2019-2020学年高三百校联考数学试卷
江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学含答案解析
江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z−的模长为()A.√2B.√3C.2D.√52.已知集合M={x|1xx-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=()A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(π3,0),B(7π12,-1),则f(x)的解析式是()A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C8xx>C8yy”,则P(A)=()A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为()A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥12mm+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为()A.2023×2024B.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是()A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=1D.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:xx2aa2-yy2bb2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-√22(x-a),RRRR�����⃗=2RRSS�����⃗,则双曲线C的离心率为√311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是()A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值C.若M为BC的中点,则AA1B�������⃗=2AAAA������⃗-AACC1�������⃗�����⃗·PPCC�����⃗的最小值为-14D.PPAA12.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有()A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是▲.14.已知{a n}是递增的等比数列,且满足a3=1,a1+a3+a5=919,则a4+a6+a8=▲.15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为▲.16.设a>0,已知函数f(x)=e x-a ln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为▲.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1-cos AA sin AA=sin2SS1+cos2SS.(1)证明:cos B=aa2bb.(2)求aa bb的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人. (1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率. 19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3. (1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+•>+−−∑=n a T a S k n nk k k k λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值. 20.(12分)设椭圆xx 2aa 2+yy2bb2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知AA 1F �������⃗=3FFAA 2�������⃗.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率. 21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PCD ⊥平面ABCD. (1)证明:PD ⊥平面ABCD.(2)若PD=AD , M 是PD 的中点,N 在线段PC 上,求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f (x )=x ln x-12ax 2(a>0).(1)若函数f (x )在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2 (x 1<x 2),证明:x 1x 2>1aa .江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z−|=|z|=√5,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z−|=|z|=√5,故选D.2.C【解析】解不等式1xx-1<-1,即xx xx-1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e,所以N=(0,e),所以M∪N=(0,e),故选C.3.C【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).故选C.5.C【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=1336,故选C.6.B【解析】设切点为(x0,ln x0),y'=1xx,则�aa=1xx0,aaxx0+b=ln xx0,得b=ln x0-1,∴2a+b=2xx0+ln x0-1.设f(x)=2xx+ln x-1(x>0),f'(x)=-2xx2+1xx=xx-2xx2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)min=f(2)=ln 2,∴2a+b的最小值为ln 2.7.C【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=yy1xx1=4yy1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kk OOBB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=yy1+yy22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C. 8.D【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12nn,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12nn≥12mm+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T204 7=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=bb aa x,解得S(aa2√2b+a,aabb√2b+a),联立直线l与渐近线y=-bb aa x,解得R(aa2-√2b+a,aabb√2b-a),由题可知,RRRR�����⃗=2RRSS�����⃗,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3aabb√2b+a=aabb√2b-a,解得b=√2a,所以e=√3,故D正确.故选BD.11.BCD【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,AACC1�������⃗=AASS�����⃗+AAAA�����⃗+AAAA1�������⃗,AAAA������⃗=AASS�����⃗+12AAAA�����⃗,故2AAAA������⃗-AACC1�������⃗=AASS�����⃗-AAAA1�������⃗=AA1B�������⃗,故C正确;对于D,设PPCC�����⃗=λAA1C�������⃗,PPAA�����⃗·PPCC�����⃗=(PPCC�����⃗+CCSS�����⃗+SSAA�����⃗)·PPCC�����⃗=(λAA1C�������⃗-AAAA�����⃗-AASS�����⃗)·λAA1C�������⃗=(λAA1B�������⃗-AAAA�����⃗-AASS�����⃗)·λAA1B�������⃗=(λAASS�����⃗-λAAAA1�������⃗-AAAA�����⃗-AASS�����⃗)·(λAASS�����⃗-λAAAA1�������⃗)=λ(λ-1)|AASS�����⃗|2-λ2AAAA1�������⃗·AASS�����⃗-λAAAA�����⃗·AASS�����⃗-λ(λ-1)AASS�����⃗·AAAA1�������⃗+λ2|AAAA1�������⃗|2+λAAAA�����⃗·AAAA1�������⃗=λ(λ-1)|AASS�����⃗|2-(2λ2-λ)AAAA1�������⃗·AASS�����⃗-λAAAA�����⃗·AASS�����⃗+λ2|AAAA1�������⃗|2+λAAAA�����⃗·AAAA1�������⃗=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PPAA�����⃗·PPCC�����⃗的最小值为-14,故D正确.故选BCD.12.BD【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即e x+1-x=0,又e x≥x+1>x-1,所以e x+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(e x+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=a e x-1,当a≤0时,由于e x>0,则a e x≤0,故f'(x)=a e x-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=a e x-1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在(-,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-ln a处取得,所以C错误.对于D,由上知f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a,要证f(x)>2ln a+32,即证1+a2+ln a>2ln a+32,即证a2-12-ln a>0恒成立,令g(a)=a2-12-ln a(a>0),则g'(a)=2a-1aa=2aa2-1aa.令g'(a)<0,则0<a<√22;令g'(a)>0,则a>√22.所以g(a)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(√22)=(√22)2-12-ln√22=ln√2>0,则g(a)>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD . 13.(-∞,1] 【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xxxx 2+1, 因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xxxx 2+1的最大值,当x=0时,2xxxx 2+1=0,当x ≠0时,2xx xx 2+1=2xx +1xx≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xxxx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273 【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=aa3qq 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1OO 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=2√3,∴圆台的内切球半径R=√3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln(ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (e x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e xx 0)处的切线斜率为a ,e xx 0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e 2,∴ab 的最大值为e2.故答案为e 2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos AA sin AA =sin2SS 1+cos2SS =2sin SS cos SS 2cos 2B=sin SScos SS ,所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B , ............................................................................................................................... 2分 所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos(A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B , .............................................................................................................. 4分 所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=aa2bb ....................................................................................................................... 5分 证法二:由1-cos AA sin AA =2sin 2AA22sin AA 2cos AA 2=sin AA2cos AA 2=sin2SS 1+cos2SS ,所以sin AA2cos AA 2=sin2SS1+cos2SS , 即sin AA2·(1+cos 2B )=cos AA 2·sin 2B ,所以sin AA2=sin 2B ·cos AA 2-cos 2B ·sin AA 2=sin(2B-AA 2), 又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以AA 2=2B-AA 2或AA 2+(2B-AA 2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=aa2bb . (2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4, .............................................................................. 7分由正弦定理,得aa bb =sin AA sin SS =sin2SS sin SS =2sin SS cos SSsin SS=2cos B ∈(√2,√3), ......................................................................................... 9分所以aabb 的取值范围是(√2,√3). ........................................................................................................................................ 10分 18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市. ............................................................................................................................................ 1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5, P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04, ................................................................................................................... 3分由全概率公式可得P (D )=P (E ).P (D|E )+P (F ).P (D|F )+P (G ).P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054, (5)分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. ................................................................... 6分 (2)由条件概率公式可得P (E|D )=PP (AADD )PP (AA )=PP (DD )·PP (AA |DD )PP (AA )=0.2×0.080.054=827. ........................................................................... 11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.................................................................................. 12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,② ..................................................................................................................................... 2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即aann aa nn -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列. .......................................................................................................... 