在单元体的上、下两平面上必有
大小相等，指向相反的一对内力元素

它们组成力偶，其矩为 ( dxdy)dz
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
dy
τ
τx

数量相等而转向相反，从而可得
z
dx
3.切应力互等定理
单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,
都指相（或背离）该两平面的交线.
4.纯剪切单元体
单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
三、剪切胡克定律
在切应力的作用下，单元体
Me
的直角将发生微小的改变，
这个改变量 称为切应变。

Me
由图所示的几何关系得到
r
l
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经.
薄壁圆筒的扭转试验发现,在切应力低于材料的剪切比例极 限时，φ与 Me （在数值上等于 T ）成正比.

πd 4
0
32
Wt

Ip
max

πd 4 / 32 d/2

πd 3 16
（2）空心圆截面
Dd
Ip

πD4(1 4 )
32
其中
Wt

πD3 16
(1
4)
d
D
dρ ρ O
dρ ρ O
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变模量 G=80GPa.