第三版线代第四章

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线性代数第三版习题答案

线性代数第三版习题答案第一章：向量空间与线性组合1. 向量空间的定义与性质- 向量空间的定义- 向量空间的性质：封闭性、加法逆元、标量乘法等2. 线性组合与基- 线性组合的概念- 基的定义及其重要性- 基的构造方法3. 向量空间的维数- 维数的定义- 维数与基的关系第二章：矩阵及其运算1. 矩阵的定义与表示- 矩阵的基本概念- 矩阵的表示方法2. 矩阵的加法、数乘与乘法- 矩阵加法的规则- 矩阵数乘的定义- 矩阵乘法的规则与性质3. 矩阵的逆与行列式- 可逆矩阵的条件- 行列式的定义与计算方法第三章：线性变换1. 线性变换的定义与性质- 线性变换的概念- 线性变换的性质：加法和数乘的保持性2. 线性变换与矩阵- 线性变换的矩阵表示- 矩阵与线性变换的关系3. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义- 特征值与特征向量的计算方法第四章：线性方程组1. 线性方程组的解法- 高斯消元法- 矩阵分解法2. 线性方程组的解的结构- 唯一解、无穷多解和无解的条件- 解空间的维数3. 线性方程组的应用- 在经济学、物理学等领域的应用示例第五章：特征值问题与矩阵分解1. 特征值问题的进一步探讨- 特征值问题的几何意义- 特征值问题的数值解法2. 矩阵分解- 矩阵分解的概念- 常见的矩阵分解方法：LU分解、QR分解等3. 矩阵分解的应用- 在数据分析、信号处理等领域的应用结语线性代数作为数学的一个重要分支，在现代科学技术中有着广泛的应用。

掌握线性代数的基本概念和方法，对于理解更高层次的数学理论和解决实际问题都具有重要意义。

希望这份习题答案能够帮助学生更深入地理解线性代数，并在解决相关问题时更加得心应手。

请注意，以上内容是一个示例概要，并非真实的习题答案。

实际的习题答案会根据具体教材和习题内容而有所不同。

线代第四章之实对称矩阵

线代第四章之实对称矩阵
目录
• 实对称矩阵基本概念与性质 • 实对称矩阵的相似对角化 • 特征值与特征向量在实对称矩阵中的应用 • 正交变换在实对称矩阵中的应用 • 线性方程组在实对称矩阵中的解法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01
实对称矩阵基本概念与性质
定义及性质
性质：实对称矩阵具有以下性质
不同特征值对应的特征向量正交；
拓展延伸：其他类型矩阵简介
反对称矩阵
反对称矩阵是一个方阵，其转置等于它本身的相反数，即$A^T = -A$。反对称矩阵在量子力学和刚体动力学等领域有着重要应用。
正交矩阵
正交矩阵是一个方阵，其逆等于它本身的转置，即$A^{-1} = A^T$。正交矩阵在保持向量长度和角度不变的线性变换中扮演着重要角色。
举例说明
例子1
例子2
例子3
矩阵$A=begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$是一个实对称矩阵，因为$A^T=A$。
矩阵$B=begin{pmatrix} 1 & 2 -2 & -1 end{pmatrix}$不是一个实对称矩阵，因为$B^T neq B$。
应用正交变换求解
03
04
05
首先，通过正交变换将然后，根据对角矩阵
矩阵$A$化为对角矩阵， $D$的元素即为原实对
即求解$P^{-1}AP = D$，称矩阵的特征值，求得
其中$D$为对角矩阵，特征值为$lambda_1 =
$P$为正交矩阵；
1, lambda_2 = 4$；
最后，根据特征值求得对应的特征向量，并构造正交矩阵$P = begin{pmatrix} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}$。

