绝对值-奥数经典题
【七年级奥数】第2讲 绝对值（例题练习）
第2讲绝对值——例题一、第2讲绝对值（例题部分）1.绝对值为10的整数有哪些?绝对值小于10的整数有哪些?绝对值小于10的整数共有多少个?它们的和为多少?【答案】解:绝对值为10的整数有+10和-10两个，绝对值小于10的整数有0，±1，±2，…，±9，共2×9+1=19(个)，它们的和为：0+1+(-1)+2+(-2)+…+9+(-9)=0．【解析】【分析】整数是离散的，所以满足要求的只有有限多个，要是改求绝对值小于10的有理数，那就有无限多个．2.若-2≤a≤0，化简【答案】解：因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0-2<0，因此=(a+2)-(a-2)=4.【解析】【分析】由已知条件-2≤a≤0可得，，然后根据绝对值的性质即可化简。
3.若，化简【答案】解：因为。
所以从而因此，原式=【解析】【分析】根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对信符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号(如本例中的分子，通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．4.设，且，试化简【答案】解：因为，，所以，即所以x+1,因此=-x-1+x-2=-3【解析】【分析】绝对值符号内的数、式的正负，有时不能直接从所给条件得出，应先将已知条件化为我们所需要的条件。
由已知条件a<0可得，又因为x，而a与互为相反数，所有x-1,根据绝对值的性质即可化简。
5.数a、b在数轴上对应的点如图所示，试化简|a+b|+|b−a|+|b|−|a−|a| |【答案】解：由图可知a<0，b>0，而且由于a点离原点的距离比b点离原点的距离大，因此a+b<0．我们有|a+b|+|b−a|+|b|−|a−|a| | = −(a+b)+(b−a)+b−|a−|a| |=-a-b+b-a+b-（-2a）=b【解析】【分析】由图，即数轴上a、b两点的位置，“读”得a<0．b>0，a+b<0等条件，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，即可化简．6.化简【答案】解：要去掉绝对值符号．必须讨论x的取值．显然，由于分母不能为0．因此x≠0．当x>0时．当时【解析】【分析】当题设没有给出绝对值符号中的代数式的正负时．应分类进行讨论．分类是数学的一种重要思想．绝对值问题是运用分类思想的良好素材．下面的例子中，含有两个绝对值符号，我们根据零点分段，把整个数轴分成几段进行讨论．7.化简【答案】解：当时原式=当原式=当时原式=即原式=【解析】【分析】确定了讨论的范围后，原式的化简就方便多了．令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，即x+5=0，2x-3=0，可得x=-5，x=；于是可确定讨论范围为：x < − 5，− 5 ≤ x <，x ≥．根据这三个范围讨论即可化简．8.化简| |x−1|−2|+|x+1|【答案】解：先找零点由x-1=0得x=1由=0即=2，得x-1=±2.。
初一奥数 绝对值
初一奥数竞赛第2讲绝对值例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜； ( 2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式： (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，求T的最小值6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B 点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能答案解析：例1解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．( 2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．6)不对．当a＋b＞0时成立．例2解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x例4解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．例7解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得 2y=2002， y=1001，所以例8分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9分析首先用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时， y =(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．。
绝对值练习题及答案
绝对值练习题及答案绝对值练习题及答案绝对值是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种与数值相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨一些绝对值的练习题，并给出相应的答案。
通过这些练习题的训练，我们可以更好地理解和应用绝对值的概念。
一、基础练习题1. 计算以下数的绝对值：-5, 0, 7, -2, 10.答案：5, 0, 7, 2, 10.2. 求解以下方程：|x| =3.答案：x = 3 或 x = -3.3. 如果|x - 2| = 4, 求解x的可能值。
答案：x = 6 或 x = -2.4. 求解以下不等式：|2x - 3| ≤5.答案：-1 ≤ x ≤ 4.二、进阶练习题1. 已知|x - 4| = 2x + 1，求解x的值。
答案：x = -3.解析：将方程两边平方，得到(x - 4)² = (2x + 1)²，展开化简后得到x² - 10x - 15 = 0，解这个方程可以得到x = -3 或 x = 5，但是只有x = -3满足原方程。
2. 若|3x - 2| = 5x + 1，求解x的值。
答案：x = -1 或 x = 1.解析：将方程两边平方，得到(3x - 2)² = (5x + 1)²，展开化简后得到4x² + 14x -3 = 0，解这个方程可以得到x = -1 或 x = 1，均满足原方程。
三、挑战练习题1. 若|2x - 3| < 4x + 1，求解x的值。
答案：-1 < x < 2/3.解析：对于绝对值不等式，我们可以将其转化为两个不等式，即2x - 3 < 4x +1 和 2x - 3 > -(4x + 1)，解这两个不等式可以得到-1 < x < 2/3，满足原不等式。
2. 若|3x - 4| > 2x + 1，求解x的值。
答案：x < -1 或 x > 3.解析：同样地，我们将绝对值不等式转化为两个不等式，即3x - 4 > 2x + 1 或3x - 4 < -(2x + 1)，解这两个不等式可以得到x < -1 或 x > 3，满足原不等式。
