八年级数学：《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
数学因式分解方法：分组分解法与十字相乘法
数学因式分解方法：分组分解法与十字相乘法3、分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。
因此可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯独。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1解原式=(x15+m12)+(m9+m6)+(m3+1)=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)=(m3+1)(m12+m6++1)=(m3+1)[(m6+1)2-m6]=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)例2分解因式：x4+5x3+15x-9解析可依照系数特点进行分组解原式=(x4-9)+5x3+15x=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)=(x2+3)(x2+5x-3)4、十字相乘法关于形如ax2+bx+c结构特点的二次三项式能够考虑用十字相乘法，即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12解①1x21x-3原式=(x+2)(x-3)②2x-33x4原式=(2x-3)(3x+4)我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
八年级数学重点知识点(全)
初二数学知识点因式分解1、因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法就是相反的两个转化、2.因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”、3.公因式的确定:系数的最大公约数·相同因式的最低次幂、注意公式:a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3、4.因式分解的公式:(1)平方差公式: a2-b2=(a+ b)(a- b);(2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2、5.因式分解的注意事项:(1)选择因式分解方法的一般次序就是:一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式、6.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子瞧作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项、7.完全平方式:能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q就是完全平方式 ”、分式1.分式:一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示为的形式,如果B中含有字母,式子叫做分式、2.有理式:整式与分式统称有理式;即、3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义、4.分式的基本性质与应用:(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;(2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;即(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单、5.分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分式约分前经常需要先因式分解、6.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式、7.分式的乘除法法则:、8.分式的乘方:、9.负整指数计算法则:(1)公式: a0=1(a≠0), a-n= (a≠0);(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;(3)公式:,;(4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1、10.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母、11.最简公分母的确定:系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂、12.同分母与异分母的分式加减法法则:、13.含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x就是未知数,a与b就是用字母表示的已知数,对x来说,字母a就是x的系数,叫做字母系数,字母b就是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程、注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数、14.公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式变形的本质就就是解含有字母系数的方程、特别要注意:字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0、15.分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不含未知数的方程就是整式方程、16.分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根、17.分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根就是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根就是原方程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能就是原方程的增根、18.分式方程的应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“验增根”的程序、数的开方1.平方根的定义:若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根就是x);注意:(1)a叫x的平方数,(2)已知x 求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算、2.平方根的性质:(1)正数的平方根就是一对相反数;(2)0的平方根还就是0;(3)负数没有平方根、3.平方根的表示方法:a的平方根表示为与、注意:可以瞧作就是一个数,也可以认为就是一个数开二次方的运算、4.算术平方根:正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为、注意:0的算术平方根还就是0、5.