函数与方程较难题(详细答案)
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6．设 ，若“方程 满足 ，且方程至少有一根 ”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为
（A）8（B）10（C）12（D）14
【答案】C
【解析】由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为 时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为 时，有3个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。
．
[解法二] 令 ，则
，
，
即 ，
故 ，
得 是周期为2的周期函数，
所以
评卷人
得分
二、新添加的题型
9．已知函数 满足 ，当 时， ，若在区间 上方程 有两个不同的实根，则实数 的取值围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：方程 有两个不同的根 有两个不同的根 与函数 的图象有两个不同的交点，当 时， ， ，所以 在同一坐标系作出 与 的图象，由图象可知，当两个
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
15．已知命题p:方程 有两个不等的负根;命题q：方程 无实根．若 为真， 为假，试数m的取值围．
考点：函数零点个数的判断
12．若 满足 ， 满足 ，函数 ，
则关于 的方程 解的个数是（ ）
A．1 B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知得， ， ，在同一坐标系中作出 ， 以及 的图象，其中 ， 的图象关于 对称，直线 与 的交点为（2，2），所以 ，
，当 时， ， 或 ；当 ， ，所以方程 解的个数是3个．
∴ ，∴ 在 上单调递增， 上单调递减，∴不妨设 ，
，令 ，设 ，
∴ ，令 ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
即当 时， ， ，故 ，
∴ ， ，又∵ ， ， ，∴ ，
∴ ．
考点：导数的运用．
11．函数 的零点有
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：在同一个坐标系中，画出函数 与函数 的图象，则图象的交点个数，就是函数 的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故答案为C
解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续
f( )=e -2＜0，f( )=ln +e =e -1＞0，f（1）=e＞0
故满足条件的区间为（0， ）
故选A．
5．方程的正根个数为（）
A、0B、1C、2D、3
【答案】
A
【解析】
本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标。
事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。
考点：命题的真假判断与应用．
14．若直线 与曲线 有且仅有三个交点，则 的取值围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意得，曲线C是由椭圆上半部分 和双曲线 上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为 ，与直线 平行；当直线 过右顶点时，直线 与曲线C有两个交点，此时， ；当直线 与椭圆相切时，直线 与曲线C有两个交点，此时 ；由图像可知， 时，直线 与曲线C有三个交点.
当 时，
因此
2、当 时， ，于是
3、若 ，则 或 ，解得 或
于是答案选A
3．若关于 的方程 有三个不相同的实根，则实数 的取值围为（）
A． B．ห้องสมุดไป่ตู้
C． D．
【答案】D
【解析】
4．函数 的零点所在的区间是
(A)( )(B)( )(C)( )(D)( )
【答案】A
【解析】由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f（a）f（b）＜0即为满足条件的区间
考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数.
13．给出下列命题：①在区间 上，函数 , , , 中有三个是增函数；②若 ，则 ；③若函数 是奇函数，则 的图象关于点 对称；④已知函数 则方程 有 个实数根，其中正确命题的个数为 （）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【答案】B
【解析】
试题分析：对于①，四个函数中 在区间 上为减函数， 在区间 上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故①不正确；对于②，由 ，得 由函数 是增函数，可得 ，故②正确；对于③，因为 是奇函数，得 图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得 的图象关于 对称，得③正确；对于④，函数 ，可得当 或 时满足 ，即方程 有2个实数根，可得④正确其中的真命题是②③④，共3个．
7．已知 是方程 的两个根，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 原方程变形为 ，即 .
令 ，则 ，解得 .所以 或 ，所以方程的两根分别为 和 ，所以 . 故选（C）.
