必修四向量复习题附答案
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
第二章 向量单元测试卷及答案解析(必修4)人教A版(原始打印版)
∵i与j是两不共线向量,由基本定理得:
故当A、B、D三点共线时,λ=3.
必修4第二章向量(一)
必修4第三章向量(一)参考答案
一、选择题
1．D2．A3．C4．C5．B6.A7.D8．C9．B10．A11．D12．C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解析: ∵ - + = +( - )= + =
又| |=2∴| - + |=| |=2
18．证明: ∵P点在AB上,∴ 与 共线.
必修4第二章向量(一)
一、选择题:
1.下列各量中不是向量的是()
A．浮力B．风速C．位移D．密度
2．下列命题正确的是()
A．向量 与 是两平行向量
B．若a、b都是单位向量,则a=b
C．若 = ,则A、B、C、D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则
C．( ) = D． 与 共线 =
10．下列命题正确的个数是( )
① ②
③ ④( ) = ( )
A．1B．2C．3D．4
11．已知P1(2，3)，P2( 1，4)，且 ，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为( )
A．( ， )B．( ， )C．(4， 5)D．( 4，5)
12．已知 ， ，且( +k )⊥( k )，则k等于( )
.
三、解答题
17．已知菱形ABCD的边长为2,求向量 － + 的模的长.
》《高一数学必修4平面向量练习题及答案
b = (1, - 1),c =( — 1,2),则 c 等于( 1 3 u 1 3 u3 1A 、 a + bB 、bC 、b2 2 2 2 2 2 2、已知，A (2, 3) , B (— 4, 5),则与AB 共线的单位向量是 ( )-/ 3胡0 v'10x - / 3、丽 后、"3斯0 VTO.A 、e =( , )B 、e =( , )或( ， )10 10 10 10 10 10 C 、e=(-6,2) D 、e=(-6,2)或(6,2)3、已知 a =(1,2),b =(-3,2),ka - b 与a -3b 垂直时 k 值为 ( ) A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、204、已知向量 OP ： =(2 , 1), OA =(1, 7), OB =(5, 1),设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XA XB 的最小值是 ( )A 、-16B 、 -8C 、 0D 、45、若向量 m =(1, 2), n= (-2,1)分别是直线 ax+(b — a)y — a=0和ax+4by+b=0的方向向量，贝U a, b 的值分别可以是( )A 、 — 1 , 2B 、一 2 , 1C 、 1 , 2D 、 2, 1 6、若向量 a =(cos 、； ,sin : ), b =(cos ：•再ill -丿，贝U a 与 b 一定满足A 、a 与b 的夹角等于:'—B 、(a + b )丄(a — b )C 、a // bD 、a 丄 b* " " n h ■k 7、设i , j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量， OP =3cosm 3sin^j ，二(0,—),OQ 二-i 。
若用 来表示OP2与OQ 的夹角，则 等于 ( )JTA 、二B 、一 二C 、 - vD 、恵「r2 2 8设0兰日c2兀，已知两个向量 OR = (co 曲,sinT ), OP2 = (2+s in 日,2 —cosO )，则向量 丽长度的最大值是( )A 、，2B 、，3C 、3 - 2D 、二、填空题9、 已知点 A(2 , 0) , B(4 , 0)，动点 P 在抛物线 y 2 = — 4x 运动，则使 AP BP 取得最小值的点 P 的坐标是 ____________________________________ 、 、选择题平面向量练习题 1、若向量 a =(1,1),10、把函数y = -‘3cosx-sinx的图象，按向量a - -m,n (m>0)平移后所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为____________________、11、已知向量OA = (—1,2),0B =(3,m),若0A _ AB,则m 二______三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、n Ji13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q = (cosx,1), x •[,].4 4(1)求向量OP和0Q的夹角二的余弦用x表示的函数f(x)；(2)求r的最值、14、设OA=(2sinx,cos2x), OB = (-cosx, 1),其中x € [0, (1)求f(x)= OAOB的最大值和最小值;I ■I⑵当OA丄OB，求| AB |、215、已知定点A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0)，动点P 满足：APBP 二k|PC|、(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k = 2时，求| AP： BP |的最大值和最小值、参考答案、选择题1、B;2、B;3、C;4、B;5、D;6、B;7、D;8、C耳 乞 f(x)乞 1,即口 Ecos E1 ^max n arccos 2^3 3 3OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 一 2 cos(2x —)、 4" *" TE J[ J[⑵ OA _ OB 即 f(x)=0 , 2x+ — = — , • x=—、 4 2 8此时 | AB | = (2sin x cosx)2 (cos2x T)22 2x cos x 4sinxcosx (cos2x-1) 7 7 2一 一cos2x 2sin2x cos 2x .2 27 7 二 二 2 ■:=——cos — ■ 2sin — cos 一 2 2 4 4 4=1 16-3.2、2 15、解：(1 )设动点P 的坐标为(x, y), 二、 填空题9、 (0, 0)5兀10、 m =——6 11、 4三、 解答题12、解：设A x,y),则有 -3 x2 5 y -，解得-1=2 y、所以 A / (1,— 1)。
必修4平面向量 附详细答案
附详细答案15 向量的概念及表示1． 下列量中是向量的有 ．（填写序号） （1）速度； （2）体重； （3）力； （4）位移； （5）距离； （6）高度．2． 下列说法正确的有 ．（填写序号）（1）零向量是长度为0的向量； （2）向量可以用有向线段来表示； （3）所有单位向量都相等； （4）所有单位向量的模都相等．3． 把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形为 ．4． 在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC = ，则这个四边形是 ．5． 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与BC相等的向量有 ． 6． 下列命题中正确的是 ．①a b = ，则a ∥b ；②a b = ，则a =b ； ③||||a b = ，则a b = ； ④a b = ，则||||a b = ．7． 在ABCD 中，以A 、B 、C 、D 为端点的向量中，与AB 平行的向量（AB除外）共有 个．8． 有下列四个命题：①两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；②两个有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同；④若AB 与CD是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数为 ．9． 如图1，在5×4方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量（AB除外）共有 个．10．如图2，以边长为1的正方形所组成4×2的方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，模等于5的向量有 个不同的方向． 11．已知飞机从甲地按北偏东300的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东300的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？12．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的．．．．．向量中： （１）分别写出与AO ，BO相等的向量； （２）写出与AO共线的向量；图2图1（３）写出与AO的模相等的向量； （４）向量AO 与CO是否相等？16 向量的加法1． 向量的加法满足 法则或 法则．2． 已知C 是线段AB 的中点，则AC BC + ＝ ． 3． ()()AB MB BO BC OM ++++化简后的向量为 ．4． 在ABCD 中，,AB AD ==a b ，则CA - ＝ ．5． 在矩形ABCD 中，若3,4AB BC == ，则AB AD +＝ ．6． 在正方形ABCD 边长为1，,,AB AD AC ===a b c ，则++a b c 的模等于 ．7． 设()()a AB CD BC DA =+++，而0b ≠ ，则下列各结论中：①a ∥b ；②a b a += ；③a b b += ；④||||||a b a b +<+，正确的是 ．8． 设⊿ABC 三边上的中线分别为AD 、BE 、CF 且它们相交于点G ，则下列三个向量AB BC CA ++ 、GA GB GC ++ 、BF DC AE ++ 中等于0的个数是 ．9． 在⊿ABC 中，,AB AC ==a b ，若点M 为边BC 的中点，则AM ＝ ．10．已知3,4==a b ，则+a b 的取值范围是 ．11．如图，P 、Q 是⊿ABC 的边BC 上的两点，且BP =QC ，求证：AB AC AP AQ +=+．12．如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点．QPCA17 向量的减法1． 向量的减法满足 法则． 2． 在∆ABC 中，||||||1AB BC CA === ，则||AB AC -的值为 ．3． 在ABCD 中，若AB = a ，AD = b ，则BD =．4． 下列四式不能化简为的是 ．①（+CD ）+BC ； ②（+MB ）+（BC +CM ）； ③MB +-AD BM ； ④OC OA -+CD ．5． 已知四边形ABCD 的对角线的交点为O ，若,OA CO DO BO -=+=00，则四边形ABCD 的形状是 ．6．有一边长为1的正方形ABCD ，设,,,AB BC AC ===a b c 则--=a b c ．7． 已知||||||a b a b ==-，作OA a = ，OB a b =+ ，则∠AOB = ．8． 已知3,4==a b ，则-a b 的取值范围是 ．9． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A ，B ，C 是不共线的三个定点，动点P 满足OP OA - 与OB OC -共线，则点P 的轨迹为 ．10．已知1,1,==+=a b a b -a b ＝ ．11．如图，四边形ABCD 是一个梯形，AB ∥CD 且AB =2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB a = ，AD b =，14MC a = ，试用a ，b 表示BC 和MN ．12．在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么 船行进方向应指向何处，实际船速为多少？18 向量的数乘（1）1． λa 与a 是共线向量，当0λ>时，λa 与a 方向 ；当0λ<时，λa 与a 方向 ；当0λ=时，λa ＝ ．且总有λa ＝ ．2． 设a ≠0，则与a 方向相同的单位向量可表示为 ．3． 已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题：其中正确命题为_____________________．①()m m m -=-a b a b ；②()m n m n -=-a a a ；③若m m =a b ，则a b =；④若m n =a a ，则m n =． 4． 计算4(32)(368)-+---+a b c a b c =__________．5． 已知向量a ，b ，且2()3()+--=b x a x 0，则x ＝__________．6． 已知点P 是线段AB 的三等分点，则AP ＝ PB．7． 已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD = a ，BA = b ，则EF= ．8． 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不含端点A 、C ），若()AP AB AD λ=+，则实数λ∈ ．9． 点C 在线段AB 上，且35AC AB = ，若AC BC λ=，则λ= ．10．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =． 11．如图，在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()13AG AB AC =+12．已知OA 和OB 是不共线向量，且()AP t AB t =∈R，试用OA 和OB 表示OP ．19 向量的数乘（2）1． 如果()λ=≠b a a 0，则称向量b 可以用非零向量a ． 2． 点P 在线段AB 上，且47AP AB =，则AP ＝ BP ． 3． 设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若,,OA OB ==a b 则OP OQ +＝ ．4． 设a ，b 不共线，已知32,(2)AB BC k k =+=+-a b a b，若Ａ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为 ．5． 设两个非零向量a ，b 不共线，且k +a b 与k +a b 共线，则k 的值为 ．6． 已知Ａ，B ，C 三点共线，O 为平面内任意一点，若OC OA OB λμ=+，则 λμ+＝ ．7．已知⊿ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则关于点P 的位置的正确说法是 ．①P 在⊿ABC 的内部 ；②P 在⊿ABC 的外部；③P 在直线AB 上；④P 在AC 线段上．8．已知,λμ∈R ，a 与b 不共线，非零向量=c λμ+a b ，若c ∥a ，则,λμ满足的条件为 ．9． 已知平面内有一定角BAC ∠和一动点P 满足()AB ACAP AB ACλ=+，则点P 的轨迹为 ．10．若平面向量a ，b 共线，则下列说法正确的是 ．