三个重要非负数: a2≥0 ,|a|≥0 ,≥0 、注意:非负数之与为0,说明它们都就是0、6.两个重要公式:(1) ; (a≥0)(2) 、7.立方根的定义:若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根就是x)、注意:(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为;即把a开三次方、8.立方根的性质:(1)正数的立方根就是一个正数;(2)0的立方根还就是0;(3)负数的立方根就是一个负数、9.立方根的特性:、10.无理数:无限不循环小数叫做无理数、注意:π与开方开不尽的数就是无理数、11.实数:有理数与无理数统称实数、12.实数的分类:(1)(2)、13.数轴的性质:数轴上的点与实数一一对应、14.无理数的近似值:实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示、注意:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆:、三角形几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)1.三角形的角平分线定义:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线、(如图)几何表达式举例: (1) ∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD就是角平分线2.三角形的中线定义:在三角形中,连结一个顶点与它的对边的中点的线段叫做三角形的中线、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵AD就是三角形的中线∴ BD = CD(2) ∵ BD = CD∴AD就是三角形的中线3.三角形的高线定义:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵AD就是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2) ∵∠ADB=90°∴AD就是ΔABC的高※4.三角形的三边关系定理:三角形的两边之与大于第三边,三角形的两边之差小于第三边、(如图) 几何表达式举例: (1) ∵AB+BC＞AC∴……………(2) ∵ AB-BC＜AC∴……………5.等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形、几何表达式举例:(1) ∵ΔABC就是等腰三角形(如图) ∴ AB = AC(2) ∵AB = AC∴ΔABC就是等腰三角形6.等边三角形的定义:有三条边相等的三角形叫做等边三角形、(如图) 几何表达式举例:(1)∵ΔABC就是等边三角形∴AB=BC=AC(2) ∵AB=BC=AC∴ΔABC就是等边三角形7.三角形的内角与定理及推论:(1)三角形的内角与180°;(如图)(2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与;(如图) ※(4)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、(1) (2) (3)(4) 几何表达式举例:(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°∴…………………(2) ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°(3) ∵∠ACD=∠A+∠B∴…………………(4) ∵∠ACD ＞∠A∴…………………8.直角三角形的定义:有一个角就是直角的三角形叫直角三角形、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵∠C=90°∴ΔABC就是直角三角形(2) ∵ΔABC就是直角三角形∴∠C=90°9.等腰直角三角形的定义:两条直角边相等的直角三角形叫等腰几何表达式举例:(1) ∵∠C=90° CA=CB直角三角形、(如图) ∴ΔABC就是等腰直角三角形(2) ∵ΔABC就是等腰直角三角形∴∠C=90° CA=CB10.全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等;(如图)(2)全等三角形的对应角相等、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵ΔABC≌ΔEFG∴ AB = EF ………(2) ∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠E ………11.全等三角形的判定:“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”、 (如图)(1)(2) (3) 几何表达式举例:(1) ∵ AB = EF∵∠B=∠F又∵ BC = FG∴ΔABC≌ΔEFG(2) ………………(3)在RtΔABC与RtΔEFG中∵ AB=EF又∵ AC = EG∴RtΔABC≌RtΔEFG12.角平分线的性质定理及逆定理: (1)在角平分线上的点到角的两边距离相几何表达式举例: (1)∵OC平分∠AOB等;(如图)(2)到角的两边距离相等的点在角平分线上、(如图)又∵CD⊥OA CE⊥OB∴ CD = CE (2) ∵CD⊥OA CE⊥OB 又∵CD = CE∴OC就是角平分线13.线段垂直平分线的定义:垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵EF垂直平分AB∴EF⊥AB OA=OB(2) ∵EF⊥AB OA=OB∴EF就是AB的垂直平分线14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理: (1)线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等;(如图)(2)与一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵MN就是线段AB的垂直平分线∴ PA = PB(2) ∵PA = PB∴点P在线段AB的垂直平分线上15.等腰三角形的性质定理及推论:(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图)(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)(3)等边三角形的各角都相等,并且都就是60°、(如图)(1) (2) (3) 几何表达式举例:(1) ∵AB = AC∴∠B=∠C(2) ∵AB = AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD = CDAD⊥BC………………(3) ∵ΔABC就是等边三角形∴∠A=∠B=∠C =60°16.