弹性力学第六章温度应力问题的基本解法
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学与有限元完整版
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x
y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
弹性力学第六章
介绍温度应力的基本 概念及其求解过程
温度应力基本概念
物体表面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩
¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力；
−
Eα [
b
Trdr
+
A] + C
=0
a2
b2 a
∫ ∫ A = a 2
b
Trdr ,
C=
Eα
b
Trdr
b2 − a2 a
b2 − a2 a
∫ ∫ σ r
=
Eα r2
[r2 b2
− a2 − a2
b
r
Trdr − Trdr]
a
a
∫ ∫ σθ
=
Eα [ r 2 r2 b2
+ a2 − a2
b
Trdr
+
荷，则满足相容方程的应力函数可以取为：
ϕ = cy 2
相应地，应力分量为：
σ ′x′
=
∂ 2ϕ ∂y 2
=
2c
σ
′y′
=
∂ 2ϕ ∂x 2
=
0
τ ′x′y
=
−
∂ 2ϕ ∂x∂y
=
0
总的应力分量为：
σ
x
=σ
′x
+σ
′x′
=
2c
−
EαT0 (1 −
y2 b2
)
σ y = σ ′y + σ ′y′ = 0 τ xy = τ ′xy + τ ′x′y = 0
弹性力学--热应力 ppt课件
第五节 微分方程的求解
在求解微分方程（14）时，应分两步进行。
1. 求出微分方程的任一组特解。
2. 不计变温T, 求出微分方程的一组补充解， 并使它和特解叠加以后满足边界条件。 为了求得微分方程的一组特解，引用一个 函数φ（x,y），使
u' x
v' y
u.’v’为微分方程的特解。
十一章 热应力
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改 变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各 部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不 能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。 为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热 传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度, 得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学, 根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。
T T n0 n
(1)
n0为沿等温面法线方 向的单位矢量。
PPT课件
4
温度梯度在各坐标轴的分量为:
(2)
4. 熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热 量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面 面积的热流速度称为热流密度，即 q 熱流密度
dQ q dt S
PPT课件
S 等温面面积
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
Байду номын сангаас
又u.v都是常量，所以取： 2 2
2 (1 )T 2 x y
(16)
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。 PPT课件
26
将
u x
1 2 y ( y x ) (1 )T E 1
xy
2(1 ) xy E
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹性力学基础 应力应变
上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分
量的边界值与面力分量之间的关系。
过一点任意斜面的正应力与切应力
问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ 平面ABC上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方向 n的投影：
s n lp x mpy npz 平面ABC上的切应力tn则由
2 yz 2 xz
s x t xy t xz I 3 t yx s y t yz t zx t zy s z
过一点任意斜面的主应力与主方向
s I1s I 2s I 3 0
3 2
主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3 分别表示这
三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任 意一点主应力。
弹性体内任意一点的最大正应力为s1，最小正应力为s 3
最大切应力可以通过主应力计算，等于(s 1-s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用 平面通过s 2 应力主方向，并且平分s 1和s 3应力主方向的 夹角（即45°角）。
(t n )极值
(s 1 s 3 ) 2
由泰勒级数展开，求各面应力
空间问题的平衡微分方程
分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（6个）
F M
x
0,
x
0,
F 0, F 0 M 0, M 0
y z y z
切应力互等定理
平衡微分方程
t yx s x t zx fx 0 x y z t xy s y t zy fy 0 x y z t yz t xz s z fz 0 x y z
空间问题的基本未知量与方程
温度应力问题
T ij = Tij
y
S
z x E E y z x y E E
S xy
