金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算.doc
材料科学基础2.2金属的晶体结构
间隙原子与最近邻原子
间距离：
四面体边长：
a 3/4
a/ 2
112 1 4 4
8
fcc Octahedron 八面体间隙大小
r 2 1 0.414 R
2r
a 2 2R
体中心和棱的中间
Rr a 2
fcc
C
D
Tetrahedron 四面体间隙大小
rin
3 4
a
R
f cc ,
R fcc
2a 4
bcc 八面体间隙大小
4R 3a bcc
rin
a/4
Rbcc
a/2
1
23
r aR R R
2 in
bcc
3
bcc
bcc
rin 2 3 1 0.155
Rbcc
3
(3) A3: hcp
Octahedral sites:6个
a/ 2
C
hcp
Tetrahedral sites
2 6 2 1 2 3 12 3
2.2.2 晶体的原子堆垛方式和间隙
1.密排面和密排向 晶体晶格中原子密度最大的晶面、晶向
密排六方结构A3(hcp) 0001和 1120
C
C
中间层相对底层错动
110 1 0
3
面心立方结构A1 (ABCABC…)
111和 110
1
8
9
7
3
2
6
4
5
密排面的堆积：(ABCABC…)
1
7 2
8 3
4 第二层相对于第一层错动
FCC
BCC HCP
三种典型晶体中的间隙
八面体间隙
体心立方堆积四面体空隙位置
体心立方堆积四面体空隙位置全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：体心立方堆积四面体是一种常见的晶体结构，由相互紧密堆积的四面体构成。
在其结构中，存在许多空隙位置，这些空隙位置在晶体的性质和性能中起着至关重要的作用。
体心立方堆积四面体是指晶格中的每个原子都位于一个顶点和一个体心的位置上，这种密排构型比较稳定，具有高度的对称性。
在这种结构中，每个四面体周围会有一些空隙位置，这些空隙位置分布在晶格的中心和顶点之间，可以被原子或分子占据，也可以留空。
在晶体生长过程中，原子或分子可以占据这些空隙位置，从而影响晶体的形貌和性质。
如果空隙位置被占据，会导致晶体的密度增加，晶体的硬度和稳定性也会提高。
空隙位置的形状和大小也会影响晶体的形貌和晶体学性质。
除了让原子或分子占据空隙位置外，还可以通过在空隙位置引入其他元素或杂质来改变晶体的性质。
通过调控空隙位置的化学成分，可以实现在晶体结构中引入不同元素，从而制备出具有特殊功能的晶体材料，比如半导体材料、光电材料等。
空隙位置还可以影响晶体的热稳定性和热导率。
在晶体生长和加热过程中，空隙位置中的空气或其他气体分子可能扮演重要角色，起到隔热和绝缘作用。
空隙位置还可以嵌入一些小分子或离子，从而影响晶体的电子传输性能。
体心立方堆积四面体空隙位置在晶体学研究中扮演着非常重要的角色，不仅影响晶体的形貌和性能，还可以通过控制空隙位置实现对晶体性质的调控。
在未来的研究中，人们可以进一步探索如何有效地利用空隙位置，设计出更加稳定和功能性更强的晶体材料，为材料科学的发展带来新的突破。
第二篇示例：体心立方堆积四面体是一种常见的晶体结构，在这种结构中，每个原子周围都有六个相邻的原子，形成一个正六面体的堆积结构。
在这种堆积结构中，原子之间的位置并不是完全紧密堆积的，而是存在一些空隙的位置。
这些空隙的位置对晶体的性质和稳定性有着重要的影响，因此需要加以研究和注意。
体心立方堆积四面体空隙位置通常可以分为两类：一是八面体空隙，二是四面体空隙。
晶胞中的四面体空隙与八面体空隙
晶胞中的四面体空隙与八面体空隙下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质[8.1】半径为尺的岡球堆枳成正四面体空晾，试作图it 算该四面休的边长和高.中心到顶 点即离、中心距离地而的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短即离。
解：4个等径岡球作紧密堆枳的情形示于图9.1 (a)和(b),图9.1(c)示出堆枳所形应的 正呱面体空隙。
垓正呱面体的顶点OP 球心位置，血长为岡球半径的2倍。
H9.1由图和正四面体的立(t 几何知识可知: 边长AB=2RAM =(AE 2-EM 2]^= AB 1-BE 1- -DE 高i=AB 2——ABV2OA = -AM = —/?«1.2257? 中心到顶点的脳离： 4 2 OM =丄 AM = — R^ 0.4087? 中心到(Kill 的高度：46中心到两硕点连线的夹角为：ZA °B= cos _, (-1/3) = 109.47°中心到球面的量短距离=04/0.225/?本题的it 算结果很亜要。
由lit 结果可知，半径为R 的等径同球最密堆枳结构中四面体空 除所能容纳的小球的最大半径为0.225R 。
而0.225正是典塑的二元离子晶体中正离子的配位 多而体为正四面体时正、负离子半径比的卞限。
此题的结果也是了解hep 结构中晶胞参数的 基KS （见习 g 9.04）o[8.2] 半径力尺的岡球堆枳成正八面体空B, it 算中心绢頂虑的更离。
-I AE (3& = cos°OA 2+OB 2-AB 22(OA)(O3)2(極/2「-(2町 2(偸/2『D解：正八面体空隙由6个等径||球密堆枳而成，其頂点即同球的球心，貝校长即圆球的Igo空隙的实际体枳小于八面图9.2中三图分别示出球的堆枳侑况及所形成的正由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：OC = -AC = -y/2AB =丄VJx2R =血2 2 2而八面体空隙中心到球面的最短距离为:OC-R = d-R".4\4R此即半径为R的等径岡球最密堆枳形成的正八面体空除所能容纳的爪球的最大半径。
