第3章 恒定磁场 [兼容模式]
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2015/11/6
电磁场与电磁波
15
电磁场与电磁波
16
恒定磁场的散度方程
B
又因为
恒定磁场的磁通连续性方程
利用散度定理和恒定磁场的散度方程
0 4
1 J dV V R
1 1 1 J J J R R R 1 0 J = 0 R
I l
19 2015/11/6
H = J
H dl I
l
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
20
恒定磁场的基本方程
微分形式——磁场是有旋无散场 散度方程 旋度方程 积分形式 磁通连续性定律 安培环路定律
矢量磁位A
恒定磁场是无散场
B 0 H=J
由矢量恒等式
B 0
4
0
V
( JV ( r ) e R ) dV R2
电磁场与电磁波
7 2015/11/6
磁力线是闭合曲线
电磁场与电磁波
8
例题
一长为l的直导线，其电流为I，求空间任一点A的 磁感应强度。
z L l 2 A(r,, z)
例题
解：考虑到对称性，选择圆柱坐标系，导线与z轴 重合，导线中点位于坐标原点，则导线产生的磁 场与无关。 由毕奥——萨伐尔定律，可知
2015/11/6
电磁场与电磁波
34
磁偶极子的磁场
则磁感应强度
恒定磁场中的介质
磁场中放入介质，将会出现介质被磁化的现象 被磁化的介质将产生附加磁场，总磁场是外磁 场和附加磁场的合成 介质被磁化的程度可以用磁化强度来衡量
B A P 0 m ( er 2 cos e sin ) 4 r 3 P P er 0 m cos e 0 m sin 3 2 r 4 r 3
38
恒定磁场中的介质
磁化强度同磁化电流密度有如下关系
磁场强度
自由空间的静磁场
J m Pm J ms Pm n
若物质内部磁化强度均匀，即 束缚体电流密度为零
B 0 J
在存在外磁场的介质中，磁场由传导电流和束 缚电流共同产生，即
恒定磁场的旋度方程
利用斯托克斯定理和安培环路定律，可得恒定 磁场的旋度方程
H
dl
H dl Hdlcos
l l
d
r
l H dl S H dS H dl I J dS l S
即
Hrd I
0
2
即
2015/11/6
26
矢量磁位
由矢量磁位的表达式可以求得磁感应强度：
J ( r ) B A 0 dV 4 V R J ( r ) 0 dV 4 V R 1 1 0 J ( r )dV 0 J ( r )dV 4 V R 4 V R e 0 R2 J ( r )dV 4 V R J ( r ) e R dV 0 R2 2015/11/6 4 V 电磁场与电磁波
A ex
0 2
将其带入dA 的表达式并积分：
对于P点来说，此时有
e sin 0 e x cos 0 e y e y
因此
A ey
0 I a 2 I a 2 s in 0 sin e 2 4 r 4 r 2 IS P e 0 2 e z e r 0 m 2 r 4 r 4 r
本章基本内容
恒定磁场的基本方程 矢量磁位A
第三章 恒定磁场
王亚峰 wangyf@bupt.edu.cn
磁偶极子 恒定磁场中的介质 恒定磁场中的边界条件 电感 磁场能量
2015/11/6
电磁场与电磁波
1
2015/11/6
电磁场与电磁波
2
安培力的定律
安培力的定律 真空中，两个线电流回路l1、l2， l1对l2的安培作用力F12 为
则由
B 0 J ( A) 0 J ( A) 2 A 0 J 2 A 0 J
在J＝0的区域，有矢量位的拉普拉斯方程
A B 所定义的矢量磁位是唯一的。 A 0
2 A 0
2015/11/6
电磁场与电磁波
3 108 c
0
电磁场与电磁波
5
2015/11/6
电磁场与电磁波
6
1
毕奥—萨伐尔定理
线电流分布
磁力线的特点
dB
R
B
面电流分布
4
0
l
( Idl e R ) R2
B
体电流分布
0 4
( J S ( r ) e R ) dS S R2
Idl
B
2015/11/6
矢量磁位
电流为I，长度为l的一段直导线的矢量磁位为
Az
0 I l ln 2 r
当l ，Az 趋于无穷大。选取r0为矢量位为0的 点，则
Az
A的改变不影响B的结果。
27 2015/11/6
0 I r0 ln 2 r
28
电磁场与电磁波