线性代数第四章答案解析

线性代数第四章答案解析第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1,3)T ,a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301~r ????? ?------531400251552000751610421301 ~r-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R(B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由- ??- ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示;(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1,a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1,a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. （也可看书后答案）解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,a m 线性表示. 解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,原式可化为λ1(a1+b1)++λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,,a m=e m=-b m,其中e1,e2,,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,,a m和b1,b2,,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0才能成立,则a1,a2,,a m线性无关, b1,b2,,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式由λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)++λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,,a m+b m线性无关.取a1=a2==a m=0,取b1,,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,,a m线性相关.(4)若a1,a2,,a m线性相关, b1,b2,,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,,λm使λ1a1++λm a m=0,λ1b1++λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成=100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).。

线代第四章线性方程组第一节

x1 = 4 − 3k， x 2 = k， x = 1 3 ，
其中 k 为任意常数．为任意常数．
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k 取遍所有实数时，上取遍所有实数时，
式也就取遍方程组的所有解．这种解的表达形式称为线性方程组的一般解．为线性方程组的一般解．一般解
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下三种关于线性方程组的关于线性方程组以下三种关于线性方程组的变换称为线性方程组的初等变换：初等变换：
(1) 交换某两个方程的位置；交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边；用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程．将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组则线性方程组(4.1)可写为：可写为：令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式．称(4.2)为方程组为方程组的矩阵形式．
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第一节利用矩阵的初等变换解线性方程组

线代第四章优质获奖课件

= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
所以()为(A)旳特征值.
例6. 设1, 2, …, m为方阵A旳m个不同旳特征值,
p1, p2, …, pm为依次相应于这些特征值旳特
征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关.
证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则
线性代数
第四章矩阵旳特征值和特征向量
§4.1 相同矩阵
一. 问题
习题1(B). 23
设P1AP = , P = 1 4 , = 1 0 ,
11
02
求A11.
A = PP1
11 =
1 0 0 211
A11 = P11P1
第四章矩阵旳特征值和特征向量
§4.1 相同矩阵
二. 相同矩阵旳定义
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相同. 记为A~B. P称为相同变换矩阵或过渡矩阵.
第四章矩阵旳特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵旳相同对角化
§4.4 实对称矩阵旳相同对角化
一. 实对称矩阵旳特征值和特征向量
定理4.7. 实对称矩阵旳特征值均为实数.
定理4.8. 设1, 2是实对称矩阵A旳两个不同
旳特征值, p1, p2是相应与它们旳特征向量, 则p1与p2正交.
实际上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA, 从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2. 于是(1–2) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0.

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【最新整理，下载后即可编辑】第四章二次型习题4．1 二次型及其标准形（P.108-P.109）1．用矩阵记号表示下列二次型：（1）2222426;f x xy y xz z yz =+++++（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+- 解：（1）2222426f x xy y xz z yz =+++++()111,,143131x x y z y x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x Ax（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-()1212343411211132,,,23101201x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭x Ax 2．用配方法或矩阵变换法化下列二次型为标准形，并求所用的变换矩阵：（1）222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--；解：222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--22212323232()34x x x x x x x =+-++-2221232332()(2)x x x x x x =+-+--令：11231123223223333311122012001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =+-=----⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=-⇒=+=⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭10C =≠得2221232f y y y =+-（2）222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++；解： 222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++2221232323()96x x x x x x x =+++++ 2212323()(3)x x x x x =++++令112311232232233333211233013001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =++=-+-⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⇒=-=-⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭， 10C =≠得 2212f y y =+ （3）122334f x x x x x x =++解：令11211212223343343444110110000110011x y y x y x y y x y x y y x y x y y x y =+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩121212343434()()()()()()f y y y y y y y y y y y y =+-+-+++-2222123413142324y y y y y y y y y y y y =-+-++--222213423423243411351()22442y y y y y y y y y y y y =++-+----2222134234341111()()2222y y y y y y y y =++-+++-令1134113422342234333344441111222211112222z y y y y z z z z y y y y z z z z y y z z y y z ⎧⎧=++=--⎪⎪⎪⎪⎪⎪=++=--⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩,即1122334411102211012200100001y z y z y z y z ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 得 22221234f z z z z =-+-变换矩阵：1110110011112211001111000122001100110010001100110001C ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭40C =≠（4）222123121323255448f x x x x x x x x x =+++-- 解： 222123123232()334f x x x x x x x =+-++-222123233252()3()33x x x x x x =+-+-+令1123112322322333331322,33x y y y y x x x y x x x y y C y x x y ⎧=-+⎪=+-⎧⎪⎪⎪⎪=-⇒=+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎪⎩x y 即，其中11132013001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 10C =≠ 得2221235233f y y y =++3．若矩阵1A 合同于12,B A 合同于2B ，试证：12⎛⎫⎪⎝⎭A 00A 合同于12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 00B 。

