河北省衡水中学2020届高三年级第十次调研考试数学(文)试卷(有答案)
2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学(文)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|23,}B x x x =-≤<∈Z ，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭， {|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ，所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为3.故选:B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2．已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由1z i i ⋅=-，得1i1i iz -==--， 所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--， 所以对应点位于第三象限. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。
为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ） A ．83.5；83 B ．84；84.5C ．85；84D ．84.5；84.5【答案】B【解析】根据茎叶图，即可求出A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数. 【详解】解：A 小区“空巢老人”年龄的平均数为7878818584859091848+++++++=，B 小区“空巢老人”年龄的中位数为848584.52+=.故选：B 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题. 4．已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】D【解析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增， 且522π<<，所以a c b <<. 故选:D. 【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ） A ．518B ．13C ．718D ．49【答案】C【解析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6．4sincos 3615tan4πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ）A ．34B．4C ．34-D ．14-【答案】A【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】4sincos sin cos 33636221514tan tan 44ππππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题. 7．已知函数()y f x =的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．21cos 1xx -+ B ．2||1sin1x x ++ C ．2sin 1xx + D ．2sin 1x xx ⋅+ 【答案】D【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C ，再取特殊值，即可求解.由图可知，该函数的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 为偶函数， 所以选项C 不符合；又因为()0f π=，所以选项A ，B 不符合. 故选:D. 【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题. 8．已知向量()1,2a =，()2,1b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则b 在c 上的投影为（ ）A ．B ．CD ． 【答案】A【解析】首先求出a b +的坐标，根据()a b c +⊥，则()0a b c +⋅=得到x ，y 的关系式，由||cos ,||b cb bc c ⋅〈〉=计算b 在c 上的投影. 【详解】解：由()1,2a =，()2,1b =-，得()1,3a b +=-， 所以()a b c +⊥，则()0a b c +⋅= 得30x y -+=，3x y ∴=所以b 在c 上的投影为22||cos ,2||b c x b b c c x ⋅-+〈〉====±+． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．-2 B ．-6C ．-8D ．-12【答案】D【解析】将初始值10S =，1n =代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论. 【详解】当10S =，1n =不满足条件；执行第一次循环：1028S =-=，2n =，不满足条件； 执行第二次循环：28(2)12S =+-=，3n =，不满足条件； 执行第三次循环：312(2)4S =+-=，4n =，不满足条件； 执行第四次循环：44(2)20S =+-=，5n =，满足条件；执行第五次循环：520(2)120S =+-=-≤，6n =，满足条件，退出循环，所以输出S 的值为-12. 故选:D. 【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.10．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F 的直线的斜率在(,)b ba a-之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出ba的范围，从而求出离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题. 11．在如图所示的平面四边形ABCD 中，4AB =，30CAB ∠=，AC CB ⊥，120ADC ∠=，则22DA DC +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B【解析】在ABC 中由三角函数求出AC ，在ADC 中由余弦定理得2212DA DC DA DC =++⋅，再由基本不等式可得222DA DC DA DC ≥+⋅即可求出22DA DC +的最小值.【详解】解：在ABC 中，因为30CAB ∠=︒，AC CB ⊥，所以cos AC BAC AB ∠=cos 42AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯=在ADC 中，因为120ADC =∠︒，所以由余弦定理得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即2212DA DC DA DC =++⋅，又由不等式的性质可知222DA DC DA DC ≥+⋅，即得222DA DC DA DC +⋅≤，所以()22223122DA DC DA DC DA DC =++⋅≤+，从而228DA DC ≥+，当且仅当2DA DC ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题. 12．已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()f x 转化为关于1x的二次函数，配方求出()f x 的最小值，只需min ()0f x <，解关于θ的不等式，即可得出结论.【详解】2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可化为222112cos (12cos )()cos 1sin cos 2cos 4cos 112cos 4sin cos 1cos ,2cos 4cos f x x xθθθθθθθθθθθθθ++⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭+-⎛⎫=-+⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当01x <<时，11x >，所以当112cos 2cos x θθ+=时，min 4sin cos 1()4cos f x θθθ-=，由题意可知，min ()0f x <，所以4sin cos 10θθ-<，从而得到12sin 21sin 22θθ<⇒<， 所以026πθ<<或520612ππθπθ<<⇒<<或5122ππθ<<. 故选:C. 【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题. 