第十章矩 阵 位 移 法

将（17—21）及（17—25） T F 式代入上式得： e
K
T
e
T e
e
F
T
K
T e
e 另 [T]T[ K ] [I]=[K]e 则 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
e Fi e F j e Kii e K ji e e Kij i e Ke jj j
•
图7-6
• 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法 • 以i为原点，从i到j的方向为 轴的正向，并以 轴的正向逆时针 x x 转900为 轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系 y 单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标 的意思。 返回 下一张上一张 小结
• 如图，结点的杆端位移列向量为：
• 例17-7：计算如图17-8所示结构的各杆的杆端力 • 解：
EA EA X ie u ie 0 0 u ej 0 0 l l 12EI e 6 EI e 12EI e 6 EI e e Yi 0 3 vi 2 i 0 3 v j 2 j l l l l 6 EI e 4 EI e 6 EI e 6 EI e e M i 0 2 vi i 0 2 v j 2 j l l l l EA e EA e e X j ui 0 0 uj00 l l 12EI e 6 EI e 12EI e 6 EI e e Y j 0 3 vi 2 i 0 3 v j 2 j l l l l 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI M ej 0 2 vie ie 0 2 v ej e j l l l l
第一节
矩阵位移法的概念
• 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 矩阵力法 ——柔度法 杆系结构的有限单元法 矩阵位移法——刚度法(直接刚度法)*
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
图17-4
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• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
•
已知上例支承条件 =0 1 ，连同已获得的[K]，以及各结点荷载 值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
i u e e i v i e i
e
e uj e e j v j e j
• 结点的杆端力列向量为：
e Xi e e F i Y ie M i
• ②求杆端弯矩；
３.绘M图。
M 2 (4i1 3i2 ) 2
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• 17.1.2 直接刚度法
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对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知
• 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。
• 17.1.3 转角位移方程
K11 1 K12 2 K13 3 M 1 K21 1 K22 2 K23 3 M 2 K31 1 K32 2 K33 3 M 3
•
杆2
M 23 4i 2 2i 2 M 32
M2 3i 2 M 2 2i 2 4i1 3i 2 4i1 3i 2 M2 4i 2 0 ( 4 i 3 i ) 2 1 2
K M
• 式中： [K]为结构总刚度矩阵 • {Q}为结点转角列阵 • {M}为结点力矩列阵
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• 17.1.4 形成单元刚度矩阵
• 例17-3：写出图示结构的杆端力矩 • 解： 据转角方程可得： • M 1 4i 1 2i 2 • M 2 2i 1 4i 2 • 式中 • EI i l • 上式写成矩阵形式为
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• 写成矩阵形式为：
EA e l xi e 0 yi e 0 M i EA xe j l e yj 0 M e j 0 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
• 式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当θ j=1 时，在结点i处并在θ i方向上所需加的结点力矩总和。
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• 写成矩阵形式为：
K11 K 21 K31
• 简式为：
K12 K22 K32
K13 1 M 1 K23 2 M 2 M K33 3 3
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• 以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 •1.单元分析 • ①确定基本未知量， 2 , • ②划分单元杆； 12杆,23杆; • ③列各杆端转角位移方程
M 12 2i 2 M 21 4i1 2 M 23 3i2 2 M 32 0
•２．整体分析 • ①建立位移法基本方程； • M 2 0 : M 21 M 23 M 2
• 简式为：
F K

e
e
e
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• 17.2.4 单元刚度矩阵的特性
• 1）[K]e是对称方阵 • 单元刚度矩阵中的行数等于单元杆端力向量的分量数，列数等 于单元杆端位移向量的分量数。因为这两个向量的分量数相等， 所以[K]e是一个方阵。又因 Kij=Kji ，故单元刚度矩阵是对称矩阵。 • 2）[K]e是奇异矩阵 • 矩阵[K]e相应行列式的值为零，故知单元刚度矩阵是奇异矩阵。 其逆矩阵不存在。
1 K11 1 K21 0
K12 K22 K32
1 K12
K13 K23 K33 0 2 K23 2 K33 0 2i2 4i2
1 2 K22 K22 2 K32
•
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2 2i2
e X j e e F j Y j e M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
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• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• • • • •
17.3.1 结构总刚度矩阵 形成总刚的步骤： 1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程 F • 方程 K 式中： • {F} — 结构的结点力列向量； • — 结构的结点位移列向量； • [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
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•
• 17.3.3 支承条件的引入
结构总刚度方程（D）又叫结构原始刚度方程。其 中[K]是奇异矩阵，不能求出确定的结点位移{ }。为此 求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界 条件（即支承条件），修改 结构总刚度矩阵。具体步 骤如下： • 1）利用已知的结点力{F1} • 2）求未知的结点位移{ } 1 • 3）划掉位移为零所对应的行和列。

• 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, • 完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成 • 是直接刚度法的核心部分。
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•
第二节 单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化 • 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。 • 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
• 17.2.5 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
•
e Kij
当j位移分量为1而其位移分量为零时，所引起的i分量值。
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•
第四节 结构刚度矩阵
F K
e
e e e
• 由（17—14）式可知： • • • • •
• 注：1） F , 为结构坐标的杆端力和杆端位移。 • 2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力 • 分量分别产生的力。 • 3） Kii , Kij , K ji , K jj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
e e

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EA l 0 0
0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2
EA l 0 0
e 6 EI ui 2 e l vi 2 EI e i l e 0 u j 6 EI v e j l 2 e j 4 EI l 0
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• 17.1.7 求单元杆端力
• 例7-5：求图7-5所示连续梁 • 的杆端力 • 解： 由题可知 杆1
M 12 4i1 1 1 [ K ] 2i M 21 1 2i1 M 2 0 2i1 M 4i1 3i 2 2 4i M 4i1 1 2 4i1 3i 2 4i1 3i 2
• 据矩阵运算的基本法则，则得：
4i1 4i 2 2i 2 2i2 2 M 2 4i2 3 0
• 解得：
M2 2 4i1 3i2 M 2 3 2(4i1 3i2 )
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
M 1 4i 2i 1 e e [ K ] { } M 2 2i 4i 2
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e
e
• 17.1.5 形成总刚度矩阵
• 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵：
K11 K K21 K31