概率论复习试题

P{ X 1} =P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104
3、一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用
参数λ=5 的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进
某种商品多少件？
解：设该商品每月的销售数为 X,已知 X 服从参数λ=5 的泊松分布.设商店在月底应进某种商
3、设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 0.8，活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现 年 20 岁的这种动物，它能活到 25 岁以上的概率是多少？ 解：设 A={能活 20 年以上}，B={能活 25 年以上} 所求为 P(B|A) .依题意， P(A)=0.8,
P(B)=0.4
4、某一地区患有癌症的人占 0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常人对这 种试验反应是阳性的概率为 0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的 概率有多大?
28、
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y
,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
第三章
1、(设1)(X确,Y定)的常概率k;密度是
数
(2)
P求X 1,Y 3概
率
.
(1) 求分布函数 F(x,y),(2) 求概率
2、
9
3、设(X,Y )的概率密度是
求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。
放入 3 个盒子中去， 问：（1）每盒恰有一球的概
一般地，把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去( n <=m )，
N(S)
C C C 10 10 10 30 20 10
10
30 ! 10
! ! 10
!
3! 27 !
P( A) 9 ! 9 ! 9 ! 50
N(S)
203
P(B) 3 C277C2100C1100 N(S)
14、下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它
们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.
解 将电路正常工作记为 W，由于各元件独立工作，有
15、在 1~10 这 10 个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被 2 或 3 整除的概率，（2）取 到的数即不能被 2 也不能被 3 整除的概率，（3）取到的数能被 2 整除而不能被 3 整除的概率。 解：设 A—取到的数能被 2 整除;Ｂ—取到的数能被 3 整除.
个白球，2
个红球，现从合中任抽 2 个球，求取到一红一白的概率。
解:设 A 表示
“取到一红一白”
一般地，设合
中有 N 个球，其中有 M 个白球，现从中任抽 n 个球，
则这 n 个球中
恰有 k 个白球的概率是
6、（分球问题）将 3 个球随机的
率是多少？（2）空一盒的概率是多少？ 解：设 A:每盒恰有一球,B:空一盒
4
依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.设 X 为所取的 3 个中的次品数，则 X ~ b(3,0.05)， 于是，所求概率为：
2、某类灯泡使用时数在 1000 小时以上的概率是 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多 只有一个坏了的概率. 解: 设 X 为三个灯泡在使用 1000 小时已坏的灯泡数 . X ~ b (3, 0.8)，
余下的类似接法
6、 在区间 [0，a] 上P任(意X投2掷)一C个32质(0点.，0以5)2X(0.表95示)这个0质.0点0的71坐25标 . 设这个质点落在 [0,
a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
解：设 F(x) 为 X 的分布函数，当 x < 0 时，F(x) = P( X x ) = 0；当 x > a 时，F(x) =1
以 X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布函数，【0：22/35；1：12/35；2：1/35】（2）画
出分布函数的图形。【x<0,0；x：0~1（大于等于 0 小于 1）22/35；1~2:34/35；2~无穷：1】
8、一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以 X 表示取出的
求 P{X>1|Y=y}.
1, 0 x 1
f
X
(
x)
0,
其它
fY
|X
(
y
|
x)
1
1
x
,
x y 1
f (x, y)
fX ( x) fY|X ( y |
x)
1
1
x
,
0,
0
其它
x y 1
0, 其它
fY ( y) f ( x, y)dx
y 0
1 1 x
dx
ln(1
y),
0,
.
C
0.70
F
AB
D
0.95 0.95
0.70
0.75
H
G
0.95
E
0.75
0.70
由全概率公式
第二章
1、已知 100 个产品中有 5 个次品，现从中有放回地取 3 次，每次任取 1 个，求在所取的 3 个中恰有 2 个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取 3 次，因此这 3 次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.
1、（会面问题）两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一个人 20 分钟，过时就 可离去，试求这两个人能会面的概率。 解：以 x , y 分别表示两个人到达时刻，则会面的充要条件为
2、从区间（0,1） 内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。 解：从区间 (0,1 )内任取两个数为 x 与 y，则 0<x<1 , 0< y<1 样本空间 G 是边长为 1 的正方形
设(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
e y , x 0, 0, 其它
y
x
求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度.
Leabharlann Baidu
4、
f
( x,
y)
e
x
ye y y
,
0 ,
0 x , 0 y 其它
f
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
10
5、设(X,Y)的概率密度是
ax b,0 x 1
16、已知随机变量
X
的密度为
f
(x)
0, 其它
,且 P{X 0.5} 5 / 8,则
a=________ b=________
17、设 X ~ N (2, 2 ),且 P{2 X 4} 0.3,则 P{ X 0} _________
18、设 X ~ N ( , 2 ),那么当 增大时，P{ X }
0 y 1 其它
4、设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为
解：X 的边缘密度为
X ,Y ~ N μ1, μ2,σ12,σ22, ρ ,
fX x
1
e
(
x μ1 2σ12
)2
2πσ1
f
x, y
1 2πσ1σ2
1 ρ2
exp
2
1 1 ρ2
(
x
μ1 σ12
)2
22、设随机变量 x 的密度函数为 f ( x) Ae x ( x ),求（1）系数 A; (2) P{0 X 1};(3) 分布函数 F(x).