二、填空题13．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】求导，求出(1),(1)f f '，即可得出结论. 【详解】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)， 所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-， 令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 故答案为:-2 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14．已知椭圆22:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为________.【答案】4【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出a 的值，即可求解. 【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得|||MF MF '+=即4MF '+=.∵O 为线段FF '的中点，N 为线段MF 的中点，由中位线的性质得2||4MF ON '==，代入（）式，解得16a =，故其离心率4e ==.故答案为:4. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为________. 【答案】6【解析】由424a =，696a =，且90a >，得0q >，求出公比q ，进而求出{}n a 通项公式和前n 项和n S ，然后解93n S >不等式，即可得结论 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由424a =，696a =，得2644a q a ==，所以2q 或2q =-， 又因为90a >，所以2q，从而3411242243a a a =⇒⨯=⇒=，所以()()113211n n n a q S q -==⨯--.令()93329312325nnn S n >⇒⨯>⇒>⇒>-， 又因为*n ∈N ，所以min 6n =. 故答案为:6 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和n S 基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=与x 轴，y 轴的正方向分别交于点A ，B ，点P 为劣弧AB 上一动点，且OQ OA OP =+，当四边形OAQP 的面积最大时，OQ 的值为___________.【解析】设AOP θ∠=，因为OQ OA OP =+，所以四边形OAQP 为平行四边形，所以2sin OAQP AOPS S θ==，当sin 1θ=时取得最大值，即可求出Q 点的坐标，则OQ的值可求. 【详解】 解：如图所示：则1,0A ，()0,1B ，因为点P 在圆弧221(0,0)x y x y +=≥≥上运动，所以可设AOP θ∠=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则()cos ,sin P θθ，因为OQ OA OP =+，所以四边形OAQP 为平行四边形， 所以12211sin sin 2OAQP AOPS Sθθ==⨯⨯⨯⨯=，当sin 1θ=时，OAQP S 最大，此时点P 与点B 重合，点()1,1Q ，()1,1OQ ∴=||2OQ ∴=.【点睛】本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题17．在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N.（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，()*12n Na n n +∈=，(2)3(23)nn +【解析】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.参考数据：【答案】（1）有, （2）21【解析】（1）根据列联表求出2K，比较数据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】18.解：（1）22100(35361514)3005050514917.64710.82178 K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯>⨯，所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关. （2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为5:2，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a ，b ，e ，d ，e ；女性2人分别为A ，B ， 从7人中任意选取2人的所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，aA ，aB ， bc ，bd ，be ，bA ，bB ，cd ，ce ，cA ，cB ，de ，dA ，dB ，eA ，eB ，AB ， 共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以1121P =， 所以这2人中至少有一名女性的概率为1121. 【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题. 19．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AA AB a ==. （1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）证明见解析，（2 【解析】（1）AB BC ⊥ ，1AA ⊥ 底面ABC ，可证BC ⊥平面11A ABB ，即可求证； （2）取11B C 的中点F ，连接1A F ，可证1A F ⊥平面11BCC B ，求出三棱锥11A B BC V -，根据等体积法，1111B A BC A B BC V V --=，求出1A BC ∆的面积，即可求解. 【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1BC AA ⊥， 又BC AB ⊥，1ABAA A =，所以BC ⊥平面11A ABB ，又1AB ⊂平面11A ABB ，所以1BC AB ⊥.（2）设点1B 到平面1A BC 的距离为d ，所以1111B A BC A B BC V V --=， 由题可知，所有棱长均为2a ，所以在1A BC 中，2BC a =，11A B AC ==，所以12122A BCSa =⨯=. 取11B C 的中点F ，连接1A F ，由题易知111A F B C ⊥， 从而得到1A F ⊥平面11BCC B ，所以1A F 是点1A 到平面1B BC 的距离，所以1A F =，又1212222B BCSa a a =⨯⨯=， 所以由等体积法1111B A BC A B BC V V --=可知，1111133A DCB DCS d S A F ⨯⨯=⨯⨯，2227d a d ⨯=⇒=，所以点1B 到平面1A BC . 【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点(),M x y 1y =+.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点()00,P x y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作曲线C '的切线12,l l ，证明12,l l 的交点必在曲线C 上. 【答案】（1）214y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）将方程两边平方化简即得解；（2）求出曲线在()00,P x y 处的切线方程，联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，设2111,4A x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别求出曲线C '上在A ，B 两点处的切线1l ，2l 的方程，求出1l ，2l 的交点，即可得证.