①a ，b 方向必相同；②a ，b两向量中至少有一个为零向量；③存在λ∈R ，使λ=b a ；④存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=a b 0．11．已知2AB =+a b，3AC =-a b ，AD = 5λ+a b ，其中a 与b 不共线，且B 、C 、D 三点共线，求λ的值．12．设O 是正△ABC 的中心，P 为平面上任意一点，证明：3PA PB PC PO ++=．20 平面向量基本定理1． 下列说法正确的有 ．①平面内有且只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； ②平面内有无数对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底； ③基向量不可能是零向量；④基向量可以是单位向量． 2．如果e 1和e 2是平面向量的一组基底，则下列说法错误的是 ．①若实数1λ，2λ使1122λλ+=e e 0，则120λλ==；②平面内任何一个向量都可以用一对有序实数1λ，2λ表示为1122λλ+e e ； ③平面内存在一个向量a ，使1122λλ=+a e e 成立的实数1λ，2λ有无数对；④若存在实数1212λλμμ,,,使1122λλ=+a e e 和1122μμ=+a e e 都成立，则1122λμλμ==,．3． 在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，若基底为,BC AD ，则EF =．4． 已知e 1和e 2是平面向量的一组基底，若k e 1＋e 2与9e 1＋k e 2不能作为平面内所有向量的一组基底，则实数k 的值为 ．5． 已知向量e 1，e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1+(2x －3y )e 2=6e 1+3e 2，则x －y ＝ ． 6． 若向量a 的一个正交分解是12,=+a e e 且1222,==e e 则=a ．7． 在ABCD 中，,,3AB AD AN NC ===a b，M 为BC 的中点，则MN = ．（用,a b 作基底表示）8． 已知1,,OA OB OA OB ==⊥ 点C 在直线AB 上且AOC ∠30o=．设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则mn＝ ．9． 如图，平面内有三个向量、OB 、OC ,其中与与OB 的夹角为120°， 与OC 的夹角为30°，且||＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λ+μOB （λ，μ∈R ），则λ+μ的值为 ．10．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = ．11．已知e 1和e 2是两个不共线的向量，若12121228,3,2,AB CB CD =-=+=-e e e e e e求证：A 、B 、D 三点共线．12．如图，在ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且2,AB BM = 点N 在BC 上，且3,BC BN =证明M ，N ，D 三点共线．21平面向量的坐标运算（1）1． 以原点为起点，点M (x ，y )为终点的向量OM的坐标可以用 来表示．2． 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，若向量a ＝x i ＋y j ，则a 的坐标为 ．3． 已知点A （1，3），则与向量OA 方向相同的单位向量的坐标为 ．4． 与向量a ＝（12，5）平行的单位向量为 ．5． 已知点A （2，4），B （3，6），则向量AB ＝ ，BA ＝ ．6． 已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，则3a －2b ＝ ．7． 已知O为坐标原点，(1OA = ，现将A 点绕着O 点逆时针旋转π2到达点B ，则向量OB 的坐标为 ． 8． 已知向量(3,1),AB =-将表示向量的有向线段沿x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，得到有向线段''A B ，那么向量''A B的坐标是 ．9． 若向量a ＝(1,1)，＝(1,－1)，c ＝(－1,2)，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝ ．10．已知O 为坐标原点，A （2，－1），B （－4，8），且3AB BC += 0，则OC的坐标是 ． 11．已知点(1,2),(2,8),A B -且向量11,,33AC AB DA BA ==-求点,C D 及向量CD 的坐标．12．在直角坐标平面内，已知=（6,22---x x x x ），且的坐标所表示的点在第四象限，求x 的取值范围．A BM22 平面向量的坐标运算（2）1． 下列说法正确的有 ． （1）存在向量a 与任何向量都是平行向量；（2）如果向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；（3）如果向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且a ∥b ，则x 1 y 2－x 2 y 1＝0； （4）如果向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b ．2． 已知向量a =(2,3)，b =(x ,-6)，当a //b 时，x 的值为 ．3． 设梯形ABCD 的顶点坐标为A （－1，2），B （3，4），D （2，1），且AB //DC ，AB =2CD ，则点C 的坐标 ． 4． 已知平行四边形的三个顶点是（3，－2），（5,2），(－1,4)，则第四个顶点的坐标为 ． 5． 已知a =(3,4)，b =(sin α，cos α)，a //b ，则tan α= ．6． 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝ ． 7． 设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 8． 将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则=a ．9． 已知向量a ＝(－1,2)，点A (－2,1)，若AB∥a ，且AB = 则OB 的坐标为 ． 10．已知向量(31)(13),(,7)k ===a b c ，,，，若()-a c ∥b ，则k = ． 11．设向量a =(2,1)，b =(x ，－1)，当a ＋2b 与2a －b 平行时，求实数x 的值．12．已知点(0,0),(1,2),(4,5),O A B 且.OP OA t AB =+（1）若点P 在x 轴上，求实数t 的值．（2）若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．（3）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的实数t ；若不能，说明理由．23 向量的数量积（1）1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o，2,==a b a 和向量b 的数量积∙a b ＝ ．2． 已知正△ABC 的边长为1，则AB BC＝ ．3．下列等式中，恒成立的是 ．①222()=a b a b ；②2()()()-=-a b b a a b a b ；③3322()()+-+=+a b a a b b a b； ④2222()-+=-a a b b a b． 4． 设a ，b ，c 是三个非零向量，下列结论正确的是 ．①若∙=a b a b ，则a b ； ②若∙=∙a c b c ，则=a b ； ③若+=-a b a b ，则⊥a b ；④∙a b a b ≤．5． 已知a ，b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |＝ ． 6． 若||1,||2,===+a b c a b ，且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为 ．7． 已知平面上三点A ,B ,C 满足3,4,5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ∙+∙+∙ 的值等于 ．8． 已知⊥a b ，2,3,==a b 且32+a b 与λ-a b 垂直，则实数λ＝ ．9． 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM ＝2，则)(OC OB OA +∙的最小值是_____．10．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,OA OB OC NA NB NC ==++=0， PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ．①重心 外心 垂心 ②重心 外心 内心 ③外心 重心 垂心 ④外心 重心 内心 11．已知5,==a b 向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |和|a －b |的值．12．已知向量a 与b 的夹角为120，且4,2,==a b 求： （1）(32)(4);-+b a a b （2）34.-a b24 向量的数量积（2）1． 已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =-b ，且⊥a b ，则 x ＝ ．2． 已知向量(2,1)=-a ，(3,2)=-b ，则(3)(2)--a b a b＝ ．3． 已知向量a = (2,1)，a·b =10，︱a +b ︱=b ︱= ．4． 已知向量(1,2),(2,4),||==--a b c 若5(),2+=a b c 则向量a 与c 夹角为 ． 5． 已知向量(1,1)=a ，(2,3)=-b ，若2k -a b 与a 垂直，则实数k 等于 ．6． 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = ．7． 若向量(4,3),1=-=a b ，且5∙=a b ，则向量=b ．8． 与(3,2)=a 垂直的单位向量为 ．9．已知(2,2),(5,).k =-=a b 若+a b 不超过5，则k 取值范围为 ．10．若(,1),(2,3)x x ==a b ，那么22||||∙+a ba b 的取值范围是 ．11．设(,2),(3,5),x ==-a b 若a 与b 的夹角为钝角，求实数x 的取值范围．12．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．若a ⊥b ，求θ．25 向量的应用1． 夹角为120°的两个力f 1，f 2作用于同一点，且|f 1|＝|f 2|＝m （m ＞0），则f 1，f 2的合力f 的大小及f 与f 1的夹角分别为 ．2． 某人以 a km/h 的速度向东行走，此时正刮着时速为a km/h 的北风，此人感到的风向和风速分别为 ．3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -∙+-=，则△ABC 的形状是 ．4． 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则△ABC 的形状是 ．5． 直线 l 垂直于向量a ＝（1，4），则 l 的斜率为 ．6． 若直线 l 经过点（1，1），且平行于向量a ＝（2，3），则直线 l 的方程为 ． 7． 已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈，则tan θ＝ ．8． 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a = ．9． ABCD 中，,AB AD ==a b，则ABCD 的面积为 ．10．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12||+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = 秒．11．某人在静水中游泳的速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度。
必修四向量复习题附答案
向量复习题一．选择题（共30小题）1．已知平面向量，，则向量的模是（）A．B．C． D．52．已知正方形的边长为1，，则等于（）A．0 B．3 C．D．3．已知向量=（2，m），=（m，2），若，则实数m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．04．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量不一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等5．已知=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）6．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则++=（）A．B．C．D．7．已知向量，则=（）A．（﹣4，﹣9）B．（﹣8，﹣9）C．（8，11） D．（﹣5，﹣6）8．给出下面四个命题：①+=；②+=；③﹣=；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．0个9．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（）A．2 B．1 C．D．﹣110．已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且=，=，=，用，，表示，则等于（）A．B．） C．D．11．已知单位向量满足，则与的夹角是（）A．B．C．D．12．如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4C．4D．413．已知不共线的两个非零向量，满足，则（）A．B．C．D．14．在△ABC中，，点G是△ABC的重心，则的最小值是（）A．B．C．D．15．在△ABC中，若点D满足，则=（）A．B．C．D．16．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（）A．+B．﹣﹣C．﹣+D．﹣17．平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（）A．B．2 C．D．18．如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（）A．B．2C．3D．420．设向量和满足：，，则=（）A．B．C．2 D．321．已知向量=（4，2），=（x，3）向量，且，则x=（）A．1 B．5 C．6 D．922．向量=（2，x），=（6，8），若∥，则x的值为（）A．B．2 C．D．﹣23．已知点A（﹣1，2），B（1，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且=3，则点P 的坐标为（）A．（3，﹣）B．（，﹣）C．（2，﹣）D．（，﹣）24．已知点P1（3，﹣5），P2（﹣1，﹣2），在直线P1P2上有一点P，且|P1P|=15，则P点坐标为（）A．