2018-2019学年度上学期期中九年级数学试卷及答案
2018-2019学年人教版九年级(上册)期中数学试题及答案
2018-2019学年九年级（上册）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. 一元二次方程x2-2（3x - 2）+（X+1）=0的一般形式是（）2 2 2 2A . x2- 5x +5=0B . x2+5x - 5=0 C. x2+5x+5=0 D . x2+5=02. 目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是（）2 2 2 2A . 438 （1+x）=389B . 389 （1+x）=438 C. 389 （1+2x）=438 D . 438 （1+2x）=3893. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（(H)B.伞・X D.銓24. 把二次函数y= - -x - x+3用配方法化成y=a ( x- h)22+k的形式时，应为（A . y= - - ( x- 2) 2+2B . y= -- (x - 2) 2+4C . y=-(x+2) 2+4 D .y=- ( ,x- ,)2+325. 二次函数y=ax+bx+c （a和）的图象如图所示，下列结论正确的是（）C.当-1 v x v 3 时，y> 0 D . - I.26. 对抛物线：y= - x +2x - 3而言，下列结论正确的是（）A .与x轴有两个交点B .开口向上C.与y轴的交点坐标是（0, 3）D.顶点坐标是（1, - 2）7. 以3和-1为两根的一元二次方程是( )2 2 2A . x +2x - 3=0B . x +2x+3=0C . x - 2x - 3=02D . x - 2x+3=09 .将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，再向下平移 1个单位，所得抛物线为()2 2 2 2A . y=3 (x - 2) - 1B . y=3 ( x -2) +1C . y=3 (x+2 ) - 1D . y=3 ( x+2) +1 10.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年 平均增长率•设该果园水果产量的年平均增长率为X ,则根据题意可列方程为() 2 2 2 2A . 144 (1 - x ) =100B . 100 ( 1 - x ) =144C . 144 (1+x )=100 D . 100 ( 1+x )=144二、填空题(共 8小题，每小题4分，满分32分) 11•方程2x 2-仁 =:，的二次项系数是 _______________ ，一次项系数是 _____________ ，常数项是 _____________ .216 .抛物线y=2x +8x+m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 _______________12.若函数 y= ( m -3) 血泊加—心是二次函数，则m= __________213 .已知二次函数y1=ax +bx+c (a#))与一次函数y2=kx+b ( k和)的图象相交于点A (- 2, 4), B (8, 2)(如图所示)，则能使y1>y2成立的x的取值范围是_____________________ .214 .抛物线y=2x 2- bx+3的对称轴是直线x=1，贝V b的值为_______________ .2 215.关于x的一元二次方程(m- 2) x +3x+m - 4=0有一个解是0,贝V m= __________________2 2 217.已知方程x - 3x+仁0的两个根是X 1, X 2,则：X 1 +X 2 = _________________18 .如图，在正方形 ABCD 中，E 为BC 上的点，F 为CD 边上的点，且 AE=AF , AB=4 , 设EC=x ，△KEF 的面积为y ,贝U y 与x 之间的函数关系式是 _________________________.三、解答题(共9小题，满分88 分) 19. 用适当的方法解一元二次方程: (1) x 3+3x - 4=0(2) 3x (x - 2) =2 (2 - x )2(3) x - 2x - 8=0(4) (x - 2) (x - 5) = - 2 .220.用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm ，面积为ycm .(1) 求出y 与x 的函数关系式.(2) 当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？25. 阅读下列例题：2解方程x - |x| - 2=02解：(1 )当x 为时，原方程化为x - X -2=0 ,解得x i =2, X 2= - 1 (舍去)._ 2当X V 0时，原方程化为 x +X - 2=0，解得X 1=1 (舍去)，X 2= - 2.二x 1=2 , x 2= - 2是原方程的根. 请参照例题解方程：x 2- |x - 1 -仁0.226. 已知关于x 的一元二次方程(a+c ) x +2bx+ (a - c ) =0，其中a 、b 、c 分别为Z\ABC 三 边的长.22. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物(如图) 度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门, 米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？，大门地面宽 AB=4米，顶部C 离地面高 货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.450元销售, 23. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克个月能售出500千克.若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克.(1)要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？(2)要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？24. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2: 1 •在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜蔬菜种植区域种植区域的面积是288m4 5?前测空地4 如果x= - 1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；5 如果方程有两个相等的实数根，试判断A ABC的形状，并说明理由.227. 已知：如图，二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(- 1, 0)，点C (0, 5),另抛物线经过点(1, 8), M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2 )求AMCB的面积S WCB .4参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分) 1.一元二次方程 x 2-2 (3x - 2) + (x+1) =0的一般形式是()A . x 2- 5x +5=0B . x 2+5x - 5=0C . x 2+5x+5=0D . x 2+5=0【考点】一元二次方程的一般形式.2【分析】一元二次方程的一般形式是： ax 2+bx+c=O (a , b , c 是常数且a z 0)特别要注意a 工0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项.其中a , b , c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.2 2【解答】解：一元二次方程 x 2- 2 (3x - 2) + ( x+1) =0的一般形式是x 2- 5x+5=0 .故选A . 2. 目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困 难学生389元，今年上半年发放了 438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x ,则下面列出的方程中正确的是()2 2 2 2A . 438 (1+x ) =389B . 389 ( 1+x ) =438C . 389 (1+2x ) =438D . 438 (1+2x ) =389【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】先用含x 的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数， 再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程.【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x ，则去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1+x )元，今年上半年发放给每个经济困难学生 389 (1+x ) 2元，由题意，得：389 (1+x ) 2=438 .故选B .66 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )电X D.銓B.【考点】中心对称图形；轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误;C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误. 故选C.2y=a (x- h) +k的形式时，应为(4.把二次函数y=- x-x+3用配方法化成A . y= - ( x- 2) 2+2B . y= - (x - 2) 2+4C . 1 y=-- (x+2) 2+4D . y= - ( ,x- .) 2+3【考点】二次函数的三种形式.【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式, 把一般式转化为顶点式.【解答】解：y - — x7- x+3= - _ ( X2+4X+4 ) +1+3= - — (x+2 ) 2+4.4 4 4故选C.【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：2(1 )一般式：y=ax +bx+c ( a和，a、b、c 为常数)；(2)顶点式：y=a (x- h) 2+k；(3)交点式(与x 轴)：y=a (x- x i) (x - X2).25.二次函数y=ax +bx+c (a和)的图象如图所示，下列结论正确的是(76 .对抛物线：y= - x +2x - 3而言，下列结论正确的是( )A .与x轴有两个交点B .开口向上C .与y轴的交点坐标是(0, 3)D .顶点坐标是(1, - 2)【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点.【专题】计算题.【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标.2【解答】解：A、•△ =2 - 4 X(- 1) X (- 3) = - 8V 0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、•二次项系数-1 v 0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x=0时，y= - 3，抛物线与y轴交点坐标为(0,- 3),本选项错误；C .当-1 v x v 3 时，y> 0D .【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】存在型.【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可.【解答】解：A、•••抛物线的开口向上，••• a>0，故选项A错误；2B、•抛物线与x轴有两个不同的交点，二△ =b - 4ac> 0,故选项B错误;C、由函数图象可知，当-1v x v 3时，y v 0，故选项C错误；k - 1+3 D、•抛物线与x轴的两个交点分别是(-1, 0) , (3, 0),•对称轴x= - = =1 ,£3 £故选项D正确.故选D.【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键.2 2D、T y= - x +2x - 3= -（x - 1）- 2 ,•••抛物线顶点坐标为（1，- 2）,本选项正确.故选D.【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系. 关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系.7 •以3和-1为两根的一元二次方程是（）2 2 2 2A . x +2x - 3=0B . x +2x+3=0 C. x - 2x - 3=0 D . x - 2x+3=0【考点】根与系数的关系；根的判别式.【分析】由题意，可令方程为（x - 3）（x+1 ）=0,去括号后，直接选择C;或把3和-1代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C;或利用两根之和等于上，和两根之积等于 _来依次判断.【解答】解：以3和-1为两根的一元二次方程的两根的和是2,两根的积是-3，据此判断.A、两个根的和是-2，故错误；B、少22- 4X3= - 8 V 0，方程无解，故错误；C、正确；D、两根的积是3，故错误.故选C.【点评】本题解答方法较多，可灵活选择解题的方法.2&在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax +8x+b的图象可能是（）A .D. '【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a> 0,然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解.【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a> 0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.29 .将抛物线y=3x向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )2 2 2 2A . y=3 (x - 2) - 1B . y=3 ( x-2) +1C . y=3 (x+2 ) - 1 D. y=3 ( x+2) +1 【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可.2【解答】解：抛物线y=3x8向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为(-2，- 1),所得抛物线为y=3 (x+2) 2- 1.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键.10.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率•设该果园水果产量的年平均增长率为X,则根据题意可列方程为( )2 2 2 2A . 144 (1 - x) =100B . 100 ( 1 - x) =144C . 144 (1+x) =100 D. 100 ( 1+x) =144【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】增长率问题.【分析】2013年的产量=2011年的产量X( 1 +年平均增长率)2,把相关数值代入即可.【解答】解：2012年的产量为100 (1+x),22013 年的产量为100 (1+x) (1+x) =100 (1+x),即所列的方程为100 (1+x) 2=144,故选：D.【点评】考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键.二、填空题(共8小题，每小题4分，满分32分)11 .方程2x2-仁钉二:i的二次项系数是 2 ，一次项系数是—叵_，常数项是 -1【考点】一元二次方程的一般形式.一2【分析】一兀二次方程的一般形式是：ax +bx+c=0 ( a, b, c是常数且a老)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a, b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 【解答】解：方程2x2-仁化成一般形式是2x2-钉.3 -仁0,二次项系数是2，一次项系数是-，二，常数项是-1.【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式. 注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号.812 .若函数y= ( m- 3) ：「4 1是二次函数，则m= - 5【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义解答.【解答】解：T y= (m- 3)「门1是二次函数,e - 3工0m2+2m-* 13=2解得m= - 5.故答案为-5.【点评】本题考查了二次函数的定义，要知道，形如x+c （a、b、c是常数，a和）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项.y—ax +bx+c （a、b、c是常数，a M0）也叫做二次函数的一般形式.213 .已知二次函数y i=ax +bx+c （a#））与一次函数y2=kx+b （k和）的图象相交于点A （- 2, 4）,B （8, 2）（如图所示），则能使y i >y2成立的x的取值范围是x V- 2或x>8 .【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.2【分析】先观察图象确定抛物线y i=ax+bx+c和一次函数y2=kx+b （k旳）的交点的横坐标，即可求出y i>y2时，x的取值范围.【解答】解：由图形可以看出：2抛物线y i=ax+bx+c和一次函数y2=kx+b （k老）的交点横坐标分别为- 2, 8,当y i > y2时，x的取值范围正好在两交点之外，即x v- 2或x> 8.故答案为：x v- 2或x > 8.【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法.2i4.抛物线y=2x - bx+3的对称轴是直线x=i，贝V b的值为4 .【考点】二次函数的性质.【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值.2【解答】解：••• y=2x - bx+3，对称轴是直线x=i ,=i，即—---- =i，解得b=4.2s 42 k 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax +bx+c的顶点坐标为（-，2a2—— --- ）, 对称轴是x= ——.4a 2ao oi5.关于x的一元二次方程（m-2）x +3x+m - 4=0有一个解是0,贝V m= - 2 .【考点】一元二次方程的解.【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值. 即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.将x=0代入方程式即得.2 2 2【解答】解：把x=0代入一元二次方程(m- 2) x +3x+m - 4=0,得m - 4=0,即m=戈.又m - 2 用,m 吃，取m= - 2.故答案为：m= - 2.【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零.216 .抛物线y=2x +8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8 .【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】判别式法.2【分析】由抛物线y=2x +8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=『- 4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m 的值. 【解答】解：•••抛物线与x轴只有一个公共点，/•△ =0,2 2/• b - 4ac=8 - 4 >2 X n=0 ;••• m=8 .故答案为：&【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系.2 2 217.已知方程x - 3x+仁0的两个根是X1, X2,则：X1 +X2 = 7 .【考点】根与系数的关系.i, _ 2 2 2【分析】根据X i+X2=-—x i x2—,求出X1+X2=3 , X1X2=1 ,再根据X1 +X2 = (X1+X2) - 2X1X2 aa即可求求出答案.【解答】解：根据题意X1+X2=3 , X1X2=1 ,2 2 2贝U X1 +X2 = (X1+X2) - 2X1X2=9 - 2=7,故答案为：7.2 一【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0 (a老)的根与系数的关系：X1, X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a#))的两根时，X1+X2= - ', X1X2=.a a18 .如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF , AB=4 , 设EC=x, /△KEF的面积为y,贝U y与x之间的函数关系式是y= - ' x2+4x .r *【考点】正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式.【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，再利用HL”证明Rt△ABE和Rt A ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解.【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD ,在Rt△ABE 和Rt A ADF 中，fAE=AF〔AB 二AD，••• Rt A ABE 也Rt △ADF ( HL ),••• BE=DF ,•CE=CF,■/ CE=x ,•BE=DF=4 - x,•y=42- >4X( 4- x)- x2,2 2'2=-—x +4x,2即y= - X2+4X2故答案为：y= - -X2+4X .2【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键.三、解答题(共9小题，满分88分)19.用适当的方法解一元二次方程：(1)X2+3X - 4=0(2)3x (x - 2) =2 (2 - x)2(3)x - 2x - 8=0(4)(x - 2) (x - 5) = - 2 .【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】(1) (3利用因式分解求得方程的解；(2)移项，利用提取公式法因式分解求得方程的解即可;(4)化为一般形式，利用因式分解法求得方程的解即可.【解答】解：(1) X2+3X - 4=0(x+4 ) (x - 1) =0x+4=0 , x-仁0解得：X1 = —4, x2=1 ;(2)3x (x - 2) =2 (2 - x)3x ( x- 2)- 2 (2 - x) =0(3x+2 ) (x - 2) =03x+2=0 , x - 2=0解得：X1 = - ', X2=2;3(3)x2- 2x - 8=0(x - 4) (x+2 ) =0x - 4=0 , x+2=0解得：X1=4, x2= - 2;(4)(x - 2) (x - 5) = - 22- 7x+12=0x(x - 4) (x - 3) =0x- 4=0，x- 3=0解得：x1=4，x2=3．【点评】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．220 .用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm •( 1 )求出y 与x 的函数关系式．( 2)当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？【考点】二次函数的应用.【专题】应用题.【分析】(1)已知一边长为xcm，则另一边长为(20 - 2x) •根据面积公式即可解答.( 2)把函数解析式用配方法化简，得出y 的最大值．【解答】解：(1)已知一边长为xcm，则另一边长为(10-x).则y=x (10 - x )化简可得y= - x2+i0x2 2 2(2)y=10x- x =-( x - 10x) =-( x- 5) +25，所以当x=5 时，矩形的面积最大，最大为25cm2．