线性代数第四章答案

第4章习题答案思考题4-11.（1）不对。

我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。

a 与b 共线的意思是a 与b 平行，a 与b 一开始并不一定在一条直线上。

（2）不对。

我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。

a 、b 、c 共面的意思是它们平行于同一个平面, a 、b 、c 一开始并不一定在一个平面上; （3）不对。

参考下图，水平方向的向量为c .2．一个向量的方向可用它的单位向量、方向角、方向余弦表示。

习题4-11.（1）a ⊥b ；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 反向且a b ≥；（4）a 与b 为同向的非零向量。

2.证：因为M 是线段AB 的中点,所以AM MB =，即O M O AO B O M-=-. 因而1()2OM OA OB =+. 3．()/a b a b abab++注：因为a a和b b都是单位向量，所以以它们为边的平行四边形是菱形，其对角线也是角平分线。

4．图略。

点A 关于Oxy 面的对称点的坐标为(2,4,1), 点B 关于y 轴的对称点的坐标为(2,4,1)-.5．A 在第II 卦限，B 在第V 卦限，C 在第VIII 卦限，D 在第III 卦限。

6．（1）点(,,a b c ) 关于Oxy 面，Oyz 面和Ozx 面的对称点的坐标分别为(,,)a b c -，(,,)a b c -和(,,)a b c -；（2）点(,,a b c )关于x 轴，y 轴和z 轴的对称点的坐标分别为(,,)a b c --，(,,)a b c --和(,,)a b c --；（3）点(,,a b c )关于坐标原点O 的对称点的坐标为(,,).a b c ---7．（1）从点(,,a b c )向x 轴,y 轴和z 轴作垂线的垂足分别为(,0,0)a ，(0,,0)b 和(0,0,)c ；（2）从点(,,a b c )向Oxy 面,Oyz 面和Ozx 面作垂线的垂足的坐标分别为(,,0)a b ，(0,,)b c 和(,0,)a c .8．234122.a b c i j k ++=-+-9．因为AB BC =，所以,2OB OA OC OB OC OB OA -=-=-。

线代第四章共32页文档

可得
0 10
200
Q = 1/ 2 0 1/ 2 , Q1AQ = QTAQ = 0 4 0 .
1/ 2 0 1/ 2
004

第四章矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
注: 对于2=3=4, 若取(4E–A)x = 0的基础解系
2=(1, 1, 1)T, 3=(–1, 1, 1)T,
解之得
x1 x2
=k
1 1
(0 k R).
A的对应于2=4的特征向量为
k k
(0kR).

第四章矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
1 1 0
例2. 求 A 4 3 0 的特征值和特征向量.

1
0
2

解: |E–A| = (–2)(–1)2.
为(A) = 2A2 –3A +4E的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A)x = (2A2 –3A +4E)x
= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
所以()为(A)的特征值.

例6. 设1, 2, …, m为方阵A的m个不同的特征值,
三. 性质
§4.2 特征值与特征向量
性质5. 设A~B, 则|E–A| = |E–B|.
性质6. 设A = (aij)nn的特征值为1, …, n, 则 (1) 1 + … + n = tr(A). (2) 1…n = |A|.
推论. A 可逆1, …, n全不为零.

