高中数学试卷答题纸
2024届上海虹口区高三一模数学试卷和答案
上海虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试高三数学试卷2023.12考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,5,21,_______.A B x x A B ==-≤⋂=则2.函数1lg(2)5y x x=--_________.3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，24S =，则lim n n S →∞=_________.4.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_________.5.在7(x x的二项展开式中x 项的系数为_________.6.已知1cos ,3x x =-且为第三象限的角，则tan2x =_________.7．双曲线2214y x -=的两条渐近线夹角的余弦值为_________.8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+(0>ω,||2ϕπ<)的部分图像如右图所示，则()f x =_________.9.已知()y f x =是定义在(1,1)-上的函数，若()3sin f x x x =+，且2(1)(1)0,f a f a -+-<则实数a 的取值范围为_________.10.将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________.（结果用分数表示）11.设a ∈R ，若关于x 的方程()2210x x a x x a --+-+=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________.12.设123123,,,,,a a a b b b 是平面上两两不相等的向量，若1223a a a a -=-= 312,a a -=且对任意的{},1,2,3,i j ∈均有{1,3,i j a b -∈则122331b b b b b b -+-+-=________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）（第8题图）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.设i 为虚数单位，若2521z -+=-ii i ，则z =（）（A ）12-i（B ）12+i（C ）2-i（D ）2+i14．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:AQI 指数值0~5051~100101~150151~200201~300300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI 的数据并绘成折线图如下:下列叙述正确的是（）（A ）这20天中AQI 的中位数略大于150（B ）10月4日到10月11日，空气质量越来越好（C ）这20天中的空气质量为优的天数占25%（D ）10月上旬AQI 的极差大于中旬AQI 的极差15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体.若2AB =，则此半正多面体外接球的表面积为（）（A ）43π（B ）12π（C ）823π（D ）8π16.已知曲线Γ的对称中心为O ，若对于Γ上的任意一点A ，都存在Γ上两点,B C ，使得O 为ABC △的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.（第15题图）则（）（A ）①是假命题，②是真命题（B ）①是真命题，②是假命题（C ）①②都是假命题（D ）①②都是真命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+-，(),n c b c a =+- ，且m //n ．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为正方形，4AB AC ==；设M 是CC 1的中点，满足11AM A B ⊥，N 是BC 的中点，P 是线段A 1B 1上的一点.(1)证明：AM ⊥平面A 1PN ；(2)若1421BC A P ==，求直线AB 1与平面PMN 所成角的大小．19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排放处理后的废水比上月增加2吨.（1）若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知点(,4)M m 在抛物线Γ：22(0)x p y p =>上，点F 为Γ的焦点，且5MF =.过点F 的直线l 与Γ及圆22(1)1x y +-=依次相交于点,,,,A B C D 如图.（1）求抛物线Γ的方程及点M 的坐标；（2）求证：AC BD ⋅为定值；（3）过A ,B 两点分别作Γ的切线12,,l l 且1l 与2l 相交于点P ，求△ACP 与△BDP 的面积之和的最小值．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)已知()y f x =与()y g x =都是定义在()0+∞，上的函数，若对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有121212()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-，则称()y g x =是()y f x =的一个“控制函数”.（1）判断2y x =是否为函数()20y x x =>的一个控制函数，并说明理由；（2）设()ln f x x =的导数为()'f x ，0a b <<，求证：关于x 的方程()()()'f b f a f x b a-=-在区间(),a b 上有实数解；（3）设()ln f x x x =，函数()y f x =是否存在控制函数？若存在，请求出()y f x =的所有控制函数；若不存在，请说明理由.虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试高三数学参考答案和评分标准2023年12月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．{}1,2,32．(2,5)3.924．12π5．560 6.4277.358．cos(2)6x π-9.(1,210．1711．()9,+∞12.3二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.C15.D16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)解：(1)因为m //n，所以()()sin sin sin sin A B C b c a c A +-⋅+-=⋅，……2分由正弦定理，可得()()a b c b c a ac +-⋅+-=，即222ac a c b =+-.……4分于是，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，所以3B π=．……7分（2）由（1）可知2,3A C π+=所以233sin sin sin sin()sin cos 3)3226y A C A A A A A ππ=+=+-=+=+……11分由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<-<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin 3)6y A C A π=+=+的取值范围为32,3.⎛ ⎝……14分18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：(1)取AC 中点D ，连接DN ，A 1D .因AA 1＝AC ，AD ＝CM ，∠A 1AD ＝∠ACM 90=︒，故△A 1AD ≌△ACM .……2分从而∠AA 1D ＝∠CAM ，又因∠AA 1D ＋∠A 1DA 90=︒，故∠CAM ＋∠A 1DA 90=︒.所以AM ⊥A 1D .由于AM ⊥A 1B 1及A 1B 111,A D A ⋂=因此AM ⊥平面A 1B 1D.……4分因D ,N 分别为AC ,BC 的中点，故D N //AB ，从而D N //A 1B 1，于是A 1，P ，B 1，N ，D 在同一平面内，故AM ⊥面A 1PN.……6分解：(2)因为AB ＝AC ＝4，BC ＝2AB 2＋AC 2＝BC 2,故AB ⊥AC.因AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，故AM ⊥AB ；又因AM ∩AC ＝A ，所以AB ⊥面ACC 1A 1，从而AB ⊥AA 1；因此AB ，AC ，AA 1两两垂直.以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.……8分则由条件，相关点的坐标为M (0，4，2)，N (2，2，0)，P (1，0，4)，B 1(4，0，4).设平面MNP 的一个法向量为(,,),n x y z =则(,,)(2,2,2)2220,,2,(,,)(1,4,2)420,n MN x y z x y z y z x z n MP x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--==⎧⎪⎨⎨=⋅=⋅-=-+=⎩⎪⎩即取1,(2,1,1).z n == 得……11分因1AB =(4，0，4)，设直线1AB 与平面PMN 所成的角为θ，则111(4,0,4)(2,1,1)3sin cos ,(4,0,4)(2,1,1)426AB n AB n AB nθ⋅⋅=<>====⋅⋅⋅ 故直线1AB 与平面PMN 所成角的大小为.3π……14分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）设从2023年1月起第n 个月处理后的废水排放量为n a 吨，则由已知条件知：数列{}n a 是首项为10，公差为2的等差数列，故28n a n =+.……2分当18002nn i a n =≥+∑时，即[]10(28)80022n n n ++≥+，……4分化简得278000n n +-≥，解得25,32;n n ≥≤-或由n 是正整数，则25n ≥.故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕.……6分（2）设从2023年1月起第n 个月深度净化的废水量为n b 吨.由已知条件，1260b b b ==== ，当7n ≥时，数列{}n b 是首项为5，公比为1.2的等比数列，故70,16,51.2,7,n n n b n -≤≤⎧=⎨⨯≥⎩ （n 为正整数）.……8分显然，当16n ≤≤时，n n a b >.当7n n n a b ≥≤时,由得72851.2n n -+≤⨯.（*）……10分设72851.2n n c n -=+-⨯，则812 1.2n n n c c ---=-，所以当711n ≤≤时，数列{}n c 是严格增数列，且0;n c >当12n ≥时，数列{}n c 是严格减数列.……12分由于19 1.420c ≈>，20 5.500c ≈-<.所以不等式（*）的解为20n ≥（n 为正整数）.故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化.……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：（1）易知抛物线Γ的焦点F 的坐标为(0,),2p 准线为2py =-，由抛物线的定义，得452pMF +==，故2p =.所以，抛物线Γ的方程为24.x y =………2分将(,4)M m 代入Γ的方程，得4x =±，所以点M 的坐标为：(4,4),或(4,4).-………4分（2）由（1）知F (0,1),又由条件知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y k x =+，并设A 11(,),x y B 22(,),x y 则由21,4,y k x x y =+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=故216(1)0,k ∆=+>且12124, 4.x x k x x +==-………7分由抛物线的定义，可知11,AF y =+2 1.BF y =+又因圆22(1)1x y +-=的圆心为F （0,1），半径为1，于是11,AC AF y =-=21.BD FB y =-=所以AC BD ⋅222121212()14416x x x x y y ==⋅==.………10分（3）由24x y =得24x y =，而12y x '=.故过点A 211(,)4x x 的抛物线Γ的切线1l 的方程为2111(),42x x y x x -=-即21120.2x x x y --=①………12分同理，过点B 222(,4x x 的抛物线Γ的切线2l 的方程为22220.2x x x y --=②由①，②可得：2212121212112,() 1.2424P P P x x x x x k y x x x x x ⎡⎤++===+-==-⎢⎥⎣⎦即(2,1).P k -……15分所以点P 到直线l :10k x y -+=的距离为d ==于是111()222ACP BDP S S AC d BD d AC BD d ∆∆+=⋅+⋅=+⋅()()()()22212121212221112224811682218x x y y d d x x x x d k k ⎛⎫+⎡⎤=+⋅=⋅=+-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭=+⋅=+故当k =0，即直线l 为y =1时，ACP BDP S S ∆∆+有最小值2.……18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）由于对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有112222x x x x ≤+≤；……2分即有2212121222,x x x x x x -≤≤-故由控制函数的定义，22y x y x ==是函数的控制函数.……4分证：（2）关于x 的方程ln ln 1b a b a x -=-在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a-⇔<<-()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔-<-<-ln ln ln 10ln ln ln 10b a b bb a aa a ab a a a b b b b-⎧⎧-<-+<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨-⎪⎪-<-+<⎪⎪⎩⎩.……7分记()ln 1F x x x =-+，则()11'1xF x x x-=-=，当()0,1x ∈时()'0F x >，()F x 在()0,1上严格增；当()1,x ∈+∞时()'0F x <，()F x 在()1,+∞上严格减.而01a b b a <<<，故()()10,10a b F F F F b a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是所要证的结论成立.……10分另证：关于x 的方程ln ln 1b a b a x -=-在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a-⇔<<-()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔-<-<-ln ln 0ln ln 0a b b a a a b a a b b b -+-<⎧⇔⎨-+-<⎩.……7分记()ln ln F x a x x a a a =-+-，则()'1aF x x=-，当[],x a b ∈时()'0F x ≤，故()F x 在[],a b 上严格减，()()0F b F a <=.记()ln ln G x b x x b b b =-+-，则()G'1bx x=-，当[],x a b ∈时()'0G x ≥，故()G x 在[],a b 上严格增，()()0G a G b <=.于是所要证的结论成立.……10分解：（3）①先证引理：对任意0a b <<，关于x 的方程()()()'f b f a f x b a-=-在区间(),a b 上恒有实数解.这等价于()()()()ln ln ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1b b a aa b a b a b b a a b b a b a-+<<+⇔+-<-<+--1ln ln 1b a b b a a-⇔<<-，由（2）知结论成立.……12分②（证控制函数的唯一性）假设()y f x =存在“控制函数”()y g x =，由上述引理知，对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()12()'()g x f c g x ≤≤.……（*）下证：()()()',0,g x f x x =∈+∞.若存在()10,t ∈+∞使得()()11'g t f t >，考虑到()'ln 1f x x =+是值域为R 的严格增函数，故存在21t t >使得()()21'f t g t =.由（*）知存在()012,c t t ∈使得()102()'()g t f c g t ≤≤，于是有()()()012''f c g t f t ≥=，由()'f x 的单调性知02c t ≥，矛盾.故对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≤.同理可证，对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≥，从而()()'g x f x =.……15分③（证控制函数的存在性）最后验证，()()'g x f x =是()y f x =的一个“控制函数”.对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()1212()()'f x f x f c x x -=-，而由()'f x 的单调性知()12'()''()f x f c f x ≤≤，即121212()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-.综上，函数()y f x =存在唯一的控制函数ln 1y x =+.……18分。
衢州、丽水、湖州2023 年 11 月三地市高三教学质量检测数学试卷及参考答案
衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数 学1.本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}3log 1A x x =≤，{}2B x x =≤，则AB =A ．(,3]−∞B ．(,2]−∞C ．(0,2]D ．(0,3] 2．若复数z 满足(34i)2i z +=+（i 为虚数单位），则z =A ．5B ．35C ．15 D ．343．已知向量(2,3)a =，(1,)b x =−，则“()()a b a b +⊥−”是“x =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中错误．．的是 A ．已知随机变量1~(6,)2X B ，则(21)6D X −=B ．已知随机变量~ξ2(,)N μσ，若函数()(11)f x P x x ξ=−<<+为偶函数，则0μ=C ．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8D ．样本甲中有m 件样品，其方差为21s ，样本乙中有n 件样品，其方差为22s ，则由甲乙组成的总体样本的方差为2212m n s s m n m n⋅+⋅++ 5．已知(,0)2πα∈−，且tan()3cos 24παα−=，则sin 2α=A ．16−B ．13−C ．23−D ．56−6．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且23S =，64512S S =−，则4S =A ．11B ．13C ．15D ．17 7．设函数()sin f x x x ωω+，且函数2()[()]4g x f x =−在[0,5π]x ∈恰好有5个零点，则正实数ω的取值范围是 A ．1316[,)1515 B ．531[,)630C ．1114[,)1515D ．2329[,)3030 8．四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是平行四边形，点E 、F 分别为PC 、AD 的中点，连接BF 交CD 的延长线于点G ，平面BGE 将四棱锥P ABCD −分成两部分的体积分别为12,V V 且满足12V V >，则12VV =A ．43 B ．75 C ．53D ．74二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知直线:120l mx y m +−−=与圆222:O x y r +=有两个不同的公共点,A B ，则A ．直线l 过定点(2,1)B ．当4r =时，线段AB长的最小值为 C ．半径r的取值范围是 D ．当4r =时，OA OB ⋅有最小值为16− 10．已知函数1()cos cos f x x x=+，则 A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于点(,0)2π对称 D ．()f x 的最小值为211．正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点（不含端点），且AE BF =,则A ．1A F 与AD 的距离是定值B ．存在点F 使得1A F 和平面1ACD 平行C ．11A F C E ⊥D ．三棱锥1B BEF −的外接球体积有最小值12．已知函数()3269x x f x x −=+，若()()()123f x f x f x ==，其中123x x x <<，则A ．112x <<B ．122x x +>C ．2326x x +>D ．12304x x x <<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．5(2)x y −展开式中4x y 的系数为 ▲ ．14．设函数()y f x =的定义域为R ，且(1)f x +为偶函数，(1)f x −为奇函数，当[]1,1x ∈−时，2()1f x x =−，则20231()k f k ==∑ ▲ ．15．已知函数n (l )f x x =，2()4x g x =，写出斜率大于12且与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切的直线l 的方程： ▲ ．16．已知双曲线2222:1y xC a b−=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，,A B 为C 上位于x 轴上方的两点，且12AF BF ，1260AF F ∠=︒.记21,AF BF 交点为P ，过点P 作1PQAF ，交x 轴于点Q .若2OQ PQ =，则双曲线C 的离心率是 ▲ ．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+−=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =−，证明：当01x <<时，3()3x f x >−；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π−上单调.21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n b =*N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值．22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、EAB ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 10− 14.1− 15. 1y x =− 16.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+−=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积. 解：（1）由题意得22222sin sin sin cos cos sin sin B C C B A A B ⋅+=−=−，-----------2分所以222b c a bc +−=−，故2221cos 22b c a A bc +−==−，------4分 因为0A π<<，所以sin A =-----------------------------------5分（2）设CD x =，则2BD x =，在ADB ∆中，有2222244cos 28AD BD AB x c ADB AD BD x+−+−∠==⨯.在ADC ∆中，有222224cos 24AD CD AC x b ADC AD CD x+−+−∠==⨯.----------------------------------7分 又πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos ADB ADC ∠=−∠， 所以有2226212c x b =−+. 又2c b =，所以222b x =+. 在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−.又3a x =，2c b =，2π3A =， 所以有22222194472x b b b b ⎛⎫=+−⨯−= ⎪⎝⎭.联立2222297b x x b⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得3x b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以26c b ==，----------------------------------9分 所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.----------------------------------10分另解：由2BD DC =，2c b =，知AD 是BAC ∠平分线，所以3BAD CAD π∠=∠=在ADB ∆中，有222()423a c c =+−.