圆切线及切线长定理

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专题24圆切线性质、切线长定理、三角形的内切圆,四边形的内切圆(解析版)-2020-2021学年

切线的性质1．如图，过⊙O 上一点A 作⊙O 的切线，交直径BC 的延长线与点D，连接AB，若∠B＝25°，则∠D 的度数为( )A．25°B．40°C．45°D．50°【答案】B【解析】【分析】连接OA．由圆周角定理求得∠DOA=50°，接下来，由切线的性质可证明∠OAD=90°，最后在△OAD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．【详解】解：连接OA．∵∠B=25°．∴∠DOA=2∠B=50°．∵AD是⊙的切线，∴∠OAD=90°．∴∠D=180°-90°-50°=40°．故选B．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．2．如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于（）A．40º B．50º C．80º D．100º【答案】C【解析】连接OD、OF；∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC；∴∠A=180°-∠DOF=80°，故选C．3．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】D【解析】【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )A．65°B．130°C．50°D．100°【答案】C试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．考点：切线的性质．5．如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】D【解析】分析：由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．详解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=12∠COD=45°，故选D．点睛：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．6．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是()A．23°B．44°C．46°D．57°【答案】B【解析】【分析】连接OC，由切线的性质可得∠OCD=90°，由圆周角定理可求得∠COD的度数，再由直角三角形两锐角互余即可连接OC ，如图，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD=90°，∵∠COD=2∠A=46°，∴∠D=90°﹣46°=44°，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.7．如图，PA .PB 分别与O 相切于A .B 两点，点C 为O 上一点，连接AC .BC ，若50P ∠=︒，则ACB ∠的度数为（）.A ．60︒；B ．75︒；C ．70︒；D ．65︒.【答案】D【解析】【分析】连接OA .OB ，由切线的性质可知90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和可求出AOB ∠的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知ACB ∠的度数.【详解】解：连接OA .OB ，∵PA .PB 分别与O 相切于A .B 两点，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴180********AOB P ∠=︒-∠=︒-︒=︒，【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.8．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°【答案】C【解析】【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，计算即可．【详解】连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°-40°=50°，故选C．【点睛】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACBA．28°B．30°C．31°D．32°【答案】C【解析】【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再利用互余计算出∠AOB=62°，然后根据圆周角定理得到∠ACB 的度数．【详解】解：连接OB，如图，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°-∠A=90°-28°=62°，∴∠ACB=12∠AOB=31°．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．1．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）【解析】试题分析：首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．如图，连接OC，AO，∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB，∵OA=5cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，AC==3cm，∴AB=2AC=6（cm）．故选C．考点: 1.切线的性质；2.勾股定理；3.垂径定理．2．如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延BC ，则P A的长为（）长线于点C，若O的半径为4，6A．4B．C．3D．2.5【答案】A【解析】【分析】连接OD，由已知易得△POD∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例可求得PO的长，由PA=PO-AO即可得.【详解】连接OD，∵PD与⊙O相切于点D，∴OD⊥PD，∴∠PDO=90°，∴∠PDO=∠PCB，∵∠P=∠P，∴△POD∽△PBC，∴PO：PB=OD：BC，即PO：（PO+4）=4：6，∴PO=8，∴PA=PO-OA=8-4=4，故选A.【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接OD构造相似三角形是解题的关键. 3．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3B．C．6D．9【答案】A【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6-3=3．故选A．4．如图，一把直尺，60︒的直角三角板和光盘如图摆放，A为60︒角与直尺交点，3AB=,则光盘的直径是( )A．3B．C．6D．【答案】D【解析】【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，∵AC、AB都与圆O相切，∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，∴∠CAO=∠BAO=60°，∴∠AOB=30°，在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，∴OA=6cm，根据勾股定理得：=则光盘的直径为，故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P 是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．√7B．2 √2﹣1C．2D．3√2【答案】C【解析】【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小. 【详解】解：如图，连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；由勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（4，0）、B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝√OA2+OB2=4√2，∴OP=12AB=12×4√2=2√2，∵OQ＝2，∴PQ＝√OP2−OQ2=√(2√2)2−22=2．故选C．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．6．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．3B．1C．9D．10【答案】C【解析】【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．【详解】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1，交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°．∵∠OP1B＝90°，∴OP1∥AC．∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP112=AC＝4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A ．133B ．92C ．3D ．【答案】A【解析】试题解析：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM 是⊙O 的切线，∴DN=DE=3，MN=MG ，∴CM=5-2-MN=3-MN ，在R t △DMC 中，DM 2=CD 2+CM 2，∴（3+NM ）2=（3-NM ）2+42，∴NM=43， ∴DM=3+43=133，故选B ．考点：1.切线的性质；3.矩形的性质．切线长定理∠的度数为（）1．如图，PA、PB是O的切线，AC是O的直径，62∠=，则BOCPA．60B．62C．31D．70【答案】B【解析】【分析】(1)根据切线长定理推出AP=BP,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=59°,求出∠BAC∠BOC即可.【详解】解:(1)PA,PB是⊙O的切线,∴AP=BP,∠P=62°,∴∠PAB=o o180-622=59°,AC是⊙O的直径,∴∠PAC=90°,∴∠BAC=90°-59°=31°，∴∠BOC=2∠BAC=62°，故选B.