南京大学801高等代数历年考研试题
(完整)南京师范大学考研高等代数2008——2011

2008年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数一、判断题(共60分,每小题6分;若正确,打钩并给出证明,若错误,打叉并给出反例或说明理由)1.对多项式18+x 来说,不存在素数p 满足艾森斯坦()Eisenstein 判别法的条件,故18+x 不是有理数域上的不可约多项式。
2.若数域P 上的多项式)(x f 在复数域上有重根,则在P 上一定有重因式。
3.设向量组(I )的秩大于向量组(II )的秩,则(I )不能由(II )线性表出。
4.设B A ,都是n 阶方阵,A 是对角矩阵,BA AB =,则B 也是对角矩阵。
5.设B A ,都是半正定矩阵,则AB 的特征值大于或等于0。
6.设),2,1(s i V i =是n 维线性空间V 的子空间,n s <≤2,若{}0=j i V V()j i ≠,则s V V V +++ 21是直和。
7.实矩阵n m R A ⨯∈的秩为n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵C B ,,有AC AB =可推得C B =。
8.设b a ,属于数域P ,[]{}{}0))((,)()( n x f x P x f x f V <∂∈=,则V 是一个线性空间,并且)()(:b ax f x f +→ϕ是V 上的一个线性变换。
9.)(λλA 矩阵-是可逆的当且仅当)(λA 的行列式0)(≠λA 。
10.在n 维欧几里得空间中,正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。
二、计算题(每小题10分,共40分)1.设()n j i a ji nj n i ij ,2,1,=--=βαβα,n 阶方阵()ij a A =,求A 的行列式A 。
2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=143021002A 的所有不变因子,初等因子以及若尔当()Jordan 标准形。
3.设[]4x P 是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间,求线性变换()()()()()x f x f x f x x f ++='''2ϕ的特征值,求最大特征值的特征向量。
高等代数考研真题 第一章 多项式
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第一章 多项式1、(清华2000—20分)试求7次多项式()f x ,使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、(南航2001—20分)(1)设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ,求p,q 之值。
(2)设f(x),g(x),h(x)∈R[x],而满足以下等式 (x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 (x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明:x 2+1∣f(x),x 2+1∣g(x) 3、(北邮2002—12分)证明:x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n (这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、、(北邮2003—15分)设在数域P 上的多项式g 1(x),g 2(x ),g 3(x ),f(x),已知g 1(x)∣f(x),g 2(x)∣f(x), g 3(x)∣f(x),试问下列命题是否成立,并说明理由:(1)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)两两互素,则一定有g 1(x),g 2(x),g 3(x)∣f(x) (2)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)互素,则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、(北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身,则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、(大连理工2003—12分)证明:次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是,对任意的多项式g(x),h(x) ,由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x),或者对某一正整数m ,f(x)∣h m (x)。
7、(厦门2004—16分)设f(x),g(x)是有理数域上的多项式,且f(x)在有理数域上不可约。
2016年南京大学高等代数考研试题
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南京大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:高等代数
考生须知: 1. 本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟; 2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ———————————————————————————————————————— 一、 (20 分) 证明:如果多项式 ( x3 + x2 + x + 1 ) ( f 1 ( x4 ) + x f 2 ( x4 ) + x2 f 3 ( x4 ) )
0 0 0 . . .
0 0 0 . . .
.
· · · 2 sin α 1 ··· 1 2 sin α
−1 −3 3 −3 −3 −1 −3 3 A= 3 −3 −1 −3 −3 3 −3 −1
求正交矩阵 T 使得 T ′ AT 成对角矩阵. 四、 (15 分) 讨论当 a, b 取何值时, 方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3 x1 + 2 x2 + x3 + x4 − 3 x5 = a x + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 3 2 5 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = b 有解. 并在有解的情况下求一般解. 五、 (20 分) 求矩阵 −1 −2 6 A = −1 0 3 −1 −1 4
的 Jordan 标准型和有理标准型. 六、 (20 分) 对于全体正实数 R+ , 定义其上的加法和数量乘法为 a ⊕ b = ab, k ◦ a = ak , ( a, b ∈ R+ .k ∈ R) (1) 证明 R+ 在上述两种运算下成为 R 上的一个线性空间; 考试科目:高等代数 第1页 共2页
各大学高等代数考研真题
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各大学高等代数考研真题高等代数是数学中的一门重要学科,它在各个领域都有广泛的应用。
对于数学专业的学生来说,高等代数是一个重要的考试科目。
而对于那些准备考研的学生来说,高等代数更是必考的科目之一。
在考研中,高等代数的考试题目往往涉及到各个领域的知识,考察学生对于高等代数的理解和应用能力。
下面我们就来看一些高等代数考研真题。
首先,我们来看一道典型的高等代数考研题目。
题目如下:设V是数域K上的n维线性空间,f是V到V的线性变换。
如果对于任意的v∈V,存在非零多项式g(t),使得g(f)(v)=0,则f一定有特征值。
