重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学试题及答案
重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)
重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1.下列说法正确的是（ ）A. N ∈-1B.Q ∈2 C. π∉R D. Z ⊆∅2.已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {1} B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}3.给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下(3,1)的原像为（ ）A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(1,1)D ．(5,5)4.“2x y +>”是“1>x 且1y >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（ ）A ．3(,)2+∞B ．(0,)+∞C ．3(0,)2D ．3(,3)211.已知集合}0,,,,0|{},032|{22≠∈≤++=>--=ac R c b a c bx ax x B x xx A ，若(]4,3=B A I ，R B A =Y ，则22c a a b +的最小值是（ ）A ．3B ．32C ．1D ．3412.设集合{|16,}A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1,2,5}的“交替和”是5214-+=，{3}的“交替和”就是3）.则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ）A. 128B. 192C. 224D. 256第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.设2,(2015)()(5),(2015)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则(2018)f = ．14. 计算：135342=— ．15. 函数x x x f --=12)(的值域为 ．16. 若函数122)(2---+=x a x x x f 的图象与x 轴恰有四个不同的交点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（10分）已知集合3{|1}A x x=<，集合{|213}B x x =-<． （Ⅰ）分别求集合A 、B ； （Ⅱ）求()R CA B I ．18．（12分）已知函数()f x 的定义域为(0,4)，函数()1g x x =-的定义域为集合A ，集合{}21B x a x a =<<-，若A B B =I,求实数a的取值范围﹒19. （12分） 已知函数23()1x f x x +=+﹒（Ⅰ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最值； （Ⅱ）若关于x 的方程(1)()0x f x ax +-=在区间(1,4)内有两个不等实根，求实数a 的取值范围﹒20. （12分）已知二次函数()f x 的图象过点(0,4)，对任意x 满足(3)()f x f x -=，且有最小值74﹒（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()()(23)h x f x t x =--在[]0,1上的最小值()g t ﹒21. （12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且(1)2f =-﹒ （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,2-上的最大值； （Ⅲ）解关于x 的不等式2()2()()4f ax f x f ax -<+﹒22. 对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（Ⅰ）若(,)a b 是)(x f 的一个“P 数对”，且,9)4(,6)2(==f f 求常数,a b 的值；（Ⅱ）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求k 的值及()f x 在区间[1,2)n(*)N n ∈上的最大值与最小值．重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题 参 考 答 案一、选择题（每小题5分）DACBC CCBAA BB二、填空题（每小题5分）13．2015 14．2 15．(,2]-∞ 16．),6()2,0(+∞Y三、解答题（共70分）17．（Ⅰ）{|03}A x x x =<>或，{|12}B x x =-<<﹒（Ⅱ）(){|02}R C A B x x =≤<I ﹒18．{|13}A x x =<<，由A B B =I 得B A ⊆① 当B =∅时，211a a a ≥-⇒≤；②当B ≠∅时，2111122132a a a a a a a <-⇒>⎧⎪≥⇒<≤⎨⎪-≤⇒≤⎩；综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞﹒19．（Ⅰ）令1,[1,3]x t t +=∈，则2232442[2,3]1x t t y t x t t +-+===+-∈+ 即min ()2f x =，max ()3f x =﹒（Ⅱ）由条件，230xax -+=在区间(1,4)内有两个不等实根，令2()3h x x ax =-+，则2(1)0(4)034120142h h a a a >⎧⎪>⎪⎪⇒<<⎨∆=->⎪⎪<<⎪⎩﹒20．（Ⅰ）2()34f x x x =-+﹒（Ⅱ）2()24h x x tx =-+，240()401521t g t t t t t ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩﹒21．（Ⅰ）令0x y ==，得(0)0f =；令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=故()f x 为R 上的奇函数﹒（Ⅱ）任取x R ∈，对任意的0h >，则()0f h <，又()()()()f x h f x f h f x +=+<，故()f x 在R 上单调递减；又(2)(1)(1)4(2)(2)4f f f f f =+=-⇒-=-=，故()f x 在区间[]2,2-上的最大值为(2)4f -=﹒ （Ⅲ）由条件， 22()2()()4(2)(2)f ax f x f ax f ax x f ax -<+⇔-<- 222(2)(1)0ax x ax ax x ⇔->-⇔-->（1）当0a =时，解集为(,1)-∞； （2）当0a ≠时，122,1x x a == ①当21a >即02a <<时，解集为2(,1)(,)a-∞+∞U ； ②当21a =即2a =时，解集为(,1)(1,)-∞+∞U ；③当21a <即2a >或0a <时，若2a >，解集为2(,)(1,)a -∞+∞U ；若0a <，解集为2(,1)a ﹒22．（Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+)4()2()2()1(f b af f b af ，即⎩⎨⎧=+=+9663b a b a ，解得：⎩⎨⎧==31b a （Ⅱ）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，所以，[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--，故()f x 在[1,2)上的值域是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立，当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x-∈， ()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-，故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯； 当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． 所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3； 当3n ≥且为奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -； 当n 为偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．。
2018-2019学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1，1，2}，集合B={x|x∈A且2-x∉A}，则B=（）A. {−1}B. {2}C. {−1,2}D. {1,2}2.函数y=x(3−x)+x−1的定义域为（）A. [0,3]B. [1,3]C. [3,+∞]D. (1,3]3.下列各组的两个函数为相等函数的是（）A. f(x)=x−1x+1，g(x)=(x−1)(x+1)B. f(x)=(2，g(x)=2x−5C. f(x)=1−xx+1，g(x)=1+xx+1D. f(x)=(x)4x ，g(x)=(t)24.已知函数f（12x-1）=2x-1，且f（a）=5，则a=（）A. −12B. 12C. 2D. 15.函数y=3−x2x+1的图象为（）A. B.C. D.6.已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4-x+x，则f（-12）=（）A. −1B. 0C. 1D. 327.函数f（x）=2x-3x+1，x∈（-34，3）的值域为（）A. [−2,0)B. (−3,0)C. [−258,0) D. [−278,0)8.已知f（x）是奇函数且在R上的单调递减，若方程f（x2+1）+f（m-x）=0只有一个实数解，则实数m的值是（）A. −78B. −34C. 14D. 189.已知开口向上的二次函数f（x）对任意x∈R都满足f（3-x）=f（x），若f（x）在区间（a，2a-1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. (−∞,54] B. (1,54] C. [−32,+∞) D. (−∞,2]10. 已知f （x ）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，若f （x ）对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2）都满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0，则不等式f （x +1）-f （2x -1）＜0的解集为（ ）A. (0,2)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)11. 已知函数f （x ）=2x 2+（4-m ）x +4-m ，g （x ）=mx 若存在实数x ，使得f （x ）与g （x ）均不是正数，则实数m 的取值范围是（ ） A. m ≥4 B. −2≤m ≤4 C. m ≥2 D. −3≤m ≤−112. 已知函数f （x ）= x 2−x ,x <0−x 2+x ,x≥0，若关于x 的不等式[f （x ）]2+af （x ）-b 2＜0恰有一个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f （x ）= −2x ，x ≥01x，x ＜0，则f （f （12））=______ 14. 函数f （x ）=x |x -2|的单调减区间为______．15. 设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （-2）=0，若f （x ）在（0，+∞）单调递减，则不等式（x +1）f （x -1）＞0的解集为______．16. 已知函数f （x ）对任意的实数x ，y 都满足f （x +y ）+f （x -y ）=2f （x ）f （y ）且f （1）=12，则f （2）+f （-2）的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x ||x -1|≤2}，B ={x |x−1x +3＞0}，C ={x |2m -1≤x ≤m +1}，其中m ∈R ．（1）设全集为R ，求A ∩（∁R B ）；（2）若A ∪B ∪C =R ，求实数m 的取值范围．18. （1）计算：2−1+（3-2 2）0-（94）-0.5+4( 2−π)4．（2）设a ＞0，化简：4 a −3 a 4a 4；（3）若x 12+x−12= 6，求x +x −1−1x +x −2的值．19.已知函数f（x）=ax+bx2+1是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（12）=45．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）+4x2+1的值域．20.已知集合A={x|x2+（2a-2）x-3a+4=0，a∈R}，B={x|x2-3x+2=0}，C={x|x2+x-6＜0}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值集合；（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．21.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）对所有的正数x、y都成立，f（2）=-1且当x＞1，f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性（3）若关于x的不等式f（kx）-f（x2-kx+1）≥1在（0，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围22.已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min（p，q）=q,p>qp,p≤q （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合B={x|x∈A且2-x∉A}，集合A={-1，1，2}，当x=-1时，可得2-（-1）=3∉A；当x=1时，可得2-1=1∈A；当x=2时，可得2-2=0∉A；∴B={-1，2}；故选：C．根据元素与集合的关系进行判断本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．根据二次函数的性质得到函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：A.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，定义域不同，两函数不相等；B.的定义域为，g（x）=2x-5的定义域为R，定义域不同，不相等；C.，解析式不同，不相等；D.的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，+∞），定义域和解析式都相同，相等．故选：D．通过求函数的定义域，可看出选项A，B两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，也不相等，只能选D．考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x-1）=2x-1，令t=x-1，则x=2（t+1），则f（t）=4（t+1）-1=4t+3，若f（a）=5，即4a+3=5，解可得a=；故选：B．根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）=5，即4a+3=5，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的解析式的计算，注意先求出函数的解析式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数y===+；可得x，∵≠0，∴y结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：B．分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=4-x+x，则f（）=+=1，又由函数为奇函数，则f（-）=-f（）=-1；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（-）=-f （），进而可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：令；∵；∴；∴x=t2-1；∴；∴时，f（x）取最小值；t=2时，f（x）取最大值0；∴f（x）的值域为：．故选：C．可令，根据x的范围，可求出，并求出x=t2-1，原函数变成y=2（t2-1）-3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域．考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，不等式的性质，以及配方求二次函数值域的方法．8.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m-x）=0，得f（x2+1）=-f（m-x）=f（x-m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1=x-m，即x2-x+m+1=0．则△=（-1）2-4（m+1）=0，解得m=-．故选：B．由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（m-x）=0只有一个实数解转化为方程x2-x+m+1=0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意函数的对称轴是x=，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a-1）上单调递减，则只需≥2a-1，解得：a≤，故选：A．求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）-f（2x-1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x-1|），若f（x）对仸意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x-1|）⇒|x+1|＜|2x-1|，变形可得：（x+1）2＜（2x-1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）-f（2x-1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x-1|），进而分析可得在[0，+∞）上为增函数，据此可得f（|x+1|）＜f（|2x-1|）⇒|x+1|＜|2x-1|，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：分3类讨论①m=0 时，对于仸意x．g（x）=0而f（x）=2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x＞0 时，g （x）＜0 成立，只需考虑x≥0时的情况，由于函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，当-4＜m＜4时，△＜0．故-4＜m＜0，不满足，m＜-4时，由于对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g （x）＜0 在x＜0 时成立，，解得，m＞4，当m=4时，f（x）=2x2，g（x）=4x，存在x=0满足条件，综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．存在实数x，f（x）与g（x）的值均不是正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f（x）=，如图所示，①当b=0时，[f（x）]2+af（x）-b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，-a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）=-4+2=-2，∴-a＜-2＜0，-a≥f（3）=-6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）-b2＜0，△=a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考虑a＞0，则＜0＜，由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．13.【答案】-22【解析】解：根据题意，f（x）=，则f（）=-=-，则f（-）==-；故答案为：-根据题意，由函数的解析式计算f（）=-，再次代入函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14.【答案】[1，2]【解析】解：当x＞2时，f（x）=x2-2x，当x≤2时，f（x）=-x2+2x，这样就得到一个分段函数f（x）=．