椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量例题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1，点A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆位于第三象限内一点，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，求证：四边形AMNB 的面积为定值．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：AN·BM 为定值．变式2如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1，过椭圆的上顶点A 作一条与两轴均不平行的直线l交椭圆于另一点P ，设点P 关于x 轴的对称点为Q ，若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．串讲1如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1，过原点O 的两条射线l 1和l 2分别与椭圆交于A 和B ，记得到的△AOB 的面积为S.(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证：S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|；(2)设l 1与l 2的斜率之积为－14，求面积S 的值．串讲2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1，点A ，B 分别是椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ，若△MOA 与△NOB 的面积之和为6，求点P 的坐标．(2018·无锡1月期末改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程．(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．答案：(1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝3；(2)①(2，1)，②y ＝－5x ＋3 2.解析：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1， 因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.2分因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 02＋y 02＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.5分由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x2＋y 02)x 2－24x 0x ＋36－4y 02＝0.(*)，因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)＝48y 02(x 02－2)＝0.7分 因为x 0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1).9分②因为三角形OAB 的面积为267.所以12AB·OP ＝267，从而AB ＝427.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 02（x 02－2）2（4x 02＋y 02），11分所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 02y 02·48y 02（x 02－2）（4x 02＋y 02）2.因为x 02＋y 02＝3， 所以AB 2＝16（x 02－2）（x 02＋1）2＝3249，即2x 04－45x 02＋100＝0，13分解得x 02＝52(x 02＝20舍去)，则y 02＝12，因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22.15分 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.16分。
椭圆中面积的最值问题
椭圆中面积的最值问题
椭圆是一种广泛存在于自然界的平面图形，它不仅仅是一个平面图形，而且它具有极大的实用价值。
椭圆是多种物理科学，化学，天文，生物等领域中常见的图形。
椭圆的面积有很多变化，这些变化会产生最大值和最小值，椭圆的最大和最小面积的求解称为椭圆中面积的最值问题。
椭圆的面积可以通过下面的公式来计算：A = πab, 其中a 和b分别是椭圆的两个半轴长。
通过研究发现，椭圆的最大面积是在两个半轴长相等的情况下，即a=b时实现的，最大面积可以表示为：A_max = πa^2 同样，当两个半轴长不等时，椭圆的最小面积是在a和b的乘积最小的情况下实现的，最小面积可以表示为：A_min = πab 因此，当椭圆的两个半轴长a和b不等时，最大面积A_max 就会大于最小面积A_min，而当两个半轴长a和b相等时，最大面积A_max就等于最小面积A_min。
椭圆中面积的最值问题是一个经典的数学问题，是对几何学中椭圆的有关知识的深入研究。
椭圆最大最小面积的求解，不仅仅可以帮助我们理解椭圆的特性，而且还有助于更好地应用椭圆。
椭圆中面积的最值问题，是一个有趣而又有实际意义的数学研究课题，由于椭圆的特性，可以将其应用于多种领域，因
此，对椭圆中面积的最值问题的研究，也有助于更好地应用椭圆。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考
椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。
椭圆中的参数范围及最值问题(教师版)
椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1．如图，点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求△OPM 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 216=1;(2)22【解析】(1)设P m ,n ，则AB :mx2+ny =1，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则MB :x 1x +y 1y =4，MA :x 2x +y 2y =4，设M s ,t ，则x 1s +y 1t =4,x 2s +y 2t =4，故AB :sx +ty =4即AB :s 4x +t4y =1，所以s 4=m2t 4=n即s 2=m t 4=n所以s 28+t 216=1即M 的轨迹方程为：x 28+y 216=1.(2)由(1)可得M 2m ,4n ，故直线OM :2nx -my =0.P 到OM 的距离为2nm -mn4n 2+m 2=nm4n 2+m 2，故△OPM 面积S =12×nm 4n 2+m 2×2×4n 2+m 2=nm ，因为m 22+n 2=1，故1≥2m 2n 22即mn≤22，当且仅当m =±1,n =±22时等号成立，故△OPM 面积的最大值为22.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的离心率为223，且经过点6,33 ．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)43【解析】(1)由题知：e =c a =2236a 2+13b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =3b =1c =22.所以C 的方程为x 29+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在时，线段MN 的中垂线为x 轴，此时O 到中垂线的距离为0．当l 的斜率存在时，设l :y =kx +m (k ≠0)，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ．因为l 与圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 的距离为|m |1+k2=1，所以m 2=k 2+1．联立方程x 29+y 2=1y =kx +m，得1+9k 2 x 2+18kmx +9m 2-9=0，则x 1+x 2=-18km 1+9k 2，可得MN 的中点为-9km 1+9k 2,m1+9k 2．则MN 的中垂线方程为y =-1k x +9km 1+9k 2 +m 1+9k 2，即x +ky +8km1+9k 2=0．因此O 到中垂线的距离为d =8km1+9k 21+k 2=|8k |1+9k 2=89|k |+1|k |≤43(当且仅当k =13，m =103时等号成立)．综上所述，O 到线段MN 的中垂线的最大距离为43．3.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x =2的距离和点P 到点C 1,0 的距离的比为2，记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，且∠OCM =∠xCN ，求△CMN 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)24【解析】(1)设P x ,y ，P 到直线x =2的距离记为d ，则dPC=2，依题意，2-x =2x -1 2+y 2，化简得x 2+2y 2=2，即x 22+y 2=1.(2)设直线l ：x =my +t ，t ≠1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +tx 22+y 2=1得：m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，则Δ=(2mt )2-4m 2+2 t 2-2 =8m 2+2-t 2 >0，可得m 2+2>t 2，所以y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2.法一：由∠MCO =∠xCN ，则k CM +k CN =y 1x 1-1+y 2x 2-1=0，所以x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，即2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，所以2m t 2-2 m 2+2+t -1-2mt m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 .因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2=2-4m 2+2 2+1m 2+2，当1m 2+2=18，即m =±6时，S 有最大值为24.法二：作M 点关于x 轴的对称点M x 1,-y 1 ，因为∠OCM =∠xCN ，则∠OCM =∠xCN ，故∠OCM +OCN =180°，所以M ，C ，N 三点共线，所以CM⎳CN ，因为CM =x 1-1,-y 1 ，CN =x 2-1,y 2 ，所以x 1-1 y 2--y 1 x 2-1 =0，即x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，所以2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，则2m t 2-2 m 2+2+t -1(-2mt )m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 ，因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2，设m 2-2=u ，则m 2=u 2+2，则S =2u u 2+4=21u +4u≤24，当u =2，即m =±6时，S 有最大值为24.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，点P 1,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求△OMN 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)3【解析】(1)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，因为焦距为2，P 1,32所以2c =2且PF 1⊥x 轴，故b 2a =32又由于a 2=b 2+c 2=b 2+1，所以解得a =2，b =3故椭圆C 方程为x 24+y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，由于直线PM ，PN 的倾斜角互补，故k PM +k PN =0联立方程y =kx +m x 24+y 23=1，整理得3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，故Δ=8km 2-43+4k 2 4m 2-12 =483+4k 2-m 2 >0，即m 2<3+4k 2且x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2k PM +k PN =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=2k +k +m -32 1x 1-1+1x 2-1=2k +k +m -32 x 1+x 2-2x 1x 2-x 1+x 2 +1=2k -k +m -32 8k 2+8km +64m 2+4k 2+8km -9 =2k -8k 2+8km +622m +2k +3 =12k -622m +2k +3=0，所以k =12，故MN 的方程为y =12x +m ，且0≤m 2<3+4k 2=4所以弦长MN =1+12 2x 1-x 2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=52×34-m 2原点到直线MN ：x -2y +2m =0的距离为d =2m5，所以S △OMN =12MN d =32m 24-m 2 =32-m 2-2 2+4≤3 故当且仅当m =±2时，△OMN 的面积的最大值为 3.5.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且经过点A (-2,0)，B(2,0)，过点M -23,0 作直线l 与椭圆交于点P ，Q (点P ，Q 异于点A ，B )，连接直线AQ ，PB 交于点N .(1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan ∠PNQ 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)0,13.【解析】(1)由题意知，a =2，又a 2=b 2+c 2，e =c a =32，所以c =3，b =1，故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1;(2)设直线PB 倾斜角为α，斜率为k 1，直线AQ 倾斜角为β，斜率为k 2，直线PQ 的方程为：x =my -23，则x 24+y 2=1x =my -32，消去x ，得(m 2+4)y 2-43my -329=0，Δ=169+4×329(m 2+4)>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1+y 2=4m 3(m 2+4)，y 1y 2=-329(m 2+4)，有my 1y 2=-83(y 1+y 2)，所以k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1-2=y 2(x 1-2)y 1(x 2+2)=y 2my 1-23-2 y 1my 2-23+2 =my 1y 2-83y 2my 1y 2+43y 1=-163y 2-83y 1-83y 2-43y 1=2，即k 2=2k 1，则tan ∠PNQ =tan (α-β)=tan α-tan β1+tan α⋅tan β=k 1-k 21+k 1k 2=k 1-2k 11+2k 12=-k 11+2k 12=-11k 1+2k 1，因为点P 位于第二象限，则k 1∈-12,0 ，所以1k 1+2k 1∈(-∞,-3)，故tan ∠PNQ =-11k 1+2k 1∈0,13 .6.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A ，B 两点，且△ABF 1的周长为4 6.(1)求Γ的方程；(2)若AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，直线AN 与BM 交于点C ，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1;(2)34【解析】(1)由椭圆定义可知△ABF 1的周长为4a =46，即a =6，因为离心率e =c a =63，所以c =2，又因为b 2=a 2-c 2，所以b 2=2，故Γ的方程为x 26+y 22=1．(2)依题意，设直线AB 方程为x =my +2(m ≠0)．联立x =my +2x 26+y 22=1，得m 2+3 y 2+4my -2=0，易知Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3,y 1⋅y 2=-2m 2+3．因为AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，所以M x 1,0 ,N x 2,0 ．所以直线AN ：y =y 1x 1-x 2x -x 2 ①，直线BM ：y =y 2x 2-x 1x -x 1 ②，联立①②解得x C =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+2 y 2+my 2+2 y 1y 1+y 2=2+2my 1y 2y 1+y 2=3．因为S △ABC =12|BN |⋅x C -x 1 =12y 2 ⋅3-x 1 =12y 2-my 1y 2 ，又my 1y 2y 1+y 2=12，则S △ABC =12y 1-y 1+y 22=14y 1-y 2 =14y 1-y 2 2=62m 2+1m 2+3，设m 2+1=t >1，则S △ABC =62⋅t t 2+2=62⋅1t +2t≤34，当且仅当t =2t，即m =±1时，等号成立，故△ABC 面积的最大值为34．7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)5,254【解析】(1)由题意，得a =2c ，b =3c ，则椭圆E 为x 24c 2+y 23c 2=1，由x 24+y 23=c 2x 4+y 2=1 ，得x 2-2x +4-3c 2=0，因为直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ=4-44-3c 3 =0，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知：M 1,32 ，P 0,2 ，所以PM 2=54，PF 2=5，当直线l 与x 轴垂直时，PA ⋅PB =2+3 2-3 =1，由PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，得λ=254.