建筑力学 第十三章 压杆稳定
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学35%（2）材料力学65%轴向拉伸与压缩25%剪切和挤压20%平面弯曲15%压杆稳定5%●题型比例选择题40%填空题20%计算题40%●试卷难易比例容易题60%中等题30%较难题10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C 、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D 、此三个力必定互相平行 第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A 、作用线都在同一平面内，且汇交于一点 B 、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点 C 、作用线不在同一平面内，且汇交于一点 D 、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
压杆稳定—提高压杆稳定性的措施(建筑力学)
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
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压杆受压力时弯曲的原因在于：
（1）杆本身不可能绝对地直；
（2）杆的材质不可能绝对地均匀；
F
（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发 生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状 态下工作的。
可以用下列模型来说明稳定问题的关键：
在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值 时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳 定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：
w Asinπ x l
注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为 w sin π x
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
(a)
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近 似微分方程为
EIw M x Fcrw (a)
(b)
令 k 2 Fcr ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 EI
工程力学上册15压杆稳定
压杆的稳定性直接关系到这些结构物的安全性和可靠性，一旦发生失稳，可能会导致结构物的破坏和倒塌，造成严重的人员伤亡和财产损失。
因此，对压杆稳定性的研究和分析是工程力学中非常重要的一个方面，也是工程设计和安全评估的重要依据。
压杆稳定的重要性
02
压杆的分类与特性
总结词
长细比是描述压杆细长程度的重要参数，对临界力的影响显著。
工程力学上册15压杆稳定
目录
压杆稳定概述 压杆的分类与特性 压杆稳定的影响因素 压杆稳定的计算方法 压杆稳定的实验研究 工程实例分析
01
压杆稳定概述
01
02
压杆稳定的定义
当压杆受到的力小于其临界力时，压杆保持稳定平衡；当压杆受到的力大于其临界力时，压杆将发生屈曲失稳。
压杆稳定是指压杆在受到外力作用时，能够保持其原有平衡状态的能力。
03
压杆稳定的影响因素
压杆在制造过程中可能会产生弯曲，这种弯曲在受力时会进一步发展，导致压杆失稳。
为了提高压杆的稳定性，应尽量减小初始弯曲，可以通过提高制造精度和选用合适的材料来实现。
初始弯曲的影响
减小初始弯曲
初始弯曲
材料在加工过程中会形成残余应力，这些应力会在受力时对压杆的稳定性产生影响。
残余应力
结论应用
将实验结论应用于实际工程中，指导压杆结构的合理设计和应用。
实验结果与分析
06
工程实例分析
桥梁结构的压杆稳定分析
总结词：桥梁结构的压杆稳定分析是确保桥梁安全的重要环节，需要考虑多种因素，如材料特性、载荷分布和支撑条件等。
高层建筑的压杆稳定分析
总结词：高层建筑的压杆稳定分析是确保高层建筑安全的重要环节，需要考虑多种因素，如建筑高度、材料特性、风载荷和地震载荷等。
建筑力学压杆稳定课件
E c 0.57 s
0.43，
E c 0.57 s
对Q235钢：
s 235MP ， a
cr 235 0.00668 2
c 123
(MPa)
第10章 压杆稳定 2、临界应力总图
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
第10章 压杆稳定