（﹣9，﹣4）B．（﹣14，15）C．（﹣9，4）或（15，﹣14）D．（﹣9，4）或（﹣14，15）25．已知||=3，||=4，与的夹角为120°，则在方向上的投影为（）A．﹣ B．﹣C．﹣2 D．﹣226．△ABC外接圆圆心O，半径为1，2=且||=||，则向量在向量方向的投影为（）A．B．C．D．27．已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．028．如图，在圆C中，弦AB的长为4，则=（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣429．若向量，的夹角为，且||=4，||=1，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．530．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）31．在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．32．已知向量，，若，则x=．33．已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则|+|=．34．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，=，则，则=．35．化简=．36．已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是．37．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．38．已知，为平面内两个不共线向量，则，若M，N、P三点共线，则λ=．39．已知向量=（1，），=（﹣2，4），=（），若=（λ∈R），若，则实数λ的值为．40．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=．三．解答题（共10小题）41．求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．42．已知，是同一平面内两个不共线的向量，（1）如果=+，=2﹣，=4+，求证A、B、D三点共线；（2）试确定实数k的值，使和共线．43．如图，已知△OAB中，点C是点B关于A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B 的三等分点，DC和OA交于E，设=a，=b（1）用向量与表示向量；（2）若=，求实数λ的值．44．如图．已知向量、，求作向量．45．设A、B、C、D、E、F是正六边形的顶点，，试用表示．46．化简下列各式（1）5（2﹣2）+4（2﹣3）；（2）（x+y）﹣（x﹣y）．47．如图在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，，，，表示和．48．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，，表示出来．49．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？50．已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．向量复习题参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【解答】解：向量，，∴向量=﹣=（﹣2，﹣2），∴||==2．故选：C．2．【解答】解：∵+=，||==．∴=|2|=2．故选：D．3．【解答】解：向量，，若，可得m2=4，解得m=±2．故选：C．4．【解答】解：在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；在C中，平行向量一定是共线向量，故C错误；在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．故选：B．5．【解答】解：=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量=﹣=（﹣4，﹣3）﹣（3，1）=（﹣7，﹣4），故选：A．6．【解答】解：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，所以++=（+）+（+）+（+）=（+）+（+）+（+）=，故选：D．7．【解答】解：∵，∴=（﹣2，1）﹣（6，10）=（﹣8，﹣9），故选：B．8．【解答】解：：①+=正确，②+=；正确，③﹣=，故③不正确；故选：B．9．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴+==2，∴λ=2．故选：A．10．【解答】解：由题意知=﹣=﹣（+）∵=，=，=，∴=（﹣﹣）故选：D．11．【解答】解：∵，∴=，∴•=0，⊥，如图所示：，则与的夹角是，故选：D．12．【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故选：C．13．【解答】解：由，∴+2•+=4﹣4•+，∴6•=3，∴=2•，=2||×||cosθ，其中θ为、的夹角；∴||=2||cosθ，又、是不共线的两个非零向量，∴||＜|2|．故选：A．14．【解答】解：根据题意，△ABC中，，则有•=||||cos120°=﹣3，变形可得||||=6，点G是△ABC的重心，则=（+），则||2=（+）2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣6）≥（2||||﹣6）=，则≥的最小值是；故选：B．15．【解答】解：如图所示，△ABC中，，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：D．16．【解答】解：如图所示，∵点E为CD的中点，CD∥AB，∴==2，∴=，==﹣，∴==﹣+，故选：C．17．【解答】解：∵，．∴=，∴⇒则λ+μ=．故选：D．18．【解答】解：△ABC中，=，=，∴=+=+=+（﹣）=+•=+（﹣）=﹣+；又=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=﹣+=﹣．故选：D．19．【解答】解：平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，可得m=﹣4，|+|=|（﹣1，﹣2）|=．故选：A．20．【解答】解：∵，；∴，，两式相减得：；∴．故选：C．21．【解答】解：∵向量=（4，2），=（x，3）向量，且，∴4×3﹣2x=0，∴x=6，故选：C．22．【解答】解：∵=（2，x），=（6，8），且∥，∴2×8﹣6x=0，即x=．故选：A．23．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且=3，如图所示；设点P的坐标为（x，y），则=（x+1，y﹣2），=（1﹣x，﹣3﹣y）；且=﹣3，即，解得x=2，y=﹣，所以点P为（2，﹣）．故选：C．24．【解答】解：由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点（﹣9，4），只需验证另外一点P是否适合|P1P|=15．若P的坐标为（15，﹣14），则求得|P1P|=15，故选：C．25．【解答】解：∵||=3，||=4，与的夹角为120°，∴=﹣6=，∴，即为在方向上的投影．故选：A．26．【解答】解：由2=知，O为BC的中点，如图所示；又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；∴向量在向量方向的投影||cos=．故选：C．27．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．28．【解答】解：如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；在Rt△ACD中，AD=AB=2，可得cosA==，∴•=||×||×cosA=4×||×=8．故选：A．29．【解答】解：向量，的夹角为，且||=4，||=1，可得•=4×1×cos=4×=2，则||====4，故选：C．30．【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=，且||=||，可得O为斜边BC的中点，∠BAC=90°，∠ABC=60°，||=||=1，则向量在方向上的投影为||cos120°=﹣1×=﹣，故选：D．二．填空题（共10小题）31．【解答】解：△ABC中，AB=，即AC=1；则=；∴由得：；∴；整理得：2t2﹣3t≤0；解得；∴实数t的取值范围是．故答案为：．32．【解答】解：∵=（2，1），=（x，﹣2），由‖，得2×（﹣2）﹣x=0，解得x=﹣4．故答案为﹣4．33．【解答】解：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2∵|+|2=||2+||2+2||•||cos∠DAB=4+4+2×2×2×=12，∴|+|=|+|=2，故答案为：2．34．【解答】解：由向量的三角形法则可得：==，∴=．故答案为．35．【解答】解：原式==．故答案为．36．【解答】解：∵，，=（0，a），当a=0时，M≥当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M 当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值∵Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上若PA2≥PB2，则y≥x；当y≥x时M2=max{PA2，PC2}∵到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x﹣3）2=8（y﹣2），交直线y=x于P（7﹣2，7﹣2），∴M min=7﹣2，∴当a=2时，M取最小值7﹣2，故M的取值范围是故答案为：37．【解答】解：如图所示，点P在线段AB上，且，∴==；又，∴λ=．故答案为：．38．【解答】解：∵，，且M，N、P三点共线，∴，即，则，解得．故答案为：﹣4．39．【解答】解：向量=（1，），=（﹣2，4），=（），∴==（1﹣2λ，+4λ），若，则•=0，∴（1﹣2λ）+2（+4λ）=0，化简得1﹣2λ+2+8λ=0，解得λ=﹣．∴实数λ的值为﹣．故答案为：﹣．40．【解答】解：由=（1，2），=（x，﹣2），且∥，得1×（﹣2）﹣2x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共10小题）41．【解答】证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．42．【解答】（1）证明：∵=，∴与共线，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线；（2）解：∵若使和共线．∴存在实数λ，使得=λ（）成立，∴．∵，是同一平面内两个不共线的向量，∴，解得．∴实数k的值是±2．43．【解答】解：（1）△OAB中，∵点C是点B关于A的对称点，∴==，∴=﹣，∴=+=﹣+（﹣）=﹣﹣；又∵=2=2，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，∴=；又∵=+=﹣+，∴=+=2+（﹣+）=+；（2）∵=+，设=+=+x，=y，x、y∈R；∴+=y+xy，即，解得y=，x=；∴=，=；∴当=时，λ=．44．【解答】解：如图所示，作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，连接BC，则==．45．【解答】解：如图：==﹣=﹣，=﹣=2﹣=2（﹣）﹣=2﹣346．【解答】解：（1）5（2﹣2）+4（2﹣3）=10﹣10+8﹣12=﹣2﹣2．（2）（x+y）﹣（x﹣y）=x﹣=2y．47．【解答】解：==﹣=，===．48．【解答】解：依题意得，所以=+，…（2分）所以==+；…（3分）由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=++=2+；…（6分）同样在平行四边形BCDO中，===+（+）=+2；…（9分）===﹣．…（12分）49．【解答】解：设=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）∵∴（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）∴∴∵P在第三象限内∴∴∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．50．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．∴=（1+λ，λ），∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，解得λ=﹣1，∴λ=1时，+λ与垂直．（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），又（m+n）∥，∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．∴若（m+n）∥，则=﹣2．。
高一必修四数学向量试卷