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为y =kx +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +23x 2+4y 2-12=0，得3+4k 2 x 2+16kx +4=0，则x 1x 2=43+4k2，Δ=484k 2-1 >0，即k 2>14.所以，PA ⋅PB =1+k 243+4k 2=254λ，所以λ=2541-14+4k 2，因为k 2>14，所以，5<λ<254.综上，实数λ的取值范围为5,254 .8.定义：若点(x 0,y 0)，(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1，O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ ∥OA，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.【答案】(1)A 13,-3 或A 2-3,3 ;(2)83【解析】(1)设点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1的共轭点为(x ,y )，则3x 12+y 4=0，且x 212+y 24=1，解得x =3y =-3 或x =-3y =3 ，所以点A 关于M 的所有共轭点的坐标为A 13,-3 或A 2-3,3(2)因为PQ ∥OA ，k OA =13，所以设直线PQ 的方程为y =13x +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，，将y =13x +m 代入x 212+y 24=1中，化简得4x 2+6mx +9m 2-36=0，由Δ=36m 2-16(9m 2-36)>0，得0≤m 2<163，x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=9m 2-364，所以PQ =1+19(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1039m 24-9m 2+36=10216-3m 2，设A 1，A 2到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2，因为PQ ∥OA ，所以d 1+d 2等于A 1，A 2到直线OA :y =13x 的距离和，所以d 1+d 2=3+33 1+9+-3-33 1+9=8310，所以S =S △A 1PQ +S △A 2PQ =12d 1+d 2 PQ=12×10216-3m 2×8310=23×16-3m 20≤m 2<163 ，令t =m 2，则y =16-3t 在0≤t <163上单调递减，所以当t =0时，即m =0时，y 取最大值16，所以当m =0时，S 的最大值为23×16=839.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，离心率为63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 3,m m >0 ，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求△OAB 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1；(2) 3.【解析】(1)由右焦点为F 2,0 ，可得c =2，又离心率为63，∴a =6，b 2=a 2-c 2=6-4=2，∴椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1.(2)由题可知k PF =m3-2=m ，∴k AB =-1m，故直线AB 为y =-1mx -2 ，即x =-my +2，由x 26+y 22=1x =-my +2，可得3+m 2 y 2-4my -2=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4m 3+m 2,y 1y 2=-23+m 2，∴y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=4m 3+m 2 2-4⋅-23+m 2=261+m 23+m 2，∴△OAB 面积为S =12×OF ×y 1-y 2 =261+m 23+m 2，令t =1+m 2>1，∴S =26t 2+t 2=262t+t ≤2622=3，当且仅当2t =t ，即t =2,m =1时取等号，∴△OAB 面积的最大值为 3.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，点A -1,32 在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求PM +PNPF的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)85,4 .【解析】(1)由题意知c a =121a 2+94b 2=1c 2+b 2=a 2，∴a =2b =3 ，椭圆C 标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1)，其中k <0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)y =k (x -1)3x 2+4y 2=12⇒3x 2+4k 2(x 2-2x +1)=12∴(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，Δ=64k 4-4(3+4k 2)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0，x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2-123+4k 2，∴PM =1+k 2x 1 ，PN =1+k 2⋅x 2 ，PF =1+k 2∴PM +PNPF=x 1 +x 2若k ≤-3，则x 1≥0，x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 1+x 2=8k 23+4k 2=83k 2+4∈85,4若-3<k <0，则x 1<0,x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 2-x 1=12k 2+13+4k 2令k 2+1=m ，∴1<m <2，∴x 2-x 1=12m 3+4(m 2-1)=12m 4m 2-1=124m -1m，因为y =124m -1m 在(1,2)单调递减，所以x 2-x 1=124m -1m∈85,4 综上：PM +PN PF 的取值范围为85,4 .11.已知O 坐标原点，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ，右顶点为B ，△AOB 的面积为22，原点O 到直线AB 的距离为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN=0，求△FPQ 面积的最大值．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)19【解析】(1)解：由题意，S △AOB =12ab =22①∵A (0,b )，B (a ,0)，则直线AB 的方程为：xa +y b=1，即为bx +ay -ab =0，∵原点到直线AB 的距离为63，∴ab a 2+b2=63，∴3a 2b 2=2(a 2+b 2)，②∵b 2+c 2=a 2，③由①②③得：a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由(1)可知F -1,0 ，因为DE ⋅MN=0，所以DE ⊥MN ，若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在，那么P 、Q 中一点与F 重合，故斜率一定存在，设DE ：y =k x +1 ，则MN 的斜率为-1k，由x 22+y 2=1y =k (x +1)可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2-21+2k 2，所以x P =x 1+x 22=-2k 21+2k 2y P =k x P +1 =k -2k 21+2k 2+1 =k 1+2k 2，即P -2k 21+2k 2,k1+2k 2，同理将-1k 代入得Q -22+k 2,-k2+k 2，所以PF =-1+2k 21+2k 2 2+k 1+2k 2 2=1+k 21+2k 2，QF =-1--22+k 2 2+-k2+k 2 2=k 1+k 22+k 2，所以S △QFP =12PF ⋅QF =12×1+k 21+2k 2×k 1+k 22+k 2=12×k 1+k 22k 4+5k 2+2=12×k 21+2k 2+k 4 2k 4+5k 2+2=12×k 41k 2+k 2+2 k 22k 2+5+2k2 =12×1k 2+k 2+22k 2+5+2k 2令t =1k 2+k 2+2，则t ≥2，当且仅当1k 2=k 2即k =±1时取等号，所以1k 2+k 2=t 2-2，所以S △QFP =12×t 2t 2+1=12×12t +1t，因为函数y =2x +1x 在2,+∞ 上单调递增，所以当x =2时y min =92，所以S △QFP max =19，即△FPQ 面积的最大值为19；12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点M (0,3)，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l :y =kx -1与椭圆C 相交于A 、B 两点，求MA ⋅MB 的最大值.【答案】(1)x 218+y 29=1；(2)32.【解析】(1)由已知得9b 2=1,a 2-b 2a 2=12, 解得a =32,b =3，因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1；(2)由x 218+y 29=1,y =kx -1,整理得2k 2+1 x 2-4kx -16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+1,x 1x 2=-162k 2+1，因为MA ⋅MB=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+kx 1-4 kx 2-4=k 2+1 x 1x 2-4k x 1+x 2 +16=-16k 2+1 2k 2+1-4k ×4k 2k 2+1+16=0，所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，故MAMB =AB ⋅d ，又因为d =41+k 2，AB =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2 4k 2k 2+1 2-4×-162k 2+1=41+k 2 9k 2+4 2k 2+1，所以MA MB =169k 2+42k 2+1，设2k 2+1=t ，则MA MB =16818-121t -92 2，由于1t∈0,1 ，所以MA MB ≤32，当1t=1，即k =0时，等号成立.因此，MA MB 的最大值为32.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1,0)，动点P 到直线x =6的距离等于2PF +2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2,0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)最大值为3.【解析】(1)设点P (x ,y )，当x ≥6时，P 到直线x =6的距离显然小于PF ，故不满足题意；故|x -6|=2(x -1)2+y 2+2(x <6)，即4-x =2(x -1)2+y 2，整理得3x 2+4y 2=12，即x 24+y 23=1，故曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x =my +1，B x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立x =my +1x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ>0显然成立，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，故S 1+S 2=12OA y 1 +12OA y 2 =12OA y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，设t =m 2+1，t ≥1，则m 2=t 2-1，则S 1+S 2=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，所以3t +1t≥4(当且仅当t =1时，等号成立).故S 1+S 2=123t +1t≤3，即S 1+S 2的最大值为3.14.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4.当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b2=1，解得b 2=12.所以C 的方程：x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=3 5.所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18.15.如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A 两点，AA =4．(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【答案】(1)x 216+y 28=1;(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左焦点F 1-c ,0 ，将x =-c 代入椭圆方程，得y =±b 2a，由题意可得b 2a =2c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a =4b =c =22 ，所以椭圆方程为x 216+y 28=1.(2)解：当点Q 在y 轴的右侧时，设Q t ,0 t >0 ，圆的半径为r ，直线PP 方程为x =m m >t ，则圆Q 的方程为x -t 2+y 2=r 2，由x -t2+y 2=r 2x 2+2y 2=16得x 2-4tx +2t 2+16-2r 2=0，由Δ=16t 2-42t 2+16-2r 2 =0，即，得t 2+r 2=8，①把x =m 代入x 216+y 28=1，得y 2=81-m 216 =8-m 22，所以点P 坐标为m ,8-m 22，代入x -t 2+y 2=r 2，得m -t 2+8-m 22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2-4mt +m 2=0，即m =2t ，S △PPQ =12PP m -t =8-m 22×m -t =8-2t 2⋅t =2⋅4-t 2 t2≤2×4-t 2+t22=22，当且仅当4-t 2=t 2时，即当t =2时取等号，圆Q 的标准方程为x -2 2+y 2=6．在椭圆上任取一点E x ,y ，其中-4≤x ≤4，则y 2=8-x 22，所以，EQ =x -2 2+y 2=x 2-22x +2+8-x 22=x 22-22x +10=12x -22 2+6≥6，当且仅当x =22时，等号成立，故椭圆上除P 、P '外的点在圆Q 外，所以△PP Q 的面积的最大值为22，当圆心Q 、直线PP 在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为x +2 2+y 2=6，△PP Q 的面积的最大值仍为22．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，椭圆C的离心率为12，B 0,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于M 、N 两点(不同于点A )，且AD ⊥MN ，D 为垂足，求三角形ABD 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)37+337【解析】(1)由题意得c a =12b =3b 2=a 2+c2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)当MN 垂直于x 轴时，则M 、N 关于x 轴对称，设点M 在x 轴上方，因为AM ⊥AN ，易知直线AM 的倾斜角为π4，所以，直线AM 的方程为y =x +2，联立y =x +23x 2+4y 2=12x ≠-2，可得x =-27y =127，即点M -27,127 ，则N -27,-127 ，可得D -27,0 ，此时，S △ABD =12⋅-27+2 ⋅3=637；当MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y =kx +t ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，联立y =kx +t3x 2+4y 2=12，可得3+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-12=0，Δ=64k 2t 2-44k 2+3 4t 2-12 >0，可得t 2<4k 2+3，由韦达定理可得x 1+x 2=-8kt 4k 2+3，x 1x 2=4t 2-124k 2+3，AM =x 1+2,y 1 =x 1+2,kx 1+t ，AN =x 2+2,kx 2+t ，因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=x 1+2 x 2+2 +kx 1+t kx 2+t =k 2+1 x 1x 2+kt +2 x 1+x 2 +t 2+4=k 2+1 4t 2-12 -8kt kt +24k 2+3+t 2+4=0，整理可得4k 2-16kt +7t 2=0，即2k -t 2k -7t =0，所以，t =2k 或t =2k 7.若t =2k ，则直线MN 的方程为y =k x +2 ，此时直线MN 过点A ，则M 、N 必有一点与点A 重合，不合乎题意；若t =27k ，则直线MN 的方程为y =k x +27 ，此时直线MN 过定点E -27,0 ，合乎题意.因为AD ⊥DE ，且线段AE 的中点坐标为-87,0 ，AE =127，所以，△AED 的外接圆为x +87 2+y 2=3649，因为AB 直线方程为x-2+y 3=1，即3x -2y +23=0，且AB =3+4=7，因为D 到直线AB 的最大距离为-837+233+4+67=42+62149，所以△ABD 的面积S △ABD ≤12⋅7⋅42+62149=37+337．