【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．221 ．抛物线y= - 2x +8x- 6．( 1 )用配方法求顶点坐标，对称轴；( 2) x 取何值时，y 随x 的增大而减小？(3)x取何值时，y=0 ; x取何值时，y> 0; x取何值时，y v 0.【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．【专题】计算题;配方法．【分析】( 1 )根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴;( 2)由对称轴x=- 2 ，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性;(3)判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系.22【解答】解：(1)T y= - 2x +8x - 6= - 2 ( x- 2) +2 ,顶点坐标为(2, 2),对称轴为直线x=2 ;(2)••• a=- 2v 0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2 ,•••当x> 2时，y随x的增大而减小；2(3)令y=0,即-2x +8x - 6=0,解得x=1或3,抛物线开口向下，•当x=1 或x=3 时，y=0 ;当1v x v3 时，y>0;当x v 1 或x> 3 时, y v 0.【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握.22. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物(如图) ，大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4 米•请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？【考点】二次函数的应用.【专题】压轴题.【分析】本题只要计算大门顶部宽 2.4米的部分离地面是否超过 2.8米即可•如果设C点是2 原点，那么A的坐标就是(-2,- 4.4), B的坐标是(2, - 4.4),可设这个函数为y=kx , 那么将A的坐标代入后即可得出y= - 1.1x2，那么大门顶部宽 2.4m的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2,因此将x=1.2代入函数式中可得y~- 1.6,因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是 4.4 - 1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门.2 【解答】解：根据题意知，A (- 2, - 4.4), B (2,- 4.4),设这个函数为y=kx . 将A的坐标代入，得y= - 1.1x2, ••• E、F两点的横坐标就应该是- 1.2和1.2,•••将x=1.2代入函数式，得y 1.6, • GH=CH - CG=4.4 - 1.6=2.8m , 因此这辆汽车正好可以通过大门.【点评】本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键.50元销售, 23. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克个月能售出500千克•若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克.(1)要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？(2)要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？【考点】二次函数的应用.【分析】(1 )设销售单价定为每千克 x 元，获得利润为 w 元，则可以根据成本，求出每千 克的利润，以及按照销售价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，可求出销量•从而得到总 利润关系式； (2)先计算出y=8000时所对应的x 的值，然后画出函数的大致图象， 再根据图象回答即可.【解答】 解：(1)设销售单价定为每千克 x 元，获得利润为 w 元，则： w= (x - 40) [500 -( x - 50) X10], =(x - 40) ( 1000 - 10x ),2=-10x +1400X - 40000, =-10 (x - 70) 2+9000,故当x=70时，利润最大为 9000元.答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元；2(2)令 y=8000，则-10 (x - 20) 2+9000=8000 , 解得 X 1=10, X 2=30 . 函数的大致图象为：观察图象当10$€0时，y 不低于8000.【点评】本题主要考查了二次函数的应用， 能正确表示出月销售量是解题的关键.数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式 法，常用的是后两种方法. 24. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2: 1.在温室内，沿前侧 内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m 2?【考点】一元二次方程的应用. 【专题】几何图形问题.【分析】本题有多种解法.设的对象不同则列的一元二次方程不同. 则长为2xm ，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解.【解答】 解：解法一：设矩形温室的宽为 xm ,则长为2xm ,80元时，商场获得的周销售利润不低于8000 元.求二次函设矩形温室的宽为 xm , 9000 SOO O所以当销售单价不小于 60元而不大于根据题意，得(x - 2) ? (2x - 4) =288,2••• 2 (x - 2) =288,2••( x - 2) =144 ,• x - 2= ±2,解得：x i = - 10 (不合题意，舍去)，X2=14,所以x=14, 2x=2 XI4=28.答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m9.解法二：设矩形温室的长为xm,则宽为'xm •根据题意，得( x-2) ? (x- 4) =288.2 2解这个方程，得X1 = - 20 (不合题意，舍去)，X2=28 .所以x=28, - x=_>28=14 .2 2答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程.25. 阅读下列例题：2解方程x - |x| - 2=02 解：(1 )当x为时，原方程化为x - x- 2=0，解得X1=2，x2= - 1 (舍去)._ 2 当X V 0时，原方程化为x +x - 2=0，解得X1=1 (舍去)，x2= - 2.二X1=2，x2= - 2是原方程的根.2 请参照例题解方程：x - |x - 1-仁0.【考点】解一元二次方程-因式分解法；绝对值.【专题】阅读型.【分析】参照例题，应分情况讨论，主要是|x - 1|，随着x取值的变化而变化，它将有两种情况，考虑问题要周全.【解答】解：(1)设X- 1为原方程变为x2- x+1 -仁0，X2- X=0，X1=0 (舍去)，x2=1 .(2)设x- 1 V 0，原方程变为x2+x - 1 -仁0，2x +x - 2=0，解得X1=1 (舍去)，X2= - 2 .•原方程解为X1 = 1，X2=- 2.【点评】解本题时，应把绝对值去掉，对X - 1正负性分类讨论，X- 1%或X - 1V 0.2 2 2 2(2)根据判别式的意义得到△= (2b) - 4 (a+c) (a-c) =0,整理得a =b +c，然后根据勾股定理的逆926. 已知关于x的一元二次方程(a+c) x +2bx+ (a- c) =0，其中a、b、c分别为Z\ABC三边的长.(1)如果x= - 1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断A ABC的形状，并说明理由.【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理.【专题】计算题.【分析】(1)根据方程解的定义把x= - 1代入方程得到(a+c) >( - 1) 2- 2b+ ( a-c) =0，整理得a-b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到A ABC是等腰三角形；定理得到△ABC是直角三角形.【解答】解：(1)A ABC是等腰三角形•理由如下：••• x= - 1是方程的根，2•••( a+c) x (- 1) - 2b+ ( a- c) =0,••• a+c - 2b+a - c=0,•a- b=0,•a=b,•△ ABC是等腰三角形；(2) △ABC是直角三角形.理由如下：•.•方程有两个相等的实数根，2••△ = (2b) - 4 (a+c) (a- c) =0,•- 2 ’ 2 2--4b - 4a +4c =0,2 2 2 …a =b +c ,• △ ABC是直角三角形.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a老)的根与^=b2- 4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当^=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理.227. 已知：如图，二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(- 1, 0)，点C (0, 5),另抛物线经过点(1, 8), M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2 )求AMCB 的面积S ZMCB .【分析】(1)将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式.(2)可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解.过M作ME丄y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得.【解答】解：'a - b+c=0(1)依题意：*且+b+u=8 ,(2)令 y=0,得(X - 5) (X +1 ) =0, X I =5, X 2= - 1, • B (5, 0). 由 y= - X +4X +5= -( X - 2)+9，得 M (2, 9)作ME 丄y 轴于点E , 可得 S Z MICB =S 梯形 MEOB - S AM CE - S A OBC =( 2+5) >9 - ' >4>2-2 2 【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法. 化为规则图形的面积的和差.&在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax +8x+b 的图象可能是（）2 21 .抛物线 y= - 2x +8x - 6.(1) 用配方法求顶点坐标，对称轴；(2) x 取何值时，y 随x 的增大而减小？(3) x 取何值时，y=0 ; x 取何值时，y > 0; x 取何值时，y v 0.•••抛物线的解析式为 y= - X 2+4X +5—X5X5=15. 2不规则图形的面积通常转。
2018-2019学年新人教版九年级上册数学期中试卷(含答案)
2018-2019学年度（上）九年级数学期中试卷（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是( C)2.把方程x2-12x+33=0化成(x+m)2=n的形式,则m,n的值是CA.6,3B.-6,-3C.-6,3D.6,-33．将y＝x2＋4x＋1化为y＝a(x－h)2＋k的形式，h，k的值分别为( B) A．2，－3 B．－2，－3 C．2，－5 D．－2，－54.已知点A(x-2,3)与点B(x+4,y-5)关于原点对称,则y x的值是BA.2B.C.4D.85．某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是( B)A．800(1＋a%)2＝578 B．800(1－a%)2＝578C．800(1－2a%)＝578 D．800(1－a2%)＝5786.二次函数y=ax2+bc+c的图象如图所示,则下列判断中错误的是BA.图象的对称轴是直线x=-1B.当x>-1时,y随x的增大而减小C.当-3<x<1时,y<0D.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3,17．把一个物体以初速度v(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－12gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( C)A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米8.黄山市某塑料玩具生产公司,为了减少空气污染,国家要求限制塑料玩具生产,这样有时企业会被迫停产,经过调研预测,它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24,则企业停产的月份为A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月9．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列4个结论：①b2－4ac＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2.其中正确结论的个数是(B) A．1个 B．2个C．3个 D．4个10.如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:B①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b,其中正确的结论是A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤二、填空题(每小题3分，共18分)11.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是2.12．在平面直角坐标系内，若点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，则pq的值为__－3__．13.如图,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D 1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,点D2的坐标为(-13,-1.69),则桥架的拱高OH= 7.24米.14．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为__1__．15．如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶3，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝__105°__．16.在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2n A2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是(4n+1,).三、解答题(共72分)17．(8分)解下列方程：(1)2x2－x＝1; (2)x2＋4x＋2＝0.【解析】(1)x1＝－12，x2＝1. (2)x1＝－2＋2，x2＝－2－ 2.18.按要求解方程. (1)x2+3x+1=0(公式法);解:x1=-,x2=--.(2)(x-3)2+4x(x-3)=0(因式分解法).解:x1=3,x2=.19．(8分)如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝FM；(2)当AE＝2时，求EF的长．【解析】(1)∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM ＝180°，∴F，C，M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DE F≌△DMF(SAS)，∴EF＝MF.(2)设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，20.已知y=(m-2)-+3x+6是二次函数,求m的值,并判断此抛物线的开口方向,写出对称轴及顶点坐标.解:∵y=(m-2)-+3x+6是二次函数,∴m-2≠0且m2-m=2,解得m=-1.将m=-1代入,得y=-3x2+3x+6.抛物线开口向下,对称轴为x=--,将x=代入得y=,∴抛物线的顶点坐标为,.21．(8分)已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x1，x2，求x21＋x22的最小值．【解析】(1)∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵方程的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝2m＋1，x1·x2＝m(m＋1)，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(2m＋1)2－2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2(m＋12)2＋12，∴x2 1＋x22的最小值为12.22．(8分)如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm2.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当增加的面积y＝20 cm2时，求相应的x是多少？【解析】(1)由题意可得(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化简得：y＝x2＋8x.(2)把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中，得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．∴当增加的面积为20 cm2时，相应x为2 cm.23.为打造“文化太湖,书香圣地”,太湖中学的学生积极开展“图书飘扬”活动,让全体师生创美好,校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现,在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍,5月份人数比4月份增加10%,6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数;(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.解:(1)由题意,得5月份借阅了名著类书籍的人数是1000×(1+10%)=1100(人),则6月份借阅了名著类书籍的人数为1100+340=1440(人).(2)设平均增长率为x.1000(1+x)2=1440,解得x=0.2.答:从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%24．(8分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P点的坐标．25.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积和周长.解:(1)二次函数的解析式是y=-x2+4x-6.(2)∵对称轴x=-=4,∴C点的坐标是(4,0),∴AC=2,OB=6,AB=2BC=2,∴S△ABC=AC·OB=×2×6=6,△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2.。
2018-2019学年上学期期中考试九年级数学试卷及答案
九年级上册期中参考答案说明：1．如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据提供的解法的评分标准精神进行评分．2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半．3．评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分．4．评分过程中，只给整数分数．三、解答题：16．（1）解：3x （x －2）=x －2，移项得：3x （x －2）－（x －2）=0 整理得：（x －2）（3x －1）=0 x －2=0或3x －1=0 解得：x 1=2或x 2=1………………………………………………………………5分18．证明：延长AD 交⊙O 于E ，…………………2分 ∵OC ⊥AD ，∴⌒AE =2⌒AC ，AE=2AD ，………………………………4分 ∵⌒AB =2⌒AC ， ∴⌒AE =⌒AB， ∴AB=AE ，∴AB=2AD ． ………………………………………………………………………9分 19．解：设人行通道的宽度为x 米，依据题意得：……………………………1分 （30－3x ）•（24－2x ）=480，………………………………………………………4分 整理得：x 2－22x ＋40=0，解得：x1=2，x2=20，………………………………………………………………7分当x=20时，30－3x=－30，24－2x=－16，不符合题意，………………………8分答：人行通道的宽度为2米．………………………………………………………9分20．解：（1）当S取得最大值时，飞机停下来，则S=60t－1.5t2=－1.5（t－20）2＋600，此时t=20因此t的取值范围是0≤t≤20；…………………3分（2）函数图象如图，S=60t－1.5t2=－1.5（t－20）2＋600．飞机着陆后滑行600米才能停下来．…………6分（3）因为t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．当t=14时，s=546，所以600－546=54（米）．AD于M，∴旋转角α=360°－60°=300°．综上当α为60°或者300°时，GC=GB．…………………………………………………………10分。
人教版2018-2019学年九年级上学期数学期中测试卷及答案
人教版2018-2019学年九年级上学期数学期中测试卷及答案2018-201年九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每题3分，共12题，共计36分。
1.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．2.如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°3.如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，则圆心O 到弦AB的距离是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm4.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．2a+b=1D．方程ax²+bx+c=0有一个根是x=35.已知二次函数y=(x-1)²+4，___随x的增大而减小，则x 的取值范围是（）A．x＜-1B．x＞4C．x＜1D．x＞16.二次函数y=-2x²+4x+1的图象如何平移可得到y=-2x²的图象（）A．向左平移1个单位，向上平移3个单位B．向右平移1个单位，向上平移3个单位C．向左平移1个单位，向下平移3个单位D．向右平移1个单位，向下平移3个单位7.若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax²+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=-3B．x=1C．x=2D．x=38.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°9.如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）10.如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=1，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A′B′O′，则点A′的坐标为（）A．（-1，-1）B．（-1，-2）C．（-2，-1）D．（-2，-2）11.已知二次函数y=kx²-5x-5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k＜0且k≠-5C．k≥-5D．k≠012.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4.设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：13．圆心坐标是（1,1）。