23、对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。
24、设在独立重复实验中，每次实验成功概率为 0.5，问需要进行多少次实验，才能使 至少成功一次的概率不小于 0.9
至多有一球的概率是：
则每盒
7、（分组问题） 30 名学生中有 3 名运动员，将这 30 名学生平均分成 3 组，求： （1）每组有一名运动员的概率；（2）3 名运动员集中在一个组的概率。 解:设 A:每组有一名运动员;B: 3 名运动员集中在一组
一般地，把 n 个球随机地分成 m 组( n > m ),要求第 i 组恰有 n i 个球( i = 1,…m )，共有分法：
品 m 件,求满足 P{ X ≤ m }>0.95 的最小的 m。即：
查表得 m=9 件。
4、一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出 X 的分布律.
解：
5、 一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1， 问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至少有 3 个设备被使用的概率 是多少？（3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是 多少？ 解：X 表示同一时刻供水设备被使用的个数，则 X~b（5，0.1）。
A）增大； B）减少； C）不变； D）增减不定。
19、设 x 的密度函数为 f(x),分布函数为 F(x),且 f ( x) f ( x),那么对任意给定的 a
都有
A) f (a) 1
a 0
f ( x)dx;
F(a) B)
1 2
a
f ( x)dx
0
;
C)F (a) F (a) ； D)F (a) 2F (a) 1
8、（随机取数问题）从 1 到 200 这 200 个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被 6 整除的 概率；(2)求取到的数能被 8 整除的概率；(3)求取到的数既能被 6 整除也能被 8 整除的概率.
9、
2
10、
11、设 A、B 为互斥事件，且 P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：（3）
当
0 xa
F(x) = P(
时，
X
P( 0 x) =
X
P(X<0)
x
+
)= P(
kx(k 为常数 )由于
0 X x )=x / a 则
P( 0 X a
F(x)=……。
)
=1
P(
X
kak=)1，Ck3k
=(01/.a8)k
(0.2)3k
,
7、设在 15 只同类型零件中有 3 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，
16、商店论箱出售玻璃杯,每箱 20 只,其中每箱含 0，1，2 只次品的概率分别为 0.8, 0.1, 0.1，
某顾客选中一箱，从中任选 4 只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个
次品的概率是多少？
解：设 A:从一箱中任取 4 只检查,结果都是好的.B0, B1, B2 分别表示事件每箱含 0，1，2 只
三只球中的最小号码，写出随机变量 X 的分布律及分布函数。【1：1/2；2:3/10；3:3/20；4:1/20】
9、
m e5 5k 0.95 k0 k!
5
10、 11、 12、
13、
6
14、
解得： a 1, b 1
2
15、设离散型随机变量 x 分布律为 P{ X k} 5A(1/ 2)k (k 1,2,)则 A=_________
1.P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A)
3. P(A|B)=0
4. P(AB)=P(A)P(B)
12、设 A、B 为独立事件，且 P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：（1.2.4）
3
1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A)
3. P(A|B)=0
4. P(AB)=P(A)P(B)
26、公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子的身高 X ~ N(168,72 ),问车门的高度应如何确定？
8
f
x,
y
2e(2 x
y),
0,
x 0, y 0, 其它.
PY X
27、设随即变量 X 的参数为 2 的指数分布，证明：Y 1 e2X 在区间(0,1)上服从均匀分布。
20、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
7
A）
1
F(x) 1
B）
11
F ( x) arctan x
x2
2
C）F(x) 0.5(1 e x ), x 0
0,
x0
D）F ( x)
x
f (t )dt ，其中
f (t)dt 1
21、从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可 能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所需抽取次数的分布率。 （1）放回 （2）不放回
次品。已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1
由 Bayes 公式:
17、如图，1、2、3、4、5 表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为 p ,且各继电器接点 闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率。 解：设 A 表示“L 至 R 为通路”,
Ai 表示“第 i 个继电器通”, i =1,2,…5.
解： 是
求 P(C|A).
设 C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果
阳性}，则表示“抽查的人不患癌症”.
P(C | A)
P(C)P(A | C)
P(C)P(A | C) P(C )P(A | C )
由贝叶斯公式，可得 A)= 0.1066
代入数据计算得 P(C｜
1
5、（摸球问题）设合中有 3 N (S ) C52 N ( A) C31C21