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。
压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界荷载（Critical loads）。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然 弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象 也称为 屈曲。
第10章 压杆稳定
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的 平衡时所对应的轴向压力， 称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示
上述说明有、无扫地杆的脚手架搭设是完 全不同的情况，在施工过程中要注意这一 类问题。
cr1 cr 2 196.5 37.94 100% 80.6% cr1 196.5
第10章 压杆稳定
10.3 压杆的稳定计算
一、安全系数法 压杆稳定条件为：
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l
i
0.7 1800 79.85 ＜ 15.78
c 123
2
所以压杆为中粗杆，其临界应力为
cr1 240 0.00682 196.5MPa
（2）第二种情况的临界应力 一端固定一端自由 因此 μ=2 计算杆 长l=1.8m
第10章 压杆稳定
i
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
欧拉公式的适用范围
1、临界应力（ critical stress ）和柔度
建筑力学(第二版)第1章至第13章知识点节选
绪论部分荷载：直接施加在结构上的力，在工程上统称荷载。
结构：在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分。
构件：组成结构的每一个部分。
平衡状态：建筑的结构及组成结构的各构件，都相对于地面保持着静止状态，这种状态在工程上称为平衡状态。
要保证构件的正常工作，必须同时满足三个要求：1）在荷载作用下构件不发生破坏，即应具有足够的强度2）在荷载作用下构件所产生的变形在工程的允许范围内，即应具有足够的刚度3）承受荷载作用时，构件在其原有形状下应保持稳定，即应具有足够的稳定性※构件的强度、刚度和稳定性统称为构件的承载能力建筑力学的任务是：研究和分析作用在结构（或构件）上力与平衡的关系，结构（或构件）的内力、应力、变形的计算方法以及构件的强度、刚度与稳定条件，为保证结构（或构件）既安全可靠又经济合理提供计算理论依据。
杆系结构：由杆件组成的结构。
建筑力学：是由研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学。
第一章静力学的基本概念力的定义：力是物体间的相互机械运动。
用一个带有箭头的有向线段来表示一个力（注意作用点的位置）物体在受到力的作用后，产生的效应可以分成两种：外效应，也称为运动效应，使物体的运动状态发生改变。
内效应，也称为变形效应，使物体的形状发生变化。
力的三要素：大小、方向、作用点力的大小反应物体之间的相互机械作用的强弱程度力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向力的作用点是指力在物体的作用位置当接触面面积很小时，则可以将微小面积抽象为一个点，这个点称为力的作用点。
该作用力称为集中力；反之，如果接触面积较大而不能忽略时，则力在整个接触面上分布作用，此时的作用力称为分布力。
分布力的大小用单位面积上的力的大小来度量，称为荷载集度。
力是矢量，记作F刚体：在外力的作用下，不发生形变的物体。
平衡：在外力作用下，物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，我们就称物体在外力作用下保持平衡。
力系分类汇交力系：力系中各力作用线汇交于一点力偶系：力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成平行力系：力系中各力作用线相互平行一般力系：力系中各力作用线既不完全交于一点，也不完全相互平行等效力系：若某一力系对物体产生的效应，可以用另一个力系来代替，则这两个力系称为等效力系。
7-3压杆稳定计算-精选文档
5m
7m
9m
d
2 2 9 E ( 200 × 10 ) = = 99 . 35 6 p= 200 × 10 P
c > p
属于大柔度杆 （a） （b） (c)
故用欧拉公式计算临界压力
2 EI Fcr 3136 KN 2 = ( l )
例2 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆
σ σ
∴ σcr ≤σp
2E 有 p = p
或
E p
2
3、对λ<λp的压杆，不能用欧拉公 式，可用后面介绍的经验公式.