【详解】（1|1|y =+， 两边平方并化简，得24x y =， 即214y x =， 所以点M 的轨迹C 的方程为214y x =. （2）由（1）及题意可知曲线C '：214y x =-，又由214y x =知12y x '=， 所以点()00,P x y 处的切线方程为()00012y y x x x -=-， 即20001122y x x x y =-+， 又因为点()00,P x y 在曲线C 上， 所以20014y x =， 所以切线方程为2001124y x x x =-， 联立2002112414y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 整理得220020x x x x +-=，>0∆，设2111,4A x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1202x x x +=-，2120x x x =-，（）又由214y x =-，得12y x '=-， 所以曲线C '上点2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线1l 的方程为()21111142y x x x x +=--， 即2111124y x x x =-+， 同理可知，曲线C '上点2221,4B x x ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线2l 的方程为2221124y x x x =-+， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，121224x x x x x y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩ 又由（）式得1202012244x x x x x x x y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 所以1l ，2l 的交点为20,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点在曲线C 上，故1l ，2l 的交点必在曲线C 上. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线综合问题，属于中档题. 21．已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R . （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，极大值为1ln 22-，无极小值，（2）当2e m <-时，函数()f x 没有零点；当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点；当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【解析】（1）求导，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）求导，求出()f x 单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对m 分类讨论，即可求解.【详解】由题得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当2m =-时，2()ln 21f x x x =-+，所以1(12)(12)()4x x f x x xx-+'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 所以当12x =时，()f x 有极大值， 且极大值为21111ln 21ln 22222f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值.（2）由2()ln 1f x x mx =++，得2112()2mx f x mx x x+'=+=. 当0m ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，当10m x e--<<时，()()211()110m m f x f em m e----<=--++≤，又(1)10f m =+>，所以函数()f x 有且只有一个零点；当0m <时，令()0f x x '=⇒=，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为2111ln 1ln 222f m m ⎛⎫=+⨯+=-+ ⎪⎝⎭， ①当111ln 0222m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即得11ln 1ln 2m e ⎛⎫-<-= ⎪⎝⎭时， 解得2e m <-，此时函数()f x 没有零点；②当111ln 0222m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2e m =-时，函数()f x 有1个零点； ③当111ln 0222m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即02e m -<<时，()2442110f e me me ---=-++=-+<.当1x >时，令()ln g x =x-x ， 则1()10g x x'=-<在(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)1g x g <=-，即ln 1x x <-， 所以221()ln 1f x x mx x mx mx x+m ⎛⎫=++<+= ⎪⎝⎭， 故当1x >且1x m>-时，()0f x <.当02e m -<<时，有21e m-<<-， 所以函数()f x 有2个零点.综上所述：当2em <-时，函数()f x 没有零点； 当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点； 当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）6cos 8sin ρθθ=-，（2 【解析】（1）利用22sin cos 1θθ+=，消去参数，将曲线C 的参数方程化为普通方程，再运用 cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l 具有几何意义的参数方程，代入曲线C 普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为222(3)(4)5x y +=-+， 即22680x x y y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，代入上式得6cos 8sin ρθθ=-.（2）直线l的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），将2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22680x x y y -++=，整理得280t +-=，设点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，128t t =-，1832500∆=+=>， 因为1t ，2t 异号，所以1212121111||||8t t PM PN t t t t -+=+===.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--. （1）当2a =时，解不等式()3f x x ≥； （2）当12x ≥时，不等式2()4f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（2）512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当2a =时，不等式()3f x x ≥，即为|224||3|x x x -+-≥， 当4x ≤-时，由4223x x x --+-≥，得3x ≤-，所以4x ≤-， 当41x -<<时，由4223x x x ++-≥，得20≥，所以41x -<<，当1x ≥时，由4223x x x +-+≥，得32x ≤，所以312x ≤≤， 故不等式()3f x x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）当12x ≥时， 22()4|2|f x x ax x x ≥-⇔-≤+， 由2|2|ax x x -≤+，得2211x a x x x-+-≤≤++，当12x ≥时，由基本不等式得211x x++≥，当且仅当2x x=，即x = 因为函数21y x x =-+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以当12x =时，21y x x=-+-取最大值为52，故实数a 的取值范围是512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.。
衡水中学2020年高考第十次调研试题文数答案
所以在 8,10和 10,12两组中分别抽取 30 人和 20 人，
…………………8 分
在抽取 5 人，两组分别抽取 3 人和 2 人，将 8,10 组中被抽取的工作人员标记为 A1 ，A2 ，A3 ， 将 10,12中的标记为 B1 ， B2 。设事件 C 表示从 10,12小组中至少抽取 1 人，
2
3
2.
