初中数学竞赛——整式的恒等变形(二)

第5讲 整式的恒等变形（二）

典型例题

一. 基础训练

【例1】 当341x y z -+=，222x y z +-=时，化简：222232108x xy y xz yz z --++-的结果是（ ）

(A ) 1 (B ) 0 (C ) 2x - (D ) 2x -

【例2】 若222214()(23)a b c a b c ++=++，求::a b c .

【例3】 设a 、b 、c 为有理数，且0a b c ++=，3330a b c ++=.求证：对任意正奇数n ，都有

0n n n a b c ++=.

【例4】 已知x y z a ++=，xy yz zx b ++=，xyz c =，用a 、b 、c 表示22222xy x y yz y z z x ++++2x z +.

【例5】 设32x mx nx r +++是x 的一次式的完全立方式，求证：23mr n =.

【例6】 求证：222-121(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a a a ++++

+-=++++++++.

【例7】 求证：44422222[()()()][()()()]y z z x x y y z z x x y -+-+-=-+-+-.

【例8】 已知：0a b c ++=，求证：555333222

532

a b c a b c a b c ++++++=⋅.

【例9】 设

a b b c

=，求证：2222()2()()a b c a b c a b c a c +++++=+++

【例10】 已知实数a b 、满足0ab ≠，且22333233()()8a b a b a b +=++，求

b a a b

+的值.

【例11】 设有多项式43224442(1)(1)A x px qx p m x m =-+++++，求证：如果A 的系数满足

244(1)0p q m --+=，那么A 恰好是一个二次三项式的平方.

二. 巩固提高 【例12】 已知221m n +=，221p q +=，0mp nq +=，求证：221m p +=，221n q +=，0mn pq +=.

【例13】 已知a 、b 、c 两两不等，且满足关系式：222222a b mab b c mbc c a mac ++=++=++.

（1）求m 的值； （2）求证：222222()a b c a b mab ++=++.

【例14】 设a b c abc ++=，求证：222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a b c b c a c a b abc --+--+--=.

【例15】 证明：33333333333()()()()x y z xyz yz zx xy xyz x y z y z z x x y ++-++=++-++.

【例16】 已知：0ax by +=，220cx dxy cy ++=且0,0x y ≠≠，求证：22a c b c abd +=.

三. 数论中的应用

【例17】 设x 、y 、z 都是整数，且11整除725x y z +-，求证：11整除3712x y z -+.

【例18】若a、b、c都是自然数，且满足54

=，且19

c d

=，54

a b

-的值.

c a

-=，求d b

【例19】若x是自然数，设432

=++++，则

2221

y x x x x

(A) y一定是完全平方数

（B）存在有限个x，使y是完全平方数

（C）y一定不是完全平方数

（D）存在无限多个x，使y是完全平方数

【例20】已知0

++++++=的整数a、b、c的值.

abc ab cb ca a b c

>>>，求适合等式1989

a b c

【例21】证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式2

++总取整数值，那么2a、a b

ax bx c

+和c都是整数，并且反过来也成立.

【例22】证明：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和.

思维飞跃

【例23】若a、b、c、d是整数，且22

=+，22

m a b

=+，求证：mn可以表示成两个整数的平方

n c d

和.

【例24】已知m、n都是自然数，且m n

≠，求证：44

+一定可以表示为四个自然数的平方.

m n

4

【例25】 已知直角三角形勾、股、弦长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是整数，a 为质数，求证：2(1)

a b ++是完全平方数.

【例26】 已知0an bm -≠，0a ≠，20ax bx c ++=，20mx nx p ++=.

求证：2()()()cm ap bp cn an bm -=--.

【例27】 设()()()()()()a b b c c d d a a b c d bcd cda dab abc ++++=++++++.求证：ac bd =.

作业

1.已知222222

++=++，试求()()()

a b b c c a ab bc ca

---的值.

a b b c c a

2.多项式444222

+++-++的值为（）

m n m n m mn n

()2()

(A)等于零 (B)大于零 (C)小于零 (D) 无法确定

3.求证：248215

++++=++++.

x x x x x x x

(1)(1)(1)(1)1

4.若正整数a、b、c满足222

+=且为质数，那么b、c两数应（）

a b c

(A)同为奇数 (B)同为偶数 (C)一奇一偶 (D) 同为合数