3.4基本不等式(第一课时)

学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛，是交于学生学 好数学和用好数学的好素材。 三、教学策略分析：
本节课地位很重要，鉴于这种情况，运用探究式教学方法较为合理，通过教 师适当的引导，让学生逐步体会到数形结合的神奇，并能正确的证明基本不等式， 解决实际问题，总结出“一正二定三相等”这一基本条件，并通过一些例子加深 学生对于这三个条件的认识。最后教师总结运用基本不等式解决问题策略的构 建。学生在教师的指导下，能够对课程内容进行总结和梳理，将知识形成一个网 络体系，并且能够运用基本不等式解决一些简单的实际问题。 四、教学手段
b
总结：矩形面积小于或等
于两个三角形面积之和，
a
b 当两个三角形面积相等时
取等号。
a
数学表达式：
设计一 个学生容易 操作的动手 活动，让学 生从动手中 感知数学原 理，从探究 中发现数学 原理。
通过学生自 己动手，引导 引导学生学 会从几何图 形向代数表 达式的转化， 得出重要不 等式的表示 形式，渗透数 形结合的数 学思想，并让 学生学习归 纳总结，激发 学生对学习 新知识的兴 趣
号成立） 这个不等式称为：基本不等式
基本不等式的认识：
1.结构
(1)左边是和，右边是“积”，实现和与积的互化
(2)不等式的使用条件：两个正数 (3)不等式取等条件：两个数相等 2.形式
通过观察、对 比认识基本 不等式。
（1）不等式自身的形式变换 （2）不等式中的 a,b 可以替换成其他为正的代数式
3.4 基本不等式：
ab a b （第一课时）
2
教学设计
一、教学内容解析
（一）教材的地位和作用
本节课是人教版《数学》必修 5 第三章第四节（第一课时），基本不等式是 高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最 基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、 二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时 基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。
学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式
的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导
和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和
探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标
1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和 代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维 过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；
从而得到重要不等式：
若 a,b R ，则 a2 b2 2ab （当且仅当 a b 时，等
号成立）
探究：若重要不等式的左边变为 a b ，那不 等式右边会变成什么结构？ 将重要不等式左边的式子用 a 去代换 a 2 ， b 去代换
b2 ，那么能够得到：
若 a,b R ，则 ab a b （当且仅当 a b 时，等 2
本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基
础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探
究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中
应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式
是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数
一
a2 b2 2ab
般 问：何时取等？
学生自己动 手证明不等 式。
让学生对于通 过实例得到的 不等式进行证 明，一方面复 习前面的知 识，另一方面
当a b时，取等号
旨在培养学生 严谨的数学思
问：你在证明过程中发现什么？
维，及由特殊
到一般的数学
对于不等式 1，其中成立的条件可以改为：
思想。
a,b R
a1 2 a
从基本不等式可以生产许多其他的不等式，其 “基本”二字可见一斑。
3.名称
a b 称为两个正数的算术平均值 2
ab 称为两个正数的几何平均值
所以重要不等式也称为：两个数均值不等式
思考：均值不等式拓展为 3 个数或 n 个数时，会是
例如： 当 a Leabharlann Baidu,b 0 时，
a
b
2
ab
2
当 a 0,b 0 时，用 1 , 1 分别取代换 a2 , b2 可 ab
以得到：
通过对基本不 等式的结构、 形式等方面的 认识，让学生 对基本不等式 对有更深刻的 了解，并且突 出本节的重 点。
11 2 a b ab
当 a 0,b 0 时，用 a, 1 代换 a2 , b2 可以得到： a
（2） a, b R , a2 b2 2ab
强调不等式成立的条件
a
当且仅当 a=b 时取等
b
（二）均值不等式的形成
教学过程设计
学生活动
设计意图
由 你能证明上面的不等式吗？
特 证明不等式 a,b R , a2 b2 2ab
殊 用差比法
a2 b2 2ab a b2
到
a b2 0
采用多媒体辅助教学。 五、教学过程
（一）均值不等式的引入
教学过程
学生活动
设计意图
课堂活动 1.请学生按照 2 人一个小组，4 人一个大组的方 式进行分组。 .将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个 等腰直角三角形。
3.将两个三角形斜边相对进行组合拼接。
4.从面积角度考察你所得到的图形中的不等关 系？
2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体 会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数 学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值 问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高 中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性 质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛， 条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数