统计和统计案例(教师版)

高三 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）

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第一部分 基础知识梳理

1．随机抽样

(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．

(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；

③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1

组距.

(2)茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数

(2)方差：s 2＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．

标准差： s ＝

1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 4．独立性检验

对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是

则K 2

(χ2

)＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．

第二部分 考点解析

热点一 抽样方法

例1 (1)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14

(2)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．

思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例． 答案 (1)B (2)200

解析 (1)由840

42＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12.

(2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x ，所以

1603 200＝160－150

x

，所以x ＝200. 思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人

做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( )

A ．15

B ．16

C ．17

D ．18

(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A ．200,20

B ．100,20

C ．200,10

D ．100,10

答案 (1)C (2)A

解析 (1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C. (2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，

则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A. 热点二 用样本估计总体

例2 (1)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(

)

A ．6

B ．8

C ．12

D ．18

(2)PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲乙相等

D ．无法确定

思维启迪 (1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样

本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差． 答案 (1)C (2)A

解析 (1)志愿者的总人数为

20

(0.16＋0.24)×1

＝50，

所以第三组人数为50×0.36＝18，

甲 乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 7

7

0.09

2

4 6