在ADC ∆中，有221()423a b b =+−，所以22424(42)c c b b +−=+−结合2c b =解得26c b ==，所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.证：（1）由平面平面，，知平面，故AB AF ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------2分 另一方面，在ACF ∆中，222AF AC CF +=知AF AC ⊥，从而AF ⊥平面ABCD .-------4分 故AF AD ⊥，又AB AD ⊥，知AD ⊥平面BAF ，故AD AN ⊥，故BC AN ⊥，又N 是BF 中点，AF AB =，故AN BF ⊥，进而AN ⊥平面BCEF ,故AN CM ⊥.-------------------6分（2）以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AF 所在的直线为x 、y 、z 轴，则)0,0,0(A 、)0,0,2(B 、)0,2,0(D 、)2,1,0(E 、)34,32,32(M ，则)34,34,32(−−=MD ，---------8分设面ABE 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AB n 得()1,2,0−=n，----------------10分则552sin =θ.------------------------------------------------------------------------------------------12分 19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如右图： 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分2230(10818)5 3.84118121515K ⨯−==>⨯⨯⨯，-------------------------------4分故有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.-------------------------------5分（2）记事件A 代表“一袋中有4个合格品”，事件B 代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C 代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故3()5P B =,2()5P C =，下求()P B A ：由()()()()()P A P A B P B P A C P C =⋅+⋅----------------------------------------------------7分44413232864(5())(5())5555553125=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--------------------------------------10分 故()()()8()()()9P A B P B P AB P B A P A P A ⋅===.-------------------------------12分 20．（本题满分12分）已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =−，证明：当01x <<时，3()3x f x >−；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π−上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+−.-----------------------------------------------------------------------8分因为()022f ππ'=−<，所以函数()y f x =在[]0,π只能单调递减，由(0)10()(1)0f a f a π'=+≤⎧⎨'=−+≤⎩，解得1a =−.------------------------------------------------10分 下证当1a =−时，()cos sin f x x x x =−在[]π,π−上单调.由于()f x 是奇函数，只要()y f x =在[]0,π单调，因为()sin 0f x x x '=−≤，所以()f x []0,π单调递减.----------------------------12分解法2：（2）因为()cos sin ()f x x x a x f x −=−−=−，所以()f x 为奇函数.--------------------------6分 要使函数()y f x =在[]π,π−上单调，只要函数()y f x =在[]0,π上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+−.------------------------------------------------------------------------8分 （i ）若(0)10f a '=+=，即1a =−时，()sin 0f x x x '=−≤，所以函数()y f x =在[]0,π上单调递减，所以1a =−满足题意；（ii ）若(0)10f a '=+>，则()(1)0f a π'=−+<，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在12,(0,)x x π∈，使得当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当2(,)x x π∈时，()0f x '<，所以()y f x =在1(0,)x 单调递增，在2(,)x π单调递减，因此1a >−不合题意；（iii ）若(0)10f a '=+<，则()(1)0f a π'=−+>，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在34,(0,)x x π∈，使得当3(0,)x x ∈时，()0f x '<，当4(,)x x π∈时，()0f x '>，所以()y f x =在3(0,)x 单调递减，在4(,)x π单调递增，因此1a <−不合题意；------------------10分 因此所求实数a 的取值范围是1a =−.-------------------------------------------------------------12分 21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足n b *N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则2113(12)d d d +++=+，得12d =±，-------------2分 故12n n a +=或32n n a −=.-----------------------------------------4分（2）由{}n b 为等差数列，可设n b pn q =+，记{}n a 的公差为d ，故1(1)n a n d =+−.所以pn q +=，显然0p ≥，0pn q +≥，----------------------------6分 平方得22222224p n pqn q d n d ++=+−，该式对任意*n N ∈成立，故2222024p d pq q d ⎧=⎪=⎨⎪=−⎩，得20p d q ==⎧⎨=⎩.故21n a n =−，2n b n =.------------------------------------8分 因此11112(21)nnn k k k k T a b k k ====−∑∑，一方面，11111112(21)22nnn k k k k T a b k k ====>−=−∑∑，故42n T >，------------------9分 另一方面，111211114442112(21)()()22nn n n n k k k k k k T a b k k k k k k ========+−−−∑∑∑∑22111122213(1)1nnk k k k k k n ==⎛⎫<+=+−=+−< ⎪−−⎝⎭∑∑.--------------------------------11分故整数．．λ的最小值为3.-------------------------------------------------------------------------12分法二：记{}n a 的公差为d ，则1b =，2b =3b =，-------------------------6分上式平方后消去d 可得2222322135b b b b −−=，结合3122b b b +=可知212b b =， 故2d =，21n a n =−，2n b n =.-----------------------------------------------------------------------8分下同方法一. 22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、ABE ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252ptpt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =(舍去)，所以抛物线C 的方程为22y x =.-------------------------------------------------------3分（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为():1AB l x my m R =+∈，与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my −−=，根据韦达定理知122y y m +=，122y y =−.-------------------------------------------------------5分由题意得直线1l 方程为1111111()2y y x x y x y y =−+=+，令0y =，得212y x =−，即21,02y P ⎛⎫− ⎪⎝⎭. 直线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =−，即22,02y Q ⎛⎫−⎪⎝⎭.则222122y y PQ =−.------------------------------------------------------------------6分 联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==−⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m −， 则D 到直线AB l的距离2D AB d −==.直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =−++=−++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 直线4l 的方程为32222y y y x y =−++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.则222122y y RS =−. 联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y⎧=−++⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=−⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，----------------------------------------------7分 则E 到直线AB l 的距离E AB d −==.由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=−，21,2d AB S AB d −=⋅=312E AB S AB d −=⋅=222141122222E y y S RS y m =⋅=−.--------------------------------------------------10分所以212342=42S S m S S +==，得m = 所以直线AB的方程为：1x =+.-----------------------------------------12分。
高中数学基础训练测试及参考答案1-10
高中数学基础训练测试题（1）集合的概念，集合间的基本关系一、填空题（共12题，每题5分）1、集合中元素的特征： ， ， .2、集合的表示法： ， ， .3、已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 .4、设集合I={1，2，3}，A ⊆I,若把集合M ∪A=I 的集合M 叫做集合A 的配集. 则A={1，2}的配集有 个 .5、设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 . （1）．P Q （2）．Q P （3）．P =Q （4）．P ∩Q =Q6、满足条件∅≠⊂M ≠⊂{0，1，2}的集合共有 个.7、 若集合a B A a a a B a a A 则且},1{},43|,2|,12{},1,1,{22-=+--=-+= = .8、 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有_____个.9、集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且AB B =，则实数a ＝______、10、已知集合{}{}A x x x RB x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是_______ .11、 若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 .12、任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n=⎝⎛+异奇偶）与同奇偶）与n m mn n m n m ((,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N +}中元素的个数是___________.高三数学基础训练测试题（1）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、、已知集合A =}2432{2++a a ，，，B=}24270{2-+-a a a ，，，，A ∩B={3，7}，求B A a ⋃的值及集合.高中数学基础训练测试题（2）集合的基本运算一、填空题（共12题，每题5分）1、已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T =.2、 如果{}|9U x x =是小于的正整数{}1234A =，，，，{}3456B =，，，， 那么U UA B =痧 .3、若22{228}{log 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()AB R ð的元素个数为.4、已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = .5、已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ .6、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于.7、已知集合M =｛直线的倾斜角｝，集合N ={两条异面直线所成的角}，集合P=｛直线与平面所成的角｝，则(M ∩N)∪P= .8、设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___、9、设集合{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则MN =___10、设集合{}{}22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ⋂等于.11、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是 .12、设a 是实数, {}22|,210,M x x R x ax a =∈-+-≤{}22|,11,N x x R a x a =∈-≤≤+若M 是N 的真子集,则a 的取值范围是 、高三数学基础训练测试题（2）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0（1）有两个实根；（2）有两个实根，且一个比0大，一个比0小；（3）有两个实根，且都比1大；高中数学基础训练测试题（3）命题及其关系一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的.2、 πα≠“”3是α≠1“cos ”2的 .3、“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的.4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题： .①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 5、设p ：25x x >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是p 的 .6、设集合U={(x,y)｜x ∈R,y ∈R},A ={(x,y)｜x+y ＞m},B= {(x,y)｜22x y n +≤},那么点(1,2)∈()U C A B ⋂的充要条件是 .7、下列四个命题：①在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等； ②在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等； ③在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点； ④在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点、 其中真命题的序号是 、（写出所有真命题的序号） 8、设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x .若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 .9、对于[0,1]x ∈的一切值，20a b +>是使0ax b +>恒成立的.10、设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的_______条件. 11、 、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个.12、给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 .其中正确命题的序号是_____ .高三数学基础训练测试题（3）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知集合()3,12y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，()(){},115B x y a x y =++=，试问当a 取何实数时，A B =∅．高中数学基础训练测试题（4）逻辑联接词一、填空题（共12题，每题5分） 1、下列语句①“一个自然数不是合数是就是质数”②“求证若x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根” ③“垂直于同一直线的两条直线平行吗？” ④“难道等边三角形各角不都相等吗？” ⑤“x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数” 其中有________个是命题，________个真命题2、命题“方程x 2－1＝0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是________.3、下列四个命题p ：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形q ：π不是有理数；r ：等边三角形是中心对称图形；s ：12是3与4的公倍数 其中简单命题只有________.4、如果命题“p 或q ”是真命题，那么下列叙述正确的为________.（1）．命题p 与命题q 都是真命题 （2）．命题p 与命题q 的真值是相同的，即同真同假 （3）．命题p 与命题q 中只有一个是真命题 （4）．命题p 与命题q 中至少有一个是真命题5、下列说法正确的有________个．①a ≥0是指a ＞0且a ＝0；②x 2≠1是指x ≠1且x ≠－1 ③x 2≤0是指x=0；④x ·y ≠0是指x ，y 不都是0⑤＞是指＝或＜a b a b a b / 6、复合命题s 具有p 或q 的形式，已知p 且r 是真命题，那么s 是________. 7、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是8、分别用“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式．(2)命题“非空集A ∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”是________的形式． (3)命题“C I A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是________的形式．(4)x y =1x y =1x =1y =0x =0y =1221122命题“方程组＋＋的整数解是，”是⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩_______的形式． 9、P: 菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分，p 或q 形式的复合命题是________10、有四个命题：(1)空集是任何集合的真子集；(2)若x∈R，则|x|≥x(3)单元素集不是空集；(4)自然数集就是正整数集其中真命题是________(填命题的序号)11、指出命题的结构及构成它的简单命题：24 4x x +-有意义时，2x≠±12、已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．(1)p：2是偶数q：2是质数________；(2)p：0的倒数还是0 q：0的相反数还是0________高三数学基础训练测试题（4）题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断此复合命题的真假．(1)A A B/⊆∪(2)方程x2＋2x＋3=0没有实根(3)3≥3高中数学基础训练测试题（5）综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1、 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 .2、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，b的取值范围是 .3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101sgn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是 .6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 .7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-8、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2>--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=)(N M U，则实数m 的取值范围是 .9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、 已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _ 12、{25},{121},A x x B x p x p =-<<=+<<-若A B A ⋃=，则实数p 的取值范围是 .高三数学基础训练测试题（5）题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．高中数学基础训练测试题（6）函数及其表示方法一、 填空题（共12题，每题5分）1、若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = ．2、已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 ．3、已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．4、已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．5、设函数x xxf =+-)11(，则)(x f 的表达式为 ．6、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .7、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 .8、设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，则f (x )= ．9、集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.10、若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .11、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满、 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .12、若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，则f (x )= ．