高考数学模拟试卷6
2020届浙江省金华市义乌市高考数学模拟试卷(6月份) (解析版)
2020年金华市义乌市高考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（共10小题）.1．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{x |﹣2≤x ＜1} B ．{x |x ≤4}C ．{x |﹣4≤x ＜1}D ．{x |﹣2≤x ≤1}2．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√523．已知设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β B ．若α∥β，m ⊥α，n ∥β，则 m ⊥n C ．若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n D ．若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β 4．已知a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2是ab ＝1的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）A．f（x）＝（x−1x）cos x B．f（x）＝（x+1x）cos xC．f（x）＝（x−1x）sin x D．f（x）＝（x+1x）sin x6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．4C．6D．127．袋子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中一次取出三个球，记随机变量ξ是取出球的最大编号与最小编号的差，数学期望为E（ξ），方差为D（ξ）．则下列选项正确的是（）A．E（ξ）＝2，D（ξ）＝0.6B．E（ξ）＝2，D（ξ）＝0.4C．E（ξ）＝3，D（ξ）＝0.4D．E（ξ）＝3，D（ξ）＝0.68．已知f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，若n∈N*，a n＝f（n），则a2021＝（）A．−13B．3C．﹣3D．139．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P在AB1上运动（不含端点），点E是AC上一点（不含端点），设EP与平面ACD1所成角为θ，则cosθ的最小值为（）A．13B．√33C．√53D．√6310．已知函数f（x）=14cos2x+b cos x+c，若对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，则b的最大值为（）A．1B．2√2C．2D．4二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共36分）11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，若甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？（“钱”是古代的一种重量单位），则丁所得为钱．12．已知复数z：满足（1+i）z＝3+i（i为虚数单位），则复数z的实部为，|z|＝．13．若（mx﹣1）（3x−1）5展开式的各项系数之和为32，则m＝；展开式中常数项为．14．在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，满足a sin2B＝b sin A，则B＝，若BC 边上的中线AD ＝1，则△ABC 面积的最大值为 ．15．已知点P （x ，y ）满足（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝1，则满足条件的P 所形成的平面区域的面积为 ，z ＝|x ﹣1|+|y |的最大值为 ．16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点P 为第一象限内椭圆上的一点，|PF 1|+|PF 2|=4|F 1F 2|，S △PF 1A =2S △PF 1F 2，则直线PF 1的斜率为 ．17．已知平面向量a →，b →，c →，满足a →+b →+c →=0→，a →，b →夹角为α，|a →|=1，|b →|+|c →|=2，则cos α的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．已知f(x)=sin(x −π6)cosx ． （Ⅰ）求f （x ）的值域：（Ⅱ）若α∈(0，π2)，β∈(0，π]，f(α+β2+π12)=−352，tan α2=12，求cos β． 19．在多面体ABCDEF 中，正方形ABCD 和矩形BDEF 互相垂直，G ，H 分别是DE 和BC 的中点，AB ＝BF ＝2． （Ⅰ）求证：ED ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）在BC 边所在的直线上存在一点P ，使得FP ∥平面AGH ，求FP 的长； （Ⅲ）求直线AF 与平面AHG 所成角的正弦值．20．已知等比数列{a n}，满足a1＝3，a3＝a1a2，数列{b n}满足b1＝1，对一切正整数n均有b n+1＝b n+2n+1．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记S k=2a1+4a2+6a3+⋯+2k ak，T n=1b1+2+1b2+4+1b3+6+⋯+1b n+2n，若存在实数c和正整数k，使得不等式T n＜（c﹣1）•S k对任意正整数n都成立，求实数c的取值范围．21．如图，点P是抛物线x2＝2y上位于第一象限内一动点，F是焦点圆M：x2+（y﹣1）2＝1，过点P作圆M的切线交准线于A，B两点．（Ⅰ）记直线PF，PM的斜率分别为k PF，k PM，若k PF+k PM=12，求点P的坐标；（Ⅱ）若点P的横坐标x0＞2，求△PAB面积S的最小值．22．已知函数f（x）＝x（lnx﹣1），g（x）=1−e x 2．（Ⅰ）求证：当0＜x＜1e时，f（x）＜x2−73x；。
高考数学模拟试题（六）
一、选择题1.设集合A ={}x |y =1-x ，B ={x |(x +1)()x -2}<0，则A ⋂B =().A.[)1,2B.(]-1,1C.()-1,1D.()-1,22.复数z 满足(1+i )z =|-2i |，则z =().A.2+2i B.1+i C.2-2i D.1-i 3.已知直线m ⊥平面α，则“直线n ⊥m ”是“n ∥α”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.上海地铁2号线早高峰时每隔4.5分钟一班，其中含列车在车站停留的0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为().A.17B.18C.19D.1105.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为().A.25B.15C.45 D.356.已知MOD 函数是一个求余数函数，MOD ()m ,n ()m ∈N +,n ∈N +表示m 除以n的余数，例如MOD ()8,3=2.如图1是某个算法的程序框图，若输入m 的值为28，则输出的值为().A.3B.4C.5D.67.已知a,b 是不共线的向量，OA =λa +μb ， OB =2a -b ，OC =a -2b，若A 、B 、C 三点共线，则λ、μ满足().A.λ=μ-3B.λ=μ+3C.λ=μ+2D.λ=μ-28.已知变量x ,y 满足ìíîïï0≤x ≤3,x +y ≥0,x -y +3≤0,则z =2x -3y的最大值为().A.-9B.9C.-12D.129.已知函数f ()x =2sin ωx ()ω>0在x ∈[]a ,2()a <0上最大值为1且递增，则2-a 的最大值为().A.6B.7C.9D.810.已知函数f (x )=(x 2-2x )sin(x -1)+xx -1在[-1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =().A.1B.2C.3D.411.在直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0的左、右焦点，点P ()x 0,y 0是双曲线右支上的一点，满足 PF 1∙PF 2=0，若点P 的横坐标取值范围是x 0∈æèöø54a ,43a ，则双曲线C 的离心率取值范围为().A.æèöø54,43 B.æèöø167,92C.èøD.èø12.已知对任意实数x 都有f ′()x =3e x +f ()x ，f ()0=-1，若不等式f ()x <a ()x -2(其中a <1)的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是().A.éëöø43e ,12 B.éëöø43e ,1 C.éëêöø÷74e 2,43e D.éëêöø÷74e 2,12二、填空题13.若直线2x -cy +1=0是抛物线x 2=y 的一条切线，则c =______．14.一个棱长为2的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为______．15.已知{}a n ，{}b n 都是等差数列，若a 1+b 10=9，a 3+b 8=15，则a 5+b 6=______．16.一只蚂蚁从一个正四面体ABCD 的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A 的爬行方法种数是______．三、解答题(一)必考题17.已知f ()x =4tan x sin æèöøπ2-x cos æèöøπ3-x -3，ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，B 为锐角，何小敏图152且f ()B =3.(1)求角B 的大小；(2)若b =3，a =2c ，求ΔABC 的面积.18.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥面ABCD ,AB //DC ,AB ⊥AD ,DC =6,AD =8,BC =10,∠PAD =45∘,E 为PA 的中点．(1)求证：DE //面PBC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，试求出二面角F -PC -D 的余弦值；若不存在，说明理由．19.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图3所示的频率分布直方图.规定若0≤x <0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x <0.2时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.图3(1)完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：绝对贫困户相对贫困户总计受教育水平良好2受教育水平不好52总计100(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)0,0.4的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：K 2=n ()ad -bc 2()a +b ()c +d ()a +c ()b +d ，其中n =a +b+c +d .P ()K 2≥k 0k 00.152.0720.102.7060.053.8410.0255.02420.如图4，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点C ()0,2，ΔABC 的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，直线BP ,BQ 分别与x 轴交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)试探究M ,N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.图421.已知函数f ()x =-a ln x +x +4-2ax.(1)当a ≥4时，求函数f ()x 的单调区间；(2)设g ()x =e x +mx 2-6，当a =e 2+2时，对任意x 1∈[)2,+∞，存在x 2∈[)1,+∞，使得f ()x 1+2e 2≥g ()x 2，求实数m 的取值范围.(二)选考题22.已知曲线C 的参数方程为ìíîx =3cos θ,y =sin θ,(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换ìíîïïx ',y '=y ,得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为æèöø32，π.(1)求曲线C '的极坐标方程；(2)若过点A 且倾斜角为π6的直线l 与曲线C '交于M ，N 两点，求||AM ∙||AN 的值.23.已知实数正数x ,y 满足x +y =1.(1)解关于x的不等式||x +2y +||x -y ≤52；(2)证明：æèçöø÷1x 2-1æèçöø÷1y 2-1≥9.图253参考答案与解析一、选择题1-12BDBCA CBADB CC 二、填空题13.-1;14.3-22;15.21;16.60.三、解答题(一)必考题17.解：(1)f ()x =4tan x sin æèöøπ2-x cos æèπ3=sin 2x -3cos 2x =2sin æèöø2x -π3，由f ()B =3得sin æèöø2B -π3，∵B 为锐角，∴2B -π3∈æèöø-π3,2π3，∴2B -π3=π3∴B =π3；(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ∵b =3，a =2c ，B =π3，∴9=()2c 2+c 2-4c 2cos π3，∴c 2，∴S ΔABC =12ac sin B =c 2sin B 18.解：(1)如图5，取PB 的中点M ，连过C 点作CN ⊥AB ，垂足为N ，∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，∴CN //DA ，又∴四边形CDAN 为平行四边形，∴CN =AD =8,DC =AN =6,，在Rt△BC 2-CN 2=102-82=6∴AB =12，而E ,M 分别为PA ,PB 的中点，∴EM //AB 且EM =6，又DC //AB∴EM //CD 且EM =CD ，四边形CDEM 为平行四边形，∴DE //CM ，CM ⊂平面PBC ，DE ⊄∴DE //平面PBC ．(2)由题意可得，DA ,DC ,DP 两两互相垂直，如图6，以DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (8,0,0),B (8,12,0),C (0,6,0),P (0,0,8)，假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设F 坐标为(8,t ,0)，则 CF =(8,t -6,0),DB =(8,12,0)，由 DA =(1,0,0)，得t =23，又平面DPC 的一个法向量为DA =(1,0,0)，设平面FPC 的法向量为n=(8,12,9)，又 PC =(0,6,-8), FC =(-8,163,0),由ìíî n · PC =0, n · FC =0,得ìíîïï6y -8z =0,-8x +163y =0,即ìíîïïz =34y ,x =23y ,不妨设y =12，有n =(8,12,9),则cos < n ,DA >=| n |·| DA | n || DA |=817,又由法向量方向知该二面角为锐二面角，故二面角F -PC -D 的余弦值为817．19.解：(1)由题意可知，绝对贫困户有(0.25+0.50+0.75)×0.2×100=30(户)，可得出如列联表：绝对贫困户相对贫困户总计受教育水平良好21820受教育水平不好285280总计3070100K 2=100×()18×28-2×52230×70×20×80≈4.762>3.841．故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．(2)贫困指标在[)0,0.4的贫困户共有()0.25+0.5×0.2×100=15(户)，“亟待帮助户”共有0.25×0.2×100=5(户)，依题意X 的可能值为0，1，2，P ()X =0=C 210C 215=37，P ()X =1=C 110C 15C 215=1021，P ()X =2=C 25C 215=221，则X 的分布列为X P037110212221故EX =0×37+1×1021+2×221=23．20.解：(1)由已知，A ,B 的坐标分别是A ()a ,0,B ()0,-b 由于ΔABC 的面积为3，图5图54∴12∴(2)别为P (y 1+1x 1x -1直线N ∴x M +16kx +-16k 1+4k2∴x M21.f ′(x )由f ′当a 由f ′当a ∴当是(0,2)当a (2)当减，在(e 2,从而≤f ()x1+2f ()x +2e 2由e 2令h (∵h ′(当x 当x ∈[2,+∞)时，xe x +2()e 2-e x >xe x -2e x ≥0，h ′(x )<0.故h (x )在[1,+∞)上单调递减，从而h (x )max =h (1)=e 2-e ，从而m ≤e 2-e .22.解：(1)曲线C 的普通方程为：x 23+y 2=1，将曲线C 上的点按坐标变换ìíîïïx '=y '=y ,,得到ìíîx =3x ',y =y ',代入()x '2+()y '2=1得C '的方程为：x 2+y 2=1.则其极坐标方程为：ρ=1.(2)点A 在直角坐标的坐标为æèöø-32,0，因为直线l 过点A 且倾斜角为π6，设直线l 的参数方程为ìíîïïx =-32+,y =12t ,(t 为参数)，代入C :x 2+y 2=1得：t 2-+54=0.设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=t 1t 2=54.所以||AM ∙||AN =||t 1t 2=54.23.解：(1)∵x +y =1,且x >0,y >0∴||x +2y +||x -y ≤52⇔ìíîïï0<x <1,||2-x +||2x -1≤52,⇔ìíîïï0<x <1,||2x -1≤12+x ,⇔ìíîïï0<x <1,-æèöø12+x ≤2x -1≤12+x ,解得16≤x <1，所以不等式的解集为éëöø16,1.(2)解法1：∵x +y =1,且x >0,y >0，∴æèçöø÷1x 2-1æèçöø÷1y 2-1=2x y +2y x +5≥+5=9,当且仅当x =y =12时，等号成立.解法2：∵x +y =1,且x >0,y >0，∴æèçöø÷1x 2-1æèçöø÷1y 2-1=1-x 2x 2∙1-y 2y 2=2xy +1≥2æèçöø÷x +y 22+1=9,当且仅当x =y =12时，等号成立.55。
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．34．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 5．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π 9．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22312．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2024年高考数学全真模拟试卷六(新高考、新结构)(全解全析)
