第3讲数据的检错与纠错
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
K位要发送的信息码对应一个 k-1次多项式K （X），r位冗余位对应r-1次多项式R（X）,由 k位信息码后面加上r位冗余位组成的n=k+r位 码字则对应于一个n-1次多项式： T（X）=Xr· K（X）+ R（X）。
举例
信息位： 1011001 → K（X）= X6+ X4 + X3+ 1 冗余位： 1010 → R（X）= X3+ X 码字： 10110011010 → T（X）=X4· K（X）+ R（X） = X10+ X8 + X7+ X4+ X3+ X 以上多项式中的“+”都是模2加。
2.3.3 常用差错控制编码方法
奇偶校验码 恒比码 汉明码 循环码
奇偶校验码
奇偶校验码又称奇偶监督码，是最简单、最常用的 检错码。有奇数监督码和偶数监督码两种。 特点：奇偶校验编码只需在信息码后加一位校验位 （又称监督位），使得码组中“1”的个数为奇数或 偶数即可。奇偶监督码能够检测奇数个错码。 偶校验码：监督码元a0
恒比码
恒比码又称定比码。在恒比码中，每个码组 中“1” 的数目和“0”的数目保持恒定的比 例。故在收端只需检测接收码组中“1”的个 数是否正确。其纠错能力比奇偶监督码强。
汉明码
线性码是一种将信息位和监督位由一些线性代数 方程联系在一起的编码。 线性分组码：也称为（n，k）线性码，可用线性 方程组表述规律性的分组码。 汉明码是线性码的一种。 设总码长为n，信息位为k，监督位数为r=n-k ； 若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示 一位错码的n个可能的位置，则要求 ： 2r-1n 或 2r k+r+1
分组码结构
基本概念
码组重量：分组码的一个码组中“1”的数目。 码距：两个码组对应位上数字不同的位数称 码组间的码距。 最小码距： 某种编码所产生的各个码组间距 离的最小值。用d0表示。
最小码距d0与编码的检错和纠错能力的关系
检错：设要检测的错码个数为e，则要 求最小码距d0e+1 纠错：设要纠正的错码个数为t，则要 求最小码距d02t+1 同时纠错检错： d0e+t+1(e>t) 满足条件3可以同时纠正t个错，检出 e 个错。
分组码
分组码：将信息码分组，为每组信息码附加若 干监督码的编码，可用符号（n，k）表示。 分组码结构： 设码长n，信息位k，监督位r，有n=k+r。 n位线性分组码元
c1
c2
c3
ck
· · · · · · · · ·
cn
· · · · · · · · ·
d1
d2
d3
dk
k位信wk.baidu.com码元
r位监督码元
停发等侯重发： 原理简单，发送过程是间歇式的，数据传输 效率不高，仍在计算机通信中应用。 返回重发： 传输效率比停发等候系统有很大改进，在很 多数据传输系统中得到应用。 选择重发： 传输效率最高，但要求较为复杂的控制，在 收、发两端都要求有数据缓存器，价格也最贵。
信源
编码器
正向 通道 前向纠错 正向 通道
NAK 4
传输 5 6 2
3
4
5
6
7
8
9 t
(b) 返回重发 发送端 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15
传输 接收端 1 2* 3
NAK 4
t 7 8 9 10 11 12 13 t
传输 5 6 2
(c) 选择重发
检错重发的三种工作方式
检错重发三种工作方式的比较
前向纠错
信源
编码器
缓冲与 控制
正向 通道 反向 通道 检错重发
译码器
缓冲与 控制
用户
码组 发送端 1 传输 接收端 1
2 ACK 传输 2*
2 NAK 传输 2 (a) 停发等待重发
3 ACK 传输 3
4 ACK t
t 6 7 8 9 10 11 t
发送端 1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