4分 (2)由(1)知a n=3n ,所以S n =3(1-3nn )1-3=3nn +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n =3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3nn (nn +1)2, ........................................................................................... 6分所以�kk=1nn (1-2kk )(RR kk -2aa kk +32)log 3TT kk =�kk=1nn (1-2kk )(3kk +1-32-2·3kk +32)log 33kk (kk +1)2 =�kk=1nn (2kk -1)3kkkk (kk +1)=�kk=1nn(3kk +1kk +1-3kk kk )=3nn +1nn +1-3>λλ·3nnnn +1对任意n ∈N *恒成立, .................................................................................. 8分 故λ<3-nn +13nn -1恒成立, ........................................................................................................................................................... 9分令f (n )=3-nn +13nn -1,则f (n+1)-f (n )=3-nn +23nn -(3-nn +13nn -1)=2nn +13nn >0, ........................................................................................ 11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0. ............................................ 12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由AA 1F �������⃗=3FFAA 2�������⃗,所以|AA 1F �������⃗|=3|FFAA 2�������⃗|,所以|AA 1F �������⃗|=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=cc aa =12. ......................................................................................................................... 3分 (2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为xx 24+yy 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k , 则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2, 则h 1=|-4kk |�kk 2+1,h 2=|-kk |�kk 2+1, .................................................................................................................................................... 5分又RR △AA 1PQ =12h 1·|PQ|,RR △AA 2FP =12h 2·|A 2P|,RR △AA 1PQ =RR △AA 2FP ,所以|PPPP||AA2P|=ℎ2ℎ1=14, ................................................................................................................................................................. 8分由图可得AA2P�������⃗=45AA2Q��������⃗,又因为A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(25,-85k), ............................................................................... 10分又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=98,因为k<0,所以k=-3√24. .......................................................................... 12分法二:由题意知,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,联立�kkxx-yy-2kk=0,xx24+yy23=1,消去y得到方程(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,所以xx AA2·x P=16kk2-123+4kk2,所以x P=8kk2-63+4kk2, ................................................................................................................................ 5分代入直线方程得P(8kk2-63+4kk2,-12kk3+4kk2),Q(0,-2k), .................................................................................................................... 7分RR△AA2FP=12|A2F|·y P=yy PP2,RR△AA1PQ=RR△QQAA1AA2-RR△PPAA1AA2=12·4·(-2k)-12·4·y P,又因为RR△AA1PQ=RR△AA2FP,所以52y P=-4k, ......................................................................................................................... 10分所以52·-12kk3+4kk2=-4k,解得k2=98,因为k<0,所以k=-3√24................................................................................................ 12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD,........................................................................................................................................... 2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD. .......................................................................................................................................................... 4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), .................................................................................................................. 5分CCCC�����⃗=λCCPP�����⃗(0≤λ≤1),∴SSAA������⃗=(-2,-2,1),CCPP�����⃗=(0,-2,2),∴SSCC������⃗=SSCC�����⃗+CCCC�����⃗=SSCC�����⃗+λCCPP�����⃗=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),则�SSAA������⃗·nn=-2xx-2yy+zz=0,SSCC������⃗·nn=-2xx-2λλyy+2λλzz=0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)......................................................................................................... 7分设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,m>|=|nn·mm|nn||mm||=|2-2λλ|�λλ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λλ|�9λλ2-12λ+5, .............................................................................. 8分设t=1-λ,则0≤t≤1.①当t=0时,cos θ=0. ..................................................................................................................................................... 9分②当t≠0时,cos θ=2|tt|�9tt2-6t+2=2�tt29tt2-6t+2=2�12(1tt)2-6×1tt+9=2�12[(1tt-32)2+92],当t=23时,cos θ=2√23,∴0<cos θ≤2√23.......................................................................................................................... 11分综上,0≤cos θ≤2√23.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[0,2√23]........................................ 12分22.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-ax+1, .......................................................................................... 1分由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥ln xx+1xx恒成立,.................................................................................................................... 2分设h(x)=ln xx+1xx,h'(x)=-ln xx xx2,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减, ...................................................................... 3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1................................................................................................................................................. 4分(2)证法一:∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=1xx-a,当x∈(0,1aa)时,g'(x)>0,当x∈(1aa,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1aa)上递增,在(1aa,+∞)上递减,∴0<x1<1aa<x2,又∵g(1)=1-a>0,∴0<x1<1<1aa<x2, ............................................................................................................................................................... 6分要证x1x2>1aa,只需证x2>1aaxx1(>1aa),只需证g(x2)<g(1aaxx1),即证g(1aaxx1)=-ln(ax1)-1xx1+1>0,即证ln(ax1)+1xx1-1<0,(*) ........................................................................................... 8分由g(x1)=ln x1-ax1+1=0,设ax1=t∈(0,1),则ln x1=t-1,x1=e t-1,则(*)⇔ln t+e1-t-1<0, ................................. 10分设G(t)=ln t+e1-t-1(0<t<1),G'(t)=1tt-1e tt-1=e tt-1-t tt e tt-1,由(1)知ln x≤x-1,∴e x-1≥x,∴e t-1-t≥0,即G'(t)≥0,G(t)在(0,1)上递增,G(t)<G(1)=0,故(*)成立,即x1x2>1aa.................................................................................................................... 12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(tt-1)tt+1,当t>1时,ln t>2(tt-1)tt+1.设G(t)=ln t-2(tt-1)tt+1(t>0),G'(t)=1tt-4(tt+1)2=(tt-1)2tt(tt+1)2≥0,∴G(t)在(0,+∞)上递增,又G(1)=0,当0<t<1时,G(t)<G(1)=0,当t>1时,G(t)>G(1)=0,∴引理得证............................................................................................... 5分∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=1xx-a,当x∈(0,1aa)时,g'(x)>0,当x∈(1aa,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1aa)上递增,在(1aa,+∞)上递减,∴0<x1<1aa<x2,即0<ax1<1<ax2................................................................... 6分要证x1x2>1aa,只需证ln x1+ln x2>-ln a,即证a(x2+x1)>2-ln a,(*) .......................................................................... 7分由引理可得ax2+ln a-1=ln(ax2)>2(aaxx2-1)aaxx2+1,化简可得a2xx22+a(ln a-2)x2+ln a+1>0,①....................................... 9分同理ax1+ln a-1=ln(ax1)<2(aaxx1-1)aaxx1+1,即有a2xx12+a(ln a-2)x1+ln a+1<0.②......................................................... 10分由①-②可得,a2(x2+x1)(x2-x1)+a(ln a-2)(x2-x1)>0,即a2(x2+x1)+a(ln a-2)>0,即a(x2+x1)>2-ln a,故(*)得证,从而x1x2>1aa. ................................................................................................................................................................... 12分。
江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)
江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。
2020届江苏省百校大联考高三上学期第一次考试数学试题(word版)