2 四棱锥 D ABCE 的体积的最大值为
…………………6 分
（过又2点）CF过F作点//FCAPE作//，CAFDAE/交/ ADE平B交面于A点ABDP于E，点，连FC接F，P则C平AF，面FB则ADPD13BPE，， 13 微C信F公公//众平号《面免费A下D载站E》
FP // AD ， AD 平面 ADE ， PF 平面 ADE ， FP // 平面 ADE
由题意可得：
a2 a3
b2 b3
3 7
，则
1 1
d q 2d q2
3
7
…………………3 分
d q 4
d 2 d 4
即 2d
q2
，解得
8
q
2
或 q
0
（舍去）
因此 bn 的通项公式为 bn 2n1 .
…………………6 分
（2）由题意可得：T3
b1
b2
b3
，则
T3 1
b1 d
1
则抽取的情况如下：A1, A2 ，A1, A3，A1, B1，A1, B2 ，A2 , A3，A2 , B1，A2 , B2 ，
A3 , B1， A3 , B2 ， B1, B2 共 10 种情况，其中在 10,12中至少抽取 1 人有 7 种，则
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学(含答案解析)
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合P={}0,1，M={}|x x P ⊆，则集合M 的子集个数为（ ）A.32B.16C.31D.642. 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=A.34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π4. 已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）5.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则’’01q <<”是.{}n a 为递减数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()21f x -定义域为[]0,3则 ()21f x -的定义域为（ ）A.（0，92） B.902⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.(9,2-∞) D.(9,2⎤-∞⎥⎦7.在平行四边形ABCD 中，AB=8，AD=5，3CP PD =，2APBP =, AB AD ⋅=( )A,22 B.23 C.24 D.258. sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ）A.333 B.233 C.332 D.2329. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.89x=1 y=1z=x+y50?z ≤x=y开始输出z是否10. 如图，一几何体正视图，俯视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是( )11. 设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．312. ()f x 与()1f x +事定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时()f x =sin x x -，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2f π⎛⎫⎪⎝⎭为( ) A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=___________________14. x,y 自变量满足x ≥0y ≥24y x +≤x y S +≤当35S ≤≤时，则32x y Z =+的最大值的变化范围为___________________15. 函数ay x =为偶函数且为减函数在()0,+∞上，则a 的范围为___________________16. 已知函数()f x =()lg ,0x x -<264,0x x x -+≥，若关于x 的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是___________________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. cos cos 1αβ=-，求()sin αβ+正侧俯18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.()()2211221221212120.1000.0500.010,2.7063.841 6.635p x k n n n n n x n n n n k ++++-=≥19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ， 求证PQ 面BCE20. 已知椭圆中()222210x y a b a b +=>>长轴为4离心率为12，点P 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l 交y 轴于点A ，直线l'过点P 且垂直于l 交y 轴于B ，试判断以AB 为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由21. 设函数()()()21xf x x e kxk R =--∈当1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22. 选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. 选修4－5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜2x －a ｜＋a.（Ⅰ）若不等式f （x ）≤6的解集为{x ｜－2≤x≤3}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使f （n ）≤m－f （－n ）成立，求实数m 的取值范围参考答案1. B考点：集合的子集问题 设有限集合A ，card ()A =n ()*n N ∈子集个数2n ，真子集21n -，非空真子集22n - 解析：M={}|x x P ⊆ P={}0,1则x 有如下情况：{}{}{},0,1,0,1φ 则有子集为42216n== 注意点：该类型常错在空集φ 2. A【解析】3. B 【解析】4. A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图 5.D考点:充分条件与必要条件的判定解析：若111,2a q =-=，则数列前n 项依次为-1，-11,24-，显然不是递减数列 若等比数列为-1，-2，-4，-8显然为递减数列，但其公比q=2，不满足01q综上01q 是{}n a 为递减数列的既不充分也不必要条件注意点：对于等比数列，递减数列的概念理解，做题突破点;概念，反例 6.B考点：关于定义域的考察解析：[][][]220,30,911,8x x x ∈∈-∈-所以[][]9211,8210,90,2x x x ⎡⎤-∈--∈∈⎢⎥⎣⎦所以定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦注意；一般题目中的定义域一般都是指x 的范围类似的题目：已知()f x 定义域为[]()()0,4,11f x f x ++-的定义域是？ 