传输 接收端 1 2* 3
对于一个给定的有扰信道，若该信 道容量为 C ，则只要信道中的信息传 输速率 R 小于 C ，就一定存在一种编 码方式，使编码后的误码率随着码长 n 的增加按指数下降到任意小的值。 或者说只要 R<C，就存在传输速率为 R的纠错码。
2.3.2 差错控制方式
前向纠错（FEC） 检错重发（ARQ） 混合纠错（HEC）
电力系统通信与网络技术
第三讲 数据的检错与纠错
2.3 数据的检错与纠错
2.3.1 差错控制编码的基本概念 2.3.2 差错控制方式 2.3.3 纠错检错码的基本原理 2.3.4 常用差错控制编码方法 2.3.5 差错控制的应用
2.3.1 差错控制编码的基本概念
传输差错：简称“差错”，在数据通信 中,由于来自信道中的各种干扰，使数据在 传输与接收的过程中可能发生差错。即接 收端接收的数据与发送端出现不一致的现 象。
例题
对于（n,k）汉明码，k=6，若要求能纠 正一位错误，则所需监督位r至少多少位？
要求2r k+r+1 可得 r=4
循环码(CRC码)
如果一个码组的每一次循环移位是另一 码组，这种码组叫做循环码。 循环码可以用线性方程确定。
循环码的生成
CRC码在发送端编码和接收端校验时，均可用 事先约定的生成多项式G(X)来得到。
由于R（X）是Xr· K（X）除以G（X）的余式，所 以， r K（X）= G（X）· X · Q（X）+ R（X） 其中，Q（X）为商式。 根据模2运算规则R（X）+ R（X）=0的特点，将 上式改写为：
[Xr· K（X）+
即
R（X）]/G（X）=Q（X） T（X）/ G（X）=Q（X）
两种错误形式 冗余度 分组码
两种错误形式
随机错误： 由随机噪声引起的码元错误。
突发错误： 由突发噪声引起的码元错误，如闪 电、电器开关的瞬态、磁带缺陷等。
冗余度
冗余码：监督码元或校验码元
冗余度：监督码元的位数
在信息码序列中加入监督码元才能完成 检错和纠错功能，其前提是监督码元要 与信息码之间有一种特殊的关系。 监督码元越多，冗余度越大，纠错能力 也越强，但效率却低。
举例
例如：3位二进制数构成的码组集合为23=8种 不同的码组，即，000，001，010，011， 100，101，110，111，下面分三种情况来讨 论： • 若8组都作为有用的码组，如表示天气， 000（晴），001（云），010（阴），011 （雨），100（雪），101（霜），110 （雾），111（雹），那么其中任一码组出 错都会变成另一码组，接收端将无法识别哪 一组出错。
a0 an1 an2 an3
a1
奇校验码：监督码元a0
a0 an1 an2 an3
a1 1
垂直监督码和水平监督码
I 11 I 21 I p1 r1 I 12 I 22 I 1q I 2q
I 11 I 21 I p1 I 12 I 22 I 1q r1 I 2 q r2
前向纠错（FEC）
收、发信之间只有一条单向通道（正向信道）。 实现纠错的唯一办法是传送纠错码。 可以在收端及时纠正差错，它要求的监督码多且 复杂，效率低，常用于误码较少的单向信道。
信源 正向 通道 前向纠错 用户
编码器
译码器
检错重发（ARQ）
发送端经编码后，发出能够检错的码；接收端收到后，在 通过反向信道反馈给发送端一个应答信号；发送端收到应 答信号后，进行分析，若是接收端认为有错，发送端就把 信源 用户 正向 存储在缓冲存储器中的原有码组复本读出，重新传输；如 编码器 译码器 通道 此重复，直至接收端接收到正确的信息为止。
举例（续1）
若只取其中4个码组作为许用码组： 000（晴）、011（云）、101（阴）、110（雨） 当000中错一位，变为100、010或001，而这三种码组都 是禁用码组，故可判定出错。 当出现三个错误时000变为111，它也是禁用码组。 若发生两个错误，如000变为011，则无法判断对错。 只能识别错误，但无法纠错，因为在收到100时，000， 101和110都可能变为100。
译码器