江苏省2020届“百校大联考”高三年级第一次考试数学试卷2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}12x x -<≤，集合B ＝{}0x x >，则A I (∁U B)＝ ． 答案：(﹣1，0] 2．已知复数22i 1iz =++，i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 答案：13．函数：lg(1)y x =-的定义域是 ．答案：[0，1)4．执行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：305．在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为 ． 答案：136．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ．答案：47．已知圆224x y +=过椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞0，b ＞0)的焦点与短轴端点，则椭圆C 的标准方程为 ．答案：22184x y += 8．如右图，在体积为12的三棱锥A —BCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝2MB ，点N 为 CD 的中点，则三棱锥C —AMN的体积为 ．9．已知{}n a 为等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S 且6328a a -=，37S =，则{}n a 的通项公式为 ． 答案：12n n a -=10．若()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()3f x x x =-+，则()0f x ≥的解集为 ． 答案：(-∞，﹣3]U [0，3]11．若非零向量a r 与b r 满足223a b a b +=+=r r r r ，则a r 与b r的夹角为 ．12．若5cos 26sin()04παα++=，(2πα∈，)π，则sin 2α= ．答案：﹣113．已知函数22(23)320()4ln 20x m x m m x f x x m x xe ⎧+++++≤⎪=⎨+->⎪⎩，，在区间R 上有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为 ．答案：[﹣1，2)14．已知正实数x ，y 满足()4xy x y -=，则x y +的最小值为 ． 答案：23二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的图像上两个相邻的最高点之间的距离为2π且直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．（1）求()f x 的解析式； （2）若α满足()3()3f f παα=+，求tan 2α．16．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D是棱A1B1的中点．（1）证明：直线B1C∥平面AC1D；（2）若AC＝AA1，A1B1⊥A1C1，证明：平面AC1D⊥平面A1B1C．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为32，点A1分别为椭圆C与坐标轴的交点，且AB＝5．过x轴上定点E(1，0)的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q为线段MN的中点．（1）求椭圆C的方程；（2）求△QAB面积的最大值．18．（本小题满分16分）某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，其中渠底BC宽为1米，渠口AD宽为3米，渠深34米．根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍．设扩建后渠深为h米，若挖掘费用为每立方米ah2万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰，AB端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米3a万元．（1）用h表示渠底B1C1的长度，并求出h的取值范围；（2）问渠深h为多少米时，建设费用最低？19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，24a =，且满足1136n n n a a S +-+=+(n ≥2)． （1）证明：{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)nn n b t n a =⋅-⋅，0t ≠，若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）在（2）的条件下，设1212()2321n n n nc n N +*+=∈-⋅+，记数列{}n c 的前n 项和为 n T ．若对任意的n ，k N *∈，存在实数λ，使得1n k T b λ+⋅<，求实数λ的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数(1)()ln ()kk f x x x a x x-=-+． （1）当a ＝1时，求1()f x 在1x =处的切线方程；（2）对于任意x ∈[1，+∞)，1()f x ≥0 恒成立，求a 的取值范围； （3）试讨论函数0()()F x f x x =-的极值点的个数．页11第。
2019年湖南省百所名校大联考(长郡中学、湖南师大附中等)高考数学冲刺试卷及参考答案(文科)(4月份)
2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．43．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．24．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p46．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．27．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P49．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N 两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）【解答】解：A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y＝≥2}，则∁U B＝{x|x＜2}，则A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，故选：D．2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．4【解答】解：x，y为共轭复数，可设x＝a+bi，y＝a﹣bi（a，b∈R）．∵（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，∴4a2﹣3（a2+b2）i＝4﹣6i，∴，解得a2＝b2＝1．∴|x|+|y|＝2＝2．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，故选：A．4．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度【解答】解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p4【解答】解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x+）2+≥，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x＝﹣时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．2【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为＝2，高为；所以，该棱锥的体积为V＝S底面积•h＝×2＝．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为【解答】解：对于函数f（x）＝sin（x+），令x＝，求得f（x）＝，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x＝对称，故A正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y＝f（x+π）＝sin（x+π+）＝﹣sin（x+），在区间[﹣π，]上，x+∈[﹣，]，故f（x+π）单调递减，故C错误；令f（x）＝1，求得sin（x+）＝，∴x+＝2kπ+，或x+＝2kπ+，k∈Z，故在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P4【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设P（x，y）为平面区域内的任意一点，则P在△ABC内部或边上．显然当P为（﹣2，0）时，x+y＝﹣2＜0，故而命题p1为假命题；作出直线2x﹣y+1＝0，由图象可知△ABC在直线2x﹣y+1＝0的上方，故而对于任意一点P，都有2x﹣y+1≤0，故命题p2为真命题；取点M（1，﹣1），连结MB，MC，则k MB＝﹣，k MC＝﹣3，∴﹣3≤≤﹣，故命题p3错误；联立方程组，解得A（﹣1，3），故OA2＝10，故命题p4正确．故选：D．9．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]【解答】解：∵）＝•（+++）＝•（2++）＝2||2+||×|+|×cosθ＝6+6cosθ∵﹣1≤cosθ≤1∴0≤6+6cosθ≤12故选：A．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）【解答】解：由题意，f（0）＝1+b＝0，∴b＝﹣1，∴f（x）＝1og2（x+2）+x﹣1，∴f （2）＝3，函数在R上单调递增，∵|f（x）|＞3，∴|f（x）|＞f（2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．【解答】解：分别过A，B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则AF＝AM，BF＝BN，∵sin∠ABF＝2sin∠BAF，∴AF＝2BF，∴AM＝2BN，∴＝，即B为AP的中点．联立方程组，消去x可得：y2﹣+16＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝16，又B是P A的中点，∴y1＝2y2，∴y2＝2，即B（1，2），又P（﹣2，0），∴直线AB的斜率为．故选：B．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝+﹣k＝，∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，∴e x﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，即k＝在x＞0上无变号零点，令g（x）＝，因为g'（x）＝，所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增所以g（x）的最小值为g（2）＝，所以必须k≤，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：；结束循环，输出n＝5．故答案为：5．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．【解答】解：由题意得M（2，0），N（0，﹣4），由＝+，得（x﹣2，y+4）＝λ（0，4）+μ（﹣2，0），∴x﹣2＝﹣2μ，y+4＝4λ，因此．故答案为：．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．【解答】解：∵∠A＝30°，BC＝1，可得：，∴AB＝2sin C，AC＝2sin B＝2sin（150°﹣C）＝2（cos C+sin C）＝cos C+sin C，∴S△ABC＝AB•AC，∵C∈（，），可得：2C﹣∈（0，），∴sin（2C﹣）∈（0，1]，可得：，则△ABC面积的取值范围为，故答案为：．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为8【解答】解：如图三棱锥A﹣BCD，底面为等腰直角三角形，斜边为CD，底面圆心为CD中点F，由AB＝AC＝AD，可得AF⊥平面BCD，球心O1在直线AF上，AF＝＝＝2，设球O1的半径为r1，可得r12＝（r1﹣2）2+16，解得r1＝5，由球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球心O2在直线AE上，球O2直径的最大值为10﹣2＝8．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，①a1+a2+a3+…+a n+1＝n+1﹣a n+1，②②﹣①可得2a n+1﹣a n＝1 …..（3分）即：a n+1﹣1＝（a n﹣1），又a1﹣1＝﹣…..（5分）所以数列{a n﹣1是以﹣为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n＝1﹣，…（7分）∴b n＝（2﹣n）（a n﹣1）＝…（8分）由b n+1﹣b n＝﹣＝＞0可得n＜3由b n+1﹣b n＜0可得n＞3 …（9分）所以b1＜b2＜b3＝b4，b4＞b5＞…＞b n＞…故b n有最大值b3＝b4＝所以，对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2﹣t成立…（13分）所以t2﹣t﹣≥0解得t≥或t≤﹣所以，实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）…（14分）18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．【解答】18（Ⅰ）证明：VB＝2，，BC＝1⇒BC⊥VC，VD⊥平面ABC⇒VD⊥BC，VD∩VC＝V，∴BC⊥平面VCD⇒DC⊥BC．（Ⅱ）解：作DE⊥AC垂足为E，连接VE，则∠VED为二面角V﹣AC﹣B的平面角．在△BCD中，∠DBC＝45°，DC⊥BC，BC＝1，∴CD＝1，，∠BDC＝45°，在△ADC中，∠ADC＝135°，，∴，∴，又VD⊥平面ABC，∴VD⊥CD，又，∴，∴．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；…………（3分）（2）由y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x；………………（5分）计算，，∴lg＝＝，………………（7分）把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：，∴，∴，……………………（9分）∴y关于x的回归方程式：；………（10分）把x＝8代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；…………………………（12分）20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，得p＝，则抛物线C的方程为x2＝﹣y．设切线AD的方程为y＝kx+2，代入x2＝﹣y得x2+kx+2＝0，由△＝k2﹣8＝0得k＝±2．当k＝2时，A的横坐标为﹣＝﹣，则a＝﹣（﹣）2＝﹣2，当k＝﹣2时，同理可得a＝﹣2．（2）由（1）知，N（0，a），D（0，﹣a），则以线段ND为直径的圆为圆O：x2+y2＝a2，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l′即可，因为G为直线l′与圆O的切点，所以OG⊥MG，cos∠MOG＝＝，所以∠MOG＝，所以|MG|＝|a|，则直线l′的斜率为，所以直线l′的方程为y＝x+2a，代入x2＝﹣y得x2+x+2a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2＝﹣，x1x2＝2a，△＝3﹣8a＞0，所以|PQ|＝•＝2，所以＝＝•＝•，设t＝﹣，因为a＜﹣1，所以t∈（0，1），所以3t2+8t∈（0，11），所以＝•＝•∈（0，）．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝a﹣1．当a≤1，则a﹣1≤0，由f'（x）＜0得0＜x＜1，由f'（x）＞0得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜2，则0＜a﹣1＜1，由f'（x）＜0得a﹣1＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜a﹣1或x＞1，函数f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增．当a＝2，则a﹣1＝1，可得f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞2时，则a﹣1＞1，由f'（x）＜0得1＜x＜a﹣1，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a﹣1，函数f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．（II）当a＝e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）＝﹣e2﹣3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g（x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值﹣e2﹣3．由e x+mx2﹣2e2﹣3≤﹣e2﹣3得e x+mx2≤e2，．记，则当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．＝，当x∈[1，2]，显然有e x x+2（e2﹣e x）＞0，当x∈（2，+∞），e x x+2（e2﹣e x）＞e x x﹣2e x＞0，故p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，得，从而m的取值范围为（﹣∞，e2﹣e]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝2y，配方为x2+（y﹣1）2＝1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2＝0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2＝1的一条直径，∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝+＝+＝|x ﹣3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）＝|x﹣3|+|x+4|＝．由于函数g（x）＝k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图，其中，K PB＝2，A（﹣4，7），∴K P A＝﹣1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．。
2019届江苏省百校联考高三数学试题(含全解析)
答案 8 3 2 6 3
uuur uuur 由任意三角形面积公式与 AB AC 2 3 构建关系表示 | AB|| AC| ，再由已知与平面向量
的线性运算、平面向量数量积的运算转化
uuur uuuur BN CM ，最后由重要不等式求得最值 .
解：
由 △ABC的面积为 6 得 1 | AB|| AC|sin ∠ BAC= 6 ，
集合 B 的补集 eU B { x | x 1} ，则 A (eU B) { x | 0 x 1}
故答案为： (0,1]
点评：
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题
.
2
2
2．已知双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一条渐近线经过点
为 _______.
(1,2) ，则该双曲线的离心率
答案 5
绝密 ★启用前
2019 届江苏省百校联考高三数学试题
注意事项： 1 、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 、请将答案正确填写在
答题卡上 一、填空题
1．设全集 U R ，集合 A
x | x2 2x 0 ， B { x | x 1} ，则集合
A (eU B) ______.
解：
由题可知，集合 A中 x2 2x 0 x x 2 0 0 x 2
由题可构建如图所示的图形，因为 AQ是 ACP 的角平分线，由角平分线成比例定理可
AC AQ 2
知
AP PQ 1
uuur uuur AQ 2PQ , 所以 AQ 2PQ .
uuur
uuur
设点 Q m, n ，点 P x, y ，即 AQ m 3, n , PQ
x m, y n ，
2024届福建省百校联考高三下学期5月测评数学试卷