1 xy G
zS
S yz
1 yz G
x
S
x y z E E
2 2
2 xy 2G xy
2 yz 2G yz
2 2 z 2G x 2 y 2
2 zx 2G zx
特解并不满足边界条件
平面应力问题在极坐标下的解
r 1 r T E ur r 1 r T E u 1 r r 21 r E
平衡微分方程解法
• 可分两步求解： （1）找出任意一组特解，这组特解并不一定满足边界条件； （2）找出齐次方程（T=0）的解，即等温下无体力作用的弹性问解，
这组解与特解叠加后所得的解能满足边界条件。
非齐次方程特解
u x 2 1 T x 1 x
2 1 T
2 1 1 2 r 2 r r r 2 2
2
E 1 1 2 r 2 2 1 r r r
E 2 1 r 2
K r 2 ln b ln r 1 ln b ln a r 2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
K 1 T 41
2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
热传导基本概念
• 对于不同物体，从高温物体向低温物体传递
• 对于同一物体，热量从温度较高的部位向较低的部位传递
传热与热应力问题
传热与热应力问题引言传热与热应力问题是热力学和材料科学领域的重要研究方向之一。
热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程，而热应力则是由于温度梯度引起的物体内部的应力分布。
在工程实践中，传热与热应力问题对于材料的选择、结构设计和工艺优化具有重要影响。
本文将从传热和热应力的基本概念、传热机制、热应力的产生机理以及相关解决方法等方面进行详细介绍。
传热机制传热机制主要包括热传导、对流传热和辐射传热。
热传导是指热量通过物质内部的分子传递。
对流传热是指热量通过流体的对流传递，其中包括自然对流和强制对流两种形式。
辐射传热是指热量通过电磁辐射的方式传递，不需要介质的存在。
热传导是最常见的传热方式，其传热速率可以通过傅里叶热传导定律描述。
傅里叶热传导定律表明，热流密度与温度梯度成正比，与物质的导热系数成反比。
对于均匀材料，热传导可以通过导热系数、温度梯度和传热面积来计算。
对流传热是在流体介质中传递热量的过程，其传热速率可以通过牛顿冷却定律描述。
牛顿冷却定律表明，传热速率与温差和传热面积成正比，与流体的传热系数成正比。
对于自然对流，流体的传热系数可以通过格拉瑟数来计算；对于强制对流，流体的传热系数可以通过雷诺数和普朗特数来计算。
辐射传热是通过电磁辐射的方式传递热量的过程，其传热速率可以通过斯特藩-玻尔兹曼定律描述。
斯特藩-玻尔兹曼定律表明，辐射传热速率与物体的表面温度的四次方成正比，与物体的表面发射率成正比。
辐射传热在高温条件下起主导作用，是太阳能利用、高温热处理等领域的重要研究内容。
热应力的产生机理热应力是由于温度梯度引起的物体内部的应力分布。
当物体的温度发生变化时，由于不同部分的热膨胀系数不同，就会产生内部的应力。
热应力的产生机理可以通过热弹性力学和热塑性力学来描述。
热弹性力学是研究材料在温度变化下的弹性行为的学科。
根据胡克定律，弹性体的应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。
当材料受到温度变化的影响时，其体积或尺寸也会发生变化，从而引起应力的产生。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
06-弹性力学解题方法
§4－3 按应力求解弹性力学问题
基本方程
ij
x j
fi
0
ij
1
E
ij
E
ij
ij
1 ui 2 x j
u j xi
相容方程（应变协调方程）：
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
x
xy
z
zx
弹性方程：
r
E
1
1
2
u r
1
E
1
2
u r
z
E
1
1
2
w z
zr
E 2(1
)
u z
w r
r z 0
z 0 r 0
E 2(1
)
1
1
2
r
2u
u r2
fr
0
u u w
E 2(1
)
1
1
2
z
2w
fz
0
r r z
2
2 r 2
1 r
r
2 z 2
u z
w x
Fx
lG
u y
v x
m
2G
v y
nG
v z
w y
Fy
解题思路：
G
1 2
xi
G 2ui
fi
0
（4－3）
n
jG
ui x j
u j xi
弹性力学-06温度应力
y
2T 2T 2T 2 2 2 dxdydzdt x y z
qx
y
dy
q x qx dx x
z x
2Tdxdydzdt
（4） 物体内热源产生的热量 z
O
x dx
dz
设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），则dt时间内，
T T ( x, y, z, t )
稳定温度场： 若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化，而不随时间 而变化的温度场。 即：
不稳定温度场：
T ( x, y, z , t ) 0 t —— 稳定温度场也称定常温度场。
若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化，而且随时 间而变化的温度场。 —— 不稳定温度场也称非定常温度场。 平面稳定温度场：
（b） —— 热传导微分方程。
其中：
a c
2 （6-3） a —— 称为导温系数。 单位：米 /时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
T 2 W T t c c T W 2 a T t c
—— 热传导微分方程。
（a）
（b）
说明： 式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能 当作常量，而必须是
为了确定弹性体内的温度应力,须进行两方面的计算:
(1)按照热传导理论,根据弹性体的热学性质\内部热源\初始条 件和边界条件,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,即决定温 度场,前后两个温度场之差就是弹性体的变温. (2)按照热弹性力学,由弹性体的变温来求出体内各点的温度应 力,即决定应力场.
