微分几何第二章曲面论第三节复习2

则 称 为 曲 面 在 点P的 主 方 向. 问题：曲 面 在 一 点 处 的 主 方 向是 否 存 在 ？
若 存 在, 有 多 少 个 ？
设方它向们(d既) 正 d交u :又dv共是轭 主， 方向ddrr，(nr)
u :
0， 0
v是另一个主方向，
即
Eduu F (duv Lduu M (duv
L M N 0, 平面上每一个点都是平点.
例6 证明球面上每一个点都是圆点.
证：球
r r
面 方 程 为:
r
{R
cos
cos
,
R
cos
{ R sin cos , R sin sin , R
{ R cos sin , R cos cos ,0}
sin cos }
,
R
sin
}
E
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
1.曲面的渐近方向
定义 曲 面(S)在 点P的 杜 邦 指标 线 的 渐 近 方向
叫 做 曲 面(S )在 点P的 渐 近 方 向.
曲面(S)在点P的方向du : dv是渐近方向 Ldu2 2Mdudv Ndv2 0. 渐近方向方程
注 (1) 渐近方向的个数
dr .
两个方向(d) du : dv和( ) u :v共轭
dn r
0或n
dr
0.
定义 曲面上两族曲线构成的曲线网，
如果不同族的曲线的切方向都共轭，
则称这个曲线网为共轭曲线网. 命题 曲线族A(u, v)du B(u, v)dv 0 ( A2 B2 0)
共轭曲线族的微分方程是
(BL AM )u (BM AN )v 0.
定义 曲面(S)上两族渐近曲线构成的曲线网
称 为 曲 面( S )的 渐 近 曲 线 网(简 称 渐 近 网). 注 只含椭圆点的曲面上无，渐近曲线也，无渐近曲线网
只含双曲点的曲面上由，于LN M 2 0， 经过每一点有两条渐近曲线， 即渐近曲线方程Ldu2 2Mdudv Ndv2 0有两组解： A1du B1dv 0，A2du B2dv 0，它们构成渐近曲线网 只含抛物点的曲面上由，于LN M 2 0， Ldu2 2Mdudv Ndv2 0可化为( Adu Bdv)2 0,
0
(d ) du : dv
法截面
法截面
定义
(法曲率)曲
kn
k0 k0
面 在 给 定 点 沿 一 方 向的 法 法 截 线 向n的 正 侧 弯 曲 法 截 线 向n的 负 侧 弯 曲
曲
率kn为
：
定理 (梅尼埃定理)
法截线
曲 面 曲 线(C )在 给 定 点P的
曲 率 中 心C就 是 与 曲 线(C ) 具 有 共 同 切 线 的 法 截 线(C0 )
：dn
r
(dr
r)
(r)2
,
(r)2 0, 而r 0, 0,
dn dr.
“”若方向(d)满足dn dr, 取与(d)垂直的方向( )，
则drr 0，
dn
dr两边点乘r得：dn
r
(dr
r)
0,
(d)与( )既垂直又共轭, 故(d)是主方向.
下面计 由dn
算dr得 , kdnn.
dr
代入渐近网的方程得：L N 0. “”若L N 0，则渐近网方程变为2：Mdudv 0.
M 0，dudv 0. 即渐近网是曲纹坐标网 .
2.共轭方向
定义 若曲面(S)在P点的两个方向(d )和( )是
( S )在P点的 杜邦 指标 线的 共轭方向 ，
则(d )和( )就称为曲面(S)在P点的共轭方向.
只含抛物点的曲面上只有一组渐近曲线， 也无渐近曲线网； 只含平点的曲面上由，于L N M 0，
曲面上的任何曲线网都是渐近曲线网.
命题3 曲纹坐标网是渐近网 L N 0. 证: 渐近网的方程为：Ldu2 2Mdudv Ndv2 0.