磁偶极子
磁偶极子
半径 “很小”的圆电流环
磁偶极子
电偶极距
电偶极子
由间距 “很小”的2个等量正负 “点”电荷组成
间距：l “点”电荷：q1=q、q2=-q
pe ql
磁偶极距
pm IS
2015/11/6
电磁场与电磁波
29
2015/11/6
电磁场与电磁波
30
5
磁偶极子的矢量位A
显然，场具有轴对称性，所以矢量磁位 A 应与坐标 无关。考虑电流元 Idl 在P点产生的矢量磁位为：
R ( z z)2 r 2
故
B e
2015/11/6
' μ 0Ir 2 dz l 4 2 r 2 ( z z ) 2 3/ 2 l l z z μ 0I 2 2 e 4 r 2 l 2 l 2 2 r (z ) r (z ) 2 2
z
P ( r , ,0 ) r R
cos sin cos
将1/R展开则有：
a
r
Idl
y
R
1
d
2 1 a a 1 2 sin cos r r r
1/ 2
31 2015/11/6
2015/11/6
电磁场与电磁波
A 0
两式比较，可得
B dS 0 H dl J dS I
s
l s
21
B A
2015/11/6
2015/11/6
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
22
矢量磁位
由库仑规范
矢量磁位
将矢量磁位表达式带入磁场的基本方程，得到 矢量位的泊松方程：
A 0
分量合成得
Ax 0J 2 Ay 0J 2 Az 0J
2
x y z
A ei Ai ex Ax ey Ay ez Az
i
0 J dV 4 V R
A的单位为 Wb/m
2015/11/6
电磁场与电磁波
25
2015/11/6
电磁场与电磁波
真空中的介电常数： 0
B
4
0
l
Idl eR R2
0
1 8.85 1012 ( F / m ) 4 9 109
1
磁感应强度单位：
T(特[斯拉]) ：Tesla Wb/m2(韦[伯]/ 米2) Gauss 1T=1×104G
2015/11/6
0
对比电偶极子的电场
r
a
E er
2015/11/6
Pe Pe cos e sin 2 0 r 3 4 0 r 3
电磁场与电磁波
r
l
35 2015/11/6
电磁场与电磁波
36
6
恒定磁场中的介质
磁化强度：单位体积内磁偶极距的矢量和 未磁化时，各磁偶极距是随机分布的，矢量 和为零。 在外磁场作用下，原子电流受到向外磁场方 向的转矩，矢量和不为零。
1 a 1 sin cos r r
电磁场与电磁波
32
磁偶极子的矢量位A
0 Ia a sin 1 sin cos d 4 r r 2 Ia a 0 e y cos 1 sin cos d 0 4 r r 2 2 Ia e y 0 2 sin cos 2 d 0 4 r 2 I a ey 0 sin 2015/11/6 33 4 r 2 电磁场与电磁波
L
恒定磁场的散度方程
直接对毕奥——萨伐尔定律给出的B取散度，得
B ez
0nI
2
cos 1 cos 2
r0
1
B
4
0
V
J eR dV R2
2
由于
0 4
V
J eR dV 2 R
Z
2015/11/6
eR 1 R2 R
F12 4
l2
磁感应强度
安培力，说到底是磁场对运动电荷的作用力
z I2
l1
I1 dl1
dl2 R r2
l2
磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑 兹力不能做功。通有电流I的导线元dl在磁场 中所受到的力
0
l2 l1
I 2 dl 2 ( I1dl1 eR ) R2
df Idl B
故
2015/11/6
S B dS V BdV B = 0
可得，恒定磁场的磁通连续性方程
B 0
电磁场与电磁波
17 2015/11/6
S
B dS 0
18
电磁场与电磁波
3
安培环路定律
利用真空中无限长直导线的磁场可得安培环路 定律
由图可知
恒定磁场中的介质
介质中的磁偶极距作为二次源产生磁场，不论是外 加磁场还是二次磁场，其源都是电流。 为了和导体中的传导电流区分，将介质中的由原子 及分子电流等效的宏观电流，称为束缚电流，记为 Jm(束缚电流体密度)， Jms (束缚电流面密度)。
2015/11/6
电磁场与电磁波
37
2015/11/6
电磁场与电磁波