用户
混合纠错
信源
将前向纠错和检错重发方式的结合。当在该码 的纠错能力范围内时，自动纠正；当错误过多， 反向 通道 超出其纠错能力时，反馈重发。
检错重发 正向 通道 反向 通道 混合纠错 图2.3-1差错控制的基本方式 用户
编码器
缓冲与 控制
译码器
缓冲与 控制
用户
信源
ARQ
FEC
FEC
ARQ
2.3.2 纠错检错码的基本原理
差错控制技术的核心是采用高效的纠错检 错编码方法。
差错控制编码的基本思想（Shannon第二定律）： 在数字信号序列中加入一些冗余码元，这些冗 余码元不含有通信信息，但与信号序列中的信息码 元有着某种制约关系，这种关系在一定程度上可以 帮助人们发现或纠正在信息序列中出现的错误也就 是误码，从而起到降低误码率的作用
I p 2 I pq r2 rq
I p 2 I pq rp
垂直奇偶监督码
水平奇偶监督码
水平偶校验码表
按 列 发 送
二维奇偶监督码
按 列 发 送
二维奇偶监督码
能够检测出全部奇数个错码和大部分偶数个错码。但无法检 出在水平垂直方向上都成偶数的那些错码，例如构成矩形的 四个顶点位置上的错码就无法检出。
（三）CRC16=X16+ X12+ X5+ 1
（四）CRC32=X32+ X26+ X23+ X22 + X16+ X10+ X8+ X7 + X5+ X4+ X2 + X + 1
2.3.4 差错控制的应用
差错控制技术的应用，要视具体情况而 定。 当出现少量错码在接收端能够纠正时， 可采用前向纠错法（FEC）纠正，当错 码较多超过纠正能力，但可以检测时， 就可以用反向纠错法。 通常应对整个系统全面考虑后才能决定 采用哪种技术。
编码所研究的问题
根据实际通信系统对纠错能力的要求，寻找合 适的码型（通常是一种长码型）。要求该码型 可以在数学上证明具有满足要求的纠错能力， 并具有数学结构，且能够根据此结构用一些设 备实现编码和译码。 寻找实用的编码方法，尽量提高编码效率。 寻找实用的译码方法，尽量降低译码的复杂性。
例题
已知6个码组为：0000000，0001011， 0010101，0011110，0100110，101101。 求其间的最小码距dmin和能检出和纠正的 错码数t。 dmin=3 纠错：要求最小码距d02t+1 则 t=1
结论
要提高纠错检错能力，必须增大最小码 距。 用码率R=k/n表征编码效率。最小码距越 大，编码效率越低。 编码理论要解决的问题就是找出许用码 的集合，既要纠错能力强，又要编码效 率高。
举例（续2）
增加冗余度，只取两个作为许用码组： 000（晴） 111（雨） 可以检测两个以下的错误，并能纠正一位错误。 如收到011时，若只有一个错误，则判断错码在 第一位，纠正为111。 但若错误码数不超过两位，则存在两种可能， 000错两位和111错一位均可能变为011，因此只 能检错，而无法纠错。
检错方法
信道上发送的码字多项式T（X）=Xr· K （X）+ R（X），若传输过程无错，那 么，接收到的码字多项式能被G（X）整 除。 （即余式为零）。 除法是模2除法。
例题
在数据传输过程中，若收到发送方送来 的信息为10110011010，生成多项式为 G(X)=X4+ X3+ 1,接受方收到的数据是否 正确？ T（X）= X10+ X8+ X7+ + X4 + X3+ X T（X）/ G（X）= X6+ + X5 + X3+ X 可以整除，故接收正确
差错控制编码：寻找合适的方法将信息码元和冗余 码元编排在一起的过程。
f (t)
模拟信号 信道
f (t)+d(t)
O
t
干扰d(t)
O
t
(a) 模拟系统干扰示意图
f (t) 数字信号 信道 O t O t f (t)+d(t)
干扰d(t)
(b) 数字系统干扰示意图
两种通信系统干扰示意图
香农第二定律
例题
在数据传输过程中，若信息码的信息为 1011001，生成多项式为G(X)=X4+ X3+ 1, 求 T（ X ）
常用CRC码