综上所述，△ABD 面积的最大值为37+337．17.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为63，且经过点P 1,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)A 、B 为椭圆C 上两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，求△PAB 面积的最大值．【答案】(1)y 26+x 22=1；(2)3﹒【解析】(1)由题意得：e =c a =633a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a =6，b =2，∴y 26+x 22=1．(2)由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为y =kx +t ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =kx +t 代入y 26+x 22=1得：k 2+3 x 2+2ktx +t 2-6=0，∴x 1+x 2=-2kt k 2+3，x 1x 2=t 2-6k 2+3，则y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k x 1+x 2 +2t =6tk 2+3，x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t =kt x 1+x 2 +2ktx 1x 2=-12kk 2+3，∵直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，∴k PA =-k PB ⇒y 1-3x 1-1=-y 2-3x 2-1，化简可得：23+x 1y 2+x 2y 1=y 1+y 2 +3x 1+x 2 ，即23+-12k k 2+3=6t k 2+3+3⋅-2ktk 2+3，即k -3 k +t -3 =0，∵直线AB 不过点P ，∴k =3，∴x 1+x 2=-3t 3，x 1x 2=t 2-t6，则AB =1+3 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=2312-t 23，又点P 到直线AB 的距离为t2，∵Δ=12t 2-24t 2-6 >0，∴-23<t <23，∴S =12⋅2312-t 23⋅t 2=3612-t 2 t 2≤3，当且仅当t =±6时等号成立，∴△PAB 面积最大值为3．18.已知O 为坐标原点，定点F 1,0 ，M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线l 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆与直线l 相切，求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1且x ≠±2；(2)263.【解析】(1)令M (x ,y )，又F 1,0 在圆O :x 2+y 2=4内，且圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，所以线段FM 为直径的圆心为x +12,y 2 ，则12(x -1)2+y 2=2-(x +1)24+y 24，整理有(x -1)2+y 2=4-(x +1)2+y 2，则x 2-2x +1+y 2=4-x 2+2x +1+y 2，所以x 24+y 23=1，又M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，故x ≠±2，故M 的轨迹方程为x 24+y 23=1且x ≠±2.(2)由题意知：O 到直线l 的距离为1，要使△POQ 面积最大，只需|PQ |最大，若直线l 斜率不存在时，直线l :x =±1，此时P ,Q 为1,±32 或-1,±32，所以|PQ |=3，则△POQ 面积为32；若直线l 斜率存在时，令直线l :y =kx +b ，而|b |1+k2=1，即b 2=1+k 2，联立直线与M 的轨迹，x 24+y 23=1y =kx +b，整理有(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2-12=0，则x P +x Q =-8kb 4k 2+3，x P x Q =4b 2-124k 2+3，所以|PQ |=1+k 2⋅|x P -x Q |=1+k 2⋅(x P +x Q )2-4x P x Q =4(1+k 2)(12k 2+9-3b 2)4k 2+3，则|PQ |=43⋅(1+k 2)(3k 2+2)4k 2+3，令t =4k 2+3≥3，则|PQ |=3⋅-1t2+2t +3=3⋅-1t-1 2+4，而0<1t ≤13，所以|PQ |max =463，此时△POQ 最大面积为263；综上，△POQ 最大面积为263.19.如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ，N 两点，MN =455．(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 为椭圆E 的上、下顶点，过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ，交椭圆E 于点Q (P ，Q 位于y 轴的右侧)，直线BP ，BQ 的斜率分别记为k 1，k 2，试用k 表示k 1+14k 2，并求当k 1+14k 2∈2,52时，△BPQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)1285,65 .【解析】(1)圆心O 到直线l 1的距离为d =b 2-2552=12b1+122，解得b 2=1，由题设，b =1c a =32c 2=a 2-b2 ，解得a =2c =3 ，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由(1)知，A 0,1 ，B 0,-1 ，直线l 2为y =kx +1k <0 ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +1x 2+y 2=1，得1+k 2 x 2+2kx =0，所以x 1=-2k k 2+1，y 1=kx 1+1=-k 2+1k 2+1，联立y =kx +1x 24+y 2=1得：4k 2+1 x 2+8kx =0，所以x 2=-8k 4k 2+1，y 2=kx 2+1=-4k 2+14k 2+1，k 1+14k 2=y 1+1x 1+x 24y 2+1=2k 2+1-2k k 2+1+-8k 4k 2+184k 2+1=-1k -k ．由-1k-k ∈2,52 ，得：k ∈-2,-12 ，S △BPQ =S △ABQ -S △ABP =12AB x 2-x 1 =x 2-x 1=-8k 4k 2+1--2kk 2+1=-6k4k 2+1 k 2+1．令f k =-6k 4k 2+1 k 2+1 ，则fx =612k 4+5k 2-1 4k 2+1 k 2+12>0，所以函数f k 在-2,-12 上单调递增，f -2 =1285，f -12 =65，所以△BPQ 面积的取值范围为1285,65 .20.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，其离心率e =22，过点F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q 两点，PQ =2．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B ，过点D (2，0)的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为k 1,k 2，求k 1+k 2的取值范围．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)k 1+k 2∈-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ 【解析】(1)由题可知e =c a =22PQ=2b 2a =2a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =1.所以椭圆Γ的方程为：x 22+y 2=1.(2)由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为y =k (x -2)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).由题可知x 22+y 2=1y =k (x -2)，整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-2=0Δ=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-1)=-8(2k 2-1)>0，解得k ∈-22,22.由韦达定理可得x 1+x 2=8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2-22k 2+1.由(1)知，点B (0,-1)设椭圆上顶点为A ，∴A (0,1)，k ≠k DA =-12且k ≠k DB =12，∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k x 1-2 +1x 1+k x 2-1 +1x 2=2k +1-2k x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-2k⋅8k 21+2k 28k 2-21+2k 2=2k -4k 22k +1=2k 2k +1=1-12k +1∈2+2,+∞ ∪-∞,12 ∪12,2-2∴k 1+k 2的取值范围为-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ ．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)0,22【解析】(1)由对称性可知：P 3,P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点x ,y ，易知y 随x 的增大而减小，故P 1,P 2中只有P 2符合.所以P 2,P 3,P 4三点在椭圆上，故b =1，将P 3代入椭圆方程得a =2，所以椭圆方程为：x 22+y 2=1(2)(3)由已知直线l 斜率不为0，故设方程为：x =my +2设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由x =my +2x 22+y 2=1联立方程得：(m 2+2)y 2+4my +2=0∴Δ=16m 2-8(m 2+2)=8(m 2-2)>0,即m 2>2y 1+y 2=-4m m 2+2;y 1y 2=2m 2+2;S △OMN =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16m 2(m 2+2)2-8m 2+2=22m 2-2m 2+2;令m 2-2=t >0，则m 2=t 2+2令S △OMN =22t t 2+4=22t +4t ≤222t ⋅4t=22，当且仅当t =2，m 2=6时取等号∴△OMN 面积的取值范围为0,2222.已知椭圆E :x 22+y 2=1的右焦点为F ，椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 ．(1)求Γ的离心率；(2)如图：直线l :x =my -1交椭圆Γ于A ，D 两点，交椭圆E 于B ，C 两点．①求证：AB =CD ；②若λ=5，求△ABF 面积的最大值．【答案】(1)22;(2)①证明过程见解析；② 2.【解析】(1)椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 的标准方程为：x 22λ+y 2λ=1，则椭圆Γ的离心率为2λ-λ2λ=22(2)对于①，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线l :x =my -1与x 22+y 2=λ联立整理得2+m y2-2my +1-2λ=0则y 1+y 2=2m 2+m 2,y 1y 2=1-2λ2+m 2则AD 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2同理可知BC 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2 .所以AD 与BC 中点重合，故AB =CD .对于②，由①知，直线l 被椭圆截得弦长为1+m 2y 2-y 1 =21+m 22λm 2+4λ-22+m 2把λ=5代入得，AD =21+m 210m 2+182+m 2把λ=1代入得，BC =21+m 22m 2+22+m 2F 1,0 到l 的距离为d =21+m 2，则△ABF 面积为：S =12×12×AD -BC ×d =10m 2+18-2+2m22+m 2=810m 2+18+2+2m 2∴当m =0时，△ABF 的面积最大值是 2.23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A ：x 2+y 2-4x+3=0的圆心，且圆A 上的点到直线l 1：bx -ay =0的距离的最大值为255+1．(1)求C 的方程；(2)过点(3，0)的直线l 2与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且OM =λ(OP+OQ )，弦PQ 的长度不超过3，求实数λ的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)-33,-12 ∪12,33 ．【解析】(1)圆A 化为标准方程：(x -2)2+y 2=1，圆心A (2,0)，半径r =1，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即a =2，∵圆心A (2,0)到直线l 1:bx -ay =0的距离d =2ba 2+b 2，∴圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为d +r =2ba 2+b 2+1=255+1，∴2b 4+b 2=255，解得b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 2的斜率一定存在，设直线l 2的方程为y =k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y =k (x -3)x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-4=0，∴Δ=576k 4-4(1+4k 2)(36k 2-4)=16-80k 2>0，解得0≤k 2<15，∴x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1x 2=36k 2-41+4k 2，∴y 1+y 2=k x 1+x 2-6 =k ⋅24k 21+4k 2-6 =-6k1+4k 2，因为PQ =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2⋅16-80k 21+4k 2≤3所以可解得k 2≥18，所以15>k 2≥18设PQ 中点N ，所以N 12k 21+4k 2，-3k1+4k 2 ，∴OP +OQ =2ON =24k 21+4k 2，-6k 1+4k 2，∴k ON =-3k1+4k 212k 21+4k 2=-14k ，∴直线ON 的方程为y =-14kx ，∵OM =λ(OP +OQ )，∴M 为直线ON 与椭圆的交点，联立方程y =-14k x x 24+y 2=1 ，解得x =±16k 21+4k 2，∴M 16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或M -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴OM =16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或OM -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴±16k 21+4k 2=λ⋅24k 21+4k 2，∴16k 21+4k 2=λ2⋅24k 21+4k 22，∴λ2=16k 21+4k 2⋅1+4k 224k 2 2=136k2+19，又∵18≤k 2<15，∴13≥136k 2+19>14，∴13≥λ2>14，∴12<λ≤33或-33≤λ<-12即实数λ的取值范围为-33,-12 ∪12,3324.已知椭圆C :x 24+y 2=1，点P 为椭圆C 上非顶点的动点，点A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，过点A 1，A 2分别作l 1⊥PA 1，l 2⊥PA 2，直线l 1，l 2相交于点G ，连接OG (O 为坐标原点)，线段OG 与椭圆C 交于点Q ，若直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k1k 2的值；(2)求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)14;(2)35【解析】(1)由题意知，A 1-2,0 ，A 22,0 ，设P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠±1 ，设直线l 1的方程为：y =-x 0+2y 0x +2 ，设直线l 2的方程为：y =-x 0-2y 0x -2 ，所以解得点G -x 0,-4y 0 ，所以k 1=y 0x 0，k 2=4y 0x 0，即k 1k 2=14.(2)由(1)知，设直线OP 的方程为：y =k 1x ，直线OQ 的方程为：y =4k 1x ，由y =k 1xx 24+y 2=1，得4k 21+1 x 2=4，又对称性，设x P >0，所以P 24k 21+1,2k 14k 21+1，所以OP =2k 21+14k 21+1，由(1)知x P 和x Q 异号，由y =4k 1xx 24+y 2=1，得64k 21+1 x 2=4，所以Q -264k 21+1,-8k 164k 21+1，点Q 到直线y =k 1x 的距离为：d =6k 1k 21+1×64k 21+1，即S △POQ =12×OP ×d =12×2k 21+14k 21+1×6k 1 k 21+1×64k 21+1=6k 1 4k 21+1×64k 21+1=6×k 214k 21+1 ×64k 21+1 =6×k 21256k 41+68k 21+1=6×1256k 21+68+1k 21≤6×168+2256k 21×1k 21=35等号成立条件为，当且仅当256k 21=1k 21即k 1=±14等号成立，故△POQ 面积的最大值为：35.25.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，过C 的右顶点A的直线l 与C 的另一交点为P .当P 为C 的上顶点时，原点到l 的距离为255.(1)求C 的标准方程；(2)过A 与l 垂直的直线交抛物线y 2=8x 于M ,N 两点，求△PMN 面积的最小值.