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,切线长定理,切线的性质,圆周角定理等知识点的应用,题型较好,综合性比较强,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若3PA=，则PB=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理即可得到答案.【详解】因为PA和PB与⊙O相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.3．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果60APB∠=，8PA=，那么弦AB的长是（）A ．4B．C ．8 D．【答案】C【解析】【分析】先利用切线长定理得到PA PB =，再利用60APB ∠=可判断APB 为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：PA ，PB 为O 的切线，PA PB ∴=，60APB ∠=，APB ∴为等边三角形，8AB PA ∴==．故选C ．【点睛】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．4．如图，,PA PB 切O 于,A B 两点，CD 切O 于点E ，交,PA PB 于,C D ．若PCD ∆的周长为3，则PA 的值为（）A ．32B ．23C ．12D ．34【答案】A【解析】利用切线长定理得出,,PA PB CA CE DE DB === ，然后再根据PCD ∆的周长即可求出PA 的长．【详解】∵,PA PB 切O 于,A B 两点，CD 切O 于点E ，交,PA PB 于,C D,,PA PB CA CE DE DB ∴===∴PCD ∆的周长为23PC CA PD DB PA +++== ∴32PA =故选：A ．【点睛】本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．5．如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，若∠A=70°，则∠BOC 的度数为（）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【解析】【分析】【详解】∵AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，∴∠B =∠C =90°，∠BOC =180°-∠A =110°．故选C ．6．如图，PA ，PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，则∠P 的度数是()A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】C【分析】根据切线的性质，结合已知条件可先求出∠BAP；再利用切线长定理、等边对等角可得到∠BAP=∠PBA，在△ABP 中，利用三角形内角和定理求出∠P的度数.【详解】∵PA是⊙O的切线，∴∠CAP=90︒，∵∠BAC=35︒，∴∠BAP=55︒，∵PA，PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠BAP=∠PBA=55︒，︒-︒-︒=70︒.∴∠P=1805555故选C.【点睛】本题考查切线长定理及其推论，圆的切线垂直于过切点的半径.1．如图，P A，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，过C的切线分别交P A，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（）A．2B．3C．4D．不能确定【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，由△PDE的周长为8得到AP=BP=4，连接AO，利用勾股定理即可求出AO，即可求解．【详解】连接OA．∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．∴△PDE的周长为2AP＝8∴AP＝4在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AO，∴⊙O的半径为3．故选B．【点睛】本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单．2．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB长为5，则该梯形的周长是()A．14B．12C．10D．9【答案】A【解析】根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14.故选A．3．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为()A．12B．6C．8D．4【答案】B【解析】【分析】由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB=12，则可求得答案．【详解】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴P A=PB，∵DE是O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，∴P A=6.故选B.【点睛】本题考查切线长定理.4．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．22【答案】C【解析】【详解】∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．【点睛】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB.5．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A ＝6，则△PCD的周长为（）A．8B．6C．12D．10【答案】C【解析】【分析】由切线长定理可求得P A＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【详解】∵P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝P A+AC+PD+BD＝P A+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得P A＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．三角形的内切圆1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100°B．130°C．50°D．65°【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内切圆得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，进一步求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB．∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．故选B．【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解答此题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）A．12（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c）C．13（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12ABr+12BCr+12ACr=12（AB+BC+AC）r =12（a+b+c）r ，故选：A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A．3步B．5步C．6步D．8步【答案】C【解析】17=，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径8151732r+-==(步)，即直径为6步，故选C4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F．若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6B．7C．12D．7√3【答案】A【解析】【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．【详解】连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，x=-6(舍去)∴BC=3，AC=4，×3×4=6，∴S△ABC=12故选A．【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECF是正方形是解题关键．5．已知，直角三角形两直角边分别为5和12，则其内切圆半径是（）A．6.5 B．6 C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，进行计算．【详解】根据勾股定理，得直角三角形的斜边是13.根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆的半径是2.故答案为：2.【点睛】考查勾股定理以及三角形内切圆半径的公式，熟练记忆公式是解题的关键.6．《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（）A．6步B．7步C．8步D．9步【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.【详解】根据勾股定理，得17=，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径8151732r+-==（步），即直径为6步，故答案为A.【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题.7．已知△ABC 的周长为14，面积为7，则△ABC 的内切圆半径为（）A ．0.5B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用圆的内切圆的性质，以及三角形的面积公式：三角形的面积=12×三角形的周长×内切圆的半径即可求解．【详解】解：设内切圆的半径是r ，则12×14r=7，解得：r=1．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及三角形的内切圆，理解三角形的面积12×三角形的周长×内切圆的半径是关键． 8．周长是48的直角三角形的三边a 、b 、c 的长满足3a b c b ++=，它的内切圆半径为（）。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