f（x）=x2-2x的对称轴为：x=1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）=-x2+2x，开口向下，对称轴为x=1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，可以通过函数的性质或者图象得到结果．15.【答案】（1，3）【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（-2）=0，则f（2）=-f（-2）=0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（-∞，-2）上，f（x）＞0，则（-2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（-∞，-2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（-2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x-1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．根据题意，分析可得在区间（0，2）或（-∞，-2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（-2，0）上，f（x）＜0，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题．16.【答案】-1【解析】解：对仸意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（1）=，令x=y=0，可得f（0）+f（0）=2f（0）f（0），可得f（0）=0或f（0）=1，若f（0）=0，可令y=0，则f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，即f（x）=0，这与f（1）=矛盾，则f（0）=0不成立，则f（0）=1，令x=y=1，可得f（2）+f（0）=2f（1）f（1），可得f（2）=2×-1=-，令x=0，y=1可得f（1）+f（-1）=2f（0）f（1），即有f（-1）=2×1×-=，令x=y=-1可得f（-2）+f（0）=2f（-1）f（-1），即有f（-2）=2×-1=-，则f（2）+f（-2）=-1．故答案为：-1．可令x=y=0，计算可得f（0）=1，再令x=y=1，求得f（2）；令x=0，y=1，求得f（-1），再令x=y=-1，求得f（-2），即可得到所求和．本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：由集合A={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}B={x|x−1＞0}={x＜-3或x＞1}，x+3（1）那么∁R B={x|-3≤x≤1}∴A∩（∁R B）={x|-1≤x≤1}（2）由C其中m∈R．∴A∪B={x＜-3或x＞-1}，由A∪B∪C=R，即{x|2m-1≤x≤m+1}∪{x＜-3或x＞-1}=R∴ 2m−1≤−3m+1≥−12m−1≤m+1，解得：-2≤m≤-1故得实数m的取值范围是[-2，-1]．【解析】（1）求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A∩（∁R B）；（2）根据并集的定义A∪B∪C=R，即可实数m的取值范围．本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18.【答案】解：（1）原式=2+1+1-23+π-2=π+43；（2）原式=a 43⋅a−12a 23⋅a2=a−11；（3）若x12+x−12=6，则x+x-1=4，x2+x-2=14，故x+x−1−1x2+x−2−2=4−114−2=14．【解析】根据指数幂的原式性质求出代数式的值即可．本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是一道常规题．19.【答案】解（1）由已知得f（0）=0，即b=0，∴f（x）=axx+1，再由f（12）=45，得12a1+1=45，解得a =2，∴f（x）=2xx+1，（2）∵y=f（x）+4x+1=2xx+1+4x+1，∴y•x2-2x+y-4=0，当y=0时，x=-2；当y≠0时，一元二次方程y•x2-2x+y-4=0对x有解，所以△=（-2）2-4y（y-4）≥0，解得2-5≤y≤2+5且y≠0，综上所述：所求函数的值域为[2- 5，2+ 5]【解析】（1）根据奇函数得f （0）=0，解得b=0；根据f（）=，解得a=2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．20.【答案】解：（1）B ={1，2}若A ∩B ≠∅，则①1∈A ，a =3，此时A ={1，-5}，②2∈A ，a =-4，此时A ={2，-8}，∴实数a 的取值集合为{3，-4}；（2）C =（-3，2），设f （x ）=x 2+（2a -2）x -3a +4，若A ⊆C ，则①A =∅，（2a -2）2-4（-3a +4）＜0，∴a 2+a -3＜0，∴−1− 132＜a ＜−1+ 132， ②A ≠∅， △≥0f (−3)＞0f (−2)＞0−3＜1−a ＜2∴ a ≤−1− 132或a ≥−1+ 132a ＜199a ＞−4−1＜a ＜4， ∴−1+ 132≤a ＜4，综上可知，实数a 的取值范围为（−1− 132，4）．【解析】（1）由B={1，2}，A∩B≠∅，得1∈A 或2∈A ，得关于a 的方程，求得a ； （2）由C=（-3，2）与A ⊆C ，分类讨论A=∅与A≠∅两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a 的取值范围．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21.【答案】解：（1）∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），取x =1，y =1得：f （1）=f （1）+f （1）； ∴f （1）=0；（2）设x 1＞x 2＞0则f （x 1）-f （x 2）=f （x 2•x 1x 2）-f （x 2）=f （x 1x 2），∵x1＞x2＞0；∴x1x2＞1；又x＞1时，f（x）＜0；∴f(x1x2)＜0；∴f（x1）-f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）=-1，f（xy）=f（x）+f（y）；由f（kx）-f（x2-kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2-kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴ 2kx＞0x2−kx+1＞02kx≤x2−kx+1∴k＞0k＜x+1xk≤13(x+1x)∴k＞0k＜2k≤23∴0＜k≤23．【解析】（1）由f（xy）=f（x）+f（y），取x=1，y=1得f（1）=0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）-f（x2）=f（x2•）-f（x2）=f （），又当x＞1，f（x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（2）=-1，f（xy）=f（x）+f（y），f（kx）-f（x2-kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2-kx+1），又f（x）在（0，+∞）上单调递减，得关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，是综合性题目，单调性的证明用定义法，恒成立问题用转化思想，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2（a-1）（2-x）＞0；当x＞1时，x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2-（2+2a）x+4a=（x-2）（x-2a），则等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围是（2，2a）；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x-1|，g（x）=x2-2ax+4a-2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=-a2+4a-2．由-a2+4a-2=0，解得a1=2+2，a2=2-2（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=0，3≤a≤2+2−a2+4a−2，a＞2+2；（ii ）当0≤x ≤2时，F （x ）≤f （x ）≤max{f （0），f （2）}=2=F （2）；当2＜x ≤6时，f （x ）≤g （x ）≤max{g （2），g （6）}=max{2，34-8a }=max{f （2），f （6）}．则M （a ）= 2,a >434−8a ,3≤a≤4．【解析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x ＞1，去掉绝对值，化简x 2-2ax+4a-2-2|x-1|，判断符号，即可得到F （x ）=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（i ）设f （x ）=2|x-1|，g （x ）=x 2-2ax+4a-2，求得f （x ）和g （x ）的最小值，再由新定义，可得F （x ）的最小值；（ii ）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F （x ）的最大值，即可得到F （x ）在[0，6]上的最大值M （a ）．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
x2 f
x1 x1 f
x2 2x2
2x1 ，若函数 g(x)
f (x) 2 ，则下列说法正确的是（ x
）
A． g(x) 在 (0, ) 单调递增
B． g(3) g(4)
C． f (x) 在 (2, ) 单调递减
D．若正数 m 满足
f (2m) m f (4) m 2 0，则 m (2,) 2
重庆市南开中学校 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集U {小于 10 的正整数} ， A 1, 2,3, 4 ，B 3, 4,5, 6 ，则 (ðU A) B （ ）
A．{5, 6}
B．1, 2
C．3, 定是（ ）
A． x 1， x2 x 1 0
B． x 1， x2 x 1 0
C． x 1， x2 x 1 0
D． x 1， x2 x 1 0
3．若函数
f
(x)
1 x 1
2 x ，则 f (x) 的定义域为（
20．重庆南开中学作为高中新课程新教材实施国家级示范校，校本选修课是南开中学课
程创新中的重要一环，学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为 900 m2
的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形 区域之间间隔1(m) ，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留1(m) 宽的通道，左、右两 块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留 3(m) 宽的通道，如图．设矩形空地长为 x(m) ，
三、单选题 10．在同一坐标系下，函数 y xa 与 y ax 1 在其定义域内的图像可能是（ ）
重庆南开中学高2018级高一(上)期末数学考试及答案word版本
重庆南开中学高2021级高一〔上〕期末测试数学试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部,总分值卷〔选择题共60分〕12个小题,每题5分,共60分,每题只有一个选项符合要求〕〕条件将函数y=sinx的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变得到图像C1,再将图像C I向右平移一个单位得到的图像C2,那么图像C2所对应的函数的解析式为〔37、A、yA、c sinsin1-x22xln x,b1B、y sin - x -2 6D、y sin 2xln x,c e lnx,那么a,b,c的大小关系为〔C、 a b cD、 b a c150分,测试时间120分钟、选择题〔本大题共1、集合A x2x 4 ,B x log2 x 0 , 那么AI B (A、1,2B、1,2C、0,1D、0,12、A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、一个扇形的周长为10cm,圆心角为2弧度,那么这个扇形的面积为〔、2)cm4、5、A、25 函数A、0,1函数igA、1,2C、254D、2522xx212,5 ,那么f x的零点所在的区间为〔1,2 C、2,3 D、3,4的单调递减区间为〔c 1C、 22D、-,326、那么 f (2021) +f (2021) +f (2021)的值为(A 、01_ . ,一.六的取值范围为〔A 、 1,B 、 1,1C 、,1D 、 1,1应位置〔只填结果,不写过程〕 213、幕函数y m 2 3m 3 x m m 1在〔0,+8〕单调递减,那么实数m 的值为 14、计算：log6 2 210g 6 3 101g 2一,一 11 18、(12分)定义在R 的函数f x a x-x a 1a(1)判断f (x)的奇偶性和单调性,并说明理由；8、 0, 且cos-,那么cos 的值为〔5A 、-1109、定义在 B 、 J10C 、 7.2R 上的奇函数f 10(x)满足 f (x+4)D、 (x) 7；2 70包成立,且f (1) = 1 ,10、化简tan20° +4sin20°的结果为〔A 、1 11、如图,圆O 与x 轴的正半轴的交点为 A,点B,C 在圆O 上,点B 的坐标为 1,2,点CAOC o假设BC75 ,贝^ sin —cos — 73cos 2— — 的值为 ( 2 2 2 2A 、B 、2.55"5"5 2.5 512、函数 x 1 2 ,x log 2,x假设方程f 〔x 〕 = a 有四个不同的解X I 、 X 2、X 3、 X 4 ,、填空题: 第II 〔本大题共4个小题, 卷〔非选择题,共90分〕每题5分,共20分〕各题答案必须填写在做题卡上相C 、2x3 x 4,那么 x 3x 1x215、0,2 且cos- -,那么tan的值为.10goi x 1, 1 x k16、函数f x 1 2,假设存在实数k使函数f (x)的值域为[0,2],2x 2x 1,k x a那么实数a的取值范围为.三、解做题：(本大题共6个小题,共70分)各题解答必须答在做题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)317、(10 分) tan 2,tan -.2(1)求tan的值；sin — sin(2)求——2------------------------- 的值.cos 2sin19、〔12 分〕函数 f x sin2 x 2,3sin x cos x cos2R的图像关于直线x 对称,其中⑴,入为常数且0,2.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)解关于x的不等式：f (x-1) >f (2x+1)0(2)假设y=f (x)的图像过点一,0 ,求函数f (x)在x 0-上的值域. 6 220、(12分)函数f (x)为二次函数,假设不等式f (x) <0的解集为(-2, 1)且 f (0) =2(1)求f x的解析式；(2)假设不等式f cos 夜sin - msin对R恒成立,求实数m的取值范围.21、(12分)函数f x log2 TH奇函数.1 X(1)求实数a的值；(2)设函数g x f x 10g2mx ,是否存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点?假设存在,求出m的取值范围；假设不存在,说明理由.22、(12分)函数f x的定义域D 0,,假设f x满足对任意的一个三边长为a,b,c D 的三角形,都有f a ,fb ,f c也可以成为一个三角形的三边长,那么称 f x为保三角形函数〞.(1)判断g x sin x,x 0,是否为保三角形函数〞,并说明理由；(2)证实：函数h x lnx,x 2, 是保三角形函数〞；(3)假设f x sinx,x 0,是保三角形函数〞,求实数的最大值.重庆南开中学高2021级高一(上)期末数学试卷答案解：由A 中不等式变形得：2x &4=2,得到x&Z 即A= (—8, 2],可得.解：设扇形的半径为r,弧长为1, /. 1 2r 10,解得1=5, r=-,「•扇形的面积S 』1r 二店1 2r2应选：C. 4.1 (1)解：函数f(x) 2x-x 5,是单调增函数,并且f (2) =4+--5<0, 4 23 1f (3) =8 — 5 0, 函数f(x) 2x -x 5,那么f (x)的零点所在的区间为(2, 3). 4 4应选：C. 5.【分析】令t= - x 2+x+6>0,求得函数的定义域,根据f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在 定义域内的减区间,再利用二次函数的性质得出结论.解：令t=-x 2+x+6>0,求彳3-2<x<3,可得函数的定义域为{x|-2<x< 3}, f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为(-,3),2应选：D.1.由B 中不等式变形得: 那么 AH B= (1, 2],2.【分析】“ —3 Sin6解：“ 一〞？ sin6因此“一〞是Sin63.【分析】设扇形的半径为10g2x>0=log2l,得至ij x>1, 应选：B.反之不成立,例如21 〞 一、一. … 1 ,反之不成立,例如 2工〞的充分不必要条件.2r,弧长为1,可得1和r 的方J .即可判断出结论.6 *6应选：A.,解方程组代入扇形的面积公式解：将函数y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的 2倍,得到y=sin-x,2 然后向右平移一个单位得到的图象C2,即y=sin1 (x-1)=sin (― x-—),3 2 2卜 应选：B.17.【分析】依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0, b>1, - <c< 1,从而可得【解答】解：: x€ (e—1, 1), a=lnx 「•aC (-1, 0),即 a<0; 又y=(l)x 为减函数, 2 .•.b=(1)1nx >(1)1n1 =(1)0=1 ,即 b> 1; 2 2 2 又c=e1nx=xe (e- 1, 1), b>c>a. 应选 B.8. 【分析】根据同角的三角形关系求出 两角差的余弦公式计算即可. sin ( a+-j-) =4 , 再根据 cos a =C0 s a 与--), 利用解：’:长(0 , Tt), 一, 5 、• • a - C (—,—), cos(— )44 4 5,. cos a =cos 、 / 、 •, 、. 3T- — 1) =cos ( a T- ) cos —+sin ( a T —)sin 一 二一7.2 10 ,应选：C. 9. 解：f (x+4) =f (x), ・♦・函数f (x)是周期为4的周期函数, 贝U f (2021) =f (504刈=f (0), f (2021) =f (504M+1) =f (1) =1 , f (2021) =f (504M+2) =f (2), . f (x)是奇函数, , f (0) =0,当 x=-2 时,f (-2+4) =f (-2),即 f (2) =-f (2),那么 f (2) =0,即 f (2021) +f (2021) +f (2021) =f (0) +f (1) +f (2) =0+1+0=1 , 应选：B. 10.解：tan20+4sin20 4+ 始干i 口20a +工'钠 ccs20 cos20_ (sin20f - 1 色 如° ) +sin400cos20°二生迎迎qg 手mo*+乳口40" cos20 =2—呼Q° 二 cos20 11.解：.••点B 的坐标为(-1,2), • . |OB|=|OC|= . 5 , |BC|=卮・•.△OBC 是等边三角形,那么/AOB=+ -.312.【分析】作出函数f 〔X 〕,得到X 1 , X 2关于X=- 1对称,X 3X 4=1；化简条件,利用数形结合进 行求解即可.解：作函数f 〔X 〕的图象如右,;方程 f 〔X 〕=2有四个不同的解 X 1, X 2, X 3, X 4,且 X 1<X 2<X 3<X 4, . X 1, X 2 关于 X=- 1 对称,即 X 1 +X 2= - 2 , 0< X 3 < 1 < X 4 ,贝^ |log 2X 3| = |log 2x 4|, 即-log 2X 3=log 2X 4, 贝^ log 2x 3+log 2X 4=0 即 log 2X 3X 4=0 那么 X 3X 4=1 ；cos20 应选：D.老8s (y1 J5贝^ sin 5cos 万+ 6 cos 2万一 2.5 5.3 1 .