§6-1 关于温度场和热传导的一些概念
位移势函数的应用 用极坐标求解问题 圆环和圆筒的轴对称温度应力 楔形坝体中的温度应力
弹性力学6
第六章 温度应力的平面问题当弹性体的温度有所改变时，它的每一部分一般都将由于温度的升高或降低而产生膨胀或收缩。
但是由于弹性体所受到的约束，以及各个部分之间的相互约束，这种膨胀或收缩并不能自由地发生，于是就产生了应力——变温应力，或称为温度应力。
该应力是由于变温引起的，一定的变温才相应于一定的应力。
为了决定弹性体内的温度应力，须1）确定弹性体内的变温，按照热传导理论，根据弹性体的热学性质、内部热源、初始条件与边界条件，计算弹性体内各点的瞬时温度，即决定温度场，而前后两个温度场之差就是弹性体的变温；2）按照“热弹性力学”，根据弹性体的变温求出体内各点的温度应力，即决定应力场。
6.1关于温度场与热传导的一些概念热传导：热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之接触的另一个物体。
在热传导理论中，与弹性力学中一样，不考虑物质的微粒构造，而将物体当作连续介质。
一般，热传导过程中，物体内的各点的温度随着各点的位置不同和时间的经过而变化，因而温度T是位置坐标和时间t的函数TxT= (6.1)),,,(t zy在任一瞬时，所有各点的温度值的总体，称为温度场。
一个温度场，如果它的温度随时间而变，称为非定常温度场；相反地，如果不随时间变化，称为定常温度场。
在定常温度场中，温度只是位置坐标的函数，即zyTT (6.2)T=tx,),∂,(=∂如果温度场的温度随着三个位置坐标而变，就称为空间温度场或三维温度场；如果温度只随平面内的两个位置坐标而变，就称为平面温度场，数学表述是tTyxT=zT (6.3),),,(=∂∂而平面定常温度场的数学表述为0,0),,(=∂=∂∂=t T z T y x T T (6.3)在任一瞬时，连接场内温度相同的各点，就得到这一瞬时的一个等温面，如图6-1所示，虚线表示温度相差为T Δ的一些等温面。
x图6-1 等温面显然，沿着等温面，温度不变；沿着其他方向，温度都有变化，沿着等温面的法线方向，温度的变化率最大。
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析弹性力学是力学中的一个重要分支，涉及弹性体的变形和应力响应。
在工程设计和材料分析中，正确理解和应用弹性力学理论非常关键。
本文将首先介绍弹性力学的基本原理和公式，并随后分析一个实际案例来展示如何使用弹性力学理论进行材料应力分析和设计。
一、弹性力学基本原理弹性力学研究的对象是处于弹性变形范围内的固体材料。
主要涉及的参数有应力、应变、模量等。
1. 应力（Stress）应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。
根据弹性理论，应力与应变之间存在线性关系。
应力可以分为各向同性应力和各向异性应力。
2. 应变（Strain）应变是指物体的形变程度，常用符号为ε。
在弹性变形情况下，应变与应力之间存在线性关系。
3. 模量（Modulus）模量是描述与应力应变相关性的物理量。
常见的模量有弹性模量、剪切模量和泊松比。
弹性模量表示物体在受压缩或拉伸时的应力和应变关系，通常用符号E表示。
二、材料应力分析案例假设我们的案例是设计一个弹簧，需要分析材料的应力分布并进行设计验证。
1. 材料力学性质分析首先，我们需要获取材料的力学性质参数。
假设使用的材料是钢，具有已知的弹性模量E和屈服应力σy。
2. 弹簧设计与力学分析根据设计要求和材料的力学性质，我们可以计算出合适的弹簧长度、直径和线径。
接下来，我们进行力学分析，包括弹簧的应力和位移。
应力分析：根据弹性力学理论，弹簧的应力可以通过应变和材料的模量来计算。
假设弹簧在工作状态下产生的应变为ε，那么应力可以用以下公式计算：σ = E · ε。
位移分析：弹簧在受力时会发生弹性变形，根据胡克定律，弹簧的位移与力和弹簧刚度相关。
位移可以通过以下公式计算：δ = F / k，其中F为受力，k为弹簧刚度。
3. 弹簧设计验证通过以上的力学分析，我们可以得到弹簧的应力和位移。
我们需要验证这些结果是否满足设计要求和材料的承载能力。
比如，我们可以将应力与材料的屈服应力进行比较，确保不会出现超出材料极限造成破裂的情况。
弹性力学问题的基本解法
求得
其中
u v w x y z
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G解法
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G z x y
公式a
代入
x yx zx 2u Fx 0( 2 ) x y z t xy y zy 2v Fy 0( 2 ) x y z t xz yz z 2w Fz 0( 2 ) x y z t
公式2-18
位移解法
u w v x , yz x y z v u w y , xz y z x w v u z , xy z x y
公式2-16
代入
x 2G x , yz G yz y 2G y , xz G xz z 2G z , xy G xy