目前广泛使用（推荐）的 (Cyclic Redundancy Check) 生成多项式有4种： （一）CRC12=X12+ X11+ X3++ X2 + X+ 1 （二）CRC16=X16+ X15+ X2 + 1
举例
信息位： 1011001 → K（X）= X6+ X4 + X3+ 1 冗余位： 1010 → R（X）= X3+ X 码字： 10110011010 → T（X）=X4· K（X）+ R（X） = X10+ X8 + X7+ X4+ X3+ X 以上多项式中的“+”都是模2加。
2.3.3 常用差错控制编码方法
奇偶校验码 恒比码 汉明码 循环码
奇偶校验码
奇偶校验码又称奇偶监督码，是最简单、最常用的 检错码。有奇数监督码和偶数监督码两种。 特点：奇偶校验编码只需在信息码后加一位校验位 （又称监督位），使得码组中“1”的个数为奇数或 偶数即可。奇偶监督码能够检测奇数个错码。 偶校验码：监督码元a0
恒比码
恒比码又称定比码。在恒比码中，每个码组 中“1” 的数目和“0”的数目保持恒定的比 例。故在收端只需检测接收码组中“1”的个 数是否正确。其纠错能力比奇偶监督码强。
汉明码
线性码是一种将信息位和监督位由一些线性代数 方程联系在一起的编码。 线性分组码：也称为（n，k）线性码，可用线性 方程组表述规律性的分组码。 汉明码是线性码的一种。 设总码长为n，信息位为k，监督位数为r=n-k ； 若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示 一位错码的n个可能的位置，则要求 ： 2r-1n 或 2r k+r+1
分组码结构
基本概念
码组重量：分组码的一个码组中“1”的数目。 码距：两个码组对应位上数字不同的位数称 码组间的码距。 最小码距： 某种编码所产生的各个码组间距 离的最小值。用d0表示。
最小码距d0与编码的检错和纠错能力的关系
检错：设要检测的错码个数为e，则要 求最小码距d0e+1 纠错：设要纠正的错码个数为t，则要 求最小码距d02t+1 同时纠错检错： d0e+t+1(e>t) 满足条件3可以同时纠正t个错，检出 e 个错。
分组码
分组码：将信息码分组，为每组信息码附加若 干监督码的编码，可用符号（n，k）表示。 分组码结构： 设码长n，信息位k，监督位r，有n=k+r。 n位线性分组码元
c1
c2
c3
ck
· · · · · · · · ·
cn
· · · · · · · · ·
d1
d2
d3
dk
k位信wk.baidu.com码元
r位监督码元
停发等侯重发： 原理简单，发送过程是间歇式的，数据传输 效率不高，仍在计算机通信中应用。 返回重发： 传输效率比停发等候系统有很大改进，在很 多数据传输系统中得到应用。 选择重发： 传输效率最高，但要求较为复杂的控制，在 收、发两端都要求有数据缓存器，价格也最贵。
信源
编码器
正向 通道 前向纠错 正向 通道
NAK 4
传输 5 6 2
3
4
5
6
7
8
9 t
(b) 返回重发 发送端 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15
传输 接收端 1 2* 3
NAK 4
t 7 8 9 10 11 12 13 t
传输 5 6 2
(c) 选择重发
检错重发的三种工作方式
检错重发三种工作方式的比较
前向纠错
信源
编码器
缓冲与 控制
正向 通道 反向 通道 检错重发
译码器
缓冲与 控制
用户
码组 发送端 1 传输 接收端 1
2 ACK 传输 2*
2 NAK 传输 2 (a) 停发等待重发
3 ACK 传输 3
4 ACK t
t 6 7 8 9 10 11 t
发送端 1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
传输 接收端 1 2* 3
对于一个给定的有扰信道，若该信 道容量为 C ，则只要信道中的信息传 输速率 R 小于 C ，就一定存在一种编 码方式，使编码后的误码率随着码长 n 的增加按指数下降到任意小的值。 或者说只要 R<C，就存在传输速率为 R的纠错码。