8．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意 ，满足
， ，则 =（ ）
【答案】 ．
【解析】[解法一] 由题设条件知
，
因此有 ，故
函数图象有两个不同公共点时， 的取值围为 。
考点：分段函数、函数零点，数形结合思想。
10．（本小题满分12分）已知函数
（1）若函数 无零点，数 的取值围；
（2）若存在两个实数 且 ，满足 , ，求证 ．
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知， 无零点等价于不存在实数 ，使得 ，因此考虑通过求导来求函数 的值域： ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度
2．已知函数 函数 ，若存在 ，使得 成立，则实
数 的取值围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，由题
1、当 时， 故
函数与方程较难题（详细答案）
1．设函数 ，若 的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是
A.当 时，
B. 当 时，
C. 当 时，
D. 当 时，
【答案】：B
【解析】：令 可得 。
设
不妨设 ，结合图形可知，
当 时如右图，此时 ，
即 ，此时 ， ，即 ；同理可由图形经过推理可得当 时 .答案应选B。
∴ ，而当 时， ，当 时， ，，∴ 的值域为 ，从而实数 的取值围是 ；（2）由题意可知， ，
从而问题等价于求证函数 图象关于直线 的不对称性，即等价于求证 时， ，通过构造辅助函数通过求导即可得证．
试题解析：（1）令 ，∴ ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，而当 时， ，当 时， ，，∴ 的值域为 ，∴实数 的取值围是 ；（2）由（1）可知， ，∵ ，
（A）8（B）10（C）12（D）14
【答案】C
【解析】由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为 时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为 时，有3个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。
．
[解法二] 令 ，则
，
，
即 ，
故 ，
得 是周期为2的周期函数，
所以
评卷人
得分
二、新添加的题型
9．已知函数 满足 ，当 时， ，若在区间 上方程 有两个不同的实根，则实数 的取值围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：方程 有两个不同的根 有两个不同的根 与函数 的图象有两个不同的交点，当 时， ， ，所以 在同一坐标系作出 与 的图象，由图象可知，当两个
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
15．已知命题p:方程 有两个不等的负根;命题q：方程 无实根．若 为真， 为假，试数m的取值围．
考点：函数零点个数的判断
12．若 满足 ， 满足 ，函数 ，
则关于 的方程 解的个数是（ ）
A．1 B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知得， ， ，在同一坐标系中作出 ， 以及 的图象，其中 ， 的图象关于 对称，直线 与 的交点为（2，2），所以 ，
，当 时， ， 或 ；当 ， ，所以方程 解的个数是3个．
∴ ，∴ 在 上单调递增， 上单调递减，∴不妨设 ，
，令 ，设 ，
∴ ，令 ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
即当 时， ， ，故 ，
∴ ， ，又∵ ， ， ，∴ ，
∴ ．
考点：导数的运用．
11．函数 的零点有
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：在同一个坐标系中，画出函数 与函数 的图象，则图象的交点个数，就是函数 的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故答案为C
解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续
f( )=e -2＜0，f( )=ln +e =e -1＞0，f（1）=e＞0
故满足条件的区间为（0， ）
故选A．
5．方程的正根个数为（）
A、0B、1C、2D、3
【答案】
A
【解析】
本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标。
事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。
考点：命题的真假判断与应用．
14．若直线 与曲线 有且仅有三个交点，则 的取值围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意得，曲线C是由椭圆上半部分 和双曲线 上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为 ，与直线 平行；当直线 过右顶点时，直线 与曲线C有两个交点，此时， ；当直线 与椭圆相切时，直线 与曲线C有两个交点，此时 ；由图像可知， 时，直线 与曲线C有三个交点.
当 时，
因此
2、当 时， ，于是
3、若 ，则 或 ，解得 或
于是答案选A
3．若关于 的方程 有三个不相同的实根，则实数 的取值围为（）
A． B．ห้องสมุดไป่ตู้
C． D．
【答案】D
【解析】
4．函数 的零点所在的区间是
(A)( )(B)( )(C)( )(D)( )
【答案】A
【解析】由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f（a）f（b）＜0即为满足条件的区间
考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数.
13．给出下列命题：①在区间 上，函数 , , , 中有三个是增函数；②若 ，则 ；③若函数 是奇函数，则 的图象关于点 对称；④已知函数 则方程 有 个实数根，其中正确命题的个数为 （）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【答案】B
【解析】
试题分析：对于①，四个函数中 在区间 上为减函数， 在区间 上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故①不正确；对于②，由 ，得 由函数 是增函数，可得 ，故②正确；对于③，因为 是奇函数，得 图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得 的图象关于 对称，得③正确；对于④，函数 ，可得当 或 时满足 ，即方程 有2个实数根，可得④正确其中的真命题是②③④，共3个．
7．已知 是方程 的两个根，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 原方程变形为 ，即 .
令 ，则 ，解得 .所以 或 ，所以方程的两根分别为 和 ，所以 . 故选（C）.
8．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意 ，满足
， ，则 =（ ）
【答案】 ．
【解析】[解法一] 由题设条件知
，
因此有 ，故
函数图象有两个不同公共点时， 的取值围为 。
考点：分段函数、函数零点，数形结合思想。
10．（本小题满分12分）已知函数
（1）若函数 无零点，数 的取值围；
（2）若存在两个实数 且 ，满足 , ，求证 ．
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知， 无零点等价于不存在实数 ，使得 ，因此考虑通过求导来求函数 的值域： ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度
2．已知函数 函数 ，若存在 ，使得 成立，则实
数 的取值围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，由题
1、当 时， 故
函数与方程较难题（详细答案）
1．设函数 ，若 的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是
A.当 时，
B. 当 时，
C. 当 时，
D. 当 时，
【答案】：B
【解析】：令 可得 。
设
不妨设 ，结合图形可知，
当 时如右图，此时 ，
即 ，此时 ， ，即 ；同理可由图形经过推理可得当 时 .答案应选B。
∴ ，而当 时， ，当 时， ，，∴ 的值域为 ，从而实数 的取值围是 ；（2）由题意可知， ，
从而问题等价于求证函数 图象关于直线 的不对称性，即等价于求证 时， ，通过构造辅助函数通过求导即可得证．
试题解析：（1）令 ，∴ ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，而当 时， ，当 时， ，，∴ 的值域为 ，∴实数 的取值围是 ；（2）由（1）可知， ，∵ ，