第三章 3.1 3.1.1 第二课时 函数的表示方法

第二课时函数的表示方法

课标要求

素养要求

1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.

2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.

教材知识探究

(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线：

(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表

污染源距离50100200300500

氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01

问题

提示解析法、图像法和列表法.

1.函数的三种表示方法函数的定义中，对应关系有哪三种表达形式

(1)解析法：在函数y ＝f (x )中，如果f (x )是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.

(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. (3)图像法

①函数图像：一般地，将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }.

②图像上点的坐标与函数的关系：如果F 是函数y ＝f (x )的图像，则图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )；反之，满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上.

③图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ④作函数图像的方法

ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 图像的变换不简单

b.对称：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x ).

求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把x 轴下方图像翻折到上方

y ＝|f (x )|；

y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像，

并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像y ＝f (|x |).

2.分段函数与常数函数

(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.

(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.

教材拓展补遗

[微判断]

1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)

提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示. 2.任何一个函数都可以用图像法表示.(×)

提示 有些函数是不能画出图像的，如f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，

－1，x ∈∁R Q .

3.函数的图像一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×) 提示 反例：f (x )＝1

x 的图像就不是连续的曲线. 4.分段函数是一个函数.(√)

5.函数f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋1(x ∈N )的图像相同.(×) 提示 两函数的定义域不同，则图像不同.

6.若f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )＝3x －1.(√) [微训练]

1.函数f (x )＝3x －1，x ∈[1，5]的图像是( ) A.直线 B.射线 C.线段

D.离散的点

解析 ∵f (x )＝3x －1为一次函数，图像为一条直线，而x ∈[1，5]，则此时图像为线段.故选C. 答案 C 2.已知函数f (x )＝

⎩⎨

⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，

x －1，x >1，则f (2)＝( ) A.0

B.13

C.1

D.2

解析f(2)＝2－1＝1.故选C.

答案 C

3.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是()

A.f(x)＝|x|

B.f(x)＝x－|x|

C.f(x)＝x＋1

D.f(x)＝－x

解析验证法.若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.

答案 C

[微思考]

1.是否所有的函数都有三种表示方法呢？

提示不是，有些函数无法写出其解析式.

2.函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图像的依据是什么？

提示要检验一个图形是否为某个函数的图像，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为在此定义域内的函数图像；若无交点或多于1个交点，则不是函数图像.

题型一三种表示法的应用

无论用哪种方式表示的函数，都必须满足函数的概念

【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来.

解(1)列表法：

x/台1234 5

y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000

x/台678910

y/元18 00021 00024 00027 00030 000

(2)图像法：