曲纹坐标网的方程为：dudv 0. 即du 0或dv 0. “”若曲纹坐标网是渐近网，则du 0或dv 0.
du : dv是渐近方向 kn 0. 定义 曲面上的曲线如 ，果它上面每一点的切方向都是
渐 近 方 向 ，则 称 为 渐 近 曲 线.
渐近曲线的方程为：Ldu2 2Mdudv Ndv2 0.
定理 曲面(S)上的曲线(C)是渐近曲线 或者(C)是直线
或 者 它 在 每 一 点 的 密 切平 面 与( S )的 切 平 面 重 合.
上式还能写成：E F G 0 (*)
LMN
反之，将上述过程逆推可知(d，)和( )为主方向.
方程(*)为主方向方程.
dv2 dudv du2
将E
F
G 0展开得：
LMN
(EM FL)du2 (EN GL)dudv (FN GM)dv2 0
这是关于du : dv的二次方程，
(EN GL)2 4(EM FL)(FN GM)
}
L
r
n
R,
M r n 0,
N
r
n
R cos 2
,
E
r2
R2,
F
G
rr2r
R2
0,
cos2
,
E F G R, 且L, M, N不全为0.
LMN
球 面 上 每 一 个 点 都 是 圆点.
沿任何方向法曲率kn
II I
1. R
主方向的判别定理 (罗德里格定理)
曲面在一点处的方向(d
（2）如果LN M 2 0，则称点P为曲面的双曲点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 为 一对 共 轭 双 曲 线.
（3） 如 果LN M 2 0， 但L, N , M不 全为 零 ， 则称点P为曲面的抛物点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 为 一对 平 行 直 线.
（4）如果L N M 0，则称点P为曲面的平点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 不 存在.
S(C0 )
P. (d) R
上 同 一 点P的 曲 率 中 心C0在 曲 线(C )的 密 切 平 面 上 的 投 影.
(C ) n C C0 密切平面
即 kn k cos
法截面
梅尼埃定理
R Rn cos
3.3 杜邦(Dupin)指标线
rv
P.
N(x, y)
(d ) ru
(S)
定义 在P点沿切方向(d ) du : dv上取一点N，
(u, v ) 1 A1 (u, v) 2 A2
1 B1 2 B2
12
A1 A2
B1 0. B2
(S) : r r(u,v)
1.曲面上曲线的曲率
. P(C
)
u r
u(s),v v(s) r[u(s),v(s)]
n r
k cos
II I
Ldu2 2Mdudv Ndv 2 Edu2 2Fdudv Gdv 2
2.法截线、法曲率
法截线
法截线
n
S
0
P
n .
(C
0)
(d
)
du
:
dv
S
P.
(C0 )
证：设u :v是已知曲线族的共轭曲线族的切方向，
由共轭条件得：
Lduu M(duv dvu) Ndvv 0.
且 Adu Bdv 0
于是方
程 组( Lu
Adu
Mv)du
Bdv 0
(Mu Nv)dv
0
是关于du, dv的二元齐次线性方程组.
du, dv不全为零，
A
B
0
Lu Mv Mu Nv
r2
R2,
F
r
r
0,
G r2
R2 cos2 ,
n r r { cos cos, cos sin, sin }
EG F 2
又
r r r
{ R cos cos , R cos sin , R sin {R sin sin , R sin cos ,0} { R cos cos , R cos sin ,0}
dr2
,
dn dr dr2
II I
kn.
注 (1)由罗德里格定理可以看出，欲证(d )是主方向，
只需证dr// dn.
（2）dn dr叫罗德里格方程.
2.曲率线与曲率线网 定义 曲面上一曲线如，果它在每一点的切方向都是主方向，
则称该曲线为曲面上的曲率线， 由两族曲率线构成的曲线网称为曲率线网. 方程 dv 2 dudv du2
[( EN
GL)
2F E
(EM
FL)]2
4(EG E2
F
2
)
(EM
FL)2
0.
方程(*)总有解.
又 0 EN GL EM FL 0,
即 0 E F G . 此时, 每一个方向都是主方向. LMN
除此之外,方程(*)总有两个不相等的实根.