等腰三角形的判定定理及推论:(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)(2)三个角都相等的三角形就是等边三角形;(如图)(3)有一个角等于60°的等腰三角形就是等边三角形;(如图)(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边就是斜边的一半、(如图)(1)(2)(3)(4) 几何表达式举例:(1) ∵∠B=∠C∴ AB = AC(2) ∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC就是等边三角形(3) ∵∠A=60°又∵AB = AC∴ΔABC就是等边三角形(4) ∵∠C=90°∠B=30°∴AC =AB17.关于轴对称的定理(1)关于某条直线对称的两个图形就是全等形;(如图) 几何表达式举例:(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴就是对应点连线的垂直平分线、(如图)∴ΔABC≌ΔEGF(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OE MN⊥AE18.勾股定理及逆定理:(1)直角三角形的两直角边a、b的平方与等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;(如图) (2)如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形、(如图) 几何表达式举例:(1) ∵ΔABC就是直角三角形∴a2+b2=c2(2) ∵a2+b2=c2∴ΔABC就是直角三角形19.RtΔ斜边中线定理及逆定理:(1)直角三角形中,斜边上的中线就是斜边的一半;(如图)(2)如果三角形一边上的中线就是这边的一半,那么这个三角形就是直角三角形、(如图) 几何表达式举例:(1)∵ΔABC就是直角三角形∵D就是AB的中点∴CD = AB(2) ∵CD=AD=BD∴ΔABC就是直角三角形几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空与选择题)一基本概念:三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数、二常识:1.三角形中,第三边长的判断: 另两边之差＜第三边＜另两边之与、2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而八年级数学重点知识点(全)第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外、注意:三角形的角平分线、中线、高线都就是线段、3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·AB=BE·CA、4.三角形能否成立的条件就是:最长边＜另两边之与、5.直角三角形能否成立的条件就是:最长边的平方等于另两边的平方与、6.分别含30°、45°、60°的直角三角形就是特殊的直角三角形、7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即:(1) AC·CB=CD·AB ; (2)∠1=∠B ,∠2=∠A 、8.三角形中,最多有一个内角就是钝角,但最少有两个外角就是钝角、9.全等三角形中,重合的点就是对应顶点,对应顶点所对的角就是对应角,对应角所对的边就是对应边、10.等边三角形就是特殊的等腰三角形、11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明、12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等、13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法、14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线、15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图、16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该就是几何基本作图、17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图、※18.几何重要图形与辅助线:(1)选取与作辅助线的原则:①构造特殊图形,使可用的定理增加;②一举多得;八年级数学重点知识点(全)③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;④作辅助线必须符合几何基本作图、(2)已知角平分线、(若BD就是角平分线)①在BA 上截取BE=BC构造全等,转移线段与角;②过D点作DE∥BC交AB于E,构造等腰三角形、(3)已知三角形中线(若AD就是BC的中线)①过D点作DE∥AC交AB于E,构造中位线 ; ②延长AD到E,使DE=AD连结CE构造全等,转移线段与角;③∵AD就是中线∴SΔABD= SΔADC(等底等高的三角形等面积)(4) 已知等腰三角形ABC中,AB=AC①作等腰三角形ABC底边的中线AD (顶角的平分线或底边的高)构造全等三角形; ②作等腰三角形ABC一边的平行线DE,构造新的等腰三角形、八年级数学重点知识点(全) (5)其它①作等边三角形ABC一边的平行线DE,构造新的等边三角形; ②作CE∥AB,转移角; ③延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形;④多边形转化为三角形; ⑤延长BC到D,使CD=BC,连结AD,直角三角形转化为等腰三角形; ⑥若a∥b,AC,BC就是角平分线,则∠C=90°、。
中学数学 十字相乘法和分组分解法 知识点
知识点五用十字相乘法进行因式分解1.二次三项式多项式ax2+bx+c，称为关于x的二次三项式，其中ax2为二次项，bx为一次项，c为常数项.例如，x2−2x−3和x2+5x+6都是关于x的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.[提醒](1)在多项式x2−6xy+8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式，如果把x看做常数，就是关于y的二次三项式；(2)在多项式2a2b2−7ab+3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2−7(ab)+3，就是关于ab的二次三项式.同样，多项式(x+y)2−7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.2.十字相乘法借助十字线分解二次三项式ax2+bx+c的系数和常数项，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘后相加等于一次项系数，再写成两个二项式积的形式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法.利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果能把常数项q分解成两个因数a、b 的积，并且a+b为一次项系数p，那么它就可以运用公式x2+(a+b)2+ab=(x+a)(x+b)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式.