必修四高一数学向量试卷一．选择题（共12小题）1．在△ABC中，点D在线段BC延长线上，且，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若的取值范围是（）A． B． C．D．2．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ=2 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=13．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）A．﹣B．﹣+C．2﹣ D．﹣﹣25．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A．1 B．2 C．0.5 D．0.256．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A．B．C．1 D．27．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上8．正三角形ABC内一点M满足=m+n，∠MCA=45°，则的值为（）A．﹣1 B．+1 C．D．9．ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=，=，则=（）A．+B．+C．+D．+10．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）11．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（）A．⊥B．∥C．⊥（+）D．⊥（﹣）12．在△ABC中，∠C=90°，=（k，1），=（2，3），则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣二．填空题（共4小题）13．设点P是△ABC所在平面内一点，且，则=．14．在△ABC中，，点E是线段AD上一动点,(不含端点),若=，则=_____ 15．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，=0.5，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．16．已知向量=（6，2），向量=（y，3），且∥，则y等于．三．解答题（共8小题）17．在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,点(a,b)在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上.（1）求cosB的值；（2）若a=，b=2，求角A的大小及向量在方向上的投影．18．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．20．设函数f(x)=•，其中向量=(m，cos2x），=(1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f(x)图象经过点（Ⅰ）求实数m值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x取值集合．21．平面直角坐标系xOy中，向量，且．（1）求x与y之间的关系式；（2）若，求四边形ABCD的面积．22．已知向量，，函数f（x）=，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若，且f（x）=1，求的值．23．已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=，=﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．24．已知非零向量，满足||=1，且（﹣）•（+）=．（1）求||；（2）当•=时，求向量与+2的夹角θ的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：∵===﹣y，∵，点O在线段CD上（与点C、D不重合），∴y，∵，∴故选D．2．【解答】解：若A、B、C三点共线，则向量∥,即存在实数k，使得=k，∵=λ+，=+μ, ∴λ+=k（+μ），可得，消去k得λμ=1即A、B、C三点共线的充要条件为λμ=1故选：D3．【解答】解：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得=μ，即化简得=，∵=﹣2+λ,∴结合平面向量基本定理，得,解之得λ=3，μ=﹣故选C,4．【解答】解：∵2+=，∴点A、B、C共线，且A为BC中点，则点O的位置有5种情况，如图：（1）∵，∴；（2）=+2（）=；（3）=+2（）=；（4）=+2（）=；（5）=+2（）=；故选：C．5．【解答】解：由题意，如图，因为AD=AB，BE=BC，∴，又（λ1，λ2为实数），∴，∴λ1+λ2=．故选C．6．【解答】解：如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．∴=1．故选：C．∵，||==1 7．【解答】解：易知||=,∴||=,∴OP==1,又圆的半为1,∴点P一定在单位圆上,故选：B8．【解答】解：如图，设正三角形的边长为a，由得：；=；∴；∴得，；∴；∴．故选：D．9．【解答】解：如图所示，▱ABCD中，△DEF∽△BEA，∴==，再由AB=CD可得=，∴=；又=，=，∴=﹣=﹣=﹣，∴=﹣；又=﹣=﹣=+，∴=+=（+）+（﹣）=+．故选：C．10．【解答】解：平面向量=(1,1），=(1,-1），则向量﹣=(1，1)- =(-1,2)．故选D 11．【解答】解：向量=(2,-1），=(1,7），+=(3,6）．•（+）=6﹣6=0．⊥(+)=0．故选C．12．【解答】解：∵=（k，1），=（2，3），∴=﹣=（k﹣2，﹣2），∵∠C=90°，∴•=0，∴2（k﹣2）+3×（﹣2）=0，解得k=5，故选：A．二．13．【解答】解：因为+=2，所以点P为线段AC的中点，如图：即+=．答案14．【解答】解∵，∴=，∴==+，∴==（λ+μ）+=(-λ-μ)+．∵A，D，E三点共线，∴﹣λ﹣μ+=1，∴λ+1=．∴=．答案．15．【解答】解∵△FED∽△CEB，DF：CD=DE：EA=1：3，过点F作FG∥BD交AC于G，FG:DO=2:3，AG：AO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+，=，λ+μ=﹣．故答案为：﹣．16．【解答】解：∵向量=（6，2），向量=（y，3），且∥，∴2y﹣6×3=0，解得y=9．故答案为：9．三．解答题（共8小题）17．【解答】解：（1）因为点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．所以2acosB﹣bcosC=ccosB，由正弦定理变形得2sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，所以cosB=；（2）由（1）得B=60°，因为a=，b=2，所以cosA=，所以A=arccos；因为∠B=60°，所以向量在方向上的投影为acos60°=．18．【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，；∵a+b≥2c；∴；∴；∴；∵，当且仅当a=b时取“=”；∴；即；∴；∴角C的最大值为；（2）当角C取最大值时，∵；∴△ABC为等边三角形；∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：OD⊥AB，且；∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°；∴；∴对两边平方得，；∴1=x2+y2﹣xy；∴x2+y2=xy+1≥2xy，当且仅当x=y时取“=”；∴xy≤1；∴x•y的最大值为1．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理cosB==19．20．=．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．20．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x由已知，∴2m=2即m=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当=﹣1时，f（x）的最小值为此时2x+=即{x|，k∈Z}21．【解答】解（1）由题意得，，因为，所以（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，即x+2y=0，①（2）由题意得，，因为，所以（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，②由①②得或当时，，，,当时，，，则,所以，四边形ABCD的面积为16则,22．【解答】解：（1）因为=∴f（x）的最大值是4．（2）∵f（x）=1，∴，又，即，所以，=．23．【解答】解：（1）∵=（3，6），∴==（1，2），=﹣=（﹣2，﹣4），∴==(2，4)﹣(1，2)=(1，2）．(2)设E（x，y），则=（x+1，y﹣2），=(x-2，y-8），∵=（-2，-3），⊥，∥，∴，解得．∴E点坐标（﹣，）．24．【解答】解：（1）因为（﹣）•（+）=，即﹣=，即||2﹣||2=，所以，||2=||2﹣=1﹣=，故||=．（2）因为||2 =||2+4+|2|2=1﹣1+1=1，故||=1．又因为•（）=||2+2=1﹣=，∴cos θ=═，又0°≤θ≤180°，故θ=60°．。
(完整word版)高中数学必修四向量练习题(附解析)
向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] 设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2不等价． 2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(2014·山东青岛期中)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b[答案] A[解析] 由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b|b |表示与b 反向的单位向量，则a 与b 反向．而当a ＝－13b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D 都不正确，故选A.[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[答案] B[解析] 由条件知，PC →＝2PQ →－P A →＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →＝(－4,14)， ∴BC →＝BP →＋PC →＝(－6,21)．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(文)(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2[答案] B[解析] 如图，设AB →＝λAC →，则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．(理)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG → C.EO → D ．FO →[答案] D[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.二、填空题7．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[分析] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________.[答案]1049[解析] 由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，②由①②联立解得⎩⎨⎧λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝______.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.。
高一数学必修4平面向量练习题及答案
b = (1, — 1),c =( — 1,2),则 c 等于(A 、a 与b 的夹角等于B 、(a + b)丄(a — b)C 、a // b、选择题平面向量练习题3b 2C 、3a 1b2 22、 已知,A (2, 3)，B (-4, 5),则与AB 共线的单位向量是3 .10 1010、冇) e (空,卫)或(』10 10 10 10、7T )C 、 6,2) (6,2)或(6,2) 3、 已知 (1,2),b (3,2), ka b 与a 3b 垂直时k 值为 17 18 C 、 19D 、 20 4、 已知向量 OP =(2 , 1), OA =(1, 7), OB =(5 , 1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XA XB 的最小值是 A 、-16 B 、-85、若向量m (1, 2),n (2, 1)分别是直线 ax+(b — a)y - a=0 禾口 ax+4by+b=O 的方向向量，则 a, b 的值分别可以是2,6、若向量 a=(cos,sin ),b=(cos ,sin)，则a 与b 一定满足A 、B、 c 、一2 2D 、&设02 ，已知两个向量 ORcos , sin,OF 2 2 sin ,2cos ，则向量PP ,长度的最大值是( )A 、 2B 、-3C、32 D 、二、填空题9、已知点 A(2 , 0) , B(4 , 0), 动点 P 在抛物线y 2 = — 4x 运动，则使AP BP 取得最小值的点P 的坐标与0Q 的夹角，则 等于( ) 1、若向量 a =(1,1), 7、设i , j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量, OP 3cos i 3sin j ,(°,严i 。
若用来表示OP是____________________________________ 、10、把函数y ,3cosx sinx的图象，按向量a m, n (m>0)平移后所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为___________________ 、11、已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A/、13、平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q (cos x,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x)；(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx,1),其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;uur uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k | PC |、(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、、选择题1、B ;2、B ;3、C ;4、B ;5、 二、填空题11、4 三、解答题5•• 一 W2+ 一 <—44 43 —n 时，f(x) min =8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、4 28此时 |AB |(2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=4sin 2x cos x 4sinxcosx (cos2x 1)27 7 2 =一 一cos2x 2sin 2x cos 2x .2 2参考答案9、(0, 0) 510、 m 12、解:x,y ），则有3 x2 5 y 213 、OP cosf(x)2cosx cosxmin14、解：⑴ f(x)= 2cos x3.2cosx1，解得OQ 2cosx,|OP||OQ|cosxcosx1 、所以A / 12cos x, cos(1，― 1) °OP OQ |OP||OQ|2cosx 21 cos xf(x) ( 2 )f (x) 1,即◎3coscosx [2^21 max呐匚OA OB = -2sinxcosx+cos2x= 2 cos(2x2、•••当 2x+—= 4即 x=0 时，f(x) max =1 ；D ; 6、B ; 7、 D ; 8、 •/ 0$<—2 当2x+= n, 4即x=7 7 2=.一一cos —2 sin—cos2 2 4 4 4=116 3.2、215、解：(1 )设动点P的坐标为(x,y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1), PC(1x, y)、.x2 y2k (x1)22y ,T AP BP k | PC |2,•1即(1k)x2(1 k)y22kx k 10。
高中数学必修四向量练习题(附解析)
