[建筑工程设计]-第六章矩阵位移法
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矩阵位移法和有限元法的异同
矩阵位移法和有限元法的异同矩阵位移法和有限元法是数值计算领域中常用的两种方法，它们都具有非常优秀的数值精度和高度的计算效率。
在工程领域中，它们常常用于解决结构振动、热传导、电场、磁场等问题，因此其应用非常广泛。
本文将从多个角度比较两种方法的异同。
一、基本原理矩阵位移法是基于结构受力平衡公式推导而来，通过建立刚度矩阵，利用矩阵乘法计算结构中各点受力情况，从而得到结构变形情况。
有限元法则是将结构分割成很多有限元，建立每个有限元内部的受力方程，通过组合各个有限元的受力方程形成整个结构的受力方程，从而得到变形情况。
二、精度和适用范围矩阵位移法是一种较为精确的计算方法，适用于较小结构和较短时间内的计算。
而有限元法精度相对较差，但它适用于更为复杂的结构和更长时间内的计算，且可以模拟非线性问题。
三、模型建立和求解在矩阵位移法中，需要先根据实际结构建立刚度矩阵，然后将载荷矩阵和位移矩阵代入方程中求解。
而在有限元法中，需要将结构分割成有限元，并建立每个有限元的受力方程，然后进行求解。
有限元法需要进行剖分后求解，模型的建模过程相对较为复杂，计算量较大。
四、应用领域和优缺点矩阵位移法适用于解决结构较小、较简单的问题，在建模和求解过程中较为简单，计算速度快。
但它的缺点是在处理较复杂的问题时很难得到精确解。
有限元法适用于处理复杂问题，精度相对更高。
但在建模和求解过程中计算量比较大，时间较长，适用于需要高精度计算的问题。
综上所述，矩阵位移法和有限元法都是重要的数值计算方法，适用于不同的领域。
在遇到具体问题时，需要根据问题的特点选择合适的数值计算方法，从而得到更好的计算效果。
矩阵位移法的计算步骤及示例
单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
矩阵位移法
那么就是说，这个杆端力它首先呢，是在局部坐标系下的（我只想知道我的 杆的轴力，剪力啊，什么的，并不想知道某个大方向上的力） ，那么就要用到局 部坐标系的各种参数。 其次，力是刚度乘位移的。 所以就是说，应该有这样
e e e F e k e e F e P k T F P
不过这个位移的话， 其实之前求出来了的话反正就这样吧。注意如果原来有 节点荷载的话这里是不用加它的， 我们只要加杆内荷载计算得到的固端力就好了， 这个力之前是查表得到的，非常方便加上去哦。 然后这里就告一段落啦。
呢？ 在这之前， 必须要把局部坐标系下的单元刚度矩阵转化为整体坐标系下的单 元刚度矩阵。 那么必须要有这个杆件的方位角。假设这个杆件的正方形和水平向 右的夹角 （顺时针） 是 ， 那么， 就有一个坐标变换矩阵的问题， 这个玩意叫 T 。 还有一个玩意叫坐标变化子矩阵，这玩意叫 t 。 这两个家伙有这么个关系。
e
e
t T kii et
其实还是挺麻烦的。如果说刚好是 90°的话，倒是就把对角线上第一第二 排换一下，然后右上角左下角的和旁边的换一下位子就 OK 了。 然后就可以用整体坐标系下的单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵了。 这个其实 非常简单， 只要在整体坐标系下的单元刚度矩阵的周围写好它的定位向量，然后 在空白的地方把 0 以外的数字从小到大写好， 在相应的空位里把上面的抄下来加 起来就好啦。 因为这个整体刚度矩阵具有对称性和带状稀疏性， 所以只要把左下角三角形 的都写出来就好了，右上角是一模一样的。至于带状稀疏性的话，就是说它中间 的是有的，周围的基本都是 0，这是编码造成的，很小的码和很大的码应该是没 有交集的。 那么现在我们得到了一个整体刚度矩阵。
12 EI l3 6 EI l2 ke k e 12 EI 3 l 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 6 EI l2 2 EI l 12 EI l3 6 EI 2 l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 4 EI l 6 EI l2 2 EI l
结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法
用数字描述体系的位置，单元的属性。
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第六章
例如
单元 FP
矩阵位移法
3(5,6)FP
2
1
2
2
结点
1
1(1,2) 单元方向 1
1
2(3,4)
2
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
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第六章
矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干 个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用 此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。 模型和原结构是有差别的，这个差别可以通 过单元的适当选取给予降低。 主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的 变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构 划分成一系列只在结点相连的单元集合。
