薛定谔方程
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* 1 * 2
第三项为 相干项
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性， 出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
波函数的一些概念总结
（1） 波函数是几率波 （2） 波函数是波粒二象性的体现：测不准关系； （3） 波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内 找到粒子的几率； （4） 波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限； 和10 描述的是同一个波函数。
2
1 2 2 2 p
(1)–(2)式
或
2 2 p2 2 2
(2)
2 2 p2 (i ) ( E ) t 2 2
p2 对自由粒子， E 2
所以
2 2 i t 2
（3）
i E i E t t
p2 E V (r ) 2
将其作用于波 函数得：
p2 E [ V (r )] 2
做（4）式的 算符替换得：
2 2 i (r , t ) [ U (r )](r , t ) t 2
• 该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为 波动方程。
满足态叠加原理
C11 C2 2 2 W1 | C1 1 | , 处于态1和态2的几率分别为：
组合：
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1
W2 | C2 2 |2
W | 2 |
* 2
W C 1 C 2 C1C 2 ( 2 1 ) W1 W2 C1C 2 ( 2 1 )
2
( r )e
2 i Et
2 (r )
——与时间无关
即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态
2）粒子的定态能级的能量值就是E
定态是指
能量有确定值状态
几率分布是确定的
wk.baidu.com
—与玻尔理论对应
定态薛定谔方程的意义:
i Et (r , t ) (r )e
i ( Et px )
( r , t ) 0e
自由粒子德布罗 意波的波函数
(r ,t )
2 i ( Et Pr ) h 0e
波函数
‘波函数’是什么？
3.波函数的物理意义：(Born解释)
光波
它既不是位移y； 又不是电矢量E 波函数又称为 几率波
( r ) 与它的 *在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数
运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程. 相应的常数E (参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.
**方程的解 ( r )表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解
只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些 E值叫本征值， ( r ) 叫本征函数. 与这些 E值对应的波函数
(r , t ) Ae
i ( Et pr )
体系势能
薛定谔方程
量子力学的 第二个重要假定
注： 1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，
它的正确性来自实践。 2）此方程只对V<<C的粒子成立
讨论:
ˆ i r , t H r , t t
§16-1 波函数及其统计诠释
量子力学基本假设之一——自由粒子的波函数
由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x 方向传播的平面机械 t kx) 波可表示为： y y0 cos2 (nt x / l ) y0 cos( 用复数的表示：
[ y y0 cos( t kx) i sin2 (t kx)]
但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性 (波粒二像性) E hn 德布罗意关系式
y y0e
i (t kx )
P h/ l k
得： y
y0e
i ( Et px )
( x, t ) 0e
i ( Et P r )
要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数，
用该函数的图象与这个空间区域建立联系。这种函数就是
微观粒子运动的波函数 。 1926 年奥地利物理学家 E. Schrö dinger 建立了著名 的微观粒子的波动方程，即 Schrö dinger 方程。描述微观 粒子运动状态的波函数 ，就是解 Schrodinger 方程求出 的。
1 2 2 p ( p p) (i) (i)
2
E p 2 p
i t ˆ i p ˆ 2 2 2 p
（4）
若粒子处于势场 U(r) 中运动，则能动量关系变为：
i ( p x x p y y p z z Et ) i Ae px x x 2 2 px 2 ， 2 x
同理有 2 2 y
2
py
2
2 pz 2 2 z 2 2 2 1 2 2 2 [ p p p x y z ] 2 2 2 2 x y z
代 入
两边同除 (r ) f (t )
1 d 1 2 2 i f (t ) [ V ] ( r ) f ( t ) dt ( r ) 2
E
整理后,可以得到如下两个方程:
d i f ( t ) Ef ( t ) dt 2 [ 2 V ] ( r ) E ( r ) 2
波函数的性质 1）波函数具有归一性
粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在 （x,y,z）附近的体积元 d 中，出现粒子的几率为：
dw d
2
2
dw d
——几率密度
d dxdydz d x
3
表示某时刻、在空间某地点 附近单位体积内粒子出现的几率
2
粒子在整个空间出现的几率：
1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；
2 .薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加 性在时间进程中保持不变。 3 .薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程； 知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数. 4. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式解 要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数. 5. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写
W
dw
d 1
波函数的 归一化条件
1）归一性： 2）连续性: 3）有限性:
在空间各点都有粒子出现的可能。 保证波函数是平方可积。
4）单值性： 波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值
性。一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的 几率应有一定的量值。
波函数的归一性 波函数的连续性 波函数的有限性 波函数的标准化条件
总之，‘解定态薛定谔方程’，就是求出： (r ) (1)波函数 ( r ) 表示粒子所处的各个可能的稳定状态.