初中数学什么是切线长定理

初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。

下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。

1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。

2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。

如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。

-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。

切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。

然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。

希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。

圆的切线与切线定理

圆的切线与切线定理圆是几何学中的一个重要概念，它是由一个平面上到定点距离固定的点所构成的集合。

而切线则是与圆相切且只有一个交点的直线。

一、圆的定义和基本性质圆的定义：圆是平面上到一个定点距离恒定的所有点的轨迹。

圆上的元素：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，用O表示。

2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，用r表示。

3. 弧：圆上两点间的线段称为弧。

4. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。

圆的基本性质：1. 半径相等：圆上任意两条半径的长度相等。

2. 弧度：圆心角所对应的弧长与半径的比值称为弧度。

一个圆的弧度为2π。

3. 切点：切线与圆相切的点称为切点。

4. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。

二、切线的性质及计算方法切线的性质：1. 切线与半径垂直：切线与通过切点的半径垂直相交。

2. 切线与半径的夹角为直角：切线与通过切点的半径所夹的角为直角。

3. 切线长度的计算：可以利用直角三角形的勾股定理来计算切线的长度。

假设半径为r，切线与半径的夹角为θ，则切线的长度l可以通过以下公式计算：l = r * cosθ切线定理：切线定理是指当一条直线与圆相交时，与切点相连的线段与切线上圆外的部分成等角。

推论一：切线的切点连线垂直于圆的半径设AB为圆的直径，CD是AB上一点，CD与圆交于点E，连接OE。

根据切线和切点的定义，线段EO即为切线，OE与AB互相垂直，且E、O、C三点共线。

推论二：与切线垂直的半径为切线的切点连线设CD为切线与圆相交的切点，CE连接圆心O，OE与切线垂直。

由推论一可知，OE即为半径，且OE与CD垂直。

三、圆的切线的应用圆的切线具有广泛的应用，在几何学、物理学及工程学中都有重要意义。

1. 几何学：在几何学中，切线可以帮助我们计算圆的切点、切线的长度等重要参数。

切线定理可以用于证明一些几何关系和性质，例如圆锥曲线的性质、圆内接正多边形的性质等。

2. 物理学：在物理学中，切线可以帮助我们分析物体在曲线上的运动轨迹。

圆的切线长定理及其推论

圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。

本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。

二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。

证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。

设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²解得：b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b，可得直线长度为：l=√(1+k²)由此可得切线的长度为：2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。