八面体空隙和四面体空隙
八面体空隙和四面体空隙1 八面体空隙八面体空隙是一种山体内景观特征，它是一种在一定高度上自然发育的孔洞形状。
它的呈现形式大致是穿透式的，以类似八边形的形态在上层石头内贯穿，下部呈广义圆弧型。
它形态有多样，大小不一。
八面体空隙在地质学上主要是由水文成因和空间形态学成因确定的。
1.1 水文成因在水文成因形成的八面体空隙，首先是由均质岩体中的压裂作用、液化作用和流溶作用等地质物理地貌现象驱动，作用于深层节理，形成节理口，并沿坡位区是持续穿透，破坏下位岩体构造运动，改变岩体的形态和力学状态，从而形成八面体空隙。
1.2 空间形态学成因空间形态学成因形成的八面体空隙是由周围空间条件直接控制，一般在夹块裂解、山地龟裂、崴脊繁枝等空间条件下容易发育。
在一定的深度上穿透并与其他构造元素分离出一定大小及形态的空间，从而形成八面体空隙。
2 四面体空隙四面体空隙属于特殊的孔洞形态，是一种由若干棱面、四面体和六棱柱组成的孔洞，是矿、岩体或石质物构成的透明孔眼，形状多样，大小不一。
主要有水文和空间形态学两种发育模式。
2.1 水文成因四面体空隙的水文成因是由均质岩体的地质构造运动和空间形态学变化驱动的，是一种部分填充土壤的山体内景观特征。
它的形成除了水流在内部、外部岩体结构裂缝纹面上的摩擦作用外，还与气温、气压、地温和应力密切相关。
2.2 空间形态学成因四面体空隙的空间形态学成因是指在固体岩体在运动中形成的“体形-张力-裂隙”模型和空间-条件-作用关系的几何构造，在受均质岩体沿断裂剪切的应变作用，面部的棱边破坏、沿着断裂中裂缝运动和发展。
此时此刻，它可以发育为三维的四边形、圆柱形、类似八的形态，也可以以更复杂的形状出现，尺寸与根部也是不一样的。
体心立方的八面体空隙和四面体空隙
体心立方的八面体空隙和四面体空隙英文回答：The octahedral void and tetrahedral void are two typesof voids found in a body-centered cubic (bcc) crystallattice structure. These voids play an important role in determining the properties and behavior of the crystal.The octahedral void is a void that is surrounded by six atoms arranged in an octahedral shape. It is located at the center of each face of the unit cell in a bcc crystal lattice. This void is often occupied by larger atoms orions that can fit into the void without disrupting the crystal structure. An example of this is in the crystal structure of sodium chloride (NaCl), where the sodium ions occupy the octahedral voids between the chloride ions.On the other hand, the tetrahedral void is a void thatis surrounded by four atoms arranged in a tetrahedral shape. It is located at the center of the unit cell in a bcccrystal lattice. This void is often occupied by smaller atoms or ions that can fit into the void without disrupting the crystal structure. An example of this is in the crystal structure of diamond, where each carbon atom occupies a tetrahedral void between four neighboring carbon atoms.The octahedral void and tetrahedral void have different sizes and geometries, which affect the types of atoms or ions that can occupy them. The octahedral void is largerand can accommodate larger atoms or ions, while the tetrahedral void is smaller and can accommodate smaller atoms or ions. This difference in size and geometry leadsto different properties and behavior of the crystal.For example, in a bcc crystal lattice, if theoctahedral voids are