金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算.doc
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8 金属的结构和性质
【 8.1 】半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图
9.1 （ a ）和 (b) ，图 9.1(c) 示出堆积所形成
的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的
2 倍。
图 9.1
由图和正四面体的立体几何知识可知：
边长 AB=2R
2
2 1 2
2
1 AMAE
EM
2
AB BE
DE
高
3
1
2
2
1
2 1
2
2
2
2
2
AB
2
1 AB
1 A E
R
2
3 R
2R
2 3
3
2
6R 1.633R
3
OA
3
AM
6 R 1.225R
中心到顶点的距离：
4
2
OM
1
AM
6 R
0.408R
中心到底边的高度：
4
6 中心到两顶点连线的夹角为：
AOB
2 6R / 2 2
2
2
2
2
2R
cos 1 OA
OB
AB cos 1
2 6R / 2 2
2 OA OB
cos 1 1/3
109.47
中心到球面的最短距离
OA R 0.225R
本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为
0.225R 。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配
位
多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。 此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础 ( 见习题 9.04) 。
【8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。 图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
图 9.2
由图（ c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：
1 1 1 OCAC
2 AB
2 2R2R
2
2
2
而八面体空隙中心到球面的最短距离为：
OC R 2R R 0.414R
此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 0.414
是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时
r / r
的下限值。
【 8.3 】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。
解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：
OA
2
AD
2 3R 1.155R
3
3
图 9.3
三角形空隙中心到球面的距离为：
OA R 1.155R R 0.155R
此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径， 0.155 是“三
角形离子配位多面体”中
r / r
的下限值。
【8.4 】半径为 R 的圆球堆积成
A3
结构，计算简单立方晶胞参数
a
和
c 的数值。
解：图 9.4 示出 A3 型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、 4 个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数 a 或b。根据9.01题的结果，可得：
图 9.4
a b 2R
c 2 6R 2 4 6R
3
2 6 3
c / a 1.633
3
【8.5 】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154R 的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R 的小球。
证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图9.5 （ a）和（ b）。由图 9.5 （ a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中 6 个八面体空隙
61
12 1
2 4 。而每个晶胞中含 2 个圆球，所以每个球平均摊到
3 个八面体空隙。这些
八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a ，短轴为a（a是晶胞参数）。
（圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心）
图9.5
八面体空隙所能容纳的小球的最大半径
r
0即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该
a
R
C3
距离为 2 。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而a
4 a R
r
2
R 0.154R
R
。代入
2 1
3 ，得 3 。
由图 9.5 （ b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有 4 个四面体中
6 4 1
心，因此每个晶胞有12 个四面体空隙
2
。而每个晶胞有 2 个球，所以每个球平均摊到 6 个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为
3 a
a，4条短棱皆为2。