三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论：推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。

证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程，得到：(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点，所以判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心，即切线的长度为0，所以有：b=0解得：k=0即斜率为0，即直线垂直于x轴，即直线过圆的直径中点。

最新圆知识点：切线长定理

切线长切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA=PBPO 平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC 的度数；（2）当OA=2时，求AB 的长．例2、如图PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 是⊙O 上一点，若∠APB ＝40°，求∠ACB 的度数。

例3．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA=5cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，求△PED 的周长是多少？例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固1．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（）11A．5 B．6 C．30D．22如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为（）A．6 B．9 C．12 D．143 如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（）A．15cm B．20cm C．30cm D．60cm4 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（）A ．70° B．90° C．60° D．45°5如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70° 6 、已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD ；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（） A 1 B 2 C 3 D 4(5) (6)7、以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（）A 12B 13C 14D 158、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（） A23 B 2 C 25 D 59、正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（）A ．12B ．24C ．8D ．610、如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么 2BC CNBM 的值等于（） A81 B 41 C 21 D 111如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ，若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ＿，△PMN 的面积是＿13、由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE，BE，下列四个结论：（1）BE=DE；（2）∠FDE=∠EDB；（3）DE∥BE；（4）BD2=2AD•FC．其中正确的结论有14、如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．求证：①DE∥OF；②AB+CD=BC；④AD2=4AB•DC．。

切线长定理

∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
A
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
D
F
I
┐
B
E
内心性质：三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
C
填一填：
名称
外心：三角形外接圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
B
A
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分
切线长定理
一切线长的定义
1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切
线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
A
O P
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
二切线长定理
思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点
C
第4题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如
图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
A
拓展提升：
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：

初中数学圆的切线与切圆知识点总结

初中数学圆的切线与切圆知识点总结圆是初中数学中常见的几何图形之一，而圆的切线与切圆也是初中数学中的重要知识点。

接下来，我们将对初中数学中关于圆的切线和切圆的知识点做一个总结。

一、圆的切线切线是圆上一点到该点处圆周的切线，也是与圆只有一个交点的直线。

切线有以下几个重要性质：1. 切线与半径的垂直性：切线与圆的半径相交处呈垂直关系，即切点处的切线垂直于过切点的半径。

2. 切线的长度：切线与圆的半径相交处形成直角三角形，根据勾股定理，切线的平方等于半径的平方与切线段的乘积。

3. 切线之间的关系：若两条切线分别与圆相交于点A和点B，则切线上的两个切点与圆心所连接的线段AB平行。

二、切线的性质与定理1. 切线定理：若直线L与圆相交于点A和点B，且点A处的线段AB的端点B在圆上，则直线L为圆的切线。

2. 弦切角定理：若弦AB与切线CD相交于点E，则角BED为弦切角，角BED的角度等于弦AB的对应弧的一半。

3. 切线与半径之间的关系定理：若切线与圆的半径相交于点A，则线段OA的平方等于切线上的切点与该切点处半径的乘积。

三、切圆切圆是指一个圆与另一个圆外切于一个点的情况。

切圆有以下几个重要性质：1. 切圆的切点：切圆的切点即两个圆外切点的连线与两个圆的切点连线重合。

2. 切线关系：两个相切的圆的切点处的切线重合。

3. 切圆的切线长度：两个相切的圆的切线长度相等。

四、切圆的性质与定理1. 切圆外切定理：若两个圆相切于点A，则过该切点的直线为两个圆的外公切线。

2. 切圆公切线定理：若两个圆外切于点A，并且直线L与两个圆相交于点B和点C，则过点B和点C的直线为两个圆的公切线。

3. 切圆的切线垂直关系：两个切圆的切线相交于切点处且垂直。

总结：通过以上的总结，我们了解了初中数学中与圆的切线与切圆相关的知识点。

理解并掌握这些知识，可以帮助我们解决与圆相关的几何问题，在解题过程中更加灵活和准确。

如果对这些知识点还不够熟悉，建议多进行相关题目的练习，加深对这些知识的理解和应用能力。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB .相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB . 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

