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高中数学基础知识汇总[经典版]

高中数学知识归纳汇总

目录

第一部分集合 (3)

第二部分函数与导数 (4)

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 (8)

第四部分立体几何 (10)

第五部分直线与圆 (12)

第六部分圆锥曲线 (14)

第七部分平面向量 (16)

第八部分数列 (17)

第九部分不等式 (19)

第十部分复数 (20)

第十一部分概率 (21)

第十二部分统计与统计案例 (22)

第十三部分算法初步 (23)

第十四部分常用逻辑用语与推理证明 (24)

第十五部分推理与证明 (25)

第十六部分理科选修部分 (26)

第一部分 集合

1．N ，Z ，Q ，R 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集；

2．交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y 符号区分； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,非空子集数为2n －1；真子集数为2n －1；非

空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情

况。

（3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数

1．定义域：①抽象函数；已知[k(x)]f 定义域，求[g(x)]f 定义域，(x)k 与(x)g 值

域相同。（具体可以参考本节第4点复合函数定义域求法）。

②具体函数。分母不为0，偶次根号下不为负数，0

a 中a 不为0，tan θ ，

log a x 中的x 为正数。

2．值域：①一元二次方程配方法 ；②换元法；③分离参数法 ；

3．解析式：①配方法 ；②换元法；③待定系数和；④消去法。 4．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出；

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数

)(u f y =；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。 5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．

； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)

()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ；

⑶)(x f 是偶函数1)()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ；

⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①

)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有

0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 0)

()(2

121>--⇔

x x x f x f ；

②

)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有

0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 0)

()(2

121<--⇔

x x x f x f ；

⑵单调性的判定

① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

② 导数法（见导数部分）； ③ 复合函数法； ④ 图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：

对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数

)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④|

|2:)cos(),sin(ωπ

ϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；

⑶ 与周期有关的结论

①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称⇒)(x f 周期为2b a -； ③)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称⇒)(x f 周期为2b a -； ④)(x f y =的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称⇒)(x f 周期为

4b a -；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x

； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；

⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02

=++c bx ax ； ⑻其它常用函数：

① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；特别的x

y 1

= ② 函数

)0(>+

=a x

a

x y ； 9．二次函数： ⑴解析式：

①一般式：c bx ax x f ++=2

)(；②顶点式：k h x a x f +-=2

)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。 10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ⑵图象变换： ① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：

ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω

1

倍；

ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；

③ 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0

y )(x f y -=；