绝对值奥数.doc
例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零掉绝对值符号再求解．解(1)当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．｜x-(2x+1)｜=3，即｜1+x｜=3，所以x=2或x=-4．｜x+(2x+1)｜=3，即｜3x+1｜=3，的个数为2．例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a，所以｜x-2｜=1±a．(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由｜x-2｜=1-a，求得x=1+a或x=3-a．原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．解设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．例5 设求x+y．分析从绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．解由题设有把③代入①得解之得y=-3，所以x=4．故有x+y=4-3=1．例6 解方程组分析与解由①得x-y=1或x-y=-1，即x=y+1或x=y-1．与②结合有下面两个方程组解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得｜y+1｜+2｜y｜=3．组(Ⅰ)的解为同理，解(Ⅱ)有故原方程组的解为例7 解方程组解由①得x+y=｜x-y｜+2．因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③把③代入②有x+y=x+2，所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以。
奥数-绝对值练习题
绝对值综合练习题一1、有理数的绝对值一定是（）2、绝对值等于它本身的数有（）个3、下列说法正确的是（）A、—|a|一定是负数B只有两个数相等时它们的绝对值才相等C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数4.（）A、a>|b|B、a<bC、|a|>|b|D、|a|<|b|5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。
6、-4的倒数的相反数是______。
7、绝对值小于2的整数有________。
8、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=______；若|x－3|=1，则x=_______。
9、实数a_______。
10、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。
11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a<b<c，求a、b、c的值。
12、如果m>0， n<0， m<|n|，那么m，n，-m， -n的大小关系（）13、如果，则的取值范围是（）A．＞O B．≥O C．≤O D．＜O 14、绝对值不大于11.1的整数有（）A．11个B．12个C．22个D．23个15、│a│= －a,a一定是（）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数16、有理数m ，n 在数轴上的位置如图，17、若|x-1| =0， 则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______．18、如果，则，．19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。
20、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c=21、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1， 求代数式xb a ++x 2+cd 的值。
22、已知│a │=3，│b │=5，a 与b 异号，求│a －b │的值。
23.如果 a,b 互为相反数,那么a + b = ,2a + 2b = .24. a+5的相反数是3,那么, a = .25．如果a 和 b 表示有理数,在什么条件下, a +b 和a －b 互为相反数?26、若X 的相反数是—5，则X=______;若—X 的相反数是—3.7，则X=_______27、若一个数的倒数是1.2，则这个数的相反数是________,绝对值是________28、若—a=1,则a=____; 若—a=—2，则a=_______;如果—a=a,那么a=_______29、已知|X —4|+|Y+2|=0，求2X —|Y|的值。
七年级奥数绝对值及整式的加减测试题汇总
七年级奥数绝对值及整式的加减测试题汇总绝对值测试题一、选择题(每小题2分，共16分)1.下列各数中，绝对值的数是( )A.﹣3B.﹣2C.0D.12.下列各式中不是整式的是( )A.3xB.C.D.x﹣3y3.下列各组数中，互为相反数的是( )A.﹣(﹣2)与2B.(﹣2)2与4C.|﹣2|与2D.﹣22与44.若﹣3x2my3与2x4yn是同类项，则|m﹣n|的值是( )A.0B.1C.7D.﹣15.如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，AB=BC，如果|a|>|c|>|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在( )A.点A的左边B.点A与点B之间C.点B与点C之间D.点C的右边6.下列根据等式基本性质变形准确的是( )A.由﹣ x= y，得x=2yB.由3x﹣2=2x+2，得x=4C.由2x﹣3=3x，得x=3D.由3x﹣5=7，得3x=7﹣57.如图，是李明同学在求阴影部分的面积时，列出的4个式子，其中错误的是( )A.ab+(c﹣a)aB.ac+(b﹣a)aC.ab+ac﹣a2D.bc+ac﹣a28.一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程( )A.x﹣1=(26﹣x)+2B.x﹣1=(13﹣x)+2C.x+1=(26﹣x)﹣2D.x+1=(13﹣x)﹣2整式的加减测试题1.下面去括号错误的是(CX)TA.Xa-(b+c)=a-b-c TB.Xa+(b-c)=a+b-cTC.X3(a-b)=3a-b TD.X-(a-2b)=-a+2b2.-4x+313x-2等于(BX)TA.X-3x+6 TB.X-3x-6TC.X-5x-6 TD.X-5x+63.下列运算中，准确的是(DX)TA.X-2(a-b)=-2a-bTB.X-2(a-b)=-2a+bTC.X-2(a-b)=-2a-2bTD.X-2(a-b)=-2a+2b4.a-b+c的相反数是(CX)TA.X-a-b+c TB.Xa-b-cTC.Xb-a-c TD.Xa+b-c5.化简：(2x2+x-3)-3(x2-x+1)=-x2+4x-6.6.填空：(1)x2-y2+2y-1=x2-(y2-2y+1);(2)a-3b-4c=a-(3b+4c);(3)(5x2+6x-7)+[-4x2-(4x-8)]=x2+2x+1;(4)(x3-4x2y+11xy2-y3)+(7x2y-16xy2+y3)=x3+3x2y-5xy2.7.去括号，并合并同类项：(1)-2n-(3n-1);(2)a-(5a-3b)+(2b-a);(3)-3(2s-5)+6s;(4)1-(2a-1)-(3a+3).【解】(1)原式=-2n-3n+1=-5n+1.(2)原式=a-5a+3b+2b-a=-5a+5b.(3)原式=-6s+15+6s=15.(4)原式=1-2a+1-3a-3=-5a-1.。