考点；对定义域的问题考察的综合应用解析:[][][]0,411,511,3x x x ∈+∈-∈-所以综合在一起的定义域是[]1,3 注意;定义域在一定题目中指的是x 范围，但每个题目中的x 的取值是一样的 所以在这些关系中取这三个范围中都包括的范围 7.A考点；利用不同方法求解 解析：法一：坐标法 设A坐标原点B()8,0 设DAB θ∠=所以()5cos ,5sin D θθ所以()5cos 2,5sin P θθ=+AB AD ⋅=()8,0()5cos ,5sin θθ=40cos θAP BP ⋅=()5cos 2,5sin θθ+()5cos 6,5sin 2θθ-=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以AB AD ⋅=22法二；AP BP ⋅=13244AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以AP BP ⋅=1344AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=223134416AD AD AB AB AD AB -⋅+⋅-=25-13*642216AD AB ⋅-= 所以AB AD ⋅=22 注意；巧妙运用题目关系并且记住题目中条件不是白给的，一定要用 8.B考点：函数最值方面的考察解析：方法一；sin cos y x a x =+=当53x π=时，122y a =-+=平方得：22311424a a a -+=+ 求得3a =- 3= 方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以12= 所以a = =注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为09. B【解析】10.B解析：由三视图可得1hr所以22r h +=1 ()()223111113333V sh r h h h h h πππ===-=- 将V 看成函数 ()21'133V h π=- 所以当213h =时取得最值 22213h r h -== 所以63r =注意：可以将几何和函数相结合11. A 【解析】12.A 解析：32f ⎛⎫-⎪⎝⎭=31222f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2f π⎛⎫⎪⎝⎭=222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则3122222f f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin f x x x =- ()'1cos 0f x x =->恒成立∴()f x是单调递增1222π>-∴12022f fπ⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴原式>0恒成立注意点：若关于轴x a=对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于点(),0a对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于(),a a对称，T=4a ()()22f x a f a x=--考点：在利用余弦转化时符号的正确利用解析：c=2 b=3 ()cos1a c B AB BCπ⋅⋅-=⋅=22225cos24a cb aBac a+--==()cos2cos1ac B B aπ-=-⋅=1cos2a B=-∴25142aaa-⋅=-∴252a-=∴23a=a=注意；()cos cosB Bπ-=-注意正负号AB BC⋅夹角是cos B-BA BC⋅夹角是cos B AB CB⋅夹角是cos B14. []7,8考点：线形规划中范围的判断解析：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B()0,4处取得∴代入248Z=⨯=∴综上范围是[]7,815. a 0<且a 为偶数考点:偶函数的定义，幂函数定义的考察 解析：为减函数 ∴a 0< 为偶函数 ∴a 为偶数类似的，若ay x =为奇函数，减函数在(),a +∞上，求范围解析：为减函数 ∴0a <为奇函数 ∴a 为奇数注意；幂函数ay x =的定义性质必须弄懂 16. 172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 解析：()226435x x x -+=--∴()()210f x bf x -+=在[]0,4上有2个根令()t f x = 210t bt -+=在[]0,4上有2个根>()0,42b∈()00f >()40f≥所以解得b ∈172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根 最后利用根分布求范围 17. 考点:对特殊函数值的理解 解析：cos 1α≤ cos 1β≤∴cos ,cos αβ中肯定一个为1，一个为-1若cos 1α=，则cos 1β=- 则2,2k k απβππ==+∴()41k αβπ+=+ ∴()sin 0αβ+= 反之也成立注意：cos α，cos β，sin ,sin αβ取值范围可利用取特值法进行分析 18. 【答案】 （1） 有95%的把握认为有关（2） 107【解析】（1）22100(60102010)1004.762 3.8418020703073x -==≈>所以，有95％的把握认为“南方和北方的学生在甜品饮食方面有差异”（2）10776116111035==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有欢甜品的情况有种；其中，没有学生喜人，共有人中选从19. 解析：证明： 证法一：如图作PMAB 交BE 于M ，作QN AB 交BC 于N 连接MN正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ∴AE=BD 又AP=DQ ∴PE=QB又PM AB QN ,PM PE QB QN BQAB AE BD DC BD∴===PM QNAB DC∴=PM ∴QN 且PM=QN 即四边形PMNQ 为平行四边形 PQ MN ∴又MC ⊂面BCE PQ ⊄面BCE∴PQ 面BCE证法二：如图连接AQ 并延长交BC 的延长线于K ，连接EKAE BD = AP DQ = PE BQ ∴= AP DQPE BQ∴= 又AD BK DQ AQ BQ QK ∴= AP AQPE QK∴= PQ EK ∴ 又PQ ⊄面BCE EK ⊂面BCEPQ ∴面BCE证法三：如图，在平面ABEF 内，过点P 作PMBE ，交AB 于M ，连接QMPM 面BCE ，且AP AMPE MB=又AE BD = AP DQ = PE BQ ∴=AP DQ PE BQ ∴= AM DQMB QB∴= MQ AD ∴ 又AD BC MQ BC ∴ MQ ∴面BCE又PM MQ M ⋂= ∴面PMQ 面BCE 又PQ ⊂面PMQ PQ ∴面BCE注意：把线面平行转化为线线平行时必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行20.解析：22143x y += 设P 为()00,x y ，P 为切点且P 在椭圆上 设l 为00143x x y y += l ’与l 是垂直的∴'l 为0034x x x ym -=直线l 过P ()00,x y 点代入 000034x y x y m ∴-= 0012x ym ∴= ∴'l 为00034y x x ym --= 在l 中令0x =得030,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在'l 中令0x =得00,3yB ⎛⎫- ⎪⎝⎭AP BP ⊥ 0PA PB ∴⋅= 200303y x y y y ⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22003103y x y y y ⎛⎫∴++--= ⎪⎝⎭过定点与P ()00,x y 无关 0y ∴= 21x ∴= 1x =±∴定点为()1,0或()1,0-思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x 与y 前的系数好互例 体现在l ’与l 是垂直的∴0034x x x ym -=21.