以看成是电子的粒子性的统计结果。
这种统计的结果表明，对于微观粒子的运动，虽然不
能同时准确地测出单个粒子的位置和动量，但它在空间某
个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。 从电子衍射的环纹看，明纹就是电子出现机会多的区 域，而暗纹就是电子出现机会少的区域。所以说电子的运 动可以用统计性的规律去进行研究。
§16.2 Schrodinger 方程
一、薛定谔方程 微观粒子量子状态用波函数完全描述， 粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间 改变应当由运动方程来描写.
1
引进方程的基本考虑
让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我 们以启发。
（1）经典情况
dr t t0时刻，已知初态是： r0 , p0 m dt t t0 2 d r 粒子满足的方程是牛顿方程：F m 2 dt
二、定态Schrodinger方程 现在让我们讨论外场不含时间情况下的 Schrodinger 方程：
2 2 i (r , t ) [ U (r )](r , t ) t 2 可分离变量令： (r , t ) (r ) f (t )
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2
波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 I A2 微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多， I
N
电子衍射实验解释:二者皆可. 这意味着粒子与波一一对应
物质波 波动：电子波的强度
I
2
（波函数模的平方）
微粒： W（单个电子在该处出现的几率） I N（电子数）
某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正 结论 比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。
微观粒子运动的统计规律
宏观物体的运动遵循经典力学原理。而 测不准原理告诉我们，具有波粒二象性的微 观粒子不能同时测准其位置和动量，因此不
能找到类似宏观物体的运动轨道。那么微观
粒子的运动遵循的规律是什么呢？
进一步考察前面提到的 Davisson 和 Germer 所做的 电子衍射实验，实验结果是在屏幕上得到明暗相间的衍射
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
（2）量子情况 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ ( r, t0) 且只知 道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足 的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数。 2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说 方程中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导 数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 3．方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被 粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。
2
自由粒子满足的方程
i A e xp ( p r Et )
描写自由粒子波函数:
应是所要建立的方程的解。 将上式对 t 微 商，得：
i E t i E t （ 1 ）
• 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。 将Ψ 对坐标二次微商，得：
w
2
*
波函数是什么呢？
2
w *
2
与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。 对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是 结论 没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒 运动的统计规律。 宏观物体：讨论它的位置在哪里。 区别 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。
环纹。
若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这
时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫
无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是 电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐 渐增多，其分布开始呈现规律性 得到明暗相间衍射 环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可
第一个方程可以解得: 于是有:
f (t ) ~ e iEt /
i Et ( r , t ) ( r )e
第二个方程称为定态 Schrodinger 方程
i Et (r , t ) (r )e
注：1）粒子的几率密度
i Et 当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为: (r , t ) (r )e
第三项为 相干项
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性， 出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
波函数的一些概念总结
（1） 波函数是几率波 （2） 波函数是波粒二象性的体现：测不准关系； （3） 波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内 找到粒子的几率； （4） 波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限； 和10 描述的是同一个波函数。
2
1 2 2 2 p
(1)–(2)式
或
2 2 p2 2 2
(2)
2 2 p2 (i ) ( E ) t 2 2
p2 对自由粒子， E 2
所以
2 2 i t 2
（3）
i E i E t t
p2 E V (r ) 2
将其作用于波 函数得：
p2 E [ V (r )] 2
做（4）式的 算符替换得：
2 2 i (r , t ) [ U (r )](r , t ) t 2
• 该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为 波动方程。
满足态叠加原理
C11 C2 2 2 W1 | C1 1 | , 处于态1和态2的几率分别为：
组合：
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1
W2 | C2 2 |2
W | 2 |
* 2
W C 1 C 2 C1C 2 ( 2 1 ) W1 W2 C1C 2 ( 2 1 )
2
( r )e
2 i Et
2 (r )
——与时间无关
即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态
2）粒子的定态能级的能量值就是E
定态是指
能量有确定值状态
几率分布是确定的
wk.baidu.com
—与玻尔理论对应
定态薛定谔方程的意义:
i Et (r , t ) (r )e
i ( Et px )
( r , t ) 0e
自由粒子德布罗 意波的波函数
(r ,t )
2 i ( Et Pr ) h 0e
波函数
‘波函数’是什么？
3.波函数的物理意义：(Born解释)
光波
它既不是位移y； 又不是电矢量E 波函数又称为 几率波
( r ) 与它的 *在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数
运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程. 相应的常数E (参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.