公式2-19 代入
f x x l yx m zx n f y xy l y m zy n f z xz l yz m zx n
求 得
u u u v w u f l G l m n G l m n x y z x x x v u v v v w f m G l m n G l m n x y z y y y w w w v w 公式2-24 u f n G x l y m z n G z l z m z n
弹性力学第六章
σ
x
=
E 1− μ2
( ∂u ∂x
+
μ
∂v ) ∂y
−
EαT 1−μ
τ
xy
=
E 2(1 +
μ)
( ∂v ∂x
+
∂u ) ∂y
σ
y
=
E 1− μ2
( ∂v ∂y
+
μ
∂u ) ∂x
−
EαT 1− μ
代入平衡方程有：
∂2u + 1 − μ ∂2u + 1 + μ ∂2v − (1 + μ)α ∂T = 0
1
(2) 实际非自由伸缩，产生热应力，相应地要
引起变形，应力应变满足虎克定理：
ε ij′
~σ
′
ij
(3) 由叠加原理，总应变=自由伸缩应变
+热应力产生的应变：
[ ] [ ] ε x
= αT
+
1 E
σ
x
− μ(σ
y
+σz)
εy
= αT
+
1 E
σ
y
−
μ(σ x
+σz)
[ ] ε z
= αT
+
1 E
σz
法向面力：σ N
=
EαT 1− μ
1 − μ ∂y
求出位移后，按下述公式求出热应力：
σx
=
E 1−μ2
(∂u ∂x
+
μ
∂v) ∂y
− EαT 1−μ
σ
y
=
E 1−μ2
(∂v ∂y
+
μ
热应力
热应力温度改变时，物体由于外在约束以及内部各部分之间的相互约束，使其不能完全自由胀缩而产生的应力。
又称变温应力。
基本概念求解热应力，既要确定温度场，又要确定位移、应变和应力场。
与时间无关的温度场称定常温度场,它引起定常热应力;随时间变化的温度场叫非定常温度场，它引起非定常热应力。
热应力的求解步骤：①由热传导方程和边界条件（求非定常温度场还须初始条件）求出温度分布；②再由热弹性力学方程求出位移和应力。
全面定义定义1所谓热应力是指半成品干燥和烧成热加工中由于温差作用而产生的一种应力.热应力源包括升降温过程中砖坯内外及砖坯与环境温差卜来源文章摘要：本文定义了彩釉砖板面细小裂纹的随机性，建立它的力学模型．在此基础上阐述了它的形成机理和工艺控制。
定义2(()热应力:凡由于在搪玻璃材料中存在温度差而产生的应力称为热应力.(2)制胎成型应力:在铁胎制造过程中,由于卷板、冲压、组焊等操作所造成的应力来源文章摘要：<正> 质量优良的搪玻璃设备,其瓷层表面不仅要具有玻化程度适当,光滑平整致密,色泽均匀一致以及无棕孔、泡影,外来固体夹杂物,尤其不能有裂纹等缺陷。
但是,事实上,在搪玻璃设备的烧成过程中,常常会出现各种缺陷,其中瓷层裂纹是该厂搪玻璃产品中危害最大的一种缺陷。
一段时间以来,在我厂100ol反应罐盖的生产过程中,b型小咀r部位和小咀内壁瓷层常出现裂纹,并且裂纹一旦产生,就不能消除,最后只有打瓷返工,造成了大量的人力、物力浪费,并且,严重挫伤了工人的生产积极性。
定义32热应力的分类和特性:2·1＄应力分类玻璃中由于存在温度差而产生的应力统称为热应力.浮法玻璃在退火过程中不可避免地会出现温度梯度.根据温度梯度的方向,玻璃板厚度方向的温度差所形成的热应力称作端面应力或厚度应力来源文章摘要：浮法玻璃退火的目的是消除或减小玻璃中的热应力。
本文从热应力的基本概念出发,分析讨论了热应力的起因、分类和特性,为正确制订浮法玻璃退火规范提供了理论依据。
弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
x yx X 0， x y
2.2
xy x
几何方程（3 个） 两平面问题一致：
(u , u , )
,
1 2
u x x
2.3
y
v y ，
xy
u v y x
相容方程（1 个）
2 2 2 x y xy 2 2 两平面问题一致： xy y x
X n
在 S =S 上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
2(x+y )=0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。 3.3 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
3
对于平面应力问题还应有
2 z 2 z 2 z 0， 2 0， 0， y xy x 2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
2.4
本构方程（3 个） 平面应力问题
x
1 2(1 ) 1 ( x y ) ， y ( y x ) ， xy xy E E E
(1 2 ) (1 2 ) ( y x) ， ( x y) ，y 1 E E 1
平面应变问题
x
xy
2(1 ) xy E
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 中弹性系数 E
E ， ，则平面应力问题的物理方程变为平面 1 1 2