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)9【解析】(1)由题意知：A a ,0 ，若P 为C 的上顶点，则P 0,b ，∴l :xa +y b=1，即bx +ay -ab =0，∴原点到l 的距离d =ab a 2+b2=255，又离心率e =c a =32，a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)由题意知：直线l 斜率存在；①当直线l 斜率为0时，l :y =0，P -2,0 ；此时直线MN :x =2，则M 2,4 ，N 2,-4 ，∴S △PMN =12MN ⋅PA =12×8×4=16；②当直线l 斜率存在且不为0时，l :y =k x -2 ，由y =k x -2x 24+y 2=1得：1+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-4=0，又A 2,0 ，∴x P =8k 2-21+4k 2，则y P =-6k 1+4k 2，∴P 8k 2-21+4k 2,-4k1+4k 2；又直线MN :y =-1kx -2 ，由y =-1k x -2y 2=8x得：x 2-8k 2+4 x +4=0，∴x M +x N =8k 2+4；∵y 2=8x 的焦点为A 2,0 ，∴MN =x M +x N +4=8k 2+8，又AP =8k 2-21+4k 2-2 2+-4k 1+4k 2 2=4k 2+11+4k 2，∴S △PMN =12AP ⋅MN =16k 2+1 ⋅k 2+11+4k 2，设k 2+1=t >1，则k 2=t 2-1，∴S △PMN =16t 34t 2-3t >1 ，令f t =16t 34t 2-3，则ft =48t 24t 2-3 -16t 3⋅8t 4t 2-3 2=16t 22t +3 2t -3 4t 2-3 2，∴当t ∈1,32 时，f t <0；当t ∈32,+∞ 时，f t >0；∴f t 在1,32 上单调递减，在32,+∞ 上单调递增，∴f t min =f 32=9，即S △PMN min =9；综上所述：△PMN 面积的最小值为9.26.已知曲线C 由C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,x ≥0)和C 2:x 2+y 2=b 2(x <0)两部分组成，C 1所在椭圆的离心率为32，上、下顶点分别为B 1,B 2，右焦点为F ,C 2与x 轴相交于点D ，四边形B 1FB 2D 的面积为3+1.(1)求a ,b 的值；(2)若直线l 与C 1相交于A ,B 两点，AB =2，点P 在C 2上，求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)2；1；(2)2.【解析】(1)由题意知c a =3212b +c ⋅2b =3+1a 2=b 2+c 2⇒a =2b =1 ；(2)①当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，y =kx +m x 2+4y 2=4⇒1+4k 2x 2+8kmx +4m2-4=0 ，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =164k 2-m 2+1 >0，且-8km 1+4k 2>04m 2-41+4k 2≥0⇒m ≥1 ，AB =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2=2⇒12k 2-4m 2-4k 2m 2+3=0，计算可得m 2=34k 2+14k 2+1，故原点O 到直线AB :y =kx +m 的距离d =m 1+k 2=34k 2+121+k 2 ≤3+4k 2+141+k 2=1，当3=4k 2+1时，即k =22m =-62或k =-22m =62时取等号，故原点O 到直线AB 的距离d 的最大值为1，则点P 到直线AB 的距离h ≤d+1≤2，故S △PAB =12AB h =h ≤2，∴△PAB 面积最大值2；②当AB 斜率不存在时，A 0,-1 ,B 0,1 ，此时S △PAB =12×2×1=1<2.综上：△PAB 面积的最大值为2.27.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ，左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P -1,-1 ，且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1，求四边形MSNT 的面积；②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.【答案】(1)x 28+y 24=1;(2)①3269；②2.【解析】(1)因为△F 1BF 2是等腰直角三角形，且BF 1 =BF 2 =a ，F 1F 2 =2c ，由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1F 2 2，即2a 2=4c 2，则a =2c ，因为△F 1BF 2的周长为2a +2c =22+1 c =4+22，可得c =2，a =22，b =a 2-c 2=2，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.。
微专题25椭圆中与面积有关的定点答案
微专题25例题证法1（1）解：椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，2a ∴=，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e （2）证明：如图， 设0(P x ，0)y ，则002PA y k x =-，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =--，取0x =，得0022M y y x =--； 001PB y k x -=，PB 所在直线方程为0011y y x x -=+，取0y =，得001N xx y =-． 0000022||2211N x y x AN x y y --∴=-=-=--，00000222||1122M y x y BM x x x +-=-=+=--． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x --+-==-- 22220000000000000000000000(22)(2)4(2)4444841112(1)(2)222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +-+-++++--+=-==--+--+--000000004(22)11422222x y x y x y x y +--==⨯=+--．∴四边形ABNM 的面积为定值2．设点P(x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1(x 0＜0，y 0＜0)．所以，直线PA 方程：y ＝y 0x 0(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.∴BM ＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1.∴AN ＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1 ∴S 四边形AMNB ＝12AN·BM ＝12⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02＋4y 02＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.所以，四边形AMNB 的面积为定值．证法2设点P(2cos θ，sin θ)，因为P 在第三象限，所以不妨设π＜θ＜3π2，直线PA ：y ＝sin θ2cos θ－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝sin θ1－cos θ.∴BM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ＋cos θ－11－cos θ.直线PB ：y ＝sin θ－12cos θx ＋1，令y ＝0，x N ＝2cos θ1－sin θ.AN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin θ＋2cos θ－21－sin θ. ∴S 四边形AMNB ＝12AN·BM ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin θ＋2cos θ－21－sin θ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ＋cos θ－11－cos θ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin θ－2cos θ＋2sin θcos θ1－sin θ－cos θ＋sin θcos θ＝2.所以，四边形AMNB 的面积为定值． 说明：将四边形面积转化为12AN·BM ，是顺利解题的关键．本例可以拓展为一般的情形．变式联想变式1 答案：AN·BN 为定值．解析：根据例题解析，可知AN·BM ＝4.说明：实际上，正是因为AN·BM 为定值，当P 在第三象限时，四边形AMNB 为凸四边形，所以才有上述例题，而点P 分别在第二、第一、第四象限时，四边形AMNB 为凹四边形，其面积依然为定值2，但中学阶不研究这类图形．变式2 答案：2.解析：设点P(x 0，y 0)，则有x 022＋y 02＝1.所以AP 方程：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得m ＝x 01－y 0.由题意，点Q 与P 关于x 轴对称，所以Q(x 0，－y 0)，同理得n ＝x 01＋y 0.所以mn ＝x 021－y 02＝2.所以mn ＝2为常数．说明：本题看起来很简单，实际上，点A 只要是椭圆上的一个定点，都有mn ＝2的结论，更一般地，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ≠b)，有mn ＝a 2.对于一般的情况，直接运算就有一定难度．建议数学能力强的学生直接从一般情况入手研究．本题题根来自圆，如图，PQ ⊥l ，那么l 垂直平分PQ ，所以∠QAP ＝12∠QOP ＝∠FOP ，由此最终可得△EAO ∽△AFO ，从而OE·OF ＝OA 2＝r 2.串讲激活串讲1答案：(1)略；(2)1.解析：(1)证明：S ＝12·OA·OB·sin 〈OA →，OB →〉＝12OA·OB ·错误!＝错误!错误!OA 2·OB 2－(错误!·错误!)2)＝12|x 1y 2－x 2y 1|. (2)解：设A(2cos α，sin α)，B(2cos β，sin β)．由l 1与l 2的斜率之积为－14.所以y 1y 2x 1x 2＝sin αsin β2cos α2cos β＝－14，所以cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以cos (α－β)＝0.又S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝|cos αsin β－cos βsin α|＝|sin (α－β)|＝1.所以△AOB 面积S 的值为1.说明：本题用另一种求三角形面积的方法S ＝12AB·AC sin A ，在解析几何中，求夹角的正弦值需要利用余弦转化，从而需要用到两向量的夹角公式． 此外，本题也可以用与例题相同的方法求解： 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线AB ：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，令y ＝0，则x ＝－y 1（x 2－x 1）y 2－y 1＋x 1＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，所以S ＝12|y 1－y 2|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1＝12|x 1y 2－x 2y 1|.串讲2 答案：P ⎝⎛⎭⎫263，1.解析：因为点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，所以设P(x 0，y 0)(x 0，y 0＞0)．则直线PA 方程：y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝0，得y M ＝2y 0x 0＋2，即M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2.同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2y 0x 0－2.所以，S △MOA ＝2y 0x 0＋2，S △NOB ＝－2y 0x 0－2.所以2y 0x 0＋2＋－2y 0x 0－2＝6，即4y 0＝12－3x 02.所以⎩⎨⎧4y 0＝12－3x 02，3x 02＋4y 02＝12，由于x 0，y 0＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝263，y 0＝1.即点P )1,362(. 新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)x －2y ＋2＝0.解析：(1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，所以b ＝c.所以直线BD 的方程是y ＝－22x ＋b ，又O 到直线BD 的距离为63，所以b 1＋12＝63， 所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设P(2，t)，t ＞0，那么直线PA 方程是y ＝t22(x ＋2)， 联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22（x ＋2），整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0，解得x ＝42－2t 24＋t 2，则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t 2，4t 4＋t 2. 因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积， 而S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t 2，S △PBC ＝12×t ×⎝⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t 2， 所以t ＝2，所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.。
高中数学椭圆大题之面积问题
高中数学椭圆大题之面积问题题型一：面积为定值例1、（18三中高二理 ）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，B A ,分别是椭圆的右顶点和上顶点，52=AB .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 在第三象限的一个动点，直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证：四边形ABNM 的面积为定值.练1、（18厦门一中高二期末）已知椭圆系方程()*∈>>=+N n b a n b y a x C n ,0:2222，1F ，2F 是椭圆6C 的焦点，()3,6A 是椭圆6C 上一点，且0212=⋅F F AF（1）求6C 的方程；（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ，N 两点，点P 关于原点对称点为Q ，求证：QMN ∆的面积为定值，并求出这个值．练2、(2017北京文)已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．题型二：面积的取值范围例1、（19四中期末）已知点,M N 分别是椭圆2222:1,(0)bx y C a b a +=>>的左右顶点, F 为其右焦点,(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 的直线l 与该轨迹交于,A B 两点,若直线,,OA AB OB 的斜率依次成等比数列,求OAB V 面积的取值范围.例2、（18八中期中）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线L 交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为O H ,为坐标原点，且1=OH ，求POQ ∆面积的最大值.例3、（19三中期末）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，其中长轴长为4，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）已知椭圆E 的左焦点为F ，A 是椭圆E 上的一个点，直线AF 交椭圆E 于另一个点B ，以AB 为边作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，（ⅰ）判断平行四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由； （ⅱ）求平行四边形ABCD 的面积的最大值.练1、（18一中高二期末）.已知点M 为圆8)1(:221=++y x F 上动点，点)01(2，F ,线段2MF 的中垂线交线段1MF 于点N ,记点E N 的轨迹为.(1)证明21NF NF +为定值，并求出轨迹E 的方程；(2)如图所示，过2F 的直线l 交轨迹E 于B A 、，记A F F 21∆的面积为1S ,记B F F 21∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.练2、（2016全国Ⅰ理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.题型三、已知面积求参例1、（2018天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.练1、（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,A B两点．若OAB△26，求直线l的方程．- 11 -。
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题
(2)设 P( 2，t)，t＞0，那么直线 PA 方程是 y＝
t 2 2
(x＋ 2)，
2 x ＋y2＝1， 2 联立 整理得(4＋t2)x2＋2 2t2x＋2t2－8＝0，解 t y＝ （x＋ 2）， 2 2
4 2－ 2t2 4 2 － 2 t2 4t ， 得 x＝ ，则点 C 的坐标是 2 2. 2 4＋ t 4＋ t 4＋ t
答案：(1)略；(2)1.
