4.3 百分数的假设检验汇总

ˆ p >p时取“－”；
<p时取
如果np<30，因0<p<1，所以n<30
0.5 0.5 ˆp ˆp p p n n tc sp ˆq ˆ p ˆ n
df n 1
例：有一批蔬菜种子的平均发芽率为0.85，现随机抽取500粒， 用种衣剂进行浸种处理，结果有445粒发芽， 检验种衣剂对种子发芽有无效果？
q 1 p 0.281
sp ˆ
ˆ2 1 p

1 1 p q( ) 0.119 n1 n2
0.5 0.5 ˆ1 p ˆ2 p n1 n2 tc 0.209 sp ˆ p ˆ
1 2
df=29+28-2=55
t 0.05(55) = 2.004， t c <t 0.05(55)
（１）假设
H0: p1=p2 即两块麦田锈病发病率没有显著差异。 HA: p1 ≠ p2
选取显著水平α＝0.01
ˆ1 p x1 342 x2 313 ˆ 0.905 p2 0.790 n1 378 n2 396
（2）水平 （3）检验
x1 x 2 342 313 p 0.846 n1 n2 378 396
q 1 p 0.154
sp ˆ
ˆ2 1 p

1 1 p q( ) 0.026 n1 n2
ˆ1 p ˆ2 p u 4.423 sp ˆ p ˆ
1 2
u>2.58，P<0.01
（4）推断
在0.01显著水平上，否定H0，接受HA；
认为两块麦田锈病发病率有极显著差异，即地 势对小麦锈病的发生有极显著影响作用，低洼 地小麦锈病的发病率极显著高于高坡地。
分 析
（1）一个样本频率的假设检验； （2） np 和 nq > 30 ，无需连续矫正，用u检验；
（3）不知使用种衣剂的发芽率是高是低，用双尾检验。
（１）假设
H0:p=0.85
即用种衣剂浸种后的发芽率仍为0.85; HA:p≠0.85
（2）水平 （3）检验
选取显著水平α＝0.05
x 445 ˆ p 0.89 n 500
（1）一个样本频率的假设检验；
由于n > 30，用u检验；
（3）只有孵化率≤ 0.80，才认为是不合格，故采用
单尾检验。
（１）假设
H0:p≤ 0.80，即该批种蛋不合格。
HA:p>0.80 选取显著水平α＝0.05
x ˆ 0.78 p n
（2）水平 （3）检验
p pq / n 0.04 ˆ
例：某鱼场发生了药物中毒，
抽查甲池中的29尾鱼，有20尾死亡
抽查乙池中的28尾鱼，有21尾死亡
检验甲、乙两池发生药物中毒以后，鱼的死亡率 是否有显著性差异。 （1）2个样本频率的假设检验； 分 析 （2） 5 < np 和 nq < 30 ，需进行连续矫正， 因n1<30，n2<30，用t检验； （3）事先不知两池鱼的死亡率孰高孰低，用双尾检验。
u
ˆp p
p ˆ
ˆp ˆ np p np pq / n npq
2、当 5<np 或 nq<30时，需要进行连续性矫正，uc值为：
0.5 0.5 ˆ p) ˆp (p p ˆ np 0.5 np n n uc p p n p ˆ ˆ ˆ
ˆ p 其中“＋”表示在 “＋”。
0.5 ˆp p n 0.375 uc
p ˆ
uc <1.645，P>0.05 （4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；
认为这批种蛋不合格。
二、两个样本频率 的假设检验
ˆ2 ˆ1 和 p 适用范围：检验两个样本频率 p
差异的显著性。
一般假定两个样本的方差是相等的，即 p 2 p
产品
合格
不合格 发芽 不发芽 存活
合格率 发芽率
二 项 分 布
目标性 状
种子
害虫
死亡
结实 不结实 红花 白花
死亡率
植物
结实率
频 率 分 布
二项成 数
后代
性状比
频率的假设检验
当 np 或 nq<5
孵化小鸡的概率表 (p= 0.90 q=0.10)
概率函数 Cnxpxqn-x P(0) C50p0q5 C51p1q4 C52p2q3 P(1) P(2) P(x) 0.00001 0.00045 0.0081
0.5 0.5 ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p n1 n2 uc sp ˆ p ˆ
1 2
在H0: p1 = p2下，
0.5 0.5 ˆ1 p ˆ2 p n1 n2 uc sp ˆ p ˆ
1 2
2、当 5 < np 或 nq < 30，需进行连续性矫正，
( pq) / n
未 ˆ 来估计。此时上式 知时，常以样本百分数 p 改写为： ˆ 1 p ˆ ˆq ˆ) / n q Sp = (p S p 称为样本成数标准误。
p也称为二项总体成数的标准误，当 p
样本频率的标准误 p ˆ
pq n
其中 q = 1-p
1、当 np 和 nq > 30，不需连续性矫正，则u值为：
p pq / n 0.016 ˆ
u
ˆp p
p ˆ
0.89 0.85 2.5 0.016
u >1.96，P<0.05 （4）推断 在0.05显著水平上，否定H0，接受HA；
认为种衣剂浸种能够显著提高蔬菜种子的发芽率。
例：规定种蛋的孵化率>0.80为合格，现对一批种蛋随 机抽取100枚进行孵化，结果有78枚孵出， 问这批种蛋是否合格？ 分 析 （2） np 和 nq > 5 ，但nq <30，需要进行连续矫正，
（１）假设 H0: p1=p2
HA: p1 ≠ p2
即甲乙两池鱼的死亡率没有显著差异
（2）水平
（3）检验
选取显著水平α＝0.05
ˆ1 p x1 20 x2 21 ˆ 0.690 p2 0.750 n1 29 n2 28
x1 x 2 20 21 p 0.719 n1 n2 29 28
由二项式
(p+q)n
展开式直接检验
P( x) Cnx p x qn x
P(3)
P(4) P(5)
C53p3q2
C54p4q1 C55p5q0
0.0729
0.32805 0.59049
P(0)或P(1)或P(2) < 0.05，差异显著；
P(3)或P(4)或P(5) > 0.05，差异不显著。
频率的假设检验
当 np 和 nq > 30
中心极限定 理
近似
正态分布
（ u 检 验 ）
死亡率 结实率 相状比
发芽率
频率的假设检验
当 5<np 或 nq<30
由于二项总体的百分数（频率）是由某一属性的个体 计算来的整数，所以是离散型的。当样本不太大时，把它 当作连续型的近似正态总体来处理，结果会有些出入，容 易发生第一类错误。补救的办法时仍按正态分布的假设检
例：研究地势对小麦锈病发病的影响 低洼地麦田378株，其中锈病株342株
高坡地麦田396株，其中锈病株313株
比较两块麦田锈病发病率是否有显著性差异。
分 析
（1）2个样本频率的假设检验； （2） np 和 nq > 30 ，无需连续矫正，用u检验； （3）事先不知两块麦田的锈病发病率孰高孰低， 用双尾检验。
2百度文库
2
样本频率的加权平均值
p 作为对p1和p2的估计，即：
1
2
n1 p1 n2 p2 x1 x 2 p n1 n2 n1 n2
x1 n1 p1 x2 n2 p2
q 1 p
sp ˆ
当n1= n2=n时
1
ˆ2 p