2018-2019学年第一学期期中考试数学试题及答案
2018-2019学年第一学期九年级（上）期中数学试卷 时间：100分钟 满分：150分一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．一元二次方程240x -=的解为（ ） A ．12x =，22x =- B ．2x =-C ． 2x =D ．12x =，20x =2．若反比例函数y=（k ≠0）的图象经过点P （﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（1，﹣6）C ．（﹣1，6）D ．（﹣1，﹣6） 3．如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（ ）A ． 10cmB ． 13cmC ． 14cmD ． 16cm 5．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ ）A ．3：2B ．3：1C ．1：1D ．1：2 6．如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A 口进入，从C ，D 口离开的概率是（ ）．A ．12B ．13C ．16D ．237.下列命题是真命题的是（ ） A ．邻边相等的矩形是正方形 B ．一组邻边相等的四边形是菱形 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．平行四边形的对角线相等8．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x9．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞ B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞110.如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A.（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）C.（2，﹣1） D．（8，﹣4）11．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④D．①②③12．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD 于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（）A．B．C．1 D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．已知1=x 是方程022=++ax x 的一个根，则a 为 14.已知=，则= ．15.小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上， 每一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．16.若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 ．17．如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y=（x ＜0）的图象经过点C ，则k 的值为 ．18．如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在矩形ABCD 的各条边上，AB ＝EF ，FG ＝2，GC ＝3．有以下四个结论：①∠BGF ＝∠CHG ；②△BFG ≌△DHE ；③21=BF BG ；④矩形EFGH 的面积是43．其中一定成立的是____________．（把所有正确结论的序号填在横线上）三、解答题（共9小题，满分78分） 19．（6分）解一元二次方程：（1）x 2﹣3x+2=0； （2）2x 2﹣x ﹣3=0．20．（6分）将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数关系式；（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？21.(6分)如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）22.(8分)山东省济南市为加快新旧动能转化的进程，对试点的先行区的工业企业进行调研，2017年完成工业总产值500亿元．如果要在2019年达到720亿元，(1)这两年每年的工业总产值平均增长率是多少？(2)政府计划2021年先行区的工业企业总产值要达到1000亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？23.（8分）初三（1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中①、②两个转盘（每个转盘分别被二等分和三等分），若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目．试求出这个同学表演唱歌节目的概率（要求用树状图或列表方法求解）．24.（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC 相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．25.（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．26．（12分）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）（1）求这两个函数的表达式；（2）求△ABO的面积；（3）观察图象，①直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；②直接写出方程=ax+b的解．27．（12分）已知:在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF.（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系并证明；2018-2019学年第一学期期中考试九年级数学试卷答案二、填空题（每题4分，共24分）13. -3 14. 51 15. 9416. 5 17. -6 18. ①②④三、解答题19．（6分）（1）解：（x-1)(x-2)=0 ······ (1分) ∴ x-1=0或x-2=0 ······· （2分）∴ x 1=1,x 2=2 ······ （3分）（2） 解：这里a=2,b=-1,c=-3∵b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25······(1分)45122251x ±=⨯±=∴·······（2分） 即1,2321-==x x ·········（3分） 20.（6分）解：（1）由题意得：a=0.1，S=700， 代入反比例函数关系S=中，解得：k=Sa=70， ···············（2分） 所以函数关系式为：S=； ············（3分） （2）将a=0.08代入S=得：S===875千米， ·········（5分）故该轿车可以行驶875千米； ···················（6分）21. （6分）解：根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱，∵其高为12cm ，底面边长为5cm ，∴其侧面积为6×5×12=360（cm 2）， ··············· （3分） 纸盒的上、下底面的面积和为：12×5××5×=75（cm 2），···· （5分）∴其表面积为（75+360）cm 2．······· （6分） 22. （8分）解：（1）设这两年每年的工业总产值平均增长率是x ，········ （1分）根据题意，得：500（1+x ）2=720， ············ （ 3分） 解得：x 1=0.2 x 2=﹣2.2（舍）， ········ （5分） 答：这两年每年的工业总产值平均增长率是20%；··········（6分）（2）∵720×（1+20%）2=1036.8＞1000，∴若继续保持上面的增长率，该目标可以完成. ········ （8分）23.（8分） 解法一解：所有等可能的结果如下从上图可知：所有等可能的结果一共有6种，即（1，1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）(5分)（7分）∴这个同学表演唱歌节目的概率21. (8分)24.（10分）25．（10分）（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，···············（2分）∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；···············（3分）（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，·························（4分）∴∠EAC=∠ECA，····················（5分）∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，·························（6分）∴CE∥AD；······························（7分）（3）解：∵CE∥AD，∠DAC=∠ACE,∠ADC=∠CED∴△AFD∽△CFE，·················（8分）∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，AB=6∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．·······························(10分)26．（12分）解：（1）把点A （1，4）代入y 1=，得到k=4， ··· （2分）∴y 1=，把点B （m ，﹣2）代入得到，m=﹣2，把A （1，4）和点B （﹣2，﹣2）代入y 2=ax+b 得到 ⎩⎨⎧-=+-=+224b a b a ，解得，∴y 2=2x+2． ······· （4分）（2）直线AB 与y 轴交于点C （0，2）， ·· （5分）∴S △ABO =S △BOC +S △AOC =×2×2+×2×1=3． ···（8分）（3）（4）①由图象可知得y 1≥y 2成立的自变量x 的取值范围：x ＜﹣2或0＜x ＜1． ··········· （10分） ②方程=ax+b 的解是x 1=﹣2，x 2=1．············（12分）27．（12分）。
2018-2019学年度九年级数学上学期期中试卷(含答案)
上学期九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1.若1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A. x ≥1B. x >1C. x ≤1D. x ≠1 2.方程22x x =的解是A.021==x xB.221==x xC.2,021==x xD.2,021==x x3.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线a 、b 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB =4，BC =6，DE =3，则EF 的长为A.4B. 4.5C. 5D. 6（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线.若CD =4，AC =6，则cos A 的值是 A.37 B.47 C.34 D.43 5．如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形.为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米.若设小道的宽为x 米，则下面所列方程正确的是A. (32-x )(20-x )=600B.(32-x )(20-2x )=600C. (32-2x )(20-x )=600D.(32-2x )(20-2x )=6006.已知点),(11y x A 、),(22y x B 在二次函数22+4y x x =-+的图象上.若121>>x x ，则1y 与2y 的大小关系是A .21y y ≥B .21y y =C .21y y >D .21y y <7. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直弦BC 于点D ．若∠ACB =33°，则∠OBC 的大小为 A.24° B. 33° C. 34° D. 66°（第7题） （第8题）8．如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F .若AB =9，BD =3，则CF 的长为A.1B.2C.3D.4 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.计算：3-27= .10.若关于x 的一元二次方程0122=-++m x x 有实数根，则m 的取值范围是 ． 11.将抛物线2)1(2+-=x y 向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为 ．12.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点.若∠BAD =105°，则∠DCE 的大小是 度．（第12题） （第13题） （第14题）13. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为（6，6），（8，2）.以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则点C 的坐标为 .14.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x =-2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）．若四边形AOBC 的周长为a ，则△ABC 的周长为 （用含a 的代数式表示）．三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）计算：︒+-30sin 22053.16．（6分）解方程：231x x -=.17．（6分）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．求2013年到2015年这种产品产量的年增长率. 18．（7分）图①、图②均是边长为1的正方形网格，△ABC 的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上.（1）在图①中画一个△A 1B 1C 1，满足△A 1B 1C 1∽△ABC ，且相似比不为1. （2）在图②中将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C ，求旋转过程中B 点所经过的路径长.图① 图②19．（7分）如图，AB 是半圆所在圆的直径，点O 为圆心，OA =5，弦AC =8，OD ⊥AC 于E ，交⊙O 于D ，连结BC 、BE ． （1）求OE 的长.（2）设∠BEC =α，求tan α的值．20．（7分） 如图，在平面直角坐标系中，过抛物线62412+-=x x y 的顶点A 作x 轴的平行线，交抛物线12+=x y 于点B ，点B 在第一象限. （1）求点A 的坐标.（2）点P 为x 轴上任意一点，连结AP 、BP ，求△ABP 的面积.21．（8分）(8分)某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC 垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为43°,坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0. 1m）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93；sin31°=0.52，cos31°=0.86，tan31°=0.60】22．（9 分）(9分)如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4．延长CA到O，使AO=AC，以O 为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连结OD、CD．（1）求扇形OAD的面积．（2）判断CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由.23. (10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm .动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发， 在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2）. （1）用含t 的代数式表示BP 、BQ 的长.（2）连结PQ ，如图①所示.当△BPQ 与△ABC 相似时，求t 的值.（3）过点P 作PD ⊥BC 于D ，连结AQ 、CP ，如图②所示.当AQ ⊥CP 时，直接写出线段PD 的长.图①图②24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线42-+=bx ax y 与x 轴交于A （4，0）、B （-3，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.（2）如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合.设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式.（3）如图②，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM =CN =n ，直接写出当n 为何值时△BMN 为等腰三角形.图①图②一、1.A 2. C 3. B 4. D 5. C 6. D 7. A 8. B二、9.32 10.2≤m 11.2)1(-=x y （化成一般式也可） 12. 105 13.（3，3） 14.a -4三、15.原式=1521252-53+=⨯+.（化简20正确给2分，计算sin30°正确给1分，结果2分）16. 0132=--x x .（1分）∵a =1，b =-3，c =-1，∴13)1(14)3(422=-⨯⨯--=-ac b .（2分）(最后结果正确，不写头两步不扣分) ∴21331213)3(±=⨯±--=x . （5分）∴.2133,213321-=+=x x （6分） 【或222)23(1)23(3+=+-x x ，（2分） 413)23(2=-x .（3分） 21323±=-x ，2133±=x .（5分）.2133,213321-=+=x x （6分）】 17.设2013年到2015年这种产品产量的年增长率为x . （1分）根据题意，得121)11002=+x （. （3分） 解得 x 1=0.1=10%，x 2=﹣2.1（不合题意，舍去）. （5分） 答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率为10%．（6分）18.（1）（2）画图略. （4分）（每个图2分，不用格尺画图总共扣1分，不标字母不扣分） （2）由图得22=BC . （5分）（结果正确，不写这步不扣分） 旋转过程中B 点所经过的路径长：ππ21802290=⨯=l . （7分）（过程1分，结果1分） 19. （1）∵OD ⊥AC ，∴482121=⨯==AC AE . （1分） 在Rt △OEA 中，3452222=-=-=AE OA OE . （3分）（过程1分，结果1分） （2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C =90°． （4分）在Rt △ABC 中，AB =2OA =10，∴68102222=-=-=AC AB BC . （5分） ∵OD ⊥AC ，∴482121=⨯==AC CE . （6分） 在Rt △BCE 中，tan α=2346==CE BC . （7分） 20. （1）2)4(412)168416241222+-=++-=+-=x x x x x y （.（3分）（过程2分，结果1分） （用顶点坐标公式求解横坐标2分，纵坐标1分）∴点A 的坐标为（4,2）. （4分） （2）把2=y 代入12+=x y 中，解得11=x ，12-=x （不合题意，舍去）. （6分）∴314=-=AB . （7分） ∴32321=⨯⨯=∆ABP S . （8分）21. 在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =ABAC， ∴AC =AB ⋅sin43°=2×0.68=1.36 (m) . （4分）（过程2分，有其中两步即可，结果2分）在Rt △ADC 中，tan ∠ADC =CDAC， ∴3.260.036.131tan ≈=︒=AC CD (m). （给分方法同上） ∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．（8分）（不答不扣分，最终不写单位扣1分）22. （1）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，∴242121=⨯==AB AC ，（1分）∠BAC =60°． （2分） ∴AO =AC =2，∠OAD =∠BAC =60°．∵OA =OD ，∴△OAD 是等边三角形． （3分） ∴∠AOD =60°． （4分） ∴323602602ππ=⨯=OAD S 扇形． （5分） （2）CD 所在直线与⊙O 相切．（只写结论得1分）理由：∵△OAD 是等边三角形，∴ AO =AD ，∠ODA =60°． （6分） ∵AO =AC ，∴ AC =AD ．∴∠ACD =∠ADC =︒=︒⨯=∠30602121BAC ． （7分） ∴∠ODC =∠ODA +∠ADC =60°+30°=90°，即OD ⊥CD . （8分） ∵OD 为⊙O 的半径，∴CD 所在直线与⊙O 相切． （9分）23. （1）BP =5t ，BQ =8-4t ． （2分）（2）在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AC AB ． （3分）当△BPQ ∽△BAC时，BC BQ BA BP =，即848105tt -=.（4分）解得1=t ． （5分） 当△BPQ ∽△BCA 时，BA BQ BC BP =，即104885tt -=.（6分）解得4132=t ． （8分） （3）821=PD ． （10分） 24. （1）把A （4，0）、B （-3，0）代入42-+=bx ax y 中，得⎩⎨⎧=--=-+.0439,04416b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.31,31b a （2分）∴这条抛物线所对应的函数表达式为431312--=x x y ． （3分）（2）当-3<m <0时，824421)(421+-=⨯⨯+-⨯⨯=m m S ． （6分）当0<m <4时，83832)4313142142122++-=++-⨯⨯+⨯⨯=m m m m m S （． （9分）（每段自变量1分，若加等号共扣1分，解析式2分） （3）25=n ，1125=n ，1130=n ． （12分）。
2018-2019学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
