第3章解题指导(理论力学金尚年第二版)

2
2
c u4 u2 c1 4h2 2 2
（4）
du
d
2au
u2 1 4a 2
u
du
u2
1 4a 2
2ad
或
d(1)
r
2ad
1 (1)2 ( 1 )2
r r 2a
du
2ad
u u2 1 4a 2
d(1)
r
2ad
1 (1)2 ( 1 )2
r r 2a
积分上式并代入初始条件： 0 时 r 2a ，
du d
du
d
d
du
（2）
式中： du
d
（3）
将（2）代入（1）式得：
d
c ( h2
u3
u)du
积分得： 2
c
u4 u2 c1
2 4h2
22
（4）
2 c u4 u2 c1
2 4h2
22
（4）
由初始条件：t=0时，r0 2a, 0
沿垂直于极 轴方向抛出
u0
1 2a
,
0 0
r dr dr du d dt du d dt
r k h r k 2 h2
r2
r3
故质点所受的中心力为:
F (r) m(r r2 )
m(k 2
h2 r3
r
h2 r4
)
ma 2 r3
例2. 设α粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度
等距）离0 射）向来。一。 设个重M质核>量> 与为m，矢M，重量电核荷可0 为的近Z垂似e的直看重距成原离是子为静核d止（（的称金。为、试瞄铂求准
r α粒子与重核的最近距离 s 。
解： 如图所示，α粒子运动中
受重核静电斥力作用下其速度
随时间改变,到达A点时与重核
距 （离对最力近 心（O）rs）守。恒根据角动量
m
d
rs
rs
s
r0
0
M
或 rs s d 0 （1）
rs s d 0
由机械能守恒，有:
（1）
1 2
m
2 s
k
2Ze2 rs
1 2
可得轨道方程：
r 2acos （7）
（7）式为半径为a的圆，力心 在圆周上，如图所示。
（2）求运动方程
根据角动量守恒 L mr 2，有:
r 2 L h （8）
m
c 8a 2 h2（6）
r 2acos （7）
由（6）、（7）、（8）三式，可得:
4a2 cos2
c / 8a2
cos2 d
1 8a 3
r
d d r 2
r a2 h2 dr dr h
r
d d r 2
即
dr a 2 h2 d
r
h
（3）
设θ=0时，r r0，积分（3）式，得质点轨迹方程：
r r0e
a2 h2
h
r0e k
（4）
其中 k a2 h2 ,可见质点的轨迹为对数螺线。
h
r
kr0e k
k
hHale Waihona Puke Baidur
h
r2
r k h r
子核半径的测量值在数量级上相符。
本例是著名的α粒子散射实验的原理。1911年， 卢瑟福（Rutherford）在研究α粒子散射实验基础上， 提出了原子的有核模型，为原子结构和原子核的研 究奠定了基础。
例3 质点所受的中心力为F mc/ r 5 ,若质点在
ro=2a，θ=0处以速率 o c 2 4a2 沿垂直于极轴
二、碰撞问题的计算
通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用 势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运 动的速度大小与方向）和散射情况（散射分布）
基本解法：
①分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；
②碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定 理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；
③在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或 质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理 （因碰撞力的功很难计算）
（2）例题
例1. 一质点在中心势场中运动，力的大小为F=F(r), 质点的速率为 a (a 0) ，求质点的轨道方程及所 受的中心力。 r
解：取图所示的极坐标，根据角动量守恒
mr 2 mh
由 a ，有:
r
h
r2
2
r2 r 22
a2 r2
（2）
由（1）和（2）式得:
r a2 h2 dr dr h
方向抛出。求质点的运动轨道及运动规律。
解：（1）求运动轨道
将 F mc / r 5 mcu5
代入比耐公式: u2 ( d 2u u) m F (u)
d 2
L2
令：L mh
d 2u
d 2
u
c h2
u3
（1）
d 2u
d 2
u
c h2
u3
（1）
d 2u
d 2
d
d
( du )
d
d ( du )
m02
r （为何不考虑初始位置
静电势能 k 2Ze2 ？）
0 处的
r0
由（1）、（2）式，得:
rs2
4k
Ze 2
m
2 0
rs
d2
0
（2）
m
d
rs
M
rs
2k Ze2
m02
[1
1
(
m02d
2k Ze2
)
2
]
（舍去负根）
rs
2k Ze2
m02
[1
1 ( m02d )2 ]
2k Ze2
代入实验数据可算出 rs 1015 m ，与后来对原
第三章 两体问题
解题指导
一、本章习题的类型和基本解法 常见的习题类型有两种：
1、粒子在中心势场V=V(r)中运动问题的计算 通常给定中心势（一般为 V a ），求轨
道方程及其形状、轨道稳定条件、粒子r运动情况以 及其他有关的物理量。
基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机 械能守恒定律即可求得所要求的量。
c dt 2
积分上式并代入初始条件： t 0 时 0
可得质点的运动规律： 1 sin 2
2
ct 2 4a3
而 r0 0
dr 0 du
d 0
dt
0
du
( d )0
0
可定出：
c1
1 4a 2
c 2h2
( 1 )4 2a
（5）
由初速度 0 c 2 4a2 ，可知：
m0 2a L mh c 8a2h2 （6）
c1
1 4a 2
c 2h2
( 1 )4 2a
（5）
由（5）、（6）式可得 c1 0 代回（4）式，得：