一 =-sin 22 =sin a\1当 110g 2x|=1 得 x=2 或一, 21那么 1 <X404 —43< 1 ；21 八 11 一 ,故 X 3( X | X 2) —— = — 2x 3+ 一 , —叔3< 1 ；X 3 X 4 X 3 2 1 . 1那么函数y= - 2X 3+ 一,在一板3V 1上为减函数, X 3X 3__1 _ __ __ .那么故X 3=1取得最大值,为y=1,2当X 3=1时,函数值为-1 . 即函数取值范围是〔-1, 1]. 应选：B 13.解：幕函数尸J,F T 在〔0, +00〕单调递减, /. m 2- 3m+3=1, 即 m 2 - 3m+2=0, 解得m=1或m=2;当m=1时,m 2- m - 1 = - 2<0,满足题意； 当m=2时,m 2- m- 1=1 >0,不满足题意,舍去;故答案为：1. 14.解：10g 62 210g 6 , 3 101g2 =1og 66+2=3. 故答案为：3. 15.【解答】解：;院〔0, 2冗〕,1又• cos ——, 23sin 一 一 sin- 2=2五, 8s 2sin - . 1 cos 22 ,2 2.2 -T ,18.1 . 1 解：(1) f ( — x) = a-x a ~x f (x)aa• ・tan2tan-1 tan2 -2故答案为:4.216.1解：由题思,令 10g 2 (1 — x) +1=0, x=—,2令 x 2-2x+1=2,可得 x=1±",二.存在实数k 使函数f (x)的值域为[0, 2], ・•・实数a 的取值范围是[L, 1 +4].2故答案为：[1,1+"].217.3【分析】(1)由题思可得tan ( a+B =2, tan B =—,代入2tan = =tan[ a +£ - B ]=-tan( ------------ )-tan — , 计算可得;1 tan( ) tan(2)由诱导公式和弦化切可得原式 1 tan,代值计算可得.解：(1) tan( )2,tan(2tan 3 2,• .tan ( a +)B=2, tan • .tan = =tan [c +)0 —tan( ) tan1 tan( )tan21 2( 2)4；sin (—+ CL) - sin ( JT4 CL )(2)化简可得cos U +2sind_ cos sin cos 2sin1 tan 3 ------------ =一 1 2tan 10那么函数为偶函数, 当X ?0时,设0a 1<X 2, 一. 1.1 即 f (X 1)— f (X 3) = a 1 Fa 2 FaaxX 1_ X1 _ X 2 =a -x 2 工-4= (a X1 a x 2) a-^- = ((a x 1 a X2)驾一, X XX 1 X 2X 1 X ?a a 2a aa a・ a>1, 0喉 1<X 2 ・••1 W 1 a 〞,那么 a 51 a X 20, a 51 a" 1 0,那么f (X1)- f (X2)<0,那么f (X1)<f (X2),即此时函数单调递增, 同理当X00时,函数单调递减；(2) ;函数f (X )是偶函数,且在［0, +00)上为增函数,那么关于 X 的不等式：f (X-1) >f (2X +1)等价为 f (|X -1|) >f (|2X +1|), 即 X― 1|>|2X +1|,平方得 x 2 - 2x+1 >4x 2+4x+1,即 3X 2+6X <0,即 X 2+2x<0,得—2<x< 0, 即不等式的解集为(-2, 0). 19.解：(1)化简可得 f (x)= 点？2sin xcosox- (cos 2cox-sin 2⑴x) + 入=^3sin2 x —cos2 cx+入=2sin(2cox -------- ) + 入6由函数图象关于直线x 一对称可得2c£)?-— -=kTtd — , kCZ,33623解得⑴二3"k+1,结合 区(0, 2)可得W =12• .f (x) =2sin (2x — —) + 入,一, ,一, …1 2「•函数f (x)的取小正周期T=——=九；3 Vy=f (x)的图象过点(:二.,【分析】(1)化简可得f (x) =2sin (2wx-—)+入,由对称性可得6以可得最小正周期;(2)由图象过点(一,0)可得 - 1,由x60-结合三角函数的值域可得. 22• .2sin (2x- -) - 1 € [- 2, 1], 6(x)在x Q,-上的值域为[-2, 1]2(1)设出二次函数的表达式,得到关于 a, b, c 的方程,解出即可求出函数的表达(2)求出 f (cosO,问题转化为 sin2 8 4(1+m) sin 0 +1W R 包成立, 令g ( ® =sin2 8+(1+m) sin 8+1通过讨论对称轴的位置,从而求出 g ( 0)的最小值,得到关于m 的不等式,解出即可.解：(1) :函数f (x)为二次函数, • ,设 f (x) =ax 2+bx+c,• ••不等式f (x) <Q 的解集为(-2, 1)且f (Q) =-2,c 2a 1 4a 2b 2 Q, 解得：b 1 , a b 2 Qc 22f (x) =x +x - 2;(2)由(1)得：f (cos 0 =cos2 0 +cos-0 2, ,由不等式f(cos )wT2sin(—) msin 对8C R 包成立,4得：cos2 0 +cos-02<72 sin (.+^)+msin8对 0€ R 包成立, sin2 8 4(1+m) sin 8+1 泗 R 包成立, 令 g (⑥ =sin2 0 +(1+m) sin 0 +1(sinm-1)2 1 -(m-, 24；2sin (2?- - -) + 入=Q 解得 入= 1,• .f (x) =2sin (2x — —) 6x Q,- , 2x- 21.•.sin (2x - -) € [- 1, • .2sin (2x- -) € [- 1, 6T,1], 2],故函数f 2Q. 【分_ ml-.. .・二①-1 < ------ <11P — 30m< 时：2gmin (8) =1 - -—— >Q 4 解得：-3& m<l 符合题意； 一 m 1 一 一② ------- < ―1 即 m< — 3 时：22g min (9) =(1 U 〞 "U>0, 24解得：m> - 3,无解； ③m-^ >1即m > 1时：22gmin (9) =( 1 U)4 5+1 — (^^>0, 2 4 解得：m< 1,无解；综上,满足条件的m 的范围是[-3, 1].21.【分析】(1)由奇函数性质得f (x) +f (-x) =log 2sx 10g 2sx=0,由此能求出1 x 1 x1(2)当 a= — 1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = - 1og 2 (mx) =0,得 x=—, m不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点；1 x当 a=1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = 10g 2 ----------------------------------- =0,得 x=1,不存在非布头数 (1 x) mx函数g (x)恰好有两个零点.• . 1 - a 2x 2=1 - x 2,解得a= ±1.(2)不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点,理由如下: 当 a= 一 1 时,g (x) =f (x) — 10g 2 (mx) = — 10g 2 (mx), .•一 14 ax 1 ax ---- =1 , 1 x 1 x【解答】解：(1) ;函数f(x) 10g 2 s x 是奇函数,1 x f (x) +f ( — x) = 1og2 1 ax 10g 2(1 x1 ax 1 x10g21 ax1 ax)=0,a.m 使得由-log2 (mx) =0,解得mx=1, x=—,不存在非专头数m使得函数g (x)恰好有两个专点;1 x . 1 x当a=1 时,g (x) =f (x) — 10g2 (mx) =log2 -------- -- log2 (mx) =log2 -------------- ,1 x (1 x) mx, 1 x由10g2 ------------ =0,得x=1,不存在非布头数m使得函数g (x)恰好有两个布点.(1 x) mx综上,不存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点.22.【分析】欲判断函数 f (x)是不是保三角形函数〞,只须任给三角形,设它的三边长a、b、c 满足a+b>c,判断f (a)、f (b)、f (c)是否满足任意两数之和大于第三个数,即任意两边之和大于第三边即可.因此假设a<cfl b&q在各个选项中根据定义和函数对应法那么进行求解判断即可.解：(1)假设a= — , b= —, c=—,贝U f (a) =f (b) =sin —= 1 , f (c) =sin — =1,3 2 21 1那么 f (a) +f (b) = - -=1,不辆足 f (a) +f (b) >f (c) 2 2故f (x) =sinx,不是保三角形函数(2)对任意一个三角形三边长a, b, c€ [2 , +00),且a+b>c, b+c>a, c+a>b, 贝U h (a) =lna, h (b)=lnb, h (c) =lnc.由于a>2, b>2, a+b>c,所以(a - 1) (b— 1) >],所以ab m+b>c,所以lnab>lnc, 即lna+lnb>lnc.同理可证实lnb+lnolna, lnc+lna>lnb.所以lna, lnb, lnc是一个三角形的三边长.故函数h (x) =lnx (xq2, +00)).5(3)人的最大值是二.6①当入〉5-时,取a= — =b, c=-,显然这3个数属于区间(0,力,且可以作为某个三角 6 6 2形的三边长,但这3个数的正弦值工、工、1显然不能作为任何一个三角形的三边,故此时,2 2h (x) =sinx, x€ (0, N不是保三角形函数.当小〉—时,由于 a+b>c, .•.0<£<U<—,2 2 2 22综上可得,0<sin± <sin--b < 12 2再由 |a- b|< c< 5—,以及 y=cosx 在( 6a —— >cos- >cos — >0, 2 2 12sina+sinb=2sina-b cos--b >2sin — cos — =sinc, 2 222同理可得 sina+sinosinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长.故当入、时,h (x) =sinx, x€ (0, M)是保三角形函数,故 人的最大值为5-,x 3x45 ②当入上—时,对于任意的三角形的三边长 65 右 a+b+c> 2 a 贝U a> 2 7r b — c> 2L ——6 即a>—,同理可得b>—, c> —, • .sina 、sinb 、since ( - , 1]. 2 由此可得 sina+sinb> 1 + l =1}sinc 即 2 2 5 、a 、b 、c€ (0,——),6• ・a 、b 、cC (—,3 sina+sinb>sinc, 同理可得 sina+sinc>sinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长. 假设 a+b+c< 2 % c , 一 <九,2当"寸, 由于 a+b>c, ..0<£<2 0< sinc < sin ——b < 1 2 20< sin c <sin-~~b < 1.22可得 cos a -b =cos20,冗〕上是减函数,。
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CA重庆南开中学高2018级（上）中期考试试题(18.10.26)数学理科卷参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共50分）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确答案前的番号填在答题卡相应位置上。
1、若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．250x y --=2、设复数z =，那么1z 等于A 12iB 12iC ．12D ．12+3、在ABC ∆中，lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，是三边,,a b c 成等比数列的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4、已知()f x 是定义在R 的奇函数，当0x <时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()()1108f f --+-的值为A ．2B ．3C ．3-D ．2-5、设i j , 是平面直角坐标系（坐标原点为O ）内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且42,34OA i j OB i j =+=+ ，则OAB ∆的面积等于A ．15B ．10C ．7.5D ．5 6、在直二面角l αβ--中，直线a α⊂，直线,,b a b β⊂与l 斜交，则A ．a 不能和b 垂直，a 也不能和b 平行B ．a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC ．a 不能和b 垂直，但可能a ∥bD ．a 不能和b 平行，但可能a b ⊥7、若抛物线的顶点坐标是()1,0M ，准线l 的方程是220x y --=，则抛物线的焦点坐标为A ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P 和Q （万元），且它们与投入资金x （万元）的关系是：),04x P Qa ==> ；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则a 的最小值应为A． BC ．5D ．9、如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。
2018-2019学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试题一、单选题1．设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=A．{–1} B．{2}C．{–1，2} D．{1，2}【答案】C【解析】根据元素与集合的关系直接进行判断.【详解】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2．函数的定义域为A． B． C． D．【答案】D【解析】根据根号下的式子非负，分母不等于0，列出不等关系，解得函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式及分式的性质，是一道基础题．3．下列各组的两个函数为相等函数的是A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】A中，f(x)＝的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4．已知函数，且，则A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a；故选：B．【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算，属于基础题．5．函数的图象为A．B．C．D．【答案】C【解析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；【详解】函数y；可得x，∵0，∴y又x＝3时，y＝0结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题．6．已知函数是R上的奇函数，当时，，则A． B．0 C．1 D．【答案】A【解析】根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（）＝﹣f（），进而可得答案．【详解】根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．7．函数，的值域为A． B． C． D．【答案】C【解析】可令，根据x的范围，可求出，并求出x＝t2﹣1，原函数变成y＝2（t2﹣1）﹣3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域．【详解】令；∵；∴；∴x＝t2﹣1；∴；∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0,但是取不到；∴f（x）的值域为：．故选：C．【点睛】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法．8．已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（m﹣x）＝0只有一个实数解转化为方程x2﹣x+m+1＝0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．【详解】∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9．已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【详解】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需2a﹣1，解得：a，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10．已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f （|2x﹣1|），进而分析可得在[0，+∞）上为增函数，据此可得|x+1|＜|2x﹣1|，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11．已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】存在实数x，f（x）与g（x）的值均不是正数，所以对m分类讨论，即m＝0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．【详解】分3类讨论①m＝0 时，对于任意x,g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x0 时，g（x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，对称轴为.当m＜0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m≥4.此时对称轴，所以只需，解得m≥4..综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【详解】函数f（x），如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：f（x），只考虑a＞0，则0，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知，则______【答案】【解析】根据题意，由函数的解析式计算f（），再次代入函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14．函数的单调减区间为______．【答案】【解析】根据所给函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．【详解】当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，故函数f（x）．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，再通过函数的性质或者图象得到结果．15．设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，分析可得在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题．16．已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】可令x＝y＝0，计算可得f（0）＝1，再令x＝y＝1，求得f（2）；令x＝0，y ＝1，求得f（﹣1），再令x＝y＝﹣1，求得f（﹣2），即可得到所求和．【详解】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝21，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝21，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题17．已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．【答案】(1);(2) 实数m的取值范围是.【解析】（1）求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A∩（∁R B）；（2）根据并集的定义A∪B∪C＝R，即可实数m的取值范围．【详解】由集合或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，解得：解得实数m的取值范围是．【点睛】本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18．；设，化简：；若，求的值．【答案】(1);(2);(3).【解析】根据指数幂的性质求出代数式的值即可．利用根式与分数指数幂互化进行化简即可.由已知先计算，再平方计算，代入计算即可.【详解】原式；原式；若，则，，故．【点睛】本题考查了指数幂的运算及根式与分数指数幂互化，考查转化思想，是一道常规题．19．已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．【答案】(1);(2) 值域为.【解析】（1）根据奇函数得f（0）＝0，解得b＝0；根据f（），解得a＝2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．【详解】由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了分式型函数求值域的方法，属中档题．20．已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．【答案】(1) 实数a的取值集合为；（2）实数a的取值范围为.【解析】（1）由B＝{1，2}，A∩B≠∅，得1∈A或2∈A，得关于a的方程，求得a；（2）由C＝（﹣3，2）与A⊆C，分类讨论A＝∅与A≠∅两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a的取值范围．【详解】若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，，，，综上可知，实数a的取值范围为．【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21．定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】（1）由f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），又当x＞1，f （x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y），f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1），又f（x）在（0，+∞）上单调递减，得到关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．【详解】（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1）；∴f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴∴，∴∴0＜k．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，考查了用定义法证明单调性及不等式恒成立问题，运用了转化思想，属于难题．22．已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．试题解析：（Ⅰ）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即（ⅱ）当时，，当时，．所以，．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．。