2024年高考数学全真模拟试卷六（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【答案】A【解析】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选A2．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去），故选B.3．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.15【答案】D【解析】由题意知7.5602515C λλ=⨯=⨯，所以410325607.515λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg2lg 23λ=，所以2lg 220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--，故选D.4．已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】由已知||2,2a b == ，所以()22224222cos ,44a ba b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,1,0,A B P -为圆22:(3)(3)1C x y -+-=上动点，则22PA PB +的最小值为（）A ．34B ．40C ．44D ．48【答案】B【解析】设(),P x y ，则()()222222223122410PA PB x y x y x y x +=+++-+=+++()22218x y ⎡⎤=+++⎣⎦，即22PA PB +等价于点P 到点()1,0Q -的距离的平方的两倍加8，又1PQ QC PC ≥-=514=-=，即22224840PA PB +≥⨯+=.故选B.6．如图，四棱锥A BCDE -是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，则下列结论错误的是（）A ．点,,,ABC F 共面B ．平面ABE 平面CDF C ．FG CD ⊥D ．FG ⊥平面ACD【答案】D【解析】选项A ：如图，取CD 中点H ，连接GH ，FH ，AG ，AH ，因为A BCDE -是正四棱锥，A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，所以CD GH ⊥，CD AH ⊥，CD FH ⊥，因为GH AH H = ，,GH AH ⊂平面AGH ，所以CD ⊥平面AGH ，因为AH FH H = ，,AH FH ⊂平面AFH ，所以CD ⊥平面AFH ，所以,,,A G H F 四点共面，由题意知3AG HF ==2GH AF ==，所以四边形AGHF是平行四边形，所以GH AF ∥，因为BC GH ∥，所以BC AF ∥，所以,,,A B C F 四点共面，故A 说法正确；选项B ：由选项A 知AG FH ∥，又AG ⊄平面CDF ，FH ⊂平面CDF ，所以AG 平面CDF ，因为CD BE ∥，且BE ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，所以BE 平面CDF ，又AG ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，且AG BE G = ，所以平面ABE 平面CDF ，故B 说法正确；C 选项：由选项A 可得CD ⊥平面AGHF ，又FG ⊂平面AGHF ，所以FG CD ⊥，故C 说法正确；D 选项：假设FG ⊥平面ACD ，因为AH ⊂平面ACD ，则FG AH ⊥，由选项A 知四边形AGHF 是平行四边形，所以四边形AGHF 是菱形，与3AG =2GH =矛盾，故D 说法错误;故选D7．甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得1-分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令i P 表示在甲的累计得分为i 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则1P =（）A ．555535-B ．666535-C ．5662553⨯-D ．677553-【答案】C【解析】由题意可知：i 的取值集合为{}0,1,2,3,4,5,6，且060,1P P ==，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为20.5P ，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为10.2P ，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为00.3P ，根据全概率公式可得12100.50.20.3P P P P =++，整理得2108355P P P =-，变形得()211035P P P P -=-，因为100P P ->，则211035P P P P -=-，同理可得324354652132435435P P P P P P P P P P P P P P P P ----====----，所以{}()10,1,2,,5i i P P i +-= 是公比为35的等比数列，所以()()11030,1,2,,55i i i P P P P i +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ，各项求和得()()551101135i i i i i P P P P +==⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，则()661103355315P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-⋅-，即61133551315P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=⋅-，解得51662553P ⨯=-．故选C.8．已知0,2a b c <<>，且12212,e (1),2ln2bab c c a==+=，则（）A ．b a c <-<B ．a b c -<<C ．c a b <-<D ．b c a<<-【答案】B 【解析】令1t a=，则22t t =，令()22,0t f t t t =-<，则()2ln 220t f t t '=->在(),0t ∈-∞上恒成立，故()22t f t t =-在(),0t ∈-∞上单调递增，且()11102f -=-<，110224f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故112t -<<-，故()1,2a -∈，令()()2e 1x g x x =-+，0x >，则()()e 21x g x x '=-+，令()()e 21x q x x =-+，则()e 2x q x '=-，令()0q x '>得ln 2x >，令()0q x '<得0ln 2x <<，故()()e 21xq x x =-+在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，则()()ln 222ln 210q =-+<，()22e 60q =->，由零点存在性定理可得，存在()0ln 2,2x ∈，使得()00q x =，且()()2e 1x g x x =-+在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()00g =，故()()000g x g <=，又()22e 90g =-<，()33e 160g =->，故()2,3b ∈，令()2ln 2,2h x x x x =->，则()21h x x'=-，当2x >时，()0h x '>，故()2ln 2h x x x =-在()2,+∞上单调递增，又因为()446ln 20h =-<，()552ln100h =->，故()4,5c ∈，综上，a b c -<<.故选B二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知()()1,1,2,1AB AC =-= ,则下列结论正确的是（）A ．()3,0BC =B ．()25AB BC AC ⋅-=C．cos ,AB AC = D ．若()3,1AB AC λμμλ+=+,则2μλ-=【答案】ACD【解析】对于A ，()3,0BC AC AB =-= ,故A 正确;对于B ，因为()24,1BC AC -=-,所以()25AB BC AC ⋅-=- ,故B 错误;对于C，因为1,AB AC AB AC ⋅=-==所以cos ,10AB AC ==,故C 正确;对于D ，()()2,3,1AB AC λμμλμλμλ+=-+=+ ,所以231μλμμλλ-=⎧⎨+=+⎩,解得1,1λμ=-=,则2μλ-=,故D 正确.故选ACD.10．关于方程[]()22cos 10,πx y αα+=∈表示的曲线Γ，下列说法正确的是（）A ．Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2B ．若Γ为双曲线，则α为钝角C ．若α为锐角，则Γ为焦点在y 轴上的椭圆D ．若Γ为椭圆，P 为椭圆Γ上不与长轴顶点,A B 重合的点，则cos PA PB k k α⋅=-【答案】AD【解析】对于A 项，当cos 0α=，即π2α=时，方程为21y =，解得1y =±，因此Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A 选项正确；对于B 项，若Γ为双曲线，则cos 0α<，即ππ2α<≤，故α为钝角或平角，故B 选项错误；对于C 项，若α为锐角，则0cos 1α<<，即11cos α>.将原方程化为标准方程为2211cos x y α+=⎛⎫⎪⎝⎭，因此Γ为焦点在x 轴上的椭圆，故C 选项错误；对于D 项，若Γ为椭圆，则α为锐角，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则221,1cos a b α==，不妨设()()()00,0,,0,,A a B a P x y -，将点P 的坐标代入椭圆方程得2200cos 1x y α+=，即22001cos y x α=-，故22000022200001cos cos 1cos PA PBy y y x k k x a x a x a x ααα-⋅=⋅===-+---，故D 选项正确.故选AD ．11．对于集合A 中的任意两个元素,x y ，若实数(),d x y 同时满足以下三个条件：①“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”；②()(),,d x y d y x =；③z A ∀∈，都有()()(),,,d x y d x z d y z ≤+．则称(),d x y 为集合A 上的距离，记为A d ．则下列说法正确的是（）A ．(),d x y x y =-为d RB ．(),sin sin d x y x y =-为d RC ．若()0,A =+∞，则(),ln ln d x y x y =-为Ad D ．若d 为R d ，则1e d -也为R d （e 为自然对数的底数）【答案】AC【解析】对于A ，(),d x y x y =-，即x y =，①，(),0d x y =，即(),0d x y x y =-=，即x y =，若x y =，则(),0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),,d x y x y y x d y x =-=-=，成立，③，,,R x y z ∀∈，()()x y x z z y x z z y -=-+-≤-+-，故A 正确；对于B ，(),sin sin d x y x y =-，①，(),0d x y =，即(),sin sin 0d x y x y =-=，即sin sin x y =，此时若0,πx y ==，则x y ≠，故B 错误；对于C ，(),ln ln d x y x y =-，①，(),0d x y =即ln ln ln0xx y y-==，即1x y =，得x y =，若x y =，则(),ln ln ln ln 0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),ln ln ln ln ,d x y x y y x d y x =-=-=，成立；③，()()(),ln ln ln ln ln ln d x y x y x z z y =-=-+-()()ln ln ln ln ,,x z z y d x z d y z ≤-+-=+，故成立，故C 正确；对于D ，设,x y ∀∈R ，(),d x y x y =-，则()1,1e e x y d x y ---=，①,若(),0d x y =，则0x y -=，即x y =，111e e 0x y d e ----==≠，故D 错误.故选AC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .【答案】38【解析】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，且26EF AB ==．则这个几何体的外接球的体积为．【答案】36π【解析】连接BD ，分别取EF 、BD 、AD 中点G 、H 、I ，连接GH 、HI 、EI ，由底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，故//EG IH ，GH ⊥底面ABCD ，又26EF AB ==，故3EG AD AB ===，则22EI AD ==，故2GH ==，由H 为底面正方形中心，HG IH ⊥，故羡除ABCDEF 外接球球心O 在直线GH 上，连接OI 、OE 、OA ，设半径为r ，OH a =，则==OA OE r ,由GH ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故GH AD ⊥，又AD IH ⊥，IH 、GH Ì平面IOH ，故AD ⊥平面IOH ，又IO ⊂平面IOH ，故AD IO ⊥，故2222232IO r AI r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又222223+2IO OH IH a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故有222233+22r a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即229+2r a =，又2222227322EO r a a ⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，故有22279+22a a -+=，解得2a =，故22999+9222r a ==+=，即3r =，则这个几何体的外接球的体积为34π36π3V r ==.14．已知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为．【答案】371115(3)(][7]2222,,, 【解析】由题意知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，故函数的最小正周期πππ2ππ082444T ,,ωω≥-=∴≥∴<≤,又ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ44424x ωωω-<-<-，而πππ7π4444ω-<-≤，当ππππ4442ω-<-<时，即03ω<<时，需有πππ3π2242ω<-≤，即3722ω<≤，此时3(3)2,ω∈；当πππ442ω-=时，即3ω=时，ππ5π244ω-=，此时函数在π5π(,24)上无零点，不合题意；当πππ3π2442ω<-<时，即37ω<<时，需有3πππ5π2242ω<-≤，即71122ω<≤，此时711(]22,ω∈；当ππ3π442ω-=时，即7ω=时，ππ13π244ω-=，此时函数在3π13π(,)24上有一零点5π2，符合题意；当3πππ7π2444ω<-≤时，即78ω<≤时，需有5πππ7π2242ω<-≤，即111522ω<≤，此时15(7]2,ω∈；综合上述，得ω的取值范围为371115(3)(][7]2222,,, 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15.（13分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100高一学生人数1551515高二学生人数10102010试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：记学生得分为x ，当70x <时，奖励该学生10元食堂代金券；当7090x ≤<时，奖励该学生25元食堂代金券；当90x ≥时，奖励该学生35元食堂代金券；方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？解：（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为x ，方差为21s .高二年级学生竞赛成绩的平均数为y ，方差为22s .则6515755851595158150x ⨯+⨯+⨯+⨯==，（1分）2222211[15(6581)5(7581)15(8581)15(9581)]144,50s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=（3分）1(6510751085209510)8150y =⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）2222221[10(6581)10(7581)20(8581)10(9581)]161.650s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，（6分）因x y =2212s s <，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；（7分）（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为：1510(515)2515351175⨯++⨯+⨯=元，而高二年级学生获得奖励为：1010(1020)2510351200⨯++⨯+⨯=元，即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；（9分）按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为90806801082357-+⨯=，则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为682807155152410-++⨯≈人，则高一年级获得奖励为：241026301020⨯+⨯=元；高二年级学生成绩低于中位数的人数约为6828071010202610-++⨯≈人，则高二年级获得奖励为：26102430980⨯+⨯=元.（11分）因1020980>，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.（13分）16．（15分）已知在四边形ABCD 中，ABD △为锐角三角形，对角线AC 与BD 相交于点O，π2,4,4AD AC BD ABD ∠====．(1)求AB ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由余弦定理可得2222πcos 42AB BD AD AB BD +-=⋅，化简为220AB -+=，解得1AB =1，（4分）当1=AB时，因为2146cos 0BAD +-∠=<，与ABD △为锐角三角形不符合，故1AB =.（7分）（2）作,AE CF 垂直BD 于,E F ，设1AOB ∠=∠，（9分）则()1111sin 1sin 1sin 12222ABCD ABD CBD S S S BD AE BD CF BD AO CO BD AC =+=⋅+⋅=∠+∠=⋅∠ ，当sin 11190AC BD ∠=⇒∠=︒⇒⊥，四边形面积最大，最大面积为146262⨯=（15分）17．（15分）如图，在几何体111B C D ABCD -中，平面111//B C D 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11D DCC 为菱形，112,22,120,DC AC D DC E ︒==∠=为棱11C D 的中点，点F 在棱1CC 上，//AE 平面BDF .(1)证明DE ⊥平面ABCD ；(2)求平面1AB D 与平面BDF 夹角的余弦值.