2024届福建省百校联考高三下学期5月测评数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（）A．16B．30C．24D．18(★) 3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）A．3B．4C．1D．2(★★) 5. 设为数列的前项和，若，则（）A．4B．8C．D．(★★) 6. 若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 设，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知为双曲线的左焦点，为左支上的点，为右顶点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知为函数的极值点，则（）A．B．是偶函数C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增(★★★★) 11. 已知圆台的上下底面半径分别为1，2，高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆的一条弦，且，则（）A．圆台的体积为B．圆台的母线与下底面所成角为C．当，，，不共面时，四面体的外接球的表面积为D．的最大值为三、填空题(★★★) 12. 的展开式中，的系数为 ______ ．（用数字作答）(★★) 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则 ______ ．(★★★★) 14. 已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 ______ ．四、解答题(★★) 15. 已知函数，且在处的切线方程是．(1)求实数，的值；(2)求函数的单调区间和极值．(★★★) 16. 甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．(1)求进行双打比赛的概率；(2)设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望．(★★) 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．(★★★★) 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．(1)求点的轨迹方程；(2)若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；(3)在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．(★★★★★) 19. 已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数．(1)若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；(2)已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由．。
2019年9月15日高2020届高2017级江苏省2020届百校大联考高三年级第一次考试数学试题及参考答案
在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,D 是棱 A1B1 的中点. ⑵ 证明:直线 B1C 平面 AC1D . ⑵若 AC AA1, A1B1 A1C1 ，证明:平面 AC1D 平面 A1B1C .
17.(本小题满分 14 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :
直方图（如下图）.若要从身高在
三组内的学生中，用
分层抽样的方法选取 24 人参加一项活动，则从身高在［140 ,150］内的学生中选取的
人数应为
・
7.已知圆
x2
y2
4 过椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的焦点与短轴端点,则椭圆C
的标
准方程为
.
8.如右图，在体积为 12 的三棱锥 A-BCD 中，点 M 在上，且 AM 2MB ，点 N 为 CD 的
为.
11.若非零向量 a 与 b 满足 2a b a 2b 3 a ，则 a 与 b 的夹角为
.
12 .若 5cos 2 6sin( ) 0, ( , ) ，则 sin 2
.
4
2
x2 (2m 3)x m2 3m 2, x 0
.
1 i
3. 函数： y lg(1 x) 的定义域是
_.
4. 执行如图所示的伪代码，其结果为 ____________. 5. 在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子
中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为
・
6. 从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位:厘米）数据绘制成频率分布
福建省百校2024届高三上学期期中联考数学试卷(含解析)
福建省百校2024届高三上学期期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．图中的阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D.2．若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．函数的部分图象为( )A.B.C.D.4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度（单位：米）约为( )A B C()U A B C ð()U A B C ð()U A B Cð1Z 2Z 12Z Z -1Z 2Z ()21cos 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭A.3B.4C.D.5．已知数列满足，且，若，则正整数k 为( )A.13B.12C.11D.10.点P在线段CD 上，则的取值范围是( )A. B. C. D.7．已知直线是函数图像相邻的两条对称轴，将的图像.若在上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知，，，则( )A. B. C. D.二、多项选择题9．设正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是( )的最小值为2D.的最小值为210．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则( ))61)31{}n a 1112n n n n n a a a a ++--=21a =-816k a a =2PA PB ⋅[]1,2-2⎤⎦[]3,4[]1,0-x =4π3x =()()π4sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(f x ()g x ()g x (),m m -7π11π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦7π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦5π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦5π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦0.11a e = 1.11.1b = 1.11c =a b c>>a c b>>b a c>>b c a>>2a b +=22a b +()()π2sin ,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f xA ．函数在上单调递增BC.函数的图象关于点成中心对称D.函数在上单调递减11．如图，在长方体中，E ，F 分别是棱，的中点，点P 在侧面内，且，，则三棱锥外接球表面积的取值可能是( )A. B. C. D.12．已知数列满足，，则下列说法正确的有( )B.C.若D.三、填空题13．已知，则______.()f x 3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1224AD AB AA ===AD 11B C 11A ADD (BE BP yBF x x =+)y ∈R 1P BB F -10π20π12π44π{}n a 11a =()12ln 11n n n a a a +=++5<2211n n n a a a +-≤+2n ≥1111n i i a =≤<+∑()()1ln 121ln 2nn i i a =+≤-∑πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,44⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭14．已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为______.15．已知数列，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______.四、双空题16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点.”在ABC 中，，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则______；若的最大值为______.五、解答题17．已知函数，将个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程在上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.18．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由.19．设数列前n 项和满足.a bb =π,3b =()a b a -⊥ a b{n a ()2222n na a n n *+++=∈N L ()214n n b a n n λ=--+{}n b λ60A =︒1O 2O 3O 13O AO ∠=12O O O ()()()π2cos 22x x f x ϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭(f x ()f x ()f x a =π5,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()ln 1x a a f x x =-+∈R ()f x 2a =-()m m *∈N ()()1f x m x ≤+{}n a n S n n S a +=*∈N（1）证明：数列为等比数列；，求数列的前n 项和.20．如图，在四棱锥中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，，平面平面ABCD .（1）证明：平面平面PAB ；（2）若，，，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为的体积.21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE .（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时的值.22．已知函数.11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭11n S n =-+()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭n T P ABCD -PD AB ⊥PAD ⊥CDM ⊥//AD BC 24AD BC =<2AB =MCD -()()()sin 0,0,0,πy A x A ωϕωϕ=+>>∈[]4,0x ∈-()1,2B -//CD EF POE θ∠=θ()sin cos f x x x x =+（1）求在的单调区间与最值；（2）当，证明：有且仅有两个零点. ()f x[]π,πx∈-a>()()212g x f x ax=-()g x参考答案1．答案：B解析：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B 的元素，也是A 的元素，不是C 的元素”，故阴影部分所表示的集合是.故选：B.2．答案：D解析：先验证充分性：令，满足是纯虚数，但是不满足，互为共轨复数，所以充分性不成立；再验证必要性：令，满足，互为共轭复数，但是不满足是纯虚数，所以必要性不成立，所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．答案：C解析：，定义域为R ，为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A ，D ；令，则，，故有无数个零点，故排除B.故选：C.4．答案：C解析：如图：由题意可得，，()U A B C ð14i Z =22i Z =12Z Z -1Z 2Z 121Z Z ==1Z 2Z 12Z Z -12Z Z -1Z 2Z 21e ()1cos cos 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭1e ()cos()()1exxf x x f x ---∴-=⋅-=-+()f x ∴()0f x =2x k π=+πk ∈Z 30FCD ∠=︒75ADE ∠=︒24CD =直角三角形中，的长度为米，故选：C.5．答案：B 解析：由已知可得，，以上各式累加可得，又，代入，即，解得故，令，解得.故选：B.6．答案：D解析：如图，O 为圆心，连接，18075105ADC ∴∠=︒-︒=︒1803010545CAD ∠=︒-︒-︒=︒ACD △sin 30AD=︒AD ∴=ADB ()()sin sin 9075sin 4530AB AD ADB ︒︒︒︒=⨯∠=-=-()1sin 45cos30cos 45sin 3062︒︒︒︒⎫=-==⎪⎪⎭AB ∴6)0211112a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭21112n n a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭10122111111111221222212n n n n a a ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=++⋯⋯+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-21a =-021111212a a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1111a --=1a =22n n a -=-262162k --=-⨯12k =OP则因为点P 在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，则，即的取值范围是.故选：D.7．答案：A解析：由题意可知，则，故，令，解得，由图像可知解得故选A 项.8．答案：A解析：下面先证明，(且).记，则，()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ 2222()||4PO PO OB PO OA OA OB PO PO OB OA OA PO =+⋅+⋅+⋅=+⋅+-=- CD ||2CD =d ==||2PO ≤≤23||4PO ≤≤ 21||40PO -≤-≤ PA PB ⋅[]1,0-(f x 4536ππ=-==π=2ω=()f x =4sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4sin 24sin 2666g x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()6x k k π-=π∈Z ()212k x k ππ=+∈Z 0,11,127,12m m m ⎧⎪>⎪π⎪-≥-⎨⎪π⎪>⎪⎩712m π<≤ln 1x x <-0x >x l ≠()ln (1)f x x x =--1()1f x x'=-令，得：；令，得：；函数在上单增，在上单减，所以对任意，都有，即恒成立，所以对任意且，都有，即恒成立，故，故，构造函数，则故当时，单调递增，故，即，综上.故选：A.9．答案：ABD 解析：10．答案：CD解析：根据函数的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心对称，所以，于是，由及，得由于所以，，故半径为当时，，，因为在区间()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞0x >()(1)0f x f ≤=ln 1x x ≤-0x >1x ≠()(1)0f x f <=ln 1x x <-1.1ln1.1 1.1(1.11)0.11<⨯-=a b >1.1()(1)(1.11)g x x x =+-+0.10.1() 1.1(1) 1.1 1.1(1)1g x x x ⎡⎤=+-=+-⎣⎦0x >()f x 1.1 1.1(0.1)(10.1)(1.10.11) 1.1 1.110f =+-⨯+=->b c >a b c >>()2sin()f x x ωϕ=+(,0)C c 3c π=22622T c ωωππππ=+=⇒=⇒=2ω=,06A π⎛⎫- ⎪⎝⎭()()033k k k k ϕϕππ-+=+π∈⇒=+π∈Z Z ||ϕ<=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)f =||CM =≠3,2x π⎛⎫∈--π ⎪⎝⎭852,333x πππ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭sin y x =85,33ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上先减后培，所以原函数在上先减后增，故A 错误；，故C 正确；当时，，即，此时为减函数，故D 正确.故选：CD.11．答案：BCD解析：如图，连接，，，易证四边形是平行四边形，则点在线段上，取的中点G ，连接，，分别取，的中点，，连接，易知三棱锥外接球的球心O 在直线上，连接，，，，设三棱锥外接球的半径为R ，则，因为，所以，所以，所以.则当P 与E 重合时，此时三棱锥当P 与重合时，此时三棱锥，故三棱锥外接球表面积的取值范围是.12．答案：BCD3,2π⎛⎫--π ⎪⎝⎭22sin()03f π⎛⎫-=-π= ⎪⎝⎭20212023,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦202320252,366x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦792336,336366x πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦()f x EF 1D E 1D F 1BED F PD 1D E 11A D AG GF BF AG 1O 2O 12O O 12O O OB OP 2O E 2O P 1P BB F -222221122R OO O B OO O P =+=+124AD AB AA ===122O O =12O B O E ==2222112|2|2R OO OO EP =+=-++21114OO EP =+11OO =1P BB F -1D 13OO =1P BB F -1P BB F -[]12π44π，解析：对于A ：，，，，故A 错误；对于B ：，要证，则证，即证，即证，令，则，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，恒成立，，故B 正确；易知足遂增数列，所以，则，，则11a =()12ln 11n n n a a a -=++()2112ln 1121(01)13a a a ∴=++=⨯++=()3222ln 116ln 37a a a =++=+31222(6ln 37)3ln 3 3.513a a a +∴==+++ln 3ln e 1>= 3ln 33∴>31223ln 3 3.5 6.5a a a ∴=+>+()12ln 11n n n a a a -=++ 2211n n n a a a --≤+()22ln 1121n n na a a ++≤+ln 1n n a a +≤ln 10n n a a +-≤n a x =ln 10x x +-≤0x >()ln 1f x x x =+-11()1x f x x x-'∴=-=01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()(1)ln 110f x f ∴≤=+-=ln 10n n a a ∴+-≤2211n n n a a a +∴-≤+{}n a 11n a a ≥=ln 11n a +≥()12ln 1121n n n n a a a a -=++≥+()1121n n a a -+≥+2≥，即，所以而当时，则有故C 正确；令函数则所以在上单调递减，所以当时，，则，所以所以，D 正确.