对于这道题目,我们需要运用到高等代数中的一些基本概念和定理。
首先,我们需要知道什么是特征值和特征多项式。
特征值是指线性变换在某个向量上的作用结果与该向量平行的现象,而特征多项式则是用来求解特征值的一种方法。
在这道题目中,我们需要运用到特征多项式的性质,通过特征多项式来证明f一定有特征值。
接下来,我们来看一道关于线性空间的题目。
题目如下:设V是数域K上的线性空间,f是V到V的线性变换。
如果对于任意的v∈V,存在正整数m,使得f^m(v)=0,则f一定有特征值。
这道题目考察了线性变换的零化幂的概念。
零化幂是指对于线性变换f,存在一个正整数m,使得f^m(v)=0。
而这道题目要求我们证明,如果对于任意的v∈V,存在正整数m,使得f^m(v)=0,则f一定有特征值。
这个题目的证明过程比较复杂,需要运用到线性变换的一些性质和定理,以及线性空间的相关知识。
最后,我们来看一道关于矩阵的题目。
题目如下:设A是n阶方阵,如果存在非零矩阵B,使得AB=0,则A一定不可逆。
这道题目考察了矩阵的可逆性和零子式的概念。
可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵,而零子式是指矩阵中的某个子矩阵的行列式为0。
这道题目要求我们证明,如果存在非零矩阵B,使得AB=0,则A一定不可逆。
证明过程中,我们需要运用到矩阵的一些性质和定理,以及矩阵的相关知识。
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高等代数考研习题
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《高等代数》试题库一、 选择题1.在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是()。
A .零多项式B .零次多项式C .本原多项式D .不可约多项式2.设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k ()。
A .1B .2C .3D .43.以下命题不正确的是()。
A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则;B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域;C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式;D .设()'()1p x f x k -是的重因式,则()()p x f x k 是的重因式4.整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。
A .充分B .充分必要C .必要D .既不充分也不必要5.下列对于多项式的结论不正确的是()。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ,那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ,那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ,那么][)(x F x h ∈∀,有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ,那么)()(x h x f6.对于“命题甲:将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -;命题乙:对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。
A .甲成立,乙不成立;B .甲不成立,乙成立;C .甲,乙均成立;D .甲,乙均不成立7.下面论述中,错误的是()。
A .奇数次实系数多项式必有实根;B .代数基本定理适用于复数域;C .任一数域包含Q ;D .在[]P x 中,()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8.设ij D a =,ij A 为ij a 的代数余子式,则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =()。
南京大学数学系《801高等代数》历年考研真题(含部分答案)专业课考试试题
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2006年南京大学801高等代数考研真题
2005年南京大学高等代数考研真题及详解
参考答案:
目 录
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科目代码:801 科目名称:高等代数
2011年南京大学801高等代数考研真题
2010年南京大学801高等代数考研真题
2009年南京大学801高等代数考研真题
2008年南京大学801高等代数考研真题
2007年南京大学801高等代数考研真题
南京大学《高等代数》期末考试题及答案
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南京大学高等代数XX期末考试试卷及答案(A卷)一、填空题(每小题3分,共15分)1、线性空间P x的两个子空间的交L 1 x I L 1 x ___________2、设1 , 2,…,n与1 ,2’…,n是n维线性空间V的两个基,由1, 2,…,n到1, 2,..., n的过渡矩阵是C,列向量X是V 中向量在基1,2,…,n下的坐标,贝U 在基1 , 2,...,n下的坐标是3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵,则A与B的关系是_____________24、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为:1, , 1 ,则其特征矩阵E A的标准形是5、线性方程组AX B的最小二乘解所满足的线性方程组是:二、单项选择题(每小题3分,共15分)1、()复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构:(A)数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间;(B)数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间;(C)数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;(D)复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、()设是非零线性空间V的线性变换,贝U下列命题正确的是: 大学数学(A)的核是零子空间的充要条件是是满射;(B)的核是V的充要条件是是满射;(C)的值域是零子空间的充要条件是是满射;(D)的值域是V的充要条件是是满射。
3、 ( ) 矩阵A 可逆的充要条件是:A A 0; BA 是一个非零常数;C A 是满秩的;D A 是方阵。
4、 ( )设实二次型f X AX (A为对称阵)经正交变换后化为:2 2 2丫 2 ... n y n,则其中的1,2,■■- n 是:i y i 2A 1;:B全是正数;C是A的所有特征值;D不确定( ) 设3阶实对称矩阵A有. 三重特征根“ 2 ”,则A的若当标准形:是20020 0 200A 020 ; B1 2 0 ; C 120 ;00200 2 012 D以上各情形皆有可能。
南京大学2001年高等代数考研试题
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分)当实数 t 为何值时二次型 x
3 分)设 A= 5
2 2 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x 2 + 2 x1 x3
3.(10
4 ,k 2
2
是自然数.计算 A
k
.