occupied by larger atoms or ions, it can lead to the formation of an interstitial solid solution. This can result in changes in the mechanical, electrical, and thermal properties of the crystal. On the other hand,if the tetrahedral voids are occupied by smaller atoms or ions, it can lead to the formation of a substitutionalsolid solution. This can also result in changes in theproperties and behavior of the crystal.In summary, the octahedral void and tetrahedral void are two types of voids found in a bcc crystal lattice. They have different sizes and geometries, and can accommodate different types of atoms or ions. The occupation of these voids can result in changes in the properties and behavior of the crystal.中文回答：体心立方晶体结构中存在着八面体空隙和四面体空隙。
晶体结构、晶体间隙
动图快速理解晶体结构、晶体间隙
01 三种典型金属结构的晶体学特点（晶胞中原子数、点阵常数和原子半径，致密度和配位数）
02 晶体的密排面、密排面间距、密排方向、密排方向最小单位长度
03 三种晶体结构的钢球模型
04 体心立方（BCC）间隙示意图
四面体间隙坐标：（0.5，0，0.75）
八面体间隙在面心和棱中点
05 面心立方（FCC）间隙示意图
四面体间隙：用（200）（020）（002）三个面将面心立方晶胞分成8个相同的小立方，每个小立方的中心位置就是四面体间隙
八面体间隙：面心立方的体心位置
06 密排六方（HCP）间隙示意图
四面体间隙：c轴上有一个，平行与c轴的6条棱，以及通过晶胞中间三个原子平行于c轴的3条竖直线上。
八面体间隙：（1/3，-1/3，1/4）。
面心立方的四面体与八面体空隙及填隙的关系
面心立方的四面体与八面体空隙及填隙的关系好呀，今天咱们聊聊面心立方、四面体和八面体这些听起来有点高深的东西，但其实它们跟我们的生活、我们的理解关系紧密得很。
想象一下，面心立方就像是一个特别坚固的家，里面有好几个小空房间，里面住着各种小粒子。
你要知道，这些小家伙们可不是闲着，他们可是忙着保持着整个结构的稳定性。
就像家里有一个稳重的大叔，旁边还有几个调皮的小伙伴，家里才不会乱套呢。
说到四面体和八面体，嘿，它们就像面心立方的好朋友，虽然形状不同，但各有各的特色。
四面体就像是四个小三角形组成的一个小山头，真是可爱极了。
而八面体呢，感觉就像是六个方形拼起来的小屋，简直让人想去住住看。
其实这俩小家伙在面心立方的空隙里也有各自的位置，真是有意思。
就好比你家里有不同的柜子，每个柜子里都放着不同的东西。
四面体空隙大，适合放一些小东西，八面体空隙则大一些，能装下更多的东西。
咱们再说说填隙，这可是个技术活，虽然听起来挺专业，其实很简单。
填隙就像是给这些空房间填上小沙子，让它们不再空荡荡的。
填隙的过程就像是在做一顿美味的饭菜，先把主料准备好，再慢慢加入配料，最后搅拌均匀，味道才好嘛。
四面体和八面体的空隙就像是菜肴中的不同材料，各种材料搭配起来，味道才会丰富多彩。
填隙的方式其实也有讲究，不同的物质用不同的填充方法。
你想啊，面心立方里面的元素像是各具特色的家人，有的爱自由，有的喜欢拥挤，这可得看怎么搭配了。
填充得当，整个结构就会稳如泰山，反之则可能会四分五裂，就像你做菜没掌握火候，结果弄得一锅糊。
四面体和八面体的空隙，正是这场结构“聚会”的关键所在。
它们不仅帮助家里保持整洁，还让每一个小伙伴都能找到自己的位置，真是一举两得呀。
面心立方的魅力不止于此，想想它在我们生活中的应用，比如金属的结晶结构。
在工业上，面心立方的金属可算是最受欢迎的“明星”了，像是铝、铜这些材质，都是它的忠实粉丝。
它们的结晶结构让它们变得坚固耐用，就像是大力士一样，让我们在各种环境中都能使用。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。
密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。
结构稳定。
最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积（A2）。
我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。
等径圆球紧密排列形成密置层，如图所示。
在密置层内，每个圆球周围有六个球与它相切。
相切的每三个球又围出一个三角形空隙。
仔细观察这些三角形空隙，一排尖向上，接着下面一排尖向下，交替排列。
而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中，有三个尖向上，另外三个尖向下。
如图所示，我们在这里将尖向上的三角形空隙记为B，尖向下的三角形空隙记为C。
第二密置层的球放在B之上，第三密置层的球投影在C中，三层完成一个周期。