解：（1）如图，连接DC 1，因为四边形11D DCC 为菱形，1120︒∠=D DC ，所以160DCC ︒∠=，所以12DC =，因为12,22AD DC AC ===22211AD DC AC +=，所以1AD DC ⊥，又11,,,AD DC DC DC D DC DC ⊂⊥= 平面11CDD C ，所以AD ⊥平面11CDD C ，所以,AD DE AD DC ⊥⊥，（3分）因为四边形11D DCC 为菱形，且1120︒∠=D DC ，所以1111DD DC D C ==，因为E 为棱11C D 的中点，所以11DE C D ⊥，又11//C D CD ，所以DE CD ⊥，（5分）因为,,,DE AD AD DC D AD DC ⊥=⊂ 平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD .（7分）（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DE分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.易知3DE =所以()0,0,0,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),3)D A B C E ，113),(0,3)C D -，所以1(0,3),(0,2,0),(2,0,3),(2,2,0),(2,0,0)CC DC AE DB DA =-==-== ，1(0,3)DD -= ，设()10,3(01)CF tCC t t t ==-≤≤ ，则(0,2,3)DF DC CF t t =+=- ，（9分）因为//AE 平面BDF ，所以存在唯一的,R λμ∈，使得(2,2,0)(0,2,3)(2,22,3)AE DB DF t t t λμλμλλμμμ=+=+-=+- .所以22,220,33t t λλμμμ=-+-==23t =，所以111114230,,,(2,1,3)33DF DB DD D B DD DB ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，（11分）设平面BDF 的法向量为()111,,x n y z = ，则00DF n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111423033220y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，取13y =-，则113,23x z ==，故(3,3,23)n =- ，设平面1AB D 的法向量为()222,,m x y z = ，则100DA m DB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取23y =，则220,3x z ==-(0,3,3)m =- ，（13分）设平面1AB D 与平面BDF 的夹角为θ，则10cos cos ,43023m n m n m nθ⋅=〈〉===⨯ ，故平面1AB D 与平面BDF 104（15分）18．（17分）已知抛物线C ：()2205y px p =<<上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.(1)求抛物线C 的方程：(2)过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若3412S S S S λ=，求实数λ的取值范围.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，（2分）解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.（4分）（2）如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m ∈R ，0m ≠），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y=，（6分）∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.（8分）联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（10分）同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==.（13分）由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，（15分）∴2123422S S m S S +==，得2212m λ=<+，故λ的取值范围为()0,1.（17分）19．（17分）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville ）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：11100n n n n a x a x a x a --++++= （0a ，1a ，…，n a ∈Z ，0n a ≠）．数学家证明了自然对数的底数e 与圆周率π是超越数．回答下列问题：已知函数()e x n n n f x b x =-（*n ∈N ）只有一个正零点．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程00n n a x a +=，证明：若N m ∈，则e m 为有理数当且仅当0m =．（ⅱ）数列{}n b 中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．解：（1）若()e x n n n f x b x =-只有一个正零点，可得e ,e 1,x n n x n n b x b x -==（1分）令()e n x g x x -=，()11()e e e n x n x n x g x nx x x n x -----=-=-'，令()0g x '<，(,)x n ∈+∞，令()0g x '>，(0,)x n ∈，故()g x 在(0,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，可得()g x 在x n =处取得最大值，且最大值为()e n n g n x -=，（4分）而当0x →时，()0g x →，当x →+∞时，()0g x →，由题意得，当()g x 最大时，符合题意，故e 1n n n b n -=，即e n n n b n -=⋅.（6分）（2）（ⅰ）若0m =，则e 1m =为有理数；若m 正整数，假设e m 为有理数，则e ,,,0m p y p q q q==∈≠Z ，则方程0q y p ⋅-=的根中有有理数，又在方程0m q x p ⋅-=中，发现e x =是它的根，（8分）而已知e 是超越数，故e 不是方程的根，与0q y p ⋅-=矛盾，即e m 不为有理数；综上所述：m ∈N ，e m 为有理数当且仅当0m =；（10分）（ⅱ）若数列{}n b 中存在不同的三项构成等比数列，则()2e e e e m m n n l l m n ---⋅⋅⋅=⋅，可得22e m n l m n l m n l +--=⋅⋅，由方程右边是有理数知左边是有理数，由上问知当且仅当2m n l +=时成立，故2m n l m n m n l l l ⋅==⋅，则()()1m n m n l l ⋅=，设1m x l-=，则(1)m l x =-，(1)n l x =+，则()()111m n x x -⋅+=，将(1)m l x =-，(1)n l x =+代入进行化简，可得()()(1)111l x l x x x -+-⋅+=，故()()11111l x x x x -+⎡⎤-⋅+=⎣⎦，故()()11111x x x x -+-⋅+=，（14分）构造函数()()()()()1ln 11ln 1f x x x x x =--+++，而()()2ln 10f x x ='-<，知()f x 在其定义域内单调递减，又()00f =，故若()()11111x x x x -+-⋅+=，则有0x =，即2m n l m n l ⋅=成立，当且仅当m n l ==时成立.即数列{}n b 中不存在不同的三项构成等比数列.（17分）。
2023年山东省春季高考模拟考试数学试题6
2023年山东省春季高考模拟考试6数学试题一、选择题1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={2,3},N ={3,4}，则(C U M )∪N 等于A.{3}B.{4}C. {1,3,4,5}D. {1,5}2.函数y =√1−|2x |的定义域是A.[−1,1]B.(−∞,−12]∪[12,+∞) C.(−12,12) D.[−12,12]3.若不等式x 2−ax +b ≤0的解集是[2,4]，则a +b 的值是A.6B.14C.2D.−24.函数f (x )={x −3，x ≥0x +2，x <0，则f [f (−2)]等于 A.−3B.−5C.0D.25.函数y =2|x |的大致图像是6.在等比数列{a n }中，a 1=1,a 2=−2，则a 9等于A.256B.−256C.512D.−5127.若a ⃗=−13b ⃗⃗(b ⃗⃗≠0⃗⃗)，则A.a ⃗与b ⃗⃗同向，且|a ⃗|=3|b⃗⃗||b⃗⃗|B.a⃗与b⃗⃗方向相反，且|a⃗|=13C.a⃗与b⃗⃗方向相反，|a⃗|≠3|b⃗⃗||b⃗⃗|D.a⃗与b⃗⃗方向相同，且|a⃗|=138.x>1是x2>x的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知直线l经过点P(−√3,1)，且直线l倾斜角的余弦值是1，则直线l的方程是2A.√3x−y+4=0B.√3x−3y+6=0C.x−√3y−3=0D.x+√3y=010.已知向量a⃗,b⃗⃗满足|a⃗|=1,a⃗⋅b⃗⃗=−1，则a⃗⋅(2a⃗−b⃗⃗)A.0B.2C.3D.411.已知sinα−cosα=4，则sin2α等于3A.−79B.−29C.29D.7912.从五名学生中选出四人分别参加语文、数学、英语和专业综合知识竞赛，其中学生甲不参加语文和数学竞赛，则不同的参赛方法共有A.24B.48C.72D.12013.二项式(1−x)n展开式中有9项，则展开式中的第5项的系数为A.70B.−70C.126D.24014.直线l:3x−y+2=0与圆C:x2+(y−1)2=5的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定15.将A,B,C,D这4名同学从左到右随机地排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的概率是A.12B.14C.16D.1816.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体，则该几何体的左视图为17.下列命题为真命题的是A.∀x∈R,x2−1>0B.∀x∈N,x3>0C.∃x∈Q,x2=2D.∃x∈Z,x3<118.设实数x,y满足{x+2y−4≤0x−y≥0y≥0，则Z=x−2y的最大值为A.2B.4C.6D.819.设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=2,C=2√3,cos A=√32，且b<c，则b=A.√3B.2C.2√2D.320.过双曲线x2−y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线于A,B两点，则|AB|等于A.4√33B.2√3C.6D.4√3二、填空题21.设奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)< 0的解集为22.若log2x−log124=0，则实数χ的值是23.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量（单位：m3）的频率分布直方图，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为24.若一个圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆面，则该圆锥的体积是25.已知F1,F2是椭圆x29+y225=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且∠F1PF2=2π3，则ΔF1PF2的面积等于三、解答题26.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x−3（1）求f(x)的解析式（2）求不等式f(x)≥1的解集27.已知公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=2，且a1,a2,a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{a n}的前10项之和28.已知f(x)=cos2x+√3sin x cos x+a，且f(π6)=2（1）求a的值（2）当x∈[0,π2]时，求使f(x)=32的x的值29.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E,F分别为PC,BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=√22AD（1）求证：EF‖平面PAD（2）求PB与平面ABCD所成角的余弦值30.在平面直角坐标系中，椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB斜率为0时，|AB|=4（1）求椭圆的方程（2）若弦CD过点(0,−1)，求线段AB的长度。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
2025年高考数学模拟试卷
2025年高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合＼（A ＝＼｛x ｜ x^2 3x ＋ 2 ＝ 0\｝＼），＼（B ＝＼｛1, 2\｝＼），则＼（A ＼cap B ＝＼）（）A ＼（＼｛1\｝＼）B ＼（＼｛2\｝＼）C ＼（＼｛1, 2\｝＼）D ＼（＼varnothing\）2、复数＼（z ＝＼frac{1 ＋ i}｛1 i}＼）（＼（i\）为虚数单位）的模为（）A ＼（1\）B ＼（＼sqrt{2}＼）C ＼（2\）D ＼（ 2\sqrt{2}＼）3、已知向量＼（＼boldsymbol{a} ＝（1, 2)＼），＼（＼boldsymbol{b} ＝（m, －1)＼），若＼（＼boldsymbol{a} ＼perp ＼boldsymbol{b}＼），则＼（m ＝＼）（）A ＼（－2\）B ＼（2\）C ＼（＼frac{1}｛2}＼）D ＼（＼frac{1}｛2}＼）4、设＼（x\），＼（y\）满足约束条件＼（＼begin{cases} x ＋ y ＼geq 1 ＼＼ x y ＼geq －1 ＼＼ 2x y ＼leq 2 ＼＼＼end{cases}＼），则＼（z ＝ x ＋ 2y\）的最大值为（）A ＼（3\）B ＼（4\）C ＼（5\）D ＼（6\）5、从＼（2\）名男同学和＼（3\）名女同学中任选＼（2\）人参加社区服务，则选中的＼（2\）人都是女同学的概率为（）A ＼（06\）B ＼（05\）C ＼（04\）D ＼（03\）6、函数＼（f(x) ＝＼sin^2 x ＋＼sqrt{3} ＼sin x ＼cos x\）的最小正周期为（）A ＼（＼pi\）B ＼（ 2\pi\）C ＼（＼frac{＼pi}｛2}＼）D ＼（＼frac{＼pi}｛4}＼）7、已知等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的前＼（n\）项和为＼（S_n\），若＼（a_1 ＝ 1\），＼（S_6 ＝ 63\），则公比＼（q ＝＼）（）A ＼（2\）B ＼（－2\）C ＼（3\）D ＼（－3\）8、某几何体的三视图如图所示（单位：＼（cm\）），则该几何体的体积为（）A ＼（ 8\pi\）＼（cm^3\）B ＼（ 16\pi\）＼（cm^3\）C ＼（ 24\pi\）＼（cm^3\） D ＼（ 32\pi\）＼（cm^3\）9、已知双曲线＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\））的一条渐近线方程为＼（y ＝＼frac{4}｛3}x\），则双曲线的离心率为（）A ＼（＼frac{5}｛3}＼）B ＼（＼frac{5}｛4}＼）C ＼（＼frac{＼sqrt{7}｝｛3}＼） D ＼（＼frac{＼sqrt{7}｝｛4}＼）10、若函数＼（f(x) ＝＼ln x ＋＼frac{1}｛2}x^2 （m ＋＼frac{1}｛m}）x\）在区间\（（0, 2)＼）内有且仅有一个极值点，则＼（m\）的取值范围是（）A ＼（（0, ＼frac{1}｛2}＼cup 2, ＋＼infty)＼）B ＼（（0, ＼frac{1}｛2}）＼cup （2, ＋＼infty)＼）C ＼（（0, 1\cup 2, ＋＼infty)＼）D ＼（（0, 1)＼cup （2, ＋＼infty)＼）11、已知抛物线＼（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））的焦点为＼（F\），准线为＼（l\），过点＼（F\）的直线与抛物线交于＼（A\），＼（B\）两点，分别过＼（A\），＼（B\）作＼（AA_1 ＼perp l\）于＼（A_1\），＼（BB_1 ＼perp l\）于＼（B_1\），若＼（｜AF| ＝ 3|BF|＼），则＼（＼frac{｜A_1B_1|｝｛｜AB|｝＝＼）（）A ＼（＼frac{4}｛5}＼）B ＼（＼frac{5}｛4}＼）C ＼（＼frac{3}｛4}＼） D ＼（＼frac{4}｛3}＼）12、已知函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2\），对于任意＼（x_1\），＼（x_2 ＼in －1, 1 ＼），都有＼（｜f(x_1) f(x_2)｜＼leq M\）成立，则＼（M\）的最小值为（）A ＼（0\）B ＼（2\）C ＼（4\）D ＼（6\）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、曲线＼（y ＝ x^3 2x ＋ 1\）在点\（（1, 0)＼）处的切线方程为_____14、＼（＼log_2 8 ＋＼lg 001 ＋＼ln ＼sqrt{e} ＝＼）＿____15、已知＼（A( 1, 0)＼），＼（B(1, 0)＼），＼（C\）为圆＼（x^2 ＋ y^2 ＝ 1\）上一点，且＼（＼overrightarrow{AC} ＼cdot ＼overrightarrow{BC} ＝ 0\），则＼（｜＼overrightarrow{CA} ＋＼overrightarrow{CB}｜＝＼）＿____16、已知三棱锥＼（P ABC\）的四个顶点均在球＼（O\）的球面上，＼（PA ＝ PB ＝ PC ＝ 2\），且＼（PA\），＼（PB\），＼（PC\）两两垂直，则球＼（O\）的体积为_____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在\（＼triangle ABC\）中，角＼（A\），＼（B\），＼（C\）所对的边分别为＼（a\），＼（b\），＼（c\），已知＼（a＝ 3\），＼（b ＝ 2\sqrt{3}＼），＼（＼cos B ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}＼）（1）求＼（sin A\）的值；（2）求＼（c\）的值18、（12 分）已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的前＼（n\）项和为＼（S_n\），＼（a_2 ＝ 3\），＼（S_4 ＝ 16\）（1）求数列\（＼｛a_n\｝＼）的通项公式；（2）设＼（b_n ＝＼frac{1}｛a_n a_{n ＋ 1}｝＼），求数列\（＼｛b_n\｝＼）的前＼（n\）项和＼（T_n\）19、（12 分）如图，在四棱锥＼（P ABCD\）中，底面＼（ABCD\）为平行四边形，＼（＼angle DAB ＝ 60^｛＼circ}＼），＼（AB ＝ 2AD\），＼（PD ＼perp\）底面＼（ABCD\），＼（PD ＝AD\）（1）证明：＼（PA ＼perp BD\）；（2）若二面角＼（P BC D\）的大小为＼（45^｛＼circ}＼），求直线＼（PB\）与平面＼（PCD\）所成角的正弦值20、（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了两种生产方案为比较两种方案的效率，选取＼（40\）名工人，将他们随机分成两组，每组＼（20\）人，第一组工人用第一种生产方案，第二组工人用第二种生产方案根据工人完成生产任务的时间（单位：＼（min\））绘制了如下茎叶图：第一种生产方案｜＼（5\）｜＼（6\）｜＼（7\）｜＼（8\）｜＼（9\）｜｜｜｜｜｜｜｜＼（5\）＼（6\）＼（5\）＼（5\）＼（7\）＼（9\）＼（6\）＼（8\）＼（6\）＼（6\）＼（7\）＼（7\）＼（8\）＼（9\）＼（7\）＼（7\）＼（6\）＼（8\）＼（8\）＼（8\）＼（9\）｜第二种生产方案｜＼（5\）｜＼（6\）｜＼（7\）｜＼（8\）｜＼（9\）｜｜｜｜｜｜｜｜＼（4\）＼（5\）＼（5\）＼（6\）＼（6\）＼（7\）＼（8\）＼（8\）＼（8\）＼（9\）＼（9\）＼（9\）＼（9\）＼（8\）＼（8\）＼（7\）＼（7\）＼（6\）＼（5\）｜（1）分别计算两种生产方案完成生产任务时间的中位数、平均数，并比较哪种生产方案的效率更高；（2）完成生产任务时间在＼（65 min\）以下（含＼（65 min\））视为完成任务优秀，完成任务优秀的工人中，用第一种生产方案的工人有＼（8\）人，用第二种生产方案的工人有＼（4\）人，能否有＼（99\％＼）的把握认为工人完成任务是否优秀与生产方案有关？附：＼（K^2 ＝＼frac{n(ad bc)＾2}｛（a ＋ b)（c ＋ d)（a ＋ c)（b ＋ d)｝＼）｜＼（P(K^2 ＼geq k)＼）｜＼（0050\）｜＼（0010\）｜＼（0001\）｜｜｜｜｜｜｜＼（k\）｜＼（3841\）｜＼（6635\）｜＼（10828\）｜21、（12 分）已知椭圆＼（C\）：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））的离心率为＼（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），且过点＼（（1, ＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}）＼）（1）求椭圆＼（C\）的方程；（2）过点＼（（0, 1)＼）的直线＼（l\）与椭圆＼（C\）交于＼（M\），＼（N\）两点，若＼（＼overrightarrow{OM} ＼cdot ＼overrightarrow{ON} ＝＼frac{1}｛3}＼），求直线＼（l\）的方程22、（12 分）已知函数＼（f(x) ＝ e^x ax 1\）（＼（a\）为实数），＼（g(x) ＝＼ln x x\）（1）讨论函数＼（f(x)＼）的单调区间；（2）若存在＼（x_0 ＞ 0\），使得＼（f(x_0) ＜ g(x_0)＼），求＼（a\）的取值范围。