重庆市南开中学2018届高三数学上学期期中试题 理
重庆南开中学高2018级高三(上)中期考试理科数学试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1.若复数2323z i i i =-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．4B ．．2 D2.已知集合{}2340A x x x =+-≤，}11|{<=xx B ，那么=B A （ ） A.]1,4[- B.[]1,4- C.),1(+∞ D.)0,4[- 3.若递增的等比数列{}n a 满足1442425364=+-a a a a a a ，则=-35a a （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ） A.若b a >则22b a > B.若b a >则ba 11< C.若b a >则c b c a ->- D.若b a >则22bc ac > 5.已知向量)1,1(),,2(-==x ，且)//(+，则=⋅b a （ ） A.4 B.2 C.1- D.6 6.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，将)(x f 的图象向左平移4π个单位，则得到的新函数图象的解析式为（ ） A.)32cos(π+=x y B.cos(2)6y x π=+C.)1272sin(π+=x yD.)122sin(π+=x y7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（ ）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88.设0,0>>y x 且4=+y x ，则2122+++y y x x 的最小值是（ ） A.716 B.37 C.1023D.499.如图是2017年上半年某五省GDP 情况图，则下列叙述正确的是（ ） ①与去年同期相比，2017年上半年五个省的GDP 总量 均实现了增长；②2017年上半年山东的GDP 总量和增速均居第二； ③2016年同期浙江的GDP 总量高于河南；④2016和2017年上半年辽宁的GDP 总量均位列第五. A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④10.正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a （*N n ∈）成等差数列，n T 为数列}{n b 的前n 项和，且21nn a b =，对任意*N n ∈总有)(*N K K T n ∈<，则K 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+++>-=)0(21)0(ln )(2x a x x x x x a x f 的最大值为)1(-f ，则实数a 的取值范围是（ ） A.]2,0[2e B.]2,1(2e C.]2,0[3e D.]2,(3e e12.已知单位向量,,,满足：,3||,=-⊥向量)sin (cos 2222⋅+⋅=θθ （R ∈θ），则)()(-⋅-的最小值为（ ） A.23B.1C.122-D.21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =14.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上周期为2的奇函数，当]1,0(∈x 时，)1lg()(+=x x f ，则=+14lg )52018(f 15.已知ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且22cos 2sin 22=+CC , 若c b a ,,成等比数列，则A sin =16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列}{n a ，满足：11=a ，在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个9)(*N k ∈，即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，……，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2050()m S m N *=∈，则=m三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为*,N n S n ∈，公差0≠d ，153=S ， 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设142++=n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是21和32，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是21，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （Ⅰ）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（Ⅱ）设X 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量)1,(cos ),43,(sin -==x x ，设n n m x f ⋅+=)(2)( （Ⅰ）若23)(=x f ，求x 的所有取值； （Ⅱ）已知锐角ABC ∆三内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，求)(A f 的取值范围.20.（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，以短轴为直径的圆O 面积为π2，椭圆上的点到左焦点的最小距离是22-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）如图，B A ,为椭圆的左右顶点，N M ,分别为圆O 和椭圆C 上的点，且x MN //轴，若直线BN AN ,分别交y 轴于E D ,两点（N M ,分别位于y 轴的左、右两侧）. 求证：MD ME ⊥，并求当314||=⋅∆DEN S OD 时直线AN 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数xx x a x f 1ln 2)(+-=. （Ⅰ）若2=a ，求)(x f 在)0,1(处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 对任意]1,0(∈x 均有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：2111ln 1()2nk k n N k n *=+<-∈+∑.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
重庆市沙坪坝区南开中学2018学年高一上学期期中数学试
2018-2018学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁U M）∩N等于（）A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}2．函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）3．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．5．函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3在上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥26．已知函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C．函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=﹣，则f（2）的值为（）A．B．C．D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．9．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]10．f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则=（）A．1018 B．2018 C．2018 D．101811．奇函数f（x）在（0，+∞）内单调递增且f（2）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2）B．（﹣2，0）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．14．求函数y=的单调递增区间．15．若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是．16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1={1，2，4}的“长度”为3，集合A2={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知实数a＞0，集合，集合B={x||2x﹣1|＞5}．（1）求集合A、B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．18．已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．19．已知函数为奇函数．（1）若函数f（x）在区间上为单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．20．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．（1）求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，求a的取值范围．21．已知二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．22．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；（3）求不等式的解集．2018-2018学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁U M）∩N等于（）A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M的补集，再利用交集的定义求（∁U M）∩N．【解答】解：由题意∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2}，∴C U M={3，4，5}，又集合N={2，3，4}，故（∁U M）∩N={3，4}故选：C．2．函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数有意义，需要被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列出不等式组，求出解集即为定义域．【解答】解：要使函数有意义，需使；解得x≥﹣1且x≠2故函数的定义域是[﹣1，2）∪（2，+∞）故选项为A3．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】利用函数在不同的定义域内满足的函数关系式求出函数的值．【解答】解：已知函数f（x）=①当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）②当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）③当x=6时，函数f（6）=6﹣3=3故选：B4．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．5．函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3在上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：由题意函数的对称轴x=≤，解得：a≤2，故选：C．6．已知函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C．函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】容易求出f（x）的定义域，从而判断出f（x）为非奇非偶函数，根据偶函数定义可判断g（x）为偶函数，从而找出正确选项．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称；∴f（x）为非奇非偶函数；解得，﹣1≤x≤1；又；∴g（x）为偶函数．故选B．7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=﹣，则f（2）的值为（）A．B．C．D．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用赋值法求解即可．【解答】解：∵f（x）+2f（1﹣x）=﹣，令x=2，则有f（2）+2f（﹣1）=﹣…．①令x=﹣1，则有f（﹣1）+2f（2）=3…②由①②解得f（2）=，故选D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B9．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得3a ﹣1＜0、﹣a ＜0、且﹣a ≤3a ﹣1+4a ，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a 的范围．【解答】解：由题意可得，求得≤a ＜，故选：A ．10．f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）=f （a ）•f （b ），且f （1）=2，则=（ ） A ．1018B ．2018C ．2018D ．1018【考点】函数的值．【分析】在f （a +b ）=f （a ）•f （b ）中令b=1得，f （a +1）=f （a ）•f （1），变形为=f （1）=2．以此可以答案可求．【解答】解：∵f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）=f （a ）•f （b ），∴令b=1得，f （a +1）=f （a ）•f （1），∴=f （1）=2．∴=2（共有1018项），=1018×2=2018．故选：B ．11．奇函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增且f （2）=0，则不等式的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2）B ．（﹣2，0）∪（1，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】通过当x ＞1时，f （x ）在（0，+∞）内单调递增，又f （2）=0，则f （x ）＞0=f （2），当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，又函数f （x ）为奇函数，求出x ＜0时不等式的解集，进而求出不等式的解集即可．【解答】解：当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），∴x＞2．当0＜x＜1时，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，又函数f（x）为奇函数，则f（﹣2）=0且f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，则当x＜0时，f（x）＜0=f（﹣2），∴x＜﹣2，综上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜﹣2，故选：D12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】由二次函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+2x的图象为开口方向朝上，以x=﹣1为对称轴的抛物线当x=﹣1时，函数取最小时﹣1若y=x2+2x=3，则x=﹣3，或x=1而函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则或则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：114．求函数y=的单调递增区间．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】设t=﹣x2+4x+5，先求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系即可得到函数的递增区间．【解答】解：设t=﹣x2+4x+5，由t=﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，则函数t=﹣x2+4x+5的对称轴为x=2，∴当﹣1≤x≤2时，t=﹣x2+4x+5单调递增，此时y=也单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递增，当2≤x≤5，t=﹣x2+4x+5单调递减，此时y=单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递减，即函数y=的单调递增区间是[﹣1，2]．15．若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是k＞2．【考点】绝对值三角不等式．【分析】求出f（x）min=2，利用关于x的不等式的解集不是空集，从而可得实数k的取值区间．【解答】解：∵f（x）=|x﹣|+|x+|≥|（x﹣）﹣（x+）|=2，∴f（x）min=2，∵关于x的不等式的解集不是空集，∴k＞2．故答案为k＞2．