故选：BCD.解析：因为11221121n n n a aa a ---+⋅⋯⋅≥+()111212n n n a a -+≥+=≤2111111111221111222212nn n n i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+++==-<+-∑ 2n ≥112111111ni i a a a =≥+=+++∑()2ln g x x x =-2222121()10x x g x x x x -+-'=--=≤()g x (0,)+∞1x ≥()(1)0g x g ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭()2211112112112n n n n n n n n a a a a a a a a +-⎡⎤⎛⎫≤-++=++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()()1ln 1ln 1n n a a -+≤+()()()()12121ln 1ln 12ln 1ln 1n n n a a a a ---++⋅≤++ ()()111ln 12ln 12ln 2n n n a a --∴+≤+=()()()11ln 1122ln 221ln 2nn n i i a -=+≤++⋯+=-∑,44αππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5,1212αππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭故，所以14．答案：解析：15．答案：解析：由题意可得时，，当，即，对也成立，则，，，若数列为单调道壇数列，则恒成立，即化为恒成立.设当时，，当时，为递减数列，即可得cos 06απ⎛⎫+> ⎪⎝⎭cos 6απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14⎫⎪⎪⎭3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1n =12a =n ≥(1)1n n =--=2nn a =1n =2n n a =*n ∈N ()2214n n b n n λ=--+{}n b 1n n b b +>()()12221(1)4(1)214n n n n n n λλ+--+++>--+λ>*∈N n c =111212352222n n n n n n n nc c +++----=-=1,2n =321c c c >>3n ≥{}n c 345,c c c >>>⋯c则.解析：17．答案：（1）；（2）解析：（1），将函数所得函数为，，，，..（2），，单调递增；单调递减.且，，.方程在上恰有两个实数根，，实数a 的取值范围为.18．答案：（1）单调性见解析；（2）3解析：（1），，λ>3,8⎫+∞⎪⎭()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭)2()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭(f x ππ52sin 22sin 2π366y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴5πππ62k ϕ+=+k ∈Z ∴ππ3k ϕ=-+k ∈Z ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ π5,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,663x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π26x ≤-≤x ≤≤()f x π26x <-≤x <≤()f x π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x a =π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴2a ≤<∴)2 0x >()1f x a x'=-当，，在单调递增，当时，令，得得在单调递增，在单调递减.综上，时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2），，，令令，，在单调递减.，，使得，当，，，单调递增，当，，，单调递减，，，m 的最小值为3.19．答案：（1）证明见解析；0a ≤()0f x '>∴()f x ()0,+∞0a >()f x '=()0f x '>x <()0f x '<x >∴()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2a =-∴()ln 21f x x x =++∴()ln 211x x m x ++≤+∴m ≥()g x =(g x '()12ln u x x x =+-()2110u x x x '=--<∴()u x ()0,+∞ ()2222112ln 220e e u e e =+-=+-> ()3333112ln 230e eu e e =+-=+-<∴()230e ,e x ∃∈()00u x '=02ln 0x +-=02ln x +=()00,x x ∈()0u x >()0g x '>()g x ()0,x x ∈+∞()0u x <()0g x '<()g x ∴()()()02000000max0000123ln 212312111x x x x x x g x g x x x x x ++++++=====++++ (230e ,e x ∈()0,1∴3m ≥∴（2）解析：（1）证明：，，，，令，可得，所以数列是首项为（2）由（1）可得，，.20．答案：（1）证明见解析；解析：（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以，且平面平面ABCD ，平面平面，面PAD ，所以平面ABCD ，又平面ABCD ，所以，又因为，，平面PAD ，所以平面PAD ，又因为平面PAD ，所以，11121n +-- n n S a +=()12n n n S S n -=-≥∴()121221n n S S n n n--=-≥+∴()111221n n S S n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪+⎝⎭∴()1111212n n S n n S n--+=≥-1n =10S =∴112S -=11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭111111222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴111n n S b n ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭2nn b =∴()()()()112111212121n n n n n n n b b b ++==-----∴1111111111111337715212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L PN AD ⊥PAD ⊥PAD ABCD AD =PN ⊂PN ⊥AB ⊂PN AB ⊥PD AB ⊥PN PD P = ,PN PD ⊂AB ⊥DM ⊂AB DM ⊥因为M 为AP 中点，所以，且，平面PAD ，所以平面PAB ，且平面CDM ，所以平面平面PAB .（2）由（1）可知，且，，所以平面PAD ，且平面PAD ，所以，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则可得，，，，，，即，，，设平面MCD 的法向量为，则则可得，取，则，所以平面MCD 的一个法向量为，设直线PB 与平面MCD 所成角为，DM PA ⊥PA AB A = ,PA PB ⊂DM ⊥DM ⊂CDM ⊥PN AB ⊥PD AB ⊥PN PD P = AB ⊥AD ⊂AB AD ⊥()22AD a a =<()0,0,0A ()2,0,0B ()0,P a 0,2a M ⎛ ⎝()2,,0C a ()0,2,0D a ()2,,PB a =- ()2,,0DC a =- 30,2DM a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z =20302DC n x ay DM n ay ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2a x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩2y =x a =z =(,2,n a =θ所以解得，或，即（舍去）或1，所以，21．答案：（1），；（3）解析：（1）由已知条件，得，又，，又当时，有，曲线段FBC 的解析式为，.（2）由得，又，，，，（3）如图，，，作轴于点，在中，，在，sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====216a =21a =4a =2AD =11112332P MCD PMD V S AB -=⋅=⨯⨯=π2π2sin 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-θ=2A =34T =2π12T ω==∴ω= 1x =-π2sin 26y φ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭∴φ=∴π2π2sin 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-π2π2sin 163y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()614k x k k =+--∈Z []4,0x ∈-∴0k =3x =-∴()3,1G -OG =OC =1=∴2OD =COD ∠=1PP x ⊥1P 1Rt OPP △1sin 2sin PP OP θθ==△=∴()()sin 60sin 602cos sin120OP OM θθθθ⋅︒-==︒-=-︒12cos 2sin OMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭平行四边形当22．答案：（1）的增区间为：，，减区间为：，；；（2）证明见解析.解析：（1），解得与的分布列如下：.（2）的定义域为R，，所以为偶函数.，当有且仅有两个零点24sin cos2sin22θθθθθ=-=+π26θ⎛⎫=+⎪⎝⎭π0,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π26θ+==()f xππ,2⎛⎫--⎪⎝⎭π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭(f x1()sin cos sin cos0f x x x x x x x'=+⋅-=⋅=x=∴()f x()f x'(f x1()g x()()()()()21sin cos2g x x x xx a g x=-+---=--()g x()010g=>∴a>()g x⇔当在上有且仅有一个零点.，当时，若，则，所以在上单调递减，，在上有且仅有一个零点；时，存在，使得，当时，，当时，，当时，，所以，在递增，在上递减，在上单调递增，，可得当时，，所以，所以，在上有且仅有一个零点，综上，当有且仅有两个零点.a >()x ()0,+∞ ()()cos x x x a g '=⋅-1a ≥0x >()0g x '<()g x ()0,+∞ ()21π1π02g a =--<∴()g x ()0,+∞1a <<π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos a θ=0x θ<<()0g x '>()2π2π2πk x k k θθ+<<+-∈N ()0g x '<()2π2π2π2πk x k k θθ+-<<++∈N ()0g x '>()g x ()0,θ()()2π,2π2πk k k θθ++-∈N ()()2π2π,2π2πk k k θθ+-++∈N tan θ=1a <<0tan θ<<k ∈N (2π2πtan 2πk θθ++->-()()2112π2π2π2πtan 122g k k a θθθ⎡⎤++=-++--+⎣⎦()2132π2πtan 162k θθ⎡⎤<-++--+⎣⎦()22π2πtan 1006k θθ++--=-<()g x ()0,+∞a >()g x。
浙江省百校2019-2020学年高三数学联考试卷
浙江省百校2019-2020学年高三数学联考试卷一、单选题（共10题；共20分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，若复数z满足，则（）A. B. 2 C. D. 33.若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. -5B. 1C. 2D. 44.已知平面，和直线，，且，则“ ”是“ 且”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 206.函数的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且满足点C位于A，B之间.已知O为原点，且，则（）A. B. C. D.8.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，在中，，，，将绕边AB翻转至，使面面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为（）A. B. C. D.10.设无穷数列满足，，，若为周期数列，则pq的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 4二、双空题（共4题；共4分）11.若函数为奇函数，则实数a的值为________，且当时，的最大值为________.12.已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，________.0 1 2P a b13.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示则该几何体的体积为________ ，表面积为________.14.已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则k=________.三、填空题（共3题；共3分）15.某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五个乡村小镇A、B、C、D，E（每名同学选择一个小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇A，高一的同学不去小镇B，初三的同学不去小镇D和E，则共有________种不同的安排方法（用数字作）16.已知向量满足，则的取值范围是________.17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆.过原点的动直线l与圆M交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心MO为半径的始终无公共点，则实数a的取值范围是________.四、解答题（共5题；共50分）18.已知函数（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.19.如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，直线PC与平面AEF交于点Q.（1）若平面平面，求证：.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.20.已知各项为正数的数列，其前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.21.如图，过抛物线上的一点作抛物线的切线，分别交x轴于点D交y轴于点B，点Q 在抛物线上，点E，F分别在线段AQ，BQ上，且满足，，线段QD与交于点P.（1）当点P在抛物线C上，且时，求直线的方程；（2）当时，求的值.22.已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】C二、双空题11.【答案】；12.【答案】；13.【答案】100；14.【答案】；1三、填空题15.【答案】3216.【答案】17.【答案】四、解答题18.【答案】（1）解：化简得，所以（2）解：由于，故，，解得函数的单调递增区间为，19.【答案】（1）证明：因为，平面PC，平面PCD，所以平面PCD.又因为平面PAB，平面平面，所以.（2）解：连接PE.因为，所以，则设，则.因为A，E，Q，F四点共面，所以，解得，则.取AD的中点O，连接OC，OP，由题意可得OC，OD，OP两两垂直如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，.所以，.设平面PCD的一个法向量为，则，令，得，即，所以，所以.20.【答案】（1）解：由平方，得，所以，将以上两式相减，可得，则，所以，由于数列的各项均为正数，所以，又，所以（2）解：由题意可得，则，，将以上两式相减，可得，设，则，将以上两式相减，可得，由此可得，则21.【答案】（1）解：过抛物线上点A的切线斜率为，切线AB的方程为，则B，D的坐标分别为，，D是线段AB的中点.设，，，，显然P是的重心.由重心坐标公式得，所以，则，故或因为，所以，所以直线EF的方程为或（2）解：由解（1）知，AB的方程为，，，D是线段AB的中点令，，，因为QD为的中线，所以而，所以，即，所以P是的重心，.22.【答案】（1）证明：当时，，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，，该不等式显然成立，从而当时，（2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因为，所以单调递增，，欲取一点，使得，，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是。
2019-2020年高三示范性高中百校联考数学(理)试题含答案