2020年天津市高考数学模拟试卷（6）
2020年天津市⾼考数学模拟试卷（6）2020年天津市⾼考数学模拟试卷（6）⼀．选择题（共9⼩题，满分45分，每⼩题5分）1．（5分）设全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥1}，则A ∩（?R B ）＝（） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，2）C ．（0，1）D ．（0，2）2．（5分）下列说法错误的是（）A ．命题p ：“?x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“?x ∈R ，x 2+x +1≥0”B ．命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的否命题是真命题C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件3．（5分）已知a ＝lg 0.3，b ＝20.2，c ＝0.80.6，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是（） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c4．（5分）在等⽐数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（） A ．12B ．18C ．24D ．365．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直⾓三⾓形，则实数a ＝（） A ．19B ．29C ．13D ．√236．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最⼩值为（） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π247．（5分）将3本不同的书随机分给甲、⼄、丙三⼈，则甲、⼄都分到书的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．498．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+µb →，则λ+µ的值为（）A ．?13B ．13C ．23D ．19．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）⼆．填空题（共6⼩题，满分30分，每⼩题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有个．11．（5分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝．12．（5分）已知函数f （x ）＝e 2x ，则过原点且与曲线y ＝f （x ）相切的直线⽅程为 13．（5分）在底⾯是边长为2√3的正⽅形的四棱锥P ﹣ABCD 中，顶点P 在底⾯的射影H 为正⽅形ABCD 的中⼼，异⾯直线PB 与AD 所成⾓的正切值为2，若四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R ﹣r ＝．14．（5分）要制作⼀个容积为9m 3，⾼为1m 的⽆盖长⽅体容器，已知该容器的底⾯造价是每平⽅⽶20元，侧⾯造价是每平⽅⽶10元，则该容器的最低总价是元． 15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1?2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝．三．解答题（共5⼩题）16．已知函数f(x)=sinx ?sin(x +π3)?14(x ∈R)．（1）求f(π3)的值和f （x ）的最⼩正周期；（2）设锐⾓△ABC 的三边a ，b ，c 所对的⾓分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平⾯BB 1C 1C ．（1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B1BC＝60°，直线A1B1与平⾯BB1C1C所成的⾓为30°，求⼆⾯⾓A﹣B l C1﹣B的余弦值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等⽐数列，（Ⅱ）设数列{b n}的⾸项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线xn+1?yn=12上，求数列{b na n+1}的前n项和R n．19．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x?√2y＝0，经过椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外⼀点M（m，0）（m＞a）倾斜⾓为5π6的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的⽅程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最⼩值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成⽴，求a的取值范围．2020年天津市⾼考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析⼀．选择题（共9⼩题，满分45分，每⼩题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（?R B）＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：∵全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，∴?R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（?R B）＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．（5分）下列说法错误的是（）A．命题p：“?x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“?x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是真命题C．若p∧q为假命题，则p∨q为假命题D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【解答】解：命题p：“?x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“?x∈R，x2+x+1≥0”满⾜命题的否定形式，所以A正确；命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是x≠3，则x2﹣4x+3≠0，否命题的真命题，所以B正确；若p∧q为假命题，⾄少⼀个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C 不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满⾜充要条件的定义，所以D正确；故选：C．3．（5分）已知a＝lg0.3，b＝20.2，c＝0.80.6，则a，b，c的⼤⼩关系是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b ＜c【解答】解：a＝lg0.3＜0，b＝20.2＞1，c＝0.80.6∈（0，1）．∴a＜c＜b．故选：A．4．（5分）在等⽐数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（） A ．12B ．18C ．24D ．36【解答】解：根据题意，等⽐数列{a n }中，设其公⽐为q ，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则6﹣6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝﹣3，舍；故a 5＝6q 2＝24，故选：C ．5．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a ?y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直⾓三⾓形，则实数a ＝（） A ．19B ．29C ．13D ．√23【解答】解：∵抛物线的⽅程为y 2＝4√2x ，∴抛物线的准线为x =?√2，焦点为F （√2，0）．⼜∵直线x =?√2交双曲线x 2a ?y 2＝1于A 、B 两点，△F AB 为直⾓三⾓形．∴△F AB 是等腰直⾓三⾓形，AB 边上的⾼FF '＝2√2，由此可得A （?√2，2√2）、B （?√2，﹣2√2），如图所⽰．将点A 或点B 的坐标代⼊双曲线⽅程，得2a 28=1，解得a =√23（负值舍去）．故选：D ．6．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最⼩值为（） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π24【解答】解：将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，可得y＝sin （3x ﹣3m +π6）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝sin （12x﹣3m +π6）的图象，若g （x ）为奇函数，则当m 的最⼩时，﹣3m +π6=0，∴m =π18，故选：C ．7．（5分）将3本不同的书随机分给甲、⼄、丙三⼈，则甲、⼄都分到书的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．49【解答】解：根据题意，将3本不同的书随机分给甲、⼄、丙三⼈，每本书有3种情况，则⼀共有3×3×3＝27种分法，若甲、⼄都分到书，分2种情况讨论：甲⼄丙三⼈都分到书，有A 33＝6种情况，只有甲⼄分到书，有C 32×2＝6种情况，则甲、⼄都分到书的的情况有6+6＝12种，故则甲、⼄都分到书的概率P =1227=49；故选：D ．8．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+µb →，则λ+µ的值为（）A ．?13B ．13C ．23D ．1【解答】解：∵E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，∴G 为△ABC 的重⼼，且AB →=a →，AC →=b →，∴BG →=13(BA →+BC →) =13(?AB →+AC →?AB →)=?23AB →+13AC →=?23a →+13b →，⼜BG →=λa →+µb →，∴λ+µ=?13．故选：A ．9．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x+2）≤0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x +2），g （x ）的图象可以由f （x ）的图象向左平移2个单位得到的，函数f （x ）是R 上的奇函数，则函数g （x ）的图象关于点（﹣2，0）对称，则g （0）＝f （2）＝0，g （﹣4）＝f （﹣2）＝0，则g （x ）的草图如图：故xf （x +2）≤0?xg （x ）≤0?{x ≥0g(x)≤0或{x ≤0g(x)≥0；则有x ≤﹣4或x ≥﹣2；即x 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）；故选：C ．⼆．填空题（共6⼩题，满分30分，每⼩题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 28 个．【解答】解：∵a ，b ∈N ，且a +b ≤6，∴当a ＝0时，b ＝0，1，2，3，4，5，6，此时复数共7个；当a＝1时，b＝0，1，2，3，4，5，此时复数共6个；当a＝2时，b＝0，1，2，3，4，此时复数共5个；当a＝3时，b＝0，1，2，3，此时复数共4个；当a＝4时，b＝0，1，2，此时复数共3个；当a＝5时，b＝0，1，此时复数共2个；当a＝6时，b＝0，此时复数共1个；∴复数a+bi共7+6+5+4+3+2+1＝28个故答案为：28．11．（5分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(?x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线⽅程为2ex﹣y ＝0【解答】解：设切点为（m，n），函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得nm =e2mm=2e2m，解得m=12，n＝e，则切线⽅程为y＝2ex．故答案为：2ex﹣y＝0．13．（5分）在底⾯是边长为2√3的正⽅形的四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底⾯的射影H 为正⽅形ABCD的中⼼，异⾯直线PB 与AD所成⾓的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则R﹣r＝32【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2√3，∵BC ∥AD ，∴∠PBC 即为PB 与AD 所成⾓，由tan ∠PBC ＝2，可得斜⾼为2√3，∴△PEF 为正三⾓形，边长为2√3，正四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径，即为△PEF 的内切圆半径，可得r =√3tan30°=√3×√33=1，设O 为外接球球⼼，在Rt △OHA 中，（PH ﹣R ）2+AH 2＝R 2，即(3?R)2+(√6)2=R 2，解得R =52，∴R ﹣r =32．故答案为：32．14．（5分）要制作⼀个容积为9m 3，⾼为1m 的⽆盖长⽅体容器，已知该容器的底⾯造价是每平⽅⽶20元，侧⾯造价是每平⽅⽶10元，则该容器的最低总价是 300 元．【解答】解：设长⽅体容器的长为xm ，宽为ym ；则x ?y ?1＝9，即xy ＝9；则该容器的造价为 20xy +10（x +x +y +y ）＝180+20（x +y ） ≥180+20×2√xy ＝180+120＝300；（当且仅当x ＝y ＝3时，等号成⽴）故该容器的最低总价是300元；故答案为：300．15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1?2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ?12 ．【解答】解：f （3）＝1﹣2×3＝﹣5 f [f （3）]＝f （﹣5）＝sin （?5π6）=?12故答案为?12．三．解答题（共5⼩题）16．已知函数f(x)=sinx ?sin(x +π3)?14(x ∈R)．（1）求f(π3)的值和f （x ）的最⼩正周期；（2）设锐⾓△ABC 的三边a ，b ，c 所对的⾓分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=sinx ?sin(x +π3)?14(x ∈R)．所以f(π3)=√32×√32?14=12．所以f （x ）=sinx(12sinx +√32cosx)=1?cos2x 4+√34sin2x ?14=12sin(2x ?π)，所以函数f （x ）的最⼩正周期为π；（2）设锐⾓△ABC 的三边a ，b ，c 所对的⾓分别为A ，B ，C ，且f(A2)=14，所以sin(A ?π6)=12，解得A =π3．利⽤正弦定理a sinA =b sinB=c sinC，解得b =3，c =3sin(2π3?B)，所以b +c =3+sin(2π3?B)]=4sin(B +π6)，由于{0＜B ＜π20＜C =2π3?B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以B +π6∈(π3，2π3)，所以b +c ∈(2√3，4]．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平⾯BB 1C 1C ．（1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B 1BC ＝60°，直线A 1B 1与平⾯BB 1C 1C 所成的⾓为30°，求⼆⾯⾓A ﹣B l C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（1）因为AO ⊥平⾯BB ?C ?C ，所以AO ⊥B ?C ，因为BC ＝BB ?，所以四边形BB ?C ?C 为菱形，所以BC ⊥B ?C ，因为AO ∩BC ?＝O ，所以B ?C ⊥平⾯ABC ?， AB ?平⾯ABC ?，所以B ?C ⊥AB ；（2）直线A 1B 1与平⾯BB 1C 1C 所成的⾓为30°，根据题意，∠ABO ＝30°，设BC ＝2，∠B 1BC ＝60°，则B ?C ＝2，OB =√3，OA ＝OB tan30°＝1，以O 为原点，OB ，OB ?，OA 为x ，y ，z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则O （0，0，0），B （√3，0，0），B ?（0，1，0），A （0，0，1），C ?（?√3，0，0），由AB →=B 1A 1→，得A 1（?√3，1，1，），设平⾯B ?C ?A ?的法向量我m →=(x ，y ，z)，由{m →A 1B 1→=?√3x +z =0m →?C 1B 1→=?√3x ?y =0，得m →=(1，?√3，√3)，平⾯B ?C ?B 的法向量为OA →=(0，0，1)，由cos ＜m →，OA →＞=√3√7=√217，故所求⼆⾯⾓的余弦值为?√217．