高三数学基础训练测试题（6）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式、高中数学基础训练测试题（7）函数的解析式和定义域一、 填空题（共12题，每题5分）1、下列各组函数中，表示同一函数的是 ．①xxy y ==,1 ②1,112-=+⨯-=x y x x y③33,x y x y == ④2)(|,|x y x y ==2、函数y =的定义域为 ．3、函数1()1f x n x=的定义域为 ．4、函数1)y a =<<的定义域是 ．5、已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 ．6、下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1 ；③y = |x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 ．7、若f[g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 ．8、已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= ．9、若函数f(x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f(x )-f (-x )的定义域是 ．10、若f (2x +3)的定义域是[-4,5)，则函数f (2x -3)的定义域是 ．11、函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域为 ．12、 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，实数a 的取值范围为 ．高三数学基础训练测试题（7）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：（1）f(x+5)≥f(x)+5；（2）f(x+1)≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．高中数学基础训练测试题（8）函数的值域与最值一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数y = － x 2 + x , x ∈ [1 ,3 ]的值域为 ． ２、函数y =2312+-x x 的值域是 ．３、函数y=2－x x 42+-的最大值是 ．４、函数y x =的值域是 ．５、函数y =的最小值是 ．６、已知函数2323(0),2y x x x =-+≤≤则函数的最大值与最小值的积是 ．７、若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0,m],值域为[－425,－4],则m 的取值范围是 ．8、已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，则a 的取值范围是 ．9、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 是 ．10、函数y = 3122+---x x x x 的值域为 ．11、已知x ∈[0,1],则函数y =的值域是 ．12、已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 ．高三数学基础训练测试题（8）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数f(x) =xax+b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)=1，f(x)=x只有惟一实数解，试求函数y=f(x)的解析式及f[f(-3)]的值．高中数学基础训练测试题（9）函数的单调性与奇偶性一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的范围是 ．2、函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 ．3、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 ．4、定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = ．5、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ．6、函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ．7、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则)2(f 、)2(f 、)3(f 的大小关系为 ．8、构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0 所构造的函数为 ．9、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 的单调递减区间为 ．10、下面说法正确的选项为 ．①函数的单调区间可以是函数的定义域②函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 ③具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 ④关于原点对称的图象一定是奇函数的图象11、下列函数具有奇偶性的是 ． ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y .12、已知8)(32009--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，则(2)f = .高三数学基础训练测试题（9）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数、高中数学基础训练测试题（10）函数的图像一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数34x y =的图象是 ．① ② ③ ④ 2、下列函数图象正确的是 ．① ② ③ ④3、若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 ． ①(,())a f a - ②))(,(a f a - ③))(,(a f a - ④))(,(a f a ---4、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为 ．5、当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 ．6、函数x xx y +=的图象是 ．7、已知()x f 是偶函数,且图象与x 轴有4个交点,则方程()0=x f 的所有实根的和是 ． 8、下列四个命题，其中正确的命题个数是 ．（1）f(x)=x x -+-12有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是抛物线. 9、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 ．10、已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集为 ． 11、下列命题中正确的是 ．①当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点③若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数④幂函数的图象不可能出现在第四象限12、定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图像与)(x f 的图像重合、设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：①)()()()(b g a g a f b f -->-- ②)()()()(b g a g a f b f --<--③)()()()(a g b g b f a f -->-- ④)()()()(a g b g b f a f --<--其中成立的是 ．高三数学基础训练测试题（10）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、 如图,已知底角为450的等腰梯形ABCD,底边BC 的长为7,腰长为 22 ,当一条平行于AB 的直线L 从左至右移动时,直线L 把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象、C1、 集合的概念，集合间的基本关系1．确定性 ， 互异性 ， 无序性 .2． 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 . 3． 15． 4． 4 5． （3） 6． 6 个7．0提示：2a-1 =-1，a=0;此类问题要注意验证集合中元素的互异性.8、7提示：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆-集合M 有32=8个.去除M={1,2}，满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有7个. 9、 10,1,2a =提示：A B B =A B ⊆=，{}2|320B x x x =-+== {}1,2，x=1时,a=1;x=2时,a=12、而a=0时,A=φ，满足A B B =. 10、1a ≤提示：{}{}|||4|44A x x x R B x x =≤∈=-≤≤，=， a<0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，= φ,满足A B ⊇a ≥0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，={}|33x x a x a -≤≤+，A B ⊇ 4334aa -≤-⎧⎨+≥⎩ 1a ≤；11、 32-提示：注意到0∆=时集合中只有一个元素，此时集合A 中所有元素之和为-3；0∆≠时，集合A 中所有元素之和为32-.12、41提示： a 、b 同奇偶时，有35个；a 、b 异奇偶时，有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、(36,1)6个，共计41个.填41.13、解：∵ A ∩B={3，7} ∴ 7∈A ∴ 7242=++a a ，即 15=-=a a 或当 5-=a 时，B={0，7，7，3} （舍去）当 1=a 时，B={0，7，1，3} ∴ B={0，7，1，3}2．集合的基本运算1、 {}1,2 ；2、{}7,8 ；3、2；4．{}1- ； 5、｛x |2＜x ＜3}； 6、{},0x x R x ∈≠； 7、 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示： M =｛直线的倾斜角｝=[]0,π， N ={两条异面直线所成的角}=0,2π⎛⎤⎥⎝⎦， P =｛直线与平面所成的角｝=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则(M ∩N)∪P=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、提示：利用韦恩图和()()()U U U C A C B C A B =⋃易求{2,3}A =，{2,4}B =9、 [4,)+∞ 提示：[){| 2.M x y ===+∞，N ＝{}[)2|,4,y y x x M =∈=+∞，则MN = [4,)+∞10、 [)+∞,0提示：{}[){}22|210,,|25M y y x x N x y x x R ==++=+∞==-+= 所以N M ⋂=[)+∞,0；11、 m ≥2提示： {|0}M x x m =+≥，2{|280}(2,4)N x x x =--<=-，U M =（,m -∞-），所以-m ≤-2, 、m ≥2；12、 1,a >或2a ≤-提示：2221011x ax a a x a -+-≤⇔-≤≤+，M N ⊆时2211,11a a a a -≥-+≤+但对边缘值1，-2进行检验知1不合；13、 解：（1）方程有两个实根时，得2[2(m-1)]4(2m+6)0∆=-⨯≥解得m -1m 5≤≥或（2）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得(0)0f <，解得3m <-（3）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得 2(1)12(1)2602(1)112[2(m-1)]4(2m+6)0f m m m m =+-++>--=->∆=-⨯≥ 解得5-14m <≤-3、命题及其关系1、必要不充分条件2、必要不充分条件3、充分不必要条件4、①②④5、必要不充分条件6、35m n ≥≥且7、 提示： ②在空间，不存在点到长方形各边的距离相等； ③在空间，存在到长方体各顶点距离相等的点，但不存在到它的各个面距离相等的点；真命题的序号是①④8、 a 1[0,]2∈提示：┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，所以q 是p 的必要而不充分的条件, 所以p q ⊆，P:|43|1x -≤ 所以112x ≤≤，q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 所以a ≤x ≤a+1，1211a a ⎧≤⎪⎪⎨+≥⎪⎪⎩a 1[0,]2∈； 9必要不充分条件提示：对于[0,1]x ∈的一切值0axb +>恒成立 00a b b +>⎧⎨>⎩所以20a b +>；10、 既不必要不充分条件提示：2x 2+x+1>0和2x 2+x+1>0的解集为R, M=N,111222a b c a b c ==不成立；若212121c c b b a a ==，- x 2+2x-1>0和x 2-2x+1>0，此时 M ≠N11、 8、个.12、 提示：②ab>0时b a b a +=+成立.③若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 且0≠y 则0≠xy ”； 正确命题的序号是①④.13、 解：联立关于,x y 的方程组：()3121150y x a x y -⎧=⎪-⎨⎪+++=⎩．消去y 得到关于x 的方程：()214a x += （*） 由题意，关于x 的方程（*）无解或者解为2x =． 若（*）无解，则20a +=，解得2a =-．若（*）的解为2x =，则()2214a +=，解得5a =． 综上所述，2a =-或者5a =．4、逻辑联接词1．三个是命题，一个真命题；2．使用了逻辑联结词“或”；3．r ；4．（4）5．3个．6．真命题．7．提示：3210x x ∃∈-+>R ，．8．提示：(1)p 且q (2)p 或q (3)非p (4)p 或q ；9．提示：(1)菱形的对角线互相垂直或互相平分． 10．②③提示： 11．P 且q;p:244x x +-有意义时，2x ≠;244x x +-有意义时，2x ≠-; 12、提示：1．(1)p 或q ：2是偶数或质数，真命题 p 且q ：2是偶数且是质数，真命题 非p ：2不是偶数，假命题．(2)p 或q ：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题． p 且q ：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题． 非p ：0的倒数不是0，真命题．13．解：3(1)p p A A B ．非形式的复合命题：：∪，此复合命题为假．⊆(2)非P 形式的复合命题：p ：方程x 2＋2x ＋3=0有实数根．此复合命题为真．(3)p 或q 形式的复合命题：p ：3＞3为假，q ：3=3为真．此复合命题为真5、综合运用1、 12 ； 2． b<2 ； 3、 92；4、54 ；5、3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ；7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 2;m ≥提示：M N R ⋂= ；9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为{}24x x ≤<10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>211、 a ≤－2提示：A ={x ||x |≤2，x ∈R }=[-2,2]，B ={x |x ≥a }，且A B ，∴ a ≤－212．3≤p 提示： A B A ⋃= ∴ B A ⊆ ∴3≤p13、解：若p 真，则()22140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥． 因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.6、函数及其表示方法1．2x 2+7 ； 2．x c b a c y --=； 3．π+1 ； 4． - 4 ； 5．xx+-11 ； 6．－1；7．提示：327223,(72)32f p q =⨯∴=+ 8．提示：设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ， ∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3． 9． 4 ; 10．c b a c b a *+=+)()*(; 11．*,)2019(20N x y x ∈⨯= ； 12．提示：在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x1代换x 得 f (x 1)+2 ;f (x )= x 1 ②，联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 13.显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时， PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.7、函数的解析式和定义域一．填空题：1．③ 2．{}|1x x ≥ 3．[4,0)(0,1]-⋃ 4． (2,3] 5．)2,2(-；6．4 7．f (x )=3x 8．15 9．[a ，-a ] 10． {x |-1≤x ＜8} 11．),3[]2,1()1,0(+∞ 提示：由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3．故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．12．()2,2-提示： 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2．13：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★）结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5．于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故 g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．8、函数的值域与最值一．填空题：1． {y|164y -≤≤} ；２．(－∞, 23)∪(23,+ ∞) ； ３．2 ；４．(,1]-∞ ；５． ；６．6 ； 7．[23 ,3] ； 8．利用△≥0⇒ a ≥2或a ≤-2． 9．215± 10．.1115|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-y y 提示：将函数整理为：0)13)(1(4)1(,1,013)1()1(22≥+---=∆≠=++---y y y y y x y x y 由可见，得.1115|,1115⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-∴≤≤-y y y 函数的值域为 11．[3,12-]提示：注意到函数y =在［０，１］上是单调递增的，故函数的值域是 [3,12-] ；12．2提示：22+(x+3)=4,14sin ,x+34cos ,[0,]2x πθθθ∴-==∈（1-x ）令于是2sin 2cos sin()4y πθθθ==+=+2,2m M ∴===、13、 f (x ) =x 只有惟一实数解，即xax+b= x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1．9、函数的单调性与奇偶性一．填空题：1．21->k 2．2b ≤- 3．]2,7[-- 4．2)()(x s x s -- 5．1---=x y 6．]0,21[-和),21[+∞ 7．)2()2()3(f f f << 8．R x x y ∈=,2 提示：本题答案不唯一.9．]1,2[-提示：函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[-、10．①③ 11．①④提示：①定义域),0()0,(+∞⋃-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数、 ②定义域为}21{不关于原点对称.该函数不具有奇偶性、 ③定义域为R ，关于原点对称，且x x x x x f +≠-=-44)(，)()(44x x x x x f +-≠-=-，故其不具有奇偶性、 ④定义域为R ，关于原点对称， 当0>x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=+-=---=-；当0<x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=---=+-=-；当0=x 时，0)0(=f ；故该函数为奇函数、 故填①④12．-26提示： 已知)(x f 中xb ax x -+32005为奇函数，即)(x g =xb ax x -+32005中)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f 、二．解答题： 221)1()1()]([)(24222++=++=+==x x x x f x f f x g 、)()()(x f x g x G λ-=λλ--++=22422x x x )2()2(24λλ-+-+=x x)()(21x G x G -)]2()2([2141λλ-+-+=x x )]2()2([2242λλ-+-+-x x)]2()[)((22212121λ-++-+=x x x x x x由题设当121-<<x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++>-++4211)2(2221x x ，则4,04≤≥-λλ 当0121<<<-x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++<-++4211)2(2221x x ，则4,04≥≥-λλ 故4=λ、10、函数的图像1．① 2．② 3． ① ③ 4．121x y +=+ 5．① 6．④7．0提示：()x f 是偶函数，图象与x 轴有4个交点关于一y 轴对称，其横坐标互为相反数，故()0=x f 的所有实根的和是0、 8．1 ，提示：（2）是对的. 9．(2，－2)；提示：f (x )=a x 过定点（0，1），故f (x )=a x －2－3过定点（2，—2）. 10．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)提示：由于函数f(x)是R 上的增函数,且过点A(0,－1)、B((3,1), |f(x+1)| <1的解集为（—1，2），故其补集为(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 11．④提示：0y x =不过点（0，1）；当α<0时，αx y =不过（0，0）；1y x -=在定义域上不是增函数，只有④是对的. 12．①③提示：采用特殊值法.根据题意，可设x x g x x f ==)(,)( ，又设1,2==b a ，易验证①与③成立. 13.（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=73,4710,30,22x x x x y（2）图形如右。