向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] 设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2不等价．2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(2014·山东青岛期中)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b[答案] A[解析] 由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b|b |表示与b 反向的单位向量，则a 与b 反向．而当a ＝－13b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D都不正确，故选A.[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[答案] B[解析] 由条件知，PC →＝2PQ →－PA →＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →＝(－4,14)， ∴BC →＝BP →＋PC →＝(－6,21)．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(文)(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2[答案] B[解析] 如图，设AB →＝λAC →，则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．(理)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎨⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG → C.EO → D ．FO →[答案] D[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.二、填空题7．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________.[答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33.8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案]12[分析] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. [点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________.[答案] 1049[解析] 由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝______.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎨⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎨⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝a ＋t b2＝5＋t 2＋2t a ·b＝t 2＋32t ＋5＝t ＋3222＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.。
高中数学必修4平面向量解答题专项练习附答案 教师版
2﹣ t 2﹣
• t =﹣ ×3﹣ ×1﹣ ×1
=﹣ ．
【解析】【分析】1、由向量的线性运算即得。 2、由平面向量数量积的运算即得。
5.已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角的对边，向量→=（2cosB，1），→=（1﹣sinB，sin2B﹣1），→⊥→ ．
（1）求∠B 的大小； （2）若 a=1，c=2，求 b 的值． 【答案】 解：（1）∵→⊥→；
（1）试用向量 ， t 表示向量 ， ； （2）若 • t =1，AD=1，AB= ，求 • ．
【答案】 （1）解： = + = t ﹣ = （
﹣ t ）﹣
=﹣
﹣ t；
= + = （ ﹣ t ）+ t =
+ t；
（2）解：若 • t =1，AD=1，AB=
则 • =（﹣
﹣ t ）•（
， + t）
=﹣
求出答案。
2.已知平面向量
,
（I）若
,求 ；
（Ⅱ）若
,求 ∴
即：
可得
．
（Ⅱ）依题意
䁪
∵
∴
即䁪 䁪 ͺ ,
解得
,∴
．
设向量 与 的夹角为 ,∴ cos
【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示求出 x 的值。
（2）利用两向量垂直数量积为 0 的等价关系结合数量积的坐标表示求出 x 的值，再利用 x 的值结合数量
9.已知向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中
， ，且
．
（1）求 cos2α的值；
（2）若 sin（α﹣β）= ，且
， ，求角β．
【答案】 （1）解：∵向量
∴
=2cosα﹣sinα=0，
(完整版)高一数学必修4平面向量测试题(含答案)
一 .选择题1．以下说法错误的选项是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向同样D.平行向量必定是共线向量2．以下四式不可以化简为AD的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A．7B．10C．13D．45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则以下关系式中正确的选项是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）随意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）1 2 （B） 2 1（C） 2 3（D）3211、若平面向量r r(2 x3, x) 相互平行，此中r r）a (1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C. 2或2 5；D. 2或10.12、下边给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 :13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3,4), b(2,3)，则 2 | a | 3a b．15、已知向量a3, b(1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。
最新新人教A版高中数学必修四 第二章 向量单元测试题(含答案解析)
第二章 向量单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1．已知△ABC 地三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与△ABC 地关系为是 （ ）A ．P 在△ABC 内部B ． P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ． P 在△ABC 地AC 边地一个三等分点上2．在矩形ABCD 中，O 是对角线地交点，若e e 则213,5=== （ ） A ．)35(2121e e+ B ．)35(2121e e-C ．)53(2112e e-D ．)35(2112e e-3．设平面上有四个互异地点ABCD ，已知（则,0)()2=-⋅-+△ABC 地形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．化简)]24()82(21[31--+地结果是 （ ） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．-5．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①= ②||||=③||||+=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确地个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知|p |=22，|q |=3，p 、q 地夹角为45°，则以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边地平行四边形过a 、b 起点地对角线长为（ ） A ．14 B ．15C ．15D ．167．已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线地单位向量是（ ）A ．)1010,10103(-= B ．)1010,10103()1010,10103(--=或 C ．)2,6(-=e D ．)2,6()2,6(或-=e8．已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ）A ．17B ．18C ．19D ．209．下列各组向量中：①)2,1(1-=e)7,5(2=e②)5,3(1=e)10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e其中能作为表示它们所在平面内所有向量地基底地是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 10．若32041||-=-b a ，5||,4||==，则与地数量积为（ ） A ．103 B ．－103 C ．102D ．1011．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行地向量是 （ ） A ．),(k k = B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=，则地夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，） 13．已知向量ba ,地夹角为3π，=-⋅+==||||,1||,2||则 ．14、已知向量和夹角是ο60，则=+ ；15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||a =4，与地夹角为π32，则在方向上地投影为 .三、解答题（本大题共3小题，共36分．） 17、（12分）已知(0,0),(5,4),(7,10)O A B ，若(),OP OA OB R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r当λ为何值时; （1） P 在第一、三象限角平分线上？（2）P 在第四象限内？18、（ 12分）设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量，向量平行于，试求ODOC OA OD ,时=+地坐标．．19、（12分）设a ，b 是不共线地两个向量，已知,2,,2b a b a b k a ρρρρρρ-=+=+=若A 、B 、D 三点共线，求k 地值. 20、（12分）已知向量(1,2),(3,2)a b ==-r r.（1）若2ka b+r r与24a b-r r 平行，求实数k 地值；（2）若2ka b+r r 与24a b-r r 垂直，求实数k 地值.（12分）21、（ 12分）已知： 、、是同一平面内地三个向量，其中＝（1，2） ⑴若||52=，且//，求地坐标；⑵若||=,5且2+与2-垂直，求与地夹角2θ.22、（14分）已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)地对应关系用)(u fv=表示（1）证明：对于任意向量a，b及常数m，n恒有)(manb=+成立f+mf()a)(bnf（2）设a=(1，1)，b=(1，0)求向量)(a f及)(b f地坐标（30求使),()(q pcf=(p，q为常数）地向量c地坐标第二章向量单元测试题参考答案答案：选择题：DABBCCBCAACB填空题：13、21 14、3 15、1± 16、-217、解析：令(,)(57,410)OP x y OA OB λλλ==+=++u u u r u u u r u u u rQＰ点在第一、三象限角平分线上.∴41057λλ+=+13λ⇒=（２）本使Ｐ点在第四象限内，必须5704100λλ+>⎧⎨+<⎩5275λ⇒-<<-18、解析：设(,),OC x y OC OB=⊥u u u r u u u r u u u r Q ，∴OC OB ⋅=u u u r u u u r，∴20y x -=①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x Θ即：73=-x y ② 联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ∴(14,7),(11,6)OC OD OC OA ==-=u u u r u u u r u u u r u u u r于是19、【解】由A 、B 、C 三点共线，存在实数λ，使得λ= ∵ b a CD b a BC 2,-=+= ∴ b a CD BC BD -=+=2故2a+kb=)2(b a -λ 又a ，b 不共线 ∴ λ=1，k=－1 20、解：∵(1,2),(3,2)a b ==-r r，∴2ka b +r r)42,6()4,6()2,()2,3(2)2,1(+-=-+=-+=k k k k k ，24a b -r r)4,14()8,12()4,2()2,3(4)2,1(2-=--=--=.（1）∵2ka b+r r与24a b-r r 平行，∴442146-+=-k k ，则1-=k ； （2）∵2ka b+r r 与24a b-r r 垂直，∴0)42)(2(=-+k ，21、解析：⑴设20,52,52|),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x Θx y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴=Θ 由⎩⎨⎧=+=02222y x xy ∴⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧-=-=42y x∴)4,2(),4,2(--==或⑵0)2()2(),2()2(=-⋅+∴-⊥+Θ||23||2,02322222=-⋅+∴=-⋅+ ……（※）,45)25(||,5||222===b a Θ代入（※）中，250452352-=⋅∴=⨯-⋅+⨯∴b a b a ,125525cos ,25||,5||-=⋅-==∴==θΘπθπθ=∴∈],0[Θ22．【解】（1）设向量a=),(11y x ，b=),(22y x ，则ma+nb=),(2121ny my nx mx++由)(u f v =，得)22,()(212121nx mx ny my ny my nb ma f --++=+而)22,()2,()2,()()(212121222111nx mx ny my ny my x y y n x y y m b nf a mf --++=-+-=+∴对于任意向量a ，b 及常数m ，n 恒有)()()(b nf a mf nb ma f +=+成立（2）∵ a=(1，1)，b=(1，0)，)(u f v =∴)1,0()(),1,1()(-==b f a f（3）设c=(x ，y)，由),()(q p c f =得 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=p y q p x q x y p y 22 ∴ c=),2(p q p -。
