2018-2019学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科
组合有（ ）
A．8 种
B．12 种
C．16 种
D．20 种
【答案】C
【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况
对应的组合数，即可求出结果.
【详解】
若一名学生只选物理和历史中的一门，则有 C21C42 12 种组合；
14．已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且 f (x) 2x f (1) ln x ，则 f (1) __________．
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【答案】 1 【解析】 f (x) 2 f (1) 1 ,则 f (1) 2 f (1) 1 ，所以 f (1) 1 .
详解：点 P 是曲线 f（x）=x2﹣lnx 上任意一点，
当过点 P 的切线和直线 x﹣y﹣2=0 平行时，
点 P 到直线 x﹣y﹣2=0 的距离最小．
直线 x﹣y﹣2=0 的斜率等于 1，
1
1
由 f（x）=x2﹣lnx，得 f′（x）=2x﹣ =1，解得：x=1，或 x=﹣ （舍去），
x
2
故曲线 f（x）=x2﹣lnx 上和直线 x﹣y﹣2=0 平行的切线经过的切点坐标（1，1），
【详解】
2i 解：∵ 1 i
2i 1 i 1 i1 i
1
i
，
2i ∴ 1 i 的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选：C．
【点睛】
考查了共轭复数的概念和运算，属于基础题.
3． 0 (x ex )dx 1
A． 1 1 e
C． 3 1 2e
【答案】C
B． 1 D． 3
2
【解析】求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限作差得答案．
若一名学生物理和历史都选，则有 C41 4 种组合； 因此共有12 4 16 种组合.
故选 C
【点睛】
本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.
10．若点 P 是函数 f (x) x2 ln x 上任意一点，则点 P 到直线 x y 2 0 的最小距
命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是“∃x0＞0，x2≤0”. 故选:D
【点睛】
本题考查命题的否定形式，注意全称量词与特称量词的转换，属于基础题.
2． 设 i 是虚数单位，复数 z 2i ，则 z 的共轭复数为（ ） 1i
A． 1 i
B．1 i
C． 1 i
D．1 i
【答案】C
【解析】先将复数 z 进行化简，然后求得共轭复数.
离为 ( )
A． 2
【答案】A
B． 2 2
1
C．
2
D．3
【解析】分析：由题意知，当曲线上过点 P 的切线和直线 x﹣y﹣2=0 平行时，点 P 到直线
x﹣y﹣2=0 的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于 1，可得切点的坐标，
此切点到直线 x﹣y﹣2=0 的距离即为所求．
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xdx
的值为(
A．1+
2
1 B． +
24
C． 1+
4
【答案】B
)
1 D． +
22
【解析】根据微积分基本定理和定积分的几何意义，即可求解定积分的值.
【详解】
1
0
1
由题意得 f (x)dx (x 1)dx
1
1
0
1
x2 dx
(1 2
x2
x) |01
4
1 2
4
，故选
B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的积分，以及定积分的几何意义，同时考查了运算求解的能力，
故选 B 【点睛】 本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来， 将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空， 利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。
二、填空题
13．若复数 z 3 4i1 i （ i 为虚数单位）， z ________
2018-2019 学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学 期第一次月考数学（理）试题
一、单选题 1．命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是（ ）
A．∀x＞0，x2＜0 【答案】D
B．∀x＞0，x2≤0
C．∃x0＞0，x2＜0 D．∃x0＞0，x2≤0
【解析】根据全称命题的否定形式，即可求解.
【详解】
【详解】
正方形 ABCD 的内切圆半径为 r1
, 外接圆半径为 r2 ，半径比
r1 r2
1
，面积比为半径
2
比的平方
S1 S2
1 2
，类比正方正方体
ABCD
A1B1C1D1 内切球半径为 r1
, 外接球半径为
r2
，径比
r1 r2
1 ，所以体积比是半径比的立方 V1 =
3
V2
3 ，填 9
3。 9
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1
A．
2
B． 3 2
C． 3 4
D． 6 4
【答案】A
【解析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出 2c a ，然
后求得离心率 e c 1 即可. a2
【详解】 由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，
即 2c a
所以离心率 e c 1 a2
故选 A 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.
5．函数 f (x) ex 的图象大致为（ ） x
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【解析】函数 f x ex 的定义域为 (,0) (0, ) ，排除选项 A；
x
当 x 0 时， f x 0 ，且 f ' x (x 1)ex ，故当 x 0,1 时，函数单调递减，当
f x x3 3ax2 bx 2a2 在 x 2 时有极值 0．
当 a 2 ， b 12 时， f x 3x2 12x 12 ，不满足题意：函数
f x x3 3ax2 bx 2a2 在 x 2 时有极值 0．
a b 40 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于
【答案】 5 2
【解析】利用复数的乘法运算将复数化简为 a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算 即可得到答案. 【详解】
z 3 4i1 i 3 3i 4i 4 i2 =7+i,
则 z 72 1 50 5 2 ， 故答案为: 5 2 .