磁偶极子的矢量位A 0 Iad Iad Iad e 0 sinex 0 cosey dA 4 R 4 R 4 R
其中
R 2 r 2 a 2 2 ra cos
dA
e R 0 Ia d e 4 R 4
x
0 Id l
R y
2
dz
I
dB
4
0 ( Idze z eR )
R2
1
x l L 2
电磁场与电磁波
e
9 2015/11/6
0 rIdz 4 R 3
10
2015/11/6
电磁场与电磁波
例题
由图可见，导线中 dz 处到场点A的距离R为，
例题
B e μ 0I (cos 1 cos 2 ) 4 r
y
I 2 dl 2 B
x
2015/11/6
r1
O
描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度
2015/11/6
其中 R = r 2 r1 电磁场与电磁波
3
电磁场与电磁波
4
安培力实验定律
真空中的磁导率： 0
毕奥—萨伐尔定理
线电流回路l在周围空间的磁感应强度为
0=
410-7亨利/米（H/m）
23
2015/11/6
电磁场与电磁波
24
4
矢量磁位
在直角坐标系中，有
解Ax, Ay, Az得
矢量磁位
0
Ji dV R
(ex Ax ey Ay ez Az ) 0 (ex J x ey J y ez J z )
2
Ai
则上式可分解为三个独立泊松标量方程：
4
V
i x, y , z
l
当导线为无限长时，
1 0
2
所以
2015/11/6
B 百度文库 e
μ 0I 2 r
12
电磁场与电磁波
11
电磁场与电磁波
2
圆线圈轴线上的磁场
B ez
0
2
Ia 2
a
2
z
3 2 2
dB
R
Idl1
2015/11/6
电磁场与电磁波
13
2015/11/6
电磁场与电磁波
14
螺线管的磁场
电磁场与电磁波
15
电磁场与电磁波
16
恒定磁场的散度方程
B
又因为
恒定磁场的磁通连续性方程
利用散度定理和恒定磁场的散度方程
0 4
1 J dV V R
1 1 1 J J J R R R 1 0 J = 0 R
I l
19 2015/11/6
H = J
H dl I
l
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
20
恒定磁场的基本方程
微分形式——磁场是有旋无散场 散度方程 旋度方程 积分形式 磁通连续性定律 安培环路定律
矢量磁位A
恒定磁场是无散场
B 0 H=J
由矢量恒等式
B 0
4
0
V
( JV ( r ) e R ) dV R2
电磁场与电磁波
7 2015/11/6
磁力线是闭合曲线
电磁场与电磁波
8
例题
一长为l的直导线，其电流为I，求空间任一点A的 磁感应强度。
z L l 2 A(r,, z)
例题
解：考虑到对称性，选择圆柱坐标系，导线与z轴 重合，导线中点位于坐标原点，则导线产生的磁 场与无关。 由毕奥——萨伐尔定律，可知
2015/11/6
电磁场与电磁波
34
磁偶极子的磁场
则磁感应强度
恒定磁场中的介质
磁场中放入介质，将会出现介质被磁化的现象 被磁化的介质将产生附加磁场，总磁场是外磁 场和附加磁场的合成 介质被磁化的程度可以用磁化强度来衡量
B A P 0 m ( er 2 cos e sin ) 4 r 3 P P er 0 m cos e 0 m sin 3 2 r 4 r 3
38
恒定磁场中的介质
磁化强度同磁化电流密度有如下关系
磁场强度
自由空间的静磁场
J m Pm J ms Pm n
若物质内部磁化强度均匀，即 束缚体电流密度为零
B 0 J
在存在外磁场的介质中，磁场由传导电流和束 缚电流共同产生，即
恒定磁场的旋度方程
利用斯托克斯定理和安培环路定律，可得恒定 磁场的旋度方程
H
dl
H dl Hdlcos
l l
d
r
l H dl S H dS H dl I J dS l S
即
Hrd I
0
2
即
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26
矢量磁位
由矢量磁位的表达式可以求得磁感应强度：
J ( r ) B A 0 dV 4 V R J ( r ) 0 dV 4 V R 1 1 0 J ( r )dV 0 J ( r )dV 4 V R 4 V R e 0 R2 J ( r )dV 4 V R J ( r ) e R dV 0 R2 2015/11/6 4 V 电磁场与电磁波