高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(K12教育文档)
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一。
选择题1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行B 。
零向量与单位向量的模不相等C 。
平行向量方向相同D 。
平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是( )A ．；）＋（B ．＋（MC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知a =(3，4），b =(5，12)，a 与b 则夹角的余弦为（ )A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°,那么｜a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ,−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ） (A) )(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ，则下列关系式中正确的是 （ )(A)−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C)−→−AD ＝－−→−BC (D ）−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是( ）（A ） 1 （B) －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ )(A ） 矩形 （B ） 菱形 （C) 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7)、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ )（A ） (－14，16）（B) (22，－11）（C) （6，1) （D) （2，4）10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ )（A) 21±-（B) 12±（C) 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A 。
完整版必修四平面几何中的向量方法附答案
平面几何中的向量方法[ 学习目标 ] 1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其余一些实诘责题的过程.2.领悟向量是一种办理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实诘责题的能力．知识点一向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相像问题，常用向量平行 (共线 )的等价条件： a∥b(b≠ 0)? a＝λb ? x1y2－ x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a，b，a⊥ b? a·b＝0? x1x2＋y1y2＝ 0.a·b (3)求夹角问题，经常利用向量的夹角公式cos θ＝＝|a||b|x1x2＋ y1y2 2222. x1＋y1x2＋ y2(4)求线段的长度或证明线段相等，能够利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋ y2.思虑△ ABC 中， M、 N 分别为 AB、 AC 的中点．求证： MN ∥ BC.证明→→→→→设 AB＝ a， AC＝ b，则 BC＝ AC－ AB＝ b－ a，又 M、 N 分别为 AB、 AC 的中点．→1→1∴ AM＝2a， AN＝2b.→→→ 111(b－ a)，△ AMN 中， MN ＝ AN－ AM＝b－ a＝222→ 1 →→→∴ MN＝2BC，即 MN与 BC共线，∴MN∥BC .知识点二直线的方向向量(1)直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的方向向量为 (B，－ A)；直线 y＝ kx＋b 的方向向量为 (1， k)．(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线 l1：y＝ k1x＋ b1与直线 l2：y＝ k2x＋ b2，它们的方向向量依次为v 1＝ (1，k1)，v2＝(1 ，k2)．当 v1⊥ v ，即 v ·v ＝ 1＋ k k ＝ 0 时， l ⊥ l，夹角为直角；当 k k ≠－ 1时， v ·v ≠ 0，直线 l12 1 2 1 21212 1 2与 l 2的夹角为θ(0 °<θ<90 °)．不难推导利用k1、 k2表示 cos θ的夹角公式：|v1·v2||1＋ k k |12cos θ＝＝2 2 .|v1 ||v2|1＋ k1·1＋k2思虑 1已知直线 l ： 2x－ y＋ 1＝0，在以下向量：① v1＝ (1,2)；② v2＝ (2,1)；③ v3＝－1，－ 1 ；④ v4＝ (－ 2，－ 4)．其中能作为直线 l方向向2量的有：________.答案①③④思虑2直线x－ 2y＋ 1＝ 0 与直线2x＋ y－ 3＝ 0 的夹角为________；直线2x－ y－1＝ 0 与直线3x＋ y＋1＝ 0 的夹角为________．答案90°45°知识点三直线的法向量(1)直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的法向量为 (A， B)；直线 y＝ kx＋ b 的法向量为 (k，－ 1)．(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的地址关系：关于直线l 1：A1x＋B1y＋ C1＝ 0， l2： A2x＋ B2y＋C2＝ 0，它们的法向量分别为n1＝ (A1， B1)， n 2＝ (A2，B2)．当 n 1∥n时， l∥ l或 l与 l重合．即 A B－A B ＝0?l ∥ l或 l与 l重合；21212 1 2 2 11212当 n 1⊥n2时， l1⊥ l2 .即 A1A2＋ B1 B2＝ 0? l1⊥ l 2.思虑直线 l1：(a＋ 2)x＋ (1－ a)y－ 3＝02垂直，则 a 的值与直线 l ：(a－ 1)x＋ (2a＋3)y＋ 2＝ 0为 ________．答案±1分析n 1＝ (a＋ 2,1－a)，n 2＝ (a－ 1,2a＋ 3)，∵l1⊥ l2，∴n 1·n2＝ (a＋ 2)(a－ 1)＋ (1－a)(2a＋3)＝(a－ 1)( － a－1)＝ 0，∴ a＝±1.题型一向量在平面几何中的应用例 1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴成立直角坐标系．设 A(2a,0)， B(0,2a)，则 D(a,0)， C(0，a) ，→→进而可求： AC＝ (－ 2a， a)， BD ＝ (a，－ 2a) ，→→→ →AC·BD没关系设AC、 BD 的夹角为θ，则 cos θ＝→ →|AC||BD |＝－ 2a，a ·a，－ 2a ＝－ 4a24.2 ＝－5a· 5a5a54故所求钝角的余弦值为－5.追踪训练1已知正方形ABCD 中， E、 F 分别是 CD、 AD 的中点， BE、 CF 交于点 P.求证：(1)BE ⊥CF ； (2)AP＝ AB.证明成立以以以下列图的平面直角坐标系，设 AB＝ 2，则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)， F(0,1)．→→(1)BE ＝(－1,2)， CF ＝ (－ 2，－ 1)．→→∴ BE·CF＝ (－ 1)× (－ 2)＋ 2× (－1)＝0，→→∴ BE⊥ CF，即 BE⊥CF .→(2)设点 P 坐标为 (x， y)，则 FP ＝ (x，y－ 1)，→→ →FC＝ (2,1)，∵FP ∥ FC，∴x＝ 2(y－1)，即 x＝ 2y－2，同理，由→ →，得 y＝－ 2x＋ 4，BP∥ BEx＝ 2y－ 2，6，由得x＝5y＝－ 2x＋ 48y＝，5∴点 P 的坐标为 (6， 855)．∴→628 2→|AP|＝＋＝ 2＝ |AB55|，即 AP＝ AB.题型二向量在分析几何中的应用例 2 已知△ ABC 的三个极点 A(0，－ 4)，B(4,0)，C(－ 6,2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA 、AB 的中点．(1)求直线 DE 、EF 、FD 的方程；(2)求 AB 边上的高线CH 所在直线方程．解 (1) 由已知得点 D (－ 1,1)， E(－ 3，－ 1)， F(2，－ 2) ，设 M(x， y)是直线 DE 上随意一点，→→则DM∥DE.→→DM ＝ (x＋ 1， y－ 1)，DE ＝ ( －2，－ 2)．∴(－ 2)× (x＋ 1)－ (－ 2)(y－ 1)＝ 0，即 x－ y＋ 2＝ 0 为直线 DE 的方程．同理可求，直线 EF ， FD 的方程分别为x＋ 5y＋8＝ 0， x＋y＝ 0.(2)设点 N(x，y) 是 CH 所在直线上随意一点，→→则 CN⊥AB.→ →∴ CN·AB＝ 0.→→．又 CN＝ (x＋ 6， y－ 2)， AB＝ (4,4)∴4(x＋ 6)＋ 4(y－2) ＝0，即 x＋ y＋ 4＝ 0 为所求直线CH 的方程．追踪训练2已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6) ，试用向量方法求直线AC 和 OB(O 为坐标原点 )的交点 P 的坐标．→→解设 P(x， y)，则 OP＝( x，y)， AP ＝(x－4， y)，因为 P是AC与OB的交点，因此 P 在直线 AC 上，也在直线OB 上，→→→ →即得 OP∥ OB， AP∥ AC，由点 A(4,0)， B(4,4) ， C(2,6) 得，→→AC＝ (－2,6)，OB ＝(4,4) ，得方程组6 x－ 4 ＋2y＝ 0，4x－4y＝ 0x＝ 3，故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3)．解得y＝ 3题型三平面向量的综合应用例 3 以以以下列图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ ABC＝ 60°，作 AE⊥BD 交 BC 于 E，求BEEC的值．解方法一(基向量法 )→→设 BA＝ a，BC＝ b， |a|＝ 1， |b|＝ 2.→a·b＝|a||b|cos 60 ＝°1， BD ＝ a＋ b.→→→→→设 BE＝λBC＝λb，则 AE＝ BE－ BA＝λb－a.→→由 AE⊥ BD ，得 AE·BD＝ 0.即 (λb－ a) ·(a＋ b)＝ 0.22BE52解得λ＝5，∴EC＝3＝3.5方法二以 B 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴成立平面直角坐标系， 依照条件，设 B(0,0)，C(2,0)，13 5 3A 2， 2 ，D 2， 2 .又设 E(m,0)，→ 5 3则BD ＝ 2，2 ， → 13 AE ＝ m －2，－ 2 .→ → ＝ 0. 由 AE ⊥ BD ，得 AE·BD51 3 3即 2 m － 2 － 2 × 2 ＝0， 44 BE52得 m ＝ 5，因此 EC ＝ 6＝ 3.5追踪训练3已知P 是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA ＝ EF 且PA ⊥EF .证明以 D 为坐标原点，DC所在直线为x 轴， DA所在直线为y 轴，成立平面直角坐标系Oxy(以以以下列图 ) ，设正方形边长为 1，→|OP|＝ λ，则 A(0,1)，P 2λ 2λ ， E 1， 22 ，2 2λ，2→ ＝22F 2 λ， 0 ，于是 PA － 2 λ， 1－2 λ，→ ＝ 2 2EF2 λ－ 1，－ 2 λ.→2 222 ∵ |PA|＝1－ 2 λ ＋ － 2λ＝22λ＋ 1，λ－ → 2－ 2λ＋ 1，同理 |EF |＝λ ∴ → → |PA|＝ |EF |， ∴ PA ＝ EF.→ →2 2λ2 2PA ·EF ＝ － 2 λ 2 － 1＋1－ 2 λ － 2 λ＝0，→ → ∴ PA ⊥ EF.∴ PA ⊥ EF.转变条件证“三心”例 4 (1) 已知 O 是平面上的一个定点， A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，→动点 P 知足 OP ＝→ → →AB AC )OA ＋ λ( → ＋ →)，其中 λ∈ (0，＋∞ )，则动点 P 的轨迹必然经过△ ABC 的( |AB|cos B |AC|cos C A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心(2)已知 O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点→ →P 知足 OP ＝ OA ＋→ →ABACλ( →＋ →)，其中 λ∈ (0，＋∞ )，则动点 P 的轨迹必然经过△ ABC 的()|AB|sin B |AC|sin CA ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心→ →→OB ＋ OC(3)已知 O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 知足 OP ＝2→→＋ λ( A B＋ → AC)，其中 λ∈ (0，＋∞ )，则动点 P 的轨迹必然经过△ ABC 的 () →|AB|cos B |AC|cos C A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心→→→→→ →ABAC分析(1) 由已知得AP ＝ λ( →＋ →) ，两边同向量 BC 取数量积，得 AP ·BC ＝|AB|cos B |AC|cos C→ →→ →→ →AB ·BC AC ·BCλ( → ＋ → )＝ λ(－ |BC|＋ |BC|)＝ 0，故动点 P 的轨迹必然经过 △ ABC 的垂心，应选 |AB|cos B |AC|cos CB.→ →→→＋ λ( AB ＋ AC )，其中 λ∈ (0，＋ ∞ )进行移项转变， 设 △ ABC 的 BC 边 (2)对 OP ＝ OA → →|AB|sin B |A C |sin C→ λ→ → → 2λ→ → 上的高为 h ，BC 边上的中点为 D ，则由已知得 AP ＝ h (AB ＋ AC)，即 AP ＝ h AD ， ∴ 向量 AP 与→ 的轨迹必然经过 △ABC 的重心，应选 A.向量 AD 共线，故动点 P→ → → →AB AC(3)设 BC 的中点为 D ，则由已知得 DP ＝ λ( → ＋ → )，两边同时与向量 BC 取数量积，|AB|cos B |AC|cos C→ → → → → → → →AB ·BC AC ·BC得 DP ·BC ＝ λ( → ＋ → )＝ λ(－ |BC|＋ |B C |) ＝ 0，故动点 P 的轨迹必然经过 △ ABC 的|AB|cos B |AC|cos C外心，应选 C.答案(1)B(2)A(3)C→→1．已知△ ABC，AB ＝a， AC＝ b，且 a·b<0，则△ ABC 的形状为 ()A ．