2019-2020年高三示范性高中百校联考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数(2)i i 的共轭复数为（）A ．12iB ．12iC ．12iD ．12i2.“2”是函数2211()cossin22f x x x 的最小正周期为的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3.阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（）A ．0B ．32C ．3D ．324.在ABC 中，321AB BCBC CACA AB，则sin :sin :sin A B C（）A ．5:3:4B ．5:4:3C ．5:3:2D ．5:2:35.已知,x y 满足140xx y axby c且目标函数2zx y 的最大值为7，最小值为1，则a b ca（）A ．-2B ．2 C．1 D．-16.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定三个数必须同时使用，且同一个数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A ． 9个B ．12个 C．18个 D．36个7.已知'()f x 是函数的()sin f x x 的导数，要得到'(2)3y f x的图象，只需将(2)y f x 的图象（）A ．向左平移512个单位B ．向右平移56个单位C ．向左平移3个单位D ．向左平移6个单位8.设{(,)|02,02}Am n mn ，则任取(,)m n A ，关于x 的方程24m xx n 有实根的概率为（）A ．12ln 24B ．1ln 22C ．32ln 24D ．1ln 229.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线2221xy的左支上的一个动点，若点P 到直线230x y 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为（）A ．1B ．3C ．33D ．6610.在四面体ABCD 中，10AB CD，5AC BD ，13AD BC ，则四面体的外接球的表面积为（）A ．63B ．83C ．14D ．1611. 已知椭圆的焦点是1(0,3)F ，2(0,3)F ，离心率32e，若点P 在椭圆上，且1223PF PF ，则12F PF 的大小为（）A ．12B ．6C ．4D ．312.已知直线1y x 与曲线()ln()y f x xa 相切，则2'1(2)f x dx （）A ．1 B．ln 2C ．2ln 2D ．2第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）。
2019-2020学年河南省百校联盟高三(上)9月联考数学试卷试题及答案(理科)
2019-2020学年河南省百校联盟高三（上）9月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|340}M x x x =--<，1{|0}3N x x=>-，则M N 等于( )A ．{|43}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．{|34}x x <<D ．{|13}x x <<2．设复数z 满足2zi z =+，则2z +在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知2log 6a =，5log 3b =，0.82c =，则( ) A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．345．函数2(1)()||ln x f x x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．521(2)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为( ) A ．15- B ．5- C ．10 D ．157．已知非零向量a ，b 满足||||a k b =，且(2)b a b ⊥+，若a ，b 的夹角为23π，则实数k 的值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．128．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13.5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是( )A ．94尺B ．95尺C ．96尺D ．97尺9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点，过E ，F 的平面分别与棱AB ，AC 相交于点D ，G ，给出以下四个结论： ①//EF DG ；②//PA ED ；③ED DG ⊥；④AC FG ⊥． 则以上正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =，则椭圆C 的离心率为( )A ．13BC ．23D11．关于函数()cos |||cos |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(2π-，0)上单调递增；③()f x 在[π-，]π上有4个零点；④()f x 的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，AB AD CD ==，//BC AD ，60ABC ∠=︒，PAB ∆是等边三角形，若四棱锥P ABCD -体积的最大值，则球O 的表面积为( ) A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线方程为 ．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则32z x y =-的最小值为 ．15．《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨．每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”、“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼．“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主．在《中国诗词大会》的某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为 ．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，离心率为32，直线:)l y x c =-与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），OAF ∆和OBF ∆的面积分别记为1S 和2S ，则12S S = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的*n N ∈都成立，求整数k 的最小值．18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2202A CB cos +-=． （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A =C ，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥．（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若1CM C M =，求二面角111A B N C --的正弦值．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线:1l y x =+与抛物线C 相切于点P ，过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点． （1）求抛物线C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得当割线PQ 变化时，总有||||MT MH -为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数1()(1)()2f x x ax lnx a R =--∈． （1）当12a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x >，证明：1212()()144f x f x a x x -<--．22．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．) （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）从该甜品店的五种“网红甜品”中随机选取2种不同的甜品，求这两种甜品的单价相同的概率；（3）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利1x 元，销售一份B 甜品获利2x 元，⋯，销售一份E 甜品获利5x 元，依据上表统计数据，随机销售一份甜品获利的期望为()E x ，设123455x x x x x x ++++=，试判断()E x 与x 的大小2019-2020学年河南省百校联盟高三（上）9月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|340}M x x x =--<，1{|0}3N x x=>-，则M N 等于( )A ．{|43}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．{|34}x x <<D ．{|13}x x <<【解答】解：{|14}M x x =-<<，{|3}N x x =<， {|13}MN x x ∴=-<<．故选：B ． 2．设复数z 满足2zi z =+，则2z +在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：由2zi z =+，得2z iz i =+，则22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， 21z i ∴+=+，则2z +在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A ．3．已知2log 6a =，5log 3b =，0.82c =，则( ) A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解答】解：22log 6log 42>=，550log 3log 51<<=，00.81222=<<， b c a ∴<<．故选：D ．4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】解：设事件A 为居民没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内，则A 事件个数为3个，所有基本事件个数为4个，P ∴（A ）34=，即居民会被罚款和行政处罚的概率为34． 故选：D ．5．函数2(1)()||ln x f x x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由210x ->且0x ≠得1x >或1x <-，2(1)()()||ln x f x f x x --==，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C当x →+∞，()0f x >， 排除A ， 故选：D ． 6．521(2)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为( ) A ．15- B ．5- C ．10 D ．15【解答】解：523452211(2)(1)(2)(1510105)x x x x x x x x-+=-+++++， 故它的的展开式中2x 的系数为521015-⨯=-， 故选：A ．7．已知非零向量a ，b 满足||||a k b =，且(2)b a b ⊥+，若a ，b 的夹角为23π，则实数k 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12【解答】解：||||a k b =，2,3a b π<>=，且(2)b a b ⊥+， ∴2222(2)||||cos 22032kb a b a b b b b π+=+=-+=，且20b ≠， ∴202k-+=，解得4k =． 故选：A ．8．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13.5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是( )A ．94尺B ．95尺C ．96尺D ．97尺【解答】解：由程序图可知13.5 2.513.512.511.5 2.512962S +=+++⋯+=⨯=． 故选：C ．9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点，过E ，F 的平面分别与棱AB ，AC 相交于点D ，G ，给出以下四个结论： ①//EF DG ；②//PA ED ；③ED DG ⊥；④AC FG ⊥．则以上正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点，可得//EF BC ，BC ⊂/平面EFGD ，可得//BC 平面EFGD ，平面ABC ⋂平面EFGD DG =，可得//BC DG ，即有//EF DG ；由于D ，G 不一定为AB ，AC 的中点，可得//PA ED 不成立；由PA ⊥底面ABC ，可得PA BC ⊥，而AB BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ， ED ⊂平面PAB ，可得BC ED ⊥，又//BC DG ，可得ED DG ⊥；若AC FG ⊥，由AC PA ⊥，在同一平面PAC 内，可得//PA FG ，即G 为AC 的中点， 这与G 不一定为中点矛盾，故AC FG ⊥不成立． 则①③正确；②④错误． 故选：B ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B C ．23D 【解答】解：如图所示，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，连接1BF ． 则1||||AB BF =．23AB F B =，12||||2BF BF a +=， 2||2aBF ∴=，2||AF a =． ∴点A 是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．作BC x ⊥轴，垂足为点C ． 则22AOF BCF ∆∆∽．∴2222||||||1||||||2CF BF BC AO OF AF ===． 12B y b ∴=-，21||2CF c =．3(,)22c b B ∴-． 代入椭圆方程可得：2291144c a +=，解得2213c a =．c e a ∴==故选：B ．11．关于函数()cos |||cos |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(2π-，0)上单调递增；③()f x 在[π-，]π上有4个零点；④()f x 的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解答】解：由0x …时，cos ||cos x x =；0x <时，cos ||cos()cos x x x =-=， 可得()cos |||cos |f x x x =+，即为()cos |cos |f x x x =+，当cos 0x …时，()2cos f x x =；当cos 0x <时，()0f x =． 由()cos()|cos()|cos |cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=，且定义域为R ，关于原点对称，可得()f x 为偶函数； 当(2x π∈-，0)时，cos (0,1)x ∈，()2cos f x x =单调递增；当[x π∈-，][22ππ-，]π时，cos [1x ∈-，0]，()0f x =，即()f x 的零点有无数个；由0,cos 0()2cos ,cos 0x f x x x <⎧=⎨⎩…，可得cos 1x =即2x k π=，k Z ∈时，()f x 取得最大值2．综上可得①②④正确；③错误． 故选：A ．12．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，AB AD CD ==，//BC AD ，60ABC ∠=︒，PAB ∆是等边三角形，若四棱锥P ABCD -体积的最大值，则球O 的表面积为( ) A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π【解答】解：四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，如图：四棱锥P ABCD -体积的最大值PAB 与底面ABCD 垂直，并且底面ABCD 面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为AB AD CD ==，//BC AD ，60ABC ∠=︒，可得ABCD 是正六边形的一半，设AB AD CD a ===，则四棱锥的体积的最大值为：1332a ⨯=，解得a =此时，底面ABCD 的外心为E ，外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，所以R ==所以外接球的表面积为：2452ππ⨯=． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线方程为 330x y --= ． 【解答】解：由(21)y x lnx =+，得： 122y lnx x'=++，f ∴'（1）3=，即曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线的斜率为3，则曲线(21)y x lnx =+在点(1,0)处的切线方程为03(1)y x -=⨯-， 整理得：330x y --=． 故答案为：330x y --=．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则32z x y =-的最小值为 5- ．【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，可行域如图阴影区域，目标函数32z x y =-可看做3122y x z =-，即斜率为32， 截距为12z -的动直线，数形结合可知，当动直线过点B 时，z 最小， 由1290x x y =⎧⎨+-=⎩得(1,4)B ，∴目标函数32z x y =-的最小值为31245z =⨯-⨯=-．故答案为：5-．15．《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨．每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”、“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼．“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主．在《中国诗词大会》的某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为128． 【解答】解：抢答完七道题后甲成为擂主是指前六道题中甲四胜两负，第七题甲胜， ∴抢答完七道题后甲成为擂主的概率为：442611115()()()222128P C ==． 故答案为：15128． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，离心率为32，直线:)l y x c =-与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），OAF ∆和OBF ∆的面积分别记为1S 和2S ，则12S S 7． 