第三节
欧拉公式的适用范围
经验公式
三、经验公式 （1） 三类不同的压杆
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲,失稳 λ> λp 中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲，失稳 λs < λ <λp 或 σp < σcr < σs
例1:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图示。圆杆材料为
Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求： 1.哪一根压杆易丧失稳定？ 2.三杆中最大的临界压力值。
解： 压杆的柔度越大，临界压力 越小，越容易失稳。 1.计算柔度
4 I d × 4 d i= = 2 = A 64 × d 4 l 1 5 杆a: 1 2 5 2 i 4 1 0 l 0 . 7 7 杆b: 1 2 2 . 5 2 i 4 1 0 l 0 . 5 9 杆c: 1 1 2 . 5 2 i 4 1 0
粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服 λ <λs 或
σs < σcr
第四节
压杆的稳定性计算
建筑力学压杆稳定课件
由此可以计算压杆在保证稳定的前提下，能承受的最大轴压力，又称为压杆的临界荷载 或容许荷载。当施加的压力小于容许荷载时，构件不会发生失稳破坏，反之，构件将发生失
稳破坏。对于此类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系 数 ，再按照上式进行计算。
建筑力学压杆稳定
3. 对压杆进行截面设计
建筑力学压杆稳定
• 应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面的问题计 算：
• 1. 稳定校核 • 已知压杆的截面形状和尺寸，杆件长度及支承条件
，杆件的轴心压力，根据公式（9－16）即可以验证 压杆是否会发生失稳破坏，即验证其稳定性。
建筑力学压杆稳定
例 9－4 如图 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢，直径
立，由此可得的适用条件为：
cr
2E 2
p
令
p
2E p
则
p
（9－7） （9－8）
式(9-8)是欧拉公式适用范围的柔度表达形式，表明只有当压杆的实际柔度 p 时，才能
用欧拉公式来计算其临界应力和临界力。显然， p 是应用欧拉公式的最小柔度。压杆的实
际柔度 λ 随压杆的几何形状尺寸和杆端约束条件变化，但 p 是仅由材料性质确定的值。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
建筑力学压杆稳定
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
建筑力学压杆稳定
第二节 临界力和临界应力 1、影响临界力的因素 实践表明，影响细长压杆临界力的主要因素是材料的特性、截面几何形状和杆件的长度， 以及压杆两端的约束条件。 （1）材料的特性 对于两个截面几何形状及杆件长度相同的木杆和钢杆，受轴向压力 作用，木杆会先失稳，即木杆的临界力比钢杆的小，说明弹性模量 E 小的材料，其临界力也 小。 （2）截面几何形状 当截面尺寸相同，而截面形状不同时，其临界力也会不相同。影 响临界力的截面参数是截面惯性矩，惯性矩越大，杆件就越不容易失稳，说明截面的惯性矩 大，临界力也大。 （3）杆件的长度 其他条件相同时，长杆比短杆更易失去稳定，故临界力要小些。 （4）压杆两端的约束条件 对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承 载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。当其他条件相 同时，一端固定、而一端铰支的压杆比两端铰支的更不容易失稳，说明两端支承越牢固，压 杆的临界力就越大。
压杆稳定—压杆稳定的概念(建筑力学)
二、压杆稳定概念
压杆稳定
当FP值超过某一值Fcr时，撤除干扰后，杆不能恢复到原来 的直线形状，只能在一定弯曲变形下平衡（图ｄ），甚至折 断，此时称杆的原有直线状态的平衡为不稳定平衡。
由此可知，压杆的直线平衡状态是否稳定，与压力FP的大 小有关。
压杆稳定
当压力FP逐渐增大至某一特定值Fcr时，压杆将从稳定平 衡过渡到不稳定平衡，此时称为临界状态。 压力Fcr称为压杆的临界力。 当外力达到压杆的临界力值时，压杆即开始丧失稳定。
压杆稳定
第一节 压杆稳定概念
一、稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆，
σb=20MPa；A＝10mm×30mm
短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm F
若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载
能力均应为：
F
F =σbA=6kN
F
1m 30mm
F
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约 为6kN时，因木纹出现裂纹而 破坏。
（2）长杆在压力增加到约40N 时突然弯向一侧，继续增大压力 ，弯曲迅速增大，杆随即折断。
F
1m
F
30mm
F
F
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同
• 短压杆的破坏属于强 度问题；