16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1={1，2，4}的“长度”为3，集合A2={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为201．【考点】排列、组合的实际应用；子集与真子集．【分析】根据题意，结合集合长度的定义，对集合A的子集分6种情况讨论，每种情况下分析符合条件的子集的数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合长度的定义，对集合A的子集分类讨论：①、长度为0的子集，共6个：即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}，②、长度为1的子集，必须为两个元素的集合，且其元素为相邻的两个自然数，共5个：即{1，2}、{2，3}、{3，4}、{4，5}、{5，6}，③、长度为2的子集，即子集中最大最小元素差为2，其中最小、最大元素有4种情况：即1、3，2、4，3、5，4、6；每种情况有2个子集，则共有8个子集，④、长度为3的子集，即子集中最大最小元素差为3，其中最小、最大元素有3种情况：即1、4，2、5，3、6；每种情况有4个子集，则共有12个子集，⑤、长度为4的子集，即子集中最大最小元素差为4，其中最小、最大元素有2种情况：即1、5，2、6；每种情况有8个子集，则共有16个子集，⑥、长度为6的子集，即子集中最大最小元素差为5，其中最小、最大元素有1种情况：即1、6；则共有16个子集，则U的所有非空子集的“长度”之和为：6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201；故答案为：201．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知实数a＞0，集合，集合B={x||2x﹣1|＞5}．（1）求集合A、B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【分析】（1）a＞0时化简集合A，根据绝对值的意义求出集合B；（2）根据交集与空集的定义写出a的取值范围即可．【解答】解：（1）a＞0时，集合={x|﹣1＜x＜a}，集合B={x||2x﹣1|＞5}={x|2x﹣1＞5或2x﹣1＜﹣5}={x|x＞3或x＜﹣2}；（2）当A∩B≠∅时，a＞3，∴a的取值范围是a＞3．18．已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x ∈[0，3]时，值域为[1，4]．可求k，b．（2）函数，求出g（x），利用换元法转化为二次函数问题求值域．【解答】解：（1）由题意函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．故得，解得：b=1．k=1，∴函数f（x）的解析式为f（x）=x+1、（2）函数=2x﹣，令：t=，则x=t2﹣1．∵x∈[﹣1，8]，∴0≤t≤3．∴函数g（x）转化为h（t）=当t=时，函数h（t）取得最小值为，当t=3时，函数h（t）取得最大值为13．故得函数h（t）的值域为[]，即函数g（x）的值域为[]，19．已知函数为奇函数．（1）若函数f（x）在区间上为单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）由题意和奇函数的性质得f（﹣1）=﹣f（1），代入解析式列出方程求出a，可求出f（x）并判断出f（x）的单调性，由条件和单调性列出关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）根据函数的单调性和条件，分两种情况列出不等式组，求出k的值．【解答】解：（1）∵函数为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），则﹣（1﹣a+4）=﹣（1+a+4），解得a=0，即=，∴f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∵函数f（x）在区间上为单调函数，∴m≤2或，则0＜m≤2或m≥4，∴m的取值范围是（0，2]∪[4，+∞）；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∵f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，∴或，解得k=或k=（舍去），即k的值是．20．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．（1）求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用韦达定理，求出m，n，即可求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，B⊆A，分类讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，∴，∴m=﹣4，n=3，∴m﹣n=﹣7；（2）A∪B=A，∴B⊆A．①B=∅，△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4；②B≠∅，设f（x）=x2﹣ax+a，则，∴4≤a≤，综上所述，0＜a≤．21．已知二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）当a＜0时，求出函数定义域与值域，利用定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，分类讨论求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【解答】解：（1）当a＜0时，定义域为[0，﹣]．=值域为[0，]，∴=，∴a=﹣4；（2）g（x）=，①0≤a≤1，，x≥a，g（x）min=g（）=a﹣，x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，a﹣≥﹣a，∴≤a≤1，h（a）=﹣a；a﹣＜﹣a，∴0＜a＜，h（a）=a﹣；②a＞1，＜a，x≥a，g（x）min=g（a），x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，函数在[0，a]上单调递增，∴h（a）=﹣a；综上所述，h（a）=．22．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；（3）求不等式的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令x=y=1可得f（2）=3；令x=y=0可得f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，先探讨f（x）=t的取值范围t∈（﹣1，+∞），原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，（3）（3）f（f（x））≥⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f （x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．再证明函数y=f（x）在R上单调递增，原不等式转化为x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增F（x）≥F （3）⇒x≥1，【解答】解：（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），则f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾，∴f（0）=0；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，令f（x）=t，以下探讨f（x）=t的取值范围．令y=﹣x可得f（0）=f（﹣x）f（x）+f（x）+f（﹣x）⇒f（x）=，当x＜0时，f﹣x）＞0，则﹣1＜f（x）=＜0，∴x∈R时，f（x）=t∈（﹣1，+∞）．原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，即tt2+2t+5≥（t+1）a⇒a≤．g（t）=，当t=1时取等号．∴a≤4．（3）由（2）可得f（x）∈（﹣1+∞），f（x+1）∈（﹣1+∞），f（f（x））≥⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f（x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．下面证明y=f（x）的单调性：任取x1，x2∈R，且x1＞x2，⇒f（x1﹣x2）＞0，f（x2）＞﹣1则f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）+f（x1﹣x2）=f（x1﹣x2）[f（x2）+1]＞0所以函数y=f（x）在R上单调递增，∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，∴f（x+1+f（x））≥7⇒．f（x+1+f（x））≥f（3）⇒x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增，且F（1）=3x+1+f（x）≥3⇔F（x）≥F（3）⇒x≥1，所以原不等式解集为：[1，+∞）．2018年1月18日。
重庆市南开中学2018届高三上学期半期考试数学理试题
重庆南开中学高2018届高三（上）期中考试理科数学一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-2．已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()U C A B = A ．∅ B ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3．设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=A B C ． D ．10 4．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++的值是A ．2B ．4C ．8D ．165．下列说法错误的是 A ．设32:()21p f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，4:3q m ≥，则p 是q 的必要不充分条件； B ．若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>；C ．奇函数()f x 定义域为R ，且(1)()f x f x -=-，那么(8)0f =D ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”。
6．已知ABC ∆中，1AB =，2BC =，则角C 的取值范围是 A ．06C π<≤ B ．02C π<< C ．62C ππ<< D ．63C ππ<≤ 7．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则()4f π的值为A B ．0 C ．1 D 8．设函数21()ln(1)1f x x x =+-+，则使()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．1(,1)3 B ．1(,)(1,)3-∞-+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 9．已知函数()2sin()1,(0)6f x x πωω=+->在[0,]x π∈恰有3个零点，则实数ω取值范围为 A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．82,3⎡⎫⎪⎢⎭⎣ C ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5[,2)310．已知函数()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为A ．1007πB ．2014πC ．21007πD 11．已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为 A ．15 B ．25 C ．12 D ．112．已知函数1()x f x xe +=，关于x 的方程2()2sin ()cos 0f x f x αα+⋅+=有四个不等实根，则sin cos ααλ-≥恒成立，则实数λ的最大值为A ．75- B ．12- C ． D ．1-二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若211()2x a dx -=⎰，则a =________ 14．若43()5a =，33()5b =，33log 5c =，则,,a b c 的大小关系为____________（用“＜”表示） 15．在ABC ∆中，若三个内角A 、B 、C 满足：cos 2sin sin A B C =，则ABC ∆的形状为_______三角形。
重庆市沙坪坝区南开中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
重庆市沙坪坝区南开中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=（）A. {–1}B. {2}C. {–1，2}D. {1，2}【答案】C【解析】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．2.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．3.下列各组的两个函数为相等函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】A中，f(x)＝的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4.已知函数，且，则A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a；故选：B．5.函数的图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】函数y ，可得x，∵0，∴y，又x＝3时，y＝0，结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．6.已知函数是R上的奇函数，当时，，则（）A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．7.函数，的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵；∴，∴x＝t2﹣1，∴，∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0,但是取不到；∴f（x）的值域为：．故选：C．8.已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m．故选：B．9.已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需2a﹣1，解得：a，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．10.已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．11.已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分3类讨论①m＝0 时，对于任意x,g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x0 时，g（x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，对称轴为.当m＜0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m≥4.此时对称轴，所以只需，解得m≥4.综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．12.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】函数f（x），如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：f（x），只考虑a＞0，则0，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．【答案】【解析】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：．14.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，故函数f（x）．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．15.设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f（x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．16.已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝21，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝21，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．解：由集合，或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，，解得：，解得实数m的取值范围是．18.；设，化简：；若，求的值．解：原式；原式；若，则，，故．19.已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．解：由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为20.已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．解：（1）根据题意得到，若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，，，，综上可知，实数a的取值范围为．21.定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值；判断并证明函数在上的单调性；若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．（1）解：∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0．（2）证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，∴，∴，∴0＜k．22.已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（１）求使得等式F（x）=x2−2a x+4a−2成立的x的取值范围；（２）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.解：（１）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（２）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即．（ⅱ）当时，，当时，．所以，．。
2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
1 2 3 4 5 6 7 8 … 14 15 … 27
28
29
1 3 6 12 25
1638 3276
1342177 2684353 5368709
248
…
…
6 248 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
8
28
56
12
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示
2 的指数，第二行表示 2 的对应幂。
如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现。
，将函数 f（x）转化为二次函数 g（ t）在 t 上的
∵函数 f（ x）的定义域为（﹣∞， ]
设t
，则 t ，
且x
，
∴ f（ x）＝ g（t ） ∴ g（ t） ≤g（ 1）
t t2+t
2
（ t ﹣1） +1， t ，
即 g（ t） ≤１
∴函数 f（ x）的最大值 1，无最小值 .
故选 D.
【点睛】
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【点睛】
本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题
.
7．已知函数
，则函数 有（
）
A．最小值 ，无最大值 C．最小值 1，无最大值 【答案】 D
B．最大值 ，无最小值 D．最大值 1，无最小值
【解析】 利用换元法，设 t 值域，利用配方法求值域即可 . 【详解】
本题考查了换元法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，转化化归的思想方法，属
于中档题 .