当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx+c，如果存在4个整数a1，a2，c1，c2，使a1a2=a，c1c2=c，且a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定4个常数，分析和尝试都比二次项系数1的情况复杂.因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.[提醒](1)用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母，如5 x2+6xy−8y2=(x+2)(5x−4)；(2)十字相乘法实质是二项式乘法的逆过程，注意各项系数的符号.知识点六用分组分解法进行因式分解通过对多项式进行适当的分组，使其符合提公因式法或公式法的结构形式后进行分解，这种分解因式的方法叫做分组分解法，如ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).[提醒](1)分组分解法主要应用于四项及以上的多项式的因式分解；(2)四项式一般分为“2+2”式或“3+1”式，后者通常得到(a±b)2−c2或c2−(a±b)2的形式，再用平方差公式分解；五项式一般采用“3+2”式；六项式一般采用“3+3”式或“3+2+1”式或“2+2+2”式；(3)如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，统筹思考，通过适当练习，总结规律，掌握分组的技巧.。
(八年级数学教案)《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳八年级数学教案★★知识体系梳理♦分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性.也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。
1、分组后能提公因式；2、分组后能运用公式♦十字相乘法：、型的二次三项式因式分解：（其中，）、二次三项式的分解：如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下:♦因式分解的一般步骤：一提二代三分组①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法;④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
♦因式分解几点注意与说明：①、因式分解要进行到不能再分解为止；②、结果中相同因式应写成幕的形式；③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。
★★典型例题、解法导航♦考点一：十字相乘法1、型三项式的分解【例1】计算：(1) (2)(3)(4)运用上面的结果分解因式:①、②、③、④、方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。
◎变式议练一:1、2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（）3、把下列各式分解因式:①、②、③、2、形如: 的二次三项式的因式分解【例2】将下列各式分解因式:（1）；（2）；（3）方法点金：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，，直到满足条件为止。
(2) —般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积。
◎变式议练二：将下列各式分解因式：八年级数学教案♦考点二：运用分组分解法分解因式【例】分组后能提公因式(二二分组)①、②、【例】分组后能运用公式(一三分组)①、◎变式议练三：分解因式：(1) (2)♦考点三：能力解读【例】分解因式：(1) (2)(3) (希望杯”邀请赛试题)【例6】若（），求的值。
初中数学因式分解2十字相乘法、分组分解法
【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 （2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++=例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-；（3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+-（3）()()cd b adc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++思考题（5）()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++【练 习】给下列各式分解因式1．221x x +-= 2．2352x x ++=3．232x x +-= 4．221315x x ++=5．2122512x x -+= 6．2310x x +-=7．ax ＋ay －bx －by = 8．x 2－xy －ax ＋ay =9．x 2＋6y －xy －6x = 10．a 2－b 2－a ＋b =11．4x 2－y 2＋2x ＋y = 12．a 2－2ab ＋b 2－c 2=13．1－x 2－2xy －y 2= 14．x 2－9a 2＋12a －4=15．x 2y ＋3xy 2－x －3y= 16．na 2－2ba 2＋mn －2bm=17．x 3＋3x 2＋3x ＋9= 18．20ax 2＋5xy －8axy －2y 2=19．bx ＋ax ＋by ＋bz ＋ay ＋az=20．2ax －3bx ＋x －2a ＋3b －1=一、分解因式1．2249y x -3、2a 4－324、a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)5、x 2－8x ＋166、a 2b 2－10ab ＋257、－x 4＋2x 2y 2－y 48、(2x 2＋1)2＋2(2x 2＋1)＋1二、分解因式1、9222+--a b ab 2．x 3＋3x 2－4x －123．x 2－b x －a 2＋a b 4．m －m 3－mn 2＋2m 2n5．9ax 2＋9bx 2－a －b 6．a 2－2a ＋4b －4b2C 组三、分解因式1、(a2＋b2)2－4a2b22、a4(x－y)＋b4(y－x)3、(a2＋1)2－4a(a2＋1)＋4a2 4.a2＋2ab＋b2－ac－bc5.m2＋2mn＋n2－p2－2pq－q26.(x2－3)2－4x27. (x2－3)2＋(x2－3)－28.(x2－2x)2－4(x2－2x)－59.a4－2a2b2－8b4 10.x4－6x3＋9x2－16。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(学生版)
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
初二数学(上)必知知识点归纳