2.3.2 差错控制方式
前向纠错（FEC） 检错重发（ARQ） 混合纠错（HEC）
电力系统通信与网络技术
第三讲 数据的检错与纠错
2.3 数据的检错与纠错
2.3.1 差错控制编码的基本概念 2.3.2 差错控制方式 2.3.3 纠错检错码的基本原理 2.3.4 常用差错控制编码方法 2.3.5 差错控制的应用
2.3.1 差错控制编码的基本概念
传输差错：简称“差错”，在数据通信 中,由于来自信道中的各种干扰，使数据在 传输与接收的过程中可能发生差错。即接 收端接收的数据与发送端出现不一致的现 象。
例题
对于（n,k）汉明码，k=6，若要求能纠 正一位错误，则所需监督位r至少多少位？
要求2r k+r+1 可得 r=4
循环码(CRC码)
如果一个码组的每一次循环移位是另一 码组，这种码组叫做循环码。 循环码可以用线性方程确定。
循环码的生成
CRC码在发送端编码和接收端校验时，均可用 事先约定的生成多项式G(X)来得到。
由于R（X）是Xr· K（X）除以G（X）的余式，所 以， r K（X）= G（X）· X · Q（X）+ R（X） 其中，Q（X）为商式。 根据模2运算规则R（X）+ R（X）=0的特点，将 上式改写为：
[Xr· K（X）+
即
R（X）]/G（X）=Q（X） T（X）/ G（X）=Q（X）
两种错误形式 冗余度 分组码
两种错误形式
随机错误： 由随机噪声引起的码元错误。
突发错误： 由突发噪声引起的码元错误，如闪 电、电器开关的瞬态、磁带缺陷等。
冗余度
冗余码：监督码元或校验码元
冗余度：监督码元的位数
在信息码序列中加入监督码元才能完成 检错和纠错功能，其前提是监督码元要 与信息码之间有一种特殊的关系。 监督码元越多，冗余度越大，纠错能力 也越强，但效率却低。
举例
例如：3位二进制数构成的码组集合为23=8种 不同的码组，即，000，001，010，011， 100，101，110，111，下面分三种情况来讨 论： • 若8组都作为有用的码组，如表示天气， 000（晴），001（云），010（阴），011 （雨），100（雪），101（霜），110 （雾），111（雹），那么其中任一码组出 错都会变成另一码组，接收端将无法识别哪 一组出错。
a0 an1 an2 an3
a1
奇校验码：监督码元a0
a0 an1 an2 an3
a1 1
垂直监督码和水平监督码
I 11 I 21 I p1 r1 I 12 I 22 I 1q I 2q
I 11 I 21 I p1 I 12 I 22 I 1q r1 I 2 q r2
前向纠错（FEC）
收、发信之间只有一条单向通道（正向信道）。 实现纠错的唯一办法是传送纠错码。 可以在收端及时纠正差错，它要求的监督码多且 复杂，效率低，常用于误码较少的单向信道。
信源 正向 通道 前向纠错 用户
编码器
译码器
检错重发（ARQ）
发送端经编码后，发出能够检错的码；接收端收到后，在 通过反向信道反馈给发送端一个应答信号；发送端收到应 答信号后，进行分析，若是接收端认为有错，发送端就把 信源 用户 正向 存储在缓冲存储器中的原有码组复本读出，重新传输；如 编码器 译码器 通道 此重复，直至接收端接收到正确的信息为止。
举例（续1）
若只取其中4个码组作为许用码组： 000（晴）、011（云）、101（阴）、110（雨） 当000中错一位，变为100、010或001，而这三种码组都 是禁用码组，故可判定出错。 当出现三个错误时000变为111，它也是禁用码组。 若发生两个错误，如000变为011，则无法判断对错。 只能识别错误，但无法纠错，因为在收到100时，000， 101和110都可能变为100。
译码器
用户
混合纠错
信源
将前向纠错和检错重发方式的结合。当在该码 的纠错能力范围内时，自动纠正；当错误过多， 反向 通道 超出其纠错能力时，反馈重发。