2018～2019学年度第一学期期中质量调研九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．一个长方形的面积为210 cm 2，宽比长少7 cm.设它的宽为x cm ，则可得方程（ ）A ．2（x ＋7）＋2x ＝210B ．x ＋（x ＋7）＝210C ．x （x －7）＝210D ．x （x ＋7）＝2103．有两个一元二次方程：①02=++c bx ax ，②02=++a bx cx ，其中a ＋c ＝0， 以下四个结论中，错误的是（ ） A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根； B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根；D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；4．若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表：则当0=x 时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-13D ．-275．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，反比例函数x ay =与正比例函数x c b y )(+=在同一坐标系中的大致图象可能是A B C D 6．如果将抛物线2y x =向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是（ ）． A ．2(4)2y x =--B ．2(4)2y x =-+C ．2(4)2y x =+-D ．2(4)2y x =++xxxxxyyyyy2018.107．若1(4,)A y -，1(3,)B y -，1(1,)C y 为二次函数242y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<8．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD △，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）．A ．B ．(2,2)C ．D ．（第8题） （第9题） （第10题）9．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，6cm AC =，2cm BC =，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是（ ）． A．20cmB ．18cmC ．D ．10．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 轴负半轴的夹角为15︒，点B 在抛物线2(0)y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）．A ．12-B ．C ．2-D ． 二、填空题（每小题3分，共24分）11．将一元二次方程(2)(1)3x x -+=化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 .12．已知关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根为－4，则另一个根为 ．13．某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 14．若抛物线y ＝x 2－k x ＋k －1的顶点在x 轴上，则k ＝ ．15．若抛物线2(2)3y x m x =-+-+的顶点在y 轴上，则m =__________．16．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．17．二次函数22y x ax a =-+在 03x ≤≤的最小值是－2，则a =__________18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx 交x 轴的负半轴于点A ．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为 ．三、解答题（共76分）19．⑴ 22(3)5x -= ⑵ 01422=+-x x⑶ 03322=--x x⑷03)32=+--x x （ 20．（6分）已知关于x 的方程x 2＋8x ＋12－a ＝0有两个不相等的实数根．⑴ 求a 的取值范围；⑵ 当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解．21．（6分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝4．点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，点P 沿A →C 的方向以每秒1个单位长的速度向点C 运动，点Q 沿B →C 的方向以每秒2个单位长的速度向点C 运动．当其中一个点先到达点C 时，点P 、Q 停止运动．当四边形ABQP 的面积是△ABC 面积的一半时，求点P 运动的时间．P22．（8分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？23．（本题满分8分）受益于国家支付新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率．（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？24．（本题满分10分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：60(3060)y x x =-+≤≤．设这种双肩包每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数解析式．（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？25．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，13OA OC =． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若点(2,)G y 是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG △的面积最大?求出此时P 点的坐标和APG △的最大面积．26．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根． （1）求m 的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n （n≥m ）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n 的最大值和最小值．27．（本题满分10分）已知二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4,0)，且当2x =-和5x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值．（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 个单位长度的速度沿射线AC 方向运动，当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将AEF △沿EF 翻折，使点A 落在点D处，得到DEF △．①是否存在某一时刻t ，使得DCF △为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②设DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．参考答案及评分意见一、选择题 1-5 BDBCB ；6.【答案】C ；【解析】22242(4)(4)2y x y x y x =−−−−→=+−−−−→=+-向左平移向下平移个单位个单位． 故选C ． 7.【答案】B ；【解析】二次函数2242(2)6y x x x =+-=+-，∴对称轴2x =-， ∴当14x =-，23x =-，31x =时，213y y y <<．故选B ．8.【答案】C ；【解析】将(2,4)A -代入2y ax =中得：1a =，∴2y x =，由题意知，2OB =，4BA =，∴2OD =，将2y =代入2y x =得，x =∴P ．故选C ．9.【答案】C ；【解析】由题意知，AP t =，CQ t =，6CP t =-，222222(6)21236PQ PC CQ t t t t =+=-+=-+22(3)18t =-+，又∵02t ≤≤，故2t =时，220PQ =最小， 此时PQ =．故选C ．10.【答案】B ；【解析】∵正方形OABC 的边长为2，∴OB =，由题意知，15AOB =︒∠，∴30COB =︒∠，∴BC ，OC ，故(B ，代入2y ax =中得：6a =，a =．故选B ．二、填空题11．012=+-x x ； 12．1； 13．25%； 14．K=2；15．【答案】2；【解析】由题意知：对称轴202m x -==，解得2m =． 16．【答案】2(2)9y x =--+；【解析】∵抛物线在x 轴上截得的线段长为6，且对称轴为2x =， ∴抛物线与x 轴的两交点为(1,0)-，(5,0)，设2(2)9y a x =-+，将(5,0)代入得：1a =-， ∴2(2)9y x =--+． 17.±218.3三、解答题（共76分）19．⑴ 5)3(22=-x⑴ 01422=+-x x2103±=-x -----------------------2分 21)1(2=-x ---------------------- 2分2103±=x ----------------------- 4分 221±=x ----------------------- 4分 ⑶ 03322=--x x ⑷03)32=+--x x （ 3,3,2-=-==c b a03)32=---）（（x x -------- 1分03342>=-ac b ------------- 1分0]31)[3=---）（（x x43332233)3(±=⨯±--=x -- 2分04)3=+--）（（x x ------- 2分 4333433321-=+=x x ，-----4分 4,321==x x --------------- 4分20． ⑴ 根据题意得：0)12482>--a （解得:4->a⑵ ∵ 4->a ∴ 最小的整数为﹣3 ------------------------------------------------------------ ∴ x 2＋8x ＋12﹣（﹣3）＝0 即：x 2＋8x ＋15＝0解得：x 1＝－3，x 2＝－521．设点P 运动了x 秒，则AP ＝x ，BQ ＝2x由AC ＝4，BC ＝6得：PC ＝4－x ，QC ＝6－2xP根据题意得：ABC ABQP S S △四边形21= ∴ ABC PQC S S △△21= ∵ ∠C ＝90 ∴642121)26)4(21⨯⨯⨯=⋅-⋅x x －（ 解得：11=x ，62=x 经检验，x ＝6舍去答：点P 运动的时间是1秒．22．解：设降价x 元后销售这款工艺品每天能盈利3000元. 根据题意可得：3000)550)(4080(=+--x x解这个方程得：201021==x x ，（不合题意，舍去） 当x ＝10时，80－x ＝70>65；当x ＝20时，80－x ＝60<65（不符合题意，舍去）答：此时销售单价应定为75元.23．【解析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x ，则：22(1) 2.88x +=， 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 故这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业的年利润为 2.88(120%) 3.456+=，3.456 3.4>，故该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 24．【解析】（1）(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-2901800x x =-+-，w 与x 之间的函数解析式：2901800w x x =-+-．（2）根据题意得：22901800(45)225w x x x =-+-=--+， ∵10-<，当45x =时，w 有最大值，最大值是225．（3）当200w =时，2901800200x x -+-=，解得140x =，250x =， ∵5048<，250x =不符题意，舍去，故销售单价应定为40元． 25．【解析】（1）由已知得：(0,3)C -，(1,0)A -，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得09303a b c a b c C -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，∴223y x x =--．（2）存在．∵(1,4)D -，∴直线CD 的解析式为：3y x =--，∴E 点的坐标为(3,0)-， 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：2AE CF ==，AE CF ∥，∴以A 、C 、E 、F 为顶点，的四边形为平移四边形，∴存在点F ，坐标为(2,3)-． （3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得(2,3)G -，直线AG 为1y x =--， 设2(,23)P x x x --，则(,1)Q x x -，22PQ x x =-++，21(22)32APG APQ GPQ S S S x x =+=-++⨯△△△，当12x=时，APGS△最大，此时115,24P⎛⎫-⎪⎝⎭，APGS△最大为278．26.解：（1）对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n ≤m ，m =1， ∴1≤n ≤7，令y ′=n 2﹣4n =（n ﹣2）2﹣4，∴n =2时，y ′的值最小，最小值为﹣4， n =7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2﹣4n 的最大值为21，最小值为﹣4．27．【解析】（1）由题意得：164204222552a b a b a b +-=⎧⎨--=+-⎩，解得：12a =，32b =-．（2）①由（1）知213222y x x =--，∵(4,0)A ，∴(1,0)B -，(0,2)C ，∴4OA =，1OB =，2OC =，∴5AB =，AC =BC = ∴22225AC BC AB +==，∴ABC △为Rt △，且90ACB =︒∠，∵2AE t =，AF ，AF AB AE AC =EAF CAB =∠∠，∴AEF ACB △∽△， ∴90AEF ACB ==︒∠∠，∴翻折后，A 落在D 处，∴DE AE =，∴24AD AE t ==，12EF AE t ==， 若DCF △为Rt △，点F 在AC 上时，i ）∴若C 为直角顶点，则D 与B 重合，∴1522AE AB ==，55224t =÷=，如图2 ii ）若D 为直角顶点，∵90CDF =︒∠，∴90ODC EDF +=︒∠∠，∵EDF EAF =∠∠，∴90OBC EAF +=︒∠∠，∴ODC OBC =∠∠，∴BC DC =， ∵OC BD ⊥，∴1OD OB ==，∴3AD =，∴34AE =，∴34t =，如图3 当点F 在AC 延长线上时，90DFC >︒∠，DCF △为钝角三角形，综上所述，34t =或54．②i ）当504t <≤时，重叠部分为DEF △，∴2122S t t t =⨯⨯=．ii ）当524t <≤时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH BE ⊥于H ，设GH x =，则2x BH =，2DH x =，∴32xDB =，∵45DB AD AB t =-=-，∴3452x t =-，∴2(45)3x t =-，∴1122(45)(45)223DEF DBG S S S t t t t ===⨯⨯--⨯-△△2134025533t t =-+-．iii ）当522t <≤时，重叠部分为BEG △，如图5，∵2(45)52BE DE DB t t t =-=--=-，22(52)GE BE t ==-， ∴21(52)2(52)420252S t t t t =⨯-⨯-=-+．。
2018-2019学年第一学期九年级数学期中检测试卷(附答案)
学校 班级 姓名 考号 ………………………………………密……………………………………封……………………………………线………………………………………2018-2019学年第一学期期中检测试卷九年级 数学一、选择题（每小题3分，共30分）1．下面四个标志是中心对称图形的是( )2.在下列方程中，一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣2xy +y 2=0B ．x （x +3）=x 2﹣1C ．x 2﹣2x =3D ．x +=0 3.方程02=+x x 的解是( ) A ．x ＝±1B ．x ＝0C ．1x 0x 21-==，D ．x ＝14.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 5. 把一元二次方程2x 2-3x +1=0转化为 (x +a )2=b 的形式,正确的是( )A ． 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ． 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．以上都不对 6.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A ．-x 2=2x -1 B ．4x 2+4x +54=0 C 20x -= D ．(x +2)(x -3)=-57. 关于x 的方程ax 2－3x ＋3＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a ≠0 C ．a ＝1 D ．a ≥08.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每 月增长率为x,则由题意列方程应为( )A ．200(1+x )2=1000B ．200+200×2x =1000C ．200+200×3x =1000D ．200[1+(1+x )+(1+x )2]=1000 9.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程07822=+-x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A B ．3 C ．6 D ．910.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共24分）11．把一元二次方（x －3）2 = 4化为一般形式是________________，其中二次项为______，一次项系数为______，常数项为_____．12．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线解析式为 。
2018-2019学年九年级上期中考试数学试卷(含答案)
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图O C A B · C A D B ' B ' 1 D' B C O D A 2018-2019学年上学期期中考试九年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题。
注意事项：1．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚。
2．答案须用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔书写。
卷I （选择题，共42分）一、选择题（本大题共16个小题，1～10题，每小题3分；11～16小题，每小题2分， 共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．用配方法解方程x 2-23x -1=0时，应将其变形为（ ） A ．（x -13）2=89 B ．（x+13）2=109 C ．（x -23）2=0 D ．（x -13）2=109 2．窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上 雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构 的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 4．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜ 90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（ ） A ．68° B ．20° C ．28° D ．22° 5．如图，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC ，∠AOB=70°，则∠ADC 的度数是（ ） A ．70° B ．35° C ．45° D ．60° 6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=4，以C 点为圆心，2为半径作⊙C ，则AB 的中 点O 与⊙C 的位置关系是（ ） A ．点O 在⊙C 外 B ．点O 在⊙C 上 C ．点O 在⊙C 内 D ．不能确定 7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始 至结束所走过的路径长度为（ ）A ．32πB ．43πC ．4D ．2+32π第9题图第10题图第12题图ABC10203040506070 80 90100110120130140150160170180CDA BE ·第14题图第15题图第16题图8．定义运算“※”为：a※b=⎩⎨⎧）（-）（≤bab＞bab22，如：1※（-2）=-1×（-2）2=-4．则函数y=2※x）9．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为88°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°10．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm11．已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．391πcm2 12．如图，衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（）A．127B．19C．16D．1313．河北省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”，现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩，设每年平均增长率为x，则列方程为（）A．20（1+x）×2=24.2 B．20（1+x）2=24.2×2C．20+20（1+x）+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.214．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1 时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（）A．23πB．23π-1 C．43π+1 D．43π第18题图卷II （非选择题，共78分）二、填空题（本大题共3个小题；共12分。
2018学年第一学期九年级期中数学参考答案
2018-2019学年第一学期九年级期中测试数学试题卷参考答案及评分建议二、填空题（每小题4分，共24分） 13．点P 在⊙O 内 14．25 15．y 2<y 1<y 3 16．24°17．18c =或018．20πcm三、解答题（第19题6分，第20—21题各8分，第22—24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分） 19．设()215y a x =-+ …………1分把(2，3)代入得：()23215a =-+ …………3分 ∴a =－2 …………5分∴()2215y x =--+ …………6分20．(1)图略 …………4分(2)1694π …………4分21．(1)树状图略…………4分(2)19…………4分 22．证明：∵AB =CD∴AB CD = …………3分∴AB AC CD AC -=- ………… 5分 ∴AD BC = …………7分 ∴∠ABD =∠CDB …………10分23．(1)设21y ax =- …………1分把(－4，3)代入得：()2341a =-- …………3分∴14a =…………4分 ∴2114y x =-∴14a =，c =－1 …………5分(2) 21104y x =-= …………7分∴x =±2 …………9分∴(－2，0)，(2，0) …………10分24．(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD∴BC BD = …………1分 ∴∠A =∠DCB …………2分 ∴OF ⊥AC∴∠AFO =∠CEB ∵BE =OF∴△AFO ≌△CEB …………3分 (2)①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD∴12CE CD ==…………4分设OC =r ，则OE =r －4，∴()(2224r r =-+ …………5分∴r =8 …………6分 ②连结OD∵142OE OC ==∴∠COB =60° ∴∠COD =120°…………7分∴21206483603CBD S ππ︒=⨯=︒扇形 …………8分∴11422OCD S CD OE =⋅=⨯=△ …………9分643OCD CBD CBD S S S S π==-=-△阴弓形扇形…………10分25．(1)y =700－20(x －45)=1600－20x …………3分(2)P =(x －40)y =(x －40)(1600－20x )=－20x 2+2400x －6400（45≤x ≤80）…………6分∵602bx a=-=在45≤x ≤80内，此时p =8000 当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元．…………8分(3)∵P =－20x 2+2400x －6400≥6000 ∴50≤x ≤70 …………10分 ∵x ≤58∴50≤x ≤58，y 随x 的增大而减小，则当x =58时，y 最小为440盒． 即超市每天至少销售糕点440盒…………12分26．(1)∵四边形ABCD 是圆美四边形∴12A C =∠∠，∠A +∠C =180°…………2分∴∠A =60°…………4分(2)①连结BD ，OB ，OD ，作OE ⊥BD ∴∠BOD =2∠A =120°…………5分 ∵OB =OD ∴1602BOE BOD ==︒∠∠∴∠OBE =30°…………6分∴1522OE OB ==∴BE =…………7分∴2BD BE == …………8分 ②10 …………10分 (3)延长BC ，AD 交于点E∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠BAD +∠BCD =180° ∵∠DCE +∠BCD =180° ∴∠BAD =∠DCE =60°…………11分 ∵AC 为⊙O 的直径 ∴∠B =∠ADC =90°=∠CDE ∴∠E =30°…………13分 在Rt △CDE 和Rt △ABE 中CE =2CD ，BE BC CE =+∴2BC CD + …………14分。
