高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南

SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY

第一章 自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1. ()

3lim

sin tan ln 12x x x

x →=-+ .

2. 2

1

lim

2

x x x →=+- . 3.已知212lim 31

x x ax b

x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1

,0,0ax x x f x x

a x ⎧+-≠⎪

=⎨⎪=⎩

在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21

()43

x f x x x -=

-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 .

6. 曲线()

121e x

y x =-的斜渐近线方程为 .

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .

A. 充分条件但非必要条件

B. 必要条件但非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

2. 设()2,0

2,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0

,

x x f x x x ⎧<=⎨

-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ . A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0

x x x x ⎧+<⎨+≥⎩

3. 下列各式中正确的是 .

A ．01lim 1e x x x +

→⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

B.01lim 1e x

x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭

C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

D. -11lim 1e x

x x -→∞

⎛⎫+= ⎪⎝⎭

4. 设0→x 时，tan e

1x

-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 5. 曲线2

2

1e 1e

x x y --+=

- .

A. 没有渐近线

B. 仅有水平渐近线

C. 仅有铅直渐近线

D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.

1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1

sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1

sin ,(0,)x x x

∈+∞

三、求下列极限（每小题5分，共35分）

1.2

2lim x →

2．(

)

120

lim e

x x

x x -→+

3.(

)

1lim 123

n

n n

n →∞

++

4

．21sin

lim

x x

5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()2

1

lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦L .

6．1

402e sin lim 1e x

x x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪

+⎝⎭

7

．0

lim x +

→

四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）

1.22

12lim 22

x ax x b

x x →-+=-+-

2

．(lim 1x x →-∞

=

五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x x

a b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪

=>>≠≠⎨⎪=⎩

在0x =处的连续性，

若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）

六、设sin sin sin ()lim sin x t x

t x t f x x -→⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）

七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，使得

1()2f f ξξ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭.（本题6分）

第二章 自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞

⎛⎫

-

= ⎪⎝⎭

. 2.设2

1cos f x

x ⎛⎫=

⎪⎝⎭，则()f x '= . 3.d x = . 4.设sin (e )x

y f =，其中()f x 可导，则d y = .

5.设y =12y ⎛⎫

'=

⎪⎝⎭

. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数中，在0x =处可导的是 .

A.||y x =

B.|sin |y x =

C.ln y x =

D.|cos |y x = 2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000

(2)()

lim

x f x x f x x x

→+--=V V V V .

A.6

B.6-

C.16

D.1

6

-

3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2

|()|f x x ≤，则0x =是

()f x 的 .

A.间断点

B.连续而不可导的点

C.可导的点，且(0)0f '=

D.可导的点，且(0)0f '≠

4.设2sin ,0

(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩

，则在0x =处()f x 的导数 .

A.0

B.1

C.2

D.不存在

5.设函数()f u 可导，2

()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-V 时，相应的函