线代第四章

定义称对 k=1,2,…,m-1满足以下两个条件的 =1,2,…,m
m × n 矩阵为梯矩阵(echelon matrik): 矩阵为梯矩阵梯矩阵(echelon 1.若第k行是零(即该行的元全为零)，则第(k+1) 1.若第行是零(即该行的元全为零) 则第(k+1) 若第k 行必为零. 行必为零. 2.若有第(k+1)行是非零行，则其行的首非零元 2.若有第若有第( 行是非零行，所在的列号，必大于第k行首非零元所在的列号. 所在的列号，必大于第k行首非零元所在的列号.
不能说明A的所有k阶子式均不为零，不能说明A的所有k阶子式均不为零，
然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必果存在的话)
为零
.
(3) 若A是 m × n矩阵,则必有矩阵,
r ( A) ≤ min(m, n)
(4-1) (4(4-2) (4-
r ( A) = r ( AT )
(4) 若 A是n阶矩阵,则r(A)≤n, 当且仅当detA≠0 矩阵, )≤n, 当且仅当detA 时r(A)=n,故也将行列式不为零的矩阵非退化阵故也将行列式不为零的矩阵非退化阵) 故也将行列式不为零的矩阵(非退化阵称为满秩满秩[ 并称退化阵为降秩降秩[ 称为满秩[矩]阵，并称退化阵为降秩[矩]阵.
证明
证明
定理的结论(1) 定理的结论(1) 说明非齐次方程组的解集不是向量空间；结论(2)、(3)则说明了当已知其某个向量空间；结论(2)、(3)则说明了当已知其某个中元素的通解) 解 xp时，方程组的通解 xp(即S中元素的通解)本质表出，上必能也只能通过 N(A)的通解 xh表出，为
定理
任一m 任一m × n矩阵A经过有限次行初等矩阵A 任一m 任一m × n矩阵A经有限次列初等变换矩阵A 设A是任一 m × n矩阵,而B是m(或)n阶矩阵, (4-3) (4-

线性代数第四章复习小结

α 1 , α 2 ,⋯ , α m
可由
线性相关，线性相关，则
α1 , α 2 ,⋯ , α m 线性表示，且表示的系数唯一。线性表示，且表示的系数唯一。
3）.若向量组）若向量组可由向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β
α
α1,α2 ,⋯,αr
线性表示，线性表示，且
r>s
s
则
α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性相关。线性相关。
线性无关。
7）A为n阶方阵， ( A ) ）为阶方阵 r 阶方阵，，又设
= n −1
η1 , η2
是非齐次线性方程组
AX = b
的两个不同的解，的两个不同的解，证明
η1 + η2 X = k ( η1 − η2 ) + 2
为非齐次线性方程组的通解。的通解。其中
AX = b
K为任意常数。为任意常数。为任意常数
问
a, b
取何值时？（）有唯一解；（；（2）无解；取何值时？（1）有唯一解；（）无解；？（（3）有无穷多个解，并求其解。）有无穷多个解，
6．设．
α1 , α 2 , α 3
线性无关，线性无关，证明
β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + 2α3 ,
β 3 = α 3 + 3α1
T T
T
,3 ) ) α4 =(−1 ,2,1 ,α5 =(−2,6,4,1
T
T
3．设向量组．
1 4 3 2 1 , α = 0 , α = −1 , α = 1 α1 = 2 2 4 3 2 4 −2 0 1 1 3

线代第四章课件

n , 则有
( 2) 12 n A .
矩阵A的迹
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
5. 设 i 为方阵 A 的一个特征值 , 则由方程
(i I A) x 0 可求得非零解 x pi ,那么 pi 就是
以a 左乘上式两端得 1 1 1 0 ,
T 1
T
由 1 0 1 1 1
T
2
0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
施密特正交化方法
若a1, a2 ,, ar 为R 的线性无关向量组 , b1 a1
二、向量的长度及性质
定义2
令
x
x, x
x x x ,
2 1 2 2 2 n
称 x 为n 维向量 x的长度或范数 .
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
称(x,y)为向量的内积（点乘x . y）
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2 内积是向量的一种运算，如果x，y都是列向量，内积可以用矩阵记号表示为
x, y xT y.
内积的运算性质（其中x，y，z为n维向量，λ为实数） (1) (x, y)=(y, x) (2) (λx , y)= λ(x, y) (3) (x+y, z)=(x, z)+ (y, z) (4) (x,x)≥ 0, 且当x≠0时有 (x, x)>0

