《实际问题与二次函数》二次函数(商品利润最大问题)课件ppt
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九年级数学实际问题与二次函数(利润类)课件
格上涨
〔200-10x〕
x元(3，0+那x-么20销)(2售0量0-1为0x)
件，利润为
④假设价格每下降1元，销元售量增加20件，现
价格下降x元，那(2么0销0+售20量x)为
件，
利润为 (30-x-20)(200+20x) 元；
新知探究
某商品的进价为每件40元。现在的售价 是每件60元，每星期可卖出300件。场 调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，
3、关于销售问题的一些等量关系. 〔单件商品〕 利润=售价—进价 总利润=单件商品利润×销售量
新课小热身：
某商品本钱为20元，售价为30元，卖出200件，
那么利润为2000 元，
①假设价格上涨x元，那么利20润0〔为30+x-20〕
②假设价格下降x元，那么利20润0〔为30-x-20〕
③假设价格每上涨1元，销售量减少10件，现价
每星期要少卖出10件；每降价一元，每 星期可多卖出20件。如何定价才能使利 润最大？
解〔1〕涨价时：
设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60+x-40)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
y\元
=-10x2+100x+6000 6250
=-10(x2-10x-600) 6000 =-10［(x-5)2-25-600］
〔1〕〔3分〕求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 〔2〕〔3分〕求该公司销售 该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数 关系式． 〔3〕〔4分〕当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元 ？
课堂小结：
《实际问题与二次函数》PPT优秀教学课件1
第二十二章 二次函数
22．3 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
自主学习
知识点：销售中的最大利润 1．(长葛月考)服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)
件，若想获得最大利润，则x应定为( A )
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨
第函2数课(关3时系)设式最为每大y＝利月－润n问获2＋题得14n－的24利，则润该企为业w一年元中，应停由产的题月意份是得( ：)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2000，∵－2＜0； ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
C．135元 (2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
第2．2课 某销时产售品最进统货大单利计价润为问，9题元一，件按10工元一艺件出品售每时，降能售价出510元件．，若每则件每每涨天价1可元，多销售售量就出减4少件10件，，则要该使产品每能获天得的获最得大利的润为(
A )8．生利产润季节最性产大品，的企则业，每当件它的的产品售无价利润应时就定会为及时(停产．现)有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000，∵－2＜0；∴抛物线开口向下；∵对称轴x＝65；∴当x＜65 时，W随着x的增大而增大；∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值；W最大 值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.即当销售单价为每千克60元时，日获利最 大，最大获利为1950元
22．3 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
自主学习
知识点：销售中的最大利润 1．(长葛月考)服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)
件，若想获得最大利润，则x应定为( A )
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨
第函2数课(关3时系)设式最为每大y＝利月－润n问获2＋题得14n－的24利，则润该企为业w一年元中，应停由产的题月意份是得( ：)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2000，∵－2＜0； ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
C．135元 (2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
第2．2课 某销时产售品最进统货大单利计价润为问，9题元一，件按10工元一艺件出品售每时，降能售价出510元件．，若每则件每每涨天价1可元，多销售售量就出减4少件10件，，则要该使产品每能获天得的获最得大利的润为(
A )8．生利产润季节最性产大品，的企则业，每当件它的的产品售无价利润应时就定会为及时(停产．现)有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000，∵－2＜0；∴抛物线开口向下；∵对称轴x＝65；∴当x＜65 时，W随着x的增大而增大；∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值；W最大 值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.即当销售单价为每千克60元时，日获利最 大，最大获利为1950元
22.3 第2课时 二次函数与商品利润问题 课件(共20张PPT)
大家知道商家做这些广告的目的是什么吗？
如果你是商家，你该如何定价才能获得最大利润呢？
利润问题
一.几个量之间的关系.
1.总价、单价、数量的关系：总价=单价×数量
2.利润、售价、进价的关系：利润=售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润=单件利润×数量
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
小组讨论
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，那么销售单价应控制
在什么范围内？
(2)y=－5x²+800x－27 500=－5(x－80)²+4 500,其中x≥50,
∵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5<0,∴当x=80时，y 最大 =4 500,即销售单价为80元时，
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
(2)先来讨论涨价的情况.