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能够确定2．已知 A(1,2)， B( －2,1)，以 AB 为直径的圆的方程是________．→3．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点 B(－ 3,4)，若点 C 在∠ AOB 的均分线上且 |OC|→＝ 2，则 OC＝ ________.4．正方形 OABC 的边长为1，点 D ，E 分别为 AB， BC 的中点，试求cos∠DOE 的值．5．已知直线l1： 3x＋ y－2＝ 0 与直线 l2：mx－ y＋ 1＝ 0 的夹角为45°，求实数 m 的值．一、选择题1．在△ ABC 中，已知 A(4,1)、B(7,5)、 C(－ 4,7)，则 BC 边的中线AD 的长是 ( )57A ．2 5B.2 5C ．3 5D.2 52．点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，知足 →→ →→ →→OA ·OB ＝ OB ·OC ＝ OC ·OA ，则点 O 是△ ABC的 ()A ．三个内角的角均分线的交点B ．三条边的垂直均分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点→ →)3．在四边形 ABCD 中， AC ＝ (1,2) ， BD ＝ (－ 4,2)，则该四边形的面积为 ( A. 5B ．2 5C ． 5D ．104．若 O 是△ ABC 所在平面内一点，且知足 → → → → →|OB － OC|＝ |OB ＋ OC － 2OA|，则△ ABC 的形状是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点 A( 3，1)， B(0,0)，C(→3， 0)，设∠ BAC 的均分线 AE 与 BC 订交于 E ，那么有 BC→＝ λCE ，其中 λ等于 ()11A ． 2B. 2C ．－ 3D ．－ 3→ → → → →()6．若四边形 ABCD 知足 AB ＋ CD ＝ 0， (AB － AD ) ·AC ＝0，则该四边形必然是 A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形7．已知直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 订交于→ →A ，B 两点，则 |AB|＝ 3，则OA ·OB ＝________.8．已知平面上三点→ → → → → → → → → A 、B 、 C 知足 |AB|＝ 3， |BC|＝ 4， |CA|＝ 5.则 AB ·BC ＋ BC ·CA ＋CA ·AB ＝________. 9.以以以下列图，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同样样的两点→ → → →M 、N ，若 AB ＝ mAM ，AC ＝ nAN ，则 m ＋ n 的值为 ________．→1→1→→1→1→10．已知 P、Q 为△ ABC 内的两点，且AQ＝4AC＋2AB ，AP＝2AC＋4AB，则△ APQ 的面积与△ ABC 的面积之比为________．三、解答题11．过点 A(－ 2,1)，求：(1)与向量 a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量 b＝(－ 1,2)垂直的直线方程．12．三角形 ABC 是等腰直角三角形，∠ B＝ 90°， D 是 BC 边的中点， BE ⊥AD，延伸 BE 交 AC 于 F，连结 DF .求证：∠ ADB＝∠ FDC .13.以以以下列图，正三角形 ABC 中，D 、E 分别是 AB、BC 上的一个三均分点，且分别凑近点 A、点 B，且 AE、 CD 交于点 P.求证： BP ⊥DC.当堂检测答案1．答案A2．答案x2＋ y2＋ x－ 3y＝ 0分析设 P(x， y)为圆上任一点，则→→AP＝ (x－ 1， y－2) ，BP＝ (x＋2， y－ 1)，→ →由 AP·BP＝( x－ 1)(x＋ 2)＋ (y－2)(y－1) ＝0，化简得 x2＋ y2＋ x－ 3y＝ 0.10 3 103．答案－5，5分析已知 A(0,1) ，B(－ 3,4)，设 E(0,5) ，D (－ 3,9)，∴四边形 OBDE 为菱形．∴∠ AOB 的角均分线是菱形 OBDE 的对角线 OD.设 C( x11→10，，y )， |OD |＝ 3→2→∴OC＝OD .310∴ (x1， y1) ＝2(－ 3,9)310＝－ 10，3 10 ，55→10，3 10.即OC＝－554．解以OA，OC所在直线为坐标轴成立直角坐标系，以以以下列图，由题意知：→1→1， 1，OD＝ 1，2，OE ＝2故 cos∠DOE ＝→→OD ·OE→→|OD| ·|OE1×1＋1× 12 24＝＝.5×5522即 cos∠DOE 的值为4 5.5．解设直线 l ， l的法向量为n，n，1212则 n 1＝ (3,1)， n2＝ (m，－ 1)．由题意：cos 45 ＝° 12|3m － 1|＝ 2. |n ·n |＝10· 1＋ m |n | · |n2212整理得： 2m 2－ 3m －2＝ 0，1解得： m ＝2 或 m ＝－ 2.课时精练答案一、选择题1．答案B3，6→ 5，5 分析 BC 中点为 D 2，AD ＝ －，2→ 5∴ |AD |＝ 2 5. 2．答案 D→ → → →分析∵ OA ·OB ＝ OB ·OC ，→ → →∴ (OA － OC) ·OB ＝ 0.→ →∴ OB ·CA ＝ 0.∴ OB ⊥AC.同理 OA ⊥ BC ， OC ⊥AB ，∴ O 为三条高的交点．3． 答案 C分析→ →∵ AC ·BD ＝ (1,2) ·(－4,2)＝－ 4＋ 4＝0，→→1 → → 15＝5.∴ AC ⊥ BD ，∴ S四边形 ABCD＝ |AC| ·|BD ＝ × 5× 2224． 答案 B分析→ → →→ →∵ |OB － OC|＝ |CB|＝ |AB － AC|，→ → → → →|OB ＋ OC － 2OA|＝ |AB ＋ AC|，→ → → →∴ |AB － AC |＝ |AB ＋ AC |，∴ 四边形 ABDC 是矩形，且 ∠BAC ＝ 90°.∴△ ABC 是直角三角形．5．答案 C分析以以以下列图，由题知∠ ABC ＝ 30°，∠ AEC ＝ 60°， CE ＝ 3，3|BC| →→∴＝ 3， ∴BC ＝－ 3CE.|CE|6．答案 C分析→ → → → → → → → → ∵ AB ＋ CD ＝ 0，∴ AB ＝ DC ，四边形 ABCD 是平行四边形， 由 (AB － AD ) ·AC ＝ 0，得 DB ·AC→ →＝ 0，∴ DB ⊥ AC ，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．17．答案－2如图，作 OD ⊥AB 于 D ，则在 Rt △AOD 中， OA ＝ 1，AD ＝ 3分析2，所→ → → →以 ∠ AOD ＝ 60°， ∠ AOB ＝ 120°， 所 以 OA ·OB ＝ |OA | ·|OB|cos 120 °＝1 11× 1×(－ 2)＝－ 2.8．答案 －25分析 △ ABC 中， B ＝ 90°，cos A ＝ 3，cos C ＝ 4，55 → → → → 4 ＝－ 16， ∴ AB ·BC ＝ 0， BC ·CA ＝ 4× 5× － 5→ →3 ＝－ 9.CA ·AB ＝5× 3× －5→ → →→ →→ ∴ AB ·BC ＋ BC ·CA ＋CA ·AB ＝－ 25.9.答案2分析 ∵O 是 BC 的中点，→1 → →∴ AO ＝ 2( AB ＋ AC)．→ → →→又 ∵AB ＝ mAM ，AC ＝ nAN ，→m → n →∴ AO ＝ 2 AM ＋ 2AN.∵ M ， O ， N 三点共线， ∴ m 2＋ n2＝ 1.则 m ＋ n ＝ 2.10． 答案316分析 如图，依照题意，P 、 Q 为 △ABC 中位线 DE 、 DF 的中点， PQ ＝ 11BC ，而 A 到EF ＝2 4 PQ 的距离是到 BC 距离的 3，依照三角形的面积公式可知， S △ APQ ＝ 3 △4 16S ABC .三、解答题11． 解 设所求直线上随意一点P(x ， y)，→∵ A(－2,1)， ∴ AP ＝ (x ＋ 2， y － 1)．→(1)由题意知 AP ∥a ， ∴ (x ＋ 2)× 1－3(y － 1)＝ 0，即 x －3y ＋ 5＝ 0.∴ 所求直线方程为x － 3y ＋5＝ 0.→(2)由题意，知 AP ⊥ b ， ∴ (x ＋ 2) ×(－1)＋ (y － 1)× 2＝ 0，即 x －2y ＋ 4＝ 0，∴ 所求直线方程为 x － 2y ＋4＝ 0.12． 证明以以以下列图，成立直角坐标系，设 A(2,0)， C(0,2)，则 D (0,1)，→于是 AD ＝ (－ 2,1)，→AC ＝ (－ 2,2)，→ →设 F( x ，y)，由 BF ⊥ AD ，→ →得 BF ·AD ＝ 0，即 (x ， y) ·(－2,1)＝ 0，∴ － 2x ＋ y ＝ 0.①→ →又 F 点在 AC 上，则 FC ∥AC ，→而 FC ＝ (－ x,2－y)，因此 2× (－ x)－ (－ 2)× (2－ y)＝ 0，即 x ＋ y ＝ 2.②由 ① 、② 式解得 x ＝ 2， y ＝4，3 32， 4→ 2， 1→，∴F 3 3，DF ＝ 3 3 ，DC ＝ (0,1) → →1DF ·DC ＝ ，3→ → → → 5 cos θ，又 DF ·DC ＝ |DF ||DC |cos θ＝ 355 ∴ cos θ＝5 ，即 cos ∠ FDC ＝5 ，→ 又 cos ∠ADB ＝|BD|＝ 1＝ 5， → 5 5 |AD|∴ cos ∠ADB ＝ cos ∠ FDC ，故∠ADB ＝∠FDC.13.证明→→，并设 △ ABC 的边长为 a ，则有设 P D ＝ λC D → →→P A ＝ P D ＋D A→ 1 →2 →→ 1 →＝ λC D ＋B A ＝ λ( B A －BC) ＋ B A33 31 →→→→ 1 →＝(2λ＋ 1)B A－ λB C ，又 E A＝BA －B C .33→ → 1 (2λ＋ → → → 1 → ∵PA ∥EA ， ∴ 1)B A － λBC ＝ kBA － kBC .33于是有：13 2λ＋ 1 ＝ k ，1→ 1 →1解得， λ＝ .∴P D ＝ C D .7 7λ＝ 3k.→ → → → 6 →∴BP ＝BC ＋ C P ＝ BC ＋ 7CD→ 62→ →＝ BC ＋ 7(3BA － BC)1 → 4 →＝ 7BC ＋7BA.→ 2 →→C D ＝B A －BC.3进而 → →1 → 4 →2 → →B P·CD ＝( B C ＋ BA)·(BA －BC)773821 210 2→→＝ 21a － 7a － 21a cos 60 ＝°0.∴ BP ⊥ CD . ∴ BP ⊥ DC.。
高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
a an t 1平面向量练习题一、选择题1、若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于()abc cA 、+B 、C 、D 、+ 21-a 23b 21a 23-b 23a 21-b23-a 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是（ ）AB A 、B 、)1010,10103(-=e 1010,10103()1010,10103(--=或e C 、D 、)2,6(-=e )2,6()2,6(或-=e 3、已知垂直时k 值为（）b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最OP OA OB XB XA ⋅小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a,b 的值分别可以是)1,2(),2,1(-==n m （ ）A 、 －1 ，2B 、 －2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （）αβαβA 、a 与b 的夹角等于－B 、(a ＋b )⊥(a －b )αβC 、a ∥bD 、a ⊥b7、设分别是轴，轴正方向上的单位向量，，。
若用 来表示j i ,x y j i OP θθsin 3cos 3+=i OQ -=∈),2,0(πθ与的夹角，则 等于（）OP OQ A 、B 、C 、D 、θθπ+2θπ-2θπ-8、设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是πθ20<≤()θθsin ,cos 1=OP ()θθcos 2,sin 22-+=OP 21P P （）A 、B 、C 、D 、2323二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使取得最小值的点P 的坐标是BP AP ⋅i r t 2、10、把函数的图象，按向量（m>0）平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最sin y x x =-(),a m n =-y 小正值为__________________、11、已知向量 、=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点、/A 13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P （1）求向量的夹角的余弦用x 表示的函数；OQ OP 和θ)(x f （2）求的最值、θ14、设其中x ∈[0，]、，)2cos ,sin 2(x x OA =，x ，OB )1cos (-=2π(1)求f(x)=的最大值和最小值；OB OA ·(2)当 ⊥，求||、OA OB AB 15、已知定点、)1,0(-B 、，动点P 满足：、)1,0(A )0,1(C 2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP （1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；P （2）当时，求的最大值和最小值、2=k ||−→−−→−+BP APa t i me l i ng i nt e n t 3参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0)10、56m π=11、4三、解答题12、解：设（ｘ，ｙ），则有，解得、所以（1，－1）。