切线长、三角形内切圆、弦切角定理

D
分析：
DC AO OC AD DE = = = = PC OP OP AP BP
C
E A O B P
方法二：
DC DE DA = PC2 PB PA DE DA = PB PA
2
DC DE = PC PB
（总复习P197例6）总复习例）

（三）习题：P211A组 5、7、15、16 、28；习题：组、、、； P213 B组2、5、10、 12、14、15、20、21、23 组、、、、、、、、（四）小结 1、要注重切线长定理、三角形内切圆等知识在证明、计算中的应用。、要注重切线长定理、三角形内切圆等知识在证明、计算中的应用。 2、证明三点共线常用两线重合、相邻两角互补等方法。、证明三点共线常用两线重合、相邻两角互补等方法。 3、在求证等积式比例式的习题中，比的传递往往是关键：、在求证等积式比例式的习题中，比的传递往往是关键：比的传递常用的方法：平行传递；三角形相似传递；合比、比的传递常用的方法：平行传递；三角形相似传递；合比、等比后传递；平方后传递；变等积式传递；交叉满足等。传递；平方后传递；变等积式传递；交叉满足等。
任意一个三角形有且仅有一个内切圆内切圆的圆心是三角形三个交的平分线的交点此点称为三角形的内心
切线长定理、三角形内切圆、切线长定理、三角形内切圆、弦切角定理
（一）基本定理
1、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形对边和相等。、圆外切四边形的性质：圆外切四边形对边和相等。 3、三角形内切圆: 任意一个三角形有且仅有一个内切圆，内切圆的圆心、三角形内切圆任意一个三角形有且仅有一个内切圆，是三角形三个交的平分线的交点，是三角形三个交的平分线的交点，此点称为三角形的内心。内心。 4、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段定理已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连结 AC 、 BD ,证：于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。

解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。

圆的切线、切线长、线切角

圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线：1切线的判定：________________________________________________________2 .切线的性质： _________________________________【运用举例】、切线长定理1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：：PA PB 是0O 的切线，A 、B 是切点，二，PA=PB 【运用举例】例 1.在厶 ABC 中, AB=5cm BC=7cm AC=8cr ® O 与 BC ACAB 分别相切于 D 、E 、F ,则 AF= ________ , BD= _______ 、CF=____________________________例2.如图，已知CB 是。

O 的切线，C 是切点，0B 交。

O 于点D ，/ B = 30，BD = 6 cm,求BC例3、如图，PA 、PB 切。

0于点A 、B ,点C 是。

0上一点，且/ ACB=65°，求/ P 的度数.例2、如图，PA PB 是。

0的切线，切点分别是A 、B ,直线EF 也是。

0的切线，切点为Q,交PA PB 为E 、F 点，已知PA=12cm ，求△ PEF 的周长.例4、已知：如图AB 是。

0的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP 丄AB ，垂足为P ，直线QA 交。

0于点C 点，过C 点作。

0的切线交直线QP 于点D ，求证：△ CDQ 是等腰当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明例3、已知：如图，P 为。

0外一点，PA PB 为。

0的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC// 0P例4.如图，AB 、CD 分别与半圆0切于点A 、D , BC 切。

0于点E ,若AB = 4, CD = 9,求O O的半径。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

圆有关定理

3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）
图1
A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD= cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）
当∠DEF＝45°时，求证:点G为线段EF的中点；
图8
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）
A.20/3B.25/3C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（）
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P.
PA·PB＝PC·PD
连结AC、BD，C=B,A=D,所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·PB
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以
PT2＝PA·PB
切割线定理推论

切线长与圆与圆的位置关系

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1．概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的心里，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1）（2）图（1）中，设a b c ，，别离为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++；图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1）求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们别离以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 别离平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理之南宫帮珍创作以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不成以度量长度。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

圆切线及切线长定理

专题24圆切线性质、切线长定理、三角形的内切圆,四边形的内切圆(解析版)-2020-2021学年

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

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