①设每件涨价x元，你能否用含x的式子表示单件的利润和销售数量?
【题型】二次函数与商品利润问题
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以
自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件商
品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间的
函数解析式为(
B)
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
实际问题与二次函数(二)-商品利润最大问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每星期少卖_____
没调整价格之前的
(60+x)(300-10x)
(300-10x)
件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付
6000
利润是_____元.
40(300-10x)
(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方
式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加
7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家和其他费用100
元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现
在的销售情况Biblioteka 你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，
最大利润是6250元.
例1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件
需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
(2,-7)
2
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小
-7
值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)
没调整价格之前的
(60+x)(300-10x)
(300-10x)
件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付
6000
利润是_____元.
40(300-10x)
(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方
式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加
7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家和其他费用100
元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现
在的销售情况Biblioteka 你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，
最大利润是6250元.
例1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件
需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
(2,-7)
2
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小
-7
值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)
《实际问题与二次函数》(商品最大利润问题)
06
研究方法与展望
研究方法的优缺点分析
数学规划方法
数学规划是一种经典的优化方法，能够解决商品最大利润问题。优点是模型简单、易于理 解，缺点是求解速度较慢，且对某些复杂问题可能需要更多的计算资源。
人工智能方法
人工智能方法如神经网络、遗传算法等，能够自适应地求解问题。优点是求解速度较快， 缺点是模型复杂，不易于理解和调试。
构建二次函数模型
根据成本、售价和销量，利用二次函数构建 利润模型。
求最大利润
通过求导数，确定最大利润点，并求出最大 利润。
优化问题的提出与解决
• 优化问题：在商品利润问题中，如何调整售价、成本和销 量等因素，以最大化利润。
优化问题的提出与解决
解决步骤
1. 确定优化目标：明确要优化的目标，如最大化利润、最小化成本等。
混合方法
混合方法是将数学规划方法和人工智能方法结合起来，取长补短，综合利用各种方法的优 点。优点是求解速度快、精度高，缺点是需要更多的计算资源和时间。
研究方法在其他领域的应用前景
生产计划
在生产计划中，如何优化资源配置、提高生产效率是一个核心问题。商品最大利润问题可以转化为生产计划问题，因此研究方法在其他领域的应用前景广阔。
2. 分析影响因素：分析对利润产生影响的因素，如售价、成本、销量等 。
优化问题的提出与解决
3. 构建优化模型
根据影响因素和目标，构建优化模型。
4. 求解最优解
利用数学方法求解最优解，如求导数、使用优化算法等。
5. 实施优化方案
根据最优解调整售价、成本和销量等因素，以实现最大利润。
04
商品利润问题的实例分析
顶点
二次函数图像的最高点或最低点，其 坐标为(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题课件
即房价为180+170=350时，利润 y 有最大值。
分析题目的两个变量
解：设房租涨价10x元，则利润为y元，
y写 出(18函0 数10关x)系(50式 x) 20(50 x) (0 x 5写0)出等量关系
利润=房价×入住数量—支出
9000180x 500x 10x2 1000 20x
三、总结提升
实际问题
目 标
实际问题 的答案
归纳
二次函数
抽象
y ax2 bx c
图象 性质
利用二次函数的 图像和性质求解
变式1 原条件不变，旅游局为了促进低碳 环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房 价定为多少的时候，利润最大？
y (18010x)(50 x) 20(50 x) (0 x 10) y
本题是以文字信息情势出现，求最大 利润的实际应用问题，要抓住题目中的关 键词来审题，对信息进行梳理、分析 。
二、解题过程
问题一：题目研究的是哪两个变量的关系？ （利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出） 问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价 入住数量=涨10元空一间 支出=20 ×入住数量
x 设涨价 元，利润为 y 元.