F• 长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡
状态的问题
F
F
1m 30mm
F
压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态 的能力。
压杆稳定
压杆稳定
学习目标：
1.深刻理解压杆稳定的概念，理解临界力和柔度的概念。 2. 理解杆端约束对临界力的影响，了解压杆的分类和临界 应力总图。 3.掌握压杆临界力、临界应力的计算。 4.掌握压杆的稳定计算以及提高压杆稳定性的措施。
工程力学精品课程压杆稳定.ppt
F
b y
解：(a) 判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形， 杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：
l
h
z
y
因为
h z
b
Iy Iz
所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲
(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆
1
(c) 计算临界压力。由欧拉公式
所以可用欧拉公式
d
A
1 d 2
4
4
l 4l 120
i
d
(b) 判别压杆的性质。
1
2 E 102 p
1
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。
(c) 计算临界应力。
Pcr
cr
A
2E 2
A
269 kN
(d) 当l1=0.75l时，计算压杆的柔度，判别压杆的性质。
0.75120 90
2
a s
解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。
二。临界压力的欧拉公式
1 两端铰支压杆的临界压力
y
P
xv
l
v xP
P
M x
P
压杆距支座x处截面上的弯矩是
M Pv
代入挠曲线的近似微分方程
d 2v dx2
M EI
Pv EI
令： k 2 P
则有:
EI
d 2v k2v 0 dx 2
以上微分方程的通解是
z b
y
y
x z
h
解：(a) 求在xz平面内弯曲时的柔度。
iy
Iy A
1 hb3
12
hb
b 12
y
1l
建筑力学(13)1
与剪力成正比，与螺栓杆横截面面积成反比 与剪力成反比，与螺栓杆横截面面积成正比 物体受五个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是( ) 四边形 六边形的空心圆轴，则横截面的抗扭截面系数Wt 为 (D3-d3)(D3-D d 4)、图示受拉直杆，其中AB段与BC段内的轴力及应力关系为__________。
A：BCABNN=BCABσσ=B：BCABNN=BCABσσ>C：BCABNN=BCABσσ<2、图示结构，其中AD杆发生的变形为______。
A 、弯曲变形B、压缩变形C、弯曲与压缩的组合变形D、弯曲与拉伸的组合变形4、图示圆截面悬臂梁，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正应力是原来的________倍。
A：81B：8C：2 D：215、横截面上最大弯曲拉应力等于压应力的条件是_________________。
A：梁材料的拉、压强度相等B：截面形状对称于中性轴C：同时满足以上两条6、面汇交四个力作出如下图所示力多边形，表示力系平衡的是______________。
、两梁的横截面上最大正应力相等的条件是_____________。
A：maxM与横截面积相等B：maxM与minW（抗弯截面系数）相等C：maxM与minW相等，且材料相等2、圆轴扭转剪应力。
A、与扭矩和极惯性矩都成正比。
B、与扭矩成反比，与极惯性矩成正比。
C、与扭矩成正比，与极惯性矩成反比。
D、与扭矩和极惯性矩都成反比。
3、插销穿过水平放置的平板上的圆孔，在其下端受有拉力P。
则插销的剪切面积和挤压面积分别等于。
1. 关于力对点之矩的说法，（）是错误的。
（A）力对点之矩与力的大小和方向有关，而与矩心位置无关（B）力对点之矩不会因为力矢沿其作用线移动而改变（C）力的数值为零、或力的作用线通过矩心时，力矩均为零（D）互相平衡的两个力，对同一点之矩的代数和等于零1、平面 2. 两根拉杆的材料、横截面积和受力均相同，而一杆的长度为另一杆长度的两倍。
建筑力学实验报告
建筑力学实验报告组长：韩学舟组员：骆麒元，刘冬，曹宁苏我们本次实验的主题是压杆稳定，实验的主要步骤是利用一张纸制作6个压杆，实验的目的是为了研究什么样的压杆最稳定。
能受最大的力。
根据实验要求，我们小组设计了3种实验方案，并进行了尝试，我们最先尝试的是直接拒6张纸成6个圆柱，因为圆柱明显优于三棱柱以及其他多边形棱柱，且容易操作。
由于是第一次实践，我们的每一个制作都很小心。
很快，6个圆柱就做好了，完美将6个圆柱平稳的放在桌子上，保持平衡，接着开始放书，第一本书房上去要注意受力点，刚开始放书十分小心，很快就放上去了。
十本左右。
感觉越放越稳，放到了将近20本力学书的重量时，纸的中间部分明显出现了失稳，由于第一次实验，我们没有意识到，一瞬间就倒了，不过，第一次休息了一会，我们在思考如何放更多的书，设计出新的方案，毕竟方才的方案过于简单，且没有创新，而且只能通过20本力学书的重量实在令我们难以满意。
通过大家的智慧，我们又研究了第二种方案，那就是用3张纸做成圆柱，另外再用3张纸做成3个小圆柱，有点像钢管，根据钢管的原理，相信应该能够承受更大的力，有了想法，就开始动手，由于操作并不复杂，纸很快就做好了。