EA l e
矩阵位移法
0
6 EI l2 4 EI l
0
12 EI l3 6 EI l2
EA l
0 12l EI 3 6lEI 2 0
12 EI l3 6 EI l2
0 0
EA l
0 12l EI 3
6 EI l2
0 6lEI 2
2 EI l
0 0
0 1 6 EI l2 2 2 EI 3 l 0 4 6lEI 5 2 4 EI 6 l
单元刚度方程
F k
e e
e
矩阵位移法
(a)
TT T T T T I
Fx1 F y1 M1 单元坐标 转换矩阵 F x2 Fy 2 M 2
e
Hale Waihona Puke eF e TF e
T 1 T T
单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。
EI 25 104 kN m l
0 300 0
5m
0 为了简洁，下面将矩阵 中各元素的单位略去。 12 30 0 12 30 30 100 0 30 50 4 EA 10 0 0 l 0 0 300 0 0 12 30 0 12 30 12 EI 6 EI [k11 ] 0 3 2 30 50 0 30 100 l l 6 EI 4 EI 第一列元素变符号即第四列，第二列元素变符号即第五列 0 ①： 2 ②求整体坐标系中的单刚， k l l 第一行元素变符号即第四行，第二行元素变符号即第五行
3、有限单元法的三个基本环节： ①单元划分：一根等截面直杆作为一个单元，单元间由结点相联。 ②单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)。 ③整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)。
§9-2 单元刚度矩阵(element stiffnessmatrix)（局部坐标系）
T11 T12 T T T 21 22
因此，(a)式的逆转换式为： 同理
F e T TF e
e T e
(b)
e T T e
整体坐标系中的单元刚度矩阵
F e TF e
(a)
e T e
(b)
单元刚度矩阵的性质 设局部坐标系中、整体坐标系中的单元刚度方程分别为： ①单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。 e e e F k Δ (c) ②其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。 ③单元刚度矩阵是对称矩阵。 F e k eΔe (d ) ④第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。 e e e e ⑤一般单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵。因此， 将式(a)、(b)代入式(c) k eT IF T T TTF ke T T 可由单元刚度方程，由杆端位移唯一确定杆端力；但由杆端力反推杆端位移时， 可能无解、可能解不唯一。 k e T T k eT
TT T T T T I
Fx1 F y1 M1 单元坐标 转换矩阵 F x2 Fy 2 M 2
e
Hale Waihona Puke eF e TF e
T 1 T T
单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。
EI 25 104 kN m l
0 300 0
5m
0 为了简洁，下面将矩阵 中各元素的单位略去。 12 30 0 12 30 30 100 0 30 50 4 EA 10 0 0 l 0 0 300 0 0 12 30 0 12 30 12 EI 6 EI [k11 ] 0 3 2 30 50 0 30 100 l l 6 EI 4 EI 第一列元素变符号即第四列，第二列元素变符号即第五列 0 ①： 2 ②求整体坐标系中的单刚， k l l 第一行元素变符号即第四行，第二行元素变符号即第五行
3、有限单元法的三个基本环节： ①单元划分：一根等截面直杆作为一个单元，单元间由结点相联。 ②单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)。 ③整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)。
§9-2 单元刚度矩阵(element stiffnessmatrix)（局部坐标系）
T11 T12 T T T 21 22
因此，(a)式的逆转换式为： 同理
F e T TF e
e T e
(b)
e T T e
整体坐标系中的单元刚度矩阵
F e TF e
(a)
e T e
(b)
