高考数学模拟试卷6

数学（文科）

本试卷共4页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，集合{2,3}B =，则=)(B A C U (Ａ) {}4 (Ｂ) {}0,1,2,3 (Ｃ) {}3 (Ｄ) {}0,1,2,4 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则

2i x y +=

（A ）1 （B （C （D （3）已知双曲线：C 22

221x y a b

-=（0,0>>b a ）的渐近线方程为2y x =±, 则双曲线C 的

离心率为 (A)

2

5

(B) 5 (C)

2

6

(D) 6

（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一

个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是

(A)

3

1 (B)

8

3 (C)

2

1 (D)

8

5 （5）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ （A ）

43 （B ）45 （C ）45- （D ）4

3

- （6）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ?=

(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6

（7）已知函数

2,0, ()

1

,

0,

x x

f x

x

x

?≥

?

=?

<

??

()()

g x f x

=--，则函数()

g x的图象是

（8）曲线x

y2

=上存在点)

,

(y

x满足约束条件

?

?

?

?

?

≥

≤

-

-

≤

-

+

m

x

y

x

y

x

3

2

3

，则实数m的最大值为

(A)2(B)

2

3

(C) 1(D) 1

-

（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为

(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）若将函数()sin2cos2

f x x x

=+的图象向右平移?个单位，所得图象关于y轴对称，则?的最小正值是( )．

(Ａ)

8

π

(Ｂ)

4

π

(Ｃ)

3

8

π

(Ｄ)

3

4

π（11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥

的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是

(A) π

25(B) π

4

25

(C) π

29(D) π

4

29

(12) 若函数()()x

a

x

e

x

f x cos

sin+

=在?

?

?

?

?

2

4

π

π

，上单调递增，则实数a的取值范围是

(A) (]1,∞-(B) ()1,∞-(C) [)

1,+∞(D) ()

1,+∞

5

27

536869438594

6783097545

70324173

32649859

8765432甲城市乙城市第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =________． （14）已知函数()()

2

21log 1

x f x x +=-，若()2=f a ，则()f a -= ． （15）设,P Q 分别是圆()2

2

13x y +-=和椭圆2

214

x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大 距离是 .

（16）已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ， b c C 2cos 2=+，则△ABC 的周长的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[=. 令][lg n n a b =，

求数列}{n b 的前2000项和.

（18）（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲, 乙两座城市2016年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，

从PM2.5日均值在[]60,80范围内随机取2天

数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率； （Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年 的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按365天计算） 中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．

P

E

C

B

A

(19) （本小题满分12分）

在三棱锥P ABC -中, △PAB 是等边三角形, ∠APC =∠60BPC ?=. （Ⅰ）求证: AB ⊥PC ;

（Ⅱ）若4=PB ，BE PC ⊥，求三棱锥PAE B -的体积.

(20) （本小题满分12分）

已知点()()1122,,,A x y B x y 是抛物线2

8y x =上相异两点，且满足124x x +=．

（Ⅰ）若直线AB 经过点()2,0F ，求AB 的值；

（Ⅱ）是否存在直线AB ，使得线段AB 的中垂线交x 轴于点M , 且24||=MA ? 若存

在，求直线AB 的方程；若不存在，说明理由.

(21) （本小题满分12分）

设函数()()ln f x mx n x =+. 若曲线()y f x =在点e,(e))P f （处的切线方程为

2e y x =-（e 为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若,R a b +

∈，试比较()()2f a f b +与()2

a b

f +的大小，并予以证明.

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

()3≤x f 的解集是}{21|≤≤-x x . （Ⅰ）求a 的值； （II ）若

()()

||3

f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.

数学（文科）参考答案

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题

（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D

（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空题

（13）1- （14）0 （15

（16

）1,3??

三、解答题 (17) 解：

（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,

72149.

a d a d +=??

+=? ……………………2分

解得11=a ，2=d ， …………………………………………4分 所以12-=n a n .

………………………………………………………………5分

（Ⅱ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，

…………………………………………6分

当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;

…………………………………………7分

当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………8分

当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………9分

当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n . ………………………………………10分 所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=?+?+?+?. ……12分

(18) 解:

（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在[]60,80内的共有6天，

而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天．记PM2.5日均值超标的3天为123,,D D D ，不超标的3天为123,,d d d ，则从这6天中随机取2天，共有如下15

D P

E C

B A

种结果（不记顺序）:

()()()()()()121323121323,,,,,,,,,,,D D D D D D d d d d d d ，()()()111213,,,,,D d D d D d ，()()()()()()212223313233,,,,,,,,,,,.D d D d D d D d D d D d ……………………2分

其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：()()()121323,,,,,D D D D D D ．…4分 由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率31

155

P =

=． ……………………6分 （Ⅱ）各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级；……………………7分 乙城市有16天达到一级或二级． …………………………………………8分 由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级或二级

的天数分别约为:

15365273.7527420n =?