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝0，S n +n ＝a n +1，n ∈N * （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等⽐数列，（Ⅱ）设数列{b n }的⾸项b 1＝1，其前n 项和为T n ，且点（T n +1，T n ）在直线x n+1y n=12上，求数列{b n a n +1}的前n 项和R n ．【解答】证明：（Ⅰ）由S n +n ＝a n +1，①，得S n ﹣1+n ﹣1＝a n ，n ≥2，②，①﹣②得a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2（a n +1），∵a 1＝0，∴a 1+1＝1，∴{a n +1}是以1为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n +1＝2n ﹣1，∴a n ＝2n ﹣1﹣1，∵点（T n +1，T n ）在直线xn+1y n=12上，∴T n+1n+1?T n n =2，∴{T n n}是以T 11=b 11=1为⾸项，公差为12的等差数列，∴T n n=1+12（n ﹣）=12（n +1）∴T n =n(n+1)2，当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1=n(n+1)2?n(n?1) 2=n ，⼜b 1＝1满⾜上式，∴b n ＝n ，∴b n a n +1=n ?（12）n ﹣1．∴R n ＝1×（12）0+2?（12）1+3?（12）2+…+n ?（12）n ﹣1．③12R n ＝1×（12）1+2?（12）2+3?（12）3+…+n ?（12）n ．④，由③﹣④可得，?12R n ＝1+（12）1+（12）2+（12）3+…+?（12）n ﹣n ?（12），=1?12n1?12n （12）n ＝2﹣（n +2）?12，∴R n ＝4?n+22n?1 19．如图，已知圆G ：x 2+y 2﹣2x ?√2y ＝0，经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 及上顶点B ，过圆外⼀点M （m ，0）（m ＞a ）倾斜⾓为5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（1）求椭圆的⽅程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【解答】解：（1）x 2+y 2?2x ?√2y =0过点F 、B ，∴F （2，0），B(0，√2)，故椭圆的⽅程为x 26+y 22=1（2）直线l ：y =?√33(x ?m)(m ＞√6){x 26+y 22=1y =?√33(x ?m)消y 得2x 2﹣2mx +（m 2﹣6）＝0 由△＞0??2√3＜m ＜2√3，⼜m ＞√6?√6＜m ＜2√3设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2＝m ，x 1x 2=m 2?62，y 1y 2=13x 1x 2?m 3(x 1+x 2)+m 2 3，FC →=(x 1?2，y 1)，FD →=(x 2?2，y 2)∴FC →FD →=(x 1?2)(x 2?2)+y 1y 2=2m(m?3)3∵F 在圆E 的内部，∴FC →FD →＜0?0＜m ＜3，⼜√6＜m ＜2√3?√6＜m ＜3．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣xlnx +ax ，f '（x ）为f （x ）的导数，函数f '（x ）在x ＝x 0处取得最⼩值．（1）求证：lnx 0+x 0＝0；（2）若x ≥x 0时，f （x ）≥1恒成⽴，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a ，f ″(x)=e x ?1x ，易知函数f ''（x ）在（0，+∞）上为增函数，⼜f ″(12)=√e ?2＜0，f ″(1)=e ?1＞0，故函数f ''（x ）存在唯⼀零点m ∈(12，1)，使得f ″(m)=e m ?1m=0，且当x ∈（0，m ）时，f ''（x ）＜0，f ′（x ）单调递减，当x ∈（m ，+∞）时，f ''（x ）＞0，f ′（x ）单调递增，故函数f ′（x ）在x ＝m 处取得最⼩值，依题意，m ＝x 0，∴e x 0?1x 0=0，即e x 0=1x 0，两边同时取对数得x 0=ln 1x 0=?lnx 0，∴lnx 0+x 0＝0；（2）由（1）知，当x ≥x 0时，f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a 的最⼩值为e x 0?(lnx 0+1)+a =1x 0+x 0+a ?1，①当1x 0+x 0+a ?1≥0，即a ≥1?(1x 0+x 0)时，此时f （x ）为[x 0，+∞）上的增函数，∴f(x)min =f(x 0)=e x 0?x 0lnx 0+ax 0=1x 0+x 02+ax 0≥1x 0+x 02+x 0[1?(1x 0+x 0)]=1x 0+x 0?1，由（1）知，12＜x 0＜1，故1x 0+x 0?1＞1，即f （x ）＞1，故a ≥1?(1x 0+x 0)满⾜题意；②当1x 0+x 0+a ?1＜0，即a ＜1?(1x 0+x 0)时，f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 0＜x 2，则f ′(x 2)=e x 2?(lnx 2+1)+a =0，即a =lnx 2?e x 2+1，当x ∈（x 0，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，∴f （x ）min ＝f （x 2），注意到f （1）＝e +a ＝1时，a ＝1﹣e ，且此时f ′（1）＝e +a ﹣1＝0，（i ）当a ≥1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1≥0＝f ′（x 2），∴0＜x 2≤1，即1﹣x 2≥0，⼜f(x 2)=e x 2?x 2lnx 2+ax 2=e x 2?x 2lnx 2+(lnx 2?e x 2+1)x 2=(1?x 2)e x 2+x 2=(1?x 2)(e x 2?1)+1，⽽e x 2?1＞0，故(1?x 2)(e x 2?1)+1＞1，即f （x 2）＞1，由于在12＜x 0＜1下，恒有1x 0+x 0＜e ，故1?e ＜1?(1x 0+x 0)；（ii ）当a ＜1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1＜0＝f ′（x 2），∴x 2＞1＞x 0，∴当x ∈（1，x 2）时，f （x ）为减函数，∴f （x ）＜f （1）＝e +a ＜1，与题设不符，故舍去．综上，实数a 的取值范围为[1﹣e ，+∞）．。
精品解析：2023年全国新高考数学仿真模拟卷()数学试题(原卷版)-(6)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2.=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种 D．36种5.设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．36.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．57.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8.设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．函数()()22231m m f x m m x --=--是幂函数的充分必要条件是2m =B ．若:(0,),1ln p x x x ∀∈+∞->，则000:(0,),1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．若()()()()62601263222x a a x a x a x +=+++++++，则315a = D ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=10．已知点()()()1,2,5,2,,4A B C k ，若ABC 为直角三角形，则k 的可能取值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．511．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：222x y r +=，则（ ）A ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y 垂直B ．直线l 恒过定点()2,0C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为(⎤⎦12．已知圆22:(5)(5)16C x y -+-=与直线:240l mx y +-=，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当1615m ≥时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1 C ．当2m =-时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程是22(3)(3)16x y +++=D ．当1m =时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当||PB =PBA ∠最大或最小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（x+a ）10的展开式中，x 7的系数为15，则a=14．（5分）函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 ．15．（5分）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）= ． 16．（5分）数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
2023年新高考数学全真模拟卷 (6)
2023年新高考数学全真模拟卷 (6)一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1. 复数2i1i +的虚部为（ ）A.B. 1C.D. i2. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{22B x x =<且}N x ∈，则A B ⋂=R（ ）A. {}2B. {}1,2-C. {}0,1D. {}1,0,2-3. 已知向量()1,2a = ()2,3b = 若向量a tb +与a 垂直 则实数t =（ ）． A. 54-B.54C. 58-D.584. 如图 生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺 截面叫做球缺的底面 球缺的曲面部分叫做球冠 垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为2πS RH = 球缺的体积公式为()21π33V R H H =- 其中R 为球的半径 H 为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺 若两个球冠的面积之比为1:2 则这两个球缺的体积之比为（ ）．A.19B.1120C.720D.3105. 已知0x > 0y > 且26xy x y ++= 则2x y +的最小值为（ ）． A. 4B. 6C. 8D. 126. 已知3log 5a =2log b =c =则a b c 的大小关系为（ ）． A. a c b << B. b<c<a C. c<a<bD. a b c <<7. 已知角α β满足1tan 3α=()sin 2cos sin βαβα=+ 则tan β=（ ）．A.14B.12C. 1D. 28. 如图 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为1F 右顶点为A 点Q 在y 轴上 点P 在椭圆上 且满足PQ y ⊥轴 四边形1F APQ 是等腰梯形 直线1F P 与y 轴交于点0,4N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭则椭圆的离心率为（ ）．A.14B.C.2D.12二、多项选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分．在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求．全部选对得5分 部分选对得2分 有选错得0分．9. 下列命题中正确的是（ ）．A. 一组从小到大排列的数据0 1 3 4 6 7 9 x 11 11 去掉x 与不去掉x 它们的80％分位数都不变 则11x =B. 两组数据1x 2x 3x … m x 与1y 2y 3y … n y 设它们的平均值分别为x E 与y E 将它们合并在一起 则总体的平均值为x y m nE E m n m n+++ C. 已知离散型随机变量18,4⎛⎫~ ⎪⎝⎭X B 则()233D X += D. 线性回归模型中 相关系数r 的值越大 则这两个变量线性相关性越强10. 红黄蓝被称为三原色 选取任意几种颜色调配 可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变 等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶 甲从六瓶中任取两瓶颜料 乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料 两人分别进行等量调配 A 表示事件“甲调配出红色”；B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色” 则下列说法正确的是（ ）．A. 事件A 与事件C 是独立事件B. 事件A 与事件B 是互斥事件C. ()14P C A =D. ()()P B P C =11. 已知()()11,A x f x ()()()2212,B x f x xx >为函数()ln f x x =图象上两点 且AB x ∥轴 直线1l 2l 分别是函数()f x 图象在点,A B 处的切线 且1l 2l 的交点为P 1l 2l 与y 轴的交点分别为,M N 则下列结论正确的是（ ）． A. 12l l ⊥B. 1246x x +≥C. MNP △的面积1MNP S <△D. 存在直线1l 使1l 与函数e x y =图象相切12. 已知数列{}n a 满足2134n n n a a a +=-+ 14a = n *∈N 则下列结论正确的有（ ）．A. 数列{}n a 是递增数列B. 142n n a -≥⋅C. 11111122ni i n a a =++=--∑ D.()21log 221nnii a =-≤-∑三､填空题：（本题共4小题 每小题5分 共20分 其中第16题第一空2分 第二空3分。
22023年高三数学对接新高考全真模拟试卷6(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(解析版)
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷（06）（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}2230A x x x =+-<，{}310B x x =+>，则A B =（ ）A ．133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}31x x -<<D ．133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【详解】A ，则为（）A ．20,10x x x ∃<-+≤B ．20,10x x x ∃<-+>C ．20,10x x x ∃>-+≤D ．20,10x x x ∃>-+>【答案】C【分析】由全称命题的否定判定.【详解】由题意得p ⌝为20,10x x x ∃>-+≤. 故选：C3．意大利数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若2357959k a a a a a a a ++++++=，则k =（ ）A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【解析】利用21n n n a a a ++=+化简得出235795960a a a a a a a ++++++=，即可得出结果.【详解】由于21n n n a a a ++=+，则2357959795945a a a a a a a a a a a +++++=++++++67959585960a a a a a a a ++++==+==，因此，60k =. 故选：D.4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =ππ⎛⎫A ．8B ．C ．9D ．6．定义在上的函数满足：对12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,+∞7．已知1F 、2F 分别为双曲线()2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，且122b F F a=，点P为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，给出下列结论：∴点I 的横坐标为定值a ； ∴离心率e = ∴λ=； ∴当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒．上述结论正确的是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴∴D ．∴∴∴121212111,,2222IPF IPF IF F S PF r S PF r S c r =⋅=⋅=⋅⋅，1212IPF IF F S S △△，121112222PF r PF r c r λ⋅=⋅+⋅⋅⋅， 12151PF PF a --====，所以∴正确，8．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，且小正方形与大正方形面积之比为4:9，则()cos αβ-的值为（ ）A ．59B ．49C ．23D ．0符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知向量()1,2a =-，()1,b m =，则（ ） A ．若a 与b 垂直，则12m =B ．若//a b ，则m 的值为2-C ．若a b =，则2m =D ．若3m =，则a 与b 的夹角为45°夹角的坐标表示计算判断C 、D ；【详解】解：因为()1,2a =-，()1,b m =，对于：若a 与b 垂直，则12a b ⋅=-+正确；：若//a b ，则12m -⨯=⨯，解得m B 正确； a b =，则()22121-+=+2m =±，故C 错误；：若3m =，则()1,3b =，设a 与b 的夹角为()222112322121a b a b⋅-⨯+⨯==-+⨯+，因为θABD10．如图，在正方体1111ABCD A B D -中，M ，N 分别是11的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCDD ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π11．函数()3sin(2)f x x ϕ=+的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象，π0,2x ⎡∈⎢⎣3sin(2=，函数y =A ．不等式121x x >-的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．已知x y z >>，且0x y z ++=，则xy xz >C ．正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是(],6-∞D ．