初二数学（上）必知知识点归纳初二数学（上）必知知识点归纳因式分解1 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”3．公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3 4．因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项7．完全平方式：能化为（+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式? ”分式1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式7．分式的乘除法法则：8．分式的乘方：9．负整指数计算法则：（1）公式：a0=1(a≠0), a-n= (a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：，；（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-110．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂12．同分母与异分母的分式加减法法则：13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程注意：在字母方程中,一般用a、b、等表示已知数，用x、、z等表示未知数14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为01．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序数的开方1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根3．平方根的表示方法：a的平方根表示为和注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为注意：0的算术平方根还是0．三个重要非负数：a2≥0 ,|a|≥0 ，≥0 注意：非负数之和为0，说明它们都是06．两个重要公式：（1）; (a≥0)（2）7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为；即把a开三次方8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数9．立方根的特性：10．无理数：无限不循环小数叫做无理数注意：?和开方开不尽的数是无理数11．实数：有理数和无理数统称实数12．实数的分类：（1）（2）13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（如图）几何表达式举例：(1) ∵AD平分∠BA∴∠BAD=∠AD(2) ∵∠BAD=∠AD∴AD是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线（如图）几何表达式举例：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = D(2) ∵BD = D∴AD是三角形的中线3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线（如图）几何表达式举例：(1) ∵AD是ΔAB的高∴∠ADB=90°(2) ∵∠ADB=90°∴AD是ΔAB的高※4．三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边（如图）几何表达式举例：(1) ∵AB+B＞A∴……………(2) ∵AB-B＜A∴……………．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（如图）几何表达式举例：(1) ∵ΔAB是等腰三角形∴AB = A(2) ∵AB = A∴ΔAB是等腰三角形6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形（如图）几何表达式举例：(1)∵ΔAB是等边三角形∴AB=B=A(2) ∵AB=B=A∴ΔAB是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角(1) ∵∠A+∠B+∠=180°∴…………………(2) ∵∠=90°∴∠A+∠B=90°(3) ∵∠AD=∠A+∠B∴…………………(4) ∵∠AD ＞∠A∴…………………8．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形（如图）几何表达式举例：(1) ∵∠=90°∴ΔAB是直角三角形(2) ∵ΔAB是直角三角形∴∠=90°9．等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形（如图）几何表达式举例：(1) ∵∠=90° A=B∴ΔAB是等腰直角三角形(2) ∵ΔAB是等腰直角三角形∴∠=90° A=B10．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等（如图）几何表达式举例：(1) ∵ΔAB≌ΔEFG∴AB = EF ………(2) ∵ΔAB≌ΔEFG∴∠A=∠E ………11．全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”12．角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上13．线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（如图）14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（如图）1．等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°（如图）16．等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半（如图）17．关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线18．勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=2；（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=2，那么这个三角形是直角三角形19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若D⊥AB，BE ⊥A，则D?AB=BE?A4．三角形能否成立的条是：最长边＜另两边之和．直角三角形能否成立的条是：最长边的平方等于另两边的平方和6．分别含30°、4°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1）A?B=D?AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边10．等边三角形是特殊的等腰三角形11．几何习题中，“字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明12．