第三章 3.1 3.1.1 第二课时 函数的表示方法

第二课时函数的表示方法课标要求素养要求1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题提示解析法、图像法和列表法.1.函数的三种表示方法函数的定义中，对应关系有哪三种表达形式(1)解析法：在函数y ＝f (x )中，如果f (x )是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. (3)图像法①函数图像：一般地，将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }.②图像上点的坐标与函数的关系：如果F 是函数y ＝f (x )的图像，则图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )；反之，满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上.③图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ④作函数图像的方法ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 图像的变换不简单b.对称：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x ).求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把x 轴下方图像翻折到上方y ＝|f (x )|；y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像，并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像y ＝f (|x |).2.分段函数与常数函数(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.教材拓展补遗[微判断]1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示. 2.任何一个函数都可以用图像法表示.(×)提示 有些函数是不能画出图像的，如f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q .3.函数的图像一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×) 提示 反例：f (x )＝1x 的图像就不是连续的曲线. 4.分段函数是一个函数.(√)5.函数f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋1(x ∈N )的图像相同.(×) 提示 两函数的定义域不同，则图像不同.6.若f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )＝3x －1.(√) [微训练]1.函数f (x )＝3x －1，x ∈[1，5]的图像是( ) A.直线 B.射线 C.线段D.离散的点解析 ∵f (x )＝3x －1为一次函数，图像为一条直线，而x ∈[1，5]，则此时图像为线段.故选C. 答案 C 2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，x －1，x >1，则f (2)＝( ) A.0B.13C.1D.2解析f(2)＝2－1＝1.故选C.答案 C3.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是()A.f(x)＝|x|B.f(x)＝x－|x|C.f(x)＝x＋1D.f(x)＝－x解析验证法.若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.答案 C[微思考]1.是否所有的函数都有三种表示方法呢？提示不是，有些函数无法写出其解析式.2.函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图像的依据是什么？提示要检验一个图形是否为某个函数的图像，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为在此定义域内的函数图像；若无交点或多于1个交点，则不是函数图像.题型一三种表示法的应用无论用哪种方式表示的函数，都必须满足函数的概念【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来.解(1)列表法：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}. 规律方法 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.【训练1】 将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x ∈N *)的函数关系.解 这个函数的定义域为{x |1≤x <10，x ∈N *}. ①解析法：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫10－x 42. 将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254，x ∈{x |1≤x <10，x ∈N *}. ②列表法：一段铁丝长x (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S (cm 2) 418174298134258134298174418题型二求函数解析式方向1换元法(配凑法)、方程组法求函数解析式换元法要注意新元的取值范围，否则易弄错函数定义域【例2－1】求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).解(1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.(2)法一(换元法)：令t＝x＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1. 因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝13x2－2x.规律方法 1.已知f[g(x)]＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.方向2用待定系数法求函数解析式【例2－2】(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).解(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1. 规律方法 待定系数法求函数解析式：已知所要求的f (x )的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f (x )的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.【训练2】 (1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).解 (1)法一(换元法) 令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1. 法二(配凑法)f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1， ∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，令t ＝x －1x ，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴用1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0). 题型三 分段函数求值问题解决此问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段就用哪一段的解析式【例3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.解 当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围. 解 当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}. 规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.【训练3】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f [f （x ＋5）]，x ≤10，则f (5)的值是( )A.24B.21C.18D.16(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范围为()A.(－3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 (1)f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21，∴f (5)＝f (21)＝24.故选A. (2)当a ≤－2时，a <－3，∴a <－3；当－2<a <4时，a ＋1<－3，a <－4，此时不等式无解； 当a ≥4时，3a <－3，a <－1，此时不等式无解，故选C. 答案 (1)A (2)C题型四 分段函数的图像与应用坚持定义域优先的原则，注意定义域内各分界点，应不重不漏 【例4】 (1)已知f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).①用分段函数的形式表示函数f (x )；②画出函数f (x )的图像；③写出函数f (x )的值域.(1)解析 当0≤x ≤1时，f (x )＝－1； 当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－2，此时f (x )＝x －2. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.答案 f (x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2(2)解 ①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x . 所以f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.②函数f (x )的图像如图所示.③由(2)知，f (x )在(－2，2]上的值域为[1，3).规律方法 1.由分段函数的图像确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型. (2)设函数式：设出函数的解析式.