绝对值的奥数题及答案3则
绝对值的奥数题及答案3则以下是网友分享的关于绝对值的奥数题及答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
《绝对值奥数习题范文一》第二讲：绝对值例1 已知x 0, y >z >x ，那么x +z +y +z -x -y 的值（）（A ）是正数（B ）是负数（C ）是零（D ）不能确定符号第9届（1998年）初一培训题例2 若x =220012002，则x +x -+x -2+x -+x -4+x -5=第13届（2002年）初一培训题例3 数-a14是（）2003（A ）正数（B ）负数（C ）非正数（D ）零第14届（2003年）初一培训题例4 使代数式3x -x 4x的值为正整数的x 值是（）（A ）正数（B ）负数（C ）零（D ）不存在第12届（2001年）初一培训题例5 已知a , b , c 都是负数，并且x -a +y -b +z -c =0，则xyz 是（）（A ）负数（B ）非负数（C ）正数（D ）非正数第11届（2000年）初一第2试例6 已知a 第16届（2005年）初一培训题例7 已知x =1999，则4x 2-5x +9-4x 2+2x +2+3x +7=a a -1+-2等于（）例8 如果2a +b =0，则b b（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5第13届（2002年）初一第1试200220022002⎛a ⎫例9 如果a +b -c >0, a -b +c >0, -a +b +c >0，则⎪a ⎪⎝⎭于（）⎛b ⎫⎪- b ⎪⎝⎭⎛c ⎫⎪+ c ⎪⎝⎭等（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）3第13届（2002年）初一培训题例10 If a 、b 、c ，d are rational numbers，a -b ≤9,c -d ≤16and a -b -c +d =25, b -a -d -c =第14届（2003年）初一第2试例11 若m 是方程2000-x =2000+x 的解，则m -等于（）（A ）m -2001 （B ）-m -2001 （C ）m +2001 （D ）-m +2001例12 如果m -+(n +2) 2=0，则方程3mx +1=x +n 的解是第12届（2001年）初一培训题例13 化简y =2x -+x -2+x +x +3例14 不等式(x +x )(1-x ) 第13届（2002年）初一培训题例15 x ++x -的最小值是（）（A ）2 （B ）0 （C ）1 （D ）-1第12届（2001年）初一培训题例16 已知x ≤1, y ≤，且μ=x +y +y ++2y -x -4，则μ的最大值与最小值的和等于第12届（2001年）初一培训题例17 彼此不等的有理数a , b , c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C, 如果a -b +b -c =a -c ，那么A 、B 、C 的位置关系是第12届（2001年）初一培训题例18 某公共汽车运营线路AB 段上有A 、B 、C 、D 四个汽车站，如图2-4所示，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？第12届（2001年）初一培训题习题1. 若x 是有理数且x 3=-x ，则一定有（）（A ）x >0 （B ）x 第12届（2001年）初一培训题2. a 是非零有理数，则（）（A ）a ≥a （B ）a 2≥a （C ）1≥a （D ）a 2≥-a a3第12届（2001年）初一培训题3. 数轴上的点A 、B 、C 分别对应数：0，-1, x ，C 与A 的距离大于C 与B 的距离，则( )1（A ）x >0 （B ）x >-1 （C ）x 2第14届（2003年）初一培训题4. 是代数式x -x x的值为正整数的x 值是（）（A ）正数（B ）负数（C ）非零的数（D ）不存在的第13届（2002年）初一培训题5. 如图2-5，直线上有三个不同的点 A 、B 、C 且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（）（A ）是B 点（B ）是线段AC 的中点（C ）是线段AC 外一点（D ）有无穷多个点第13届（2001年）初一第2试6. If x ≤3，y ≤1，z ≤4，and x -2y +z =9，then x 2y 4z 6=第11届（2000年）初一第2试7. 若ab ≠0，则a b+不能等于-2，0，1，2这四个数中的（）a b（A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2第13届（2002年）初一培训题8. 已知x ++(y +2x ) 2=0，则x y =第13届（2002年）初一培训题9. 已知a 是有理数，则a -+a -的最小值是10. 设x ，y ，a 都是整数，x =1-a ，y =2+2a -a 2，则a =第13届（2002年）初一培训题11. 如图2-6，若数a 的绝对值是数b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点（“A ”, “B ”, “C ”, 或“D ”）.323212. 已知a =1999，则3a -3a +4a +1-3a -3a +3a -2001=第11届（2000年）初一培训题13. 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图2-7，则m =a +b +b --a -c --c -2b -3=14. 有理数a ，b ，c 均不为0，且a +b +c =0，设x = x 19-99x +2000之值。
【七年级奥数】第2讲 绝对值（例题练习）
第2讲绝对值——练习题一、第2讲绝对值（练习题部分）1.判断下列各题是否正确．（1）当b<0时，（2）若a是有理数，则一定是正数．（3）当时，（4）若a=-b，则（5）若，则（6）一定是正数2.若，试化简3.若，试化简4.绝对值小于100的整数有哪些?共多少个?它们的和是多少?5.化简6.已知，求a-b的值7.设a和b是有理数，若a>b，那么|al>lbl一定正确吗?如果正确，请你说明理由；如果不正确，请举出反例．8.已知有理数a、b、c的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|−|a+b|9.若，试求a、b应满足的关系。