**方程的解 ( r )表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解
只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些 E值叫本征值， ( r ) 叫本征函数. 与这些 E值对应的波函数
(r , t ) Ae
i ( Et pr )
体系势能
薛定谔方程
量子力学的 第二个重要假定
注： 1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，
它的正确性来自实践。 2）此方程只对V<<C的粒子成立
讨论:
ˆ i r , t H r , t t
§16-1 波函数及其统计诠释
量子力学基本假设之一——自由粒子的波函数
由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x 方向传播的平面机械 t kx) 波可表示为： y y0 cos2 (nt x / l ) y0 cos( 用复数的表示：
[ y y0 cos( t kx) i sin2 (t kx)]
但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性 (波粒二像性) E hn 德布罗意关系式
y y0e
i (t kx )
P h/ l k
得： y
y0e
i ( Et px )
( x, t ) 0e
i ( Et P r )
要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数，
用该函数的图象与这个空间区域建立联系。这种函数就是
微观粒子运动的波函数 。 1926 年奥地利物理学家 E. Schrö dinger 建立了著名 的微观粒子的波动方程，即 Schrö dinger 方程。描述微观 粒子运动状态的波函数 ，就是解 Schrodinger 方程求出 的。
1 2 2 p ( p p) (i) (i)
2
E p 2 p
i t ˆ i p ˆ 2 2 2 p
（4）
若粒子处于势场 U(r) 中运动，则能动量关系变为：
i ( p x x p y y p z z Et ) i Ae px x x 2 2 px 2 ， 2 x
同理有 2 2 y
2
py
2
2 pz 2 2 z 2 2 2 1 2 2 2 [ p p p x y z ] 2 2 2 2 x y z
代 入
两边同除 (r ) f (t )
1 d 1 2 2 i f (t ) [ V ] ( r ) f ( t ) dt ( r ) 2
E
整理后,可以得到如下两个方程:
d i f ( t ) Ef ( t ) dt 2 [ 2 V ] ( r ) E ( r ) 2
波函数的性质 1）波函数具有归一性
粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在 （x,y,z）附近的体积元 d 中，出现粒子的几率为：
dw d
2
2
dw d
——几率密度
d dxdydz d x
3
表示某时刻、在空间某地点 附近单位体积内粒子出现的几率
2
粒子在整个空间出现的几率：
1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；
2 .薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加 性在时间进程中保持不变。 3 .薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程； 知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数. 4. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式解 要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数. 5. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写
W
dw
d 1
波函数的 归一化条件
1）归一性： 2）连续性: 3）有限性:
在空间各点都有粒子出现的可能。 保证波函数是平方可积。
4）单值性： 波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值
性。一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的 几率应有一定的量值。
波函数的归一性 波函数的连续性 波函数的有限性 波函数的标准化条件
总之，‘解定态薛定谔方程’，就是求出： (r ) (1)波函数 ( r ) 表示粒子所处的各个可能的稳定状态.
以看成是电子的粒子性的统计结果。
这种统计的结果表明，对于微观粒子的运动，虽然不
能同时准确地测出单个粒子的位置和动量，但它在空间某
个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。 从电子衍射的环纹看，明纹就是电子出现机会多的区 域，而暗纹就是电子出现机会少的区域。所以说电子的运 动可以用统计性的规律去进行研究。
§16.2 Schrodinger 方程
一、薛定谔方程 微观粒子量子状态用波函数完全描述， 粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间 改变应当由运动方程来描写.
1
引进方程的基本考虑
让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我 们以启发。
（1）经典情况
dr t t0时刻，已知初态是： r0 , p0 m dt t t0 2 d r 粒子满足的方程是牛顿方程：F m 2 dt
二、定态Schrodinger方程 现在让我们讨论外场不含时间情况下的 Schrodinger 方程：
2 2 i (r , t ) [ U (r )](r , t ) t 2 可分离变量令： (r , t ) (r ) f (t )
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2
波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 I A2 微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多， I
N
电子衍射实验解释:二者皆可. 这意味着粒子与波一一对应
物质波 波动：电子波的强度
I
2
（波函数模的平方）
微粒： W（单个电子在该处出现的几率） I N（电子数）
某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正 结论 比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。
微观粒子运动的统计规律
宏观物体的运动遵循经典力学原理。而 测不准原理告诉我们，具有波粒二象性的微 观粒子不能同时测准其位置和动量，因此不
能找到类似宏观物体的运动轨道。那么微观
粒子的运动遵循的规律是什么呢？
进一步考察前面提到的 Davisson 和 Germer 所做的 电子衍射实验，实验结果是在屏幕上得到明暗相间的衍射
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
（2）量子情况 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ ( r, t0) 且只知 道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足 的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数。 2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说 方程中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导 数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 3．方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被 粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。
2
自由粒子满足的方程
i A e xp ( p r Et )
描写自由粒子波函数:
应是所要建立的方程的解。 将上式对 t 微 商，得：
i E t i E t （ 1 ）
• 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。 将Ψ 对坐标二次微商，得：
w
2
*
波函数是什么呢？
2
w *
2
与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。 对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是 结论 没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒 运动的统计规律。 宏观物体：讨论它的位置在哪里。 区别 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。
环纹。
若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这
时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫
无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是 电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐 渐增多，其分布开始呈现规律性 得到明暗相间衍射 环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可
第一个方程可以解得: 于是有:
f (t ) ~ e iEt /
i Et ( r , t ) ( r )e
第二个方程称为定态 Schrodinger 方程
i Et (r , t ) (r )e
注：1）粒子的几率密度
i Et 当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为: (r , t ) (r )e