单元刚度矩阵的性质 设局部坐标系中、整体坐标系中的单元刚度方程分别为： ①单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。 e e e F k Δ (c) ②其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。 ③单元刚度矩阵是对称矩阵。 F e k eΔe (d ) ④第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。 e e e e ⑤一般单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵。因此， 将式(a)、(b)代入式(c) k eT IF T T TTF ke T T 可由单元刚度方程，由杆端位移唯一确定杆端力；但由杆端力反推杆端位移时， 可能无解、可能解不唯一。 k e T T k eT
矩阵位移法的计算步骤及示例
=
EA l
⎡0.72855 ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 1 2.47855⎥⎦ 2
（5）解算结构刚度方程
28
解算结构刚度方程，求出结点位移
EA ⎡0.72855 l ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 2.47855⎥⎦
⎩⎨⎧uv11
⎫ ⎬ ⎭
=
⎨⎧FP ⎩0
⎫ ⎬ ⎭
Δ1
=
⎩⎨⎧uv11
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
12
由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。
1
2
3
⎡ 4EI
2 EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
k (1) l ( 1 )
4EI + 4EI
0 2 EI
K
=
⎢ l(1) ⎢
⎢0
⎢
l(1) l( 2 EI
2
)
k
(2)
4
l EI
(2
+
)
4 EI
l(2)
l(2) l(3)
⎢ ⎢⎣
0
0
2EI k (3)
l(3)
4
0
⎤ ⎥
1
⎥
0 ⎥2 ⎥
2 EI l(3)
⎥ ⎥ ⎥
3
4 EI l(3)
⎥ ⎥⎦
4
13
将各杆所需有关数据计算如下：
矩阵位移法基本原理
矩阵位移法
重 点：刚度方程 单元矩阵 组装过程 边界条件 难 点：刚度方程 组装过程 等效结点荷载
前 言：
超静定结构的方法：
力法、位移法 弯矩分配法、叠代法 剪力分配法
求解方程组
不需求解方程组
基本原理
实用计算 ---------另一种计算超静定结构的方法 适用计算机求解
矩阵位移法
矩阵位移法是以结构位移为基本未知 量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决 各种杆系结构受力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
式中，E为杆的弹模，A为截面积，L为杆长
在整个结构中，各杆的方向不同，所有的结点力与结点位移
都是两个方向。为了统一，补充两个y方向的力与两个位移，
即，Y i ，Yj ；v i ，v j （在图示坐标系下它们都是零）。 Yi y Y
Xi
j
Xj
这样，把上面的矩阵方 程扩写为：
vi
vj
x
ui
Xi Yi X j Y j EA L 0 EA L 0 0 0 0 0 EA L 0 EA L 0
vi
uj
vj
T
为整体坐标系下的单元位移向量 对杆端力向量也有这种转换关系，即
F T F
e e
e
F e X i
Yi X j Y j
T
整体坐标系下的单元结点力向量
单元坐标系下的单元刚度方程为：
F K D
e e
e
D T D
i
K
e
k11 k 21 k31 k 41
j
k12 k 22 k32 k 42
重 点：刚度方程 单元矩阵 组装过程 边界条件 难 点：刚度方程 组装过程 等效结点荷载
前 言：
超静定结构的方法：
力法、位移法 弯矩分配法、叠代法 剪力分配法
求解方程组
不需求解方程组
基本原理
实用计算 ---------另一种计算超静定结构的方法 适用计算机求解
矩阵位移法
矩阵位移法是以结构位移为基本未知 量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决 各种杆系结构受力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
式中，E为杆的弹模，A为截面积，L为杆长
在整个结构中，各杆的方向不同，所有的结点力与结点位移
都是两个方向。为了统一，补充两个y方向的力与两个位移，
即，Y i ，Yj ；v i ，v j （在图示坐标系下它们都是零）。 Yi y Y
Xi
j
Xj
这样，把上面的矩阵方 程扩写为：
vi
vj
x
ui
Xi Yi X j Y j EA L 0 EA L 0 0 0 0 0 EA L 0 EA L 0
vi
uj
vj
T
为整体坐标系下的单元位移向量 对杆端力向量也有这种转换关系，即
F T F
e e
e
F e X i
Yi X j Y j
T
整体坐标系下的单元结点力向量
单元坐标系下的单元刚度方程为：
F K D
e e
e
D T D
i
K
e
k11 k 21 k31 k 41
j
k12 k 22 k32 k 42
矩阵位移法
X 1 EA l Y1 0 M1 0 EA X l 2 0 Y2 0 M 2
e
0 12 EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2
6