这样的最密堆积方式叫做立方最密堆积（ccp，记为A1型），形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。
这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp ，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。
在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。
也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。
在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。
中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。
这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。
体心立方晶格四面体间隙数量
体心立方晶格四面体间隙数量1.引言1.1 概述体心立方晶格是一种具有特殊结构的晶体格点排列方式。
晶格是指在三维空间中以规则的方式排列的原子、离子或分子。
体心立方晶格是其中一种非常常见的晶体结构。
在体心立方晶格中，每个晶胞(晶体中最小重复单元)包含一个位于晶胞中心的原子，并在每个角落都有一个原子，共有四个。
这种排列方式使得体心立方晶格具有以下特点：具有高度对称性、原子的空间占据率相对较高、晶胞中原子的个数相对较少等。
在研究晶格结构和性质时，四面体间隙的数量是一个重要的参考指标。
四面体间隙指的是晶胞中心原子与其周围的四个角落原子所形成四个三角形的空隙。
这些三角形的组合形成了四面体的结构，因此称之为四面体间隙。
本文的目的是探讨体心立方晶格中四面体间隙的数量以及影响其数量的因素。
通过对四面体间隙的定义和计算方法进行分析，并结合体心立方晶格的特点，我们将揭示四面体间隙数量的规律，并探讨可能影响该数量的因素，为深入研究晶体结构和性质提供理论依据。
1.2 文章结构本文主要通过研究体心立方晶格的特点和四面体间隙的定义与计算方法，探讨体心立方晶格中四面体间隙的数量以及影响这些间隙数量的因素。
文章主要分为以下几个部分：1. 引言在引言部分，我将简要介绍体心立方晶格和四面体间隙的背景和研究意义。
概述体心立方晶格的定义及其特点，以及四面体间隙在晶体结构研究中的重要性。
说明本文的研究目的和方法。
2. 正文正文主要分为两个部分。
首先，我将详细介绍体心立方晶格的定义和特点。
解释体心立方晶格的结构特征，包括原子排列方式和晶格参数等。
然后，我将介绍四面体间隙的定义和计算方法。
说明如何确定晶体中四面体间隙的位置和数量，并介绍常用的计算方法和工具。
3. 结论结论部分将总结体心立方晶格中四面体间隙的数量，并讨论影响这些间隙数量的因素。
从晶体的结构特征以及晶格参数的变化等角度进行分析，探讨不同因素对四面体间隙数量的影响程度。
同时，对未来可能的研究方向和进一步的实验设计提出建议。
面心立方四面体空隙和八面体空隙-解释说明
面心立方四面体空隙和八面体空隙-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:面心立方四面体空隙和八面体空隙是材料科学领域中重要的概念，它们与晶体结构密切相关。
在晶体结构中，原子或分子之间存在着一定的空隙，这些空隙对于物质的性质和行为具有重要影响。
面心立方四面体空隙和八面体空隙是晶体中常见的两种类型的空隙，它们在晶体的稳定性、热力学性质以及化学反应中起着关键作用。
本文将深入探讨这两种空隙的定义、特点和应用，旨在增进对晶体结构和材料性质之间关系的理解，进一步推动材料科学领域的发展和进步。
"1.2 文章结构": {本文将首先介绍面心立方四面体空隙的定义、特点和应用，包括其在晶体结构中的重要性和实际应用场景。
接着将详细讨论八面体空隙的定义、特点和应用，探讨其与面心立方四面体空隙的异同。
最后，我们将对两种空隙进行比较分析，总结它们在材料科学领域中的意义，并展望未来可能的研究方向和发展趋势。
"1.3 目的目的部分主要是为了探讨面心立方四面体空隙和八面体空隙的定义、特点和应用，通过对这两种空隙的深入研究，可以帮助我们更好地理解晶体结构中的空隙现象，进一步探讨其在材料科学和化学领域的应用价值。
同时，通过对这两种空隙的比较分析，可以帮助我们更全面地了解它们在晶体结构中的作用，为相关研究提供参考和启发。
最终，我们希望通过本文的研究，能够为进一步探讨晶体结构中的空隙现象提供一定的参考和理论基础。
2.正文2.1 面心立方四面体空隙2.1.1 定义面心立方四面体空隙是指在面心立方结构中，由于原子的排列方式而形成的空隙空间。
面心立方结构是一种常见的晶体结构，其中每个原子位于一个正方形的平面的中心，同时与四个相邻原子相接。
2.1.2 特点面心立方四面体空隙通常具有以下特点：- 空间较大：由于原子排列方式的特殊性，面心立方四面体空隙相对较大，有利于其他原子或分子进入其中。
- 不规则性：由于面心立方结构的复杂性，四面体空隙形状不规则，不同于其他晶体结构的空隙形态。
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算0001
08金属的结构和性质【8.1】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶 点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1（ a ）和（b ），图9.1（c ）示出堆积所形成的正四面体空隙。