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1 → ，OB →〉 解析：(1)证明：S＝2· OA· OB· sin〈OA ＝ 1 ＝2 1 → → 2 OA · OB －(OA· OB) )＝2|x1y2－x2y1|.
2 2
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(2)解：设 A(2cosα，sinα)，B(2cosβ，sinβ)．由 l1 与 l2 的斜率之积为 1 y1y2 sinαsinβ 1 －4.所以x x ＝2cosα2cosβ＝－4， 所以 cosαcosβ＋sinαsinβ＝0， 所以 cos(α 1 2 1 － β)＝ 0.又 S＝2|x1y2－ x2y1|＝ |cosαsinβ－ cosβsinα|＝ |sin(α－ β)|＝ 1.所以 △ AOB 面积 S 的值为 1.
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1 说明：本题用另一种求三角形面积的方法 S＝2AB· ACsinA，在解析 几何中， 求夹角的正弦值需要利用余弦转化， 从而需要用到两向量的夹 角公式．
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此外，本题也可以用与例题相同的方法求解： y－y1 x－x1 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，则直线 AB： ＝ ， y2－y1 x2－x1 －y1（x2－x1） x1y2－x2y1 1 令 y＝0，则 x＝ ＋ x1 ＝ ， 所 以 S ＝ 2 |y1 － y2－y1 y2－y1
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量例题：如图，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k21＋2k2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分例题答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)S∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝⎛⎭⎪⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 12＝22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB2＝ （k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)， S ＝t2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2，令u ＝1t ∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －12＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22. 变式联想变式1 答案： 2.解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 则C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 此时S △ABC ＝12×2×2＝2；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ2（1＋2k 2）， 所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·Δ（1＋2k 2）＝221＋k21＋2k2.(弦长公式)另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k|k 2＋1，∴S △ABC ＝12AB·2d＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·1＋k 21＋2k 2·2|k|k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2＝ 2214－14（2k 2＋1）2＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝12OF·|y 1－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2.这样计算可以简洁一些． 变式2答案：(1)2；(2)6 3.解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 024＋y 02＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 024＋20＝1，所以λ＝2，即OQ OP ＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m|·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1.因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.串讲激活串讲1 答案：43.解析：设S(22，t)，则t≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32（x ＋2），得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2（x －2），可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以 S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠S 12SM ·SN ·sin ∠S ＝SA 1·SA 2SM ·SN＝ |22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝（t 2＋9）（t 2＋1）（t 2＋3）2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S(22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.说明：本题用三角形面积公式S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ，最后得到S 1S 2＝|x S －xA 1||x S －xA 2||x S －x M ||x S －x N |，这样运算就简单了．还有，用直线SA 1的方程求点M 坐标时，要注意方程组一定有一个解x A1，所以，也可以用韦达定理求出x M .串讲2答案：(1)x 24＋y2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.解析：(1)设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法1：依题意，当l⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1，2＝8k±24k 2－31＋4k 2，从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 解法2由题意知直线l 的斜率必存在．则S △OPQ ＝ 12OP 2·OQ 2－（OP →·OQ →）2，设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)．所以S △OPQ ＝12·2·|sin (α－β)|≤1，当sin (α－β)＝±1时，等号成立．此时α－β＝2k π＋π2或α－β＝2k π－π2(k∈Z)．又P (2cos α，sin α)，Q (2cos β，sin β)与A (0，－2)共线，则sin β＋22cos β＝sin α＋22cos αsin(α－β)＝2(cosα－cos β)＝±1cos α－cos β＝±12.又k PQ ＝sin α－sin β2（cos α－cos β）＝±(sin α－sinβ)．①若α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋β＝cos β，同理cos α＝－sin β.所以sin α－sin β＝sin α＋cos α.因为cos α－cos β＝12得到cos α－sin α＝12.且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±72.②同理，当α－β＝2k π－π2(k ∈Z)时，sin α－sin β＝±72，所以k PQ ＝11 ±72.(以下同解法1) 新题在线答案：(0，1)．解析：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且x 1·x 2≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2，得－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 因为m ≠0，所以k 2＝14，所以k ＝±12. 因为Δ＞0，且x 1·x 2≠0，所以0＜m 2＜2且m 2≠1.设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝12d ·1＋k 2|x 1－x 2|＝m 2（2－m 2）＝－（m 2－1）2＋1. 所以△OPQ 面积的取值范围是(0，1)．说明：命题人用直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，是为了告知直线PQ 斜率为±12.。
高考数学讲义椭圆之弦长面积范围问题
2014年二轮复习椭圆之弦长面积范围问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之弦长面积范围问题高考大纲自检自查必考点设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++= 即222222212()10k km m x x a b b b +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.题型一：弦长问题222222121212''11()41()41'''B C AB k x x kx x x x kk A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+注意：',','A B C 对应联立后的一元二次方程的二次项，一次项和常数项的系数.自检自查必考点OyxBA题型二：三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅==焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,FABF ∆的面积为 112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-= 注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数.题型三：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.【例1】 已知圆O ：221x y +=，点O 为坐标原点,一条直线：:(b 0)l y kx b =+>与圆O 相切并与椭圆2212x y +=交于不同的两点A B 、（1）设(k)b f =,求(k)f 的表达式； （2）若23OA OB ⋅=，求直线l 的方程；（3）若23()34OA OB m m ⋅=≤≤，求三角形OAB 面积的取值范围.例题精讲【例2】 已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．【例3】 已知,A B 是椭圆2822=+y x 上两点，O 是坐标原点，定点)0,1(E ，向量OA ．OB 在向量OE 方向上的投影分别是,m n ，且7OA OB mn ⋅=-，动点P 满足OB OA OP += （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点E 的直线l 与C 交于两个不同的点M N ,，求EM EN ⋅的取值范围。
微专题三 最值与范围问题
微专题三 最值与范围问题突破点一 距离与面积的最值(范围)【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE→＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2. 联立以上3个式子，可得a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4.因为OE→＝OA →＋OB →，所以四边形AOBE 为平行四边形， 所以S ＝S ▱AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4.令t 2＋1＝m ，则m ≥1，S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m.由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92. 法二 由OE→＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形.所以S ＝S ▱AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB .当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 24k 2＋3.令4k 2＋3＝m ，则m >3，S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.综上可知，四边形AGBE 的面积S 的最大值S max ＝92.探究提高 1.本题求四边形AGBE 面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.【训练1】 (2021·全国乙卷)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p 的值；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值.解 (1)由题意知M (0，－4)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p 2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，直线AB 的方程为y＝kx ＋b ，联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0 (※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x 12，在点A处的切线方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝2k ，y ＝x 1x 24＝－b ，即P (2k ，－b ).因为点P 在圆M 上， 所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①， 且－1≤2k ≤1，－1≤4－b ≤1， 所以－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)式.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2k 2＋2b |1＋k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4（k 2＋b ）3.由①得，k 2＝1－（4－b ）24＝－b 2＋8b －154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝－b 2＋12b －154，且3≤b ≤5.因为t ＝－b 2＋12b －154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20 5. 突破点二 斜率与某些参数(式子)的范围(最值)【例2】 (2021·长沙联考)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±43，长轴长为8. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点(点E ，F 与点A 不重合)，且满足AE ⊥AF ，若点P 满足2OP →＝OE →＋OF →，求直线AP 的斜率的取值范围.解 (1)由题意得b e ＝abc ＝43，2a ＝8，a 2＝b 2＋c 2， 联立以上3个式子，可得a 2＝16，b 2＝12，c 2＝4. 所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)得A (4，0).易知直线l 不与x 轴平行. 当直线l ⊥x 轴时，不妨设点E 在点F 上方. 因为AE ⊥AF ，所以直线AE 的倾斜角为135°， 所以直线AE 的方程为y ＝－x ＋4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，x 216＋y 212＝1，得7x 2－32x ＋16＝0，解得x ＝47或x ＝4(舍去)，所以x E ＝x F ＝47(x E ，x F 分别为点E ，F 的横坐标). 由2OP →＝OE →＋OF →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，0，直线AP 的斜率为0.