A ex
0 2
将其带入dA 的表达式并积分：
对于P点来说，此时有
e sin 0 e x cos 0 e y e y
因此
A ey
0 I a 2 I a 2 s in 0 sin e 2 4 r 4 r 2 IS P e 0 2 e z e r 0 m 2 r 4 r 4 r
本章基本内容
恒定磁场的基本方程 矢量磁位A
第三章 恒定磁场
王亚峰 wangyf@bupt.edu.cn
磁偶极子 恒定磁场中的介质 恒定磁场中的边界条件 电感 磁场能量
2015/11/6
电磁场与电磁波
1
2015/11/6
电磁场与电磁波
2
安培力的定律
安培力的定律 真空中，两个线电流回路l1、l2， l1对l2的安培作用力F12 为
则由
B 0 J ( A) 0 J ( A) 2 A 0 J 2 A 0 J
在J＝0的区域，有矢量位的拉普拉斯方程
A B 所定义的矢量磁位是唯一的。 A 0
2 A 0
2015/11/6
电磁场与电磁波
3 108 c
0
电磁场与电磁波
5
2015/11/6
电磁场与电磁波
6
1
毕奥—萨伐尔定理
线电流分布
磁力线的特点
dB
R
B
面电流分布
4
0
l
( Idl e R ) R2
B
体电流分布
0 4
( J S ( r ) e R ) dS S R2
Idl
B
2015/11/6
矢量磁位
电流为I，长度为l的一段直导线的矢量磁位为
Az
0 I l ln 2 r
当l ，Az 趋于无穷大。选取r0为矢量位为0的 点，则
Az
A的改变不影响B的结果。
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0 I r0 ln 2 r
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电磁场与电磁波
磁偶极子
磁偶极子
半径 “很小”的圆电流环
磁偶极子
电偶极距
电偶极子
由间距 “很小”的2个等量正负 “点”电荷组成
间距：l “点”电荷：q1=q、q2=-q
pe ql
磁偶极距
pm IS
2015/11/6
电磁场与电磁波
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2015/11/6
电磁场与电磁波
30
5
磁偶极子的矢量位A
显然，场具有轴对称性，所以矢量磁位 A 应与坐标 无关。考虑电流元 Idl 在P点产生的矢量磁位为：
R ( z z)2 r 2
故
B e
2015/11/6
' μ 0Ir 2 dz l 4 2 r 2 ( z z ) 2 3/ 2 l l z z μ 0I 2 2 e 4 r 2 l 2 l 2 2 r (z ) r (z ) 2 2
z
P ( r , ,0 ) r R
cos sin cos
将1/R展开则有：
a
r
Idl
y
R
1
d
2 1 a a 1 2 sin cos r r r
1/ 2
31 2015/11/6
2015/11/6
电磁场与电磁波
A 0
两式比较，可得
B dS 0 H dl J dS I
s
l s
21
B A
2015/11/6
2015/11/6
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
22
矢量磁位
由库仑规范
矢量磁位
将矢量磁位表达式带入磁场的基本方程，得到 矢量位的泊松方程：
A 0
分量合成得
Ax 0J 2 Ay 0J 2 Az 0J
2
x y z
A ei Ai ex Ax ey Ay ez Az
i
0 J dV 4 V R
A的单位为 Wb/m
2015/11/6
电磁场与电磁波
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2015/11/6
电磁场与电磁波
真空中的介电常数： 0
B
4
0
l
Idl eR R2
0
1 8.85 1012 ( F / m ) 4 9 109
1
磁感应强度单位：
T(特[斯拉]) ：Tesla Wb/m2(韦[伯]/ 米2) Gauss 1T=1×104G
2015/11/6
0
对比电偶极子的电场
r
a
E er
2015/11/6
