数学期望与方差讲解
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引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定
先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
BB
A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负
3
3
元，而输
3
一次要付给乙 1 元，求甲的平均赢利。
e. g. 2 某同学假期回家探亲，有三种方法：坐汽车， 240 元；坐火车，300 元；坐飞机，980 元．由于 各种原因，该同学采用三种路线的概率分别为：
0.3, 0.5, 0.2 。试写出差旅费 X 的概率分布，并计
算差旅费的平均值。
B. 数学期望的性质
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。
而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。 11
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
E( X ) ak P{X ak } ak pk
k
k
称为 X 的数学期望或均值
Def. 2 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f (x)
其数学期望定义为 E(X )
xf (x)dx
e. g. 1 甲、乙两人赌博，甲赢的概率为 1 ，输的
概率为
2
，但甲赢一次可从乙处得
E(3X 2XY Y 5) 性质2和3 3E(X ) 2E(XY ) E(Y ) E(5)
性质4
310 2 E(X ) E(Y) 3 5
30 2103 3 5 92
12
数学期望不存在的实例
例8 设离散型随机变量X的分布律为
pk
k0 k!
k1 (k 1)!
ee
(4) 正态分布： X ~ N (, 2 )
E(X )
但 P(X 0,Y 0) 0
P( X
0)P(Y
0)
2 2
8
10
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则
由X ≥0 得：
f (x) 0, x 0 ,
所以
Leabharlann Baidu
EX x f (x)dx x f (x)dx 0.
4
4
因此, A 能“期望”得到的数目应 为
200 3 0 1 150(元), 44
而B 能“期望”得到的数目, 则为
200 1 0 3 50(元). 44
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
X1 0
P p 1 p
E(X ) 1 p 0 (1 p) p
(2) 二项分布：X ~ b(n, p)
n
E( X ) kCnk p k q nk
k 0
n
k
n!
pk qnk
k0 k!(n k)!
n
np k
(n 1)!
p q k 1 (n1)(k 1)
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,
等于 200 3 0 1 150(元). 44
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
第3节 数学期望与方差
数学期望和方差是常用的随机变量的两个数字特征
一、数学期望(mathematical expectation)
1．数学期望的概念
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:
前三局: A胜2局B胜1局
后二局: A A A B B A B B
A胜
B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的
可能性大小之比为 3:1.
即A 应获得赌金的 3 , 而 B 只能获得赌金的 1 .
e.g. 小组 8 个人，英语得 90 分的 3 人，80 分的 4 人， 60 分的 1 人，求平均分数.
90 3 80 4 601 90 3 80 4 60 1
3 41
8
8
8
变除法为乘法和加法
Def. 1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X ak } pk , k 1, 2,
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E
n i1
ai X i
C
n i1
ai E( X i )
C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
8
PX
1k
2k k
1 2k
,k
1,2,
求EX.
解
由于
xk pk
k 1
1k 1
k 1
k
lnk .
但是
k 1
xk
pk
1 k 1 k
.
因而其数学期望EX不存在.
2．常见随机变量的数学期望
(1) 0--1 分布
k1 k![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
p qi (n1)i
i0 i![(n 1) i]!
n1
np Cni 1 p i q n1i i0
np np( p q)n1
(3) Poisson 分布： X ~ P()
E( X ) k k e e k1
注 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立. 反例
pij X -1
0
Y
-1
18
18
0
18
0
1
18
18
pi•
38 28
1 p• j
18 38 18 28 18 38
38
9
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E(X ) E(Y ) 0; E( XY ) 0; E(XY ) E(X )E(Y )
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定
先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
BB
A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负
3
3
元，而输
3
一次要付给乙 1 元，求甲的平均赢利。
e. g. 2 某同学假期回家探亲，有三种方法：坐汽车， 240 元；坐火车，300 元；坐飞机，980 元．由于 各种原因，该同学采用三种路线的概率分别为：
0.3, 0.5, 0.2 。试写出差旅费 X 的概率分布，并计
算差旅费的平均值。
B. 数学期望的性质
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。
而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。 11
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
E( X ) ak P{X ak } ak pk
k
k
称为 X 的数学期望或均值
Def. 2 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f (x)
其数学期望定义为 E(X )
xf (x)dx
e. g. 1 甲、乙两人赌博，甲赢的概率为 1 ，输的
概率为
2
，但甲赢一次可从乙处得
E(3X 2XY Y 5) 性质2和3 3E(X ) 2E(XY ) E(Y ) E(5)
性质4
310 2 E(X ) E(Y) 3 5
30 2103 3 5 92
12
数学期望不存在的实例
例8 设离散型随机变量X的分布律为
pk
k0 k!
k1 (k 1)!
ee
(4) 正态分布： X ~ N (, 2 )
E(X )
但 P(X 0,Y 0) 0
P( X
0)P(Y
0)
2 2
8
10
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则
由X ≥0 得：
f (x) 0, x 0 ,
所以
Leabharlann Baidu
EX x f (x)dx x f (x)dx 0.
4
4
因此, A 能“期望”得到的数目应 为
200 3 0 1 150(元), 44
而B 能“期望”得到的数目, 则为
200 1 0 3 50(元). 44
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
X1 0
P p 1 p
E(X ) 1 p 0 (1 p) p
(2) 二项分布：X ~ b(n, p)
n
E( X ) kCnk p k q nk
k 0
n
k
n!
pk qnk
k0 k!(n k)!
n
np k
(n 1)!
p q k 1 (n1)(k 1)
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,
等于 200 3 0 1 150(元). 44
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
第3节 数学期望与方差
数学期望和方差是常用的随机变量的两个数字特征
一、数学期望(mathematical expectation)
1．数学期望的概念
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:
前三局: A胜2局B胜1局
后二局: A A A B B A B B
A胜
B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的
可能性大小之比为 3:1.
即A 应获得赌金的 3 , 而 B 只能获得赌金的 1 .
e.g. 小组 8 个人，英语得 90 分的 3 人，80 分的 4 人， 60 分的 1 人，求平均分数.
90 3 80 4 601 90 3 80 4 60 1
3 41
8
8
8
变除法为乘法和加法
Def. 1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X ak } pk , k 1, 2,
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E
n i1
ai X i
C
n i1
ai E( X i )
C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
8
PX
1k
2k k
1 2k
,k
1,2,
求EX.
解
由于
xk pk
k 1
1k 1
k 1
k
lnk .
但是
k 1
xk
pk
1 k 1 k
.
因而其数学期望EX不存在.
2．常见随机变量的数学期望
(1) 0--1 分布
k1 k![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
p qi (n1)i
i0 i![(n 1) i]!
n1
np Cni 1 p i q n1i i0
np np( p q)n1
(3) Poisson 分布： X ~ P()
E( X ) k k e e k1
注 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立. 反例
pij X -1
0
Y
-1
18
18
0
18
0
1
18
18
pi•
38 28
1 p• j
18 38 18 28 18 38
38
9
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E(X ) E(Y ) 0; E( XY ) 0; E(XY ) E(X )E(Y )