该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。
二 cos' -1/3 =109.47中心到球面的最短距离 =OA - R : 0.225R隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 。
而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。
此题的结果也是了解 hep 结构中晶胞参数的由图和正四面体的立体几何知识可知: 边长AB=2RAM =(AE 2_EM 2F=[AB 2_BE高_12-3DE"E A1-3 -B A 1-2 -2B-2 1-[•= [(2R )2 — R 22.6R : 1.633R 3中心到顶点的距离:中心到底边的高度： 中心到两顶点连线的夹角为:3 76 OA AM R ： 1.225R4 21 76 OM AM R 0.408R4 6AOB■cosr OAJoB —AB 2】2(OA)(OB)二 cos'2(品 6R/2： -(2R^2(V6R /2 )本题的计算结果很重要。
由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空AI 町⑹图9.113基础（见习题9.04）。
【8.2】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。
空隙的实际体积小于八面体体积。
图 9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
（to K ）图9.2由图（C ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：11 1 OC AC = ；2AB = 羔 2 2R =：』2R2 2 2而八面体空隙中心到球面的最短距离为：OC -R =V 2R -R7414R此即半径为R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。
氮化镓的四面体空隙和八面体空隙
氮化镓的四面体空隙和八面体空隙
氮化镓（GaN）是一种重要的半导体材料，具有许多应用，包括LED、激光器和功率电子器件。
在晶体学中，我们可以讨论晶体结构中的空隙。
对于氮化镓晶体结构而言，它采用的是闪锌矿结构，这种结构具有八面体和四面体空隙。
首先，让我们来看四面体空隙。
在闪锌矿结构中，每个镓原子被六个氮原子包围，形成六个Ga-N键。
在这种结构中，四面体空隙是指四个氮原子组成的四面体空位，它们位于镓原子之间。
这些四面体空隙是晶格中的一种缺陷，可以影响材料的电学和光学性质。
接下来是八面体空隙。
在闪锌矿结构中，每个氮原子被四个镓原子包围，形成四个Ga-N键。
八面体空隙是指八个镓原子组成的八面体空位，它们位于氮原子之间。
八面体空隙也是晶格中的一种缺陷，对材料的性能有一定影响。
这些空隙对氮化镓的性质和行为都有重要影响。
四面体空隙和八面体空隙的存在会影响晶体的稳定性、光学吸收和发射特性、载流子扩散等物理性质。
因此，对这些空隙的理解对于优化氮化镓材料的性能和开发新的应用具有重要意义。
总的来说，氮化镓晶体结构中存在四面体空隙和八面体空隙，它们是晶体中的缺陷，对材料的性能有重要影响。
通过研究和理解这些空隙，可以更好地改进氮化镓材料的性能和开发其在各种应用中的潜力。
【最新精选】六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。
密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。
结构稳定。
最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积（A2）。
我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。
等径圆球紧密排列形成密置层，如图所示。
在密置层内，每个圆球周围有六个球与它相切。
相切的每三个球又围出一个三角形空隙。
仔细观察这些三角形空隙，一排尖向上，接着下面一排尖向下，交替排列。
而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中，有三个尖向上，另外三个尖向下。
如图所示，我们在这里将尖向上的三角形空隙记为B，尖向下的三角形空隙记为C。
第二密置层的球放在B之上，第三密置层的球投影在C中，三层完成一个周期。
这样的最密堆积方式叫做立方最密堆积（ccp，记为 A1型），形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。
这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp ，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。
在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。
也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。
在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。
中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。