2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题卷(含答案与解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数 学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 22. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题D. p ⌝和q ⌝都是真命题3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A. 12B.22C.32D. 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1-B. 12C. 1D. 27. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A. 12B. 1C. 2D. 38. 设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A.18B.14C. 12D. 1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ） A. ()f x 与()g x 有相同零点 B. ()f x 与()g x 有相同最大值 C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =的⊥；（1）证明：EF PD（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为A. 0B. 1C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若1i z =--，则()()22112z =-+-=.故选：C2. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A. 12 B.22C.32D. 1【答案】B 【解析】【分析】由()2b a b -⊥r r r 得22b a b =⋅r r r ，结合1,22a a b =+=r r r ，得22144164a b b b +⋅+=+=r r r r ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥r r r ，所以()20b a b -⋅=r r r ，即22b a b =⋅r r r，又因为1,22a a b =+=r r r，所以22144164a b b b +⋅+=+=r r r r ，.从而22=r b .故选：B.4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间 【答案】C 【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误； 对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+， 所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确； 对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误. 故选；C.5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）【答案】A 【解析】【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '， 因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>， 即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>. 故选：A 6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1- B. 12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+， 令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =， 若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立， 可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 所以2a =符合题意； 综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=， 则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0， 即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立， 即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意； 故选：D.7. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高433h =，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求为则2211AA AM A M =+=可得2211DD DN D N =+则1A A 与平面ABC 所成角即为因为11113PA A B PA AB ==，则P P V V -可知1112627ABC A B C P ABC V V --==若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>， 此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A. ()f x 与()g x 有相同零点B. ()f x 与()g x 有相同最大值C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点， 令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点， 显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确； D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ， ()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误. 故选：BC10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C. 当||2PB =时，PA AB ⊥D. 满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A e 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A e 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长22224115PQ PA r =-=-=，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)ABk -==--， 不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--， 不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=， 于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=， 2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，根据两点间的距离公式，422(4)1164t t t +-=+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A. 当1a >时，()f x 有三个零点 B. 当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C. 存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<， 则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴， 即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为33332C (2)()2b x x -=-， 于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________. 【答案】95 【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故答案：95.13. 已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 21αβ=+，则sin()αβ+=_______. 【答案】223- 【解析】【分析】法一：根据两角和与差正切公式得()tan 22αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得()()tan tan 4tan 221tan tan 121αβαβαβ++===---+，因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈， 则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，的为的则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=. 故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 2A A +=． （1）求A ．（2）若2a =，2sin sin 2b C c B =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）π6A =（2）2632++ 【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 3cos 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式） 由sin 3cos 2A A +=可得13sin cos 122A A +=，即sin()1π3A +=， 由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 3cos 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 43cos 30(2cos 3)0A A A -+=⇔-=，解得3cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin 3cos (0π)f x x x x =+<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 3cos 22sin()3f A A A A =+==+， max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos 3sin f A A A '==-，即3tan 3A =， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==r r ，由题意，sin 3cos 2a b A A ⋅=+=r r， 根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==r r r rr r r r ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔=r r r r ，此时,0a b =rr ，即,a b r r 同向共线，根据向量共线条件，31cos 3sin tan 3A A A ⋅=⋅⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22223(1)sin 3cos 211t t A A t t-+==+++， 整理可得，2222(23)(23)0((23))t t t --+-==--， 解得tan232A t ==-，根据二倍角公式，223tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A = 【小问2详解】由题设条件和正弦定理2sin sin 22sin sin 2sin sin cos b C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而2cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=， 26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A +=--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==， 解得22,62b c ==+，故ABC V 的周长为2632++ 16. 已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（1）()e 110x y ---= （2）()1,+∞ 【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-， 可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=. 【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ， 若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点， 令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =， 可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,+∞.⊥；（1）证明：EF PD（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析865（2）18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为阶段，由该队的另一名队员投篮总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为相互独立．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q <<Q ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦， 32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q ⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15， 同理()32()1533E Y q q q p =-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+--- 15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<， 则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19. 已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . （1）若12k =，求22,x y ； （2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列； （3）设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=. 【答案】（1）23x =，20y = （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【小问1详解】由已知有22549m =-=，故当12k =时，过()15,4P 且斜率为解得3x =-或5x =，所以该直线与故()3,0P ，从而3x =，所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k+++-+--=--- ()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----. 再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列. 【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =u u u r ，(),UW c d =u u u u r，则12UVW S ad bc =-V .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S =V ） 证明：211sin ,1cos ,22UVW S UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅-V u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r()222211122UV UWUV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅ ⎪=⋅-=⋅-⋅ ⎪⋅⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r()()()2222212a b c d ac bd =++-+ 222222222222122a c a dbc bd a c b d abcd =+++--- ()222221112222a dbc abcd ad bc ad bc =+-=-=-. 证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211m mn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211m mk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=----u u u u u u r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--u u u u u u u r，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+--V ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=----- ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+--- 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=--u u u u u u r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--u u u u u u u r.所以3n n P P +u u u u u u r 和12n n P P ++u u u u u u u r平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++=V V ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
2024年上海宝山区高三二模数学试卷和答案
上海宝山区2023-2024学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.抛物线y x 42=的焦点坐标为______.2.已知3tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα_______.3.将()02>a a a 其中化为有理数指数幂的形式为_______.4.已知向量()2,2m a =，()1,1+=m b ，若10=⋅b a ，则实数=m .5.设实数y x 、满足()()()i 1i i 42i i +-=+-+y x y x ()为虚数单位i ，则=+y x .6.有一组数从小到大．．．．排列为：3，5，x ，8，9，10.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.7.已知集合{}3,12++=a a A ，，且A ∈1，则实数a 的值为.8.在数列{}n a 中，()21lg,211≥-+==-n n na a a n n 且，则=100a _______.9.某公司为了了解某商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价x （元/件）1015202530月销售量y （万件）1110865由表中数据可得回归方程y ax b =+中0.32a ∧=-，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为万件.10.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，以双曲线的右顶点A 为圆心，b 为半径作圆，圆A与双曲线的一条渐近线交于N M 、两点，若60=∠MAN ，则双曲线的离心率为_______.11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O 的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地11n n A A B B ；假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米；假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M 以某一俯角从1k k A A +侧扫描到1k k B B +侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环(),...3,2,1=k S k .由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成扇环1S 、2S 、3S L .第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，||30OE =米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯角为30（如下右图）.记1||k k k A A d +=，经测量知1||80n A A =米，且{}k d 是公差约为1.0米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a 、b 满足：2a b ⋅=，||1b = ，且存在实数t ，使得||2||0a a tb -+≥成立，则由a 构成的空间几何体的体积是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.已知0>>b a ，则（）.A ．22ba >B ．ba22<C ．2121ba <D ．ba 2121log log >14.已知随机变量X 服从正态分布()20σ，N .若()65=≤a X P ，则()=≤a X P （）.A ．32B ．21C ．31D ．6115.已知直线n m l 、、与平面βα、，则下列命题中正确的是（）.A ．若βα//，α⊂l ，β⊂n ，则n l //B ．若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l C ．若α⊥l ，β//l ，则βα⊥D ．若n l ⊥，n m ⊥，则ml //16.数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列{}n2为“某数列”；②对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“某数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n c b a +=.则下列选项中正确的是（）.A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知C A B C A sin sin sin sin sin 222+=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求c a +的最小值，并判断此时ABC ∆的形状.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径.（1）求证：P A BP 1⊥；（2）若,60,2=∠=BOP OA 圆柱的体积为π216，求异面直线AP 与B A 1所成角的大小.19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为21，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为21，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为53，若前一次没投进，则该次投进的概率为52.(1)求甲投篮3次得2分的概率；(2)若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望；(3)比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）已知双曲线1222=-y x 的左、右顶点分别为B A 、，设点P 在第一象限且在双曲线上，O 为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若,9≤⋅PB P A 的取值范围；（3）椭圆C 的长轴长为22，且短轴的端点恰好是B A 、两点，直线AP 与椭圆的另一个交点为Q ．记POA ∆、QAB ∆的面积分别为1S 、2S .求2221S S -的最小值，并写出取最小值时点P 的坐标.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数()y g x =的表达式为()sin()g x x ω=()0ω>.（1）若1ω=，直线l 与曲线()y g x =相切于点(,1)2π，求直线l 的方程；（2）函数()y g x =的最小正周期是2π，令()()ln h x x g x x =⋅-，将函数()y h x =的零点由小到大依次记为12,,,,n x x x (1,)n n N ≥∈，证明：数列{sin }n x 是严格减数列；（3）已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()(2)()0f x a f x a +=->，对任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =.记()()()F x f x g x =+，1()()()2G x f x g x =++.当ω=π时，是否存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立？若存在，求出符合题意的12x x 、；若不存在，请说明理由.参考答案1.()1,0 2.21 3.45a4.25.26.5.77.08.49.6.110.33211.1512.89π12.解：由已知得22||4||a a tb ≥+ ，所以2223||84||0a tab t b +⋅+≤ 所以存在实数t ，使得不等式224163||0t t a ++≤ 有解，则0∆≥，解得||a ≤又因为2a b ⋅= 且||1b =，所以a 在b 方向上的数量投影是2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母的圆锥（如图）故由a 构成的空间几何体的体积218239ππ⋅⋅=13.A 14.A 15.C 16.C17.