第三版线代第四章

1 2 4 1 (3) C 2 4 8 2 3 6 2 0
.
从定义及上例的讨论过程可以看出:
(1) 当且仅当A是零矩阵时,r (A) = 0 .
(2)
r( A) r( AT )
(4-1)
(3) 若发现A 一个非零k阶子式，则必有r(A)≥k. 反之，若A 的一切k阶子式全为0时，则必有r(A)<k.
r(A)+ N(A)的基础解向量总数=A的列数。
对于m n的非齐次线性代数方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
推论： 对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至 少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
先用定理形式给出线性相关与线性表出这两个 重要概念之间的联系，然后结合具体示例，讨论线
性相关性的一些有用性质. 定理4 向量组v1、v2 、… 、vk线性相关的充要
条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表出
(k≥2).
证明 充分性： 证明 充分性：
设vj(1≤j ≤设 k)可依其余向量线性表出，即 vj(1≤j ≤k)可依其余向量线性表出
法处理 . 解三 利用n维向量的特点，以矩阵方法 由于 设向量 3 b3, 1 ( a1 a 2 ) 2 ( a 2 a 3 ) 3 ( a 3 a1 ) b 1 b1 2 b 2 1, b 2 b3线性相关，则必可找到不全 来解决更为简捷. 为零的 , ,使成立 ( 1 2), a ) a ( ) a 0 3(
显然，利用矩阵按列分块 ( 或反之，将若干个 同维向量合并成单个矩阵 ) 技术，若记
v [v1
v2 vk ]
则在线性代数方程组的语言中，向量v可依v1、v2 、 … 、vk线性表示，等同于方程组
Vx v
(4-8)
有解，作为其解的k维向量x, 其第i个分量即 为表出式的第i个系数(i=1,2,…,k). 在矩阵语言
证明 因向量 证明 v1、因向量 … 、vkv 、 v线性相关，故有不 … 、vk、v线性相关，故 1、
全为零的数 全为零的数 1、2 、… 、 k 、 使成立 …、k、 使成立 1、 2、 （ -7） 1v1 1 vk1v v 0k v5 0 k kv
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子 式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
进行讨论. 3 k 0 1 5 k 1 1 3 0 k 4 14 5k ~ 按克拉默法则，系数行列式不为零时方程 A (1) 3 2 k 18 5k r31 ( 1)
考察这个方程组在k=1时的通解式可以发现，它由 两个部分组成；带任意常数部分及不带常数的部分， 不带常数部分是方程组的一个特解，而带常数部分 并不满足方程组，而是构成对应齐次方程的基础解 系。故该解表现出了相容线性方程组解的结构，是 通过导出组的基础解系来表示。 一般地，若分别以 xp，表示方程组的通解，特解， 对应齐次方程组的通解，则非齐次线性方程组的解 有如下结构式 x g x p xh (4-7) 即相容齐次线性方程组的通解是有其某个特解与 对应齐次线性方程组的通解叠加而成。值得指出， 这个结构式对一般的线性方程是普遍的.
第 4章
秩
本章先后讨论矩阵的秩及向量集的秩两个重要概念. 给出了矩阵的一个基本定理，并讨论了向量的线性 相关性及正交性的概念.
4.1 矩阵的秩
4.1.1 概念
定义1 对m n 矩阵A, 称其一切非退化方子
矩阵的最高阶数 k 为A的秩(rank), 记作r (A), 并规定 r (O) = 0 .
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断 定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
(5) 若A是 m n矩阵,则必有
r ( A) min(m, n)
(4-1)
当r(A)=m（A的行数）时，称为行满秩[矩]阵，
当r(A)=n（A的列数）时，称为列满秩[矩]阵.
（ 5-
先用反证法证明，其中的 先用反证法证明，其中的 不可能等于零 不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 2 3 4 1 0 3 4 试问：（1）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
1v1 k vk 0
（4-9）
就称k个向量 ( 或该向量组 ) 是线性相关的；相反， 当且仅当1 =… =k=0使时才成立(4-9),则称作是 线性无关的.
从定义见，对于单个向量，当且仅当零向量时 为线性相关. 例4 给定
a1 1 1 1 , a2 0 2 5 , a3 1 3 6 ,
Ax b 或者
Ax 0 为其对应齐次方程组(也称为导出组).
与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解， 而有如下重要的相容性定理.
定理4
对非齐次方程组 Ax
b 的相容性，有
如下结论：
(1) 当 r ( A) r ( A) 时，方程组相容，即有解.
其实，若 r ( A) r ( A) n, 则方程组 一确定的解.
(6) 若 A是n阶矩阵,则r(A)≤n, 当且仅当detA≠0 时r(A)=n,故也将行列式不为零的矩阵(非退化阵) 称为满秩[矩]阵，并称退化阵为降秩[矩]阵.
