椭圆中与面积有关的取值范围问题专题

22

例题：如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1（a>b>0）的左焦点为F（－1，0），左准线方程为

x ab

＝－ 2.

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）若A，B两点满足OA⊥OB（O为坐标原点），求△ AOB 面积的取值范围．

2 2 2

变式2设椭圆E：x＋y＝1，P为椭圆C：x＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝16 4

4

kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

(1)求O O Q P的值；(2)求△ ABQ 面积的最大值．

椭圆中与面积有关的取值范围问

题

范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值

范围.

2

串讲1如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x ＝2 2上一动点（不在x轴上），直线 A 1S交椭圆C于点M，直线 A 2S交椭圆于点N，设△

MSN 的面积，求S1的最大值．

S2

x 2

y

2

3

串讲2已知点A（0 ，－2），椭圆E：2＋2＝1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆 E 的右

a b 2

焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．

（1）求 E 的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△ OPQ的面积最大时，求l的方程．

S1，S2 分别为△ A 1SA2，

2

（2018·广西初赛改编 ）已知椭圆 C ：x

＋ y 2

＝1，设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交

于 4

两点 P ，Q ，且直线 OP ，PQ ， OQ 的斜率成等比数列 ，求△ OPQ 面积的取值范围．

22 （2018

·南通泰州

一模 ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0） ab 的离心率为 22， 两条准线之间的距离为 4 2.

（1）求椭圆的标准方程；

2 2 8

（2）已知椭圆的左顶点为 A ， 点 M 在圆 x 2＋y 2

＝9上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B ，

且△ AOB 的面积是△ AOM 的面积的 2 倍， 求直线 AB 的方程．

22

答案： （1）x 4 ＋ y 2＝ 1；（2）y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.

解析： （1）设椭圆的焦距为 2c ，由题意得 ，c ＝ 2，2a ＝4 2，2分 a 2 c 22

解得 a ＝2， c ＝ 2，所以 b ＝ 2，所以椭圆的标准方程为 x

4＋y 2＝1.4 分

（2）解法 1：因为 S △AOB ＝ 2S △AOM ，所以 AB ＝2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分 22

因为椭圆的方程为 x 4 ＋ y

2 ＝ 1，所以 A （ －2，0）．设 M （x 0，y 0），则 B （2x 0＋2，2y 0），

22

所以 x 0

2＋y 02＝89，①（2x04＋2） ＋（2y 20）

＝1，②10 分

2 2 8 由①② ，得 9x 02

－18x 0－16＝0，解得 x 0＝－ 3或 x 0＝3

（舍去 ）．

33

22

把 x 0＝－ 23代入① ，得 y 0＝±32，12 分

所以 k AB ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝±21（x ＋2）

，

即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分

解法 2：因为 S △AOB ＝2S △AOM ，所以 AB ＝ 2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分

22

x 4

2＋y 22＝1，

设直线 AB 的方程为 y ＝k （x ＋ 2），由 4 2

y ＝k （x ＋2），

得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，

即 （7k 2＋2）（4k 2－1）＝0，解得 k ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝ ±21（x ＋ 2）， 即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分

例题

2

答案： （1）x 2＋ y 2＝ 1；

所以 （x ＋2）［（1＋2k 2）x ＋4k 2－2］＝0， 解得 x B ＝12＋－24k k

2，8分

B

1＋ 2k 2 所以 x M ＝

x B ＋（－ 2） －4k 2

2

，

1＋2k 2

10 分 2k y M ＝k （x

M ＋2）＝

1＋2k

2，

化简得 28k 4＋ k 2

－2＝0，

2 2 8 代入 x ＋y ＝ 9

， －4k 2 2

1＋ 2k 2 ＋

2k 2 8

1＋ 2k

2 ＝9

，

12 分

（2）S ∈ 32

， 22

.

解析： （1）由题设知 e ＝ 22， a 2＝2c 2＝b 2＋c 2， 即 a 2＝2b 2，将 1，－ 22 代入椭圆 C 的 2

方程得到 12＋ 12＝1，则 b 2＝ 1，a 2＝ 2，所以椭圆 C ：x ＋y 2＝1. 2b 2b 2

（2）当直线 OA ，OB 分别与坐标轴重合时 ，易知△ AOB 的面积 S ＝ 22

.当直线 OA ，OB 1

的斜率均存在且不为零时 ，设 OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－ k x.设 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2），将 y ＝

22

kx 代入椭圆 C 得到 x 2＋2k 2x 2＝2， 所以 x 12＝ 2k 22＋ 1， y 12＝ 2k 22k ＋ 1，同理 x 22＝22＋k k 2，y 22

2＋2k 2

，△ AOB 的面积 S ＝OA ·2

OB

2＋ k

2

k 2

＋1）2

（ 2k 2＋ 1）（ k 2＋2）. 令 t ＝k 2

＋1∈ [1， ＋∞），

变式联想

变式 1

答

案： 2.

解

析：

①当直线 AB 的斜率不存在时 ，不妨取 A 1， 22

， B 1， 2

，

－

2 ，

－1，－22. 则C

此时 S △ABC ＝21×2× 2＝ 2；

②当直线 AB 的斜率存在时 ，设直线 AB 方程为 y ＝ k （x －1）， 联立

y x ＝2＋k 2（y 2x ＝－21.

），

化简得 （2k 2＋1）x 2－4k 2x ＋ 2k 2－2＝0，

设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 Δ＝ 16k 4－4（2k 2＋ 1）（2k 2－2）＝8（1＋ k 2），x 1，2＝2（4k 1＋±2k Δ

2） ，

∈

2

3， 22 .