解：（1）由正弦定理得ac b c a +=+222..........................2分又由余弦定理得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ...............................4分因为B 是三角形内角，所以3π=B ....................................6分（2）由三角形面积公式3433sin 21sin 21====∆ac ac B ac S ABC π..........................8分得4=ac .........................10分因为42=≥+ac c a ，当且仅当2==c a 时取等号，........................12分所以c a +的最小值为4，此时ABC ∆为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱1OO 中，易知O AB 圆⊥，从而AP 是P A 1在圆O 上的投影.....2分又AB 为圆O 的直径，可得AP BP ⊥.......................4分由三垂线定理，就得P A BP 1⊥.......................6分（2）延长PO 交圆O 于点Q ，连接BQ 、Q A 1、AQ ，易知AP BQ //，BQ A 1∠（或其补角）即为所求的角..........................8分由题知πππ2164112=⋅=⋅⋅=AA AA OA V 解得241=AA .................................10分BQ A 1∆中，34,6,3211===B A Q A QB 由余弦定理得2134322364812cos 1=⋅⋅-+=∠BQ A .......................13分从而601=∠BQ A 所以异面直线AP 与B A 1所成角的大小为60................................14分19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率8321121213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=C p .................3分（2）由题意知X 的所有可能取值为6,4,2,0则()1339025550P X ==⨯=.................4分()1231221328225525525525P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................5分()1321221238425525525525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................6分()1339625550P X ==⨯⨯=.................7分随机变量X 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5096258425825090..................8分期望()98890246350252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.................9分（3）设甲三次投篮的得分Y ，则Y =6,4,2,0可求得随机变量Y 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛816834832810所以()3816834832810=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .............11分()3381683483281022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=Y D ...........12分又可算得()25973509625842582509022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=X D .......13分因为()()Y E X E =，()()Y D X D >所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为ξ，3,2,1,0=ξ则()23213=⨯=ξE 设甲的投篮得分为Y ，则ξ2=Y ，从而()()()322===ξξE E Y E 20.解：（1）两条渐近线方程为02=±y x .............................1分()()1,2,1,221-==n n 设两条直线夹角为θ，则313312cos =⋅-=θ........................2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为31...............................3分（2）设()()0,1,,1111>>y x y x P ，由已知得()()0,101B A 、，-..................4分()11,1y x P A ---=，()11,1y x PB --=，则912121≤+-=⋅y x PB P A 得102121≤+y x ..............................6分又点P 在双曲线上，有122121=-y x 即()122121-=x y 从而()10122121≤-+x x 得421≤x .又点P 是双曲线在第一象限的点，所以(]4,121∈x .()(]10,123122121212121∈-=-+=+=x x x y x OP (]101，OP ................................9分（3）椭圆C 中1,2==b a ，焦点在y 轴上，标准方程为1222=+x y ..................10分设()()0,0,,2222>>y x y x Q ，直线AP 的斜率为()0,>k k 则直线AP 的方程为()1+=x k y 联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122x y x k y 得()02222222=-+++k x k xk 该方程的两根分别为1-和22222k k x +-=同理可得22122k k x -+=所以121=⋅x x .........................12分记2121111y y S S POA =⨯⨯==∆222221y y S S QAB =⨯⨯==∆..........................13分则()()2522112124142221222122212221-+=---⨯=-=-x x x x y y S S 21251225222121-=-≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x当且仅当212122x x =即221=x 时取等号，.....................15分所以2221S S -的最小值为21-，此时点P 的坐标为()22，.................16分另解:1,12211+=+=x yk x y k AQ AP 因为AQ APk k =，所以112211+=+x yx y 即22221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x y 又()122121-=x y ，()222212x y -=，代入上式化简得11112211+-=+-x x x x ，整理得121=⋅x x 21.解（1）1ω=时，()sin ,g x x =则'()cos g x x =..................1分从而'(cos022k g ππ===..................3分所以直线l 的方程是1y =..................4分（2）由22ωπ=π，可知1ω=，则()sin ln h x x x x =-（0x >），.......................5分当()0h x =时ln sin xx x=.......................6分①当01x <<时，ln sin 0,0xx x><，此时函数()y h x =没有零点；.....................7分②当1x ≥时，因为2ln 1ln ()'x x x x -=，可知ln x y x=在[]1,e 上严格增，在[,)e +∞严格减又sin y x =在[1,]2π上严格增，在[,]2e π严格减，所以[1,]x e ∈时，x y sin =在e x =时有最小值sin e ，xxy ln =在e x =时有最大值ln 1e e e =因为1sin e e >所以ln sin x x x=在[1,]e 上没有交点，即()sin ln h x x x x =-在[1,]e 上没有零点.......................9分所以函数()y h x =的零点n x 满足12n e x x x <<<<< ，.因为ln x y x =在[,)e +∞严格减，所以1212ln ln ln n nx x x x x x >>>> .又因为ln sin nn nx x x =，所以数列{sin }n x 是严格减数列........................10分（3）因为[]()(2)(4)(4)f x f x a f x a f x a =-+=--+=+，所以()y f x =是以4a 为周期的周期函数.................11分因为任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =，所以当x a =时，()y f x =在[0,2]a 上有唯一的最大值1...............................12分由ω=π得()sin g x x =π，()()sin ,()()cos F x f x x G x f x x =+π=+π................13分假设存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立，即[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立故，当()14x a ka k Z =+∈时，1()f x 取得最大值1；当()122x m m Z 1=+∈时，1sin x π取得最大值1由422a ka m 1+=+，可知4182m a k +=+①时，()11max ()sin 2f x x +π=...................15分又因为()y f x =是奇函数，所以当x a =-时，()f x 在[20]a -，上有唯一的最小值1-故，当()24x a na k Z =-+∈时，2()f x 取得最小值1-；当()212x t t Z =+∈时，2cos x π取得最小值1-由412a na t -+=+，可知2141t a n +=-②时()22min ()cos 2f x x +π=-.....................17分若[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立，则由①②得41218241m t k n ++=+-，即(41)(41)(21)(82)m n t k +-=++因为,,,m n k t Z ∈，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分。
数学试卷模板
（1）关于试卷纸张选择及页面设置关于纸张，常用的有 A4 和 8K(B4) 两种。
如果你用 8K 的试卷，建议把纸张设置为B5，因为用 8K 要分栏，给插图和选择题的排版带来一点点障碍。
用 B5 打印出来然后拼成 8K的试卷再制版印刷。
好了，开始写代码了，关于纸张的写上\documentclass[10pt,a4paper]{ctexart}上面的 10pt 是全篇正文的字号大小，只有 10， 11， 12 三种选择，个人建议使用 10。
好了，下面看页边距，一般设为 2cm，只要写上\usepackage[margin=2cm]{geometry}这样，上下左右的边距都是 2cm，也可以分开指定right, top, ... ,也可以在此处用 paperwidth 和 paperheight 指定纸张大小等。
（2）试卷标题的设计可以自己写，也可以借用论文模板的标题。
此处直接借用吧。
\begin{document}\title{2012年某某中学高三数学测试题}\author{总分:150分and 时间120分钟}\date{命题人: 某某某}\maketitle大家可以仿照这个自己修改，或者自己重新排版一个标题也行，应该说难度也不大的。
（3）大题、小题题号的排版高中数学试卷一般有三道大题、21道左右的小题。
我开始排版大题的时候，就自己写了一个计数器。
后来发现，模式都是固定的，没有变化，可以直接写一、二、三就行了。
\begin{enumerate}\item[一、] 选择题请把......\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item 等下写选择题小题内容\item[二、] 填空题 ......\item 等下写填空题小题内容\item 等下写填空题小题内容\item 等下写填空题小题内容\item 等下写填空题小题内容\item 等下写填空题小题内容\item[三、] 解答题 ......\item 等下写解答题小题内容\item 等下写解答题小题内容\item 等下写解答题小题内容\item 等下写解答题小题内容\item 等下写解答题小题内容\item 等下写解答题小题内容\end{enumerate}\end{document}现在，整个试卷的框架基本出来了。
肇庆市高中毕业班2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
肇庆市高中毕业班2025届高三第三次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．22．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb a a b a b >>>3．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或624．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．5．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10 B ．32 C ．40 D ．806．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)7．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．7311．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-12．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年河南省普通高中招生考试《数学》试卷(附答案)
2024年河南省普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)1.如图，数轴上点 P 表示的数是A. -1B.0C.1D.22. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为 A.5784×10⁸ B.5.784×10¹⁰ C.5.784×10′′ D.0.5784×10¹² 3.如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为 A.60° B.50° C.40° D.30°4.信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为(第4题)A. x>2B. x<0C. x<-2D. x>-36. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,点E 为OC 的中点,EF∥AB 交BC 于点 F.若AB = 4,则EF 的长为 A. 12 B.1 C. 43 D.2 7. 计算 (a ⋅a ,⋯⋅a )3的结果是a 个A. a ⁵B. a ⁶C. a ⁴⁺³D. a³a数学试卷 第1页(共6页)8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为A. 19B. 16C. 15D. 139. 如图,⊙O 是边长为4 √3的等边三角形ABC 的外接圆，点D 是BC 的中点,连接BD,CD.以点 D为圆心，BD 的长为半径在⊙O 内画弧，则阴影部分的面积为 A.8π3 B.4π C.16π3 D.16π10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象(如图2).下列结论中错误．．的是A. 当P =440 W 时, I =2 AB. Q 随I 的增大而增大C. I 每增加 1 A,Q 的增加量相同D.P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题(每小题3分，共15分)11. 请写出2m 的一个同类项: .12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分.数学试卷 第 2页(共6页)13. 若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2，0)，点 E在边 CD 上. 将△BCE沿BE折叠,点C落在点F 处. 若点 F的坐标为(0,6),则点 E 的坐标为 .15. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CA = CB =3,线段 CD 绕点 C 在平面内旋转,过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1，则AE的最大值为，最小值为 .三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16. (10分)(1) 计算:√2×√50−(1−√3)0; (2) 化简:(3a−2+1)÷a+1a2−4.17.(9分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.比赛得分统计图队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题.(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是 (填“甲”或“乙”)；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为分.(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×(-1)，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.数学试卷第 3 页(共6页)18.(9分)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交(x⟩0)的图象经过点 A.于点 E，反比例函数y=kx(1)求这个反比例函数的表达式.(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 .19.(9分)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE‖DC交AC的延长线于点 E.(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A,且射线 CM交 BE 于点 F(保留作图痕迹，不写作法).(2) 证明(1) 中得到的四边形 CDBF是菱形.20.(9分)如图1，塑像AB在底座BC上，点D 是人眼所在的位置.当点 B 高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图2)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角.(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB.(2) 经测量,最大视角∠APB为30°,在点P处看塑像顶部点A 的仰角∠APE为60°,点P到塑像的水平距离PH为6m . 求塑像AB的高(结果精确到0.1m.参考数据：√3≈1.73).数学试卷第4页(共6页)21.(9分)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.(1) 若要从这两种食品中摄入4600 kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B 两种食品各多少包?(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品?22.(10分)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式ℎ=−5t²+v₀t,其中t(s)是物体运动的时间，v₀(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.(1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v₀的式子表示).(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.数学试卷第5页(共6页)23. (10分) 综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号).(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,，AC 是它的一条对角线.①写出图中相等的角，并说明理由；②若.BC=m,DC=n,∠BCD=2θ,,求AC 的长(用含m,n,θ的式子表示).(3)拓展应用如图3，在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 BN的长.数学试卷第6页(共6页)2024年河南省普通高中招生考试数学试题参考答案(注：第15题只填对1空得2分)三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(1)原式=10-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分=9.……………………………………………………………………5分(2) 原式=a+1a−2⋅(a+2)(a−2)a+1…4分=a+2.………………………………………………………………………5分17.(1)甲29⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.(注：答案不唯一，合理即可)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分(3) 甲的综合得分为:26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5.乙的综合得分为:26×1+10×1.5+3×(-1)= 38.因为38>36.5,所以乙队员表现更好.…………………………………………9分18.(1)∵ 反比例函数y=kx(x⟩0)的图象经过点A(3,2),∴2=k3.∴ k = 6.∴ 这个反比例函数的表达式为y=6x.………………3分数学试题参考答案第1页(共4页)(2) 如图.7分(3)92………………………………………………………9分19.(1) 如图.……………………… ……… 4分(2) 由(1),得∠ECF =∠A.∴ CF∥AB.∵ BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∵ CD 是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴ CD =BD.∴□CDBF是菱形.…………………………………………………………9分20.(1) 如图,连接BM.则∠AMB=∠APB.∵ ∠AMB>∠ADB,∴∠APB>∠ADB.…………………………3分(2) 在Rt△AHP 中,∠APH = 60°,PH = 6.,∵tan∠APH=AHPH∴ AH = PH·tan 60°=6×√₃ =6√₃. …… 6分∵ ∠APB = 30°,∴ ∠BPH =∠APH--∠APB =60°-30°=30°.数学试题参考答案第2页(共4页)在Rt△BHP 中, tan∠BPH =BHPH ,∴BH =PH ⋅tan30∘=6×√33=2√3. … …8分∴AB =AH −BH =6√3−2√3=4√3≈4×1.73≈6.9(m).答:塑像AB 的高约为6.9m.……………………………………………………9分21.(1) 设选用A 种食品x 包，B 种食品y 包，根据题意，得{700x +900y =4600,10x +15y =70.…3分解方程组，得 {x =4,y =2.答：选用A 种食品4包，B 种食品2包.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)设选用A 种食品a 包，则选用B 种食品(7-a)包，根据题意，得10a+15(7-a)≥90.∴a≤3.…………………………………………………………………………7分设总热量为wkJ ，则w=700a+900(7-a)=-200a+6300.∵ -200<0,∴ w 随a 的增大而减小. ∴ 当a=3时,w 最小.∴ 7-a=7-3 =4.答：选用A 种食品3包，B 种食品4包.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分22.(1)ⁿ₀…………………………………3分(2)根据题意,得当 t =v10时,h=20.∴−5×(v 010)2+v 0×v 010=20.∴v₀=20(m s ⁄). …………………………………………………6分 (3)小明的说法不正确.(注：若没写出结果，但后续说理正确，不扣分)⋯7分理由如下：由(2),得 ℎ=−5t²+20t.当h = 15时, 15=−5t²+20t.解方程，得 l₁=1,t₂=3.……………………………………………9分 ∵ 3-1=2(s),∴小明的说法不正确.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分数学试题参考答案 第3 页(共4页)23.(1)②④(注：全部填对的得2分，对但不全的得1分，有错的得0分)⋯⋯⋯2分(2)①∠ACD=∠ACB.(注:若没写出结果,但后续说理正确,不扣分)………4分理由如下：延长CB至点 E,使 BE = DC. 连接AE.∵ 四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴∠ABC+∠D=180°.∵∠ABC+∠ABE=180°,∴ ∠ABE =∠D.∵AB=AD,∴△ABE≅△ADC.∴∠E=∠ACD,AE=AC.∴ ∠E =∠ACB.∴∠ACD=∠ACB.………………………………………………………6分②过点A作AF⊥EC,垂足为点 F.∵ AE=AC,∴CF=12CE=12(BC+BE)=12(BC+DC)=m+n2.∵ ∠BCD =2θ,∴ ∠ACB =∠ACD=θ.在Rt△AFC中,cosθ=CFAC,∴AC=CFcosθ=m+n2cosθ.…8分(3)12√25或12√27.…10分数学试题参考答案第4页(共4页)。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