线代第四章正定二次型

●二次型的规范形二次型的标准形是可以不同的，二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：如下形式的标准形是唯一的：
2 f = y 12 + y 2 + L + y s2 − y s2+ 1 − y s2+ 2 − L − y r2
A的三个顺序主子式为的三个顺序主子式为
A1 = −5 < 0,
−5 2 A2 = = 26 > 0, 2 −6
A3 = A = −104 < 0
为负定二次型。所以 f 为负定二次型次型是正定的
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = tx12 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x1 x2
2 1 2 2
2 3
2 1 1 解法1 解法二次型的矩阵为 A = 1 2 1 1 1 2 A的三个顺序主子式为的三个顺序主子式为
的三个顺序主子式为
A1 = 2 > 0,
2 1 A2 = = 3 > 0, 1 2
A3 = A = 4 > 0
所以A是正定矩阵，是正定二次型。所以是正定矩阵，f 是正定二次型。是正定矩阵
为系数的标准形称为二次型的规范形二次型的规范形。以 1 或 -1 为系数的标准形称为二次型的规范形。结论：二次型的规范形是唯一的。结论：二次型的规范形是唯一的。
第三节正定二次型本节重点：本节重点： 1、正定二次型的概念；、正定二次型的概念； 2、正定二次型的性质；、正定二次型的性质； 3、正定二次型的判定。、正定二次型的判定。

线代第四章第一---三节

一、向量的内积
x1 y1 x2 y2 , , β= 1．定义设有 n 维列向量α = ⋮ ⋮ xn yn
令 (α , β ) = x1 y1 + x2 y2 + ⋯ + xn yn
称 (α , β ) 为向量 α 与 β 的内积 .
设α 1 , α 2 ,⋯ , α r 为一组线性无关的向量,
取β 1 = α 1
( β1 ,α 2 ) β2 = α2 − β1 , ( β1 , β1 ) ( β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
⋯⋯⋯⋯
只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，说明:（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，说明因此它没有基．看作向量组，（2）若把向量空间V 看作向量组，则V 的基就是向量组的极大无关组, 的维数即向量组的秩. 是向量组的极大无关组, V 的维数即向量组的秩. （3）若向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是向量空间V 的一）个基，个基，则V 可表示为V = α α = λ1α1 + ⋯+ λrαr ; λ1 ,⋯, λr ∈ R
c为任意常数
2 取 η = −1 ， 1
将η 单位化
1 6 1 6
T
η 2 α= = η 6
−
17
练习：用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化
α1 = ( 1 1 1 1) , α 2 = ( 3 3 −1 −1) , α 3 = ( −2 0 6 8 )
定理1 若n维向量α1 , α 2 ,⋯ , α r 是一组正交的非零向量, 则α 1 , α 2 , ⋯ , α r 线性无关 .

线代第四章(2)向量组的秩

求该方程组的全体解向量构成的向量组S的秩。求该方程组的全体解向量构成的向量组的秩。的秩解
1 2 1 −2 A = 2 3 0 −1 1 −1 −5 7 x1 3 −4 x −2 3 2= c +c x3 1 1 2 0 x4 0 1
2
最大无关组的等价定义: 最大无关组的等价定义
设向量组 A0 : α 1 ,α 2 ,L ,α r
的一个部分组，是向量组 A 的一个部分组，且满足线性无关。（i）向量组 A0 线性无关。）线性表示。（ii）向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线性表示。）的一个最大无关组。那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。组的秩。
1 2 3 2 1 3 5→ 0 0 1 2 0 3 2 0 1 1 → 0 1 1 0 0 0 0 1 2
向量用该最大无关组线性表示。向量用该最大无关组线性表示。
2 解：设 A = 4 2 2 1 2 → 0 1 1 0 0 0
15
前面我们建立定理1、、时前面我们建立定理、2、3时，限制向量组只含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定推广到一般的情形. 理1、2、3推广到一般的情形推广的方法是利用、、推广到一般的情形向量组的最大无关组作过渡. 如定理 3 可推广为向量组的最大无关组作过渡
16
定理 3
设向量组 B：b1 , b2 , ··· , bl 能由向