【解答】解：离心率32c e a ==，可设3c t =，2a t =，(0)t >，则b ==， 直线:)l y x c =-即3x y t =+， 双曲线方程即为2225420x y t -=，联立直线l 的方程和双曲线的方程，消去x 可得227750y t +-=， 解得A y =，B y =- 由于直线l 经过右焦点，可得121||1217||2A A B Bc y S y S y c y ===-， 故答案为：17． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的*n N ∈都成立，求整数k 的最小值．【解答】解：（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项，可得151025a d +=，2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+， 解得11a =，2d =， 则12(1)21n a n n =+-=-； （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 可得前n 项和为111111111(1)(1)233521212212n T n n n =-+-+⋯+-=-<-++，由不等式4n kT <对任意的*n N ∈都成立， 可得142k …，即2k …， 整数k 的最小值为2．18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2202A CB cos +-=． （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A =C ，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2202A CB cos +-=．cos 1B B +=， 故2sin()16B π+=，由于0B π<<．解得23B π=． （2）由于2sin 2sin sin B A =C ，所以22b ac =， 且ABC ∆的面积为，故1sin 2ac B =，解得16ac =，所以2232b ac ==，解得b =．利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-，整理得22232162()a c c a +=++=+，解得a c +=．故ABC ∆的周长为a c b ++=+19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥．（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若1CM C M =，求二面角111A B N C --的正弦值．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB ⊥，AB AC ⊥，1AC AA A =，AB ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，AB AM ∴⊥， 11//AB A B ，11A B AM ∴⊥，又1AM B N ⊥，1111A B B N B =，AM ∴⊥平面11A B N ．（2）解：以AB ，AC ，1AA 分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 设1AA a =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)， 1(1B ，0，)a ，(0M ，1，)2a ，11(,22N ，0)，(0AM =，1，)2a ，111(,22B N =-，)a -，1AM B N ⊥，∴211022a AM B N =-=，解得1a =，即11AA =， 1(1B ∴，0，1)，(0M ，1，1)2，1(0C ，1，1)，(0AM =，1，1)2，111(,22B N =-，1)-，111(,,1)22C N =--，设平面11B NC 的法向量(n x =，y ，)z ，则111102211022n B N x y z n C N x y z ⎧=-+-=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，0)，由（1）由知(0AM =，1，1)2是平面11A B N 的一个法向量，cos ,||||n AMn AM n AM ∴<>===．∴二面角111A B N C --=．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线:1l y x =+与抛物线C 相切于点P ，过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点． （1）求抛物线C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得当割线PQ 变化时，总有||||MT MH -为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由212y x y px=+⎧⎨=⎩得2220y py p -+=依题意有，△2480p p =-=， 解得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由2440y x -+=可得2y =，代入直线l 得1x =， ∴点(1,2)P ，设(,)Q m n ，则24n m =， ∴点12(,)22m n A ++，依题意，将22n y +=代入直线l ，得2(,)22n n N +， AN ∴的中点为12(,)42m n n M +++， 又24n m =，∴221241()442m n n n n +++⨯=++=， AN ∴的中点M 在抛物线C 上，由抛物线的定义可知，当T 为抛物线24y x =的焦点(1,0)时，||MT 等于M 到抛物线准线1x =-的距离，||||1MT MH ∴-=，∴存在点(1,0)T ，使得||||MT MH -恒为定值1．21．已知函数1()(1)()2f x x ax lnx a R =--∈． （1）当12a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x >，证明：1212()()144f x f x a x x -<--．【解答】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a =-时，211()24f x x x lnx =+-，21112(2)(1)()2222x x x x f x x x x x +-+-'=+-==，令()0f x '=，则1x =．当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)； （2）因为2111()(1)222f x x ax lnx x ax lnx =--=--， 所以21122()22ax x f x ax x x-+'=--=，因为()f x 存在两个极值点，所以2220ax x -+=在(0,)+∞上有两个不同实根．且1212x x a +=，121x x a =，所以01160a a >⎧⎨=->⎩，所以 0 116a <<，因为22121212121212121211()()()()()1224x x a x x lnx lnx f x f x lnx lnx x x x x x x -------==----， 要证1212()()f x f x x x -- 144a <-，只需证121212()()24f x f x a x x x x ->=-+， 即证1121222(1)1x x x lnx x x ->+， 令121x t x =>，只需证2(1)1t lnt t ->+， 令2(1)()1t g t lnt t -=-+，g （1）0=， 所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++…，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增， 因为1t >，所以()g t g >（1）， 即2(1)01t lnt t -->+，所以1212()()144f x f x a x x -<-- 22．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．) （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）从该甜品店的五种“网红甜品”中随机选取2种不同的甜品，求这两种甜品的单价相同的概率；（3）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利1x 元，销售一份B 甜品获利2x 元，⋯，销售一份E 甜品获利5x 元，依据上表统计数据，随机销售一份甜品获利的期望为()E x ，设123455x x x x x x ++++=，试判断()E x 与x 的大小【解答】解：（1）由题意知，本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A 甜品和D 甜品．共有1万份．设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A ． 则P （A ）13=；（2）用销售总额处于销售量得到甜品的销售单价，可知A 甜品与C 甜品的销售单价为20元．从五种“网红甜品”中随机抽取2种不同的甜品共有2510C =种不同的方法． 设“两种甜品的单价相同”为事件B ．则P （B ）2225110C C ==；（3）由题意可知，x 可能取的值为8，5，3，10． 51(8)306P X ===，21(5)3015P X ===，1083(3)305P X +===，51(10)306P X ===， 因此113177()853*********E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，又8531032955x ++++==， 所以()E X x <．。
2019-2020学年江苏省“百校大联考”高三(上)第二次考试数学试卷(10月份)-普通用卷
2019-2020学年江苏省“百校大联考”高三（上）第二次考试数学试卷（10月份）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，若A∩B={2}，则实数a的值为______．2.函数y______．3.“实数m=-1”是“向量______的条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空）．4.0，+∞）上是单调递减函数，则整数m的取值为______．5.tan（π-α）的值是______．6.设向量，，均为单位向量，且______．7.个单位长度后关于原点对称，=______．8.已知函数______．9.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，cos C的值为______．10.设函数f（x）=e x-e-x+1，则不等式f（2x2-1）+f（x）＜2的解集为______11.对任意的x∈（0，+∞a的取值范围是______．12.如图所示，P，Q两点（可与A，B两点重合）是在以AB为直径的上半圆弧上的两点，且AB=4，∠PAQ=60°______．13.已知直线l与曲线y=sin x l与曲线y=sin x的图象交于点B（β，sinβ），若α-β=π，则tanα的值为______．14.4个不等的实根，则实数a的取值集合为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知m为实常数．命题p：∃x∈（1，2），x2+x-m=0；命题q：函数f（x）=ln x-mx在区间[1，2]上是单调递增函数．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16.（1）求函数f（x）的单调递增区间；（217.在△ABC中，点D为边AB的中点．（1）若CB=4，CA=3（2△ABC的形状．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，在线段AB上取一点M，沿着过M点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B恰好落在矩形的左边AD边上．设折痕所在直线与BC交于N点，记折痕MN的长度为l，翻折角∠BNM为θ．（1）探求l与θ的函数关系，推导出用θ表示l的函数表达式；（2）设BM的长为xcm，求x的取值范围；（3）确定点M在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19.（1）当x∈[1.5]，且a≥0时，试求函数f（x）的最小值；（2a的取值范围．20.已知函数f（x）=x3-3x2+px+q，其中p，q∈R．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求p，q的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：f（x1），p+q-2，f（x2）成等差数列；（3）若函数f（x）有三个零点0，m，n（m＜n），对任意的x∈[m，n]，不等f（x）≤14+p恒成立，求p的取值范围．答案和解析1.【答案】2【解析】解：∵集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，A∩B={2}，∴a=2，或a+1=2，当a=2时，B={2，3}，A∩B={2}，成立；当a+1=2时，a=1，B={1，2}，A∩B={1，2}，不成立；综上，实数a的值为2．故答案为：2．由集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，A∩B={2}，得到a=2，或a+1=2，由此能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】（1，2]【解析】解：∴0＜x-1≤1，解得1＜x≤2，故答案为（1，2]．由函数的解析式可得0＜x-1≤1，由此解得x的范围，即为所求．本题主要考查求函数的定义域，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．3.【答案】充分必要【解析】∴3m-（m-2）=0，解得m=-1．“实数m=-1故答案为：充分必要．利用向量共线定理、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】1【解析】0，+∞）上是单调递减函数，∴m2-2m＜0，解得0＜m＜2，则整数m的取值为1，故答案为：1．根据幂函数的定义和单调性即可求出m的值．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．5.【答案】-2【解析】解：∴-2cosα=-sinα，可得tanα=2，∴tan（π-α）=-tanα=-2．故答案为：-2．由已知利用诱导公式可得-2cosα=-sinα，根据同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】90°【解析】解：∵θ，1+2×1×1×cosθ+1=2，求得cosθ=0，∴θ=90°，故答案为：90°．由题意利用两个向量的数量积的定义，夹角．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．7.【解析】得到y=sin[2（x+φ]=sin（2x+φ-此时函数关于原点对称，则φkπ，k∈Z，则φ=kπ，∵|φ|＜∴当k=0时，则f（x）=sin（2x（2×）=sin根据三角函数的平移关系，求出函数的解析式，结合原点对称求出φ的值，即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．8.【答案】9【解析】解：∵f+2=f（）+4=f（）+6=f（-）+8=sin（-）+8=9．故答案为：9．f+2=f+4=f+6=f（+8=sin（+8，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【解析】A∈（0，π=ca cos B，得tan B=，B∴cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B，故答案为：利用三角形面积公式和数量积由已知条件得到角B，之后利用cos C=-cos（A+B）即可得解．此题考查了数量积和三角形面积，两角和公式等，难度不大．10.【答案】{x【解析】解：令g（x）=e x-e-x，则g（-x）=-g（x），且g（x）在R上单调递增，∵f（x）=e x-e-x+1=g（x）+1，∵f（2x2-1）+f（x）＜2，∴g（2x2-1）+1+g（x）+1＜2，∴g（2x2-1）+g（x）＜0，∴g（2x2-1）＜-g（x）=g（-x），∴2x2-1＜-x，故答案为：{．构造函数g（x）=e x-e-x，则g（-x）=-g（x），且g（x）在R上单调递增，然后结合已知不等式可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是构造函数g（x）且灵活利用函数的性质．11.【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）【解析】解：对任意的x∈（0，+∞令f（x）=ln x-x，x＞0，可得：f′（x）∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）≤f（1），f（1）=-1，∴f（x）的最大值为-1．-1，解得a∈（-∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．由导数求出函数的单调区间，由单调性求出函数的最大值本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】[0，4]【解析】，两个向量的夹角是定值，建立直角坐标系如图：当Q与B重合时，P（1是最大值，当P与A是数量积的最小值，[0，4]．故答案为：[0，4]．判断Q的位置以及P的位置，通过向量的数量积的表达式，然后求解数量积的范围．本题考查向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．13.【解析】解：设y=f（x）=sin x，则f′（x）=cos x，所以l的斜率k=f′（α）=cosα，所以切线l方程为：y-sinα=cosα×（x-α），又知道直线l与曲线y=sin x的图象交于点B，所以sinβ-sinα=cosα•（β-α），因为α-β=π，所以β=α-π，所以sin（α-π）-sinα=-πcosα，即2sinα=πcosα，所以根据题意求出切线方程，又切线过B点，则B点坐标满足切线方程，再将β用α表示即可得到结果．本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，考查了诱导公式，属于基础题．14.【解析】设t=f（x），则t＞1时，t=f（x）有1个根，当t=1时，t=f（x）有2个根当0＜t＜1时，t=f（x）有3个根，当t=0时，t=f（x）有1个根，4个不等的实根等价为t2-2at+a2（m∈R）有2个相异的实数根t1，t2满足的情况如下：，a或综上，则实数a的取值集合为（，）将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.【答案】解：（1）命题p：∃x∈（1，2），x2+x-m=0，p真，可得m=x2+x在x∈（1，2）有解，由y=x2+x在x∈（1，2）递增，可得x2+x的值域为（2，6），则2＜m＜6，可得m的范围是（2，6）；（2）命题q：函数f（x）=ln x-mx在区间[1，2]上是单调递增函数，q真，可得f′（x）m≥0在[1，2]恒成立，即有m[1，2]恒成立，由1]，可得m命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，可得p，q中一真一假，若p真q2＜m＜6；若p假q m综上可得，m的范围是（-∞，]∪（2，6）．