8．已知函数
是增函数，则实数 a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【真题】18年重庆一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2017-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，把正确答案填写在括号内）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．{﹣1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}3．（5分）若复数z满足z（1+i）2=1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）过点（1，1），且在y轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x+y﹣3=06．（5分）已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2） C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）7．（5分）若x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．7 D．98．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日9．（5分）已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为y=g（x），则函数y=g （x）的图象（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴x=C．有一个对称中心D．有一条对称轴10．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，C=4，，sinC+sinA﹣4sinB=0，则cosA=（）A．B．C．D．二.填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上）13．（5分）已知向量，若，则m=．14．（5分）已知函数f（x）=x2+3x﹣2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为．15．（5分）对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，求a的取值范围．16．（5分）数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的前n项和s n=．三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n，求数列的前n项和T n．18．（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．19．（12分）已知直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且b=，求a+c的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+的图象与x轴相切．（1）求a的值；（2）求证：f（x）；（3）若1，求证：（b﹣1）log b x．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥4﹣|x+1|；（2）若不等式f（x）≤1的解集为，求mn的最小值．2017-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，把正确答案填写在括号内）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=故选：D．2．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．{﹣1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∴B={x|x＜0，或x＞3}；∴∁R B={x|0≤x≤3}；∴A∩（∁R B）={0，1，2，3}．故选：D．3．（5分）若复数z满足z（1+i）2=1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z（1+i）2=1﹣i，∴=，∴z在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．4．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立．∴α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）过点（1，1），且在y轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x+y﹣3=0【解答】解：设斜率为k，由点斜式可得：y﹣1=k（x﹣1），令x=0，可得y=1﹣k=3，解得k=﹣2．∴y﹣1=﹣2（x﹣1），化为：2x+y﹣3=0．故选：D．6．（5分）已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2） C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）【解答】解：设C（x，y），∵直角坐标系中点A（0，1），向量，∴=（﹣11，﹣7），∴，解得x=﹣11，y=﹣6．故C（﹣11，﹣6）．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．7 D．9【解答】解：设z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：A平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=截距最小，此时z最大，由得，即B（3，﹣1），此时z=2×3﹣3×（﹣1）=6+3=9，∴目标函数z=2x﹣3y最大值是9．故选：D．8．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日【解答】解：设此数列为等差数列{a n}，a1=5，a n=1，S n=90．∴=90，解得n=30．故选：C．9．（5分）已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为y=g（x），则函数y=g （x）的图象（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴x=C．有一个对称中心D．有一条对称轴【解答】解：∵函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x﹣）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应函数为y=g（x）=sin（2x+﹣）=sin（2x+），令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于点（，0）对称，故排除A；令x=，求得g（x）=1，故函数有一条对称轴x=，故B满足条件；令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于点（，0）对称，故排除C．令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于直线x=对称，故排除D，故选：B．10．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵当时，y=sinx单调递增，y=x也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，即函数的对称轴为x=，即f（x）=f（π﹣x）∴f（2）=f（π﹣2），f（3）=f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D．11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+22=8，则该三棱锥外接球的半径R=2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=32π，故选：A．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，C=4，，sinC+sinA﹣4sinB=0，则cosA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是BC的中点，∴，即=0，∴=（）=+=﹣6，又=（）•（）=（）=（b2﹣16），∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，∴a=4b﹣c=4，由余弦定理得cosA==．故选：C．二.填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上）13．（5分）已知向量，若，则m=6．【解答】解：根据题意，向量，若，则•=（﹣1）×m+2×3=0，解可得：m=6；故选：6．14．（5分）已知函数f（x）=x2+3x﹣2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为（0，）．【解答】解：函数f（x）=x2+3x﹣21nx的定义域为（0，+∞），又由f′（x）=2x+3﹣=，令f′（x）=0，解得：x=﹣2，或x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，），故答案为：（0，）．15．（5分）对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，求a的取值范围．【解答】解：任意x∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零即为a（x﹣2）+（x﹣2）2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立．由于x﹣2∈[﹣3，﹣1]，即有a＜2﹣x的最小值．由2﹣x∈[1，3]，则a＜1．故a的取值范围为（﹣∞，1）．16．（5分）数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的前n项和s n=．【解答】解：由，得，∴，即．又，，∴数列{}是以3为首项，以3为公差的等差数列，则，∴．则．故答案为：．三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴S1=2a1﹣2，∴a1=2，又S n=2a n﹣1﹣2（n≥2），﹣1两式相减得a n=2（a n﹣a n﹣1），即a n=2a n﹣1，a n=2n；（2）b n=log2a n=n，==﹣，T n=1﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．18．（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．【解答】解：（I）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，∴y=．…（4分）（II）设利润为Q，则Q=yx﹣15000=．…（6分）当1≤x≤35，且x∈N时，Q max=800×35﹣15000=13000，当35＜x≤60时，Q=﹣10x2+1150x﹣15000=﹣10（x﹣）2+，又∵x∈N，∴当x=57或x=58时，Q max=18060＞13000，答：当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润18060元．…（12分）19．（12分）已知直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且b=，求a+c的最大值．【解答】解：（1）直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴，则：f（）=，解得：m=，进一步求得：f（x）=2sin（2x﹣）．令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，则：，0＜B＜π，则：B=，且b=，∴由正弦定理得：a=2sinA，c=2sinC，a+c=2sinA+2sin（﹣A）=2，（0），所以：当A=时，a+c的最大值为2．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE=FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形所以，AF∥EQ，且EQ⊂平面PEC，AF⊄平面AEC所以，AF∥平面PEC（6分）（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．由条件易求，PE=，PC=2，EQ=故，=V P﹣AEC得，所以由V A﹣PEC解得（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx+的图象与x轴相切．（1）求a的值；（2）求证：f（x）；（3）若1，求证：（b﹣1）log b x．【解答】（1）解：f′（x）=﹣，设f（x）的图象与x轴相切于点（x0，0），则，即，解得a=x0=1，（2）证明：f（x）=lnx+﹣1，f（x）≤⇔lnx≤x﹣1，设h（x）=lnx﹣x+1，则h′（x）=﹣1，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x﹣1，（*）∴f（x）≤；（3）证明：设g（x）=（b﹣1）log b x﹣，g′（x ）=﹣x=，由g'（x ）=0，得x 0=，由（*）式可得，当x ＞1时，lnx ＜x ﹣1，即 ＞1；以代换x 可得ln ＜﹣1，有lnx ＞，即＜x ，∴当b ＞1时，有1＜x 0＜，当1＜x ＜x 0时，g'（x ）＞0，g （x ）单调递增； 当x 0＜x ＜时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减，又∵g （1）=g （）=0，∴g （x ）＞0，即（b ﹣1）log b x ＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l 的参数方程（t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点A ，B ，且|AB |=，求直线的倾斜角α的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ． ∵x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0，即（x ﹣2）2+y 2=4． （2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t 2﹣2tcosα﹣3=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=﹣3，∴|AB |==． ∴4cos 2α=2，解得cosα=±，可得直线l 的倾斜角α=或．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥4﹣|x+1|；（2）若不等式f（x）≤1的解集为，求mn的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣a|，当a=1，不等式为f（x）≥4﹣|x+1|⇔|x+1|+|x﹣1|≥4，去绝对值，解得：x≥2或x≤﹣2，原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（2）f（x）≤1的解集为[0，2]，⇔|x﹣a|≤1⇔a﹣1≤x≤a+1，∵f（x）≤1的解集为[0，2]，∴，∴，∴mn≥2，（当且仅当即m=2，n=1时取等号），∴mn的最小值为2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
重庆南开中学2018-2019学年上学期高一第一次月考数学试卷
南开中学2018-2019学年上学期高一第一次月考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·福州四中]设集合{|4},11M x x a =≥=，则下列关系中正确的是（ ） A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉2．[2018·洛阳联考]已知集合{}0,1,2A =，{}1,B m =，若B A ⊆，则实数m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或23．[2018·平罗中学]已知R U =，{|12}M x x =-≤≤，{|3}N x x =≤，则()U C M N =（ ）A ．{|123}x x x <-<≤或B ．{|23}x x <≤C ．{|123}x x x ≤-≤≤或D ．{|23}x x ≤≤4．[2018·大庆实验中学]若()22f x x x =-，则()()()1f f f =（ ） A ．１B ．2C ．3D ．４ 5．[2018·官渡一中]已知()f x 的定义域为[]2,2-，则函数()()121f xg x x -=+,则()g x 的定义域为（ ）A ．1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．()1,-+∞C ．()1,00,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭6．[2018·天水一中]函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-7．[2018·江南十校]若()43f x x =-，()()21g x f x -=，则()2g =（ ） A ．9B ．17C ．2D ．38．[2018·武威八中]若()()22 22xf x x f x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则3()f -的值为（ ）A ．2B ．8C ．12D ．189．[2018·襄阳四中]已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1233⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，10．[2018·临高二中]1y x x=-在[]1,2上的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．311．[2018·滁州中学]设,,a b c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++． 记集合(){|0,R}S x f x x ==∈，(){|0,R}T x g x x ==∈．若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．1S =且0T = B ．1S =且1T = C ．2S =且2T =D ．2S =且3T =12．[2018·广州期末]定义在R 的函数()f x ，已知()2y f x =+是奇函数，当2x >时，()f x 单调递增，若124x x +>且()()12220x x -⋅-<，且()()12f x f x +值（ ）．A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可正可负D ．可能为0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·北师附中]已知集合{|1} A x x =≤，{|} B x x a =≥，且R A B =，则实数a 的取值范围__________．14．[2018·宜昌一中]方程()210x p x q --+=的解集为A ，方程()210x q x p +-+=的解集为B ，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号已知{}2AB =-，则AB =_______________．15．[2018·青冈一中] ()21f x ax ax =+-在R 上满足()0f x <，则a 的取值范围________． 16．[2018·西城三五中]已知函数()f x 由下表给出：x 0 1234()f x0a 1a 2a 3a 4a其中()0,1,2,3,4k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中所出现的次数，则4a =_________；0123a a a a +++=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·西城三四中]已知全集R U =，集合{}|20 A x x a =+>，{}2|230 B x x x =-->．（1）当2a =时，求集合A B ；（2）若()C U A B =∅，求实数a 的取值范围．18．（12分）[2018·汉台中学]已知函数()112f x x x=++-的定义域为A ，()21g x x =+的值域为B ．（1）求A ，B ；（2）设全集R U =，求()C U A B19．（12分）[2018·邢台二中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．（1）已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的增区间；（2）写出函数()f x 的解析式和值域．20．（12分）[2018·北京三九中]已知函数()1f x x x=-． （1）求函数()f x 的定义域．（2）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由．（3）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用定义加以证明．21．（12分）[2018·广州二中]某种商品在30天内每克的销售价格P （元）与时间t 的函数图像是如图所示的两条线段AB ，CD （不包含A ，B 两点）；该商品在30天内日销售量Q （克）与时间t （天）之间的函数关系如下表所示．第t 天 5 15 20 30销售量Q 克35252010（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格P （元）与时间的函数关系式； （2）根据表中数据写出一个反映日销售量Q 随时间t 变化的函数关系式； （3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值． （注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）22．（12分）[2018·西城一六一中]已知R a ∈，函数()f x x x a =-．（1）当2a >时，求函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值．（2）设0a ≠，函数()y f x =在(),m n 上既有最大值又有最小值，分别求出m ，n 的取值范围 （用a 表示）．数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】411,a M >∴∉，故选B ． 2．【答案】C【解析】当0m =时，{}1,0B =，满足B A ⊆；当2m =时，{}1,2B =，满足B A ⊆； 所以0m =或2m =，所以实数m 的值是0或2，故选C ． 3．【答案】A【解析】由题意得C {|12}U M x x x =<->或，()C {|123}U M N x x x =<-<≤或，故选A ．4．【答案】C【解析】由()22f x x x =-，可得()1121f =-=-；所以()()()11123f f f =-=+=；()()()()13963f f f f ==-=，故选C ． 5．【答案】A【解析】212 210x x -≤-≤>⎧⎨⎩+，则132x -<≤，即定义域为1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选A ． 6．【答案】D 【解析】()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，∵03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，∵1-距离对称轴远， ∴当3x =时，max 3y =，∴13y -≤≤，故选D ．