10.已知，化简11.化简12.化简| |2x−4|−6|+|3x−6|13.设a是有理数，求的值答案解析部分一、第2讲绝对值（练习题部分）1.【答案】（1）解：∵b<0，∴ | b | =-b，故正确.（2）解：∵a是有理数，∴|a| 是非负数，故错误.（3）解：∵|m|=m，∴m≥0，故错误.（4）解：∵a=-b，∴ |a|=|b|.故正确.（5）解：∵当 a < b<0时，∴|a|>|b|，故错误.（6）解：∵当a <0时，∴a+|a|=a-a=0，故错误.【解析】【分析】（1）根据负数的绝对值是它的相反数，可知正确.（2）一个数的绝对值是正数或者0，故错误.（3）正数或0的绝对值是它本身，故错误.（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，故正确.（5）当a和b都是负数时，|a|>|b|，故错误.（6）当a为负数或者0时，a+|a|值为0，故错误.2.【答案】解：∵−1<x<1 ，∴x+1＞0，x-1<0,∴原式=x+1+x-1，=2x.【解析】【分析】根据−1<x<1 得x+1＞0，x-1<0，再由绝对值性质化简合并即可得出答案.3.【答案】解：∵a < 0 ，∴3a< 0，-4a＞0，∴原式=，=，=-.【解析】【分析】根据a < 0 得3a< 0，-4a＞0，根据绝对值性质化简即可得出答案.4.【答案】解：绝对值小于100的整数有：-99，-98，……98，99，共199个.它们的和为：-99-98-97+……+98+99=0.【解析】【分析】根据绝对值的性质可知绝对值小于100的整数个数，列出式子求出和即可.5.【答案】解：①当x≤-时，∴原式=-（x-）-（x+），=-x+-x-，=-2x.②-＜x＜时，∴原式=-（x-）+（x+），=-x++x+，=.③x≥时，∴原式=x-+x+，=2x.综上所述：原式=.【解析】【分析】依题可分情况讨论：①当x≤-，②-＜x＜，③x≥，根据绝对值的性质去掉绝对值，合并同类项即可.6.【答案】解：∵|a|=5，|b|=1，∴a=±5，b=±1，①a=5，b=1时，∴a-b=5-1=4；②a=5，b=-1时，∴a-b=5+1=7；③a=-5，b=1时，∴a-b=-5-1=-7；④a=-5，b=-1时，∴a-b=-5+1=-4；综上所述：a-b=±7或±4.【解析】【分析】根据绝对值的定义可知a和b的值，再分情况讨论：①a=5，b=1，②a=5，b=-1，③a=-5，b=1，④a=-5，b=-1，分别计算a-b的值即可.7.【答案】解：不一定正确；理由如下：∵a>b∴当a=2，b=-5时，∴|al＜lbl.【解析】【分析】根据a>b，当a=2，b=-5时，得出|al＜lbl.8.【答案】解：由图可知：b＜a＜0＜c，a=-c则a+c=0，b+c<0，a+b<0∴原式=0-(b+c)-[-(a+b)]，=-b-c+a+b，=2a.【解析】【分析】由图可知：b＜a＜0＜c，a=-c，根据绝对值的性质去掉绝对值，计算即可得出答案.9.【答案】解：∵|a-b|=|a|+|b|，∴a≤0且b≥0，或a≥0且b≤0，∴ab≤0.【解析】【分析】根据题意可知a≤0且b≥0，或a≥0且b≤0，从而得出ab≤0.10.【答案】解：依题可得：，∴a=b=0，∴原式=|02005+02005|+|02005-02005|，=0.【解析】【分析】根据绝对值的非负性可得a=b=0，代入即可得出答案.11.【答案】解：①当x≤-时，∴原式=-（2x-3）-（3x-5）+（5x+1），=-2x+3-3x+5+5x+1，=9.②当-＜x≤时，∴原式=-（2x-3）-（3x-5）-（5x+1），=-2x+3-3x+5-5x-1，=-10x+7.③当＜x＜时，∴原式=2x-3-（3x-5）-（5x+1），=2x-3-3x+5-5x-1，=-6x+1.④当x≥时，∴原式=2x-3+3x-5-（5x+1），=2x-3+3x-5-5x-1，=-9.综上所述：原式=.【解析】【分析】根据题意分四种情况来讨论：①x＜-，②-＜x＜，③＜x＜，④x＞，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得出答案.12.【答案】解：①当x≤-1时，∴原式=|-（2x-4）-6|-（3x-6），=|-2x-2|-3x+6，=-（2x+2）-3x+6，=-2x-2-3x+6，=-5x+4.②当-1＜x＜2时，∴原式=|-（2x-4）-6|-（3x-6），=|-2x-2|-3x+6，=2x+2-3x+6，=-x+8.③当2≤x＜5时，∴原式=|2x-4-6|+3x-6，=-（2x-10）+3x-6，=-2x+10+3x-6，=x+4.④当x≥5时，∴原式=|2x-4-6|+3x-6，=2x-10+3x-6，=5x-16.综上所述：原式=.【解析】【分析】根据题意分四种情况来讨论：①x≤-1②-1＜x＜2③2≤x＜5④x≥5，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得出答案.13.【答案】解：当a≤0时，|a|=-a，∴原式=a-a=0；当a＞0时，|a|=a，∴原式=a+a=2a.【解析】【分析】根据绝对值的性质分情况讨论：①当a≤0时，②当a＞0时，之后化简即可.。
绝对值-奥数经典题
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绝对值奥数经典题
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
一、典型例题分析
例1已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
例2若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例3化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
二、专项练习
练习1.已知y=｜2x+6｜+｜
x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
练习2.设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
练习3.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．三、巩固练习
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
4．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，
对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，
如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．
1 / 1。
奥数讲解及解析——绝对值与非负数