检错重发 正向 通道 反向 通道 混合纠错 图2.3-1差错控制的基本方式 用户
编码器
缓冲与 控制
译码器
缓冲与 控制
用户
信源
ARQ
FEC
FEC
ARQ
2.3.2 纠错检错码的基本原理
差错控制技术的核心是采用高效的纠错检 错编码方法。
差错控制编码的基本思想（Shannon第二定律）： 在数字信号序列中加入一些冗余码元，这些冗 余码元不含有通信信息，但与信号序列中的信息码 元有着某种制约关系，这种关系在一定程度上可以 帮助人们发现或纠正在信息序列中出现的错误也就 是误码，从而起到降低误码率的作用
I p 2 I pq r2 rq
I p 2 I pq rp
垂直奇偶监督码
水平奇偶监督码
水平偶校验码表
按 列 发 送
二维奇偶监督码
按 列 发 送
二维奇偶监督码
能够检测出全部奇数个错码和大部分偶数个错码。但无法检 出在水平垂直方向上都成偶数的那些错码，例如构成矩形的 四个顶点位置上的错码就无法检出。
（三）CRC16=X16+ X12+ X5+ 1
（四）CRC32=X32+ X26+ X23+ X22 + X16+ X10+ X8+ X7 + X5+ X4+ X2 + X + 1
2.3.4 差错控制的应用
差错控制技术的应用，要视具体情况而 定。 当出现少量错码在接收端能够纠正时， 可采用前向纠错法（FEC）纠正，当错 码较多超过纠正能力，但可以检测时， 就可以用反向纠错法。 通常应对整个系统全面考虑后才能决定 采用哪种技术。
编码所研究的问题
根据实际通信系统对纠错能力的要求，寻找合 适的码型（通常是一种长码型）。要求该码型 可以在数学上证明具有满足要求的纠错能力， 并具有数学结构，且能够根据此结构用一些设 备实现编码和译码。 寻找实用的编码方法，尽量提高编码效率。 寻找实用的译码方法，尽量降低译码的复杂性。
例题
已知6个码组为：0000000，0001011， 0010101，0011110，0100110，101101。 求其间的最小码距dmin和能检出和纠正的 错码数t。 dmin=3 纠错：要求最小码距d02t+1 则 t=1
结论
要提高纠错检错能力，必须增大最小码 距。 用码率R=k/n表征编码效率。最小码距越 大，编码效率越低。 编码理论要解决的问题就是找出许用码 的集合，既要纠错能力强，又要编码效 率高。
举例（续2）
增加冗余度，只取两个作为许用码组： 000（晴） 111（雨） 可以检测两个以下的错误，并能纠正一位错误。 如收到011时，若只有一个错误，则判断错码在 第一位，纠正为111。 但若错误码数不超过两位，则存在两种可能， 000错两位和111错一位均可能变为011，因此只 能检错，而无法纠错。
检错方法
信道上发送的码字多项式T（X）=Xr· K （X）+ R（X），若传输过程无错，那 么，接收到的码字多项式能被G（X）整 除。 （即余式为零）。 除法是模2除法。
例题
在数据传输过程中，若收到发送方送来 的信息为10110011010，生成多项式为 G(X)=X4+ X3+ 1,接受方收到的数据是否 正确？ T（X）= X10+ X8+ X7+ + X4 + X3+ X T（X）/ G（X）= X6+ + X5 + X3+ X 可以整除，故接收正确
差错控制编码：寻找合适的方法将信息码元和冗余 码元编排在一起的过程。
f (t)
模拟信号 信道
f (t)+d(t)
O
t
干扰d(t)
O
t
(a) 模拟系统干扰示意图
f (t) 数字信号 信道 O t O t f (t)+d(t)
干扰d(t)
(b) 数字系统干扰示意图
两种通信系统干扰示意图
香农第二定律
例题
在数据传输过程中，若信息码的信息为 1011001，生成多项式为G(X)=X4+ X3+ 1, 求 T（ X ）
常用CRC码
目前广泛使用（推荐）的 (Cyclic Redundancy Check) 生成多项式有4种： （一）CRC12=X12+ X11+ X3++ X2 + X+ 1 （二）CRC16=X16+ X15+ X2 + 1