解析：解析：()()21x f x x e kx =--()()'20x f x x e k =-=可得120,ln 2x x k ==]1,12k ⎛∈ ⎝则](21,2k ∈ ](ln 20,ln 2k ∴∈ 令21x x >ln2k()()0ln 2k ln 2k,k ∴↓↑在，图像为ln2kk由图像可知最大值在0处或k 处取得()()()k 3f k f 0k 1e k 1∴-=--+()()()()()k 2k 2k 1e k 1k k 1k 1e k k 1=---++=----令()k 2h k e k k 1=--- ()k h'k e 2k 1=-- ()k h''k e 20=-= k=ln2∴ln2121在]112,⎛⎝上先减后增()h'1e 30=-< 1h 'e 202⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ()max h'k 0∴< 即()h k 单调递减()max 1137h k h e e 2424⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭又()()49e 0f k f 0016-<∴-> ()()()()k 3k 3max f x f k k 1e k k 1e k ∴==--=--思路点拨：本题的精华点在于导函数与原函数的穿插运用，注意图像中导函数与原函数的图像可知 解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB ADAF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23. （Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，经变换为C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. 解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。
河北省2020届高三下学期十调考试数学文试题
20207学年度下学期高三年级十调考试高三年级数学试卷 （文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}2,20,1,0,1,2U Z A x Z x x B ==∈--≥=-，则()U C A B ⋂=（ ） A ．{}1,2- B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,22. .设复数z 满足()113i z i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.“()2log 231x -<”是“48x>”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4.函数2ln y x x =+的图象大致为5.已知变量,x y 满足：()220,230,20,x yx y x y z x +-≤⎧⎪-+≥=⎨⎪≥⎩则的最大值为(A)2 (B) 22 (C) 2 (D) 46、若函数()()2sin 0f x x ωω=>的图象在()0,2π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 （A ）24,33⎛⎤⎥⎝⎦ （B ）35,44⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）44,53⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）23,34⎛⎤⎥⎝⎦7. 已知函数，若f （x 1）＜f （x 2），则一定有（ ）A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．D ．8. 若输入m=8251,n=6105,则输出的m=（ ）A 73 B. 37 C 21 D 09下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 32πB. 48πC. 50πD. 64π10.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( ) A ．{}1x x ≠± B ．(1,1)- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,0)(0,1)-11．.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，12,A A 是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12i P A A ∆构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．51(1,)+ B ．51(2,)+ C ．61(1,)+ D ．61(2,)+ 12．函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，22['()]['()]0,()()0f f f f αβαβ+=+= （其中,R αβ∈且αβ≠），则下列选项中一定是方程()0f x =的根的是（ ）A ．3b a -B ．2b a -C ．3c aD ．2c a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13、已知数列{a n }中，a 1=2，且，则其前9项的和S 9= ．14．已知平面向量(0,1),(2,2),2a b a b λ=-=+=，则λ的值为 15. .抛物线C ：2y =2px (p>0)的焦点为F ，A 为C 上的点，以F 为圆心，2P为半径的圆与线段AF 的交点为B ，∠AFx=60°,A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB =16、已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为 ．17、（12分）已知数列{a n }满足： ++…+=（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n a n+1，S n 为数列{b n }的前n 项和，对于任意的正整数n ，S n ＞2λ﹣恒成立，求S n 及实数λ的取值范围．18．（12分）某班级数学兴趣小组为了研究人脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据： 序号12 3 4 5 6 7 8 9 10 身高x （厘米） 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166 脚长y （码） 48384043443740394639序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高x(厘米) 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170 脚长y （码）43 414043404438423941（Ⅰ）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y 关于x 的线性回归方程（Ⅱ）若“身高大于175厘米”为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”为“大码”,“脚长小于等于42码”的为“非大码”。