2018-2019人教版九上期中数学试题(含答案)
2018——2019学年第一学期期中考试 一、选择题:1．C ；2．B ；3．B ；4．C ；5．A ； 6．A ； 7．B ； 8．D ； 9．B ； 10．D ．二、填空题:11．(3,2)P '；12．2018； 13．y ＝－x 2＋2x (答案不唯一)；14815．84º；16． 三、解答题17．12x x ==．……………………………………………………………………………… 6分 18．令y =0，得2023x x =+-，解得，121,3x x ==- ∴抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(－3，0)．…………………………………………………………… 2分 令x =0，得y ＝－3∴抛物线与y 轴交点坐标为(0，－3)．……………………………………………………………………… 4分 又2223(1)4y x x x =+-=+-，∴抛物线顶点坐标为(－1，－4)． …………………………………… 6分19．(1)由题知： △＝2(3)410k --⨯⨯>解得：k ＜94…………………………………………………………………………………………………… 3分 (2)由(1)知：k ＜94，取k ＝－4得方程2340x x --=，解得：121,4x x =-=．……………………… 7分20．设每年比上一年利润增长的百分率为x ．依题意，列方程得：200(1＋x )2＝242 ……………………………………………………………………… 3分 解得：120.110%, 2.1x x ===-(不合题意，舍去)∴x ＝10% …………………………………………………………………………………………………… 6分 ∴该企业2019年预计利润是242×(1＋10%)＝266.2(万元)． …………………………………………… 7分21．(1)设所求的函数解析式为：y ＝kx ＋b由题知：65556060k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1120k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝－x ＋120 ……………………………………………………………………………………………… 3分(2) W ＝(50－x ) (－x ＋120)＝－(x －85)2＋1225 …………………………………………………………… 5分 ∵a ＝－1＜0，∴当x ＜85时，W 随x 增大而增大． ……………………………………………………6分 由题知：50≤x ≤80 …………………………………………………………………………………………7分 ∴当x ＝80时，W 有最大值，且最大值为1200．………………………………………………………… 8分 即当试销单价定为80元时，该商店可获得最大利润，最大利润是1200元．22．(1)略……………………………………………………………………… 3分(2) 由(1)得2222P P PA P A ''=+=又2210P B PD '==，28PB =∴22210P B PB P P ''=+=…………………………………………………… 6分∴△BP P '是直角三角形，且∠BP P '＝90º∴∠BPQ ＝180º－90º－45º＝135º．………………………………………… 8分 23．(1)证明：连AD ，AC ．∵∠ADC ＋∠AEC ＝∠AEC ＋∠CKF ＝180º∴∠CKF ＝∠ADC ………………………………………………………… 2分又∵CD ⊥直径AB ，∴⌒AC ＝⌒AD ，∴∠ACD ＝∠ADC …………………… 3分又∵∠AKD ＝∠ACD ∴∠AKD ＝∠CKF ………………………………………………………… 4分(2)连OD ．则OD ＝5，DE ＝3 ……………………………………………… 5分∴OE 4=，∴AE ＝OE ＋OA ＝9．………………………… 8分（第22题图） （第23题图） E24．(1)△＝222(5)4625(3)16m m m m m -+=-+=-+…………………………………………… 2分 ∵2(3)m -≥0∴△＞0……………………………………………………………………………………………………3分 ∴不论m 为何值时，该方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………4分(2)由题知：x 1， x 2是方程x 2－(m －5) x －m = 0的两根∴x 1＋x 2＝m －5，x 1x 2＝－m ……………………………………………………………………………6分∴AB ＝12x x -===8分 ∴当m ＝3时，AB 存在最小值，最小值为AB ＝4．……………………………………………………10分25．(1)证明： ∵点A 在x 轴上，令y ＝0，得20ax bx c ++=∵b ＝a ＋c ，∴2()0ax a c x c +++=即(1)()0x ax c ++= 解得121,c x x a=-=-∴该抛物线过x 轴上的定点A (－1，0)．…………………………………………………………………4分(2)解：①当点C 在点A 右侧时，如图1所示．∵四边形P ACQ 平行四边形，∴点C 恰好与点B 重合．由已知得P (0，∴Q (0设抛物线解析式为y ＝2ax +把A (－1，0)代入，得a∴y ＝28分②当点C 在点A 左侧时，如图2所示．∵四边形P ACQ 平行四边形，∴P A ＝CQ由抛物线对称性，得CQ ＝AQ∴P A ＝AQ∴点A 在PQ 的垂直平分线上．∴PQ ＝2OA ＝2，∴Q (－2．设抛物线解析式为y ＝2(2)a x +把A (－1，0)代入，得a∴y 22)x +12分综上，存在符合要求的抛物线，其解析式为y ＝2y 22)x +。
2018-2019学年第一学期期中质量检测九年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第一学期期中质量检测九年级数学试题（卷）一、选择题(每小题3分，共30分)1、在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为( )A.15B.25C.35D.452、方程x 2－3x －6＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3、矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行且相等B ．对角线相等C ．相邻两角互补D ．两组对角分别相等4、下列条件中能使平行四边形ABCD 为菱形的是( )①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°；③AB ＝BC ；④AC ＝BD .A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③5、一元二次方程x 2－3x －1＝0的两实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是( )A ．4B ．2C ．－2D ．－46、要从小强、小华和小林三人中随机选两人作为旗手，则小强和小林同时入选的概率是( )A.23B.13C.12D.167、某种商品的原价为36元/盒，经过连续两次降价后的售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是( )A ．36(1－x )2＝36－25B ．36(1－2x )＝25C ．36(1－x )2＝25D ．36(1－x 2)＝258、若实数x ，y 满足(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－2)＝0，则x 2＋y 2的值是( )A ．1B ．2C ．2或－1D ．－2或－19、关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是( )A ．k ≤1B ．k <1C ．k ≤1且k ≠0D ．k <1且k ≠10、如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 边上一点，且∠A ＝∠EDF ＝60°，有下列结论：①AE ＝BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE ＝∠BEF.其中结论正确的个数是( )A ．3个B ．4个．2个二、填空题(每小题3分，共18分)11、关于x 的方程x 2＋mx －6＝0有一根为2，则另一根是____，m＝____．12、．在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3个，白球n 个，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率是45，则n ＝____． 13、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12AC ，BC ＝3，则OB ＝____． 14．如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平第13题图第15题图 行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，由题意列得方程__ __．15．如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm ，当锐角∠CAD ＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE 之间的距离是____cm.(结果保留根号)16、在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是____．三、解答题(共72分)17、(10分)解方程：(1)－12x 2－3x ＋6＝0；(2)x ＋5＝x 2－25.18、(10分)如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．第14题图19、(10分)现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字－1，－2，1，2，3.先将标有数字－2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球．(1)请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上的数字之和所有可能的结果；(2)求取出两个小球上的数字之和等于0的概率．20、(10分)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B 落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：DE∥AC.21、(10分)在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A 开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动，P，Q两点分别到达B，C 两点后停止移动，那么几秒后△PBQ的面积是5 cm2?22、(10分)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10 kg.针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和销售利润；(2)商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，使月销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？23、(12分)猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若点M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为____；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F 在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．参考答案一、1.C 2．A 3．B 4．A 5．A6．B7．C 8．B 9．C10． A二、11．－3_ 1 12．12_13．1_14．_(30－2x)(20－x)＝6×78_15．．316三、17．x 1＝－3＋21，x 2＝－3－21 x 1＝－5，x 2＝618．列表略．所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，两数之积为奇数的情况有4种，∴P(小明获胜)＝59，P(小华获胜)＝49.∵59＞49，∴该游戏不公平 19．(1)树状图如图所示：(2)由树状图可知所有可能出现的结果共有6种，∴P(和为0)＝26＝1320．(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD.又∵AC 是折痕，∴BC ＝CE ＝AD ，AB ＝AE ＝CD.又DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED (2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA.又∵△ACE 与△ACB 关于AC 所在直线对称，∴∠OAC ＝∠CAB.又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA.∵∠DOE ＝∠AOC ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC21．设x 秒后△PBQ 的面积为5 cm 2，则12(6－x)·2x ＝5，解得x 1＝1，x 2＝5.答：1秒或5秒后，△PBQ 的面积是5 cm 222．(1)450 kg 6 750元 (2)设销售单价为x 元，则(x －40)[500－10(x －50)]＝8 000，解得x 1＝60，x 2＝80，当x ＝60时，月销售成本超过了10 000元，应舍去．因此，销售单价为每千克80元23．(1)_DM ＝ME(2)证明：如图①，延长EM 交AD 于点H ，∵四边形ABCD 和ECGF 是矩形，∴AD ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HAM ，又∵∠FME ＝∠AMH ，FM ＝AM ，∴在△FME 和△AMH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠HAM ，FM ＝AM ，∠FME ＝∠AMH ，∴△FME ≌△AMH(ASA)∴HM ＝EM.在Rt △HDE 中，HM ＝EM ，∴DM ＝HM ＝ME ，∴DM ＝ME (1)DM ＝ME (2)如图②，连接AE ，∵四边形ABCD 和ECGF 是正方形，∴∠FCE ＝45°，∠FCA ＝45°，∴AE 和EC 在同一条直线上，在Rt △ADF 中，AM ＝MF ，∴DM ＝AM ＝MF ，在Rt △AEF 中，AM ＝MF ，∴AM ＝MF ＝ME ，∴DM ＝ME。
人教版2018-2019学年九年级数学(上册)期中试题及答案
2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表格中．）1．下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．化简的结果是（）A．﹣x﹣y B．y﹣x C．x﹣y D．x+y3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．4．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab+b25．解方程﹣3去分母得（）A．1=1﹣x﹣3（x﹣2）B．1=x﹣1﹣3（2﹣x）C．1=x﹣1﹣3（x﹣2）D．﹣1=1﹣x﹣3（x﹣2）6．如果正数x、y同时扩大10倍，那么下列分式中值缩小10倍的是（）A．B． C．D．7．已知5个正数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数是a ，且a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5，则数据：a 1，a 2，a 3，0，a 4，a 5的平均数和中位数是（ ）A ．a ，a 3B ．a ，C ． a ，D ．，8．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如表：某同学根据表中数据分析得出下列结论： （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（2015•泗洪县校级模拟）对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．南京到上海铁路长300km ，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了40km ，因此从南京到上海的时间缩短了一半，设客车原来的速度是xkm/h ，则根据题意列出的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二.填空题（本题共8小题，请将结果填写在空格处）11．约分①= ； ②= ．12．利用因式分解计算（﹣2）101+（﹣2）100= ．13．若代数式的值为0，则x= ．14．把下列有理式中，是分式的代号填在横线上 ．①﹣3x ；②；③；④﹣；⑤；⑥；⑦﹣；⑧．15．附加题：已知，则= ．16．已知a+b=2，ab=2，则a3b+a2b2+ab3的值为．17．下图是根据某地相邻两年6月上旬日平均气温情况绘制的折线统计图，通过观察图形，可以判断这两年6月上旬气温比较稳定的年份是年．18．一名学生军训时连续射靶6次，命中的环数分别为6，8，5，6，9，8．则这名学生射击环数的方差是．三.解答题（本大题共6小题，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．把下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+4）2﹣16x2（3）y（y+4）﹣4（y+1）（4）．20．计算（1）．（2）（﹣）÷（）21．解下列方程（1）（2）．22．已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．23．某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．（1）分别计算三人民主评议的得分；（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4：3：3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？24．新世纪广场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商场共赢利多少元？【选做题】（不计入总分）25．附加题：观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）直接写出下列各式的计算结果：=（2）猜想并写出：=（﹣）．（3）探究并解方程：．2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表格中．）1．下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】分式的混合运算；约分．【分析】按同底数幂除法法则，约分，分式混合运算法则进行运算，看结果是否正确即可．【解答】解：A、式应该为x3，错误；B、化简正确；C、的结果应该为﹣m﹣3，错误；D、=，错误．故选B．【点评】本题主要考查分式的混合运算，不是很难．2．化简的结果是（）A．﹣x﹣y B．y﹣x C．x﹣y D．x+y【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】因为分母相同，则分子直接相减，即x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=﹣（x+y）（y﹣x），然后进行化简．【解答】解：．故选A．【点评】在分式的化简过程中应注意符号的转变．3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．【考点】因式分解的意义．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；B、符合因式分解的定义，故本选项正确；C、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．4．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab+b2【考点】平方差公式的几何背景．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2﹣b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，根据两者相等，即可验证平方差公式．【解答】解：由题意得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选A．【点评】此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．5．解方程﹣3去分母得（）A．1=1﹣x﹣3（x﹣2）B．1=x﹣1﹣3（2﹣x）C．1=x﹣1﹣3（x﹣2）D．﹣1=1﹣x﹣3（x﹣2）【考点】解分式方程．【分析】本题的最简公分母是（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得1=x﹣1﹣3（x﹣2）．故选C．【点评】单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．6．如果正数x、y同时扩大10倍，那么下列分式中值缩小10倍的是（）A．B． C．D．【考点】分式的基本性质．【分析】直接利用分式的基本性质化简进而求出答案．【解答】解：A、∵正数x、y同时扩大10倍，∴，无法化简，故此选项错误；B、∵正数x、y同时扩大10倍，∴，无法化简，故此选项错误；C、∵正数x、y同时扩大10倍，∴=，∴正数x、y同时扩大10倍，分式的值缩小10倍的是，故此选项正确；D、=，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．7．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据：a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（）A．a，a3B．a，C．a，D．，【考点】中位数；算术平均数．【专题】计算题；压轴题．【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）=×5a=a；将这组数据按从小到大排列为0，a5，a4，a3，a2，a1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．∴其中位数为．故选D．【点评】本题考查了平均数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．8．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如表：某同学根据表中数据分析得出下列结论：（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（2015•泗洪县校级模拟）对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】众数；加权平均数；中位数．【分析】先把数据按大小排列，然后根据定义分别求出众数、中位数和平均数，最后逐一判断．【解答】解：从小到大排列此数据为：2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10．数据3出现了6次，最多，为众数；第6位是3，3是中位数；平均数为（2+2+3+3+3+3+3+3+6+6+10）÷11=4．