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向量复习题一．选择题（共30小题）1．已知平面向量，，则向量的模是（）A．B．C． D．52．已知正方形的边长为1，，则等于（）A．0 B．3 C．D．3．已知向量=（2，m），=（m，2），若，则实数m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．04．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量不一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等5．已知=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）6．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则++=（）A．B．C．D．7．已知向量，则=（）A．（﹣4，﹣9）B．（﹣8，﹣9）C．（8，11） D．（﹣5，﹣6）8．给出下面四个命题：①+=；②+=；③﹣=；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．0个9．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（）A．2 B．1 C．D．﹣110．已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且=，=，=，用，，表示，则等于（）A．B．） C．D．11．已知单位向量满足，则与的夹角是（）A．B．C．D．12．如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4C．4D．413．已知不共线的两个非零向量，满足，则（）A．B．C．D．14．在△ABC中，，点G是△ABC的重心，则的最小值是（）A．B．C．D．15．在△ABC中，若点D满足，则=（）A．B．C．D．16．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（）A．+B．﹣﹣C．﹣+D．﹣17．平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（）A．B．2 C．D．18．如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（）A．B．2C．3D．420．设向量和满足：，，则=（）A．B．C．2 D．321．已知向量=（4，2），=（x，3）向量，且，则x=（）A．1 B．5 C．6 D．922．向量=（2，x），=（6，8），若∥，则x的值为（）A．B．2 C．D．﹣23．已知点A（﹣1，2），B（1，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且=3，则点P 的坐标为（）A．（3，﹣）B．（，﹣）C．（2，﹣）D．（，﹣）24．已知点P1（3，﹣5），P2（﹣1，﹣2），在直线P1P2上有一点P，且|P1P|=15，则P点坐标为（）A．（﹣9，﹣4）B．（﹣14，15）C．（﹣9，4）或（15，﹣14）D．（﹣9，4）或（﹣14，15）25．已知||=3，||=4，与的夹角为120°，则在方向上的投影为（）A．﹣ B．﹣C．﹣2 D．﹣226．△ABC外接圆圆心O，半径为1，2=且||=||，则向量在向量方向的投影为（）A．B．C．D．27．已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．028．如图，在圆C中，弦AB的长为4，则=（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣429．若向量，的夹角为，且||=4，||=1，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．530．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）31．在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．32．已知向量，，若，则x=．33．已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则|+|=．34．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，=，则，则=．35．化简=．36．已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是．37．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．38．已知，为平面内两个不共线向量，则，若M，N、P三点共线，则λ=．39．已知向量=（1，），=（﹣2，4），=（），若=（λ∈R），若，则实数λ的值为．40．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=．三．解答题（共10小题）41．求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．42．已知，是同一平面内两个不共线的向量，（1）如果=+，=2﹣，=4+，求证A、B、D三点共线；（2）试确定实数k的值，使和共线．43．如图，已知△OAB中，点C是点B关于A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B 的三等分点，DC和OA交于E，设=a，=b（1）用向量与表示向量；（2）若=，求实数λ的值．44．如图．已知向量、，求作向量．45．设A、B、C、D、E、F是正六边形的顶点，，试用表示．46．化简下列各式（1）5（2﹣2）+4（2﹣3）；（2）（x+y）﹣（x﹣y）．47．如图在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，，，，表示和．48．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，，表示出来．49．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？50．已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．向量复习题参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【解答】解：向量，，∴向量=﹣=（﹣2，﹣2），∴||==2．故选：C．2．【解答】解：∵+=，||==．∴=|2|=2．故选：D．3．【解答】解：向量，，若，可得m2=4，解得m=±2．故选：C．4．【解答】解：在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；在C中，平行向量一定是共线向量，故C错误；在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．故选：B．5．【解答】解：=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量=﹣=（﹣4，﹣3）﹣（3，1）=（﹣7，﹣4），故选：A．6．【解答】解：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，所以++=（+）+（+）+（+）=（+）+（+）+（+）=，故选：D．7．【解答】解：∵，∴=（﹣2，1）﹣（6，10）=（﹣8，﹣9），故选：B．8．【解答】解：：①+=正确，②+=；正确，③﹣=，故③不正确；故选：B．9．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴+==2，∴λ=2．故选：A．10．【解答】解：由题意知=﹣=﹣（+）∵=，=，=，∴=（﹣﹣）故选：D．11．【解答】解：∵，∴=，∴•=0，⊥，如图所示：，则与的夹角是，故选：D．12．【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故选：C．13．【解答】解：由，∴+2•+=4﹣4•+，∴6•=3，∴=2•，=2||×||cosθ，其中θ为、的夹角；∴||=2||cosθ，又、是不共线的两个非零向量，∴||＜|2|．故选：A．14．【解答】解：根据题意，△ABC中，，则有•=||||cos120°=﹣3，变形可得||||=6，点G是△ABC的重心，则=（+），则||2=（+）2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣6）≥（2||||﹣6）=，则≥的最小值是；故选：B．15．【解答】解：如图所示，△ABC中，，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：D．16．【解答】解：如图所示，∵点E为CD的中点，CD∥AB，∴==2，∴=，==﹣，∴==﹣+，故选：C．17．【解答】解：∵，．∴=，∴⇒则λ+μ=．故选：D．18．【解答】解：△ABC中，=，=，∴=+=+=+（﹣）=+•=+（﹣）=﹣+；又=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=﹣+=﹣．故选：D．19．【解答】解：平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，可得m=﹣4，|+|=|（﹣1，﹣2）|=．故选：A．20．【解答】解：∵，；∴，，两式相减得：；∴．故选：C．21．【解答】解：∵向量=（4，2），=（x，3）向量，且，∴4×3﹣2x=0，∴x=6，故选：C．22．【解答】解：∵=（2，x），=（6，8），且∥，∴2×8﹣6x=0，即x=．故选：A．23．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且=3，如图所示；设点P的坐标为（x，y），则=（x+1，y﹣2），=（1﹣x，﹣3﹣y）；且=﹣3，即，解得x=2，y=﹣，所以点P为（2，﹣）．故选：C．24．【解答】解：由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点（﹣9，4），只需验证另外一点P是否适合|P1P|=15．若P的坐标为（15，﹣14），则求得|P1P|=15，故选：C．25．【解答】解：∵||=3，||=4，与的夹角为120°，∴=﹣6=，∴，即为在方向上的投影．故选：A．26．【解答】解：由2=知，O为BC的中点，如图所示；又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；∴向量在向量方向的投影||cos=．故选：C．27．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．28．【解答】解：如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；在Rt△ACD中，AD=AB=2，可得cosA==，∴•=||×||×cosA=4×||×=8．故选：A．29．【解答】解：向量，的夹角为，且||=4，||=1，可得•=4×1×cos=4×=2，则||====4，故选：C．30．【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=，且||=||，可得O为斜边BC的中点，∠BAC=90°，∠ABC=60°，||=||=1，则向量在方向上的投影为||cos120°=﹣1×=﹣，故选：D．二．填空题（共10小题）31．【解答】解：△ABC中，AB=，即AC=1；则=；∴由得：；∴；整理得：2t2﹣3t≤0；解得；∴实数t的取值范围是．故答案为：．32．【解答】解：∵=（2，1），=（x，﹣2），由‖，得2×（﹣2）﹣x=0，解得x=﹣4．故答案为﹣4．33．【解答】解：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2∵|+|2=||2+||2+2||•||cos∠DAB=4+4+2×2×2×=12，∴|+|=|+|=2，故答案为：2．34．【解答】解：由向量的三角形法则可得：==，∴=．故答案为．35．【解答】解：原式==．故答案为．36．【解答】解：∵，，=（0，a），当a=0时，M≥当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M 当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值∵Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上若PA2≥PB2，则y≥x；当y≥x时M2=max{PA2，PC2}∵到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x﹣3）2=8（y﹣2），交直线y=x于P（7﹣2，7﹣2），∴M min=7﹣2，∴当a=2时，M取最小值7﹣2，故M的取值范围是故答案为：37．【解答】解：如图所示，点P在线段AB上，且，∴==；又，∴λ=．故答案为：．38．【解答】解：∵，，且M，N、P三点共线，∴，即，则，解得．故答案为：﹣4．39．【解答】解：向量=（1，），=（﹣2，4），=（），∴==（1﹣2λ，+4λ），若，则•=0，∴（1﹣2λ）+2（+4λ）=0，化简得1﹣2λ+2+8λ=0，解得λ=﹣．∴实数λ的值为﹣．故答案为：﹣．40．【解答】解：由=（1，2），=（x，﹣2），且∥，得1×（﹣2）﹣2x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共10小题）41．【解答】证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．42．【解答】（1）证明：∵=，∴与共线，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线；（2）解：∵若使和共线．∴存在实数λ，使得=λ（）成立，∴．∵，是同一平面内两个不共线的向量，∴，解得．∴实数k的值是±2．43．【解答】解：（1）△OAB中，∵点C是点B关于A的对称点，∴==，∴=﹣，∴=+=﹣+（﹣）=﹣﹣；又∵=2=2，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，∴=；又∵=+=﹣+，∴=+=2+（﹣+）=+；（2）∵=+，设=+=+x，=y，x、y∈R；∴+=y+xy，即，解得y=，x=；∴=，=；∴当=时，λ=．44．【解答】解：如图所示，作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，连接BC，则==．45．【解答】解：如图：==﹣=﹣，=﹣=2﹣=2（﹣）﹣=2﹣346．【解答】解：（1）5（2﹣2）+4（2﹣3）=10﹣10+8﹣12=﹣2﹣2．（2）（x+y）﹣（x﹣y）=x﹣=2y．47．【解答】解：==﹣=，===．48．【解答】解：依题意得，所以=+，…（2分）所以==+；…（3分）由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=++=2+；…（6分）同样在平行四边形BCDO中，===+（+）=+2；…（9分）===﹣．…（12分）49．【解答】解：设=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）∵∴（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）∴∴∵P在第三象限内∴∴∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．50．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．∴=（1+λ，λ），∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，解得λ=﹣1，∴λ=1时，+λ与垂直．（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），又（m+n）∥，∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．∴若（m+n）∥，则=﹣2．。