【点睛】 本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.
x2
x 1, 时，函数单调递增，排除选项 C；
当 x 0 时，函数 f x ex 0 ，排除选项 D，选项 B 正确．选 B．
x
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
x
15．用 0，1，2，3，4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为_____． 【答案】60
【解析】组成四位偶数，对个数进行分类，分为个位数为 0 ，和个位数为 2, 4 两类，然
后按排列数公式即可求解. 【详解】
本题需要分类来解， 当末位是数字 0 时，可以组成 A43＝24 个， 当末位不是 0 时，末位可以是 2，4，有两种选法， 首位有 3 种选法，中间两位可以从余下的 4 个数字中选两个， 共有 C21C31A32＝36 种结果， 根据分类计数原理知共有 24+36＝60 种结果. 故答案为:60 【点睛】 本题考查含条件的排列问题，合理分类是解题的关键，属于基础题.
则有
A44 24 种顺序 《将进酒》排在《望岳》的前面， 这 4 首诗词的排法有 A44 12 种
2 ②，这 4 首诗词排好后，不含最后，有 4 个空位，在 4 个空位中任选 2 个，安排《山居 秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有 A43 12 种安排方法 则后六场的排法有12 12 144 种
A．288 种
B．144 种
C．720 种
D．360 种
【答案】B
【解析】根据题意分 2 步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗
词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，
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由分步计数原理计算可得答案 【详解】
根据题意分 2 步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的 4 首诗词全排列，
f f
2 0 2 0 ，解得
a，b，
并且验证即可得出．
【详解】
函数 f x x3 3ax2 bx 2a2 ， f x 3x2 6ax b ，若在 x 2 时有极值 0，
f 2 0
可得
f
2
0
，
则
128121a2a2b
Hale Waihona Puke Baidu
2
a2
b
0
0
，解得：
a
2
，
b
12.
或
a
4
，
b
36
，
当 a 4 ， b 36 时， f x 3x2 24x 36 满足题意函数
点（1，1）到直线 x﹣y﹣2=0 的距离等于 2 ，
故点 P 到直线 x﹣y﹣2=0 的最小距离为 2 ．
故选：A． 点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体
现了数形结合的数学思想，属于中档题．
11．已知函数
f
x
x 11 x
1 x2 0
0
1
，则 f
x 1 -1
详解：
由曲线 y x ， y 2 x ，可得 A 的横坐标为
1，由 y 2 x ， y 1 x 可得 B 的横坐标为 3． 3
【详解】
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解：
0
(x
1
ex
)dx
(1 2
x2
ex
)
|01
1 0 e0 1 (1)2 e1
2
2
1 1 1 1 3 ． 2e e2
故选：C．
【点睛】
本题考查了定积分，解答的关键是求出被积函数的原函数，属于基础题．
4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
【点睛】 立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结 果。
三、解答题
17．求曲线 y x ， y 2 x ， y 1 x 所围成图形的面积． 3
【答案】平面图形的面积 13 6
【解析】【详解】
分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；
本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从 到
项的
变化，属于中档题.
7．函数 f x x3 3ax2 bx 2a2 在 x 2 时有极值 0，那么 a b 的值为 ( )
A．14
B．40
C．48
D．52
【答案】B
【解析】
f
x
3x2
6ax
b
，若在
x
2
时有极值
0，可得
16．在平面几何中，若正方形
ABCD 的内切圆面积为 S1, 外接圆面积为 S2 , 则
S1 S2
1 2
，
推广到立体几何中，若正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球体积为V1, 外接球体积为V2 ，
则 V1 _______． V2
【答案】 3 9
【解析】由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果。
属于基础题．
12．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词 在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送 杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山 居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）
6．数学归纳法证明
，过程中由 到
时，
左边增加的代数式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】求出当 【详解】
时，左边的代数式，当
时，左边的代数式，相减可得结果．
当 时，左边的代数式为
，
当
时，左边的代数式为
，
故用
时左边的代数式减去 时左边的代数式的结果为：
，故选 D．
【点睛】
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中档题．
8．若|z+3+4i|＝2，则|z|的最大值是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【解析】根据模长的几何意义，复数 z 对应的点在圆上， | z | 转化为圆上的点与坐标原
点的距离的最大值，即可求解. 【详解】
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|z+3+4i|＝2 表示复数 z 对应的点在以 C(3, 4) 为圆心
半径长为 2 的圆上，| z | 为圆上的点与坐标原点 O 距离，
其最大值为| OC | 2 7 .
故选:C
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，数形结合是解题的关键，属于基础题.
9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”
指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必