(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 2.作分段函数图像的注意点作分段函数的图像时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图像在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点. 【训练4】 已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 （－1≤x ≤1），1 （x >1或x <－1）.(1)画出f (x )的图像； (2)求f (x )的值域.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示.(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1].一、素养落地1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.2.函数三种表示法的优缺点3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.二、素养训练1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A.2C.4D.5解析由表可知f(11)＝4.答案 C2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A.f(x)＝x2＋6xB.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3D.f(x)＝x2＋6x－10解析法一设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A. 答案 A3.已知函数f (x )由下表给出，则f [f (3)]＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241解析 1. 答案 14.已知f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________. 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b . 又f [f (x )]＝4x ＋8，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－8.∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8. 答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 5.已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2). (1)画出f (x )图像的简图； (2)根据图像写出f (x )的值域. 解 (1)f (x )图像的简图如图所示.(2)观察f (x )的图像可知，f (x )图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f (x )的值域是[－1，3].基础达标一、选择题1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）的值为( )A.1516 B.－2716 C.89D.18解析 当x >1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f （2）＝14.当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A. 答案 A2.已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.4B.14C.16D.116解析 根据题意令1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16.答案 C3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图像是( )解析 当x ＝－1时，y ＝0，即图像过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图像过点(1，2)，B 错.故选A. 答案 A4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图像是如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f [g (2)]＝( )x123f (x ) 2 3 0A.3B.2C.1D.0解析 由题图知g (2)＝1，∴f [g (2)]＝f (1)＝2.故选B. 答案 B5.设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则()A.x ＝－x |sgn x |B.x ＝－x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 对于选项A ，右边＝－x |sgn x |＝⎩⎨⎧－x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝x ，显然不正确；对于选项B ，右边＝－x sgn |x |＝⎩⎨⎧－x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝x ，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎨⎧|x |，x >0，0，x ＝0，－|x |，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故选D. 答案 D 二、填空题6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f {f [f (－2 018)]}＝________.解析 f (－2 018)＝0，∴f [f (－2 018)]＝f (0)＝π， ∴f {f [f (－2 018)]}＝f (π)＝π2＋1. 答案 π2＋17.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝______.解析 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍).当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或4. 答案 －6或48.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________. 解析 由表中对应值，知f [g (1)]＝f (3)＝1.当x ＝1时，f [g (1)]＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足条件； 当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足条件； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，不满足条件； 所以满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是2. 答案 1 2 三、解答题9.求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x ). (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x ).(4)若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，求f (x ).解 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2(x ≥1). (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2). (4)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，①∴用1x 代替x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x ＋12，②①×2－②得3f (x )＝4x －2x ＋12， ∴f (x )＝43x －23x ＋16(x ≠0).10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈（0，2），3，x ∈[2，＋∞）.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解 (1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3.(2)作出图像如图所示.利用数形结合易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.能力提升11.已知f (x )＝x 2－bx ＋c 且f (1)＝0，f (2)＝－3.(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1的表达式及其定义域. 解 (1)由⎩⎨⎧f （1）＝0，f （2）＝－3，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－3，解得b ＝6，c ＝5， 故f (x )＝x 2－6x ＋5.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x ＋1－6x ＋1＋5，由x ＋1>0得x >－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1的定义域为(－1，＋∞). 12.给定函数f (x )＝4－x 2，g (x )＝3x ，x ∈R . (1)画出函数f (x )，g (x )的图像；(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )，g (x )中的较小者，记为m (x )＝min{f (x )，g (x )}，请分别用图像法和解析法表示函数m (x ).解 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图像，如图.(2)结合函数m (x )的定义，可得到m (x )的图像如图.由4－x 2＝3x ，得x ＝－4或x ＝1， 结合m (x )的图像， 得m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x <－4，3x ，－4≤x ≤1，4－x 2，x >1.。