1 1 pq ( ) n1 n2
2 pq n
sp ˆ
验计算，但必须进行连续性矫正，即随机变量所落的区间
+0.5，如一个样本由 (np ˆ np 0.5 。 ˆ np) 矫正为 np
一、一个样本频率 的假设检验
ˆ 适用范围：检验一个样本频率（记为） p
和某一理论值或期望值p的差异显著性。
在二项分布中，事件A发生的频率 x/n称 为二项成数，即百分数或频率。则二项成数 的平均数和标准差分别为： p p
1
2
2
两个样本频率差数的标准误
sp ˆ
ˆ2 1 p

ˆ1 q ˆ1 p ˆ 2q ˆ2 p n1 n2
ˆ1 p
x1 n1
ˆ2 p
x2 n2
H0: p1 = p2= p，q1=q2=q
sp ˆ
1
ˆ2 p

1 1 pq( ) n1 n2
在总体p1和p2未知，假定 p p 条件下，可用两
如果n < 30 ,用t检验：
0.5 0.5 ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p n1 n2 tc sp ˆ p ˆ
1 2
0.5 0.5 ˆ1 p ˆ2 p 在H0: p1 = p2下， n1 n2 tc sp ˆ p ˆ
1 2
df (n1 1) (n2 1) n1 n2 2
1
ˆ2 p
1、当 np 和 nq > 30，不需连续性矫正，用u检验：
ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p u sp ˆ p ˆ
1 2
在H0: p1 = p2下，
ˆ1 p ˆ2 p u sp ˆ p ˆ
1 2
2、当 5 < np 或 nq < 30，需进行连续性矫正， 如果n > 30 ,用u检验：
（4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA； 认为发生药物中毒后，甲、乙两鱼池鱼的死亡率 没有显著差异。