故选A．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．10．南京到上海铁路长300km，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了40km，因此从南京到上海的时间缩短了一半，设客车原来的速度是xkm/h，则根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】由“从南京到上海的时间缩短了一半”，等量关系为：原来用的时间=现在用的时间×，把相关数值代入即可．【解答】解：设客车原来的速度是xkm/h，现在的速度是（x+40）km/h，由题意得，=×．故选：C．【点评】考查列分式方程，根据减少的时间得到相应的等量关系是解决本题的关键．二.填空题（本题共8小题，请将结果填写在空格处）11．约分①=；②=．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】①分子分母都约去公因式5ab即可；②先把分母因式分解，然后约分即可．【解答】解：①原式=；②原式==．故答案为，．【点评】本题考查了约分的：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．12．利用因式分解计算（﹣2）101+（﹣2）100=﹣2100．【考点】因式分解的应用．【分析】提公因式（﹣2）100，再进行计算．【解答】解：（﹣2）101+（﹣2）100=（﹣2）100[﹣2+1]=﹣2100；故答案为：﹣2100．【点评】本题是利用因式分解简化计算问题，用因式分解的方法将式子变形，使计算简便．13．若代数式的值为0，则x=1．【考点】分式的值为零的条件．【专题】计算题．【分析】根据分式的值为零的条件得到|x|﹣1=0且x+1≠0，然后解方程和不等式即可．【解答】解：∵代数式的值为0，∴|x|﹣1=0且x+1≠0，∴x=1．故答案为1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零．14．把下列有理式中，是分式的代号填在横线上②⑤⑥．①﹣3x；②；③；④﹣；⑤；⑥；⑦﹣；⑧．【考点】分式的定义．【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．【解答】解：；②；⑤；⑥是分式，故答案为：②⑤⑥．【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母．15．附加题：已知，则=1．【考点】分式的化简求值．【专题】压轴题．【分析】根据题意可得到a+b=4ab，而所求代数式可以化简为，把前面的等式代入即可求出其值．【解答】解：∵，∴a+b=4ab，则===1．【点评】主要考查了分式的化简式求值问题．分式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取关于ab，与a+b的关系，然后把所求的分式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求分式的值．16．已知a+b=2，ab=2，则a3b+a2b2+ab3的值为4．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先对所求的式子提公因式ab，然后利用完全平方公式分解，最后把a+b=2，ab=2代入求值．【解答】解：原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=×2×22=4．故答案是：4．【点评】本题考查了分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．17．下图是根据某地相邻两年6月上旬日平均气温情况绘制的折线统计图，通过观察图形，可以判断这两年6月上旬气温比较稳定的年份是2005年．【考点】折线统计图．【专题】图表型．【分析】折线统计图中折线越起伏的表示数据越不稳定，相反，折线越平稳的表示数据越稳定；从两幅图中可以看出：2004年6月上旬折线起伏较大，所以2004年6月上旬气温比较不稳定，则2005年6月上旬折线较平稳，则2005年6月上旬气温比较稳定．【解答】解：从两幅图中可以看出：2004年6月上旬折线起伏较大，所以2004年6月上旬气温比较不稳定，则2005年6月上旬折线较平稳，则2005年6月上旬气温比较稳定．【点评】本题考查的是折线统计图的综合运用．从折线统计图中不仅能看出数据的多少，还能看出数据的变化情况．18．一名学生军训时连续射靶6次，命中的环数分别为6，8，5，6，9，8．则这名学生射击环数的方差是2．【考点】方差．【分析】根据方差的计算公式计算即可．【解答】解：这名学生射击环数的平均数==7，这名学生射击环数的方差==2，故答案为：2．【点评】本题考查方差的定义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．三.解答题（本大题共6小题，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．把下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+4）2﹣16x2（3）y（y+4）﹣4（y+1）（4）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解即可；（2）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可；（3）先用乘法公式展开，再合并，最后用平方差公式分解即可；（3）先用乘法公式展开，再提取公因式，最后用完全平方公式和平方差公式分解即可；【解答】解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1﹣2x）（1+2x），（2）（x2+4）2﹣16x2=（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）=（x+2）2（x﹣2）2，（3）y（y+4）﹣4（y+1）=y2+4y﹣4y﹣4=（y+2）（y﹣2）（4）=2x2﹣1﹣x4=﹣（x4﹣2x2+1）=﹣（x2﹣1）2=﹣（x+1）2（x﹣1）2【点评】此题是提公因式和公式法的综合运用，主要考查了提取公因式分解因式和平方差公式，完全平方公式分解因式的方法，解本题的关键是分解因式的方法得选择．20．计算（1）．（2）（﹣）÷（）【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式===；（2）原式=•=3（x+2）﹣（x﹣2）=3x+6﹣x+2=2x+8．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．解下列方程（1）（2）．【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：（x﹣2）2﹣12=x2﹣4，整理得：x2﹣4x+4﹣12=x2﹣4，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解；（2）去分母得：y﹣2=2y﹣6+1，解得：y=3，经检验y=3是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．22．已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A 式进行计算即可．【解答】解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．23．某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．（1）分别计算三人民主评议的得分；（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4：3：3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？【考点】加权平均数；统计表；扇形统计图；算术平均数．【分析】（1）根据百分数乘法的意义，分别用200乘以三人的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可．（2）首先根据加权平均数的计算方法列式计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可．【解答】解：（1）甲民主评议的得分是：200×25%=50（分）；乙民主评议的得分是：200×40%=80（分）；丙民主评议的得分是：200×35%=70（分）．（2）甲的成绩是：（75×4+93×3+50×3）÷（4+3+3）=729÷10=72.9（分）乙的成绩是：（80×4+70×3+80×3）÷（4+3+3）=770÷10=77（分）丙的成绩是：（90×4+68×3+70×3）÷（4+3+3）=774÷10=77.4（分）∵77.4＞77＞72.9，∴丙的得分最高．【点评】（1）此题主要考查了加权平均数、算术平均数的含义和求法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了统计表和扇形统计图的应用，要熟练掌握，要注意从中获取信息，并能应用获取的信息解决实际问题．24．新世纪广场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商场共赢利多少元？【考点】分式方程的应用．【专题】销售问题．【分析】盈利=总售价﹣总进价，应求出衬衫的数量．总价明显，一定是根据单价来列等量关系．本题的关键描述语是：“单价贵了4元”；等量关系为：第一次的单价=第二次的单价﹣4．【解答】解：设商场第一次购进x件衬衫，则第二次购进2x件，根据题意得：．160000=176000﹣8x解这个方程得：x=2000．经检验：x=2000是原方程的根．∴2x=4000商场利润：（2000+4000﹣150）×58+58×0.8×150﹣80000﹣176000=90260（元）．答：在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【选做题】（不计入总分）25．附加题：观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）直接写出下列各式的计算结果：=（2）猜想并写出：=（﹣）．（3）探究并解方程：．【考点】规律型：数字的变化类；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．【专题】计算题．【分析】（1）由等式：，，，两边分别相加得：，类比上面的做法得到答案；（2）因﹣=，再由﹣=猜想出结论；（3）由（2）的结论，可以推出=（﹣），进一步解出方程．【解答】解：因为（1），，，…=﹣，所以，=1﹣+﹣+﹣+…+﹣，=1﹣，=；（2）因为﹣=，所以=（﹣）；（3）类比（2）的结论，可以得到，=（﹣），所以，（﹣+﹣+﹣）=，=，解得x1=﹣9，x2=2，经检验，x1=﹣9是增根，x2=2是原方程的根．【点评】解决此类问题，从特殊中找出一般情况，利用类比的思想进一步解决问题．。
2018-2019学年度九年级上学期期中考试九数学试卷(解析版)
2018-2019学年度九年级上学期期中考试九数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣2x﹣2=0 B．5x2﹣4x﹣2=0 C．5x2﹣2=0 D．3x2﹣4x﹣2=0 【专题】常规题型．【分析】根据化为一元二次方程的一般式即可求出答案．【解答】解：化为一般式为：x2-3+4x2-4x+1=0∴5x2-4x-2=0故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是正确理解一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．2．（3分）关于x的方程（a2﹣2a﹣3）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）A．a≠0B．a≠﹣3且a≠1C．a≠3且a≠﹣1 D．a≠3或a≠﹣1【专题】常规题型．【分析】依据一元二次方程的二次项系数不为零列不等式求解即可．【解答】解：∵关于x的方程（a2-2a-3）x2+ax+b=0是一元二次方程，∴a2-2a-3≠0．∴a≠3且a≠-1．故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3．（3分）已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（1，0）D．（﹣2，0）【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与x轴的另一个交点坐标．【解答】解：二次函数y=ax2+4ax+c的对称轴为：x=﹣=﹣2，∵二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴它与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．4．（3分）若二次函数y=mx2﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（）A．m=4 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=﹣4【专题】常规题型．【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【解答】解：∵二次函数有最大值，∴m＜0且=﹣3，解得m=﹣4．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键．5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（3，﹣2）C．（1，3）D．（1，4）【专题】平移、旋转与对称．【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点P′的坐标即可．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点P′的坐标为（1，4）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．6．（3分）方程x2﹣2x+4=0和方程x2﹣4x+2=0中所有的实数根之积是（）A．8 B．2 C．6 D．4【专题】常规题型．【分析】由方程根与系数的关系可分别求得每个方程的两根，再共积即可求得答案．【解答】解：∵方程x2-2x+4=0的判别式△=（-2）2-4×4=-12＜0，∴方程x2-2x+4=0无实数根，∵方程x2-4x+2=0，∴两根之积为2，∴方程x2-2x+4=0和方程x2-4x+2=0中所有的实数根之积为2，故选：B．【点评】本题主要考查方程根与系数的关系，掌握方程根与系数的关系是解题的关键，注意根与系数的关系应用的前提是该方程有实数根．7．（3分）若一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴都交于正半轴，则二次函数y=kx2+bx ﹣kb的图象可能是（）A．B．C．D．【专题】解题方法．【分析】根据一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴都交于正半轴，可得k＜0，b＞0，根据二次函数y=kx2+bx-kb的系数可知对称轴为- ＞0，-kb＞0，可得答案．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴都交于正半轴，∴k＜0，b＞0，∴二次函数y=kx2+bx-kb的图象开口向下，∵对称轴为-＞0，-kb＞0，故C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象和一次函数的图象，利用一次函数图象与x轴、y轴都交于正半轴，考查二次函数的系数特点是解题关键．8．（3分）如图，点P是等边△ABC的内部一点，PA=5，PB=13，PC=12，则△ABP与△ACP 的面积之和是（）A．+30 B．72+30 C．60 D．+30【专题】常规题型；构造法；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称．【分析】把△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，可证得△ADP为等边三角形，△PBD 为直角三角形，利用S△ABP+S△ACP=S△ADP+S△PBD可求得答案．【解答】解：如图，把△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，连接PD，则△ADP为等边三角形，∴DP=PA=5，∵PB=13，PD=PC=12，∴BD2+PD2=PB2，∴△BPD为直角三角形，∴S△ABP+S△ACP=S△ADP+S△PBD=×5×12+×52=+30，故选：A．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及旋转的性质，利用旋转的性质构造直角三角形和等边三角形是解题的关键，注意等边三角形面积公式的应用，即等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积等于9．（3分）若关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3B．a≠3C．a＞﹣1且a≠3D．a≥﹣1【专题】常规题型．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当a﹣3=0时，∴﹣4x﹣1=0，∴x=﹣当a﹣3≠0时，∴△=16+4（a﹣3）≥0，∴a≥﹣1，综上所述，a≥﹣1故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c=0；②4a ﹣2b+c＞0；③方程ax2+bx+c﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0的两根是x1=﹣2，x2=2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【专题】二次函数图象及其性质．【分析】①根据x=-3时，对应的y=0，代入可得结论；②根据x=-2时，对应的y＞0，代入可得结论；③根据顶点坐标中y=4，可得方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；④将x-1替换x，由方程ax2+bx+c=0的两根x1=-3，x2=1，可得结论．【解答】解：①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为（-3，0），∴9a-3b+c=0；故①正确；②由图象得：当x=-2时，y＞0，∴4a-2b+c＞0，故②正确；③∵抛物线的顶点（-1，4），∴方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根，即方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；故③正确；④由题意得：方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-3，x2=1，∴方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0的两根是：x-1=-3或x-1=1，∴x1=-2，x2=2，故④正确；综上得：正确结论为：①②③④，4个，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数y=ax2+bx+c 与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是．【分析】把方程的一个根-2代入方程得到关于k的方程，解方程求出k的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．【解答】解：把x=-2代入x2+（k+3）x+k=0得到：（-2）2+（k+3）×（-2）+k=0，解得k=-2．设方程的另一根为t，则-2t=-2，解得t=1．故答案是：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数k的值是解决问题的关键．12．（3分）将抛物线y=x2﹣4x+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是．【专题】函数思想．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：∵y=x2-4x+5=（x-2）2+1，∴抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（2，1），∴将抛物线y=x2-4x+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是（3，-1）．故答案是：（3，-1）．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，以B为中心，取旋转角等于∠ABC，将△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=70°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的度数为．【专题】多边形与平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，则根据平行线的性质可计算出∠DA′B=130°，接着利用互余计算出∠BAE=20°，然后根据旋转的性质得∠BA′E′=∠BAE=20°，于是可得∠DA′E′=150°．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B=180°，∴∠DA′B=180°-50°=130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE=20°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=20°，∴∠DA′E′=130°+20°=150°．故答案为：150°．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．（3分）已知函数y=的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是．【专题】常规题型．【分析】根据图象以及不等式解法，分别解不等式，得出自变量的取值范围即可．【解答】解：∵y=，∴当函数值y≥﹣6时，分两种情况：①x≤2时，﹣x2+2≥﹣6，x2≤8，结合图象可以得出：﹣2≤x≤2，此时x≤2，所以﹣2≤x≤2，②x＞2时，当函数值y≥﹣6时，﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，此时x＞2，所以2＜x≤3．综上所述，y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是：﹣2≤x≤3，故答案为﹣2≤x≤3．【点评】此题考查了二次函数的性质，函数的图象以及不等式的解法，根据图象得出不等式x2≤8的解集是解题关键．15．（3分）设m，n是一元二次方程x2﹣2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2﹣2018n﹣2017×20182的值是．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得出“m+n=2018，mn=1”，再将2017m2+2018n2-2018n-2017×20182变形为只含m+n与mn的代数式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，∴m+n=2018，mn=1，n2-2018n+1=0，∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182=2017[（m+n）2-2mn]+n2-2018n-2017×20182=2017×（20182-2）-1-2017×20182=2017×20182-2017×2-1-2017×20182=-4035故答案为：-4035．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出2017m2+2018n2-2018n-2017×20182=2017[（m+n）2-2mn]+n2-2018n-2017×20182．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再将代数式变形为只含两根之和与两根之积的形式是关键．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，D为AC上一点，AD=4，将AD绕点A旋转至AD′，连接BD′，F为BD′的中点，则CF的最大值为．【专题】平移、旋转与对称．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM的长，利用三角形中位线定理，可得MF的长，再根据当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，即可得到结论．【解答】解：如图，取AB的中点M，连接MF和CM，∵将线段AD绕点A旋转至AD′，∴AD′=AD=4，∵∠ACB=90°，∵AC=6，BC=2，∴AB==2．