Pe Pe cos e sin 2 0 r 3 4 0 r 3
电磁场与电磁波
r
l
35 2015/11/6
电磁场与电磁波
36
6
恒定磁场中的介质
磁化强度：单位体积内磁偶极距的矢量和 未磁化时，各磁偶极距是随机分布的，矢量 和为零。 在外磁场作用下，原子电流受到向外磁场方 向的转矩，矢量和不为零。
1 a 1 sin cos r r
电磁场与电磁波
32
磁偶极子的矢量位A
0 Ia a sin 1 sin cos d 4 r r 2 Ia a 0 e y cos 1 sin cos d 0 4 r r 2 2 Ia e y 0 2 sin cos 2 d 0 4 r 2 I a ey 0 sin 2015/11/6 33 4 r 2 电磁场与电磁波
L
恒定磁场的散度方程
直接对毕奥——萨伐尔定律给出的B取散度，得
B ez
0nI
2
cos 1 cos 2
r0
1
B
4
0
V
J eR dV R2
2
由于
0 4
V
J eR dV 2 R
Z
2015/11/6
eR 1 R2 R
F12 4
l2
磁感应强度
安培力，说到底是磁场对运动电荷的作用力
z I2
l1
I1 dl1
dl2 R r2
l2
磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑 兹力不能做功。通有电流I的导线元dl在磁场 中所受到的力
0
l2 l1
I 2 dl 2 ( I1dl1 eR ) R2
df Idl B
故
2015/11/6
S B dS V BdV B = 0
可得，恒定磁场的磁通连续性方程
B 0
电磁场与电磁波
17 2015/11/6
S
B dS 0
18
电磁场与电磁波
3
安培环路定律
利用真空中无限长直导线的磁场可得安培环路 定律
由图可知
恒定磁场中的介质
介质中的磁偶极距作为二次源产生磁场，不论是外 加磁场还是二次磁场，其源都是电流。 为了和导体中的传导电流区分，将介质中的由原子 及分子电流等效的宏观电流，称为束缚电流，记为 Jm(束缚电流体密度)， Jms (束缚电流面密度)。
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电磁场与电磁波
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2015/11/6
电磁场与电磁波
磁偶极子的矢量位A 0 Iad Iad Iad e 0 sinex 0 cosey dA 4 R 4 R 4 R
其中
R 2 r 2 a 2 2 ra cos
dA
e R 0 Ia d e 4 R 4
x
0 Id l
R y
2
dz
I
dB
4
0 ( Idze z eR )
R2
1
x l L 2
电磁场与电磁波
e
9 2015/11/6
0 rIdz 4 R 3
10
2015/11/6
电磁场与电磁波
例题
由图可见，导线中 dz 处到场点A的距离R为，
例题
B e μ 0I (cos 1 cos 2 ) 4 r
y
I 2 dl 2 B
x
2015/11/6
r1
O
描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度
2015/11/6
其中 R = r 2 r1 电磁场与电磁波
3
电磁场与电磁波
4
安培力实验定律
真空中的磁导率： 0
毕奥—萨伐尔定理
线电流回路l在周围空间的磁感应强度为
0=
410-7亨利/米（H/m）
23
2015/11/6
电磁场与电磁波
24
4
矢量磁位
在直角坐标系中，有
解Ax, Ay, Az得
矢量磁位
0
Ji dV R
(ex Ax ey Ay ez Az ) 0 (ex J x ey J y ez J z )
2
Ai
则上式可分解为三个独立泊松标量方程：
4
V
i x, y , z
l
当导线为无限长时，
1 0
2
所以
2015/11/6
B 百度文库 e
μ 0I 2 r
12
电磁场与电磁波
11
电磁场与电磁波
2
圆线圈轴线上的磁场
B ez
0
2
Ia 2
a
2
z
3 2 2
dB
R
Idl1
2015/11/6
电磁场与电磁波
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2015/11/6
电磁场与电磁波
14
螺线管的磁场