高等数学第三版第四章矩阵和线性方程组答案

即一定条件下体系存在的形式。
1 mol H2 0oC, 1 atm 22.4 dm3
状态 1
1 mol H2 0oC, 0.5 atm 44.8 dm3
状态 2
状态函数 --- 描述体系宏观状态的物理量（也
称体系的性质）,例如 p，V，T等。
特点:只与始态和终态有关，与途径无关。
H2O (s, 25°C, 1atm ) Hsub H2O (g, 25°C, 1atm )
Hfus
Hvap
H2O (l, 25°C, 1atm )
Hsub= Hfus +Hvap
状态定，函数定；函数变，状态变。
分为两种性质：
广延性质 --- 与体系中物质的量成正比，相同条件下有加和性。如 V、Cp、U、H、S、G 等。
强度性质 --- 体系中各处的性质是均匀的，与物质的量无关。如 P、T、C浓度等。
例：甲醇挥发
与体系可进行能量、物质的交换Biblioteka NOTE: 其划分随需要而变
三种体系
体系与环境之间既有能量交换又有物质交换。
体系与环境之间有能量交换、没有物质交换。
体系与环境之间既没有能量交换也没有物质交换。
b. 状态与状态函数 (State and State function)
状态 ---- 体系所有物理性质和化学性质的综合表现，
1 cal = 4.18 J 证明能量转换关系
U = q – w 能量守恒定律
能量多种形式,不生不灭，互相转化。
U = q – w
q ：体系从环境吸热（＋） w: 体系对环境作功（＋）体系向环境放热（－）环境对体系作功（－）
注意：体系一定为封闭体系；体系与环境之间的能量转化只有功和热两种，也就是说如果一个体系内能U发生变化，那么其变化过程必然是通过q 和 w与环境进行交换完成的；这里的w包括所有形式的功。

线性代数(第三版)目录[20页]

第1章行列式目录（续）
1.3 主要解题方法
1、行列式的计算方法 2、用克拉默法则求解线性方程组的方法
1.4 自测题 1、填空题 2、单选题 3、是非题 4、计算行列式 5、解行列式方程
第2章矩阵目录
2.1 教学要求
2.2 主要内容
1、m×n矩阵 2、同型矩阵 3、矩阵相等 4、矩阵的加法 5、矩阵的数乘 6、矩阵的乘法 7、负矩阵
第2章矩阵目录（续）
2.4 自测题
1、填空题 2、单选题 3、是非题 4、解矩阵方程 5、求矩阵的秩 6、计算题 7、证明题
第3章线性方程组目录
3.1 教学要求
3.2 主要内容
1、线性方程组 2、增广矩阵 3、基本未知数（元）、自由未知数（元） 4、相容 5、n维向量 6、线性组合、线性表出和组合系数 7、线性相关与线性无关
第3章线性方程组目录（续）
3.4 自测题
1、填空题 2、单选题 3、是非题 4、计算题 5、证明题
第4章相似矩阵与二次型目录
4.1 教学要求
4.2 主要内容
1、向量的内积 2、向量的长度 3、单位向量 4、向量的单位化 5、向量的正交 6、正交向量组 7、正交规范向量组
第4章相似矩阵与二次型目录（续）
《线性代数》电子教案
目录
第1章行列式目录
1.1 教学要求
1.2 主要内容
1、二阶行列式
2、三阶行列式
3、n阶行列式
4、余子式
M ij
5、代数余子式
A ij
6、n阶行列式的展开式
7、转置行列式
第1章行列式目录（续）
1.2 主要内容
8、对角行列式 9、上三角行列式 10、下三角行列式 11、行列式的七条性质 12、克拉默（Cramer）法则