当直线l 不垂直于x 轴时，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠－4k ，k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 216＋y 212＝1消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－48＝0. 则Δ＝(8kt )2－4(3＋4k 2)(4t 2－48)>0， 即16k 2－t 2＋12>0，(*)x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－483＋4k 2.因为AE ⊥AF ，所以AE →·AF →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋(kx 1＋t )(kx 2＋t ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(kt －4)(x 1＋x 2)＋16＋t 2 ＝7t 2＋32kt ＋16k 23＋4k 2＝0，即7t 2＋32kt ＋16k 2＝0，所以(7t ＋4k )(t ＋4k )＝0，解得t ＝－4k7且t 满足(*)式.所以2OP →＝OE →＋OF →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 3＋4k 2，6t 3＋4k 2， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 3＋4k 2，3t 3＋4k 2.则直线AP 的斜率k AP ＝3t 3＋4k 2－4kt 3＋4k 2－4＝－3t 16k 2＋4kt ＋12＝k 8k 2＋7＝18k ＋7k . 当k <0时，8k ＋7k ≤－28k ·7k ＝－414，此时－1456≤k AP <0；当k >0时，8k ＋7k ≥28k ·7k ＝414，此时0<k AP ≤1456.综上可得，直线AP 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1456，1456.探究提高 1.本题的易错点有两处：一是忘记讨论直线l ⊥x 轴时的情形，从而遗漏了k AP ＝0这个取值；二是利用基本不等式求解8k ＋7k 的取值范围时，直接根据k >0求解其最小值，得到0<k AP ≤1456，遗漏了对k <0的讨论.2.圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换，目标关系式求范围.求k AP 的取值范围，分三步完成：第一步，消参，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由条件“AE ⊥AF ”得到关于k ，t 的等量关系t ＝－4k7(此时需要检验判别式Δ>0)；第二步，将等量关系t ＝－4k7代入目标关系式，化简得k AP ＝18k ＋7k；第三步，通过对k 的分类讨论，求出斜率k AP 的取值范围. 【训练2】 已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x 0<32. (1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)Q 是以AB 为直径的圆上一点，且AP →·BQ →＝0，求AP →·PQ →的最大值. 解 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 20－14x 0＋12＝x 0－12，且－12<x 0<32， 则－1<x 0－12<1.所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1). (2)由题意可知，AP→与AQ →同向共线，BQ ⊥AQ ， 联立直线AP 与BQ 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）.因为|AP |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝1＋k 2·(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x 0)＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以AP →·PQ →＝|AP →|·|PQ →|＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，AP →·PQ→取得最大值2716.突破点三 范围(最值)的探索性问题【例3】 (2021·天津模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点.当P 是C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与C 的另一个交点为Q ，是否存在点T (t ，0)，使得|TP |＝|TQ |？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆C 的半焦距为c .因为S △F 1PF 2＝12×2c ×b ＝3，所以bc ＝ 3. 又e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在点T (t ，0)，使得|TP |＝|TQ |.由直线PQ 过F 2(1，0)，设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为N (x 0，y 0). 当k ＝0时，t ＝0，符合题意. 当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(－8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144k 2＋144>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3.所以x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，y 0＝k (x 0－1)＝－3k4k 2＋3，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k24k 2＋3，－3k 4k 2＋3. 连接TN ，因为|TP |＝|TQ |，所以TN ⊥PQ ， 则k TN ·k ＝－1(k TN 为直线TN 的斜率). 所以3k 4k 2＋3t －4k 24k 2＋3·k ＝－1，即t ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2.因为4＋3k 2>4，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.综上可得，t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，14.探究提高 1.探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.本题的求解体现了数形结合思想在解答圆锥曲线问题中的应用.解题关键是如何将题设条件中的几何关系“|TP |＝|TQ |”转化成代数关系“k TN ·k ＝－1”，由此建立t 关于k 的函数关系式，进而求出t 的取值范围.【训练3】 已知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，若抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则△P AB 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆y 24＋x 23＝1，知a 2＝4，b 2＝3. 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.又抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点， 所以p2＝1，则p ＝2. 于是抛物线的方程为x 2＝4y .(2)△P AB 的面积存在最小值，理由如下： 由抛物线方程x 2＝4y 知，F (0，1).易知直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y 并整理，得x 2－4kx －4＝0， 且Δ＝(－4k )2－4(－4)＝16k 2＋16>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝x 24求导，得y ′＝x 2，所以直线AP 的斜率k AP ＝x 12.则直线AP 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21.同理得直线BP 的方程为y ＝x 22x －14x 22. 设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·（4k ）2＋16＝4(1＋k 2)，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2|1＋k 2＝21＋k 2， 所以△P AB 的面积S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当且仅当k ＝0时等号成立.故△P AB 的面积存在最小值4，此时直线l 的方程为y ＝1.1.(2021·全国乙卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →＝9QF →，求直线OQ 斜率的最大值.解 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p ，故p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，QF →＝(1－x 2，－y 2). 因为PQ →＝9QF →，所以⎩⎨⎧x 2－x 1＝9（1－x 2），y 2－y 1＝－9y 2，得⎩⎨⎧x 1＝10x 2－9，y 1＝10y 2，∵点P 在抛物线C 上，所以y 21＝4x 1，则(10y 2)2＝4(10x 2－9)，化简得y 22＝25x 2－925， 则点Q 的轨迹方程为y 2＝25x －925.设直线OQ 的方程为y ＝kx ，易知当直线OQ 与曲线y 2＝25x －925相切时，斜率可以取最大.联立y ＝kx 与y 2＝25x －925并化简，得k 2x 2－25x ＋925＝0， 令Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252－4k 2·925＝0，解得k ＝±13， 所以直线OQ 斜率的最大值为13.2.已知椭圆C ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，求直线MN 的斜率；(2)若M ，N ，O 三点共线，直线NF 1与椭圆C 交于N ，P 两点，求△PMN 面积的最大值.解 (1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，两式相减，可得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）5＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 则4（x 1－x 2）5＋2（y 1－y 2）3＝0， 解得y 1－y 2x 1－x 2＝－65，即直线MN 的斜率为－65. (2)显然直线NF 1的斜率不为0，设直线NF 1：x ＝my －2，N (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 25＋y 2＝1，消去x 整理得(m 2＋5)y 2－4my －1＝0，显然Δ＝20(m 2＋1)>0，故y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5， 故△PMN 的面积S △PMN ＝2S △OPN＝2×12·|OF 1|·|y 1－y 2|＝45·m 2＋1m 2＋5， 令m 2＋1＝t ，其中t ≥1.S △PMN ＝45t t 2＋4＝45t ＋4t ≤452t ·4t ＝5， 当且仅当t ＝2，即m ＝±3时等号成立，故△PMN 面积的最大值为 5.3.已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2＝1(a >1)的离心率为32，圆A ：x 2＋(y －a )2＝r 2(r >0)与椭圆E相交于B ，C 两点.(1)求AB →·AC→的最小值； (2)若F 1，F 2分别是椭圆E 的上、下焦点，经过点F 1的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)由e ＝c a ＝a 2－1a ＝32，得a ＝2.所以椭圆E 的标准方程为y 24＋x 2＝1，则圆心A 的坐标为(0，2).设B (x 0，y 0)，由对称性得C (－x 0，y 0)，且y 204＋x 20＝1，所以AB →·AC →＝(x 0，y 0－2)·(－x 0，y 0－2) ＝(y 0－2)2－x 20＝(y 0－2)2－⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204 ＝54y 20－4y 0＋3＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－852－15. 由题意知－2<y 0<2，所以当y 0＝85时，AB →·AC →取得最小值，最小值为－15. (2)由题意知F 1(0，3)，F 2(0，－3)，直线l 的斜率一定存在. 设l ：y ＝kx ＋3，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，消去y 并整理得(4＋k 2)x 2＋23kx －1＝0， Δ＝(23k )2＋4(4＋k 2)＝16k 2＋16>0，则x 1＋x 2＝－23k 4＋k 2，x 1x 2＝－14＋k 2. 所以△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和 S ＝12×3|x 2－x 1|＝32×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k 4＋k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋k 2 ＝32×16k 2＋16（4＋k 2）2＝23×1＋k 2（4＋k 2）2. 令t ＝1＋k 2，则t ≥1，所以S ＝23×t （t ＋3）2＝23×1t ＋9t ＋6≤23×112＝23×123＝1，当且仅当t＝9t，即t＝3，k＝±2时等号成立.所以当k＝±2时，△OF2N与△OF2M的面积之和取得最大值，且最大值为1，此时直线l的方程为2x－y＋3＝0或2x＋y－3＝0.。
求解椭圆范围问题+专题课件
y0
kx0
m
m 4k 2
1
．∴
kAP
y0 1 m 1 4k2
x0
4km
，
又 AM AN ，∴ AP MN ，则 m 1 4k 2 1 ，即3m 4k2 1，②
4km
k
把②代入①得 m2＜3m ，解得 0＜m＜3 ，由②得 k 2 3m 1 0 ，解得 m 1 ．
4
3
综上可知
m
2k2 1 m2 ，化简，得 2m2k4 7m2k2 3m2 2k4 3k2 1 ，
2k2 1
整理得
m2
k2 k2
1 3
，而 g k
k2 k2
1 3
1
2 k2 3
1
2 3
1 3
（当且仅当 k
0 时等号成立）
所以 m2 1 ，由 m 0 ，得 0 m 3 ，综上， m 的取值范围是 0 m 3 .
1 PF2
8 mn
1 2
.
2 3
.
故选：A.
【例 4】已知椭圆 C：x2 y2 1 ，设经过其右焦点 F 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，线段 MN
43
的垂直平分线交 y 轴于点 P0, y0 ，求 y0 的取值范围.
【例 4】解：当 MN x 轴时，显然 y0 0 .
当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y k(x 1)(k 0) .
0
，或 0
y0
3 12
.
综上：
y0
的取值范围是
3 12
,
3 12
.
【训练
2】如图，椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a>b>0）的左焦点为
椭圆专题(二)弦长、面积与范围
(1)求实数m的取值范围；
(2)求 AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
19.(1) 或 (2)
解析:(1)由题意知 ,可设直线 的方程为 ,由 ,消去 ,得 ,因直线 与椭圆 有两个不同的交点,所以 .将 的中点 代入直线方程 解得 代入上式得 或 ;
(2)令 ,则 ,且点O到直线 的距离 ,设 的,面积为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,故 面积的最大值为
石室中学高2020届解析几何专题
(弦长、面积与范围)
一、典型例题:
1.如图，直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为 ，
所以，
四边形ABCD的面积
当k2=1时，上式取等号。
（ii）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4.
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
（Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）四边形ABCD的面积的最小值为
【解析】证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距 .