符合“AAA”“SSA”条的三角形不能判定全等13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线1．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图（2）已知角平分线（若BD是角平分线）①在BA上截取BE=B构造全等，转移线段和角；②过D点作DE‖B交AB于E，构造等腰三角形（3）已知三角形中线（若AD是B的中线）①过D点作DE‖A交AB于E，构造中位线；②延长AD到E，使DE=AD连结E构造全等，转移线段和角；③∵AD是中线∴SΔABD= SΔAD（等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形AB中，AB=A①作等腰三角形AB底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形；②作等腰三角形AB一边的平行线DE，构造新的等腰三角形（）其它①作等边三角形AB一边的平行线DE，构造新的等边三角形；②作E‖AB，转移角；③延长BD与A交于E，不规则图形转化为规则图形；④多边形转化为三角形；⑤延长B到D，使D=B，连结AD，直角三角形转化为等腰三角形；⑥若a‖b,A,B是角平分线,则∠=90°。
八年级数学上册前两章知识点
八年级数学上册前两章知识点
摘要：
一、前言
二、八年级数学上册前两章的知识点概述
1.第四章整式的运算
2.第五章因式分解
三、具体知识点详解
1.整式的运算
1.整式的概念和分类
2.整式的加减法
3.整式的乘法
4.整式的除法
2.因式分解
1.因式分解的概念和性质
2.提公因式法
3.公式法
4.分组分解法
5.十字相乘法
四、总结
正文：
八年级数学上册前两章的知识点主要涉及整式的运算和因式分解。
整式的运算主要包括整式的概念和分类，整式的加减法，整式的乘法和整式的除法。
整式是由常数、变量及它们的积和和组成的式子，可分为单项式和多项式。
整式的加减法遵循相应的运算法则，如同类项的合并。
整式的乘法则是将一个多项式乘以另一个多项式，多项式的乘法满足结合律、交换律和分配律。
整式的除法则是将一个多项式除以另一个多项式，多项式的除法也满足相应的运算法则。
因式分解是另一个重要的知识点，主要包括因式分解的概念和性质，提公因式法，公式法，分组分解法和十字相乘法。
因式分解是将一个多项式分解为两个或更多的因式的过程，其性质包括分解的唯一性和可逆性。
提公因式法是将多项式的公因式提取出来，公式法是利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
分组分解法则是将多项式中的某些项分为一组，然后提取公因式。
十字相乘法主要用于分解二次多项式。
八年级数学上册 12.5 因式分解《分组法和十字相乘法》知识要点素材 (新版)华东师大版
※因式分解知识要点：1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。
但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可到达分解因式的目的。
例1分解因式：a2-b2+a-b =〔a2-b2〕+ 〔a-b〕=〔a+b〕〔a-b〕+〔a-b〕=〔a-b〕(a+b+1)⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原那么：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。
无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
练习：把以下多项式分解因式⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc2、十字相乘法二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中假设能把常数项q分解成两个因式a,b的积，且a+b 等于一次项系数中的p，那么就可以分解成x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解注意：此公式的三个条件要理解二次项系数是1常数项是两个数之积。
一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡对于x2+〔a+b〕x+ab=〔x+a〕〔x+b〕例如x2+3x+2因式分解解：∵2=1×2且3=1+2∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)此方法称为十字相乘法十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:★常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数符号相同。
★常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例2把以下多项式分解因式①x2+9x+14 ②x2+8x+12 ③ x2-7x+10④x2-2x-8 ⑤x2-x-12 ⑥x2-9x-22⑦x2-4x-21 ⑧x2+4xy-21y2 ⑨x2+5x-63.本节达标测试：1.假设x2-px+q=(x+a)(x+b),那么p=( )A abB a+bC -abD –(a+b)2.假设x2+(a+b)x+5b=x2-x-30,那么b=( )A 5B -6C -5D 63.多项式x2-3x+a可分解为〔x-5〕〔x-b〕,那么a,b的值分别为〔〕A 10，-2B -10， 2C 10，2D -10，-24.不能用十字相乘法分解的是〔〕A x2+x-2B 3x2-10x+3C 5x2-6xy-8y2D 4x2+x+25.下述多项式分解后，有相同因式〔x-1〕的多项式有〔〕个①x2-7x+6 ② 3x2+2-1 ③x2+5x-6 ④ 4x2-5x-9 ⑤x4+11x2-12A 2B 3C 4D 56.假设m2-5m-6=(m+a)(m+b)，求a，b的值。
因式分解讲义(十字相乘、分组分解)
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1 3 2 2 7 ，正好是一次项 系数，从而得 2x2 7x 6 x 22x 3。
（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解
结果也是含有两个字母的两个因式的积。 2. 分组分解法分解因式： 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公
式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解 出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。
如果一个多项式适当分组，使分组。
解： 4x 2 9y 2 24yz 16z 2
4x 2 9y 2 24yz 16z2
2x2 3y 4z2 2x 3y 4z2x 3y 4z
（4）分析：此题按照系数比为 1 或者为 1，可以有不同的分组方法。 法（一）： x 3 x 2 x 1
应与一次项系数 11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：