对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程
4
=0，且在 S上满
弹性力学热应力
第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在
所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律， 在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密 度和两者的温差成正比。即：
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
u ) y
(12)
为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。 又平面平衡微分方程为：
ji, j Fbi 0
(13)
在此体力为零，
将式（13）代入（12）并化简得：
x 2 u 21 2 y 2 u 21 2 x 2 v y (1 ) T x0
(14)
y 2 v 21 2 x 2 v 21 2 x 2 u y (1 ) T y0
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E换成
E
1 2
换成
1
α换成
α(1+ )。
第六节 轴对称温度场平面热应力问题
下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问 题，对于该类问题，由于只存在位移分量 ，故可 直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a, b， 不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程
1 Fb0
3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
T
n0
T n
(1)
n0为沿等温面法线方 向的单位矢量。
温度梯度在各坐标轴的分量为:
(2)
4. 熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热 量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面 面积的热流速度称为热流密度，即
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
弹性力学基本方法
一、按应力求解平面问题；1、按应力求解平面问题的基本思路；（1）找到用应力表示的方程组（2）给出合适的应力边界条件，求解（3）根据物理方程求出（4）根据几何方程确定2、按应力求解平面问题的一般提法：平衡微分方程补充方程（平面应力）补充方程（平面应变）应力边界条件3、应力函数；；（记）按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数，它必须满足在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件，在多连体中，还必须满足位移单值条件。
二、按位移求解平面问题；1、按位移求解平面问题的基本思路；（1）寻求关于位移的方程组（2）根据求出位移分量（3）根据几何方程导出应变分量（4）根据物理方程导出应力分量2、按位移求解平面问题的一般提法基本方程用位移表示的应力边界条件（平面应力）（平面应变）位移边界条件三、逆解法；1、逆解法的基本思路；（1）设定各种形式的应力函数，要求：满足相容方程（2）求得应力分量（3）由应力边界条件（2-15）式和弹性体的边界形状找到应力分量对应的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。
四、半逆解法；￥￥￥1、半逆解法的基本思路；（1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；（2）推出应力函数的形式；（3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；（4）由应力函数求得应力分量；（5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）；（6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。
五、差分法；￥￥￥1、基本思想；是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。
其数学基础是泰勒公式。
1、基本公式；（1）二阶差分公式：（记）（记）（2）四阶差分公式（3）相容方程的差分格式（记）（4）边界条件的差分格式（记）六、位移变分法；￥￥￥1、基本思路；（1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；（2）使它们满足位移边界条件；（3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。