绝对值与非负数例1、已知a ，b ，c 为非零有理数，且a+b+c=0，求的值。
解：∵a ，b ，c 为非零有理数，且a+b+c=0∵这三个数中既有正数又有负数，不妨设a ＞0，c ＜0当b ＞0时，原式=++=1﹣1﹣1=﹣1； 当b ＜0时，原式=++=﹣1+1﹣1=﹣1．例2、若a 、b 、c 为整数且|a ﹣b|19+|c ﹣a|95=1，求|c ﹣a|+|a ﹣b|+|b ﹣a|的值。
解：（1）当a ﹣b=0时，c ﹣a=1，∵b ﹣a=0，∵|c ﹣a|+|a ﹣b|+|b ﹣a|=1；（2）当a ﹣b=1时，c ﹣a=0，∵b ﹣a=1，∵|c ﹣a|+|a ﹣b|+|b ﹣a|=2例3、已知x ＞0，y ＜0，z ＜0，且|x|＞|y|，|z|＞|x|，化简|x+z|﹣|y+z|﹣|x+y|。
解：根据题意，可得x+z ＜0，y+z ＜0，x+y ＞0，则|x+z|=﹣（x+z ），|y+z|=﹣（y+z ），|x+y|=x+y ，原式=﹣（x+z ）+（y+z ）﹣（x+y ）=﹣2x例4、已知2b ﹣a ＜3，2a ﹣b ＜5，化简﹣|2b ﹣a ﹣7|﹣|b ﹣2a+8|+|a+b ﹣9|。
解：由题意得：2b ﹣a ＜3①，2a ﹣b ＜5②，①+②得：a+b ＜8③，∵2b ﹣a ﹣7﹣b+2a ﹣8+9﹣a ﹣b=﹣6．例5、若x=﹣0.239，求|x ﹣1|+|x ﹣3|+…+|x ﹣1997|﹣|x|﹣|x ﹣2|﹣…﹣|x ﹣1996|的值。
解：∵x=﹣0.239，∵|x ﹣1|+|x ﹣3|+…+|x ﹣1997|﹣|x|﹣|x ﹣2|﹣…﹣|x ﹣1996|=1﹣x+3﹣x+…+1997﹣x ﹣（﹣x ）﹣（2﹣x ）﹣…﹣（1996﹣x ）=1﹣2+3﹣4+…﹣1996+1997=999例6、化简：()20320202+--±x 解：∵(20x -3)2为非负数，∴-(20x -3)2≤0． ①又∵()2320--x 有意义，∴-(20x -3)2≥0． ② 由①，②可得：-(20x -3)2=0．∴原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．例7、已知052422=+--+b a b a ，求代数式ab b a 23-+的值。
绝对值练习题及答案
绝对值练习题及答案绝对值是数学中常见的概念之一，用来表示一个数与零的距离。
在解决实际问题中，经常会遇到有关绝对值的计算和应用。
本文将提供一些绝对值练习题，并提供详细的解答。
请阅读以下内容，进一步理解和掌握绝对值的概念和运算。
练习题1：计算以下数的绝对值：1. |-5|2. |3.14|3. |-2 - 7|4. |10 - 15 + 20 - 25|练习题2：解决以下不等式，并确定绝对值的解集：1. |x - 3| > 52. |2x + 1| ≤ 83. |5 - 2x| = 34. |3x + 2| > |4x + 1|练习题3：求以下函数的定义域与值域：1. f(x) = |x - 3|2. g(x) = |x + 2| + 13. h(x) = |2x - 5|练习题4：解决以下方程，并确定绝对值的解集：1. |x - 2| = 42. |3x + 1| = 53. |2x - 3| + 1 = 24. |4x + 5| - |x + 2| = 10答案及解析：练习题1：1. |-5| = 52. |3.14| = 3.143. |-2 - 7| = |-9| = 94. |10 - 15 + 20 - 25| = |-10| = 10练习题2：1. |x - 3| > 5解：根据不等式性质，将绝对值拆分为两个等式：x - 3 > 5 或 x - 3 < -5得到：x > 8 或 x < -2解集为：(-∞, -2) ∪ (8, +∞)2. |2x + 1| ≤ 8解：根据不等式性质，将绝对值拆分为两个等式：2x + 1 ≤ 8 或2x + 1 ≥ -8得到：x ≤ 7/2 或x ≥ -9/2解集为：(-∞, -9/2] ∪ [-7/2, +∞)3. |5 - 2x| = 3解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式： 5 - 2x = 3 或 -(5 - 2x) = 3得到：x = 1 或 x = -4解集为：{1, -4}4. |3x + 2| > |4x + 1|解：根据绝对值的性质，将不等式拆分为两个等式： 3x + 2 > 4x + 1 或 3x + 2 < -(4x + 1)得到：x < 1 或 x > -1解集为：(-∞, -1) ∪ (1, +∞)练习题3：1. f(x) = |x - 3|定义域：所有实数值域：大于等于0的实数2. g(x) = |x + 2| + 1定义域：所有实数值域：大于等于1的实数3. h(x) = |2x - 5|定义域：所有实数值域：大于等于0的实数练习题4：1. |x - 2| = 4解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式： x - 2 = 4 或 -(x - 2) = 4得到：x = 6 或 x = -2解集为：{6, -2}2. |3x + 1| = 5解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式：3x + 1 = 5 或 -(3x + 1) = 5得到：x = 4/3 或 x = -6/3解集为：{4/3, -2}3. |2x - 3| + 1 = 2解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式：2x - 3 + 1 = 2 或 -(2x - 3) + 1 = 2得到：x = 2 或 x = -1解集为：{2, -1}4. |4x + 5| - |x + 2| = 10解：根据绝对值的性质，将等式拆分为四个等式：4x + 5 - (x + 2) = 10 或 4x + 5 + (x + 2) = -104x + 5 - (-(x + 2)) = 10 或 4x + 5 + (-(x + 2)) = -10得到：x = 3 或 x = -6解集为：{3, -6}通过以上的练习题及答案，希望你对绝对值的概念、计算和应用有了更深入的理解。
绝对值经典题型