我们小心翼翼的把它放到桌子上，保持柱子稳定，然后放书，和第一次一样，刚开始放要小心一点，注意书摆放的角度，3个圆柱形成的呈三角状摆放方式，很快又放到了将近10本力学书的重量时，我们观察了圆柱，依然没有失稳，圆柱依然保持原样，我们放了心，继续做，放到了20本力学书的重量时，圆柱有点失稳，再加了几本，果然又像第一次那样，瞬间倒下，看来第二种方案并没有达到我们预期的效果。
接着我们再一次展开了讨论，这次我们决定不再使用常规的方案，我们决定一定要做与众不同的圆柱。
于是我们开始思考如何创新，但是创新不容易，我们思考了很久，就在大家都一筹莫展的时候，韩学舟突然说到，在圆柱里面加一个，能够撑住圆柱的东西，可是用什么呢，我们又思索了很久，决定用一张纸折一个拥有5个棱的特殊“*“形，想依靠它让外围的圆柱在承受时不至于迅速失稳，大家都认为这是很好的主意，于是开始操作了，由于操作并不复杂，我们忙活了一阵，就完成了，这种圆柱我们相信它应该能承受很大的压力，我们开始小心翼翼地放书，又是放到了将近20本力学书的重量时，圆柱失稳，倒下了、三种方案经过试验，感觉承受的力都是差不多，我们很犹豫，该用什么方案，参加比赛，最后经过商议，一致决定为了为了创新，敢于尝试，决定用第3种方案。
建筑力学第十三章 压杆稳定
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建筑力学
2）折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采 用折减系数法。即将材料的压缩许用应力[ ]乘上 一个小于1的折减系数 作为压杆的许用临界应力， 即：
[cr] = []； < 1，称为折减系数
按折减系数法进行压杆的稳定计算，其稳定条 件为
F A
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建筑力学
解：(a) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
Pcr
2EI 2EI
2 2a
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
Pcr
2EI
2a 2
3Ed 4
128a 2
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建筑力学
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
2EI
Pcr a 2 故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax
2 3Ed4
2 Pcr 64a 2
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建筑力学
13.3压杆稳定的临界应力
1 临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
令 l
i
2
则 E cr
2
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①两个不相等的实根 r1、r2 通解 y C1er1 x C2er2 x
②两个相等的实根 r1 r2 通解 y （C1 C2 x）er1 x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解 y e x (C1 cos x C2 sin x)
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11-压杆稳定
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
y
Fcr
2IminE (1l)2
2 4.17 200
(0.7 0.5)2
67.14kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6)
等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Fcr
2Im (2l
i)n2E
l 2l l 0.5l
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2Leabharlann lEI2Pcr
(0.27El)I2Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr
2EI
(2l ) 2
长度系数μ μ=1 μ0.7 μ=0.5 μ=2
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
Fcr
4 2EI
L2
2EI
(L / 2)2
= 0.5
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
l l 0.7 l l 0.5 l
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程
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受干扰前杆的直线形状的平衡状态称为临界平衡状态，压
力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态，因为此时
杆一经干扰后就不能维持原有直线形状的平衡状态了。 压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态,这种现象称
为丧失稳定性，简称失稳。
（3）压力F超过Fcr后
杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在 各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的μ应取较大的值， 即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。
由已知条件，钢压杆在xy平面内的杆端约束为两端铰支， μ=1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一端固定，μ=0.7。故 失稳将发生在xy平面内，应取μ=1进行计算。 临界力为
2
2 10 109 597.3 104 1012
1 3
2
N
655 102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发 生失稳。
F<Fcr
变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到
原来的直线形状的平衡状态。
压杆原有直线形状的平衡状态称为稳 定的平衡状态。
（2）压力F增至某一极限值Fcr时
给杆一微小的横向干扰，使杆发
F=Fcr
生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，
杆不再恢复到原来直线形状的平衡状
态，而是仍处于微弯形状的平衡状态。
O
【解】 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端 在各个方向的约束都相同（都是铰支）。因为临界力是 使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以公式中的I应 取Imin。由图知，Imin 104 mm4
O
故临界力为
Fcr
π 2 EI y ( l )
压杆稳定
一、压杆稳定的概念 二、细长压杆的临界力 三、压杆的临界应力及三类不同柔度的压 杆
四、压杆稳定的实用计算
§13.1 压杆稳定的概念
在外力作用下的杆件，当应力达到屈服极限或 强度极限时，将发生塑性变形或断裂，这种破坏是 由于强度不足引起的。长度很小的受压短杆也有相 同的现象。
但是在工程中有些构件具有足够的强度和刚度， 却不一定能安全可靠地工作。
在1907年，加拿大长达548m的魁北克大桥在施工中突然倒塌， 就是由于两根受压杆件的失稳引起的。
在设计受压杆件时，除了进行强度计算外，还必 须进行稳定计算，以满足其稳定性方面的要求。
§13.2细长压杆的临界力
细长压杆的临界力的欧拉公式
各种杆端约束下细长压杆的临界力可用下面的统一
公式表示（推导从略）：
●粗短杆能承受3920N压力，细长杆只能承受 40N
压力。
●细长压杆丧失工作能力并不是由于其强度不够，而
是由于其突然产生显著的弯曲变形、轴线不能维持原有 直线形状的平衡状态所造成的。
●工程中把这种不能保持原有直线状态的平衡而突
然变弯的现象，称为失稳。
2. 压杆稳定的概念
压杆的稳定，实质上就是指压杆能保持其原有直 线平衡状态的能力 F<F
cr
cr
cr
cr
【例】 一长l=4m，直径d=100mm的细长钢压杆，支承情 况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为一端铰支、 一端固定。已知钢的弹性模量E=200GPa，求此压杆的临界力。
O
【解】钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一 形心轴的惯性矩都相同，均为
πd 4 π 1004 1012 m 4 I 64 64 0.049 10 4 m 4
cr
以三种情况来说明
F=Fcr
F>Fcr
采用中心受压直杆的力学模型，即将压杆看作轴 线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆； 把杆轴线存在的初曲率、压力作用线稍微偏离轴线 及材料不完全均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯 曲变形的微小的横向干扰。
（1）压力F不大时
给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲
F>Fcr
后造成弯折破坏。
3. 临界应力
Fcr cr A
式中：A——压杆的横截面面积。
●为了保证压杆能够安全地工作，应使压杆承受的压力或杆 的应力小于压杆的临界力Fcr或临界应力cr。因此，确定压杆的 临界力和临界应力是研究压杆稳定问题的核心内容。
4. 惨痛的例子
由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发 生的，所以往往造成严重的事故。
稳定性问题。
1. 一个简单的实验
钢板尺长为300mm，宽为20mm，厚为 1mm。 设钢的许用应力为=196MPa，则按轴向拉压
杆的强度条件，钢尺能够承受的轴向压力为 F=A=20×1×10-6m2×196×106Pa=3920N
若将钢尺竖立在桌面上，用手压其上端，则不到
40N的压力，钢尺就会突然变弯而失去承载能力。
π 2 EI Fcr ( μl) 2
上式通常称为欧拉公式。
式中的μ称为压杆的长度因数，它与杆端约束有关，
杆端约束越强，μ值越小；μl称为压杆的相当长度，它是
压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆 的挠曲线形状）所对应的杆长度。
四种典型细长压杆的临界力
cr
cr
cr
cr
四种典型细长压杆的临界力(续)
π 2 EI π 2 200109 0.049104 Fcr N 2 2 ( l ) 1 4 0.6 106 N 600kN
【例2】 有一两端铰支的细长木柱如图所示，己知柱长l=3m， 横截面为80mm×140mm的矩形，木材的弹性模量E=10GPa。 求此木柱的临界力。