秩的计算
0 0 A 0 0 3 0 0 0 0 8 0 0 7 0 0 0 1 2 5 0
例2
说明
为梯矩阵,并求出r(A) .
当一个向量v可表成一组k个向量v1、v2 、… 、vk
的线性组合，即存在k个数μ1、μ2、…、μk使等式 v=μ1v1+ μ2v2+ … +μkvk (4-8) 成立时，就称该向量可依 (或由)这组向量(或这k个 向量)线性表出(或示），并称数μi为表出(或示)式 （5-1）的第i个系数，i=1,2,…k.
Ax b 有惟
若 r ( A) r ( A) n, 方程组有无限多个解，其通解 带有n-r(A)个任意常数.
(2) 当 r ( A) r ( A) 时，方程组不相容，即无解.
证明 对 A证明 施以将 A变成矩阵 ， 对A 施以将 AN 变成矩阵 N1的行初等 1的行初等变换
有 有
A ~ [ N1 ] A ~ [ N1 ]
矩阵与共有r(A)个非零行的m n梯矩阵的积.
用矩阵的秩的概念，也便于将第二章关于线性代 数方程组的讨论，用定理形式表出。 定理2 m n齐次线性方程组 Ax 0 存在非 平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩r(A)小于 未知数个数n ,且在能得出其任一解的通解式中 含有n-r(A)个任意常数. 定理2’ 对任一m n矩阵A，必有等式
以上两个定理可以简洁地表述为: 为计算矩阵 A的秩,可归结为求一个与A等价的梯矩阵,然后由 数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A).
4.1.2 关于线性代数方程组的定理
用矩阵的秩的概念，可将第二章的定理4表述得更 清晰：
定理4 任一m n矩阵 A，必可分解成若干个行初等 矩阵与一个简化行梯矩阵的积，简化行梯矩阵的非零行总 数为r，不超过m,n的最小值. 定理4 任一m n矩阵 A必可分解成若干个m阶初等
例5
对方程组
kx1 x2 x3 5 3 x1 2 x2 kx3 4 18 5k x 2x 2 3 2
问k取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解. 在无限多解时求出通解.
解一 利用行初等变换，可把讨论相容性与 解二 根据方程组是的特点，常可利用行列式 求解过程结合进行：
例
已知四元非齐次线性代数方程组的系数
矩阵之秩为 3，又已知该方程组有三个解向量 a1, a2, a3，其中
2 3 0 2 a1 , a 2 a3 5 4 1 1
求该方程组的通解.
解 设方程组的系数矩阵为A,按所给条件知
中，向量v可依v1、v2 … 、vk线性表示等同于存在
k维向量 (k 1矩阵)
1 2 k
使等式
成立.
V v
(4-8)
在明白向量语言与线性代数方程组及矩阵的语言 有如此明显转换关系后，在必要时将随时使用.
定义3 对给定的一组k个向量v1 、v2 、… 、vk 若存在不全为零的数1 、2 、… 、k使
T T T
试讨论 a1、a2、a3 的线性相关性.
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关，而
b1 a1 a 2 b2 a 2 a3 b3 a1 a3
试证向量b1, b2, b3亦线性无关.
解一 从定义出发，考察
1b1 2 b2 3 b3 0 解二 为证明一组向量线性无关，常用反证 （5-5）
过有限次行初等变换而成为梯矩阵,这就是以下定
Leabharlann Baidu
理.
定理1 推论1 后秩不变. 推论2
任一m n矩阵A经过有限次行初等 任一m n矩阵A经有限次列初等变换 设是任一 m n矩阵,而B是m(或)n阶 (4-3)
变换后秩不变.
满秩矩阵,则必有 r ( BA) r ( A) (或 r ( AB) r ( A) ) （第二章第50页）引理
对于一般的m n矩阵A,它的秩虽然已有确切的
定义,但要求出其值却是很费事的. 这样,例2的简
单结果当然很具吸引力.可惜这种可以数得矩阵秩的
办法,只适合于梯矩阵. 自然会产生这样的想法,能否 把一般的矩阵“变成”一个同秩的梯矩阵呢?回忆起 行列式的性质,就不难想象,矩阵经初等变换后秩
不变(即等价矩阵的秩相同); 而且每个矩阵必可通
dim N ( A) n r ( A) 4 3 1
4.2 向量集的秩
4.2.1 向量集的线性相关与线性无关
定义2（线性组合，线性表出） 设给定一组k个[同维]向量v1、v2 、… vk,则对 任给定的k个[实]数 1、 2、 … k，称向量 1 v1 + 2 v2 +…+ k vk为这组向量(或这k个向量) 的线性组合(linear combination).
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与 之具有相同系数矩阵的方程组
任一m n矩阵 A必可
通过有限次行初等变换而化为梯矩阵.
例３ 对矩阵
0 0 0 0 1 1 A 0 1 1 0 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 2 2 2
依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为 行初等变换法),将其化为梯矩阵,并求秩.