这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。
认识四面体空隙与八面体空隙
认识四面体空隙与八面体空隙晶体结构中的空隙问题是高中化学学习中的自然生长点，以填隙视角认识晶体结构有助于提高学生的空间思维和推理思维，有利于学生正确理解晶胞的结构特点，从而更好地理解晶体的性质。
下面以离子晶体为例来说明这一问题。
离子键既无方向性也无饱和性，因此在离子晶体中通常采取离子尽可能紧密堆积的形式。
通常体积较大的离子（经常是阴离子）在晶体中尽可能相互接触，形成一种具体的堆积形式，体积较小的另一种离子（如阳离子）则填充在相应的堆积空隙中。
堆积空隙的形式有立方体、八面体、四面体等。
现将什么是四面体空隙和八面体空隙例举如下：⑴NaCl晶体，位于顶点和面心的Cl-构成面心立方堆积，Na+位于棱心和体心，处于Cl-堆积形成的八面体空隙的中心（如图3-76所示）。
图3-76 NaCl晶胞（面心立方中八面体空隙）示意图⑵ZnS 晶体，半径较大的S2-占据顶点和面心位置，为面心立方堆积，半径较小的Zn2+填充在四面体空隙中心（如图3-77所示）。
图3-77 立方ZnS晶胞（面心立方中四面体空隙）示意图⑶CaF2晶体，Ca2+占据顶点和面心位置，为面心立方堆积，F-填充在四面体空隙中心（如图3-78所示）。
图3-78 CaF2晶胞（面心立方中四面体空隙）示意图那么，了解了什么是四面体空隙和八面体空隙后，这些不同晶体结构中的四面体空隙和八面体空隙的数目如何判断呢？在面心立方最密堆积中，八面体空隙位于棱心和体心，因此一共有4个（1 + 1/4 × 12（棱））（如图3-79所示）。
四面体空隙位于晶胞内部，在每条体对角线的1/4和3/4这2处，因此一共有4×2=8个（如图3-80所示）。
图3-79 面心立方中八面体空隙图3-80 面心立方中四面体空隙体心立方中，八面体空隙位于面心和棱心，因此一共有6个（1/4 × 12（棱）+ 1/2 × 6（面）），如图3-81所示。
四面体空隙都位于面上，因此一共有12个（4 × 1/2 × 6（面）），如图3-82所示。
面心立方的四面体与八面体空隙
面心立方的四面体与八面体空隙
面心立方的四面体与八面体空隙是指，在面心立方结构中，存在一些由四个相邻面心立方原子构成的四面体空隙和由八个相邻面心立方原子构成的八面体空隙。
这些空隙是由于面心立方原子排列的规律性造成的，它们具有特殊的结构和性质。
由于这些空隙的存在，面心立方结构的空间利用率不是最大的，但是它们在一些特殊的物理性质和化学反应中发挥着重要的作用。
在材料科学中，利用这些空隙可以制备出一些具有特殊性能的材料，比如催化剂、吸附剂、离子交换剂等；在化学反应中，这些空隙也可以作为反应物分子的储存和转移场所，从而加速反应速率。
因此，研究面心立方的四面体与八面体空隙的结构和性质具有重要的理论和实践意义。
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正四面体空隙和正八面体空隙
正四面体空隙和正八面体空隙
正四面体空隙和正八面体空隙是晶体学中常见的两种空隙类型。
它们都是在一个晶体结构中存在的空隙，可以用来描述和解释晶体的物理性质和化学性质。
正四面体空隙是指位于晶体结构空间中的一种特殊的四面体空隙。
它的坐标位置是在晶体结构的空间中心，由四个相邻的原子围成一个四面体状的空间。
正四面体空隙的大小和形状受到晶体结构的影响，它可以用来描述晶体的对称性和结构稳定性。
正四面体空隙还可以作为晶体中离子交换和扩散的通道，影响晶体的电学和磁学性质。
而正八面体空隙则是指位于晶体结构中心周围的一种八面体空隙。
它的坐标位置是在晶体结构中心，由八个相邻的原子围成一个八面体状的空间。
正八面体空隙的大小和形状也受到晶体结构的影响，它可以用来描述晶体的对称性和结构稳定性。
正八面体空隙也可以影响晶体的电学和磁学性质，特别是对于一些过渡金属离子的扩散和交换。
综上所述，正四面体空隙和正八面体空隙是晶体学中重要的概念，它们可以用来描述晶体的空间结构和各种物理性质。
在实际应用中，了解它们的性质和特征可以帮助人们更好地理解材料的性质和行为。
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8 金属的结构和性质【 8.1 】半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1 （ a ）和 (b) ，图 9.1(c) 示出堆积所形成的正四面体空隙。
该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2 倍。
图 9.1由图和正四面体的立体几何知识可知：边长 AB=2R22 1 221 AMAEEM2AB BEDE高312212 122222AB21 AB1 A ER23 R2R2 3326R 1.633R3OA3AM6 R 1.225R中心到顶点的距离：42OM1AM6 R0.408R中心到底边的高度：46 中心到两顶点连线的夹角为：AOB2 6R / 2 222222Rcos 1 OAOBAB cos 12 6R / 2 22 OA OBcos 1 1/3109.47中心到球面的最短距离OA R 0.225R本题的计算结果很重要。
由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R 。
而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。
此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础 ( 见习题 9.04) 。