∵M为AB中点，∴CM=，∵AD′=4．∵M为AB中点，F为BD′中点，∴FM=AD′=2．∵CM+FM≥CF，∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，CF最大，此时CF=CM+FM=+2．故答案为：+2．【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（9分）解下列方程：（1）x2﹣5x=6；（2）x2﹣x﹣1=0；（3）（x﹣2）2=2（x+3）（x﹣3）．【专题】常规题型．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6=0（x﹣6）（x+1）=0x=6或x=﹣1（2）x2﹣x+=+1，（x﹣）2=x=（3）x2﹣4x+4=2x2﹣9x2+4x﹣13=0x2+4x+4=13+4（x+2）2=17x=﹣2±【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（8分）（1）在图1中画出△ABC关于O的中心对称图形△A′B′C′；（2）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点△DEF，使DE=，DF=，EF=，并求出△DEF的面积．【专题】作图题．【分析】（1）画出A、B、C三点关于O的对称点，连接各对称点所得图形即为△ABC关于点O的中心对称图形．（2）找到直角边为1和3的直角三角形，其斜边为，直角边为1和2的直角三角形，其斜边为，直角边为2和3的直角三角形，其斜边为【解答】解：（1）如图（1）：（2）如图（2）：S△DEF═=3×3﹣3﹣1﹣1.5=3.5．【点评】本题考查了作图--旋转变换和勾股定理，充分利用格点是解题的关键一步．19．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．【专题】常规题型；数形结合；二次函数图象及其性质．【分析】（1）根据当x=2或x=-2时函数值相等即可得；（2）将坐标系中y轴左侧的点按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接可得；（3）①根据函数图象与x轴的交点个数与对应方程的解的个数间的关系可得；③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，-1＜a＜0．【解答】解：（1）由函数解析式y=x2﹣2|x|知，当x=2或x=﹣2时函数值相等，∴当x=﹣2时，m=0，故答案为：0；（2）如图所示：（3）①由图象可知，函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；②由函数图象知，直线y=﹣与y=x2﹣2|x|的图象有4个交点，所以方程x2﹣2|x|=有4个实数根；③由函数图象知，关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，0＜a＜﹣1，故答案为：0＜a＜﹣1；故答案为：①3、3；②4；③0＜a＜﹣1．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标和对应方程的解之间的关系．20．（9分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，则有BE+DF=．若AB=2，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【专题】几何图形．【分析】（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF=HE=BE+HB进而求出即可；（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，在△ADF和△ABH中，∵，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=∠EAH=45°，在△FAE和△HAE中，∵，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF，∴△CEF的周长=EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD=2AB=4．故答案为：EF；4．（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=∠C=90°，∠EAF=45°，即∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的综合应用．作出辅助线延长EB至H，使BH=DF，利用全等三角形性质与判定求出是解题关键．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足|x1|+|x2|=x12+x22﹣10，求k的值．【专题】判别式法．【分析】（1）由△＞0，列出不等式，解不等式即可；（2）由根与系数的关系表示两根和与两根积，再把所求的式子，化简后代入计算即可．【解答】解：（1）由题意，△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞．（2）依题意得：x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+1，由（1）得：k，∴x1+x2＞0，x1x2＞0，∴x1、x2同为正根，∴|x1|+|x2|=x12+x22﹣10，可化为：x1+x2=x12+x22﹣10，2k+1=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣10，2k+1=（2k+1）2﹣2（k2+1）﹣10，k2+k﹣6=0，（k+3）（k﹣2）=0，k1=﹣3，k2=2，∵k＞，∴k=2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，22．（8分）如图，要建一个面积为130m2的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长为am），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门．现有能围成32m长的木板，求建仓库的方案．【专题】一元二次方程及应用．【分析】设与仓库与墙垂直的一边是x米，长是（32-2x+1），根据面积为130平方米可列方程求解，再分类讨论即可；【解答】解：设与仓库与墙垂直的一边是x米，（32-2x+1）x=130，x=10或x=6.5，①当0＜a＜13设，没有符合题意的方案．②当13≤a＜20时，建仓库的方案：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；③当a≥20时，方案一：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；方案二：与仓库与墙垂直的一边是6.5米，另一边是20米；【点评】本题考查一元二次方程的应用、理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元（x为整数）．（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式．（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？【专题】常规题型；二次函数的应用．【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）y=50-x−12010=-110x+62；（2）w=（x-20）（-110x+62）=-110x2+64x-1240=-110（x-320）2+9000，∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．【点评】本题考查二次函数的应用、解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．专题】解题方法．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程可求得点C的坐标；（2）设点P的坐标为（t，-t2+t+2），用含t的式子表示出PE、PD的长度，然后可得到四边形ODPE的周长与t的函数关系式，最后利用配方法可求得点P的横坐标，以及四边形ODPE周长的最大值；（3）先求得直线AB的解析式，设P点的坐标为（t，-t2+t+2），则点M的坐标为（t，-t+2），由S△ABP=S△PMB+S△PMA可得到△ABP的面积与t的函数关系式，【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=1，c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．令y=0，则0=﹣x2+x+2，解得：x=2或x=﹣1．∴点C的坐标为（﹣1，0）．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2），则PE=t，PD=﹣t2+t+2，∴四边形ODPE的周长=2（﹣t2+t+2+t）=﹣2（t﹣1）2+6，∴当P点坐标为（1，2）时，∴四边形ODPE周长最大值为6．（3）∵A（2，0），B（0，2），∴AB的解析式为y=﹣x+2．∵P点的横坐标为t，∴P点纵坐标为﹣t2+t+2．又∵PN⊥x轴，∴M点的坐标为（t，﹣t+2），∴PM=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t．∴S△ABP=S△PMB+S△PMA=PM•ON+PM•AN=PM•OA=﹣t2+2t．又∵S△ABC=AC•OB=×3×2=3，∴﹣t2+2t=3×，解得：t1=t2=1．∴当t=1时，△ABP的面积等于△ABC的面积的．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了代入系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值、三角形的面积公式、解一元二次方程，得到PM的长度与点M的横坐标之间的关系是解题的关键．。
2018-2019学年九年级上期中数 学试卷含答案解析
2018—2019学年九年级（上）期中数学试卷一．细心选一选1．（3分）将图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=1或x=3 D．x=3 或x=03．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣44．（3分）如图，在圆O中，圆心角∠BOC=100°，那么∠BAC=（）A．50°B．60°C．70°D．75°5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）6．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向右平移3个单位得到的解析式是（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2 D．y=x2+67．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=1488．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y210．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．二．耐心填一填11．（3分）已知抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，当x时，y随x的增大而减小．12．（3分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A=40°，则∠B的度数为．13．（3分）已知点A（﹣3，b）与点B（a，2）关于原点对称，则a+b=．14．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是．15．（3分）已知点P（3，2），将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是．16．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是m．三．用心答一答17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）2x（x﹣1）+x﹣1=0．18．已知关于x的方程：3x2﹣kx+1=0的一根是x=1，求k的值以及方程的另一个根．19．抛物线y=2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．20．已知△ABC，点A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（0，2）（2）利用关于原点对称的点的坐标的关系作出与△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．21．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用30m，矩形ABCD的面积S（m2）随矩形边长AB设为x（m）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系（2）当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是上述方程的两个实数根，记，S的值能为6吗？若能，求出此时的k值，若不能请说明理由．23．在△ABC中，∠A=90°，AC=AB，点D再射线BA上（不与B，A重合），连接CD，将CD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BA边上．依题意补全图1作DF⊥BA交CB与点F，若AC=6，DF=2，求BE的长（2）如图2，点D在BA边的延长线上，用等式表示线段CB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）24．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC为等腰三角形，求点P的坐标；②求△AOD面积的最大值，并求出此时点D的坐标．25．如图1点M为x轴上的一点，圆M与x轴交于点B，A，与y轴交于点C，D，设C（0，），A（3，0）（1）求点M的坐标（2）如图2所示，点F为弧AC的上的任一点，点E为弧CF上的中点，AF，DE交于点G，求AG的长（3）如图3所示，连BC，AC，做∠ACG的平分线CF交圆M于点E，连接BE，求的值．参考答案与试题解析一．细心选一选1．（3分）将图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：根据旋转的性质可知，图案按顺时针方向旋转90°，得到的图案是．故选：B．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=1或x=3 D．x=3 或x=0【解答】解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0∴x=0或x﹣3=0，∴x1=0，x2=3．故选：D．3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=﹣3，故选：B．4．（3分）如图，在圆O中，圆心角∠BOC=100°，那么∠BAC=（）A．50°B．60°C．70°D．75°【解答】解：∵圆心角∠BOC=100°，∴∠BAC=50°．故选：A．5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．6．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向右平移3个单位得到的解析式是（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2 D．y=x2+6【解答】解：∵向左平移1个单位，再向上平移3个单位，∴y=（x﹣1+1）2+3+3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2+6．故选：D．7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，∴200（1﹣a%）2=148．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AB=10，CD=8，∴OC=5，CE=4，∴OE===3．故选：D．9．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2【解答】解：∵y=﹣（x+2）2+1，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，﹣2＜﹣1＜2，∴y1＞y2，故选：A．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选：D．二．耐心填一填11．（3分）已知抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小．【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x=1；当x＞1时，y随x增大而减小．故答案为：＞112．（3分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A=40°，则∠B的度数为50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，故答案为50°．13．（3分）已知点A（﹣3，b）与点B（a，2）关于原点对称，则a+b=1．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以得到a=3，b=﹣2，故a+b=1．故答案为：1．14．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．15．（3分）已知点P（3，2），将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是（﹣2，3）．【解答】解：如图所示，将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3），16．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m．【解答】解：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案为：19.6．三．用心答一答17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）2x（x﹣1）+x﹣1=0．【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，x﹣5=0或x+1=0，所以x1=5，x2=﹣1；（2）（x﹣1）（2x+1）=0，x﹣1=0或2x+1=0，所以x1=1，x2=﹣．18．已知关于x的方程：3x2﹣kx+1=0的一根是x=1，求k的值以及方程的另一个根．【解答】解：设方程的另一根为x=m，∵方程的一个根为x=1，∴m×1=，即m=，∵m+1=，∴+1=，解得k=4，∴k的值为4，方程的另一个根为x=．19．抛物线y=2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）将点（﹣3，0）、（1，0）代入解析式可得：，解得：，则抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，开口向上，对称轴为直线x==﹣1；（2）∵y=2x2+4x﹣6=2（x2+2x）=2（x2+2x+1﹣1）﹣6=2（x+1）2﹣8，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．20．已知△ABC，点A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（0，2）（1）作出△ABC；（2）利用关于原点对称的点的坐标的关系作出与△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；（3）由图可知，点A′（3，﹣1）、B′（1，1）、C′（0，﹣2）．21．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用30m，矩形ABCD的面积S（m2）随矩形边长AB设为x（m）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系（2）当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？【解答】解：（1）当AB=x时，BC=60﹣2x，则S=x（60﹣2x）=﹣2x2+60x；（2）根据题意知S=400时，﹣2x2+60x=400，解得：x=10或x=20，∵，∴15≤x＜30，∴x=20，则AB=20米，BC=60﹣40=20米，答：当x为20m时，矩形的面积是400m2，此时长，宽分别是20m、20m．22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是上述方程的两个实数根，记，S的值能为6吗？若能，求出此时的k值，若不能请说明理由．【解答】（1）证明：当k﹣1=0时，则k=1，方程为2x+2=0，解得x=﹣1，方程有实数根；当k﹣1≠0时，则△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0恒成立，即方程有两个实数根，综上可知，无论k为何值，方程总有实数根；（2）解：∵x1，x2是上述方程的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴=+x1+x2=+x1+x2=﹣，令S=6，即﹣=6，解得k=4，即当k的值为4时，S的值为6．23．在△ABC中，∠A=90°，AC=AB，点D再射线BA上（不与B，A重合），连接CD，将CD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BA边上．依题意补全图1作DF⊥BA交CB与点F，若AC=6，DF=2，求BE的长（2）如图2，点D在BA边的延长线上，用等式表示线段CB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）【解答】解：（1）补全图形，如图1所示．由题意可知CD=DE，∠CDE=90°．∵DF⊥BA，∴∠FDB=90°．∴∠CDF=∠EDB．∵∠A=90°，AC=BA，∴∠ABC=∠DFB=45°．∴DB=DF．∴△CDF≌△EDB．∴CF=EB．在△ABC和△DFB中，AC=6，DF=2，∴BC=6，BF=2．∴CF=CB﹣BF=4，即BE=4．（2）BD=BE+CB．理由如下：如图2，过D作DF⊥AB交BC的延长线于点F，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴∠F=∠ACB=∠ABC=45°，∴DF=DB，由旋转可得，∠BDF=∠EDC=90°，CD=ED，∴∠FDC=∠BDE，∴△DCF≌△DEB，∴CF=BE，又∵等腰Rt△BDF中，BF=BD，BF=BC+CF，∴BD=BE+CB．24．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC 为等腰三角形，求点P 的坐标；②求△AOD 面积的最大值，并求出此时点D 的坐标．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ．∴，解得：，∴直线AB 的解析式为y=﹣x ﹣，∴C 点坐标为（0，﹣）．（2）①∵直线OB 过点O （0，0），A （3，﹣3），∴直线OA 的解析式为y=﹣x ．∵△OPC 为等腰三角形，∴OC=OP 或OP=PC 或OC=PC ．设P （x ，﹣x ）（0＜x ＜3），当OC=OP 时，x2+（﹣x ）2=．解得x1=，x2=﹣（舍去），此时P 点坐标为（，﹣）；当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，此时P 点坐标为（，﹣）；当OC=PC 时，x2+（﹣x +）2=，解得x1=，x2=0（舍去）．此时P 点坐标为P （，﹣）．综上所述，P 点坐标为（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）；②作DG ∥y 轴于G ，如图，设D （t ，﹣t2+t ），则G （t ，﹣t ），∴DG=﹣t2+t﹣（﹣t）=﹣t2+t，∴S△AOD=S△ODG+S△ADG=DG•3=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，当t=时，△AOD面积有最大值，最大值为，此时D点坐标为（，﹣）．25．如图1点M为x轴上的一点，圆M与x轴交于点B，A，与y轴交于点C，D，设C（0，），A（3，0）（1）求点M的坐标（2）如图2所示，点F为弧AC的上的任一点，点E为弧CF上的中点，AF，DE交于点G，求AG的长（3）如图3所示，连BC，AC，做∠ACG的平分线CF交圆M于点E，连接BE，求的值．【解答】解：（1）如图1，连接CA、CB、CM、DA、DB，∵x轴⊥y轴，即AB⊥CD，又AB为⊙M直径，∴AB垂直平分C D，∴CO=DO，BC=BD，AC=AD，∵点C坐标为（0，），点A坐标为（3，0），∴CO=DO=，OA=3，设点M坐标为（a，0），则OM=a，∴MC=MA=OA﹣OM=3﹣a，Rt△COM中，CO2+OM2=CM2，可求得a=1，∴点M坐标为（1，0），（2）如图2，连接AC、AD、AQ，∵点M坐标为（1，0），∴OM=1，MB=MA=MC=3﹣1=2，AB=2+2=4，BO=BM﹣OM=2﹣1=1，由勾股定理可求得：BC=BD=2，AC=AD=2．点E为弧CF上的中点，∴=，∴∠1=∠2，又∠1=∠5，∴∠2=∠5，∵AC=AD，∴∠4=∠5+∠6，又∠3=∠4，∴∠3=∠5+∠6，∵∠3=∠2+∠G（三角形外角），∴∠2+∠G=∠5+∠6，∴∠6=∠G，∴AG=AD=2；（2）如图3，过点E作FK⊥AG于点K，连接EA，∵AB为直径，∴∠AEB=∠ACB=90°，∴∠ACG=180°﹣90°=90°，∵CE平分∠ACG．∴∠ACE=∠ECK=∠ACG=45°，∵∠ABE=∠ACE=45°，∠AEB=90°，∴△AEB为等腰Rt△，∴AE=BE===2，∵∠ECK=45°，∠EKC=90°，∴△EKC为等腰Rt△，设CE=m，则CK=KE=m，BK=BC+CK=2+m，Rt△BKE中，BK2+KE2=BE2，即（2+m）2+（m）2=（2）2，解得：m=﹣，∴==．。