将上面六个方程合并，写成矩阵形式： M1 4 EI 1 2 EI 2 6EI v1 v2 l l l2 2 EI 4 EI 6EI M2 1 2 2 v1 v2 EA u1 u2 X1 l l l l 6EI 12 EI EA Y v v 1 1 2 1 2 2 3 u1 u2 X2 l l l 6EI 12 EI Y2 2 1 2 3 v1 v2 l l
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
4
§13-2
单元刚度矩阵(局部座标系)
进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用 “ F ”表示，由位移求力称为正问题。
一、一般单元
在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指
2
2
u2 0 v2 0
0 12EI l3 6EI 2 l 0 12 EI l3 6EI 2 l 0 6EI l2 2 EI l 0 6EI l2 4 EI l
e X 1 EA
l Y1 0 M1 0 EA X l 2 0 Y2 0 M 2
EA l 0 0
矩阵位移法
原理同源---
(1)以结点位移为基本未知量,
(2)以单元分析为基础(力法计算的 结果单元刚度方程);
(3) 建立平衡方程求出结点位移,
(4) 将结点位移代入单元刚度方 程求得内力
矩 阵 位 移 法
作法有别-(1)矩阵组织数据，矩阵运算;
(2)设计计算机程序（正确）;
(3) 原始数据的准备、输入、计算 结果的输出及正确性判别等 特点： 省力；计算速度快；计算结果精度高 ；使用者要力学概念清楚。
1 0 0 1 0 0 8 2 4 i i 2 42 i i 0 2 4 3
修改后的位移 法方程
(6) 解方程
矩 阵 位 移 法
0 1 3.571 2 i 3 12.286 i
(5)引入支承条件修改原始刚度方程
矩 阵 位 移 法
K FP
4 i 2i 0 1 4 2 i 8 i 2i 4 2 i 0 2 4 42 i 3
主1副0法修改后 原始刚度方程
整 体 刚 度 方 程
单元刚度集成法
矩 阵 位 移 法
单元(1)对号 入座
单元刚度集成法 单元(2)对号入 座并累加
矩 阵 位 移 法 单元(3)对号入座
并累加 整体刚度矩阵
连续梁刚度方程
矩 阵 位 移 法
9.5 等效结点荷载向量
矩 阵 位 移 法 加刚臂
去刚臂
(1)加约束求杆端固端弯矩、刚臂约束力矩
矩 阵 位 移 法
（5）集成等效结点荷载向量 形成过程如下：
矩 阵 位 移 法
矩阵位移法
单刚阵 [K e ] 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移 分量等于1时所引起的六个杆端力分量。 生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。
u ie 1 (即端点i沿 x 正方向发 第1列的六个元素就是当
§10-2 单元刚度矩阵
从单刚元素的物理意义出发得到单刚阵
单元杆端位移示意
6
2
3
4
5
§10-1 概述
矩阵位移法基本思想: •化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。
5
6
6
2
3
3
5
4
1
1
4
2
对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移
•单元分析
单元杆端力
单元杆端位移
------ 整体分析
e
•集零为整
结点外力
单元杆端力 结点外力 单元杆端位移
整体
分析
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整
用矩阵形式表示位
移法基本方程
体刚度矩阵
§10-1 概述
四、基本概念
1. 结点和单元
单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面 直杆。 梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单 元（梁、刚架）。 轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。 单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单 元也就全部确定了。 构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突 变点。 非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的 结点。
(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。
建筑结构力学f矩阵位移法-6
1 [k ] = 0 0
0 12 −6
0 − 6 4
五.组合结构的计算
采用两种单元,其它过程与前类似 采用两种单元 其它过程与前类似. 其它过程与前类似 矩阵位移法求图示桁架各杆轴力. 例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力 矩阵位移法求图示桁架各杆轴力 已知:EA=6 0 , P=100 已知 解:
5 . 76 24 .32