【8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。
空隙的实际体积小于八面体体积。
图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
图 9.2由图（ c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：1 1 1 OCAC2 AB2 2R2R222而八面体空隙中心到球面的最短距离为：OC R 2R R 0.414R此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。
0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r / r的下限值。
【 8.3 】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。
解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：OA2AD2 3R 1.155R33图 9.3三角形空隙中心到球面的距离为：OA R 1.155R R 0.155R此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径， 0.155 是“三角形离子配位多面体”中r / r的下限值。
【8.4 】半径为 R 的圆球堆积成A3结构，计算简单立方晶胞参数a和c 的数值。
解：图 9.4 示出 A3 型结构的—个简单六方晶胞。
该晶胞中有两个圆球、 4 个正四面体空隙和两个正八面体空隙。
由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数 a 或b。
根据9.01题的结果，可得：图 9.4a b 2Rc 2 6R 2 4 6R32 6 3c / a 1.6333【8.5 】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154R 的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R 的小球。
证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图9.5 （ a）和（ b）。
由图 9.5 （ a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。
因此，每个晶胞中 6 个八面体空隙6112 12 4 。
而每个晶胞中含 2 个圆球，所以每个球平均摊到3 个八面体空隙。
这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a ，短轴为a（a是晶胞参数）。
（圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心）图9.5八面体空隙所能容纳的小球的最大半径r0即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该aRC3距离为 2 。
体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而a4 a Rr2R 0.154RR。
代入2 13 ，得 3 。
由图 9.5 （ b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有 4 个四面体中6 4 1心，因此每个晶胞有12 个四面体空隙2。
而每个晶胞有 2 个球，所以每个球平均摊到 6 个四面体空隙。
这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为3 aa，4条短棱皆为2。
四面体空隙所能容纳的小球的最大半径rT等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球2 212a a的半径 R。
而从空隙中心到顶点的距离为2 45 a4 ，所以小球的最大半径为5a R 5 4R R 0.291R4 4 3【8.6 】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。
解：图 9.6 示出等径圆球密置单层的—部分。
图 9.6由图可见，每个球( 如 A)周围有 6 个三角形空隙，而每个三角形空隙由 3 个球围成，所6 1 2以每个球平均摊到 3 个三角形空隙。
也可按图中画出的平行四边形单位计算。
该单位只包含一个球（截面）和 2 个三角形空隙，即每个球摊到 2 个三角形空隙。
设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。
所以二维堆积系数为：R2 R2 24R2 0.9062R sin 60 3 / 2【8.7 】指出A1型和A3型等径圆球密置单层的方向是什么？解： A1 型等径团球密堆积中，密置层的方向与C3轴垂直，即与(111)面平行。
A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001) 面平行。
下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。
A1 型密堆积可划分出如图9.7(a)所示的立方面心晶胞。
在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即C3轴。