【解析】（1）p真，可得m=x2+x在x∈（1，2）有解，运用二次函数的单调性，即可得到所求范围；（2）考虑q真，可得f′（x）m≥0在[1，2]恒成立，运用参数分离和反比例函数的单调性，求得最小值，可得m的范围，由复合命题的真值表可得p，q中一真一假，得到m的不等式组，解不等式即可得到所求范围．本题考查复合命题的真假，以及方程有解的条件和含参函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）f（x），由k∈Z，k∈Z，故f（x）的增区间为[，k∈Z．（2，=，=k∈Z，，或k∈Z，，或=sin2π=0，0．【解析】（1）利用数量积得到f（x），通过三角变换化简，利用三角函数的单调区间列不等式求解即可；（2）把所给条件化为三角函数方程，求得角α，代入所求正弦值结合周期性可解．此题考查了向量数量积，三角变换，三角求值等，难度不大．17.【答案】解：（1）∵D为AB的中点，=；（ⅡAC|2化简得|AB|2=|AC|2+|BC|2，故△ABC为直角三角形．【解析】（1）利用D（2）把，再利用数量积结合余弦定理转化为三边关系，确定三角形为直角三角形．此题考查了向量数量积，余弦定理等，难度适中．18.【答案】解：（1）设顶点B翻折到AD边上的点B′，则由题得BM=B′M=l sinθ，AM=l sinθcos2θ，因为l sinθ+l sinθcos2θ=6，所以l即l与θ的函数表达式为l由题意得θ∈（0l sinθ≤6，所以，又由l cosθ≤12，可知θ∈；（2）x=l（1+tan2θ），当θ∈时，tanθ∈1]，解得x≤6，则x的取值范围是6]，；（3）S设g（θ）=sinθcos2θ，则g′（θ）=cosθ（cos2θ-2sin2θ）=cosθ（1-3sin2θ）=cosθ（）（），当g′（θ）=0时，θ=θ1，当g′（θ）＞0时，sinθ＜g（θ当g′（θ）＜0时，sinθg（θ）单调递减，此时θ所以，g（θ）≤g（θ1），S≥BM=3（1+tan2θ）=2，所以，当BM=2时，翻折后重合部分的三角形面积最小．【解析】（1）由题得BM=B′M=l sinθ，AM=l sinθcos2θ，根据AB=AM+BM，列出l sinθ+l sinθcos2θ=6，所以l（2）x=l（1+tan2θ），根据θ范围求出x范围即可；（3）S本题考查三角函数模型的是实际应用，涉及求解析式，利用导数求最值等知识点，属于中档题．19.【答案】（1）①当a=0时，，f（x）单调递减，∴f（x）min=f（5）=-5+ln5，②a＞0时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，综上：当a≥0（2）①当a=-1f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x＞1时，f（x）+1-＞f（1）+1-，不符合题意，②当-1＜a＜0时，f（x）在（0，1）和（+∞）上单调递增，在（1减，∵-1＜a＜0，得，4-3+ln4+0＞0，不符合题意，③当a＜-1时，f（x）在（，1）上单调递减，f（x）f（1），不符合题意，④当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f（x）f（1），符合题意，综上：实数a的取值范围是[0，+∞）．【解析】（1）求出f（x）的导数f'（x），得出a≥0时，f（x）在[1，5]上单调递减，求出f（x）的最小值为f（5）；（2）分类讨论，求出f（x）转化为f（x）的最值问题进行求解．本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，分类讨论是本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）f'（x）=3x2-6x+p，由题意可知切线斜率f'（1）=-1，且f（1）=2，∴p=q=2；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则x1+x2=2∴f（x1）+f（x2）==2p+2q-4=2（p+q-2），∴f（x1），p+q-2，f（x2）成等差数列；（3）由函数f（x）有三个零点0，m，n（m＜n）得q=0，且x2-3x+p=0的两个根为m，n，∴f'（x）=3x2-6x+p=0有两个不等实根，不妨设为u，v（u＜v），0＜m＜v＜n，函数f（x）在[m，v]上单调递减，在[v，n]上单调递增，又f（m）=f（n）=0，则f（x）≤0≤14+p恒成立，②当p∈（-∞，0）时，m＜u＜0＜v＜n，f（x）在[u，v]上单调递减，在[m，u]和[v，n]上单调递增，又f（m）=f（n）=0，f'（u）=3u2-6u+p=0f'（u）=3u2-6u+p=0∴f（x）max=f（u）=u3-3u2+pu=u（u2-3u+p）≤14+p （*）t＞3*）式化简得3＜t≤6，∴-9≤p＜0，【解析】（1）求出f'（x），由题意f'（1）=-1，且f（1）=2，解出即可；（2）由f'（x）=0得韦达定理，利用等差中项定义即可证出；（3）由题意有f（0）=f（m）=f（n）=0，得q=0，且f'（x）=0有两个不等实根，设为u，v，分类讨论得出f（x）的最大值，再代入到不等式进行求解．本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，本题中（3）计算量较大，计算时须格外小心．。
江苏省2019年百校大联考高三数学试卷(解析版)
江苏省2019年百校大联考高三数学试卷考生注意：1.本试卷共200分。
考试时间150分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．已知{}0,2,4,6A =，{}2,34,5B =,，则A B =I ． 答案：{}2,4 考点：集合的运算。
解析：取集合A ，B 的即可，所以，A B =I {}2,42．若复数(1i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ． 答案：－1考点：复数的概念与运算。
解析：(1i)(1i)z a =+-＝1＋(1)a a i +-，由纯虚数，知：1010a a +=⎧⎨-≠⎩，所以，a =－1 3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数为 人． 答案：760 考点：分层抽样。
解析：设男生抽了x 人，则女生抽了（x －10）人，则 x ＋x －10＝200，解得：x ＝105，所以，女生抽了95人， 女生人数为：952001600÷＝760 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ．答案：145考点：算法初步，等差数列的前n 项和公式。
解析：第1步：I ＝1，S ＝1；第2步：I ＝4，S ＝5；第3步：I ＝7，S ＝12；…… S ＝1+4+7+……+28＝145。
5．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s ，黄灯时间为3s ，绿灯时间为60s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ． 答案：512考点：古典概型。
解析：遇到红灯的概率为：P ＝454554536010812==++。
6．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的最大值是 ．答案：23考点：线性规划。
20192020学浙江省高三百校联考数学试题
2020 届浙江百校联考一、选择题：本大题共 10 小题，共 40 分1.已知会合 A x | yx 2 1 ， Bx | 1 x2 ，则 A I B （ ）A ． x | 1 x 2B ． x | 0 x 1C ． x |1 x 2 U 1D ． x | 0 x 22.已知 i 是虚数单位，若复数 z 知足 z 1 2i 34i ，则 | z | （ ）A ． 5B ． 2C ． 2 5D ． 3x 1 03.若 x, y 知足拘束条件y 2 0，则 z xy 的最大值是（）2 x y 2 0A ． 5B ． 1C ． 2D ． 44.已知平面， 和直线 l 1 ， l 2 ，且Il 2 ，则“ l 1∥l 2 ”是“ l 1∥ 且 l 1∥ ”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件n5.若二项式 2的睁开式中各项的系数和为243，则该睁开式中含 x 项的系数为（）xxA ．1B ． 5C ． 10D ． 206.函数 f xx的大概图象为（）x coseyyyyxxxxOOOOABCD7.已知双曲线 x 2 y 21 a 0,b0 ，过其右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交 y 轴于点C ，C : 2 b 2a交另一条渐近线于点 A ，而且知足点 C 位于 A, B 之间．已知 O 为原点，且 OA5a ，则FB ）（3FCA ．4B ．2C ．3D ．153438.已知 △ ABC 内接于半径为 2 的 e O ，内角 A, B,C 的角均分线分别与 e O 订交于 D, E, F 三点，若AD cosABE cosBCF cosCsin A sin B sinC ，则（）2 22A ．1B ． 2C ． 3D ． 49. 如图，在 △ ABC 中， AB1 ， BC2 2 ， B，将 △ ABC 绕边 AB 翻转至 △ABP ，使面 ABP 面4ABC ， D 是 BC 中点，设 Q 是线段 PA 上的动点，则当 PC 与 DQ 所成角获得最小值时，线段AQ 的长度为 AB （ ）A ．5B ．2 5C ．3 5D ．2 5255310. 设无量数列a n 知足 a 1p p0 ， a 2 q q0 ， a n 21 a n2则 pq 的值为（ ）A ．1B. 1C. 22二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分11. 若函数 fxx 为奇函数，则实数 a 的值为x 2 xa为．12. 已知随机变量的散布列以下表，若E2，则 a, D 31 2 Pab16PQA CDB2 *为周期数列，nN ，若 a n a n 1D. 4；且当 x 4 时， f x 的最大值．13. 已知某几何体的三视图 （单位： cm ）以下图， 则该几何体的体积为cm 3 ，表面积为 cm 2 ． 42342正视图侧视图3俯视图14. 已知F1、F2分别为椭圆x2y2F2对于直线 y x 对称的点Q在椭C :a2 b 2 1 a b 0 的左、右焦点，点圆上，则椭圆的离心率为；若过 F1且斜率为k k 0的直线与椭圆订交于A, B 两点，且uuur uuurAF13FB1，则 k．15.某学校要安排 2 名高二的同学， 2 名高一的同学和 1 名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五个农村小镇 A , B, C , D , E（每名同学选择一个小镇），因为某种原由，高二的同学不去小镇 A ，高一的同学不去小镇 B ，初三的同学不去小镇 D 和 E ，则共有种不一样的安排方法（用数字作答）．16.已知向量 a ，b知足a2b a 3b 2 ，则 a b 的取值范围是．17.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M : x22R ．过原点的动直线 l 与圆 M 交于a y a 34 aA ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆，与以 M 为圆心， MO 为半径的圆一直无公共点，则实数 a 的取值范围是．三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分18.（ 14 分）已知函数 f x sin x 2 3cos2x3 ．2（1）求 f的值；（2）求函数y f x单一递加区间．19. （ 15 分）如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，△PAD 为等腰直角三角形，APD，BAD 2PC 与平面 AEF 交于点Q．，点 E ， F 分别是 BC ， PD 的中点，直线23（ 1）若平面 PAB I 平面PCD l ，求证： AB∥ l ；（ 2）求直线 AQ 与平面PCD所成角的正弦值．PFA DQB E C20.（15分）已知各项为正数的数列a n，其前n项和为S n，8S n 1 2a n 1 ，且a11．（ 1）求数列 a n 的通项公式； （ 2）若bn 2，求数列的前 n 项和 T n ．nnn3 a b21. （ 15 分）如图，过抛物线C : yx 2 上的一点 A 1,1 作抛物线的切线，分别交 x 轴于点 D ，交 y 轴于点B ，点 Q 在抛物线上，点uuur uuur uuur uuurE ，F 分别在线段 AQ ， BQ 上，且知足 AE EQ ， BF FQ ，线段 QD 与 EF 交于点 P ．（ 1）当点 P 在抛物线 C 上，且1时，求直线 EF 的方程；2 （ 2）当1时，求 △PAB : △QAB 的值．S SyQEP AFO D xB22. （ 15 分）已知函数 f x 2x 2a 1 e 2xa， a R ．（ 1）若 a 2 时，求证：当 x 1 时， f x 4x 1 x 2 ；（ 2）若不等式 f x 2 x 1 0 恒建立，务实数 a 的取值范围．。
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2019—2020学年高三百校联考
数 学
一、选择题：本大题共10小题，共40分
1.
已知集合{|A x y ==，{}|12B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A ．{}|12x x -<≤
B ．{}|01x x ≤≤
C ．{}{}|121x x ≤≤-
D ．{}|02x x ≤≤
2. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()12i 34i z +=+，则||z =（ ）
A
B ．2 C
．D ．3
3. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）
A ．5-
B ．1
C ．2
D ．4
4. 已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβ=l ，则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.
若二项式2n
x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
6. 函数()cos e x
f x x =的大致图象为（ ）
7. 已知双曲线()2
2
22
:
10,0x y C a b a b -=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于,A B 之间．已知O 为原点，且53
a
OA =，则FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34 D ．13
8. 已知ABC △内接于半径为2的O ，内角,,A B C 的角平分线分别与O 相交于,,D E F 三点，若
()cos cos cos sin sin sin 222A B C
AD BE CF A B C λ⋅+⋅+⋅=++，则λ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D
B A
9. 如图，在ABC △中，1AB =
，BC =4
B π=
，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面
ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长
度为AB （ ）
A
B
C
D
10. 设无穷数列{}n a 满足()10=>a p p ，()20=>a q q ，()*
21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N ，
若{}n a 为周期数列， 则pq 的值为（ ）
A ．12
B. 1
C. 2
D. 4
二、填空题：本大题共7小题，共36分
11. 若函数()()()
2x
f x x x a =+-为奇函数，则实数a 的值为 ；且当4x ≥时，()f x 的最大值
为 ．
12. 已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2
E ξ=
，则a = , ()D ξ= ． 13. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为
3
cm ，表面积为 2cm ．
Q D
P
C
B
A
俯视图
侧视图正视图
14. 已知1F 、2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭
圆上，则椭圆的离心率为 ；若过1F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆相交于,A B 两点，且113AF FB =，则k = ．
15. 某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五
个乡村小镇A ,B ,C ,D ,E （每名同学选择一个小镇），由于某种原因，高二的同学不去小镇A ，高一的同学不去小镇B ，初三的同学不去小镇D 和E ，则共有 种不同的安排方法（用数字作答）．
16. 已知向量a ，b 满足232-=+=a b a b ，则-a b 的取值范围是 ．
17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()2
2
:34R M x a y a a -++-=∈．过原点的动直线l 与圆M 交于
A ，
B 两点．若以线段AB 为直径的圆，与以M 为圆心，MO 为半径的圆始终无公共点，则实数a 的
取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分 18. （14分）
已知函数(
)2sin 2
x
f x x =-． （1）求()f π的值；
（2）求函数()y f x =单调递增区间．
19. （15分）
如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等腰直角三角形，
2APD π∠=，23BAD π
∠=
，点E ，F 分别是BC ，PD 的中点，直线PC 与平面AEF 交于点Q ． （1）若平面PAB 平面PCD l =，求证：AB l ∥； （2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．
Q
F
E
P
D
C
B
A
20. （15分）已知各项为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S
21n a =+，且11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2
3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21. （15分）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点
B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE EQ λ=，BF FQ μ=，线段QD 与EF 交于点P ．
（1）当点P 在抛物线C 上，且1
2
λμ==
时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值．
22. （15分）已知函数()()2221e x a f x x a -=-+，R a ∈．
（1）若2a =时，求证：当1x ≥时，()()241f x x x '≥-； （2）若不等式()210f x x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围．。