小专题(八) 线段长度的几种计算方法

当题目中有比例关系或倍分关系，以及数量关系比较复杂时， 常利用方程思想求解．
5．如图，线段 AB 被点 C，D 分成了 3∶4∶5 三部分，且 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之间的距离是 40cm，求 AB 的长．
解：设 AB 的长为 xcm.因为线段 AB 被点 C，D 分成了 3∶4∶ 5 三部分，所以 AC＝132x，CD＝142x，DB＝152x.
解：设 BD＝xcm，则 AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm. 因为点 E，点 F 分别为 AB，CD 的中点， 所以 AE＝12AB＝1.5xcm，CF＝12CD＝2xcm. 所以 EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x(cm)． 因为 EF＝10cm， 所以 2.5x＝10，解得 x＝4. 所以 AB＝12cm，CD＝16cm.
解：(1)因为 AB＝24，CD＝10， 所以 AC＋DB＝14. 所以12(AC＋DB)＝MC＋DN＝7. 所以 MN＝MC＋CD＋DN＝17. (2)因为 AB＝a，CD＝b，所以 AC＋DB＝a－b. 所以 MC＋DN＝12(AC＋DB)＝12(a－b)． 所以 MN＝MC＋DN＋CD＝12(a－b)＋b＝12(a＋b)．
又因为 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之间的距离是 40cm， 所以 MC＝234x，DN＝254x. 所以234x＋142x＋254x＝40.解得 x＝60. 所以 AB 的长为 60cm.
6．如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部分 BD＝13AB＝14CD， 线段 AB，CD 的中点 E，F 之间的距离是 10cm，求 AB，CD 的长．
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第4章 图形的认识 小专题（八）
线段长度的几种计算方法
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结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式，再利 用和、差关系求解．
1．如图，已知线段 AB 的长度是 acm，线段 BC 的长度比线段 AB 长度的 2 倍多 5cm，线段 AD 的长度比线段 BC 长度的 2 倍少 5cm.
B．3cm
C．7cm 或 3cm
D．5cm
3．如图，C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 AC 的中点，N 是 线段 BC 的中点，且 MN＝3cm，则 AB 的长为6cm.
4．(永州月考改编)如图，已知点 C，D 为线段 AB 上顺次两点， M，N 分别是 AC，BD 的中点．
(1)若 AB＝24，CD＝10，求 MN 的长； (2)若 AB＝a，CD＝b，请用含有 a，b 的式子表示出 MN 的长．
8．如图，数轴上 A，B 两点对应的有理数分别为 10 和 15，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 Q 同时从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运 动，设运动时间为 t 秒．
(1)当 0＜t＜5 时，用 ；
解：MN＝12a.因为 M，N 分别是 AC，BC 的中点，所以 MC＝ 12AC，CN＝12BC.
又因为 MN＝MC＋CN，所以 MN＝12(AC＋BC)＝12a.
【变式 1】 若将例题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”，其他条件不变，(3)中结论还成立吗？请 画出图形，写出你的结论，并说明理由．
(1)写出用 a 表示的线段 CD 长的式子； (2)当 a＝15 时，求线段 CD 的长． 解：(1)BC＝2a＋5，AD＝2BC－5＝2(2a＋5)－5＝4a＋5，CD ＝DA＋AB＋BC＝(4a＋5)＋a＋(2a＋5)＝7a＋10. (2)当 a＝15 时，CD＝7×15＋10＝115(cm)．
解：MN＝12a 成立，因为 M，N 分别是 AC，BC 的中点，所以 MC＝12AC，CN＝12BC.
又因为 MN＝MC－CN，所以 MN＝12(AC－BC)＝12a.
【变式 2】 若将例题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 BA 的延长线上”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请画 出图形，直接写出你的结论．
当题目中没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨 论，确保答案的完整性．
7．已知 M 为线段 AB 的三等分点，且 AM＝6，求线段 AB 的 长．
解：当 M 为靠近 A 的三等分点时，如图 1， 因为 AM＝13AB，所以 AB＝3AM＝18；
当 M 为靠近 B 的三等分点时，如图 2， 有 AM＝23AB，所以 AB＝32AM＝9.
解：MN＝12a.
如图，只要点 C 在线段 AB 所在直线上，点 M，N 分别是 AC， BC 的中点，那么 MN 就等于 AB 的一半．
2．已知线段 AB＝10cm，点 C 是直线 AB 上一点，BC＝4cm，
若 M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点，则线段 MN 的长度是(D)
A．7cm
【例】 (岳阳期末改编)如图，点 C 在线段 AB 上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点．
15 (1)若 AC＝9cm，CB＝6cm，则线段 MN 的长为a2＋bcm； (2)若 AC＝acm，CB＝bcm，则线段 MN 的长为 2 cm；
(3)若 AB＝a，你能猜想 MN 的长度吗？说明理由．
(2)当 t＝2 时，求 PQ 的值； (3)当 PQ＝12AB 时，求 t 的值． 解：(2)当 t＝2 时，AP＜5，点 P 在线段 AB 上；OQ＜10，点 Q 在线段 OA 上．(如图所示)
此时 PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝ (10＋t)－2t＝10－t＝10－2＝8.
(3) PQ＝|OP－OQ|＝|(OA＋AP)－OQ|＝ |(10＋t)－2t|＝|10－t|. 因为 PQ＝12AB，所以|10－t|＝2.5. 解得 t＝7.5 或 t＝12.5.