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，
故 ，
所以，
（Ⅱ）（i）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为 代入椭圆方程
，并化简得
设 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
2．设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则 的最小值为( )
A．1B．－1C．－2D．－4
椭圆中面积的最值问题
椭圆中面积的最值问题作者：陈开懋幸芹来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期椭圆中面积的最值问题，一般分为两种情况：一是题目直接考查某直线或某图形与已知椭圆所围成阴影部分的面积；二是考查椭圆中的其他问题，但可以转化为该椭圆中某特定面积问题加以计算解答. 解决此类问题的常规方法是将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数，将面积问题转化为求函数最值问题，应熟练掌握.[椭圆中的三角形面积最值]例1 已知椭圆C：[x24+y23=1]，若经过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆于A，B两点，求△ABF1面积的最大值.解析设直线AB的方程为[x=my+1][m∈R]，把[x=my+1]代入[x24+y23=1]得，[（3m2+4）y2+6my-9=0]，显然[Δ>0]，设A[x1，y1]，B[x2，y2]，则[S=12×2×y1-y2=][y1-y2]，又[y1+y2=-6m3m2+4]，[y1∙y2=-93m2+4]，[（y1-y2）2=][（y1+y2）2-4][y1∙y2=483m2+3（3m2+4）2]，令[t=3+3m2]，则[t≥3，][（y1-y2）2=48t+1t+2]，由于函数[y=t+1t]在[3，+∞]上单调递增，所以[t+1t≥103]，故[（y1-y2）2≤9]，即[S≤3]，故△ABF1面积的最大值等于3.例2 已知椭圆[x22+y24=1]，过椭圆上的点P（1，[2]）作倾斜角互补的两条直线PA，PB 分别交椭圆于A，B两点，求△PAB面积的最大值.解析设直线AB的方程为：[y=2x+b]，代入[x22+y24=1]，得[4x2+22bx+b2-4=0]，所以[Δ=8b2-16（b2-4）>0]，解得[b2设A[x1，y1]，B[x2，y2]，则|AB|=[1+22][x1+x22-4x1x2]=[34-b22]，点P到直线AB的距离[d=b3]，∴ [SΔPAB=12AB∙d=12b∙][4-b22]=[122-b2-42+16][≤][2]，当且仅当b=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值是[2].总结（1）选择合适的三角形面积表达式：①直接法：[SΔABC=12×底×高]，其中求底一般用到弦长公式，求高一般用到点到直线的距离公式；②割补法：用垂直于坐标轴的线段进行分割，并将垂直于坐标轴的线段当三角形的底边，高用点坐标表示.（2）关于面积目标函数中变量的选择：①选择点坐标作为变量；②选择直线的斜率作为变量；③选择直线的截距作为变量；④同时选择直线的斜率和截距作为变量.（3）关于直线方程形式的设法：①[y=kx+b]；②[x=my+n]. 选择不同直线方程的形式，可以起到减少分类讨论和简化运算的效果.（4）面积目标函数最值的常见求法：一元函数法、基本不等式法、线性规划、三角换元法、代数换元法.[椭圆中的四边形面积最值]例3 设椭圆中心在坐标原点，点A（2，0），C（0，1）是它的两个顶点，直线[y=kx （k>0）]与椭圆相交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值.[O][y][x][B][A][D][C]解析因为点A（2，0），C（0，1）是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程为[x24+y2=1].由椭圆的对称性知，点B，D关于原点对称，设点B（x0，y0）（x0>0），则[x204+y20=1]，即[x20+4y20=4]. 设四边形ABCD的面积为S，则S=S△ABD+ S△BCD=2S△AOB+2S△COB=|OA|[⋅]y0+|OC|[∙]x0=2y0+x0. 接下来可以用两种方法处理：方法一（三角换元）：∵ [x204+y20=1]，可设x0=2cos[θ]，y0=sin[θ]，∴ S=2y0+x0=2sin[θ]+2cos[θ]=2[2]，sin（[θ]+45°）≤2[2]，当且仅当[θ]=45°时取等号. 故四边形ABCD面积的最大值是2[2].方法二（利用基本不等式）：[S=2y0+x0=（x0+2y0）2]=[x20+4y20+4x0y0]=[4+2∙x0∙2y0≤][x20+4y20+4]=2[2]，当且仅当2y0=x0=[2]时取等号.故四边形ABCD面积的最大值是2[2].总结椭圆中的四边形面积常见处理技巧是将四边形分割成若干个三角形的面积之和，再利用前面所讲的三角形面积计算技巧来处理. 此题将四边形ABCD的面积表示成关于点B的坐标（x0，y0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD的面积表示成关于k的函数，则运算量要大许多. 当然，本题还可以以AC为分割线，将四边形ABCD的面积转化为两个三角形△ACB和△ACD的面积之和.[与椭圆面积有关的其他问题]例4 已知点A（0，-2），椭圆E：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）的离心率为[32]，F是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为[233]，O为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析（1）设F（c，0），由条件知，[2c=233]，得[c=3].又[ca=32]，所以a=2，b2=a2-c2=1.故E的方程为[x24+y2=1].（2）当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.将y=kx-2代入[x24+y2=1]，得（1+4k2）x2-16kx+12=0，当Δ=16（4k2-3）>0，即k2>[34]时，x1，2=[8k±24k2-34k2+1]，从而|PQ|=[k2+1]|x1-x2|=[4k2+1·4k2-34k2+1].又点O到直线l的距离d=[2k2+1].所以△OPQ的面积S△OPQ=[12]d·|PQ|=[44k2-34k2+1].设[4k2-3]=t，则t>0，S△OPQ=[4tt2+4]=[4t+4t].因为[t+4t]≥4，当且仅当t=2，即k=±[72]时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，k=±[72]，l的方程为y=[72]x-2或y=-[72]x-2.通过以上几个例子，我们发现解决椭圆中的面积最值问题往往采取割补法表示图形的面积，再利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数最值，以及利用函数的单调性、各种平面几何中最值的思想来解决. 同时分割方法的不同、设未知元的不同，会导致运算的繁简不同，在解题时应注意方法的优化.。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+= ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()43200000032004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点．(1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---，，，，所以()22120021PF PF x y ⋅=--=，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x =-，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k +++-=，设()B B B x y ，，则1B x ==同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -=-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k-+=+， 即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k=，所以222212m k k k +=+，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y xx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E Dn y y m k ==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k =，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B ，，且3AP PB =， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-，所以112m -<-或112m <， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-或112m <．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--，，，，，． 由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=．(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>． 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k-+--+，解得213k ． (3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅的取值范围． 解：(13)AP =，，设()(31)Q x y AQ x y =--，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅，所以18618xy -．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x 轴上．若右焦点到直线0x y -+的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=． (2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+，所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y += (2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=，所以()()112222x y x y λ-=-，，， 所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x xx x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===，，， 所以113λ<，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点)，当25||3PA PB -<t 取值范围．解：(1)由题意知c e a =，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=． (2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为25||3PA PB-<12x -<，所以()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为(()26223-，，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x ab+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：y m =+．由22124y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得22440xm ++-=，由()22)1640m ∆=-->，得m -<< P 到AB 的距离为d =则1||2PAB S AB d ∆=⋅=，)(2188m -=当且仅当2(m =±∈-取等号，所以三角形P AB ． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t ．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()331122-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=相切，得2||11t k =+，即221t k =+．所以()()()()()222222212122224443||4||1434t t k t AB x x y y k k t k ⎡⎤-⎢⎥=-+-=+-=⎢⎥+++⎣⎦． 因为243||43||233||||t AB t t t ==++，且当3t =±时， 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯，当且仅当3t =±时，AOB ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(03)-，或(03)，．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m的函数，并求AB 的最大值． 解：由题意知，||1m ．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB =； 当1m =-时，同理可得AB =；当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a ba b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为0)，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的，两点(A B=+与椭圆C相交于A B右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1M，，平行于OM(2)的直线l在y轴上的截距为(0)，两个不同点．m m≠，l交椭圆于A B(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA MB，与x轴始终围成一个等腰三角形．。
高中数学 椭圆专题 弦长、面积与范围
石室中学高2020届解析几何专题
(弦长、面积与范围)
一、典型例题:
1.如图，直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
【答案】（1） （2） 或 ．
5、 已知某椭圆的焦点是 ． ，过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 ，椭圆上不同的两点 , 满足条件：
成等差数列．
（Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.
7. (选做).如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
5、 已知某椭圆的焦点是 ． ，过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 ，椭圆上不同的两点 , 满足条件：
成等差数列．
(I)求该椭圆方程；
(II)求弦 中点的横坐标；
(III)设弦 的垂直平分线的方程为 ，求 的取值范围．
6.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2.过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为 ，