7．【答案】D【解析】()43f x x =-，()()2143g x f x x -==-，令21t x =-，则12t x +=所以()143212t g t t +=⨯-=-，则()22213g =⨯-=，故选D ．8．【答案】D【解析】由题得()()()311()3f f f f =-==-=3311228-==，故选D ． 9．【答案】B【解析】由函数()f x 为偶函数可知，原不等式等价于()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∵函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，∴2101213x x ⎧-><⎪⎨⎪⎩-，解得1223x <<，∴原不等式的解集为12,23⎛⎫⎪⎝⎭，选B ．10．【答案】B【解析】可证得函数1y x x=-在[]1,2上单调递增， 所以当1x =时，函数有最小值，且最小值为min 110y =-=，选B ． 11．【答案】D【解析】若0a =，则()2{|0}S x x x bx c =++=，2{|10}T x cx bx =++=，当2T =时，3S =，当1T =时，2S =，若0T =，则1S =；当0a ≠时，若3T =，则3S =，若2T =，则2S =或3，若1T =，则1S =或2． 只有D 不可能．故选D ． 12．【答案】A【解析】由()2y f x =+是奇函数，所以()y f x =图像关于点()2,0对称， 当2x >时，()f x 单调递增，所以当2x <时单调递增，由()()12220x x -⋅-<， 可得12x <，22x >，由124x x +>可知1222x x ->-，结合函数对称性可知()()120f x f x +>．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】(],1-∞ 【解析】用数轴表示集合A ，B ，若R A B =，则1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞．故答案为(],1-∞． 14．【答案】{}2,1,1-- 【解析】由{}2AB =-，将2x =-代入得4220 4220p q q p +-+=-++⎧⎨⎩=解得22p q =-=⎧⎨⎩则方程()210x p x q --+=可以化简为2320x x ++=，11x =-，22x =- 方程()210x q x p +-+=可以化简为220x x +-=，11x =，22x =-，所以{}2,1,1A B =--15．【答案】(]4,0-【解析】当0a =时，10f x =-<（）成立；当0a ≠时，f x （）为二次函数， ∵在R 上满足0f x <（），∴二次函数的图象开口向下，且与x 轴没有交点， 即0a <，240a a ∆=+<，解得：40a -<<， 综上，a 的取值范围是40a -<≤．故答案为(]4,0-． 16．【答案】0，4【解析】（1）因为()0,1,2,3,4k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中k 所出现的次数 所以{}0,1,2,3,4k a ∈，且01234a a a a +++=，若01a =，则11a ≠． 当1232,1,0a a a ===时，满足条件，此时40a = 当1233,0,0a a a ===时，不满足条件 若02a =，则20a ≠． 当121,1a a ==时，不满足条件当2132,0a a a ===时，满足条件，此时40a = 若03a =，则311a a ==，不满足条件． 综上所述，40a =．（2）由（1）可知，40a =，且01234a a a a +++=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）{}3x x |>；（2）(],6-∞-．【解析】由20x a +>得2a x >-，即2a A x x ⎧⎫=|>-⎨⎬⎩⎭．由2230x x -->得()()130x x +->，解得1x <-或3x >，即{}|13B x x x =<->或． （1）当2a =时，{}1A x x =|>-．{}3A B x x ∴=|>．（2）{}|13B x x x =<->或，{}C |13U B x x ∴=-≤≤．又()C u AB =∅，32a∴-≥，解得6a ≤-．∴实数a 的取值范围是(],6-∞-．18．【答案】（1）{|12}A x x =-≤<，{|1}B y y =≥（2）()C {|11}U AB x x =-≤<．【解析】（1）由()112f x x x =++-得：1020x x +≥->⎧⎨⎩，解得12x -≤<．()211g x x =+≥，{|12}A x x =-≤<，{|1}B y y =≥（2）C {|1}U B y y =<，()C {|11}U AB x x =-≤<．19．【答案】（1）()1,0-，()1,+∞；（2）见解析【解析】（1）根据偶函数图像关于y 轴对称补出完整函数图像(如图)，()f x 的递增区间是()1,0-，()1,+∞；（2）解析式为()222020x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，值域为}{1y y |≥-．20．【答案】（1）()(),00,-∞+∞；（2）奇函数；（3）单调递增．【解析】（1）由题意得0x ≠，∴函数()f x 定义域为()(),00,-∞+∞．（2）函数的定义域关于原点对称， ∵()()()111f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭，∴函数()f x 是奇函数．（3）函数()f x 在()0,+∞上为增函数．证明如下：设120x x >>， 则()()()2112121212121212121110x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---=---=--=+> ⎪⋅⎝⎭． ∵120x x >>，∴1212120,0,10x x x x x x ->⋅>+>，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，∴()f x 在()0,+∞上单调递增． 21．【答案】（1）20025,1002530t t P t t +<<⎧=⎨-+≤≤⎩（2）40(030)Q t t =-+<≤（3）日销售金额最大值为1125元,此时t 为25．【解析】（1）由图可知()0,20A ，()25,45B ，()25,75C ，()30,70D ， 设AB 所在的直线方程为20P kt =+，把()25,45B 代入20P kt =+得1k =． 所以:20AB l P t =+．由两点式得CD 所在的直线方程为()757075252530P t --=--．整理得，100P t =-+，2530t ≤≤，所以20025,1002530t t P t t +<<⎧=⎨-+≤≤⎩．（2）设1Q k t b =+，把两点()5,35，()15,25的坐标代入得11535 1525k b k b =+=⎧⎨⎩+，解得1140k b =-=⎧⎨⎩ 所以40Q t =-+，把点20,20（），30,10（）代入40Q t =-+也适合，即对应的四点都在同一条直线上，所以40(030)Q t t =-+<≤．（3）设日销售金额为y ，依题意得，当025t <<时，()()2040y t t =+-+， 配方整理得()210900y t =--+所以当10t =时，y 在区间()0,25上的最大值为900当2530t ≤≤时，()()10040y t t =-+-+，配方整理得()270900y t =--， 所以当25t =时，y 在区间[]25,30上的最大值为1125． 综上可知日销售金额最大值为1125元，此时t 为25． 22．【答案】（1）()min 242313a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩； （2）0a >时，130,22a m a n a +≤<<≤，0a <时，122a m a +≤<，02a n <≤． 【解析】（1）当2a >时，[]1,2x ∈，x a <，∴()()2f x x x a x a x x ax =⋅-=⋅-=-+，()2224a a f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∵()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减．①322a<时，即3a >，()()min 11f x f a ==-+． ②322a≥时，即23a <≤，()()min 242f x f a ==-+， ∴()min 242313a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩ （2）0a ≠，()()() x x a x af x x a x x a⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩①当0a >时，()f x 的图象如图1所示，()f x 在(),a -∞上的最大值为224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()24ay y x x a ⎧⎪⎨=-⎪⎩=，计算得出122x a += 因为()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，∴02a m ≤<，122a n a +<≤②当0a <时，如图2所示，()f x 在()a +∞上的最小值为224a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由()24ay y x a x ⎧⎪⎨-=-⎪⎩=，计算得出122x a +=． 因为()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，故有122a m a +≤<，02a n <<．。
2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知幂函数的图像经过点，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由待定系数法可得f(x)的解析式，由此能求出．【详解】∵幂函数y＝f（x）＝x a的图象经过点（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴y＝x2，∴＝2＝2．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．2．函数的图像经过定点（）A．(3, 1) B．(2, 0) C．(2, 2) D．(3, 0)【答案】A【解析】由对数函数的性质可知，当真数为1时，对数式的值为0，故令真数x-2＝1可求y,可得定点【详解】由对数函数的性质可知，当x-2＝1时，y＝1即函数恒过定点（3，1）故选：A．【点睛】本题考查了对数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令真数为1解得定点的坐标．属于基础题．3．已知集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】D【解析】化简集合A，根据补集的定义计算即可．【详解】集合＝{y|0<y<2}＝（0，2），则∁R A＝（﹣∞，0]，故选D.【点睛】本题考查了补集的运算与指数函数的值域问题，属于基础题．4．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴，要求f（x）在上具有单调性，列出不等式，从而求出k的范围；【详解】∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x，∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x，解得k≥40；∴k∈ [40，+∞），故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及其性质的应用，属于基础题．5．命题“，使”的否定是（）A．，使B．，使C．，使D．，使【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,故选C.【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.6．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）。
重庆南开中学高2018级高一(上)期末数学考试及答案
重庆南开中学高2018级高一（上）期末考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1、已知集合{}{}24,log 02x A x B x x =≤=>，则A B =（ ）A 、[]1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,12、“6πα=”是“1sin 2α=”的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要3、已知一个扇形的周长为10cm ，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（ ）cm 2 A 、25B 、5C 、254D 、2524、已知函数()1254x f x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（ ） A 、()0,1B 、()1,2C 、()2,3D 、()3,45、函数()()2lg 6f x x x =-++的单调递减区间为（ ） A 、1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D 、1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6、将函数y ＝sin x 的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图像C 1，再将图像C 1向右平移3π个单位得到的图像C 2，则图像C 2所对应的函数的解析式为（ ） A 、1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B 、1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 、sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 、2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7、若()ln 11ln ,1,ln ,,2x x x e a x b c e ⎛⎫-∈=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A 、c b a >>B 、b c a >>C 、a b c >>D 、b a c >>8、已知()0,απ∈且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ） A、10B、10C、10D、10-9、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x +4）＝f （x ）恒成立，且f （1）＝1，则f （2016）+f （2017）+f （2018）的值为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、310、化简tan20°+4sin20°的结果为（ ） A 、1B 、12CD11、如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C位于第一象限，AOC α∠=。
重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学试题及答案
重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、下列说法正确的是（ ）A 、1N -∈B 、QC 、R π∉D 、Z ∅⊆2、已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,2A B x R x ==∈≥，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）A 、{}1B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,1,23、给定映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下()3,1的原像为（ ）A 、()1,3B 、()3,1C 、()1,1D 、()5,5 4、“2x y +>”是“11x y >>且”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件5、已知函数y =） A 、(,1⎤⎦-∞B 、(,2⎤⎦-∞C 、()(,22,1⎤⎦-∞--D 、)()1,22,⎡⎣+∞6、已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）A 、()32f x x =-B 、()23f x x =-C 、()32f x x =-D 、()3f x x =7、已知()1y f x =+是R 上的偶函数，且()21f =，则()0f =（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、28、函数y ）A 、(),1-∞B 、()2,1-C 、()1,4D 、()1,+∞ 9、已知奇函数()f x 在()0,+∞上的图象如图所示，则不等式()01f x x <-的解集为（ ） A 、()()()3,10,11,3--B 、()()()3,10,13,--+∞C 、()()(),31,03,-∞--+∞D 、()()(),31,00,1-∞--10、已知函数()()()22,20f x x x g x ax a =-=+>，若对任意1x R ∈，都存在)22,x ⎡⎣∈-+∞，使得()()12f x g x >，则实数a 的取值范围是（ ）A 、3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞B 、()0,+∞C 、30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11、已知集合{}{}22230,0,,,,0A x x x B x ax bx c a b c R ac =-->=++≤∈≠，若(3,4A B ⎤⎦= ，A B R = ，则22b a a c +的最小值是（ ）A 、3B 、32C 、1D 、3412、设集合{}16,A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{}1,2,5的“交替和”是5214-+=，{}6,3的“交替和”就是633-=，{}3的“交替和”就是3）。
重庆一中2018届高三上学期期中数学试卷理科 含解析
2018-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π2．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．5 B．C．4D．3．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）A．1 B．C．D．24．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．7．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3]D．λ=38．若函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（）A．[1，）B．（﹣，）C．（﹣，﹣1]D．[﹣1，1]9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．1510．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1））=（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A．[1，2）B．[，+∞）C．（1，]D．[1，+∞）12．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=．15．设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+的取值范围为．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．已知等比数列{a n}单调递增，记数列{a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n﹣2n，求数列{b n}的前n项之和T n．18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年在[30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，设E为CD中点（1）求证：D1E⊥平面BEC1（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=ln（ax+）+．（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．2018-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数f （x ）=sinxcosx 的最小正周期为（ ） A ．3π B ．π C ．2π D ．4π【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法． 【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，函数f （x ）=sinxcosx=sin2x∴故选B ．2．已知向量=（1，2），=（x ，﹣2），且⊥，则|+|=（ ）A ．5B ．C ．4D ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x 的值，再求模长．【解答】解：向量=（1，2），=（x ，﹣2），且⊥，∴x +2×（﹣2）=0， 解得x=4；∴+=（5，0），∴|+|=5． 故选：A ．3．已知x ，y 均为非负实数，且满足，则z=x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】简单线性规划．【分析】由已知画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式方程，利用其在y 在轴的截距最大求z 的最大值．【解答】解：由已知得到可行域如图：则z=x +2y 变形为y=﹣x ，当此直线经过图中的C 时，在y 轴的截距最大， 且c （0，1），所以z 的最大值为0+2×1=2； 故选D ．4．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果．【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：B．5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=g（x）=2sin（4x+），再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x）=2sin（4x+）．令4x+=kπ+，k∈Z，可解得函数对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，当k=0时，x=是函数的一条对称轴．故选：D．6．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由偶函数的定义可得f（﹣x）=f（x），可得a=1，求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．【解答】解：函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），即e﹣x+ae x=e x+ae﹣x，即（e x﹣e﹣x）（a﹣1）=0，可得a=1，即f（x）=e x+e﹣x，导数为f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（m，n），则e m﹣e﹣m=，解得m=ln2，故选：A．7．