二.(10 分)设 λ 和 λ 是方阵 A 的两个不同的特征值, a + a 分别是属于 λ 和 λ 的特征向量, 证明 a + a 不是 A 的特征向量. 三.(15 分)设 F , F 是数域,且 F ⊆ F , f (x), g (x)∈ F [x]. (1) 证明:如果在 F [x]中有 g (x)| f (x),则在 F [x],也有 g (x)| f (x) (2) 证明: f (x)与 g (x)在 F [x]中互素当且仅当 f (x) 与 g (x)在 F [x]中互素. (3) 证明:设 f (x)是数域 F 的不可约多项式,则 f (x)全是单根. 四.(10 分)证明:设 E 是 n 阶单位矩阵,A 是 n 阶正定矩阵,证明: |E+A|>1. 五.(10 分)设 A 是秩为 r>0 的 m × n 的矩阵,证明:存在 m × r 矩阵 B 与 r × n 矩阵 C,使得 A=BC. 六.(10 分)线性方程组
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
当 a 为何值时方程组有: (1) 唯一解,并求其解; (2)无穷多解,此时请用对应的齐次线性方程组的基础解 析表示所得到的唯一解; 七.(10 分)设 A 是 n 阶矩阵,t 是复数.证明:当复数的模|t|充分大时,tE+A 是可逆矩阵. 八.(10 分)设 F 是数域,V 是 F 上的 n 维线性空间阶矩阵,A 是 V 上的线性变换.求证:如果 F 没 有非平凡的 A 的不变子空间,则 A 的最小多项式是不可约多项式.
新版南京大学数学考研经验考研真题考研参考书
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得到拟录取消息的前些天一直忐忑不安,想象着自己失败时的沮丧或者自己成功时的兴奋。
终于尘埃落定,内心激动,又面色平静地拿起手机给每一个关心我的家人和朋友发了这个好消息。
也想在这里写下自己考研路上的点点滴滴,给自己留一个纪念,也希望大家能从中得到一些收获。
立大志者得中志,立中志者得小志,立小志者不得志。
所以我建议刚开始大家就朝着自己喜欢的,最好的学校考虑,不要去担心自己能不能考上的问题,以最好的学校的标准来要求自己去学习。
大家可以去自己想报考的学校官网上下过去的录取分数线,报录比之类的信息给自己一个参考和努力目标。
包括找一些学长学姐问下经验也是很有用的。
备考那个时候无论是老师还是同学们都给了我很多的帮助,让我在备考的路上少走了很多的弯路,尤其是那些珍贵的笔记本,现在回想起来依然很是感动,还好现在成功上岸,也算是没有辜负大家对我的期望。
所以想着成功之后可以写一篇经验贴,希望可以帮助大家。
话不多说,下面跟大家介绍一下我的经验吧。
文末有笔记和真题下载,大家可自取。
南京大学数学的初试科目为:(101)思想政治理论(201)英语一(627)数学分析和(801)高等代数参考书目为:南京大学《数学分析》1996-2017年考研历年真题。
近20年真题,来自官方,真实可靠2、南京大学《数学分析》2000-2010年考研历年真题答案。
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该专业近几年学校官方不出售历年试题。
先说英语吧。
词汇量曾经是我的一块心病,跟我英语水平差不多的同学,词汇量往往比我高出一大截。
从初中学英语开始就不爱背单词。
在考研阶段,词汇量的重要性胜过四六级,尤其是一些熟词僻义,往往一个单词决定你一道阅读能否做对。
所以,一旦你准备学习考研英语,词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。
考研到底背多少个单词足够?按照大纲的要求,大概是5500多个。
(最新整理)2016年南京大学高等代数研究生考研考试模拟题
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2016年南京大学高等代数研究生考研考试模拟题编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2016年南京大学高等代数研究生考研考试模拟题)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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2016年南京大学高等代数研究生考研考试模拟题一.填空题1.n 阶行列式D = =( )n 56 (0001)5...000..................00...56000 (156)00 (015)2.当实数t 满足条件( )时实二次型是正定二次型。
3223222142x tx tx x x +++二.(15分)设A 。
B 是两个方阵,试问AB 与BA 是否有相同的特征多项式?是否有相同的最小多项式?三。
(10分)设F=,证明F 是数域。
{}是有理数c b a c b a ,,4233++四。
(10分)设A 是n 阶复矩阵,是复系数多项式,a 是A 的特征值.证明:是矩阵)(x f )(a f )(A f 的特征值.由此证明:若矩阵A 满足方程=0,则A 的特征值是方程=0的根。
)(A f )(x f 五.(5分)设A 是实矩阵,是A 的转置。
证明:秩(A )=秩(A )n m ⨯T A T A 六。
(15分)线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=++43)1(239z y x y x z y x λλλ当为何值时方程组有:(1)唯一解,并求其解;(2)无穷多解,此时请用对应的齐次线性方λ程组的基础解析表示所得到的唯一解;(3)无解.七.(10分)(1)设A 是n 阶正交矩阵且=—1,证明:—1是A 的特征值。