题型一：定义考察正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|-3|的相反数是.【解析】：|-3|的绝对值为3，3的相反数是-3.例2.绝对值大于2小于5的所有整数有.【解析】：绝对值大于2小于5的整数有-4、-3、3、4.例3.已知|X|= 4，则X= ; 已知|-X|= 5，则X= ;【解析】：(1)绝对值等于4的数有±4；(2)虽然|-X|有个“-”，但带有绝对值，这个“-”可以直接去掉，可以同(1)一样，绝对值等于5的数有±5.例4.已知|X-5|=2，则X= .【解析】：解法1：可以把绝对值里面的数当作一个整体，（X-5）的绝对值为2，则X-5=±2解得X=7或X=3解法2：利用绝对值的几何意义来解题：|X-5|=2，一个数到5的距离为2，则这个数为3或者7例5.下列语句:○1一个数的绝对值一定是正数；○2-a 一定是一个负数；○3没有绝对值为-3 的数；○4若|a| =a,则a 是一个正数；○5在原点左边离原点越远的数就越小.正确的有( )个A.0B.3C.2D.4【解析】：○1一个数的绝对值的绝对值可能是正数也肯是负数；○2一个字母前面带“-”，不能确认这个字母是正是负还是0，所以带上“-”后也不能确定是正是负还是0；○3一个数的绝对值只可能≥0○4一个数的绝对值等于它本身，这是数可能是正数也有可能是0○5在原点左边离原点越远的数就越小，在原点右边离原点越远数就越大例6.若|a| = -a,则a一定是( )A.正数B.负数C.正数或零D.负数或零【解析】：一个数的绝对值等于它的相反数，它可能是负数也可能是0题型二：非负性一个数的绝对值≥0例1.已知|a+3|+|c-2|=0，则a+c= .【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a+3=0，c-2=0 → a=-3，c=2，∴a+c=-1例2.若|x+3|+(y-1)2 = 0，求xy的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，一个数的平方也是≥0，两个≥0的数相加等于0，只可能是它们分别为0，即: x+3=0，y-1=0，∴x=-3，y=1；∴xy=-3例3.若|2x-4|与|y-3|互为相反数，求3x-y的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，两个绝对值互为相反数，只有可能两者都为0，因为0的相反数仍为0∴2x-4=0，y-3=0；∴x=2，y=3；∴3x-y=9例4.已知|a-3|+|b -5|=0，x，y互为相反数，求3(x+y) -a+2b的值.【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a-3=0，b-5=0，a=3，b=5；∵x，y互为相反数，∴x+y=0所以3(x+y) -a+2b=7题型三：去绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|3-π|+|π-4|= .【解析】：要想去绝对值，得先搞清楚绝对值里面的正负，这样我们才能正确把绝对值去掉.因为3-π<0，π-4<0，所以|3-π|=π-3，|π- 4|=4 -π所以|3-π|+|π-4|=1例2.如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|= .【解析】：从图中可知c < b < c，|c|>|a|>|b|a-b>0，2c+b<0，a+c<0|a-b|=a-b，|2c+b|=-(2c+b)，|a+c|=-(a+c)所以|a-b|-|2c+b|+|a+c|=a - b --(2c+b)-(a+c)=a-b+2c+b-a-c=c> 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|.例3.若a<-b，ab【解析】：因为a> 0，所以○1a>0，b>0；○2a<0，b<0b○1当a>0，b>0时，与a<-b矛盾，所以这种情况不存在○2当a<0，b<0时，|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-(a+b)+ab=-2a+ab 例4.若1<a<5，则|1-a|+|5-a|= .【解析】：因为1<a<5，所以1-a<0，5-a>0所以|1-a|+|5-a|= -(1-a)+(5-a)=4例5.若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=4，则m-n= .熟记：|a|=a，则a≥0，|a|=-a，则a≤0切记别把“0”漏掉【解析】：因为|m-n|=n-m，所以m-n≤0○1第一种情况：m-n=0；○2第二种情况：m-n<0；又因为|m|=4，|n|=4所以m=-4，n=4即：m-n=-8例6.若x<-2，则y=|1-|1+x||等于.提示：多个绝对的情况，由内到外依次去绝对值【解析】：∵x<-2，∴1+x<0原式=|1-[-(1+x)]=|1+1+x|=|2+x|=-(2+x)题型四：分类讨论例1.若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b= . 【解析】：∵|a+b|=a+b∴a+b≥0又∵|a|=5，|b|=7∴a=±5，b=7(负舍)∴a-b=-2或a-b=-12例2.若a>0，则|a|a = ，若a<0，则|a|a= .【解析】：○1∵a>0，∴|a|=a，∴|a|a = aa= 1；○2∵a<0，∴|a|=-a，∴|a|a = −aa= -1；例3.已知abc≠0，求|a|a + |b|b+ |c|c=【解析】：○1当a、b、c没有负数时，则原式=3○2当a、b、c有一个负数时，则原式=-1+1+1=1○3当a、b、c有两个负数时，则原式=-1-1+1=-1○4当a、b、c有全是负数时，则原式=-1-1-1=-3例4.若|ab|ab =1，则|a|a+ |b|b=【解析】：∵|ab|ab=1，∴a，b同号∴○1当a，b大于0时，原式=2○2当a，b小于0时，原式=-2题型5：零点分段零点：令绝对值等于0的x值，称为该绝对值的零点.步骤：○1找出每一个绝对值的零点；○2根据零点值给x分段；○3在每一段所属范围内，化简绝对值.例1.化简|x-1|+|x-4|【解析】：零点分别为1和4.○1当x <1时，原式=1-x+4-x=5-2x○2当1≤x≤4时，原式=x-1+4-x=3○3当x >4时，原式=x-1+x-4=2x-55-2x（x <1）|x-1|+|x-4|= 3 （1≤x≤4）2x-5（x >4）题型六：绝对值方程常用公式：若|a|=|b|，则a=b或a=-b步骤：○1根据绝时位内的正员分类，并去绝对值○2解出每一类对应的程○3检验方程的解是符合分类的范围要求例1.解方程：|2x-1|=|x+2|解：2x-1=±（x+2）○1当2x-1=x+2x=3○2当2x-1= -(x+2)2x-1=-x-23x=-1x= -13例2.解方程：|x-1|=2x-5解：x-1=±（2x-5）○1当x-1=2x-5x=4○2当x-1=-(2x-5)x-1= -2x+5X=2题型七：最值问题几何意义：|a-b|表示数轴上，a到b的距离Eg.|x-2|表示数轴上x到2的距离|x+3|表示数轴上x到-3的距离例1.当x在什么范围内|x-1|+|x-3|有最小值，最小值又是多少？【解析】：几何意义x到1的距离与与到3的距离之和○1当x<1时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2○2当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2 = 2○3当x>3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2总结：|x-a|+|x-b|在a，b之间最小为|a-b|例2.求|x+1|+|x-5|+|x-2|的最小值【解析】：几何意义x到-1，5，2的距离之和当x=2时，最小值为6例3.求|x+2|+|x-1|+|x+4|+|x-7|的最小值.当-2≤x≤1时，最小值为14总结：奇为中间点，偶取中间段题型八：定值问题解题思路：让未知数之间相互抵消，则结果就是一个定值.例1. 若|x -1|+|x -2|+ … +|x -2022|的值为定值，求x 的范围.【解析】：偶数个绝对值相加，要想原式为定值，则一半的式子为x ，后一半式子-x ，这样未知数就都抵消了，所得结果为定值.(x -1)+(x -2)+ … +(x -1011)+(-x+1012)+ … +(-x+2022)这样正好将x 都消掉 解：当20222≤x ≤20222 + 1，即1011≤x ≤1012时，原式为定值例2. 若2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】：要想原式为定值，就要把a 都给抵消掉原式=2a+4-5a+3a -1解: 4-5a ≥0，1-3a ≤0，即：13≤x ≤45 原式=2a+4-5a+3a -1=3。