=≈甲， 1636529220

n =?=乙．……………………12分 (19) 解:

（Ⅰ）因为PAB ?是等边三角形, ∠APC =∠60BPC ?=,

所以PBC ?≌PAC ?, 可得AC BC =. …………1分

如图, 取AB 中点D , 连结PD ,CD ,

则PD AB ⊥,CD AB ⊥, ……………………3分 因为,PD

CD D =

所以AB ⊥平面PDC , ………………………………………………………………4分 因为PC ?平面PDC ,

所以AB PC ⊥. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为 PBC ?≌PAC ?,

所以AE PC ⊥, AE BE =. ………………………………………………………6分

由已知4=PB ，在Rt PEB ?中

, 4sin 60BE ?

==,4cos60 2.PE ?== ………………………………………………8分 因为BE PC ⊥, AE PC ⊥, E AE BE = ,

所以ABE PE 平面⊥. ……………………………………………………………9分 因为4=AB , 32==BE AE ，

所以AEB ?

的面积12=?=S AB ……………………10分

因为三棱锥PAE B -的体积等于三棱锥ABE P -的体积, 所以三棱锥B PAE -

的体积11233V S PE =?=?=. ………………12分 (20) 解：

（I ）法1：①若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 方程为2x ．

联立方程组28,2,

y x x ?=?=? 解得???==,4,2y x 或??

?-==,4,

2y x 即2,4A ，2,4B ． ……………………………………………………………1分 所以8AB

． ……………………………………………………………2分

②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为2y

k x ， 联立方程组28,(2),

y x y k x ?=?

=-? 消去y 得222

2

4840k x k x

k ，

故21

2

2

484k x x k ，方程无解． …………………………………………3分

所以8AB ．

法2：因为直线AB 过抛物线2

8y x =的焦点()2,0F ，根据抛物线的定义得，

12AF x =+，22BF x =+， …………………………………………………………2分 所以1248AB AF BF x x =+=++=. …………………………………………3分 （II ）假设存在直线AB 符合题意，设直线AB 的方程为y

kx b ，

联立方程组28,,

y x y kx b ?=?

=+? 消去y 得22

2

280k x kb x b ，(*)

故122284kb x x k ，……………………………………………………………4分

所以42b

k k

．

所以2

2222124??

?

??-==k k b x x ． …………………………………………………………5分

所以2

2

12

12

14AB

k

x x x x 4281k k

．

…………………………………………………………6分 因为1

21

2

8242y y k x x b k b

k

． 所以AB 的中点为??

?

?

?k C 4,

2．

所以AB 的中垂线方程为4y k -=()1

2x k

--，即60x ky +-=． ………………7分 令0y =, 得6x =.

所以点M 的坐标为()6,0. ……………………………………………………………8分 所以点M 到直线AB 的距离2

2

16

(62)

d

CM k 241

k .

因为2

22

||||2AB MA CM ??=+ ???

，

………………………………………………………9分

所以

22

2

2k k ??=+ ? ?????

.

解得1±=k ． ………………………………………………………………10分 当1k 时，2b ；当1k 时，2b ．

把1,2,k b =??

=?和1,

2,k b =-??=-?

分别代入(*)式检验, 得0?=,不符合题意. …………………11分 所以直线AB 不存在. ……………………………………………………………12分

(21) 解:

（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.

()ln mx n

f x m x x

+'=+

. ………………………………………………………………1分 依题意得(e)e,(e)2f f '==，即e e,e 2,e m n m n

m +=??

+?+=??

……………………3分 所以1,0m n ==. ………………………………………………………………4分 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.

当1(0,)e

x ∈时, ()0f x '<; 当1(,)e x ∈+∞时, ()0f x '>.

所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e , 单调递增区间是1

(,)e

+∞.………………6分

（Ⅱ）当,R a b +

∈时，

()()()22

f a f b a b f ++≥. ()()()22f a f b a b f ++≥等价于ln ln ln 222a a b b a b a b

+++≥，

也等价于2ln (1)ln(1)ln 20a a a a

b b b b

-+++≥. ………………………………………7分

不妨设a b ≥，

设()()ln 2(1)ln(1)ln 2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）,

则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+. …………………………………………………………8分 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数，

即()ln 2(1)ln(1)ln 2(1)0g x x x x x g =-+++≥=， ……………………9分 故当[1,)x ∈+∞时，()ln 2(1)ln(1)ln 20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等 号）.

令1a x b =

≥，则()0a

g b ≥， …………………………………………10分 即2ln (1)ln(1)ln 20a a a a b b b b

-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………11分 综上所述，当,R a b +

∈时，()()()22

f a f b a b f ++≥（当且仅当a b =时取等号）.

………………………………………………………………12分

(22) 解: (Ⅰ) 由sin ,

1cos ,

x t y t ??=??

=+?消去t 得cos sin sin 0x y ???-+=, ……………………1分

所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ???-+=. ……………………2分

由2

cos 4sin =ρθθ, 得()2

cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分

把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42

=,

所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42

=. …………………………………………5分

(II) 将直线l 的参数方程代入y x 42

=, 得22

sin 4cos 40t t ??--=, ………………6分

当2

?=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分

(23) 解：

（II）因为

()()()()

2121

21212

.

3333

x x

x x

f x f x--+

-++

+-

=≥=………………7分

3

f x

k存在实

2

3

. ………………8分

………………………………………………………9分

是

22

,,

3

????

-∞-+∞

? ?

???

分