1 1 3 10 3 (1) 1 (10) 13
1 10 3 1 1 (1) 3 (10) 31
1 2 3 5 1 (5) 3 (2) 11
1 5 3 2 1 (2) 3 (5) 17
如果是形如 2a2b2 7ab 6 的形式，则把 ab 看作一个整体，相当于 x，如果是形如 2x2 7xy 6y2 ，则先写成 2x2 7y·x 6y2 ，把 y 看作已知数，写成十字相乘的形
式是
所以 2x2 7xy 6y2 x 2y2x 3y，即右边十字上都要带上字母 y，分解的
3x 7y ax y b，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。
十字相乘法及分组分解法
a a i a 2，常数项 C 可以分解成两个因数之积，即C C i C 2，把a i ，a 2，C i , C 2排列如下:按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1C 2 a 2C 1，若它正好等于二次三项式 ax 2bx C 的一次项系数b ，即a 1C 2 a 2C 1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式ax c i 与 a 2X C 2 之2积，即 ax bx C qx q a 2x C .要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时, 可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解一一分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式十字相乘法及分组分解法【要点梳理】 要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法2pq C 2三项式x bx C ，若存在，则x bx Cp q b要点诠释：（1）在对x 2 bx C 分解因式时，要先从常数项2（2）若x bx C 中的b 、C 为整数时，要先将 C 分解成两个整数的积分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法2ax bx C （a 丰0中，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即•对于二次则P 、q 同号（若c 0，则P 、q 异号）,然后依据一次项系数 b 的正负再确定 P 、 q 的符号;c 的正、负入手,（要考虑到在二次三项式要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有:要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1将下列各式分解因式:(1)X27x 10 (2) X22x 8变式分解因式:2 (1) X 7x 182 (2) a b 4 a b 3将下列各式分解因式:2 2 3(1) X -x —5 5(2) x2变式将下列各式分解因式:2 1 1 (1) x - - x3 6 (2) a25—a12将下列各式分解因式:2 (1) 6y 19y 152(2) 14x 3x 272 2x 6xy 16 y变式分解因式:2 2(1) 3 4x 4x (2) 10(x 2) 29(x 2) 10 2 2(3) x y 7xy 10例4 分解因式：(x25x 3)(x25x 2) 6变式分解因式：(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24类型二、分组分解法例5 把3ax 4by 4ay 3bx 分解因式．变式分解因式：a24b24ab c2。
因式分解(三) 分组分解及十字相乘(经典)
初二数学（下）因式分解（三）分组分解、十字相乘法【知识要点】[要点一] 十字相乘法1、对于二次三项式q px x ++2，若ab q b a p =+=,，则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++．2、对于二次三项式：c bx ax ++2，若12212121,c a c a b c c c a a a +===，则c bx ax ++2可分解为()()2211c x a c x a ++．这样借助十字交叉线分解系数，得出二次三项式的分解方法，通常叫做“十字相乘法”。
[要点二] 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
分组分解法的要点在于： （1）使分组后能直接提公因式；（2）使分组后能直接运用公式【经典例题】例1．分解因式：（1）2914x x ++ （2）122--x x（3）2295x x +- （4）6732--x x（5）31082---x x （6）527102---x x例2．分解因式： （1）22149y xy x ++ （2）2212y xy x --()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++()bxx c a c a x c a x c a xc a c xa x c a c x a =+=++2112211221221211初二数学（下）（3）22592y xy x -+（4）22673y xy x --（5）22823y xy x --（6）221435y xy x ++-例3．用分组分解法分解下列因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）cy bx ay cx by ax 222---++（3）22bm bm am am --+ （4）123+--a a a（5）b a b ab a -++-222 （6）22296x z y xy -+-例4．分解因式（1）223102ab b a a -+ （2）2)(3)(2++-+y x y x（3）2222-+--+y y x xy x （4）233222++-+-y y x xy x例5．特殊法分解因式 （1）44+x （2）222287x y x y x --（3）6)25)(35(22--+-+x x x x （4）2222)(6)(5)(y x y x y x -+--+例6、 已知248－1可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数。
十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解
十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【 十字相乘法及分组分解法 知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++-【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -.【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法 例4】【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+（3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-； （3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】（2014春•苏州期末）因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。