奥数-绝对值-(5)学
第五讲 绝对值绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。
很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。
分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。
一. 基本概念和公式a) 绝对值的定义（注意它的非负性）绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩例 若1x -与2(2)y +互为相反数，试简化2005()x y +b) 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
①) a 表示a 点到0点的距离②) a b -表示a 点到b 点的距离③) a b +表示a 点到-b 点的距离c) 分类讨论思想（零点分段法）利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。
例 设a 是有理数，求a a +的值二、难点回顾难点：1，几何意义2，零点分段法三、典型例题A) 化简例1 若20a -≤≤，化简22a a ++-例2 化简523x x ++-B) 解方程例3 解方程 1、4329x x +=+2、324x x -+=例4 解方程 23143x x x +--=-C) 解不等式例5 解下列不等式1、45x ->2、31425x x ++>例6 解不等式362586x x x -+-<-例7 解不等式23239x x --+<D) 最值问题例8 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值例9 已知5434x x -≤-，求13x x --+的最大值与最小值E) 带参数的问题例10 已知22430y ax y x -+--=，问a 为何值时，x 为负值？例11 解关于x 的不等式11ax ax ->-F) 几何意义例12（第10届，希望杯）已知0a 4≤≤，那么|a 2||3a |-+-的最大值等于（ ）A 1B 5C 8D 3例13 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值G ）应用题例14（1998，湖北荆州市）某城镇沿环形路有5所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15台、7台、11台、3台、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给临校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最少，应做怎样安排？四、课后练习题练习1 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求2x y x y+-的值练习2 化简3223x x -++练习3 化简121x x --++练习4 解下列方程1、4835x x +-=2、33258x x x +--=+练习5 解下列不等式1、4231x x ---≤2、2424x x +>+练习6 已知1x ≤，试求22x x --+的最大值和最小值练习7 设0a >，求下列不等式的解1、x a >2、x a ≤3、0x a <≤练习8 设a b c d <<<,求y x a x b x c x d =-+-+-+-的最小值补充题1 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？补充题2 已知1996y x a x x a =-+++--，如果1996a <<，96a x ≤≤，那么y 的最大值是多少？补充题3 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______补充题4若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．。
初一奥数 绝对值练习题
初一奥数绝对值练习题1、非负数；2、一个，0；3、B；4、D；5、5，-5；6、-1/4；7、3个，-1，0，1；8、x=-2，x=3，x=2或4；9、|a|>|b|；10、b=7或-7；11、a=-3，b=-2，c=-1；12、-n<-m<m<|n|；13、C；14、23个；15、非正数；16、无法判断大小关系；17、x=1，x=0或2；18、-2<a<0，0<b<2；19、0；20、-2；21、a+b+2cd；22、2；23、-4，-2；24、8；25、a=0，b任意；26、5，-3.7.1、有理数的绝对值是非负数；2、只有0的绝对值等于它本身；3、正确的说法是B选项；4、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，因此选D；5、相反数等于-5的数是5，绝对值等于5的数是-5；6、-4的倒数为-1/4，其相反数为1/4；7、绝对值小于2的整数有3个，分别为-1，0，1；8、当|-x|=2时，x=-2或2；当|x-3|=0时，x=3；当|x-3|=1时，x=2或4；9、根据图示可知，|a|>|b|；10、由|a|+|b|=9和|a|=2可得|b|=7或-7，因此b=7或-7；11、由a0，n<0可得-n<-m<m<|n|；13、由不等式组可得-2<a<0，0<b<2；14、绝对值不大于11.1的整数有23个；15、根据定义，若a<0，则|a|=-a，因此a为负数，即选B；16、无法判断大小关系；17、由|x-1|=0可得x=1，由|1-x|=1可得x=0或2；18、由不等式组可得-2<a<0，0<b<2；19、由|a+b+3|=0可得a+b=-3，因此|a+b|=3；20、由|a-2|+|b-3|+|c-4|=0可得a=2，b=3，c=4，因此a+2b+3c=2+2(3)+3(4)=-2；21、根据题意，a和b互为相反数，c和d互为倒数，因此a+b=0，cd=1，代入式子可得a+b+2cd=2；22、由|a|=3，|b|=5，a与b异号可得|a-b|=|3-(-5)|=8；23、由a和b互为相反数可得a+b=0，2a+2b=0，因此a=-b，2a-2b=0，解得a=b=0，因此a+b=0，2a+2b=0；24、由题可得a+5=-3，因此a=-8；25、a+b 和a-b互为相反数，当a=0___成立，b任意；26、由|-x|=5可得x=5或-5，由|-(-x)|=3.7可得-x=3.7/2，因此x=-5或5，-x=-3.7/2，因此x=3.7/2或-3.7/2.27、若一个数的倒数是1.2，则这个数的相反数是-0.8333，绝对值是0.8333.28、若-a=1，则a=-1；若-a=-2，则a=2；如果-a=a，则a=0.29、已知|X-4|+|Y+2|=0，由绝对值的非负性可知X=4，Y=-2，因此2X-|Y|=4.30、若-x=-(-5)，则x=5；由x-2=4可知x=6.31、绝对值小于4且不小于2的整数是-3，-2，2，3.32.已知|a|=3,|b|=5,且a<b，则a+b=8.33.若1<a<3，则3-a+1-a=-2a+4.34.若|x-2|=7，则x=-5或x=9.35.给出两个结论：①a-b=b-a；②a+b=2a-(-b)。