y (180 x)(50 x ) 20(50 x ) 0 x 50
10
10
9000 1 x2 32x 1000 2x
1
10
x2 34x 8000
10
当 x b 34 170 时，利润y 有最大值。
2a 2 ( 1 ) 10
一、题目分析
四、自我评价
1、数学教育要使学生掌握现代生活和学习中 所需要的数学知识与技能。题目的解决体现 了知识对日常生活的重大作用，学生对数学 知识实用性的有更深一层认识。
九年级上册数学课件《二次函数与实际问题-最大利润》
注意：在实际问题中必须考虑自
变量的取值范围内是否包含顶点，
顶点是二次函数的最值，不一定
20 28 30
x
是实际问题的最值
变式
3、若销售单价不高于35元/千克，不低于 27元/千克，求销售利润最小值W？
当x=35时 ，W最小= 150
有时利用图象观察更简单
27 30
35 x
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系
如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每Βιβλιοθήκη 月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
∴
50k+b=60 70k+b=20
解得：
k =－2 b = 160
当由∵ww题==1﹣意502，时x 2有，+1可2得0x方﹣程16﹣002=x﹣22+（1x2﹣0x3﹣0）1620+02=010，50，
整∴理当，x得=3x02时﹣，6w0有x+最8大75值=200，0． 解得20≤x≤40．
解故得当x 1销=售25价，定x为2 3=03元5．/千克时，每天可获最大销售利润200元； ∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x 2 =35不合题意， 应舍去．
虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因 此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，是多少？
所以降价2.5元，应定价57.5元时，利润最大6125元
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大6250元。
归纳总结
利用二次函数解决最大利润问题的一般步骤：
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与商品利润PPT课件(人教版)
(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这 个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可 获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李 明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总 差价最少为多少元？
时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最
大销售利润是2500元
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租 出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚 收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( 46 )
解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承 担的总差价为300×(12－10)＝600(元)
(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000. ∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定 为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40， 结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时 ， w≥3000. 设 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 P 元 ， ∴ P ＝ (12 － 10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小， ∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月 为他承担的总差价最少为500元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的 时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)， y值越大，表示接受能力越强．
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可 获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李 明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总 差价最少为多少元？
时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最
大销售利润是2500元
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租 出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚 收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( 46 )
解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承 担的总差价为300×(12－10)＝600(元)
(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000. ∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定 为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40， 结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时 ， w≥3000. 设 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 P 元 ， ∴ P ＝ (12 － 10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小， ∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月 为他承担的总差价最少为500元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的 时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)， y值越大，表示接受能力越强．
九年级数学上册2实际问题与二次函数(利润问题)课件
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100
5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐标
的横坐标时，这个函数
有最大值。由公式可以
30
x \ 元 求出顶点的横坐标.
期少卖10x件，实际卖出(300-10x)件,每件利润为 (60+x-40) 元，
因此，所得利润为 （60+x-40）(300-10x)
元
怎样确定 x的取值
范围
y=(60+x-40)(300-10x)
即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以这样求极值
某商品现在的售价为每件60元，每 星期可卖出300件，市场调查反应： 每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出20件， 已知商品的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y
也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1） 的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实 际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因 此，得利润
b=(300+20a)(60-40-a)
最新人教版初中数学九年级上册《实际问题与二次函数(第2课时商品销售最大利润问题)》优质教学课件
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
模型，相信所有的题目都万变不
离其宗。
谢谢聆
听
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
当 =−
=
时，二次函数
−
.
= + + 有最小（大）值
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
人教版九年级数学上册 《实际问题与二次函数》二次函数PPT(商品利润最大问题)
人教版九年级数学上册 《实际问题与二次函数》二次函数PPT(商品利润 最大问题)
科 目：数学
适用版本：人教版
适用范围：【教师教学】
ห้องสมุดไป่ตู้际问题与二次函数
商品利润最大问题
第一页，共十七页。
学习目标
1 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题； 2 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
第八页，共十七页。
典型例题
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的
取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-18x2+60x+6000，
当
x
60 2 (18)
5
3 时,
y 18 (5)2 60 5 6000 6050.