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22例题：如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1（a>b>0）的左焦点为F（－1，0），左准线方程为x ab＝－ 2.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若A，B两点满足OA⊥OB（O为坐标原点），求△ AOB 面积的取值范围．2 2 2变式2设椭圆E：x＋y＝1，P为椭圆C：x＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝16 44kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(1)求O O Q P的值；(2)求△ ABQ 面积的最大值．椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.2串讲1如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x ＝2 2上一动点（不在x轴上），直线 A 1S交椭圆C于点M，直线 A 2S交椭圆于点N，设△MSN 的面积，求S1的最大值．S2x 2y23串讲2已知点A（0 ，－2），椭圆E：2＋2＝1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆 E 的右a b 2焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（1）求 E 的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△ OPQ的面积最大时，求l的方程．S1，S2 分别为△ A 1SA2，2（2018·广西初赛改编 ）已知椭圆 C ：x＋ y 2＝1，设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 4两点 P ，Q ，且直线 OP ，PQ ， OQ 的斜率成等比数列 ，求△ OPQ 面积的取值范围．22 （2018·南通泰州一模 ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0） ab 的离心率为 22， 两条准线之间的距离为 4 2.（1）求椭圆的标准方程；2 2 8（2）已知椭圆的左顶点为 A ， 点 M 在圆 x 2＋y 2＝9上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B ，且△ AOB 的面积是△ AOM 的面积的 2 倍， 求直线 AB 的方程．22答案： （1）x 4 ＋ y 2＝ 1；（2）y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析： （1）设椭圆的焦距为 2c ，由题意得 ，c ＝ 2，2a ＝4 2，2分 a 2 c 22解得 a ＝2， c ＝ 2，所以 b ＝ 2，所以椭圆的标准方程为 x4＋y 2＝1.4 分（2）解法 1：因为 S △AOB ＝ 2S △AOM ，所以 AB ＝2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分 22因为椭圆的方程为 x 4 ＋ y2 ＝ 1，所以 A （ －2，0）．设 M （x 0，y 0），则 B （2x 0＋2，2y 0），22所以 x 02＋y 02＝89，①（2x04＋2） ＋（2y 20）＝1，②10 分2 2 8 由①② ，得 9x 02－18x 0－16＝0，解得 x 0＝－ 3或 x 0＝3（舍去 ）．3322把 x 0＝－ 23代入① ，得 y 0＝±32，12 分所以 k AB ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝±21（x ＋2），即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分解法 2：因为 S △AOB ＝2S △AOM ，所以 AB ＝ 2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分22x 42＋y 22＝1，设直线 AB 的方程为 y ＝k （x ＋ 2），由 4 2y ＝k （x ＋2），得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，即 （7k 2＋2）（4k 2－1）＝0，解得 k ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝ ±21（x ＋ 2）， 即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分例题2答案： （1）x 2＋ y 2＝ 1；所以 （x ＋2）［（1＋2k 2）x ＋4k 2－2］＝0， 解得 x B ＝12＋－24k k2，8分B1＋ 2k 2 所以 x M ＝x B ＋（－ 2） －4k 22，1＋2k 210 分 2k y M ＝k （xM ＋2）＝1＋2k2，化简得 28k 4＋ k 2－2＝0，2 2 8 代入 x ＋y ＝ 9， －4k 2 21＋ 2k 2 ＋2k 2 81＋ 2k2 ＝9，12 分（2）S ∈ 32， 22.解析： （1）由题设知 e ＝ 22， a 2＝2c 2＝b 2＋c 2， 即 a 2＝2b 2，将 1，－ 22 代入椭圆 C 的 2方程得到 12＋ 12＝1，则 b 2＝ 1，a 2＝ 2，所以椭圆 C ：x ＋y 2＝1. 2b 2b 2（2）当直线 OA ，OB 分别与坐标轴重合时 ，易知△ AOB 的面积 S ＝ 22.当直线 OA ，OB 1的斜率均存在且不为零时 ，设 OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－ k x.设 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2），将 y ＝22kx 代入椭圆 C 得到 x 2＋2k 2x 2＝2， 所以 x 12＝ 2k 22＋ 1， y 12＝ 2k 22k ＋ 1，同理 x 22＝22＋k k 2，y 222＋2k 2，△ AOB 的面积 S ＝OA ·2OB2＋ k2k 2＋1）2（ 2k 2＋ 1）（ k 2＋2）. 令 t ＝k 2＋1∈ [1， ＋∞），变式联想变式 1答案： 2.解析：①当直线 AB 的斜率不存在时 ，不妨取 A 1， 22， B 1， 2，－2 ，－1，－22. 则C此时 S △ABC ＝21×2× 2＝ 2；②当直线 AB 的斜率存在时 ，设直线 AB 方程为 y ＝ k （x －1）， 联立y x ＝2＋k 2（y 2x ＝－21.），化简得 （2k 2＋1）x 2－4k 2x ＋ 2k 2－2＝0，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 Δ＝ 16k 4－4（2k 2＋ 1）（2k 2－2）＝8（1＋ k 2），x 1，2＝2（4k 1＋±2k Δ2） ，∈23， 22 .所以 AB ＝ （1＋k 2）·2|x 1－x2|＝ 1＋k 2·（1＋2k 2）＝2 211＋ 2kk 2.（弦长公式 ） 另一方面点 O 到直线 y ＝k （x － 1）的距离 d＝ |2k| ，k 2＋1因为 O 是线段 AC 的中点 ，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d ＝ 2|2k| ， k 2＋12|k|k 2（k 2＋ 1）k 2＋1＝2 2（2k 2＋1）2＝4（ 2k2＋ 1） 2< 2.综上 ，△ABC 面积的最大值为 2. 说明： O 为 AC 中点，所以△ ABC 的面积是△ OAB 面积的两倍 ，而△ OAB 的面积可1以用公式 S △OAB ＝ 2OF ·|y 1－ y 2|得出 ，所以 S△ABC＝ 2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k| |x ·1－x 2|＝2 2 k （（2kk2＋＋11））2.这样计算可以简洁一些．变式 2 答案： （1）2； （2）6 3.22解析：（1）设 P （x 0，y 0），OP ＝ λ，由题意知 Q （－ λx 0，－ λy 0），因为 4 ＋ y 0 ＝ 1，又16＝1，所以 λ＝2，即O O Q P ＝2.22（2）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．将 y ＝kx ＋ m 代入椭圆 E 的方程 ，可得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由 Δ>0， 可得1的面积 S ＝2|m| ·|x 1－ x2|2 16k 2＋ 4－ m 2|m| 1＋4k 2 2 （16k 2＋4－m 2） ·m 21＋4k 2m 2<4＋16k 2①28km4m － 16则有 x 1＋ x 2＝－ ， x 1x 2＝ 2 .所以1＋4k 2 1＋4k 4 16k 2＋ 4－ m 2|x 1－ x 2|＝ 1＋4k 2.因为直线 y ＝kx ＋m 与 y 轴交点的坐标为 （0，m ），所以△ 4－1＋m 4k 2 ·1＋m 4k 2.令1＋m 4k 2＝ t ，将 y ＝kx ＋m 代入椭圆 C 的方程可得 （1＋ 2. 11 ∴S △ABC ＝21AB ·2d ＝121＋k 2·1＋ 2k 2 ·22 2 2 2 24k 2）x2＋8kmx ＋ 4m 2－4＝0.由 Δ≥ 0，可得 m 2≤1＋ 4k 2.② 由①②可知 0< t ≤ 1. 因此 S ＝ 2 （ 4－ t ） t ＝2 －t 2＋2t ，故 S ≤2 3.当且仅当 t ＝1，即 m 2＝1＋4k 2时取得最大值 2 3.由①知 ，△ABQ 的面积为 3S ， 所以△ ABQ 面积的最大值为 6 3.串讲激活串讲 1 答案： 43.3解析：设S （2 2，t ），则 t ≠0，直线 SA 1：y ＝ t （x ＋ 2），直线SA 2：1S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ＝SA 1·SA 2S2＝21SM ·SN ·sin ∠S ＝SM ·SN|x |S x －－xA x1||||x x S －－x x A |2|，这样运算就简单了．|x S － x M ||x S － x N |还有，用直线 SA 1的方程求点 M 坐标时 ，要注意方程组一定有一个解 x A1，所以，也 可以用韦达定理求出 x M .串讲 2y ＝ t 2（x － 2）．2 x2＋y2＝1，2 t 2 2由 t 得 x 2＋ t 9（x ＋ 2）2＝ 2， 解得x 1＝y ＝3t 2（x ＋ 2）， 9－ 2，x 2＝－ 22t 2＋9 2，即 x M ＝－ 2t 2＋9 2x 2＝ t 2＋92 x2＋ y 2＝ 1， 同理 ， 由 2y ＝ t 2（ x － 2） ，t 2＋9 可得 x N ＝ 2t－ 2t 2＋ 1 .所以|2 2＋ 2| |·2 2－ 2|2 2＋2t t 22＋－ 99 22 2－2t 2－ 2t 2＋1t 2＋ 9）（ t 2＋1） ＝ 1 ＋t 2＋3）22t 4＋46tt 2＋9＝ 1 ＋t 2＋t 92＋6≤1＋ 4＝4， 1＋12＝3，等号当且仅当 t 2＝ 3， 即t ＝ ± 3时成立． 所以， 当 S （2 2 ， ± 3）时， S S1的最大值为 4. 3.说明： 1本题用三角形面积公式 S 1＝12SA 1· SA 2· sin ∠S ，最后得到 S1 S 2cos α ）2＝ 2，所以 sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±27.②同理 ，当 α－β＝2k π－π2（k ∈Z ）时， sin α － sin β ＝±27，所以 k PQ ＝ ±27.（以下同解法 1）新题在线答案： （0， 1）．答案：x27 7(1)x 4 ＋ y2＝ 1； (2)y ＝ 27x －2或y ＝－ 27x －2.解析： （1）设 F （c ，0），由条件知 2＝2 3，得 c ＝ 3，又c ＝ 3，所以 a ＝2， b 2＝a 2－c 2c 3 a 22（2）解法 1：依题意 ，当 l ⊥x 轴不合题意 ， 故设直线 l ：y ＝kx －2，设 P （x 1，y 1），Q （x 2， 2y 2），将 y ＝kx －2 代入x 4 ＋y 2＝1，得（1＋4k 2）x 2－16kx ＋12＝0，当 Δ＝ 16（4k 2－ 3）> 0，即k 2>3时，x 1，2＝48k ±2 4k － 3 2 4 k ＋1· 4k － 3 8k ±2 4k ，从而 PQ ＝ k 2＋1|x 1－x 2|＝4 k 2 ，又点 O 到直线 PQ 的距1＋4k 2 1＋ 4k 2 离 d ＝ k 22＋ 1，1 4 4k －32 所以△ OPQ 的面积 S △OPQ ＝21d ·PQ ＝41＋4k 4k 23，设 4k 2－3＝t ，则 t >0，S4t△OPQ ＝t 2＋444≤ 1，当且仅当 t ＝2，k ＝±27时等号成立 ，且满足 t＋4t2Δ>0， 所以当△ OPQ的面积最大时 ，l 的方程为 y ＝ 27x －2 或 y ＝－ 27x － 2.解法 2 由题意知直线 l 的斜率必存在．则 S △ OPQ ＝12 OP2· OQ 2－（ O →P ·O →Q ）2，设 P （2 cos α ， sin α ），Q （2cos β ，sin β )．所以 S △OPQ ＝1 2·2·|sin （ α－β≤）| 1，当 sin （ α－ β＝）±1 时，等号成立． 此时 α＋π2或 α－β＝2k π－π2 (k∈ Z) ．又 P(2cos α ，Q(2cos β，sin β)与 A(0， － 2)共线 ，则s 2in c βos ＋β2＝s 2in c αos＋α2sin(α－β)＝2(cos α－cos2cos β 2cos αβ)＝±11 sin α－ sin βcos α－cos β＝±2.又 k PQ ＝2(cos α－cos β)±(sin α－sin β)．①若 α－β＝ 2kππ＋ 2 (k ∈Z)， 则 sin α ＝ sin 2k π ＋ ＋cos β， 同理 cos α ＝－ sin β .所以 sin α － sinβ＝ sin α＋ cos α .因为 cos α －cos β＝21得到 cos α － sin α ＝2.且(sin α＋ cos α 2) ＋ (sin α － ＝1，故 E 的方程为 x ＋ y 2＝ 1.4解析： 由题意 ， 直线 l 的斜率存在且不为 0，故设 l ： y ＝kx ＋ m （m ≠ 0）． 设 P （x 1， y 1）， Q （x 2， y 2），则 x 1≠x 2，且 x 1· x 2≠0. y ＝kx ＋ m ，2 2 2联立 2 2 消去 y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0.x ＋ 4y ＝ 4.4（m2－1）1＋4k 2因为直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率成等比数列所以y x 11·y x 22＝ （kx1＋m ）x （x kx2＋m ）＝k 2，得－18＋k24m k 22＋m 2＝0. x 1x 2 1＋4k 2因为 m ≠0，所以 k 2＝ 1，所以 k ＝±1.42 因为 Δ>0，且 x 1·x 2≠0，所以 0<m 2<2 且 m 2≠ 1. 设点O 到直线l 的距离为 d ，则d ＝ |m|2，1＋k 2所以 S △OPQ＝ 12·d ·PQ ＝21d · 1＋k 2|x 1－x 2|＝ m 2（2－m 2）＝ －（ m 2－ 1） 2＋ 1.所以△ OPQ 面积的取值范围是 （0，1）．说明：命题人用直线 OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列 ，是为了告知直线 PQ 斜率为±12.2变式 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E ：x 2＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端 点的任一点 ，F 为椭圆的右焦点 ，直线 AF 与椭圆交于 B 点，直线 AO 与椭圆交于 C 点，求 △ABC 面积的最大值．Δ＝64k 2m 2－16（1＋4k 2）（m 2－1）＝16（4k 2－ m 2＋1）>0，且 x 1＋x 2＝ － 8km 2， 1＋4k 2x 1x 2＝。