(八年级数学教案)《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳八年级数学教案★★ 知识体系梳理♦分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性.也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。
1、分组后能提公因式；2、分组后能运用公式♦十字相乘法：、型的二次三项式因式分解：（其中，）、二次三项式的分解：如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下:♦因式分解的一般步骤：一提二代三分组①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法;④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
♦因式分解几点注意与说明：①、因式分解要进行到不能再分解为止；②、结果中相同因式应写成幕的形式；③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。
★★ 典型例题、解法导航♦考点一：十字相乘法1、型三项式的分解【例1】计算：(1)(2) (3) (4)运用上面的结果分解因式:方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）◎变式议练一:1、2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（）3、把下列各式分解因式:①、②、③、2、形如: 的二次三项式的因式分解【例2】将下列各式分解因式:（1）；（2）；（3）方法点金：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，，直到满足条件为止。
（2）—般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积。
◎变式议练二:将下列各式分解因式：八年级数学教案♦考点二：运用分组分解法分解因式【例】分组后能提公因式（二二分组）①、②、【例】分组后能运用公式（一三分组）①、◎变式议练三：分解因式：（1）（2）♦考点三：能力解读【例】分解因式：（1）（2）（3）（希望杯”邀请赛试题）【例6】若（），求的值♦♦♦快乐体验一、选择题、填空题：1、可以分解因式为（）、、、、2、已知，那么；3、（北京）把代数式分解因式，下列结果正确的是-----（）、、、、二、分解因式：①、②、③、④、三、（能力提升）把下列多项式分解因式：①、②、③、④、（为正整数）、已知：，求：的值;。
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解法(含解析)
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解考试要求：知识点汇总：一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.例题精讲：一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
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初中数学新课程标准教材
数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )
学校：
年级：
任课教师：
数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案
编订：XX文讯教育机构
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
★★知识体系梳理
◆分组分解法：
用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。
1、分组后能提公因式；
2、分组后能运用公式
◆十字相乘法：
、型的二次三项式因式分解：
（其中，）
、二次三项式的分解：
如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式：
借助于画十字交叉线排列如下：
◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组
①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；
③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；
④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
◆因式分解几点注意与说明：
①、因式分解要进行到不能再分解为止；
②、结果中相同因式应写成幂的形式；
③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。
★★典型例题、解法导航
◆考点一：十字相乘法
1、型三项式的分解
【例1】计算：
（1）（2）（3）（4）
运用上面的结果分解因式：
①、②、③、④、
方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。
◎变式议练一：
1、
2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（）
、个、个、个、个
3、把下列各式分解因式：
①、②、③、
2、形如：的二次三项式的因式分解
【例2】将下列各式分解因式：
（1）；（2）；（3）
方法点金：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，,直到满足条件为止。
（2）一般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积。
◎变式议练二：
将下列各式分解因式：
（1）（2）（3）
◆考点二：运用分组分解法分解因式【例】分组后能提公因式（二二分组）①、②、
【例】分组后能运用公式（一三分组）①、②、
◎变式议练三：
分解因式：（1）（2）
◆考点三：能力解读
【例】分解因式：
（1）（2）
（3）（“希望杯”邀请赛试题）
【例6】若（），求的值。
◆◆◆快乐体验
一、选择题、填空题：
1、可以分解因式为（）
、、、、
2、已知，那么；
3、（北京）把代数式分解因式，下列结果正确的是-----（）、、、、
二、分解因式：
①、②、
③、④、
三、（能力提升）把下列多项式分解因式：
①、②、
③、④、（为正整数）
、已知：，求：的值；
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WenXun Educational Institution。