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为(]3,0-()2min 418a b x x m +≥-++-，因为()1999+=++=++102+10=16a ba ba b a b a b bab a≥⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭当且仅当=4a ，12b =时取等号，所以241186x x m ≥-++-，()242x x m --≥-()2二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 【答案】35【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以【详解】将原式分子、分母同除以2cos 3tan cos 2αα=故答案为：35【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题14．如图，四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为_________．【分析】选取,AB AD 为基底将向量AF 进行分解，然后与条件对照后得到【详解】选取,AB AD 为基底，则13AF AD DF AB AD=+=+， 又()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将以上两式比较系数可得1λμ-=． 故答案为：1.．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.则(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--， ，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--， (2CP CE EP =+=-，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==而2||(22)CP λ=-，则点Р到直线1CC 的距离2221445||25()555h CP d λ=-=-+≥，当且仅当15=时取“=”，所以点Р到直线CC 45. 故答案为：45．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台，1.4千台，1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y （单位：千台）和月份x 之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择： ∴2()(0)f x ax bx c a =++≠；∴()(0,1)x g x pq r q q ≠，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台.17．在等差数列{}n a 中，已知 12318a a a ++=且45654a a a =++． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：4n n b a =⋅11122n ⎡⎛⎛=-++ ⎢-⎝⎝⎣18．如图，在四边形ABCD 中，112CA CD AB ===，sin 5BCD ∠=．且______；在∴、∴、∴中选一个作为条件，解答下列问题；∴222AB AC BC AB AC +-=⋅；∴2sin ACB=；∴1AB AC ⋅=．(1)求四边形ABCD 的面积； (2)求sin D 的值．ACDSABCS，相加后求出四边形面积；∴：求出得到ACB ∠ACDS与ABCS，相加后求出四边形面积；SACDS，相加后求出四边形面积；ABC）先求出【详解】（S=ACDS=ABC故四边形AC在ABC中，B=︒所以30由余弦定理得：BC>结合0因为2+BC ACACDS =ABCS=故四边形∴：1AB AC ⋅=，cos AB AC BAC ⋅∠因为()0,πBAC ∠∈，所以因为12CA CD AB ==由余弦定理得：ACDS =ABCS=故四边形由图可知ACD 为锐角三角形，由余弦定理得：cos 0>，解得：学年推行“52+”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有23的男教师和35的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列22⨯列联表﹒并判断是否有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用X 表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：将数据代入公式()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算得2125 2.315 2.70654K =≈<， 据此可知没有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关. (2)依题意，在此十名优秀教师中男教师6人､女教师4人.若用X 表示三位发言教师的女教师人数，则X 的可能取值为：0,1,2,3，其概率分别为：()034631010;6C C P X C ⋅=== ()124631011;2C C P X C ⋅=== ()214631032;10C C P X C ⋅=== ()304631013;30C C P X C ⋅=== 随机变量X 的分布列如下： 随机变量X 的数学期望为：1316123210305EX =⨯+⨯+⨯=20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A ∴底面ABCD ，点E 为棱PD 的中点，1AB =，2AD AP ==．(1)求证：PB ∴平面ACE ；(2)求平面ACE 与平面P AB 夹角的余弦值；(3)若F 为棱PC 的中点，则棱P A 上是否存在一点G ，使得PC ∴平面EFG ．若存在，求线段AG 的长；若不存在，请说明理由． ,,AB AD AP 所在直线分别为标系，求出平面ACE 的一个法向量为n ，利用向量法证明即可；）易得(0,2,0AD =的一个法向量，利用向量求出求解即可；与PC 不垂直，则不可能垂直平面1）因为底面是矩形， AD ， 平面ABCD 平面ABCD1⎛⎫所以()()(1,2,0,0,1,1,1,0,AC AE PB ===-设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，即2x y y z =-⎧⎨=-⎩，令1y =，则()2,1,1n =--，又2020n PB ⋅=-++=PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE ；2）由（1）可知AB PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面的一个法向量， 设平面PAB 与平面2cos ,6AD n AD n AD n⋅===⋅， 所以平面PAB 与平面ACE 的夹角的余弦值为）因为1,0,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,2,PC =所以11002EF PC ⋅=+≠， EF 与PC 不垂直，EF ⊂平面EFG ，PC 不可能垂直平面EFG ，所以棱PA 上不存在点21.已知椭圆：)0(1:2222>>=+b a by a x E 的一个顶点为)1,0(A ，焦距为32．∴1∴求椭圆E 的方程；∴2∴过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）4k =- 【解析】【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可； 【小问1详解】解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k kk k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k kx x k+⋅=+， 直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M xx y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++ ()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++， 所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦ 22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦即()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+ 整理得4k =，解得4k =-22．已知函数2()e .=--x f x ax b(1)记()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性；(2)若对R x ∀∈，都有(1)()0x f x -≥，求实数a 的取值范围．。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(六)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（六）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}210A x x =-≤，{}20B x x a =-≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,-+∞C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】求出{}11A x x =-≤≤，{}2B x x a =≥，根据A B B ⋃=，得到A B ⊆，从而得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】{}{}21011A x x x x =-≤=-≤≤，{}{}202B x x a x x a =-≥=≥，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，故21a ≤-，解得：12a ≤-，故选：C2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()i 3i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）A.-1B.0C.3D.-3【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法法则得到3i z a =+，从而得到3a =.【详解】()2i 3i i 3i 3i z a a a =-=-+=+，故3a =.故选：C3.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，且过点()2,2A ，则双曲线方程为（）A.2212y x -= B.22124x y -=C.22142x y -= D.22136x y -=【答案】B 【解析】【分析】通过已知得出a 与b 的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.【详解】 双曲线()222210,0x ya b a b-=>>ca∴=，222a b c += ，2223a b a+∴=，即222a b =， 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()2,2A ，22441a b∴-=，则由222a b =与22441a b -=联立解得：a =，2b =，∴双曲线的方程为：22124x y -=，故选：B.4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x 为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断0x 所在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得.【详解】解：因为3log y x =与31y x =-+在()0,∞+上单调递增，所以()33log 1f x x x =-+在()0,∞+上单调递增，又()33313log 3103144f =-=-=>+，()3332log 2log 21021f =-=-<+，所以()f x 在()2,3上存在唯一零点0x ，即()02,3x ∈，所以[]02x =.故选：A5.已知点P 是圆(()22:34C x y -+-=上一点，若点P 到直线2y =-的距离为1，则满足条件的点P 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知圆心为)C,所以)C到2y =-的距离为1d ==，故与直线2y =-平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P ，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与2y =-垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.故选:C6.已知ππ,42α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且25cos 10sin 29αα+=，则tan α=（）A.29B.2C.12D.92【答案】B 【解析】【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系22sin cos 1αα+=代换，可得25209t ta an 1n αα+=+，根据α的范围即可求解.【详解】由25cos 10sin 29αα+=，得25cos 20sin cos 9ααα+=，则2225cos 20sin cos 9sin cos ααααα+=+，即25209t ta an 1n αα+=+，得29tan 20tan 40αα-+=，则()()9tan 2tan 20αα--=，得2tan 9α=或tan 2α=，又ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以tan 1α>，故tan 2α=.故选：B7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）A.14B.12C.13 D.16【答案】C 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法，根据古典概型概率公式求概率.【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法有44A =24种，甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法有22222A A =8种，由古典概型的概率公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率：81243P ==，故选：C .8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BD 上运动（包含端点），则直线1B P 与1C D 所成角的取值范围是（）A.ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+ (,,1)λλλ=---+（01λ≤≤），又1(0,1,1)DC =，设则直线1B P 与1C D 所成角为θ，则11cos cos ,B P DC θ=，结合λ的范围即可得解.【详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,1,1)C ，1(1,1,1)B ，所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+(0,0,1)(1,1,1)(,,1)λλλλ=-+--=---+（01λ≤≤）1(0,1,1)DC =，则设直线1B P 与1C D 所成角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则111111cos cos ,B P DC B P DC B P DC θ⋅===⋅ ，由01λ≤≤，所以221223213,2333λλλ⎛⎫⎡⎤-+=-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，13cos ,22θ⎡∈⎢⎣⎦，所以ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）A.38πcmB.38cm πC.316cm πD.34cm π【答案】BD 【解析】【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm ，高为2cm 的和圆柱的底面周长为2cm ，高为4cm ，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】 侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，若圆柱的底面周长为4cm ，则底面半径2cm πR =，2cm h =，此时圆柱的体积238πcm πV R h ==若圆柱的底面周长为2cm ，则底面半径1cm πR =，4cm h =，此时圆柱的体积23πcm π4V R h ==故选：BD10.已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其方差()1D X =，随机变量Y 服从正态分布(),4N p ，且()()21P X P Y a =+<=，则（）A.12p =B.()328P X ==C .()38P Y a <=D.()118P Y a >-=【答案】AB 【解析】【分析】根据二项分布的方差公式得到方程求出p ，再根据独立重复试验的概率公式求出()2P X =，即可判断A 、B 、C ，最后根据正态分布的性质判断D.【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布()4,B p ，且其方差()1D X =，所以()()411D X p p =-=，解得12p =，故A 正确；所以()22241132C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()21P X P Y a =+<=，所以()58P Y a <=，所以B 正确，C 错误；所以1,42Y N ⎛⎫⎪⎝⎭，则正态曲线关于12x =对称，因为()11122a a -=--，所以()()518P Y a P Y a >-=<=，故D 错误.故选：AB11.已知直线1y x =+交椭圆22:163x yC +=于A ，B 两点，P 是直线AB 上一点，O 为坐标原点，则（）A.椭圆C 的离心率为22B.423AB =C.2OA OB ⋅=-D.若1F ，2F 是椭圆C 的左，右焦点，则21PF PF -≤【答案】AD 【解析】【分析】根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可求出离心率，即可判断A ，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断B ，求出()()121211y y x x =++，根据数量积的坐标表示判断C，设()1F 关于直线AB 的对称点为(,)E e f ，求出对称点的坐标，再根据221P P F F F E -≤，即可判断D.【详解】解：因为椭圆22:163x y C +=，所以26a =，23b =，则a =，c ==所以离心率22c e a ===，故A 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，由221163y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得23440+-=x x ，显然0∆>，所以1243x x +=-，1243x x =-，所以12823AB x =-==，故B 错误；又()()1212121251113y y x x x x x x =++=+++=-，所以12123OA OB x x y y ⋅=+=-，故C 错误；设()1F 关于直线AB 的对称点为(,)E e f ，则13122f e =-+⎪=+⎪⎩，解得11e f =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即(1,1E --，则1PF PE =，2221PF P P F E F E P F =--≤，当且仅当P ，E ，2F 三点共线时取等号，所以21PF PF -的最大值为2EF =，即21PF PF -≤，故D 正确，故选：AD12.