(完整版)七年级奥数：绝对值
七年级奥数：绝对值阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2．绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数a 的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数．3．绝对值常用的性质222(1) ||0 (2) |||| (3) |||||| (4)(0)||(5) |||||| (6) ||||||a a a a a a ab a b b b b a b a b a b a b ===⋅=≠++-- 例题与求解例1 已知=5，=3，且=b －a ，那么a ＋b = .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式＋＋在p ≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A )30 (B )0 (C )15 (D )一个与P 有关的代数式解题思路 设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知12320022003123200220030x x x x x -+-+-++-+-=,求代数式3200220031222222x x x x x ----+的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 、x 、x …x 、x 的值，a a a ab b a -b a -p x -15-x 15--p x 12320022003注意2－2的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求+++++＋的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键．例5 若a 、b 、c 为整数，且＋=1，试求+＋的值．(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．能力训练A 级1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m =n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m <n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m =(-n )。
第二课 数轴与绝对值(奥数)精编版
第二讲数轴与绝对值例题1.a,b,c都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则例题2.有理数a,b,c在数轴上的位置如下图所示：若m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|，则1000m=___________例题3.已知|a|=—a，b<0,化简：例题4.已知：（1）|a|=5，|b|=2，且a<b;(2),分别求a,b的值。
例题5.化简|2x-1|—|x-2|例题6.若a,b,c均为非零的有理数，求的值。
课内练习：1.数轴上有理数a,b,c的对应点的位置如图所示，有下面四个命题：①abc<0②|a-b|+|b-c|=|a-c|③(a-b)(b-c)(c-a)>0④|a|<1-bc其中，正确的命题有（）A.4个B.3个C.2个D.1个2.已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号3.如图所示，在数轴有6个点，且AB=BC=CD=DE=DF，则与点C所表示的数最接近的整数是（）A.—1B.0C.1D.2B.4.有理数a,b满足|a+b|<|a-b|，则（）A.a+b≥0B.a+b<0C.ab<0D.ab≥0课后练习：1.若0<x<10，则满足|x-3|=a的整数a的值共有_________个，它们的和等于__________.2.若|a|=1，|b|=2,|c|=3,且a>b>c,则a+b-c=_________3.使|5x+6|=6x-5成立的x的值是______________.4.有理数a,b,c均不为零，且a+b+c=0，设，则代数式的值是______________5.已知|ab+2|+|a+1|=0，求的值。
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绝对值奥数经典题
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
一、典型例题分析
例1已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
例2若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例3化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
二、专项练习
练习1.已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
练习2.设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
练习3.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
三、巩固练习
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
4．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，
对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，
如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．
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