古希腊数学家丢番图

古希腊数学家 ——丢番图
生平事迹
对于丢番图的生平事迹，人们知道的很少。据推断和计算 而知，丢番图是约公元246-300年古希腊亚历山大后期的重要 学者和数学家。在一本《希腊诗文选》（这是公元500年前后 的遗物，大部分为语法学家梅特罗多勒斯所著，其中有46首和 代数问题有关的短诗）记载到亚历山大时期的丢番图对代数学 的发展起到了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影 响。 丢番图被认为是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研 究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。丢番图 有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部是《多角数》， 另外一些已遗失。
《算术》是讲数的理论的，但大部分内容可以划入代数的范围。它 的特点是完全脱离了几何的形式，与欧几里得时代的经典大异其趣。 另一个特点是创用了一套缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都 用特殊符号来表示。在丢番图以前，所有的问题都是用文字来叙述。 丢番图创用的这些记号，虽然还只具缩写性质，却不失为代数符号的 滥觞。有人称丢番图类型的代数为“简写代数”。是真正符号代数出 现之前的一个重要阶段，这在代数发展史上是一个巨大的进步。 《算术》传到欧洲是比较晚的。16世纪，胥兰德翻译出版了拉丁文 《算术》。其后，巴歇出版了经他校订的拉丁文对照本。《算术》中最 著名的一个不定方程是第2卷的问题8，丢番图的表述是：
丢番图方程
丢番图《算术》特别以不定方程的求解而著称。所谓“不定方 程”，是指未知数个数多于方程个数的代数方程（组）它是数论的一 个分支。这类问题在丢番图以前已有人接触过，如阿基米德“牛群问 题”，就涉及含8个未知数的7个方程的求解。但丢番图是第一个对不 定方程问题作广泛、深入研究的数学家，以致今天我们常常把求整系 数不定方程的整数解的问题叫“丢番图问题”或“丢番图分析”，而 将不定方程称之为“丢番图方程”。 丢番图方程是数论中最古老的一个分支，其内容极其丰富，与代 数数论，代数几何，组合数学等有密切的联系。它的分类基本上是由 方程的形式决定的，例如，可分为一次方程、二次方程、三次方程、 高次方程、指数方程和一些特殊类型的方程，以及和许多学科交叉渗 透产生的新的类型。
总之，对丢番图方程的研究，已经得到了许多优秀的 成果，虽然如此，这一领域还有许多未解决的问题，特别 是在研究其他相关学科的过程中，提出了许多有待完全解 决的丢番图方程的问题，我们利用现代数论的研究成果， 一般可以给出二元的高次丢番图方程的解的绝对值的上界， 但是所得出的上界却往往太大，因此很难给出方程的全部 解，而对于其它类型的丢番图方程，特别是指数丢番图方 程，还存在相当广阔的研究领域。
将一个已知的平方数分为两个平方数
这问题之所以有名，主要是因为17世纪法国数学家费马在阅读巴 歇校订的拉丁文本《算术》时对该问题所做的边注，引出了后来举世 瞩目的“费马大定理”。《算术》这本书也使得费马走向了近代数论 之路，他在这个本子上写了许多批注，费马的儿子将全部批注插入正 文，与1670年再版。这也说明了丢番图的《算术》这部著作对后世的 深刻影响。 当然《算术》也表现出希腊代数的一些弱点，丢番图解答代数问题 是依靠高度的技巧，方法上缺乏一般性，基本上是一题一法。难怪有 人说：研究了丢番图的一百道题后，还不知道怎样去解第一百零一道 题。
《算术》
在所有亚历山大后期的数学著作中，古典希腊几何传统最离经叛 道的一本要属丢番图的《算术》，这部具有东方的色彩的著作，用纯 分析的角度处理数论问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标 志。 《算术》是一本问题集，据作者自序称全书共13卷，但长期以来， 大家以为只有J.雷格蒙塔努斯1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文手 抄本保存下来，1973年在伊Байду номын сангаас境内的马什哈德又发现了4卷阿拉伯文。 这样，现存的丢番图《算术》共10卷（1-10），含290个问题。
研究丢番图方程的历史悠久。近年来在这领域已经出现了许多 引人注目的优秀成果，主要归纳为两个方面的。一方面是对丢番图方 程本身的，一方面是丢番图方程对群论，组合论、代数论以及相关学 科领域的应用。但由于丢番图方程对解的特殊限制，在数论及数学的 其他分支，有许多急待解决而又有很大困难的问题最终都可归纳为某 些丢番图方程的求解问题，因此丢番图方程称为历史上最为活跃的数 学领域之一。国内外有很多优秀的数学家都从事过丢番图方程的研究。 近三十年来，这个领域有其重要的发展，如在信息编码理论，代数数 论以及丢番图分析理论中都要用到不少类型的三次丢番图方程的结果。 这就迫使我们有必要研究三次丢番图方程的一些基本类型的解法。对 于一次和两次丢番图方程的解法，已经基本成熟，而对于三次丢番图 方程的解法，还没有一般的结论，还有待于进一步的讨论。
解：设丢番图活了x岁。 1 1 1 1 （1）丢番图的寿命：x x x x 5 x 4 6 12 7 2
解得 x 84
由此可知丢番图活了84岁。 1 1 1 （2）.丢番图开始当爸爸的年龄： 84 ×（ 6 12 7 ）+5=38 （岁） 则丢番图开始当爸爸的年龄为38岁。 （3）.儿子死时丢番图的年龄： 84-4=80（岁）
墓志铭
丢番图的出生日期不可考，但他的墓碑上有很经典的一道数学题目被收 集在公元5世纪前后的希腊诗文集中，内容是这样的：
坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予他的童年占六分之一， 又过了十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟来的儿子，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。 终于告别数学，离开了人世。
从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数 学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。 就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有 现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上 是代数。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为 只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披 上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都 纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几 何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而 在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一 帜。他被后人称为“代数学之父”不无道理。