已知函数()()3e xf x x =-，若经过点()0,a 且与曲线()y f x =相切的直线有两条，则实数a 的值为（）A.3-B.2- C.e- D.2e -【答案】AC【解析】【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案.【详解】设切点为()(),3e tt t -，由()()3e xf x x =-，得()()()e 3e 2e xxxf x x x ='+-=-，则过切点的切线方程为：()()()3e 2etty t t x t --=--，把()0,a 代入，得()()()3e 2e 0tta t t t --=--，即()2e 33ta t t -=-+，令()()2e33xg x x x =-+，则()()2e xg x x x ='-，则当()(),01,x ∞∞∈-⋃+时，()0g x '>，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x ∴的增区间为(),0∞-与()1,+∞，减区间为()0,1，做出草图如下：因为过点()0,a 且与曲线()y f x =相切的直线有两条，则e a -=或3a -=，则3a =-或e a =-，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(a = ，(b =-，则a b b ⋅-= ______．【答案】0【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模长公式，直接进行计算即可.【详解】((4,1,4620a b b ⋅-=⋅---+-=，故答案为：014.写出一个同时满足下列条件的非常数函数______．①在[)0,∞+单调递增②值域[)1,+∞③()()=f x f x -【答案】()21f x x =+（不唯一）【解析】【分析】结合函数的性质选择合适函数即可.【详解】由()()=f x f x -得函数为偶函数，关于y 轴对称，结合单调性及值域，可以为()21f x x =+.故答案为：()21f x x =+（不唯一）.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为______．【答案】169【解析】【分析】根据题意可知所求数为能被12除余1，得出数列{}n a 的通项公式，然后再求解项数即可.【详解】解：因为能被3除余1且被4除余1的数即为能被12除余1的数，故1211,(N )n a n n *=-∈，又2022n a ≤，即12112022n -≤，解得203312n ≤，又*N n ∈，所以1169n ≤≤且*N n ∈.故答案为：169.16.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，A ，C 为()f x 的图象与x 轴交点，且1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，M ，N 是()f x 的图象与圆心为C 的圆（虚线所示）的交点，且点M 在y 轴上，N 点的横坐标为23，则圆C 的半径为______．【答案】3【解析】【分析】根据函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性可得函数的周期，结合1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得π()2sin(2π3f x x =+，进而求解M 的坐标，由勾股定理即可求解半径.【详解】根据函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心(,0)C c 对称，所以13c =，于是11π12π2622T c ωω=+=⇒=⇒=，由2πω=及1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得ππ0π,Z π,Z 33k k k k ϕϕ-+=+∈⇒=+∈，由于π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin(2π)3f x x =+，(0)f =，从而M ，故半径为3CM ==,故答案为：273四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足11a =，()()1102n n n a na n ---=≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =（2）()1122n n S n +=-⋅+【解析】【分析】（1）由题意得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，可数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列前n 项和.【小问1详解】由()()1102n n n a na n ---=≥，得()121n n a a n n n -=≥-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，有111n a a n ==，∴n a n =【小问2详解】22n n n n b a n =⋅=⋅，()123122232122n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，()2341222232122n n n S n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，两式相减，()()12311121222222212212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以()1122n n S n +=-⋅+18.如图，在ABC 中，4AB =，2AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos 7ADB ∠=-．（1）求BD ；（2）求ABC 的面积．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）由cos 7ADB ∠=-求出sin ADB ∠，再由正弦定理即可求出BD（2）根据余弦定理可求出BC ，进而求出ABC 的面积.【小问1详解】在ADB中，cos 7ADB ∠=-，则sin 7ADB ∠=，π6B =，所以1sin sin 6272714BAD ADB π⎛⎫⎛⎫∠=+∠=⨯-+⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理可得：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠2127147BD =⇒=.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得：23164cos30224BC BC +-︒==⋅，解得：BC =.所以ABC的面积11422S =⨯⨯=.19.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的100位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性4515男性2020假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．（1）根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？（2）若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业作为首选志愿的人数．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；（2）6.【解析】【分析】（1）首先利用数据求得()2210045201520 6.593 6.63560406535K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，对照表格数据即可得解；（2）根据人数可得女生中首选志愿为师范专业的概率0.75P =，设该校考生中随机选择8位女生中选择师范专业作为首选志愿的人数为x ，所以(8,0.75)x B ，利用二项分布即可得解.【小问1详解】根据所给数据求得()2210045201520 6.593 6.63560406535K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.【小问2详解】100名高考考生中有60名女生，首选志愿为师范专业有45人，故首选志愿为师范专业的概率0.75P =，设该校考生中随机选择8位女生，选择师范专业作为首选志愿的人数为x ，所以(8,0.75)x B ，所以()80.756E x =⨯=，所以随机选择8位女生计选择师范专业作为首选志愿的人数为6.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，1PA =，2BC CD ==，3AB =，点E 在棱PC 上．（1）证明：平面AED ⊥平面PAB ；（2）已知点E 是棱PC 上靠近点P 的三等分点，求二面角C AE D --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）由题意可证得PA AD ⊥，又AB AD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PAB ,再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面CAE 和平面AED 的法向量，再由二面角公式即可得出答案.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，PA AB A = ，PA AB Ì，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ，所以平面AED ⊥平面PAB .【小问2详解】以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，过C 作//CG AD ，交AB 于点G ，则易知四边形ADCG 是矩形，所以AD CG ===，则(0,0,0)A ,(3,0,0)B ,(0,0,1)P,(2C,D ,E 是棱PC 上靠近点P 的三等分点，所以设(),,E x y z ，则13PE PC = ，所以()()1,,113x y z -=-，则232,,333x y z ===，则232,,333E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,,333AE AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅= 且0n AE ⋅= ,0=且2320333x y z ++=,∴0y =,令1x =,则1z =-,∴平面ADE 的一个法向量()1,0,1n =-,设平面ACE 的法向量为111(,,)m x y z =,()()0,0,1,AP AC == 则0m AC ⋅= 且0m AP ⋅=,∴10z =且1120x =,∴令x ==2y -,∴平面ACE的一个法向量)2,0m =-,∴cos ,14m n m n m n⋅===,二面角C AE D --的余弦值为14.21.已知直线220x y +-=过抛物线()2:20C x py p =>的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）动点A 在抛物线C 的准线上，过点A 作抛物线C 的两条切线分别交x 轴于M ，N 两点，当AMN 的面积是时，求点A 的坐标．【答案】（1）24x y =（2）()1,1A -或()1,1--【解析】【分析】（1）求出焦点坐标为()0,1，从而得到2p =，求出抛物线方程；（2）设出(),1A m -，过点A 的抛物线的切线方程设为()1y k x m =-+-，与抛物线方程联立，根据Δ0=得到21616160k mk --=，设过点A 的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,k k ，求出1212,1k k m k k +==-，表达出1221MN x x k k =-=-，AMN S =52=，求出1m =±，得到点A 的坐标.【小问1详解】220x y +-=中令0x =得：1y =，故焦点坐标为()0,1，故12p=，解得：2p =，故抛物线方程为24x y =；【小问2详解】抛物线准线方程为：1y =-，设(),1A m -，过点A 的抛物线的切线方程设为()1y k x m =-+-，联立24x y =得：24440x kx km -++=，由21616160k mk ∆=--=，设过点A 的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,k k ，故1212,1k k m k k +==-，令()1y k x m =-+-中，令0y =得：1x m k=+，不妨设121211,x m x m k k =+=+，故211221121211k k MN x x k k k k k k -=-=-==-，则211151222AMN S MN k k =⨯=-===，解得：1m =±，故点A 的坐标为()1,1A -或()1,1--.【点睛】已知抛物线方程22y px =，点()00,A x y 为抛物线上一点，则过点()00,A x y 的抛物线切线方程为()00y y p x x =+，若点()00,A x y 在抛物线外一点，过点()00,A x y 作抛物线的两条切线，切点弦方程为()00y y p x x =+.22.已知函数()e xf x x =，()2ln22xg x =+．（1）求函数()f x 的最值；（2）若关于x 的不等式()()f x g x kx -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小值为1(1)f e-=-，无最大值.（2）2k ≤【解析】【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数22()e ln 2x x g x x x=--，利用导数结合单调性讨论其最小值即可求解.【小问1详解】因为()e xf x x =，所以()e e (1)e xxxf x x x '=+=+，令()(1)e 0xf x x '=+>解得1x >-，令()(1)e 0xf x x '=+<解得1x <-，所以()e xf x x =在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，所以当=1x -时，()f x 有最小值为1(1)f e-=-，无最大值.【小问2详解】由()2ln22xg x =+的定义域可得()0,x ∈+∞，()()f x g x kx -≥即e 2ln 22x xx kx --≥，等价于22e ln (0)2xx k x x x≤-->恒成立，令22()e ln 2x x h x x x=--，所以222222e 2ln22222()e ln e ln 22x x x x x x xh x x x xx x +⎡⎤⎛⎫'=--++=+=⎪⎢⎝⎭⎣⎦，令2()e 2ln,02xxF x x x =+>，所以()2()2e 02xxF x x x '=++>在()0,x ∈+∞恒成立，所以2()e 2ln,2xxF x x =+单调递增，1e(1)e ln 40,()ln16024F F =->=->，所以存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0()0F x =，即0200e 2ln 02x x x +=，所以当()000,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，()00,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以00min 00022()()e ln ,2x x h x h x x x ==--由0200e 2ln 02x x x +=得00002e ln02x x x x +=，也即002ln 002e ln e x x x x =，即002()(ln )f x f x =，由(1)知()f x 在()1,-+∞单调递增，所以002lnx x =，00002e ,ln 2x x x x =-=，所以000min 00000022222()()e ln ln 222xx x g x g x x x x x x ==--=-=，所以2k ≤.【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价变形为22e ln (0)2xx k x x x ≤-->,从而min 22e ln 2x x k x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，构造函数讨论单调性及最值是常用的方法，解决的关键在于利用零点的存在性定理得0200e 2ln02xx x +=，再根据（1）得()e xf x x =的单调性，进一步得到002lnx x =，00002e ,ln 2x x x x =-=，等量代换求出最小值.。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (6)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题6学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=A.⌀B.SC.TD.Z2．复数z满足2-3i3+2i·z-3i=2,则|z|=A.2B.3C.√5D.√133．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=lnx(x>1)的图象上的动点，该图像在点P处的切线l交x轴于点M.过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是A.1e2B.e2+12eC.34√e4√eD.14．已知集合M={x|y=lg1−xx}，N={y|y=x2+2x+3}，则(C R M)∩NA.{x|0＜x＜1}B.{x|x＞1}C.{x|x≥2}D.{x|1＜x＜2} 5．已知x=2是函数f(x)=x3−3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为A.15B.16C.17D.186．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有A.60种 B.120种 C.240种 D.480种7．如图为某四棱锥的三视图,则其长为√6的侧棱与长为2的底边所成的角的正切值为A.2B.1C.√63D.√58．执行如图所示的程序框图,当输出的值为1时,输入的x值是A.±1B.1或√3C.-√3或1D.-1或√39．已知数列{a n}满足a n+1=a n-2,且S n是{a n}的前n项和.若S6=0,则a3=A.0B.-1C.1D.310．已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2D.当∠PBA最大时,|PB|=3√211．将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为A.π2B.π3C.π4D.π612．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f (x )=sin(ωx -π6)(ω>0)在[0,π]上有且仅有3个零点,则函数f (x )在[0,π]上存在 个极小值点,实数ω的取值范围是 .(第一空2分,第二空3分) 14．对一个边长互不相等的三角形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P(3),则 (1)P(3)= .(2)设a n =n ×2P(3)+n -6,则数列{a n }的前n 项和S n = .15．已知a ,b ,c 为三条不同的直线,且a ⊂平面M ,b ⊂平面N ,M ∩N =c ,给出下列四个命题: ①若a 与b 是异面直线,则c 至少与a ,b 中的一条相交; ②若a 不垂直于c ,则a 与b 一定不垂直; ③若a ∥b ,则必有a ∥c ;④若a ⊥b ,a ⊥c ,则必有M ⊥N .