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推论：对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
（ 5-
先用反证法证明，其中的先用反证法证明，其中的不可能等于零不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 ）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与之具有相同系数矩阵的方程组
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
(5) 若A是 m n矩阵,则必有
r ( A) min(m, n)
(4-1)
当r(A)=m（A的行数）时，称为行满秩[矩]阵，
当r(A)=n（A的列数）时，称为列满秩[矩]阵.
例5
对方程组
kx1 x2 x3 5 3 x1 2 x2 kx3 4 18 5k x 2x 2 3 2
问k取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解. 在无限多解时求出通解.
解一利用行初等变换，可把讨论相容性与解二根据方程组是的特点，常可利用行列式求解过程结合进行：
Ax b 有惟
若 r ( A) r ( A) n, 方程组有无限多个解，其通解带有n-r(A)个任意常数.
(2) 当 r ( A) r ( A) 时，方程组不相容，即无解.
证明对 A证明施以将 A变成矩阵，对A 施以将 AN 变成矩阵 N1的行初等 1的行初等变换
有有
A ~ [ N1 ] A ~ [ N1 ]
例
已知四元非齐次线性代数方程组的系数
矩阵之秩为 3，又已知该方程组有三个解向量 a1, a2, a3，其中
2 3 0 2 a1 , a 2 a3 5 4 1 1
求该方程组的通解.
解设方程组的系数矩阵为A,按所给条件知
(6) 若 A是n阶矩阵,则r(A)≤n, 当且仅当detA≠0 时r(A)=n,故也将行列式不为零的矩阵(非退化阵) 称为满秩[矩]阵，并称退化阵为降秩[矩]阵.
秩的计算
0 0 A 0 0 3 0 0 0 0 8 0 0 7 0 0 0 1 2 5 0
例2
说明
为梯矩阵,并求出r(A) .
第 4章
秩
本章先后讨论矩阵的秩及向量集的秩两个重要概念. 给出了矩阵的一个基本定理，并讨论了向量的线性相关性及正交性的概念.
4.1 矩阵的秩
4.1.1 概念
定义1 对m n 矩阵A, 称其一切非退化方子
矩阵的最高阶数 k 为A的秩(rank), 记作r (A), 并规定 r (O) = 0 .
证明因向量证明 v1、因向量 … 、vkv 、 v线性相关，故有不 … 、vk、v线性相关，故 1、
全为零的数全为零的数 1、2 、… 、 k 、使成立 …、k、使成立 1、 2、（ -7） 1v1 1 vk1v v 0k v5 0 k kv
矩阵与共有r(A)个非零行的m n梯矩阵的积.
用矩阵的秩的概念，也便于将第二章关于线性代数方程组的讨论，用定理形式表出。定理2 m n齐次线性方程组 Ax 0 存在非平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩r(A)小于未知数个数n ,且在能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数. 定理2’ 对任一m n矩阵A，必有等式
任一m n矩阵 A必可
通过有限次行初等变换而化为梯矩阵.
例３对矩阵
0 0 0 0 1 1 A 0 1 1 0 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 2 2 2
依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为行初等变换法),将其化为梯矩阵,并求秩.
r(A)+ N(A)的基础解向量总数=A的列数。
对于m n的非齐次线性代数方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
1v1 k vk 0
（4-9）