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3]D．λ=3【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x∈[，2]时，2x+的最值，可得实数λ的取值范围．【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，由x∈[，2]，当x=时，函数取最小值2，故实数λ的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A8．若函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（）A．[1，）B．（﹣，）C．（﹣，﹣1]D．[﹣1，1]【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，转化为直线y=x﹣λ与y=有2个交点，画出图象判断即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x+λ在[﹣1，1]上有两个不同的零点，∴直线y=x﹣λ与y=有2个交点，即1∴λ≤﹣1故选：C9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，•=9，即||•||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||•||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=16，∴|PF1|•|PF2|=15，故选：D．10．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1））=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】化简可得f（x）+f（﹣x）=+++=3，从而求得．【解答】解：∵f（x）=+，∴f（﹣x）=+=+，∴f（x）+f（﹣x）=+++=3，∵log a（+1）=﹣log a（﹣1），∴f（log a（+1））+f（log a（﹣1））=3，∴f（log a（﹣1））=2，故选：B．11．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A．[1，2）B．[，+∞）C．（1，]D．[1，+∞）【考点】三角函数的最值．【分析】化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，]；把f（x）化为f（t），利用导数判断单调性，求出它的最值，即可得出f（x）的值域．【解答】解：x∈（0，）时，函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx=+===；令sinx +cosx=t ，则t=sin （x +），sinxcosx=；∵x ∈（0，），∴sin （x +）∈（，1]，t ∈（1，]；∴f （x ）可化为f （t ）==，∴f ′（t ）=＜0，∴t ∈（1，]时，函数f （t ）是单调减函数；当t=时，函数f （t ）取得最小值f （）==，且无最大值；∴函数f （x ）的值域是[，+∞）．故选：B ．12．设A ，B 在圆x 2+y 2=1上运动，且|AB |=，点P 在直线3x +4y ﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB 的中点为D ，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|+|取得最小值，此时OP ⊥直线3x +4y ﹣12=0，OP ⊥AB ． 【解答】解：设AB 的中点为D ，则由题意， +=+++=2+2=2，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|+|取得最小值，此时OP ⊥直线3x +4y ﹣12=0，OP ⊥AB ，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴|+|的最小值为2（﹣）=．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，利用二倍角公式求得tan2α的值，再利用两角和差的正切公式求得tan（2α+）的值．【解答】解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，则tan（2α+）==﹣，故答案为：﹣．15．设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+的取值范围为．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足x+y=1，可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，﹣2xy+=﹣2+，即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足x+y=1，∴1，可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，∵﹣2xy+=﹣2+∈．故x2+y2+的取值范围为．故答案为：．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为+．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sinBsinC的值，结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc=1，∴cosA===，∴A=，∴B+C=，即cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣；又cosBcosC=﹣，∴sinBsinC=cosBcosC+=﹣+=，∴bc=4R2sinBsinC=4R2×=1，解得R=，其中R为△ABC的外接圆的半径；∴a=2RsinA=2××sin=，∴b2+c2﹣2=1，解得b2+c2=3，∴（b+c）2=b2+c2+2bc=3+2×1=5，∴b+c=，∴△ABC的周长为a+b+c=+．故答案为： +．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．已知等比数列{a n}单调递增，记数列{a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n﹣2n，求数列{b n}的前n项之和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1，由a2=6，S3=26．可得a1q=6，=26，解得a1，q，再利用单调性夹角得出．（2）b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a2=6，S3=26．∴a1q=6，=26，解得a1=18，q=，或a1=2，q=3．当a1=18，q=，等比数列{a n}单调递减，舍去．∴a1=2，q=3．∴a n=2×3n﹣1．（2）b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，∴数列{b n}的前n项之和T n=﹣2×=3n﹣1﹣n2﹣n．18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年在[30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a﹣b=b﹣0.015，联立解出即可得出．（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4．由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人．随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．再利用“超几分布列”的概率计算公式及其数学期望即可得出．【解答】解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a﹣b=b﹣0.015联立解出a=0.185，b=0.185（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4，由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人，随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．；；数学期望19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，设E为CD中点（1）求证：D1E⊥平面BEC1（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BE⊥D1E，D1E⊥C1E，由此能证明D1E⊥平面BEC1．（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC，以DC，DG，DD1为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．【解答】证明：（1）由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角，BE⊥CD所以BE⊥平面CDD1C1，而D1E⊆平面CDD1C1，故BE⊥D1E因为△C1D1E的三边长分别为，故△C1D1E为等腰直角三角形所以D1E⊥C1E，结合D1E⊥BE知：D1E⊥平面BEC1解：（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC以DC，DG，DD1为坐标轴，建立如图所示的坐标系此时，，设由上面的讨论知平面BEC1的法向量为由于AF⊄平面BEC1，故AF∥平面BEC1故（λ+1，0，1）•（1，0，﹣1）=（λ+1）﹣1=0⇒λ=0，故设平面ADF的法向量为，由知，取，故设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，则即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：e=知，即a=c，由b==c，设，其中λ＞0，将代入，即可求得λ的值，求得椭圆C的标准方程；（2）由题意可知=，即（x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2），由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，故有：，整理可得：x1x2+2y1y2=﹣2，设直线l方为x=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理可知代入：，解得，即可求得故直线l的斜率为．【解答】解：（1）由椭圆C： +=1（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，由e=知，即a=c，由b==c，可设，其中λ＞0由已知，代入椭圆中得：，即，解得，从而，故椭圆方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），=（x1，y1），=（x0﹣x2，y0﹣y2），由=，∴（x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2）从而，由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，故有：第三个式子变形为：，将第一，二个式子带入得：x1x2+2y1y2=﹣2（*）分析知直线l的斜率不为零，故可设直线l方为x=my+2，，整理得：（m2+2）y2+4my﹣4=0，由韦达定理，将（*）变形为：（my1+2）（my2+2）+2y1y2=﹣2，即（m2+2）y1y2+2m（y1+y2）+6=0，将韦达定理带入上式得：，解得，∵直线的斜率，故直线l的斜率为．21．已知函数f（x）=ln（ax+）+．（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先对f（x）求导，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；利用分离参数法求出a的范围；（2）利用反证法假设a存在，则f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞；利用导数判断出函数f（x）min=1时，可求出参数a的值；【解答】解：（1）对f（x）求导：f'（x）=﹣；∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；即：≥；∵a＞0，x＞0；∴⇒≤x2+；故x2+在x＞0上最小值为；所以：≤；解得：a≥2．（2）假设存在这样的实数a，则f（x）≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+）+≥1；⇒ln（a+）≥＞0=ln1，解得a＞；从而这样的实数a必须为正实数，当a≥2时，由上面的讨论知f（x）在（0，+∞）上递增．f（x）＞f（0）=2﹣ln2＞1，此时不合题意，故这样的a必须满足0＜a＜2；此时：f'（x）＞0得f（x）的增区间为（）；令f'（x）＜0得f（x）的减区间为（0，）；故f（x）min=f（）=ln（a•+）+=1；整理即：ln（）﹣=0；⇒ln（）﹣=0；设t=∈（，1]；则上式即为lnt﹣=0，构造g（t）=lnt﹣，则等价于g（t）=0；由于y=lnt为增函数，y=为减函数，故g（t）为增函数；观察知g（1）=0，故g（t）=0等价于t=1，与之对应的a=1，综上符合条件的实数a是存在的，即a=1．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）把参数方程中的x，y平方相加即可得普通方程；（2）把直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），x，y平方相加可得：x2+y2=2，①（2）直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，②由②得：y=x+1，③把③带入①得：2x2+2x﹣1=0，∴，∴|AB|=|x1﹣x2|===[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【分析】（1）去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1|⇔16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1⇔12x2﹣12x≤0，解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]．（2）f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．故f（a2）+f（b2）的最小值为2．2018年12月21日。
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重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、下列说法正确的是（ ）A 、1N -∈B 、QC 、R π∉D 、Z ∅⊆2、已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,2A B x R x ==∈≥，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）A 、{}1B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,1,23、给定映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下()3,1的原像为（ ）A 、()1,3B 、()3,1C 、()1,1D 、()5,5 4、“2x y +>”是“11x y >>且”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件5、已知函数y =） A 、(,1⎤⎦-∞B 、(,2⎤⎦-∞C 、()(,22,1⎤⎦-∞--D 、)()1,22,⎡⎣+∞6、已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）A 、()32f x x =-B 、()23f x x =-C 、()32f x x =-D 、()3f x x =7、已知()1y f x =+是R 上的偶函数，且()21f =，则()0f =（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、28、函数y ）A 、(),1-∞B 、()2,1-C 、()1,4D 、()1,+∞ 9、已知奇函数()f x 在()0,+∞上的图象如图所示，则不等式()01f x x <-的解集为（ ） A 、()()()3,10,11,3--B 、()()()3,10,13,--+∞ C 、()()(),31,03,-∞--+∞ D 、()()(),31,00,1-∞--10、已知函数()()()22,20f x x x g x ax a =-=+>，若对任意1x R ∈，都存在)22,x ⎡⎣∈-+∞，使得()()12f x g x >，则实数a 的取值范围是（ ）A 、3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞B 、()0,+∞C 、30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11、已知集合{}{}22230,0,,,,0A x x x B x ax bx c a b c R ac =-->=++≤∈≠，若(3,4A B ⎤⎦=，A B R =，则22b a a c +的最小值是（ ）A 、3B 、32C 、1D 、3412、设集合{}16,A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{}1,2,5的“交替和”是5214-+=，{}6,3的“交替和”就是633-=，{}3的“交替和”就是3）。
则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ）A 、128B 、192C 、224D 、256第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13、设函数()()()()2,20155,2015x x f x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩+≤=->，则()2018f = 。
14、计算：134-= 。
15、函数()2f x x =的值域为 。
16、若函数()241x x f x a x++=-的图象与x 轴恰有四个不同的交点，则实数a 的取值范围为 。
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17、（10分）已知集合30x A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-=>，集合{}213B x x =-<。
（I ）分别求集合A 、B ；（II ）求()R C A B 。
18、（12分）已知函数()f x 的定义域为()0,4，函数()1f xg x +=A ，集合{}21B x a x a =<<-，若A B B =，求实数a 的取值范围。
19、（12分）已知函数()231x f x x +=+。
（I ）求函数()f x 在区间0,2⎡⎤⎣⎦上的最值；（II ）若关于x 的方程()()10x f x ax +-=在区间()1,4内有两个不等实根，求实数a 的取值范围。
20、（12分）已知二次函数()f x 的图象过点()0,4，对任意x 满足()()3f x f x -=，且有最小值74。
（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()23h x f x t x =--在0,1⎡⎤⎣⎦上的最小值()g t 。
21、（12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =-。
（I ）判断()f x 的奇偶性；（II ）求()f x 在区间2,2⎡⎤⎣⎦-上的最大值；（III ）若0a ≥，解关于x 的不等式f （ax 2）-2f （x ）＜f （ax ）+4．。
22、（12分）对于函数()y f x =与常数,a b ，若()()2f x a f x b =+恒成立，则称(),a b 为函数()f x 的一个“P 数对”；设函数()f x 的定义域为R +，且()13f =。
（I ）若(),a b 是()f x 的一个“P 数对”，且()()26,49f f ==，求常数,a b 的值；（II ）若()2,0-(),a b 是()f x 的一个“P 数对”，且当)1,2x ⎡⎣∈时()23f x k x =--，求k 的值及()23f x k x =--在区间)()*1,2n n N ⎡⎣∈上的最大值与最小值。
重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数学试题答案1、N是自然数集，也叫非负整数集，例如：0、1、2、3......N+(或N*）是正整数集，例如：1、2、3......Z是全体整数集合，例如：-2、-1、0、1、2......Q是有理数集，R是实数集选D2、D3、解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x-y），映射f下的对应元素为（3，1），∴x+2y=3，2x-y=1∴x=y=1．∴（3，1）原来的元素为（1，1）．故答案为：（1，1）．选C4、B5、C6、C7、C解：∵函数y=f（x+1）是偶函数，∴设g（x）=f（x+1）则g（-x）=f（-x+1）=f（x+1），设x＝1，则f（-1+1）＝f（1+1）即f（0）＝f（2）＝1故答案为：1 选C8、解：由-x2+2x+8≥0，得x2-2x-8≤0，解得-2≤x≤4．所以原函数的定义域为{x|-2≤x≤4}．令t=-x2+2x+8，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝−22(1)⨯-＝1．所以当x∈[-2，1]时，函数228y x x=-++为增函数，故答案为[-2，-1]．选B9、解（1）10()0xf x->⎧⎨<⎩，即图像满足的是：13x<<（2）10()0xf x-<⎧⎨>⎩，即图像满足的是01x<<由于函数是奇函数，它关于原点对称，则有：3x<-和10x-<<所以，函数不等式()1f xx<-的解集为：()()(),31,00,1-∞--，选D10、已知函数f（x）＝x2-2x，g（x）＝ax+2（a﹥0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[-2，+∞]，使得f（x1）﹥g（x2），则实数a的取值范围是（）11、16、若函数f （x ）＝|（x2+4x+1）/x|-a 的图象与x 轴恰有四个不同的交点，则实数a 的取值范围为 。
17、解（1）：30x x-> 03x ⇔<<， 则集合A ＝{}03x x <<∣213x -< 2132(21)31x x x x -<<⎧⎧⇔⇔⎨⎨--<>-⎩⎩ 12x ⇔-<< 则集合B ＝{}2x x <<∣-1（2）∴A={}03x x <<∣∴C R A={x |x ≤0或x ≥3}，则()R C A B ＝{}0x x <∣-1≤18、解：要使g （x ）有意义，则：0141x x <+<⎧⎨>⎩； ∴1＜x ＜3；∴A={x|1＜x ＜3}；∵A∩B=B ；∴B ⊆A ；①若B=∅，满足B ⊆A ，则a≥2a -1；∴a≤1；②若B≠∅，则：121321aaa a⎧⎪-⎨⎪<-⎩≥≤；∴1＜a≤2；∴a≤2；∴实数a的取值范围为（-∞，2]．21、解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为R，令x=y=0得，f（0+0）=f（0）+f（0），解得，f（0）=0，令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），故f（x）是R上的奇函数；（Ⅱ）任取x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，当n为不小于3的奇数时，f（x）在[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为-2n；当n为不小于2的偶数时，f（x）在[1，2n）上的最大值为2n，最小值为-2n+1．…13分．。