第二页，共十七页。
自主学习
自主学习任务：阅读课本 50页，掌握下列知识要点。
1、商品销售过程中的最大利润问题 2、商品销售问题中的数量关系
第三页，共十七页。
自主学习反馈
1、某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件童装降价4元， 那么平均每天就可以多售出4件．则每件童装应降价 元时，每天能获得最大15利润. 2、某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树， 平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增 棵苹果树，所结苹果的总数最多. 3、将进货单价为80元的某种商品按零售价100元每个售出时，每天能卖5出20个，若这种商品 的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个，为了获得最大利润，应降价 元．
科 目：数学
适用版本：人教版
适用范围：【教师教学】
ห้องสมุดไป่ตู้际问题与二次函数
商品利润最大问题
第一页，共十七页。
学习目标
1 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题； 2 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
第八页，共十七页。
典型例题
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的
取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-18x2+60x+6000，
当
x
60 2 (18)
5
3 时,
y 18 (5)2 60 5 6000 6050.
第二页，共十七页。
自主学习
自主学习任务：阅读课本 50页，掌握下列知识要点。
1、商品销售过程中的最大利润问题 2、商品销售问题中的数量关系
第三页，共十七页。
自主学习反馈
1、某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件童装降价4元， 那么平均每天就可以多售出4件．则每件童装应降价 元时，每天能获得最大15利润. 2、某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树， 平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增 棵苹果树，所结苹果的总数最多. 3、将进货单价为80元的某种商品按零售价100元每个售出时，每天能卖5出20个，若这种商品 的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个，为了获得最大利润，应降价 元．
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y=-10x2+100x+6000，
当
x
100 2 (10)
5
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
典型例题
例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每
涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价
3
3
即定价57.5元时，最大利润是6050元.
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。
知识小结
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大 利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
某商店销售一种进价为50元/件的商品， 当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经 调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一 天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x 元/件（x是正整数），销售该商品一天的利 润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为 y=-10x2+100x+2000．（不写出x的取值范围）
随堂检测
3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每
件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售 涨价销售
20 20+x
300 300-10x
6何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售 降价销售
20
300
6000
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
分层教学
做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
A组
B组
某服装店购进单价为15元童装若
某商店销售一种进价为50元/件的商品，
干件，销售一段时间后发现：当销售 当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经
价为25元时平均每天能售出8件，而 调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一
当销售价每降低2元，平均每天能多 天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x
课堂探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40 元，则每星期销售额是 6000 元，销售利润 18000 元.
数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
典型例题
例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1
实际问题与二次函数
商品利润最大问题
学习目标 1 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题； 2 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
自主学习
自主学习任务：阅读课本 50页，掌握下列知识要点。
1、商品销售过程中的最大利润问题 2、商品销售问题中的数量关系
自主学习反馈
1、某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件 童装降价4元，那么平均每天就可以多售出4件．则每件童装应降价 15 元时，每天 能获得最大利润. 2、某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园 里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增 5 棵苹果树，所结苹 果的总数最多. 3、将进货单价为80元的某种商品按零售价100元每个售出时，每天能卖出20个，若 这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个，为了获得最大 利润，应降价 5 元．
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随堂检测
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 25 元. 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减 少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式 为 y=2000-5(x-100) . 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式 为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上关系式只列式不化简）.
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
典型例题
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
售出4件，当每件的定价为_____元时， 元/件（x是正整数），销售该商品一天的利
该服装店平均每天的销售利润最大． 润为y元，那么y与x的函数关系的表达式
为
．（不写出x的取值范围）
解析一览
做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
A组
B组
某服装店购进单价为15元童装若 干件，销售一段时间后发现：当销售 价为25元时平均每天能售出8件，而 当销售价每降低2元，平均每天能多 售出4件，当每件的定价为22元时， 该服装店平均每天的销售利润最大．
典型例题
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x
≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-18x2+60x+6000，
当
x
60 2 (18)
5 3
时,
y 18 (5)2 60 5 6000 6050.