2024年上海夏季高考数学真题卷(含答案与解析)_3100
机密★启用前上海市2024年普通高中学业水平等级性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设全集{}1,2,3,4,5U=，集合{}2,4A=，则A=______．2. 已知()0,1,0xf xx>=≤⎪⎩则()3f=______．3. 已知,x∈R则不等式2230x x--<的解集为______．4. 已知()3f x x a=+，x∈R，且()f x奇函数，则=a______．5. 已知()(),2,5,6,k a b k∈==R，且//a b，则k的值为______．6. 在(1)nx+的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为______．7. 已知抛物线24y x=上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______．8. 某校举办科学竞技比赛，有、、A B C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．9. 已知虚数z，其实部为1，且()2z m mz+=∈R，则实数m为______．10. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．是11. 已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=______(精确到0.1度)12. 无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14. 下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ） A. sin cos x x + B. sin cos x x C. 22sin cos x x +D. 22sin cos x x -15. 定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A. ()0,0,0∈ΩB. ()1,0,0-∈Ω C ()0,1,0∈ΩD. ()0,0,1-∈Ω16. 已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得的.[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A. 存在()f x 是偶函数B. 存在()f x 在2x =处取最大值C. 存在()f x 是严格增函数D. 存在()f x 在=1x -处取到极小值三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．（1）若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； （2）若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18. 若()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；（2）存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩 [)0,0.5 [)0.5,1 [)1,1.5 [)1.5,2 [)2,2.5优秀5 44 42 3 1 不优秀 1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？的（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20. 已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q两点.（1）若离心率2e =时，求b 值．（2）若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． （3）连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21. 对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． （1）对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； （2）对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；（3）已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =______．【答案】{}1,3,5 【解析】【分析】根据补集的定义可求A .的【详解】由题设有{}1,3,5A =， 故答案为：{}1,3,52. 已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f =______．【解析】【分析】利用分段函数的形式可求()3f .【详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3. 已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为______． 【答案】{}|13x x -<< 【解析】【分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.4. 已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ______．【答案】0 【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数a .【详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.5. 已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为______．【答案】15 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =． 故答案为：15．6. 在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为______． 【答案】10 【解析】【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【详解】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x-+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．故答案为：10．7. 已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为______．【答案】 【解析】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =-，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =， 代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±， 则点P 到x 轴距离为．故答案为：8. 某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【解析】的【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 故答案为：0.85．9. 已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为______． 【答案】2 【解析】【分析】设1i,R z b b ∈=+且0b ≠，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =， 故答案为：2.10. 设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______． 【答案】329 【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个； ②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 故答案为：329．11. 已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=______(精确到0.1度)【答案】7.8︒ 【解析】【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CDD CAD=∠，()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+，两式相除即可得到答案. 【详解】设,90BCA ACD θθ∠=∠=- ，在DCA △中，由正弦定理得sin sin CA CDD CAD=∠， 即()sin 37.0sin 1809037.0CA CDθ-=⎡⎤-+⎣⎦’ 即()sin 37.0sin 9037.0CA CD θ=-+① 在BCA V 中，由正弦定理得sin sin CA CBB CAB=∠， 即()sin16.5sin 18016.5CA CB θ=⎡⎤+⎦-⎣，即()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+ ，② 因为CD CB =，②①得()()sin 9037.0sin 37.0sin16.5sin 16.5θθ-+=+，利用计算器即可得7.8θ≈ ， 故答案为：7.8 .12. 无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是______． 【答案】2q ≥ 【解析】【分析】当2n ≥时，不妨设x y ≥，则[][][]2121110,,0,n n n n x y a a a a a a a a ++-∈---- ，结合n I 为闭区间可得212n q q--≥-对任意的2n ≥恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有11n n a a q-=，因为10,1a q >>，故1n n a a +>，故[]1111,,n nn n a a a q a q -+⎡⎤=⎣⎦，当1n =时，[]12,,x y a a ∈，故[]1221,x y a a a a -∈--，此时1I 为闭区间， 当2n ≥时，不妨设x y ≥，若[]12,,x y a a ∈，则[]210,x y a a -∈-， 若[][]121,,,n n y a a x a a +∈∈，则[]211,n n x y a a a a +-∈--， 若[]1,,n n x y a a +∈，则[]10,n n x y a a +-∈-，综上，[][][]2121110,,0,n n n n x y a a a a a a a a ++-∈---- ，又n I 为闭区间等价于[][][]2121110,,0,n n n n a a a a a a a a ++-⋃--⋃-为闭区间， 而11121n n n a a a a a a ++->->-，故12n n n a a a a +-≥-对任意2n ≥恒成立， 故1220n n a a a +-+≥即()11220n a q q a --+≥，故()2210n q q --+≥，故212n q q--≥-对任意的2n ≥恒成立，因1q >，故当n →+∞时，210n q --→，故20q -≥即2q ≥.故答案为：2q ≥.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A 气候温度高，海水表层温度就高B. 气候温度高，海水表层温度就低C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB ，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB 错误. 对于CD ，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C 正确，D 错误. 故选：C.14. 下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ） A. sin cos x x + B. sin cos x x C. 22sin cos x x + D. 22sin cos x x -【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A，πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误； 对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误， .15. 定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A. ()0,0,0∈ΩB. ()1,0,0-∈ΩC. ()0,1,0∈ΩD. ()0,0,1-∈Ω【答案】C 【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当()()()1,0,0,0,0,1,0,1,0Ω∈时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量123,,OP OP OP 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A ，由空间直角坐标系易知()0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当()1,0,0,(1,0,0)Ω-∈无法推出(0,0,1)Ω∉，故A 错误；对B ，由空间直角坐标系易知()1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)-三个向量共面，则当()0,0,0,(1,0,0)Ω∈无法推出(0,0,1)Ω∉，故B 错误；对C ， 由空间直角坐标系易知()()()1,0,0,0,0,1,0,1,0三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由()()1,0,0,0,1,0Ω∈能推出()0,0,1Ω∉，对D ，由空间直角坐标系易知()()()1,0,0,0,0,1,0,0,1-三个向量共面， 则当()0,0,1(1,0,0)Ω-∈无法推出(0,0,1)Ω∉，故D 错误. 故选：C ．16. 已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A. 存在()f x 是偶函数B. 存在()f x 在2x =处取最大值C. 存在()f x 是严格增函数D. 存在()f x 在=1x -处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数()2,1,111,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩即可判断.【详解】对于A ，若存在 ()y f x = 是偶函数, 取 01[1,1]x =∈-,则对于任意 (,1),()(1)x f x f ∈-∞<, 而 (1)(1)f f -=, 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数()2,1,,11,1,1,x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩满足集合[]1,1M =-，当1x <-时，则()2f x =-，当11x -≤≤时，()[]1,1f x ∈-，当1x >时，()1f x =， 则该函数()f x 的最大值是()2f ，则B 正确；对C ，假设存在()f x ，使得()f x 严格递增，则M =R ，与已知[]1,1M =-矛盾，则C 错误； 对D ，假设存在()f x ，使得()f x 在=1x -处取极小值，则在1-的左侧附近存在n ，使得()()1f n f >-，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．（1）若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成几何体的体积； （2）若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 【答案】（1）12π的（2）π4【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形POA 的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接,,EA EO EC ，可先证BE ⊥平面ACE ，根据线面角的定义得出所求角为∠BOE ，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】正四棱锥满足且PO ⊥平面ABCD ，由AO ⊂平面ABCD ，则PO AO ⊥，又正四棱锥底面ABCD 是正方形，由=AD 3AO =，故4PO ==，根据圆锥的定义，POA 绕PO 旋转一周形成的几何体是以PO 为轴，AO 为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为4PO =，底面半径为3AO =，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是21π3412π3⨯⨯⨯= 【小问2详解】连接,,EA EO EC ，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由E 是PB 中点，则,AE PB CE PB ⊥⊥，又,,AE CE E AE CE =⊂ 平面ACE ， 故PB ⊥平面ACE ，即BE ⊥平面ACE ，又BD 平面ACE O =， 于是直线BD 与平面AEC 所成角的大小即为∠BOE ，不妨设6AP AD ==，则3BO BE ==，sin BOE ∠==， 又线面角的范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故π4BOE ∠=.即为所求.18. 若()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；（2）存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}|12x x <<（2）1a > 【解析】【分析】（1）求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列等价于22131248a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围． 【小问1详解】因为()y f x =的图象过()4,2，故log 42a =，故24a =即2a =（负的舍去）， 而()2log f x x =在()0,∞+上为增函数，故()()22f x f x -<， 故022x x <-<即12x <<，故()()22f x f x -<的解集为{}|12x x <<. 【小问2详解】因为存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，故()()()212f ax f x f x =+++有解，故()()()2log log 1log 2a a a ax x x =+++， 因为0,1a a >≠，故0x >，故()()2212a x x x =++在()0,∞+上有解，由2222232321311248x x a x x x x ++⎛⎫==++=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+上有解， 令()10,t x ∞=∈+，而231248y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+上的值域为()1,∞+，故21a >即1a >.19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩 [)0,0.5 [)0.5,1 [)1,1.5 [)1.5,2 [)2,2.5优秀 5 44 42 3 1 不优秀 1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）【答案】（1）12500（2）0.9h（3）有 【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比17943282558058++=，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为25290001250058⨯=． 【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为10.50.511 1.5 1.522 2.5139191179432858022222++++⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦0.9≈． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. 【小问3详解】 由题列联表如下：.[)1,2其他 合计 优秀4550 95 不优秀 177 308 485 合计222358580提出零假设0H ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中0.05α=．22580(4530817750) 3.976 3.84195485222358χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．则零假设不成立，即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20. 已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q两点.（1）若离心率2e =时，求b 的值．（2）若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． （3）连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．【答案】（1）b =（2）(2,P（3）( 【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my =-，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【小问1详解】由题意得21c ce a ===，则2c =，b == 【小问2详解】当b =时，双曲线22Γ:183y x -=，其中()2,0M -，()21,0A ， 因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x =-上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去； ②当以2A P 为底时，23MP MA ==，设(),P x y ，则 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩,联立解得2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩， 因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知2MP MA >，矛盾，舍去）； ③当以MP 为底时，223A P MA ==，设()0,Px y ，其中000,0xy >>，则有()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即(2,P ．综上所述：(2,P . 【小问3详解】由题知()()121,0,1,0A A -，当直线l 斜率为0时，此时120A R A P ⋅=，不合题意，则0l k ≠， 则设直线:2l x my =-，设点()()1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ， 根据双曲线对称性知()22,R x y --，的联立有22221x my y x b =-⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩()222221430b m y b my b --+=， 显然二次项系数2210b m -≠， 其中()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>，2122241b m y y b m +=-①，2122231b y y b m =-②，()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-，则()()122112111A R A P x x y y ⋅=-+--=，因为()()1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my =-，222x my =-，即()()2112331my my y y ----=，即()()2121213100y y m y y m +-++=，将①②代入有()2222222341310011b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--，即()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=化简得2223100b m b +-=，所以 22103m b =-, 代入到 2210b m -≠, 得 221031b b =-≠, 所以 23b ≠, 且221030m b =-≥，解得2103b ≤，又因为0b >，则21003b <≤，综上知，()2100,33,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(b ∴∈ ．