2018-2019学年九 年级上期中数学试卷含答案解析
2018—2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形2．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣13．（3分）用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（）A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.94．（3分）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且=，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．185．（3分）如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（）A．B．C．D．6．（3分）某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（）A．5.3米B．4.8米C．4.0米D．2.7米7．（3分）若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠18．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．9．（3分）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（）A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=2010．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D．+1二、填空题11．（3分）已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是．12．（3分）若==，则=．13．（3分）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．14．（3分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为㎡．15．（3分）如图，反比例函数y=的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位．三、解答题16．画几何体的三种视图（注意符合三视图原则）17．解方程：（1）x2﹣4x﹣5=0（2）x2﹣5x+1=0．18．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．19．“泥兴陶，是钦州的一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格销售一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来经过市场调查发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司销售这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答：（1）每只杯应降价多少元？（2）在平均每星期获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售？20．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．21．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．（1）若FD=2，，求线段DC的长；（2）求证：EF•GB=BF•G E．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒（1）当t=4时，求线段PQ的长度（2）当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？（4）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB．参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形【解答】解：如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EH=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC，故四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF=90°∴边形EFGH是矩形．故选：D．2．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：把x=2代入x2﹣ax+2=0，得22﹣2a+2=0，解得a=3．故选：A．3．（3分）用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（）A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9【解答】解：用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，是在大量重复实验中得到的概率的近似值，故A、B、C错误，D正确，故选：D．4．（3分）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且=，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF的面积为（）A．4B．6 C．16 D．18【解答】解：∵=，∴=，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵△AEF的面积为2，∴S△ABC=18，则S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．故选：C．5．（3分）如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为：和．故选：B．6．（3分）某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（）A．5.3米B．4.8米C．4.0米D．2.7米【解答】解：设这棵树的高度为x．∵在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．∴∴x==4.8∴这棵树的高度为4.8米．故选：B．7．（3分）若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1【解答】解：∵双曲线位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，∴k＜1．故选：A．8．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵AH=2，HB=1，∴AB=3，∵l1∥l2∥l3，∴==，故选：D．9．（3分）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（）A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=20【解答】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，由题意得，n（n﹣1）=20．故选：B．10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D．+1【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=．故选：B．二、填空题11．（3分）已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤2且k ≠0．．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠0．故答案为：k≤2且k≠0..12．（3分）若==，则=．【解答】解：设===k，∴x=3k，y=4k，z=6k，∴==，故答案为．[来源:学+科+网]13．（3分）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 4.8．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD==10，∴OA=OD=5，∴S△ACD=S矩形ABCD=24，∴S△AOD=S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故答案为：4.8．14．（3分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为0.81π㎡．【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，∴△OBC∽△OAD∴，∵OD=3米，CD=1米，∴OC=OD﹣CD=3﹣1=2（米），BC=×1.2=0.6（米），∴，∴AD=0.9 S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2．故答案为：0.81π．15．（3分）如图，反比例函数y=的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于4个面积单位．【解答】解：设A的坐标是：（a，b），则ab=2，B的坐标是：（﹣a，﹣b），∴AC=2b，BC=2a，则△ABC的面积是：AC•BC=×2a•2b=2ab=2×2=4．故答案为4三、解答题16．画几何体的三种视图（注意符合三视图原则）【解答】解：．17．解方程：（1）x2﹣4x﹣5=0（2）x2﹣5x+1=0．【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，x﹣5=0或x+1=0，所以x1=5，x2=﹣1；（2）△=（﹣5）2﹣4×1=21，x=，所以x1=，x2=．18．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：=．19．“泥兴陶，是钦州的一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格销售一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来经过市场调查发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司销售这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答：（1）每只杯应降价多少元？（2）在平均每星期获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售？【解答】解（1）设每只杯子降价x元，根据题意，可列方程：（100+10x）（20﹣x）=2240，整理得到：x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6．所以每只杯子应降价4元或6元．（2）因为要保持每星期获利不变，且尽可能利于顾客，因为该公司应使价格尽量低，因此应降价6元．所以有，所以应按原价的九折出售．20．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．21．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵已知反比例函数经过点A（1，﹣k+4），∴，即﹣k+4=k，∴k=2，∴A（1，2），∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），∴2=1+b，∴b=1，∴反比例函数的表达式为．一次函数的表达式为y=x+1．（2）由，消去y，得x2+x﹣2=0．即（x+2）（x﹣1）=0，∴x=﹣2或x=1．∴y=﹣1或y=2．∴或．∵点B在第三象限，∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．（1）若FD=2，，求线段DC的长；（2）求证：EF•GB=BF•GE．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴==，∴FC=3FD=6，∴DC=FC﹣FD=4；（2）证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴=，=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE，∴=，∴EF•GB=BF•GE．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒（1）当t=4时，求线段PQ的长度（2）当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？（4）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB．【解答】解：（1）当t=4时，由运动知，AP=4cm，PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm，∴PQ==10cm；（2）由运动知，AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，∵△PCQ是等腰三角形，∴PC=CQ，∴10﹣2t=2t，∴t=2.5（3）由运动知，AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，∴S△PQC=PC×CQ=t（10﹣t）=16，∴t1=2，t2=8，当t=8时，CQ=2t=16＞15，∴舍去，∴当t=2时，△PQC的面积等于16cm2；（4）由运动知，AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，∵△PCQ∽△ACB，∴，∵AC=10，B C=15，∴，∴t=．。
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2018-2019学年度上学期期中考试 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟）
卷一（请将正确选项涂在答题卡上）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四
1. 下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( ) A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正方形 D ．正三角形 2．二次函数y ＝1
2x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( )
A ．(1，2)，x ＝1
B ．(－1，2), x ＝－1
C ．(－4，－5)，x ＝－4
D ．(4，－5)，x ＝4
3．抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4．将y ＝(2x －1)(x ＋2)＋1化成y ＝a(x ＋m)2＋n 的形式为( ) A ．y ＝2(x ＋34)2－2516 B ．y ＝2(x －34)2－17
8
C ．y ＝2(x ＋34)2－178
D ．y ＝2(x ＋34)2＋17
8
5．抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A ．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B ．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C ．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D ．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
6．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的解析式为y ＝－1
4x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽
12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )
A ．3 m
B ．2 6 m
C ．4 3 m
D ．
9 m
,(第8题图))
,(第10题图))
8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①a ＋b ＋c<0；②a －b ＋c>1；③abc>0；④4a －2b ＋c<0；⑤c －a>1.其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤
9．下列方程采用配方法求解较简便的是( ) A ．3x 2＋x －1＝0 B ．4x 2－4x －8＝0 C ．x 2－7x ＝0 D.()x －32＝4x 2
10．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为( ) A ．x ＝10，y ＝14 B ．x ＝14，y ＝10 C ．x ＝12，y ＝15 D ．x ＝12，y ＝12
11. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )
A ．0＜t ＜1
B ．0＜t ＜2
C ．1＜t ＜2
D ．－1＜t ＜1
12. 如图，O 是等边三角形的旋转中心，∠EOF ＝120°，∠EOF 绕点O 进行旋转，在旋转过程中，OE 与OF 与△ABC 的边构成的图形的面积( )
A ．等于△ABC 面积的13
B ．等于△AB
C 面积的1
2 C ．等于△ABC 面积的1
4 D ．不能确定
13. 点P 1（-1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =-x 2
+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A.y 3＞y 2＞y 1
B.y 3＞y 1=y 2
C.y 1＞y 2＞y 3
D.y 1=y 2＞y 3
14. 如图，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中线段DF 的长与DB 相等，将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论． 甲：线段AF 与线段CD 的长度总相等；
乙：直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数不变． 那么，你认为( )
A ．甲、乙都对
B ．乙对甲不对
C ．甲对乙不对
D ．甲、乙都不对
15. 如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ′OB ′.若点A 的坐标为(a ，b)，则点A ′的坐标为( )．
A . (－b ，a) B. (b ，a) C. (－b ，-a) D. (b ，-a)
16. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数解析式为y ＝－16x 2＋13x ＋3
2，绳子甩到最高处时刚好通过站在点(2，0)处跳绳的学生小明的头顶，则小
明的身高为( )m .
A.1.6
B.1.5
C.1.4 D1.3
14题图 15题图
12题图
2018-2019学年度上学期期中考试九年级数学试题卷二
2分.
把答案写在题中横线上）
17.如图，把抛物线y＝
1
2x
2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6，0)和原点(0，0)，它的
顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝
1
2x
2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．
(第17题图) (第19题图)
18.在二次函数y＝
2
则m的值为．
19.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋
转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为，∠APB＝．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
20. (本题8分）
（1）用公式法解方程x2-3x-7=0．（2）解方程：4x（2x-1）=3（2x-1）
21. (本题7分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是
A（-1，-1），B
（-4，-3），C（-4，-1）．
（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A’B’C’；
（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得
到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
22.(本题8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针
旋转50°，点P旋转后的对应点为点P′.
(1)画出旋转后的三角形；
(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C
的度数．
23. (9分)如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，
点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC.
(1)求点C的坐标；
(2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．
24. (10分)已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
25. (本题12分）
感知：如图①，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)．连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转90°，得到DE ，连接BE ，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，可知△ADF ≌△EDB ，则∠ABE 的大小为________．并说明理由.
探究：如图②，在△ABC 中，∠C ＝α(0°＜α＜90°)，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转α，得到DE ，连接BE ，求证：∠ABE ＝α. 应用：设图②中的α＝60°，AC ＝2.当△ABE 是直角三角形时，AE ＝________．并说明理由
.
26. (本题12分）
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：
(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；
(2)如果这位专业户计划用8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润w 万元，求出w 与m 之间的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
(3)若该专业户想获利不低于22万元，在(2)的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m 的范围．。