2020年衡水中学高三一调数学试卷(文科)
试卷类型：B2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间120分钟，试卷总分150分.命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！一、选择题 1．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2．已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ①3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；①命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈，2230x x --≥；①“指数函数x y a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．是虚数单位，复数（ ） A ． B ．i 5225ii-=+i -iC ．D ．4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ⋂=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．//m α，//n β且//αβ，则//m n5．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．7+3√5B ．7+2√5C ．112+3√5D ．112+2√57．已知平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30°，且||23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A．B．C ．2 D ．48．函数f(x)=cosπx x 2的图象大致是（ ）21202929i --4102121i -+A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11{1}(,]22-- C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--10．设函数||||()x x x e f x e+=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，①4M N +=，①211MN e =-，①11M e N e +=-，其中一定成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值12．已知函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，当x >1时，f(x)>0，对任意的x,y ∈(0,+∞)，f(x)+f(y)=f(x ⋅y)成立，若数列{a n }满足a 1=f(1)，且f(a n+1)=f(2a n +1)(n ∈N ∗)，则a 2017的值为（ ） A ．22014−1 B ．22015−1 C ．22016−1 D ．22017−1二、填空题13_________.14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；①曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ①2(2)y x =+与2x =- ①x y e =与1y x =+ ①sin y x =与y x = ①tan y x =与y x =15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．16．已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)相切于第一象限的点P(x 0,y 0)，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠F 1PF 2=60°(F 1、F 2是椭圆的两个焦点)，若此时在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2的平分线的长度为√3ma ，则实数m 的值是__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A①B①C 的对边分别为a①b①c①R 表示△ABC 的外接圆半径. ①①）如图，在以O 圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中BC ＝2,∠ABC ＝45°，求弦AB 的长;(①)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2+b 2<4R 2;(①)给定三个正实数a 、b 、R ，其中b ≤a ，问：a①b①R 满足怎样的关系时，以a①b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a①b①R 表示c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类()5110i i x x =-=∑180≈；B 类()5110i i x x =-=∑60≈；C 类()5110i i x x =-=∑63≈；（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .=-，2025r .=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为62ˆˆy .x a =+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数()()niix x y y r --=∑，线性回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，()()niix x y y ˆb--=∑ˆˆa y bx =-．19．（本题满分12分） 如图，ΔABC 的外接圆⊙O 的半径为√5，CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，CD =4，BC =2，且BE =1，tan∠AEB =2√5．（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG①A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．21．设函数()()e 1e 1x xf x x a =+-+，a ∈R .（I ）求函数()f x 的单调区间；（①）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。
衡水中学2020年高考第十次调研试题理数参考答案
ABD与ACD 的外接圆相同（四点共圆），所以三棱锥 P ABD ，三棱锥 P ACD 的外
接球相同，所以 S1 S2
三．解答题：（共 70 分）
17.解：（1）由
0
A
，
cos
A
2 3
，得
sin
A
5 ，…………………………1 分 3
所以 sin B sin 2 A 2 sin A cos A 2 5 2 4 5 ，…………………………3 分 33 9
高三年级第十次调研考试
数学（理科）参考答案
一．选择题： DDCBC DCACA BD
1.【解析】 B x 0 x 4 A x Z x 1 A B 1,2,3故选 D.
2.【解析】 z2 1 b2 2bi 3 4i,b 2, z 1 2i, z 1 2i .故选 D.