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my =-，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21. 对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． （1）对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； （2）对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；（3）已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，()0,1P（3）严格单调递减 【解析】【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得()22(1)e xs x x =-+，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到()()10200s x s x =''=，对两等式化简得()01()f xg t '=-，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t =，最后得到函数单调性. 【小问1详解】当(0,0)M 时，()222211(0)02s x x x x x ⎛⎫=-+-=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当221x x=即1x =时取等号， 故对于点()0,0M ，存在点()1,1P ，使得该点是()0,0M 在()f x 的“最近点”． 【小问2详解】由题设可得()()2222(1)e 0(1)e x x s x x x =-+-=-+，则()()2212e xs x x '=-+，因为()221,2e xy x y =-=均为R 上单调递增函数，则()()2212e xs x x '=-+在R 上为严格增函数，而()00s '=，故当0x <时，()0s x '<，当0x >时，()0s x '>， 故()()min 02s x s ==，此时()0,1P ，而()()e ,01xf x k f ='=='，故()f x 在点P 处的切线方程为1y x =+.而01110MP k -==--，故1MP k k ⋅=-，故直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直． 【小问3详解】设()()()()221(1)()s x x t f x f t g t =-++-+，()()()()222(1)()s x x t f x f t g t =--+--， 而()()()()()12(1)2()s x x t f x f t g t f x ''=-++-+， ()()()()()22(1)2()s x x t f x f t g t f x ''=--+--， 若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”， 设()0,Px y ，则0x 既是()1s x 的最小值点，也是()2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点， 则存在0x ,使得()()10200s x s x =''=，即()()()()10000212()()0s x x t f x f x f t g t ''=-++-+=⎡⎤⎣⎦①()()()()20000212()()0s x x t f x f x f t g t ''=--+--=⎡⎤⎣⎦②由①②相等得()044()0g t f x '+⋅=，即()01()0f x g t '+=， 即()01()f xg t '=-，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正， 则()010()f xg t '=-<恒成立， 接下来证明0x t =，因为0x 既是()1s x 的最小值点，也是()2s x 的最小值点， 则()()1020(),()s x s t s x s t ≤≤，即()()()()()()()2220011x t f x f t g t g t -++-+≤+，③()()()()()()()2220011x t f x f t g t g t --+--≤+，④③+④得()()222200222()2()22()x t f x f t g t g t ⎡⎤-++-+≤+⎣⎦即()()()()22000x t f x f t -+-≤，因为()()()()2200,00x t f x f t --≥≥ 则()()0000x t f x f t -=⎧⎨-=⎩，解得0x t =， 则()10()f tg t '=-<恒成立，因为t 的任意性，则()f x 严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到()01()f x g t '=-，再利用最值点定义得到0x t =即可.。
浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023—2024学年第一学期调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin3π=（）A.12B.12-C.32D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果.【详解】sin 32π=.故选：C.2.已知集合{}1,2,3A =，{}2,,4B a =，若{}2A B ⋂=，则实数a 可以为（）A.1 B.3C.4D.7【答案】D 【解析】【分析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.【详解】由{}2,,4B a =，知4a ≠，C 不可能；由{}2A B ⋂=，知1a ≠且3a ≠，否则A B ⋂中有元素1或者3，矛盾，即AB 不可能；当7a =时，{}2A B ⋂=，符合题意，因此实数a 可以为7.故选：D3.若对于任意[]1,2x ∈，不等式220m x +-≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A .1m ≤- B.0m ≤C.1m £D.m ≤【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数2()2f x m x =+-在[1,2]上的最大值即得.【详解】令函数2()2f x m x =+-，显然()f x 在[1,2]上单调递减，max ()(1)1f x f m ==+，因为任意[]1,2x ∈，不等式220m x +-≤恒成立，于是10m +≤，所以1m ≤-.故选：A4.哥哥和弟弟一起拎一重量为G 的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为1F ，弟弟用力为2F ，若12F F =，且12,F F 的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时1F 与重物重力G 之间的夹角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答.【详解】根据力的平衡，12,F F 的合力为CA，如图所示：由于12F F =，且12F F ，的夹角为120 ，则ACB 为等边三角形，则60ACB ∠= ，则1F 与重物重力G 之间的夹角为18060120-= .故选：C5.“44a -≤≤”是“函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R 则240x ax -+>恒成立求解a 的取值范围判断即可.【详解】函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R则240x ax -+>恒成立，即2440a -⨯<，解得44a -<<，故“44a -≤≤”是“函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R ”的必要不充分条件.故选：B 6.已知函数()()216f x x a b x =-++，a ，b 是正实数．若存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤，则223a b +的最小值为（）A.46B.48C.52D.64【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()216f x x a b x =-++，,a b 是正数，且存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤，可得240b ac -=，利用()()()22222a bc d ac bd ++≥+，可得223a b +的最小值.【详解】根据函数()()216f x x a b x =-++，,a b 是正数，且存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤,可得240b ac -=，即()264a b +=，由()()()()2222220a b c d ac bd ac bd ++-+=-≥，则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，所以()()2221313a b a b ⎛++≥ ⎪⎝+⎫⎭，故22348a b +≥，故选：B7.某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量Q （单位：mg/L ）与时间r （单位：h ）之间的关系为0ektQ Q -=，其中0Q 是原有废气的污染物含量（单位：mg/L ），k 是正常数．若在前4h 消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（）参考数据：ln0.2 1.609≈-，ln0.80.223≈-，40.80.4096=，60.80.26≈A.19h B.29h C.39h D.49h【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解.【详解】由题有400(120%)kQ Q e --=，设t 小时后污染物含量不超过20%，则0020%ktQ eQ -≤，解得28.8t ≥，即至少经过29小时能达到排放标准.故选：B.8.若实数ππ,,44x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，满足2sin 2sin2x x x y y =+，则（）A.2x y ≥B.2x y ≤C.2x y ≥ D.2x y≤【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ππsin ,,22f x x x x ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭，可得()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，且为偶函数，再根据()()02f x f y -≥结合偶函数性质判断即可.【详解】设()ππsin ,,22f x x x x ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭，则()f x 为偶函数，设12π02x x <<<，则因为,sin y x y x ==在π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上均为增函数，故120sin sin 1x x <<<，故()()11121222sin sin sin f x x x x x x x f x =<<=，故()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，且()f x 为偶函数.又2sin 2sin2x x xy y =+，则20sin 2sin 2x x y y x -≥=，即()()02f x f y -≥，当且仅当0x y ==时取等号.故()()2f x f y ≥，故2x y ≥.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在ABC 中（）A.若A B ≥，则cos cos A B ≤B.若A B ≥，则tan tan A B ≥C.()sin sin A B C +=D.sincos 22A B C+=【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据余弦函数的单调性判断；对B ，举反例判断；对CD ，根据三角形内角和为π结合诱导公式判断.【详解】对A ，在ABC 中π0A B >≥>，由余弦函数单调性可得cos cos A B ≤，故A 正确；对B ，若A 为钝角，B 为锐角，则tan 0tan A B <<，故B 错误；对C ，()()sin sin πsin A B C C +=-=，故C 正确；对D ，πsinsin cos 2222A B C C +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD10.已知()f x x α=（R α∈）（）A.当1α=-时，()f x 的值域为RB.当3α=时，()()π3f f >C.当12α=时，()2f x 是偶函数 D.当12α=时，()2f x 是奇函数【答案】BC 【解析】【分析】根据幂函数的性质即可求解AB ，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.【详解】当1α=-时，()1f x x=，此时()f x 的值域为{}0y y ≠，故A 错误，当3α=时，()3f x x =在R 上单调递增，所以()()π3f f >，B 正确，当12α=时，R x ∀∈，()()()()222f x f x f x =-=，所以()2f x 是偶函数，C 正确，当12α=时，()12f x x =，()0x ≥，则()2f x x =，()0x ≥，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D 错误，故选：BC11.已知函数()22cos 21f x x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为π，则（）A.2ω=B.函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数C.π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D.函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称【答案】BD 【解析】【分析】对A ，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B ，根据πππ2,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭判断即可；对C ，根据π23f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭判断即可；对D ，化简π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断即可.【详解】对A ，()π2cos 22sin 26f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()f x 最小正周期为π，故2ππ2ω=，则1ω=，故A 错误；对B ，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，为正弦函数的单调递增区间，故B 正确；对C ，ππ2sin 2032f ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，故C 错误；对D ，πππ2sin 22cos 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，图像关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD12.已知函数()()()11cos π22121x x x f x -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++，则（）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 有最大值和最小值C.函数()f x 有对称轴D.对于11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增【答案】BC 【解析】【分析】利用函数对称性的定义可判断C 选项；判断函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，结合函数最值的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断D 选项；利用反证法结合B 选项中的结论可判断A 选项.【详解】因为()()()()()11πcos πsin π221212121x x x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎝⎭==++++，对于C 选项，因为()()()()()()()1111sin π1sin π121212121xx x xx xf x f x -----⎡⎤⎣⎦-===++++，所以，函数()f x 的图象关于直线12x =对称，C 对；对于D 选项，因为()10f -=，()00f =，故函数()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，D 错；对于B 选项，因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值和最小值即可，设()()()12121xx g x -=++，当112x ≤≤时，()()()122121322x x x x g x -=++=++，令2xt ⎤=∈⎦，因为函数2x t =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，函数23y tt =++在⎤⎦上单调递增，所以，函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当1x ≥时，()()()121321212212xx x x g x --=++=+⋅+，因为函数212x y -=、3212xy =⋅+在[)1,+∞上均为增函数，所以，函数()2132212x x g x -=+⋅+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数()()()12121xx g x -=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，由对称性可知，函数()g x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，故函数()g x 在12x =处取得最大值，且())2max 112g x g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，故函数()1g x 在12x =处取得最小值，且最小值为())22111=+，当1322x ≤≤时，则π3ππ22x ≤≤，则函数()sin πh x x =在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，对任意的1x 、213,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x <，则()()12h x h x >，()()210g x g x >>，则()()12110g x g x >>，由不等式的基本性质可得()()()()()()112122h x h x h x g x g x g x >>，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又因为当12x =时，函数()sin πh x x =取得最大值，故函数()f x 仅在12x =处取得最大值，对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()32h x h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()1132g x g ≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()0h x ≥，则()()32032h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥>⎛⎫⎪⎝⎭，若()0h x <，则()32h x h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()()03h x h <-≤-，则()()3232h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()()3232h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()32f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，又因为函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故当12x ≥时，()f x 在32x =处取得最小值，综上所述，函数()f x 既有最大值，也有最小值，C 对；对于A 选项，由C 选项可知，函数()f x 仅在12x =处取得最大值，若函数()f x 是以()0T T >为周期的周期函数，则1122f T f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与题意矛盾，故函数()f x 不可能是周期函数，A 错.故选：BC.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.sin 2______0（填＞或＜）．【答案】＞【解析】【分析】判断角所在象限，然后根据正弦函数在每个象限的符号分析即可.【详解】π2π2<<，故2对应的角度终边在第二象限，则sin 20>；故答案为：>.14.函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =______时，游客流量最大．【答案】8【解析】【分析】根据余弦函数性质求出函数()f n 的最大值及取最大值时n 的值，由此可得结论.【详解】因为{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅，所以π2π5π7π4π3π5π11π13π7π5π8π,π,,,,,,2π,,,,636632366323n ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭，所以当π2π2π63n +=，即8n =时，π2πcos 63n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值1，所以8n =时，()f n 取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以8n =时，游客流量最大．15.已知函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩则方程()()2f f x =的所有根之积为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】解方程()()2ff x =，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解.【详解】令()t f x =，由()()2ff x =可得()2f t =，当0t ≤时，由()222f t t t =--=，即2220t t ++=，则4420∆=-⨯<，即方程2220t t ++=无解；当0t >时，由()2log 2f t t ==，可得14t =或4t =.（1）当14t =时，当0x ≤时，由()2124f x x x =--=可得21204x x ++=，解得122x -+=，222x -=，当0x >时，由()21log 4f x x ==可得1432x =，1442x -=；（2）当4t =时，当0x ≤时，由()224f x x x =--=可得2240x x ++=，4440∆=-⨯<，方程2240x x ++=无解，当0x >时，由()2log 4f x x ==可得452x =，462x -=，因此，方程()()2f f x =的所有根之积为12345614x x x x x x=.故答案为：14.16.若函数()()22ln 1k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+ ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，则实数k 的最小值为______．【答案】2-【解析】【分析】结合题意由值域为()0,∞+转化221x k x +>-+，结合基本不等式求出最值即可.【详解】根据题意，函数()()22ln 1k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+ ⎪⎝⎭的定义域为()()1,00,-⋃+∞，因为()f x 的值域为()0,∞+，所以()()22ln 10k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+> ⎪⎝⎭在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，当10x -<<时，则011x <+<，则()ln 10x +<，此时必有220k x k x ++++<，变形可得221x k x +>-+，当0x >时，则11x +>，则()ln 10x +>，此时必有220k x k x ++++>，变形可得221x k x +>-+，综合可得：221x k x +>-+在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，设()21x g x x =+，()()1,00,x ∈-⋃+∞，则()()2211111121111x x g x x x x x x x -+===-+=++-++++，因为()()1,00,x ∈-⋃+∞，所以10,x +>且11x +≠，由基本不等式可得()()112201g x x x =++->=+，即()0g x >，所以()201x g x x -=-<+，因为221x k x +>-+在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，所以20k +≥，解得2k ≥-，故实数k 的最小值为2-.