cos α − cos α − cosα sinα cosα sinα − cosα sinα − sin2 α sin2 α EA cosα sinα ---整体单刚 [k]e = ⋅ 整体单刚 2 2 l − cos α − cosα sinα cos α cosα sinα 2 2 − sin α cosα sinα sin α − cosα sinα
五.组合结构的计算
采用两种单元,其它过程与前类似 采用两种单元 其它过程与前类似. 其它过程与前类似 矩阵位移法求图示桁架各杆轴力. 例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力 矩阵位移法求图示桁架各杆轴力 已知:EA=6 0 , P=100 已知 解:
1
2(0,0,0)
20kN
3
3(1,2,3) 2 4(0,0,0)
3
2(0,0)
4(1,2)
P
2 1
3(0,0)
[k ]
2
1 = 12 × − 1
− 1 1
3m
cosα 2 = 4 / 5
7 .68 5 .76 = 20 × − 7 .68 − 5 .76
2
sinα 2 3 / 5
5 .76 4 .32 − 5 .76 − 4 .32 − 7 .68 − 5 .76 7 .68 5 .76 − 5 .76 − 4 .32 5 .76 4 .32
矩阵位移法与有限位移元法的联系与区别
矩阵位移法与有限位移元法的联系与区别随着计算机技术进入工程领域，“电算”逐渐受到人们的重视。
作为“电算”的工具，矩阵位移法和有限单元法在工程应用中具有重要地位，本文从多方面多角度对矩阵位移法和有限位移元法进行了分析与讨论，总结了两者的联系与区别，对于建筑工程领域的初学者具有一定的指导作用。
标签：矩阵位移法；有限单元法；有限元分析；结构分析作为有限单元法的雏形，结构力学的结构矩阵分析方法与弹性力学的有限单元法都是随着计算机的发展而逐渐受到重视的方法。
以结点位移作为基本未知量，与结构矩阵分析方法对应的有矩阵位移法，相同地，与有限单元法对应的是有限位移元法。
以位移为基本未知量求解问题具有系统性、规律性强的特点，符合“电算”的特点，因此矩阵位移法和有限位移元法在求解实际问题的过程中应用最为广泛。
下面通过对比，分析矩阵位移法和有限位移元的联系与区别。
1 矩阵位移法和有限位移元的联系1.1基本原理的相似矩阵位移法和有限位移元法都是通过结构的离散化，将复杂结构的计算转化为简单单元的分析和集合问题。
1.2分析过程的相似矩阵位移法和有限位移元法都是先进行结构离散化，然后进行单元分析，最后进行整体分析。
具体地，两种方法都是应用矩阵运算，得到平衡方程（1）（1）因為所需要解答的不同，在通过平衡方程得到结点位移列阵后，在结构力学的解答要求通过方程（2）得到结点力（2）而在有限位移元的解答要求通过方程（3）得到应力（3）其中为应力转换矩阵2 矩阵位移法和有限位移元的区别2.1研究对象结构力学的矩阵位移法主要针对平面简单杆系进行结构分析，如刚架、连续梁、桁架等等，研究对象较为单一，而弹性力学的研究对象可以是具有各种边界条件的弹性体，不仅可以解决线弹性问题，而且可以有效处理材料、几何非线性问题和非线性边界等问题，因而具有极高的灵活性与通用性。
2.2 基本研究单元矩阵位移法的基本单元是通过结点分解形成的单个杆件，相比之下，有限单元法的基本单元更加灵活，可以是三角形单元、矩形单元或任意四边形单元，单元的结点也可以灵活设置，可以通过控制基本单元的形式和大小来调控解答的精度。
03矩阵位移法
3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
[ ] A= a11 a12 a13 · · · a1n
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
a 11
A
a
21
a
n
1
1
4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法
两个规则：
（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
(e)
[k]
e
的性质与
k e 一样。
18
例1. 试求图示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵[k] 。
x
设 和 1杆的2杆长和截面尺寸相同。
1
l=5m，bh=0.5m 1m,
l = 5m
A=0.5m2, I= 1 m4,
24
解: (1) 局部坐标系中的单元刚度矩阵 k e
2 l = 5m
300 0 0 -300 0 0
15
单元来形成。
§13-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)
一、单元坐标转换矩阵 单元杆端力的转换
Y1
式、单刚的转换式
X1
X1
Y1
MM 21a
e
x
MX1 X1 cosaY21 sina
X2
v1
y e
F X 2
102103T
Y2
ee
e
Y1 -X1 sianY1 coas
M e 1e M e 1
ee
X2 X2 cosaY2 sina
所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交
矩阵，则
A
=
cosa -sin a
sin a
cos
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