就称k个向量 ( 或该向量组 ) 是线性相关的；相反，当且仅当1 =… =k=0使时才成立(4-9),则称作是线性无关的.
从定义见，对于单个向量，当且仅当零向量时为线性相关. 例4 给定
a1 1 1 1 , a2 0 2 5 , a3 1 3 6 ,
法处理 . 解三利用n维向量的特点，以矩阵方法由于设向量 3 b3, 1 ( a1 a 2 ) 2 ( a 2 a 3 ) 3 ( a 3 a1 ) b 1 b1 2 b 2 1, b 2 b3线性相关，则必可找到不全来解决更为简捷. 为零的 , ,使成立 ( 1 2), a ) a ( ) a 0 3(
1 2 4 1 (3) C 2 4 8 2 3 6 2 0
.
从定义及上例的讨论过程可以看出:
(1) 当且仅当A是零矩阵时,r (A) = 0 .
(2)
r( A) r( AT )
(4-1)
(3) 若发现A 一个非零k阶子式，则必有r(A)≥k. 反之，若A 的一切k阶子式全为0时，则必有r(A)<k.
对于一般的m n矩阵A,它的秩虽然已有确切的
定义,但要求出其值却是很费事的. 这样,例2的简
单结果当然很具吸引力.可惜这种可以数得矩阵秩的
办法,只适合于梯矩阵. 自然会产生这样的想法,能否把一般的矩阵“变成”一个同秩的梯矩阵呢?回忆起行列式的性质,就不难想象,矩阵经初等变换后秩
不变(即等价矩阵的秩相同); 而且每个矩阵必可通
过有限次行初等变换而成为梯矩阵,这就是以下定
理.
定理1 推论1 后秩不变. 推论2
任一m n矩阵A经过有限次行初等任一m n矩阵A经有限次列初等变换设是任一 m n矩阵,而B是m(或)n阶 (4-3)
变换后秩不变.
满秩矩阵,则必有 r ( BA) r ( A) (或 r ( AB) r ( A) ) （第二章第50页）引理
当一个向量v可表成一组k个向量v1、v2 、… 、vk
的线性组合，即存在k个数μ1、μ2、…、μk使等式 v=μ1v1+ μ2v2+ … +μkvk (4-8) 成立时，就称该向量可依 (或由)这组向量(或这k个向量)线性表出(或示），并称数μi为表出(或示)式（5-1）的第i个系数，i=1,2,…k.
T T T
试讨论 a1、a2、a3 的线性相关性.
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关，而
b1 a1 a 2 b2 a 2 a3 b3 a1 a3
试证向量b1, b2, b3亦线性无关.
解一从定义出发，考察
1b1 2 b2 3 b3 0 解二为证明一组向量线性无关，常用反证（5-5）
进行讨论. 3 k 0 1 5 k 1 1 3 0 k 4 14 5k ~ 按克拉默法则，系数行列式不为零时方程 A (1) 3 2 k 18 5k r31 ( 1)
考察这个方程组在k=1时的通解式可以发现，它由两个部分组成；带任意常数部分及不带常数的部分，不带常数部分是方程组的一个特解，而带常数部分并不满足方程组，而是构成对应齐次方程的基础解系。故该解表现出了相容线性方程组解的结构，是通过导出组的基础解系来表示。一般地，若分别以 xp，表示方程组的通解，特解，对应齐次方程组的通解，则非齐次线性方程组的解有如下结构式 x g x p xh (4-7) 即相容齐次线性方程组的通解是有其某个特解与对应齐次线性方程组的通解叠加而成。值得指出，这个结构式对一般的线性方程是普遍的.
先用定理形式给出线性相关与线性表出这两个重要概念之间的联系，然后结合具体示例，讨论线
性相关性的一些有用性质. 定理4 向量组v1、v2 、… 、vk线性相关的充要
条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表出
(k≥2).
证明充分性：证明充分性：
设vj(1≤j ≤设 k)可依其余向量线性表出，即 vj(1≤j ≤k)可依其余向量线性表出
dim N ( A) n r ( A) 4 3 1
4.2 向量集的秩
4.2.1 向量集的线性相关与线性无关
定义2（线性组合，线性表出）设给定一组k个[同维]向量v1、v2 、… vk,则对任给定的k个[实]数 1、 2、 … k，称向量 1 v1 + 2 v2 +…+ k vk为这组向量(或这k个向量) 的线性组合(linear combination).