1.2《点线面之间的位置关系--平面的基本性质3》教案(苏教版必修2)

第7课时平面的基本性质（三）

教学目标：

使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：

一、复习回顾：

三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：

例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.

［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.

分析：两两相交，是说每两条直线都相交.

此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？

［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.

［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？

［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.

［师］生丁所述有道理吗？

［生］有道理，完全正确.

［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.

证明：∵AB、AC相交，

∴AB、AC确定一个平面，设为α

∵B∈AB,C∈AC

∴B∈α，C∈α

∴BC α

因此AB、AC、BC都在平面α内.

即AB、AC、BC共面.

注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.

［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？

［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.

［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）

［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.

［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.

证明：∵AB、AC相交

∴AB、AC确定一个平面α

∴点A、B、C∈α，且不共线

∵AB、BC相交

∴AB、BC确定一个平面β

∴点A、B、C∈β，且不共线

根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，

∴面α与面β重合

∴AB、AC、BC共面.

［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：

①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.

②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.

两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.

希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.

例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.

分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？

［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直

线上.

［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结

点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？

［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与

面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.

［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.

［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.

下面大家一起来写出此题的证明：

证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α

又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC

∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上

∴P、Q、R三点共线

例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.

求证：l1、l2、l3相交于一点

证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，

∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行

∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ

∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.

例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.

已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：l与a、b、c共面.

证明：∵a∥b

∴a、b确定一个平面，设为α

又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α

又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α

同理b、c确定一个平面β，l⊂β.

∴平面α与β都过两相交直线b与l.

由推论2，两条相交直线确定一个平面.

∴α与β重合.

故l与a、b、c共面.

例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

例6：如图正方体中，点C在与A、B不共面的其余8条棱上，画出过A、B、C三点的截面。

三、课堂练习：

课本P28习题6.