每一晶胞有 4 条体对角线，即在 4 个方向上都有C3轴的对称性。
因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层。
图 9.7A3 型密堆 可划分出如 9.7(b) 所示的六方晶胞。
球 A 和球 B 所在的堆 都是密置 ． 些 面平行于 (001) 晶面，即垂直于 c ，而 c 平行于六重C 6。
【8.8 】 按下面（ a ） ~（ c ） A1 、 A2 及A3型金属晶体的 构特征。
（a ）原子密置 的堆 方式、重复周期（ A2 型除外）、原子的配位数及配位情况。
（ b ） 空隙的种 和大小、空隙中心的位置及平均每个原子 到的空隙数目。
（ c ） 原子的堆 系数、所属晶系、晶胞中原子的坐 参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空点 型式等。
解：(a)A1 ，A2 和 A3 型金属晶体中原子的堆 方式分 立方最密堆 (ccp) 、体心立方密 堆 (bcp) 相六方最密堆 (hcp) 。
A1 型堆 中密堆 的重复方式 ABCABCABC ⋯，三 一重复周期， A3 型堆 中密堆 的重复方式 ABABAB ⋯，两 一重复周期。
Al 和 A3型堆 中原子的配位数皆12，而 A2 型堆 中原子的配位数 8— 14，在 A1 型和 A3 型堆中，中心原子与所有配位原子都接触．同6 个，上下两 各3 个。
所不同的是，A1 型堆 中，上下两 配位原子沿 C 3 的投影相差 60 呈 C 6的 称性，而 A3 型堆 中，上 下两 配位原子沿 c 的投影互相重合。
在 A2 型堆 中， 8 个近距离 ( 与中心原子相距3 a2) 配位原子 在立方晶胞的 点上， 6 个 距离 ( 与中心原子相距 a) 配位原子 在相 品胞的体心上。
(b)A1型堆 和 A3 型堆 都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。
四面体空隙可容 半径 0.225R的小原子． 八面体空隙可容 半径0.414R的小原子 (R堆 原子的 半径 ) 。
在 两种堆 中， 每个原子平均 到两个四面体空隙和 1 个八面体空隙。
差 在于， 两种堆 中空隙的分布不同。
在 A1 型堆 中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体 角6 R上，到晶胞 点的距离2 。
八面体空隙的中心分 在晶胞的体心和棱心上。
在0,0, 3;0,0, 5 ; 2 , 1 , 1 ; 2 , 1 , 7A3 型堆 中， 四面体空隙中心的坐 参数分88 3 3 8 3 3 8 。
而八面体2 , 1 , 1 ; 2 , 1 , 3空隙中心的坐 参数分3 34 3 3 4。
A2 型堆 中有 形八面体空隙、 形四面体 空隙和三角形空隙 ( 亦可 形三方双 空隙 ) 。
八面体空隙和四面体空隙在空 上是重复 利用的。
八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。
每个原子平均 到 3 个八面体空隙， 空隙可容 的小原子的最大半径0.154R 。
四面体空隙中心 在晶胞的面上。
每个原子平均 到 6 个四面体空隙， 空隙可容 的小原子的最大半径 0.291R。
三角形空隙上是上述两种多面体空隙的 接面，算起来，每个原子 到 12 个三角形空隙。
（c ）金属的 构形式 A1 A2 A3原子的堆 系数74.05% 68.02% 74.05%所属晶系 立方 立方 六方 晶胞形式面心立方体心立方六方实用标准文案晶胞中原子1 10,0,0;0,0,0; 的坐标参数0,0,0;, ,0;1 1 12 1 12 21 1 11, ,23 , ,2 23 2,0, ;0,,22 22晶胞参数与 a 2 2R4a b2R原子半径的关系aR 43c6R3点阵形式 面心立方体心立方 简单六方综上所述， A1，A2 和 A3 型结构是金属单质的三种典型结构形式。
它们具有共性， 也有差异。
尽管 A2 型结构与 A1 型结构同属立方晶体，但 A2 型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。
搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。
A1 型和 A3 型结构都是最密堆积结构， 它们的配位数、 球与空隙的比例以及堆积系数都相同。
差别是它 们的对称性和周期性不同。
A3 型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。
其密置层方向与 c 轴垂直。
而 A1 型结构的对称性比 A3 型结构的对称性高， 它属立方晶系， 可 划分出包含 4 个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。
A1 型结构将原子密置 层中C 6轴所包含的C 3轴对称性保留了下来。
另外，A3 型结构可抽象出简单六方点阵，而A1 型结构可抽象出面心立方点阵。
【 8.9 】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。
解：等径圆球的密置双层示于图9.9 。
仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括 2 个圆球，即 2 个圆球构成一个结构基元。
这两个球分布在两个密置层中，如球 A 和球 B 。
图 9.9密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。