其中正确的命题的个数是 .16．已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,左、右顶点分别为A ,B ,过点A 且斜率为√33的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,且M⃗⃗ ·M ⃗⃗ =0,则该双曲线的离心率是 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且满足(b -c )2=a 2-bc .(1)求角A 的大小;(2)若a =3,sin C =2sin B ,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图所示为一个半圆柱,E 为半圆弧CD 上一点,CD =√5.(1)若AD =2√5,求四棱锥E -ABCD 的体积的最大值.(2)有三个条件:①4DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②异面直线AD 与BE 所成角的正弦值为23;③sin∠EAB sin∠EBA=√62. 请你从中选择两个作为条件,求直线AD 与平面EAB 所成角的余弦值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19．(本题12分)随着运动APP 和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传.小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数,并整理成下表:(1)请估算这一天小王朋友圈中所有好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).(2)若用A 表示事件“走路步数少于平均步数”,试估计事件A 发生的概率.(3)若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中年龄在40岁以上的中老年共有300人,其中“健步达人”恰有150人,请填写下面2×2列联表.根据列联表判断,有多大把握认为“健步达人”与年龄有关?附:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).20．(本题12分)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,且经过点(√2,√22).(1)求椭圆Γ的方程.(2)是否存在经过点(0,2)的直线l 与椭圆Γ相交于不同的两点M ,N ,使得M ,N 与y 轴上的一点P 连线后组成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.21．(本题12分)已知函数f(x)=2x 2-aln x.(1)若函数f(x)的图象恒过定点M,且f '(x)的图象也过点M,求a 的值; (2)判定函数f(x)极值点的个数;(3)试问:对某个实数m,方程f(x)=m-cos 2x 在(0,+∞)上是否存在三个不相等的实根?若存在,请求出实数a 的范围;若不存在,请说明理由.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
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数学（文科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，集合{2,3}B =，则=)(B A C U (Ａ) {}4 (Ｂ) {}0,1,2,3 (Ｃ) {}3 (Ｄ) {}0,1,2,4 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）已知双曲线：C 22221x y a b-=（0,0>>b a ）的渐近线方程为2y x =±, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是(A)31 (B)83 (C)21 (D)85 （5）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ （A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- （6）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6（7）已知函数2,0, ()1,0,x xf xxx⎧≥⎪=⎨<⎪⎩()()g x f x=--，则函数()g x的图象是（8）曲线xy2=上存在点),(yx满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+mxyxyx323，则实数m的最大值为(A)2(B)23(C) 1(D) 1-（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）若将函数()sin2cos2f x x x=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称，则ϕ的最小正值是( )．(Ａ)8π(Ｂ)4π(Ｃ)38π(Ｄ)34π（11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是(A) π25(B) π425(C) π29(D) π429(12) 若函数()()xaxexf x cossin+=在⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，上单调递增，则实数a的取值范围是(A) (]1,∞-(B) ()1,∞-(C) [)1,+∞(D) ()1,+∞527536869438594678309754570324173326498598765432甲城市乙城市第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。
第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =________． （14）已知函数()()221log 1x f x x +=-，若()2=f a ，则()f a -= ． （15）设,P Q 分别是圆()2213x y +-=和椭圆2214x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大 距离是 .（16）已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ， b c C 2cos 2=+，则△ABC 的周长的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[=. 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.（18）（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲, 乙两座城市2016年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，从PM2.5日均值在[]60,80范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率； （Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年 的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按365天计算） 中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．PECBA(19) （本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中, △PAB 是等边三角形, ∠APC =∠60BPC ︒=. （Ⅰ）求证: AB ⊥PC ;（Ⅱ）若4=PB ，BE PC ⊥，求三棱锥PAE B -的体积.(20) （本小题满分12分）已知点()()1122,,,A x y B x y 是抛物线28y x =上相异两点，且满足124x x +=．（Ⅰ）若直线AB 经过点()2,0F ，求AB 的值；（Ⅱ）是否存在直线AB ，使得线段AB 的中垂线交x 轴于点M , 且24||=MA ? 若存在，求直线AB 的方程；若不存在，说明理由.(21) （本小题满分12分）设函数()()ln f x mx n x =+. 若曲线()y f x =在点e,(e))P f （处的切线方程为2e y x =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若,R a b +∈，试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小，并予以证明.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()3≤x f 的解集是}{21|≤≤-x x . （Ⅰ）求a 的值； （II ）若()()||3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.数学（文科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1- （14）0 （15（16）1,3⎤⎦三、解答题 (17) 解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩ ……………………2分解得11=a ，2=d ， …………………………………………4分 所以12-=n a n .………………………………………………………………5分（Ⅱ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，…………………………………………6分当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;…………………………………………7分当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………8分当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………9分当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n . ………………………………………10分 所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯. ……12分(18) 解:（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在[]60,80内的共有6天，而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天．记PM2.5日均值超标的3天为123,,D D D ，不超标的3天为123,,d d d ，则从这6天中随机取2天，共有如下15D PE CB A种结果（不记顺序）:()()()()()()121323121323,,,,,,,,,,,D D D D D D d d d d d d ，()()()111213,,,,,D d D d D d ，()()()()()()212223313233,,,,,,,,,,,.D d D d D d D d D d D d ……………………2分其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：()()()121323,,,,,D D D D D D ．…4分 由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率31155P ==． ……………………6分 （Ⅱ）各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级；……………………7分 乙城市有16天达到一级或二级． …………………………………………8分 由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:15365273.7527420n =⨯=≈甲， 1636529220n =⨯=乙．……………………12分 (19) 解:（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形, ∠APC =∠60BPC ︒=,所以PBC ∆≌PAC ∆, 可得AC BC =. …………1分如图, 取AB 中点D , 连结PD ,CD ,则PD AB ⊥,CD AB ⊥, ……………………3分 因为,PDCD D =所以AB ⊥平面PDC , ………………………………………………………………4分 因为PC ⊂平面PDC ,所以AB PC ⊥. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为 PBC ∆≌PAC ∆,所以AE PC ⊥, AE BE =. ………………………………………………………6分由已知4=PB ，在Rt PEB ∆中, 4sin 60BE ︒==,4cos60 2.PE ︒== ………………………………………………8分 因为BE PC ⊥, AE PC ⊥, E AE BE = ,所以ABE PE 平面⊥. ……………………………………………………………9分 因为4=AB , 32==BE AE ，所以AEB ∆的面积12=⋅=S AB ……………………10分因为三棱锥PAE B -的体积等于三棱锥ABE P -的体积, 所以三棱锥B PAE -的体积11233V S PE =⋅=⨯=. ………………12分 (20) 解：（I ）法1：①若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 方程为2x ．联立方程组28,2,y x x ⎧=⎨=⎩ 解得⎩⎨⎧==,4,2y x 或⎩⎨⎧-==,4,2y x 即2,4A ，2,4B ． ……………………………………………………………1分 所以8AB． ……………………………………………………………2分②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为2yk x ， 联立方程组28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 消去y 得22224840k x k xk ，故2122484k x x k ，方程无解． …………………………………………3分所以8AB ．法2：因为直线AB 过抛物线28y x =的焦点()2,0F ，根据抛物线的定义得，12AF x =+，22BF x =+， …………………………………………………………2分 所以1248AB AF BF x x =+=++=. …………………………………………3分 （II ）假设存在直线AB 符合题意，设直线AB 的方程为ykx b ，联立方程组28,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得222280k x kb x b ，(*)故122284kb x x k ，……………………………………………………………4分所以42bk k．所以22222124⎪⎭⎫⎝⎛-==k k b x x ． …………………………………………………………5分所以22121214ABkx x x x 4281k k．…………………………………………………………6分 因为12128242y y k x x b k bk． 所以AB 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛k C 4,2．所以AB 的中垂线方程为4y k -=()12x k--，即60x ky +-=． ………………7分 令0y =, 得6x =.所以点M 的坐标为()6,0. ……………………………………………………………8分 所以点M 到直线AB 的距离2216(62)dCM k 241k .因为222||||2AB MA CM ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，………………………………………………………9分所以2222k k ⎛⎛=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得1±=k ． ………………………………………………………………10分 当1k 时，2b ；当1k 时，2b ．把1,2,k b =⎧⎨=⎩和1,2,k b =-⎧⎨=-⎩分别代入(*)式检验, 得0∆=,不符合题意. …………………11分 所以直线AB 不存在. ……………………………………………………………12分(21) 解:（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x+'=+. ………………………………………………………………1分 依题意得(e)e,(e)2f f '==，即e e,e 2,e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………3分 所以1,0m n ==. ………………………………………………………………4分 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.当1(0,)ex ∈时, ()0f x '<; 当1(,)e x ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e , 单调递增区间是1(,)e+∞.………………6分（Ⅱ）当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥. ()()()22f a f b a b f ++≥等价于ln ln ln 222a a b b a b a b+++≥，也等价于2ln (1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥. ………………………………………7分不妨设a b ≥，设()()ln 2(1)ln(1)ln 2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）,则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+. …………………………………………………………8分 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数，即()ln 2(1)ln(1)ln 2(1)0g x x x x x g =-+++≥=， ……………………9分 故当[1,)x ∈+∞时，()ln 2(1)ln(1)ln 20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等 号）.令1a x b =≥，则()0ag b ≥， …………………………………………10分 即2ln (1)ln(1)ln 20a a a a b b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………11分 综上所述，当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥（当且仅当a b =时取等号）.………………………………………………………………12分(22) 解: (Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos 4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分(II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分当2ϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分(23) 解：（II）因为()()()()212121212.3333x xx xf x f x--+-+++-=≥=………………7分3f xk存在实23. ………………8分………………………………………………………9分是22,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭分。