故答案为：2-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到221x k x +>-+，再运用函数及基本不等式的思想研究不等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）2log 3333log 2log 52log 2+-；（2）()()222164121248818x xxx x x x---⎛⎫-+-++++ ⎪+⎝⎭．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.【小问1详解】结合题意可得：2log 3333log 2log 52log 2+-+()333log 25log 103log 133=⨯-+=+=;【小问2详解】结合题意可得：()()()()()232218181641212488128281818x x x x x x x x xxxx x --------+⎛⎫-⎡⎤+-+++++-+++ ⎪⎢⎥=⎣⎦++⎝⎭18188284x x x x --=-+-+++=.18.已知向量()1,2a =r，b = ．（1）若a b ∥，求b的坐标；（2）若()()52a b a b -+⊥+ ，求a 与b 的夹角．【答案】（1）()2,4b = 或()2,4b =--（2）π3．【解析】【分析】（1）设(),2b a λλλ==r r，结合向量的模长公式求解即可；（2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】由题意，设(),2b a λλλ==r r．b ==，2λ∴=±，()2,4b ∴=或()2,4b =--．【小问2详解】()()52a b a b -+⊥+ ，()()520a b a b ∴-+⋅+=，225320a ab b ∴--⋅+= ，即2532200a b --⋅+⨯= ，5a b ∴=⋅ ．设a 与b的夹角为θ，则1cos2a a b bθ⋅===．又[]0,πθ∈，π3θ∴=，a ∴r 与b 的夹角为π3．19.已知函数()22cossin sin 22x x f x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程；（2）当()00,πx ∈且()05f x =时，求0π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）最小正周期为2π，对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z（2）10【解析】【分析】（1）利用三角恒等化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数()f x 的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可得出函数()f x 的对称轴方程；（2）由已知条件可求出0πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，利用同角三角函数的基本关系求出0πcos 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式可求得0π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】解：由题设有()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期是2πT =，由()πππ42x k k +=+∈Z ，可得()ππ4x k k =+∈Z ，所以，函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .【小问2详解】解：由()05f x =0π3245x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即0π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()00,πx ∈，所以0ππ5π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．若0πππ,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则0πsin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭与0π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，矛盾则0ππ,π42x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．从而0π4cos 45x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．于是000πππππ64646f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos cos sin 4646x x ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦33413642525210⎫-=⨯-⨯=⎪⎪⎝⎭．20.如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π3POQ ∠=，A 是扇形弧上的动点，过A 作OP 的平行线交OQ 于B ．记AOP α∠=．（1）求AB 的长（用α表示）；（2）求OAB 面积的最大值，并求此时角α的大小．【答案】（1）3cos sin 3AB αα=-（2）π6α=时，面积的最大值为312．【解析】【分析】（1）过A ，B 作OP 的垂线，垂足分别为C ，D ，由AB OD OC =-求解；（2）由11cos sin sin 223S AB BC ααα⎛⎫=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭33sin 26612πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．【小问1详解】解：过A ，B 作OP 的垂线，垂足分别为C ，D，则cos OD α=，sin BC α=，OC ∴cos sin 3AB CD αα∴==-．【小问2详解】()11313cos sin sin sin 21cos 2223412S AB BC ααααα⎛⎫=⨯=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31333sin 2cos 2sin 222126612πααα⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭．03πα<<，52666πππα∴<+<，262ππα∴+=，即6πα=时，61212S =-=最大，因此，当6πα=时，面积的最大值为12．21.已知函数()()e 1exxf x a -=-+．（1）当1a =-时，讨论()f x 的单调性（不必给出证明）；（2）当1a =时，求()f x 的值域；（3）若存在1x ，()2,0x ∈-∞，使得()()120f x f x ==，求1222e e x x +的取值范围．【答案】（1）()f x 在R 上单调递减（2）[)1,+∞（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数之差的单调性判断即可；（2）根据基本不等式求解即可（3）令()e 0,1x t=∈，再根据二次函数的零点存在性问题列式可得4a >，再根据韦达定理求解即可.【小问1详解】当1a =-时，()ee 1xx f x -=-+，因为e x y -=为减函数，e x y =为增函数，故()f x 在R 上单调递减；【小问2详解】当1a =时，()e e 111x x f x -=+-≥=，当且仅当0x =时取等号；所以()f x 的值域为[)1,+∞．【小问3详解】令()e 0,1x t=∈，则问题等价于存在1t ，()20,1∈t ，使得210at at -+=令()21gt at at =-+，因为()g t 在()0,1t ∈有两个零点，故()()200010101240a g g a a >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪->⎩，即201010101240a a a >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪->⎩解得4a >．由韦达定理和根的定义可知：121t t +=，121t t a=．()12222221212122e e 21x x t t t t t t a∴+=+=+-=-又因为4a >，故1222e e x x +的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用换元法，设()e 0,1x t =∈，将指数方程转化为一元二次方程，最后利用二次函数根的分布从而得到范围.22.二次函数()f x 的最大值为34，且满足()()22f x f x -=-，()114f =-，函数()()0k g x k x=≠．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若存在[]01,1x ∈-，使得()()00f x g x =，且()()f x g x -的所有零点构成的集合为M ，证明：[]1,1M ⊆-．【答案】（1）()234f x x =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知函数()f x 为偶函数，根据题意设()234f x ax =+，其中a<0，由()114f =-可求出a 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）由()()0f x g x -=可得()22000304x x xx x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，令()220034x x x x x ϕ=++-，分01x =、01x =-、()()01,00,1x ∈- 三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.【小问1详解】解：令2t x =-，由()()22f x f x -=-可得()()f t f t =-，所以，函数()f x 为偶函数，又因为二次函数()f x 的最大值为34，可设()234f x ax =+，其中a<0，则()31144f a =+=-，解得1a =-，所以，()234f x x =-.【小问2详解】解：因为()()00f x g x =，即20034k x x -=，所以30034k x x =-+，其中[)(]01,00,1x ∈- ．由()()0f x g x -=，化简可得330033044x x x x --+=即()22000304x x xx x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．令()220034x x x x x ϕ=++-，由判别式222000343304x x x ⎛⎫∆=--=-≥ ⎪⎝⎭，可知()0x ϕ=在R 上有解，①当01x =时，()2220031044x x x x x x x ϕ=++-=++=，此时[]1,11,12M ⎧⎫=-⊆-⎨⎬⎩⎭；②当01x =-时，()2220031044x x x x x x x ϕ=++-=-+=，此时[]1,11,12M ⎧⎫=⊆-⎨⎬⎩⎭；③当()()01,00,1x ∈- 时，()x ϕ的对称轴是011,222x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，因为2222000003330242444x x x x x ϕ⎛⎫-=-+-=-< ⎪⎝⎭，()22200000311110442x x x x x ϕ⎛⎫-=-+-=-+=-≥ ⎪⎝⎭，()22200000311110442x x x x x ϕ⎛⎫=++-=++=+≥ ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()x ϕ在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上各有一个零点，不妨设函数()x ϕ在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点分别为1x 、2x ，此时{}[]012,,1,1Mx x x =⊆-．综合①②③，[]1,1M⊆-成立．【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.。
高中数学考试答题卡(A4版可修改)
普通高等学校招生全国统一考试 数学试题答题卡
姓 名 ________________________
准考证号
考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右边的缺考标记． 填 涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
正确填涂 错误填涂 √ × ○ ● 第Ⅰ卷 一、选择题（共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A C D B 7 A C D B 8 A C D B 9 A C D B 10 13、______ ___ __ ___ 14、_______ _______ 15、______ __ ______ 16、 第Ⅱ卷 二、填空题（共20分） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（共70分） A C D B 11 A C D B 12 考 生 条 形 码 粘 贴 处 17.。
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛 数学(理科)试题+答题卡+答案
三（ . 19）（12 分）
(Ⅰ)
第（19）题图
(Ⅱ)
考点
姓名
班级
学校
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
准考证号
安徽省示范高中培优联盟 2020 年冬季联赛(高二)
数学答题卡（理科)
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 (Ⅱ)
装 订
贴条形码区
考号
姓名
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
湖北省鄂州高中2023届高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析
【解析】（1）（i）解方程 即得解；（ii）利用二次函数的图象和性质求解；
（2）对 分类讨论解不等式.
【小问1详解】
解：（i）由题得 ；
（ii） ，对称轴为 ，
所以当 时， .
.
所以f（x）在区间 上的值域为 .
【小问2详解】
解： ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，不等式 解集为 或 ；
∴f（2）f（3）＜0.
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选C
【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、2
【解析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论
【详解】设半径为 ，则 ， ，所以弧长为 ，
试题解析：
(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝ (at－a－t)
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)
∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且 ＞0，
∴f(x)为增函数
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－xБайду номын сангаас减函数，且 ＜0，
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ，函数 单调递增区间： ， ；（2） .
【解析】（1）利用函数的周期求解 ，得到函数的解析式，然后求解函数的单调增区间；
（2）由题得 ，再利用三角函数的图象和性质求解.
四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析
高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。
2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题Word版含答案
2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题第Ⅰ卷（共64分）一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.设三个复数1，i ，z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z = ．2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =，则n = ．3.函数()()()()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期= ．4.设点P ，Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上，则PQ 的最小值= ．5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率= ．6.在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值= ．7.设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ．8.把21,2,,n 按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n .例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j = ．第Ⅱ卷（共86分）二、解答题 （本大题共4小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ，F 分别是线段AD ，BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ，H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：3HAB GAB ∠=∠.10. 设O 是坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点.（1）求证：AOB ∆的面积S 是定值；（2）求AOB ∆的外心P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数x ，y ，z 都有)22223x y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数k >x ，y ，z 下式恒成立？()22223x y z k xy yz zx ++≥++试证明你的结论.12. 在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题参考答案一、填空题1.43i -或34i -+2.2133.2π4.()1ln ln 22ln 2+ 5.115 6.465- 7.66- 8.()34,95二、解答题9.解：由E ，F 分别是AD ，BC 的中点，得//EF AB AD ⊥.设P 是E 关于l 的对称点，则//EP AG l ⊥，故四边形AEPG 是等腰梯形. 进而PAG EGA GAB ∠=∠=∠，APG GEA ∠=∠，从而AP HG ⊥.再由HP DE EA PG ===，得HAP PAG GAB ∠=∠=∠.因此3HAB GAB ∠=∠.10.解：（1）()00,M x y 处的切线方程00221x x y y a b -=. 与渐近线方程联立，得()110000,,a b A x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，()220000,,a b B x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 从而，122112S x y x y ab =-=是定值. （2）由（1）可设(),A a b λλ，,a b B λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，λ为非零常数.由PA PO PB ==，得()()222222a b x a y b x y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫-+-=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而有()222ax by a b λ+=+，()2212ax by a b λ-=+. 上述两式相乘，得P 的轨迹方程为()222222214a xb y a b -=+.11.解：（1）由均值不等式，221322x y +≥，221322x z +≥，221322y z +≥.故)22223x y z xy yz zx ++≥++.（2）()222222222232322442k k k k k x y z k xy yz zx x y z y z k yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++=--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上式0≥恒成立当且仅当2204k -≥且2222423244k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.化简得k ≤326240k k -+≥.显然，2k =>. 12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，i x 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有32018M N C +=，()2018120172i ii x x M =-=∑. 当且仅当每个1008i x =或1009时，N 取得最小值32320181009100910082C C -⨯=.310092N C =是可以取到的，例如把线段()mod201812018,1504i i j i j →±≤≤≤≤染成红色，其它线段染成蓝色.。
2025届湖南新课标普通高中学高三第二次联考数学试卷含解析
2025届湖南新课标普通高中学高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π43．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-4．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12- D ．72-5．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．339．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >10．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，11．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元12．要得到函数3sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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[※※※※]中学[学年]年度第[学期]学期期[学段（中/末）]考试
高 [年级] 数学
命题人：※※※
第Ⅰ卷（客观题共60分）
注意事项：1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分．满分150分．考试时间120分钟．2）考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷左侧远离密封线的边缘处．答题要远离密封线．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1．
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．
A． B． C． D．
4．
A． B． C． D．
5．
A． B． C． D．
6．
A． B． C． D．
7．
A． B． C． D．
8．
A． B． C． D．
9．
A． B． C． D．
10．
A． B． C． D．
11．
A． B． C． D．
12．
A． B． C． D．
x y
O
[※※※※]中学[学年]年度第[学期]学期期[学段（中/末]考试
高 [年级] 数 学
第Ⅱ卷（主观题 共60 分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出横线上填上正确结果） 13．
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．要求写出必要解答过程）．
（本题满分12分） （Ⅰ）
（Ⅱ） （Ⅲ）
（本题满分12分）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
（本题满分12分）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ） 注：密封线可以根据需要增添、移位、修改．可以通过视图：页眉页脚，修改． 题号 19
得分 题号 18
得分 题号 17
得分。