曲面在每一个点处总有两个主方向.
定义 曲面上满足E F G 的点称为曲面的脐点.
展开整理得(：BL AM )u (BM AN )v 0.
特 别 地 ，u 曲线族dv 0的共轭曲线族的方程为：
Lu Mv 0.
u 曲线族的共轭曲线族为v 曲线族 M 0.
命题4 曲面的曲纹坐标网是共轭网 M 0.
3.5 曲面的主方向和曲率线
1.主方向
定义 曲面在一点P的两个方向如，果它们既正交又共轭，
E F G 0
LMN 命题 在不含脐点的曲面片上，经过参数的选择，
可使曲率线网为曲纹坐标网. 证：曲率线网的微分方程为：dv2 dudv du2
E F G 0
LMN
即(EM FL)du2 (EN GL)dudv (FN GM)dv2 0
曲面上不含脐点，对任意一点都有 0， 故上式可通过因式分解得两族曲率线：
杜邦指标线的方程为Lx2 2Mxy Ny2 1.于是有
定理 两个方向(d) du : dΒιβλιοθήκη Baidu和( ) u :v共轭
Lduu M(duv dvu) Ndvv 0.
即dn
r
0或n
dr
0.
事实上，
dn
r
(nudu
Lduu M(duv
nv
ddvv)u ()ruNu dvrvvv)n
)
du
:
dv是主方向
dn
dr
其中 kn（, kn是曲面沿方向(d )的法曲率）. 证“ ：”设(d)是主方向, ( )是垂直于(d)的另一个主方向，
则它们既垂直又共轭,
dr r dr n
0， 0
n是单位向量，dn
n,
又dr,r
n,
dn与dr,r都
在
切
平
面
上,
dn
dr
r,
两
边
点
乘r得
dvu) dvu)
Gdvv Ndvv
0 .
0
将以上两式改写为：
(Edu Fdv)u (Fdu Gdv)v 0 (Ldu Mdv )u (Mdu Ndv)v 0 u,v不全为零，
Edu Fdv Fdu Gdv
0
Ldu Mdv Mdu Ndv
dv 2 dudv du2
使 PN
1 kn (kn 0), 随切方向(d )改变，
N点的轨迹称 为 曲 面(S )在P点 的 杜 邦 指 标 线.
方程
在
标
架{
P
;
ru
,
rv
}下
，
Lx2 2Mxy Ny2 1
曲面上点的分类
（1）如果LN M 2 0，则称点P为曲面的椭圆点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 为 一椭 圆.
Aidu Bidv 0 (i 1,2)
设i (i 1,2)是它们的积分因子，则 1 A1du 1B1dv, 2 A2du 2B2dv为u, v的全微分，
即ddvu
1 A1du 2 A2du
1 2
B1dv B2dv
,
这相当于作参数变换uv
u(u, v) ,
v(u, v)
且其雅可比行列式
若LN M 2 0，即椭圆点，有两个虚渐近方向. 若LN M 2 0，即双曲点， 有两个实渐近方向. 若LN M 2 0，即抛物点， 有一个实渐近方向. 若L N M 0，即平点，任何方向都是渐近方向.
(2)
kn
II I
Ldu2 2Mdudv Ndv 2 ， Edu2 2Fdudv Gdv 2
LMN
满足L M N 0的脐点称为平点.
满足L, M, N不全为0的脐点称为圆点.
脐 点圆平点点
L M N 0， L, M , N不全为0
注 (1)在脐点处，
kn
II I
Ldu2 2Mdudv Ndv 2 Edu2 2Fdudv Gdv 2
(常 数)，
在脐点沿任何方向法曲率都相等.
第二章
曲面论
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
3.2 曲面上曲线的曲率
(2)在脐点处， 0，任何方向都是主方向.
在非脐点处， 0，只有两个主方向.
曲面在每一个点处至少有两个主方向.
例5 证明平面上每一个点都是平点.
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