3.【解析】设等比数列{an} 公比为 q ，则
由正弦定理 a b ，可得 a b sin A 6 .…………………………6 分
sin A sin B
sin B
（2）
cos
B
cos
2
A
2
cos
2
A
1
2
2 3
2
1
1 9
，…………………………8
分
在 ABC cos C cos( A B) sin Asin B cos A 在 ACM 中，由余弦定理得： AM 2 AC 2 CM 2 所以， AM 305 .…………………………12 分
f (0) 0 3；
50
后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率2 5
1 25
所以，所求事件概率为：
P1
P2
1 10
河北省衡水中学2020届高三下学期十调考试语文试题 PDF版含答案
高三年级第十次调研考试语文试卷答案1.D（A“囊括”词义过重，范围扩大；B唐代贡瓷、宋代名瓷多在北方，原文“唐代河南府有贡瓷”“至宋，著名的陶业多在北方”可知，另外，“这”原文不代唐代贡瓷、宋代名瓷；C“河患”不是最重要的原因，从原文“北方社会之屡受摧残，更甚于河患”可知）2.C（“都按朝代先后顺序”以偏概全，如讲“北方社会之屡受摧残”，从唐中叶到五代，接着到唐后期、安史乱后，最后讲到宋辽、宋夏对峙到安史乱后，这些不是全按时代先后顺序）3.A（“因为战乱，所以北方许多精英都往南方迁徙”无中生有，其原因不一定是战乱；另外，导致应举与宰相人数南多的原因有很多，不全在战乱）4.A（以偏概全，人力保证也是因素之一）5.C(从材料三2015年与2014年对比可以看出，并不是一直逐年增加)6.①国家制度：全面贯彻了“一国两制”的方针政策，中央政府和祖国内地的大力支持。
②特区政府：坚持了适合本地经济发展的基本原则，扎实进行经济重建；特区政府的积极作为和澳门社会各界的团结奋斗。
③博彩业：在法律法规的规范下有序进行，保障了澳门的财政收入。
（每点2分，共6分）7.C（大强是为了秋香才来赔菜刀的，其实刀并不是他弄坏的，这是一个“善意的谎言”）8.⑴“刀”引出了小说情节的开端（是故事发生的缘起）。
正是因为秋香家剁菜的刀脱了柄，所以秋香才去了三婶家借刀，由此引出了后面的一系列情节。
⑵“刀”推动了小说情节的发展。
在秋香还刀之后，三婶家的刀却豁了口子，于是就有了三婶当众叫骂和误会秋香母女的情节。
⑶“刀”把小说情节推向了高潮。
大强前来赔刀和三叔说出刀坏的真相构成了小说情节的高。
⑷“刀”使小说情节走向结局。
随着“刀为什么坏”的悬念解开，故事自然走向了结局。
（每点2分，答对3点得满分。
如只写到“线索”作用而没有具体分开端、发展、高潮、结局等阶段展开分析的给2分）9.⑴环境美。
比如三婶家的院子，静悄悄的，有老黑猫伸着懒腰、追着蝴蝶，还有墙根儿红白相间的凤仙花，这些都营造出一种宁静优美、悠闲自在的田园风貌，令人向往。
2020年衡水中学高三一调数学试卷(文科)
试卷类型：B2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间120分钟，试卷总分150分.命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！一、选择题 1．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2．已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ①3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；①命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈，2230x x --≥；①“指数函数x y a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．是虚数单位，复数（ ） A ． B ．i 5225ii-=+i -iC ．D ．4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ⋂=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．//m α，//n β且//αβ，则//m n5．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．7+3√5B ．7+2√5C ．112+3√5D ．112+2√57．已知平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30°，且||23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A．B．C ．2 D ．48．函数f(x)=cosπx x 2的图象大致是（ ）21202929i --4102121i -+A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11{1}(,]22-- C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--10．设函数||||()x x x e f x e+=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，①4M N +=，①211MN e =-，①11M e N e +=-，其中一定成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值12．已知函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，当x >1时，f(x)>0，对任意的x,y ∈(0,+∞)，f(x)+f(y)=f(x ⋅y)成立，若数列{a n }满足a 1=f(1)，且f(a n+1)=f(2a n +1)(n ∈N ∗)，则a 2017的值为（ ） A ．22014−1 B ．22015−1 C ．22016−1 D ．22017−1二、填空题13_________.14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；①曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ①2(2)y x =+与2x =- ①x y e =与1y x =+ ①sin y x =与y x = ①tan y x =与y x =15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．16．已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)相切于第一象限的点P(x 0,y 0)，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠F 1PF 2=60°(F 1、F 2是椭圆的两个焦点)，若此时在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2的平分线的长度为√3ma ，则实数m 的值是__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A①B①C 的对边分别为a①b①c①R 表示△ABC 的外接圆半径. ①①）如图，在以O 圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中BC ＝2,∠ABC ＝45°，求弦AB 的长;(①)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2+b 2<4R 2;(①)给定三个正实数a 、b 、R ，其中b ≤a ，问：a①b①R 满足怎样的关系时，以a①b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a①b①R 表示c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类()5110i i x x =-=∑180≈；B 类()5110i i x x =-=∑60≈；C 类()5110i i x x =-=∑63≈；（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .=-，2025r .=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为62ˆˆy .x a =+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数()()niix x y y r --=∑，线性回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，()()niix x y y ˆb--=∑ˆˆa y bx =-．19．（本题满分12分） 如图，ΔABC 的外接圆⊙O 的半径为√5，CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，CD =4，BC =2，且BE =1，tan∠AEB =2√5．（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG①A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．21．设函数()()e 1e 1x xf x x a =+-+，a ∈R .（I ）求函数()f x 的单调区间；（①）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。