刚体力学基础

o r d F
情况3：
若力F不在垂直于转轴的平面内 与转轴平行的分力F1， 在垂直于转轴平面内的分力F2 只有分力F2才对刚体的转动状态有影 响。
z
F
F1
F2
o
4、合力矩
M ri Fi
M＝ Mi
结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。 5、单位 N· m
Fn
p
r
P
F1
2、转动
刚体中所有的点都绕同一 条直线作圆周运动，这种 运动称为转动。这条直线 叫作转轴。
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
z ω ,α v
r P θ
定轴转动的特点：
•各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。
容易改变 不易改变
F
M
M r F
r
O r
F
M＝Fr sin
θ
3、力对转轴的力矩
力对O点的力矩在通过O点的轴上的 投影称为力对转轴的力矩
•情况1：力与轴平行，则M=0
•情况2：刚体所受的外力F
在垂直于转轴的平面内 力臂：转轴和力的作用线 之间的距离d称为力对转 轴的力臂。 力矩：力的大小与力臂的 乘积，称为力F对转轴的 力矩。M=Fd
2、说明
•转动惯量是标量； •转动惯量有可加性； •单位：kg· m2
x
3、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
J＝ mi ri
i
2
J r dm
2
例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯 量。 B A 解：取如图坐标，dm=dx X L L 2 2
J A x dx mL / 3
v o r
P
速度 v r v r at r 切向加速度
法向加速度
an r
2
例题、 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度 由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此5s 内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。 解 根据题意，角加速度为恒量。 (1) 利用公式 (3) 再利用
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R )
1 2 2 2 2 J m L L mo R mo ( L R ) 3 5
3－3 刚体定轴转动定律
一、力矩
1、引入
外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的 位置有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 •力离转轴远： •力离转轴近： 2、力对点的力矩
解：对M：M＝T1 R＝J
对m : mg T1 ma
1 J＝ MR 2 2
m 解方程得： a mM
a R
g 2
4mgh v 2ah 2m M
v 1 4mgh R R 2m M
例2、一根长为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的
光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平 位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。
定义转动惯量
m r
2 i i
2
J＝ mi ri
i
2
1 E k＝ J 2 2
刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与 角速度的平方的乘积的一半。
二、转动惯量的计算
1、定义
刚体的转动惯量等于刚体上 各质点的质量与各质点到转 轴距离平方的乘积之和。 z yi xi ri Δ mi y
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动， 转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律
例１、一个质量为M、半径为R 的定滑轮
上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 定轴O 轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的 速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
r 向参 刚体 O× 考 方 定轴
3、刚体的一般运动
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 运动都不相同
C
A
B
o
B A C A A C
C
o
B
o
B
B C
o o轮子的平动
刚体的运动＝平动＋转动 o
绕过o 轴的转动
A
二、定轴转动的描述
角位置θ 角速度ω

d ＝lim dt t 0 t
•垂直于杆的轴通过杆的中
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
力矩
M r F
M J
心 J=M l 2/12 •垂直于杆的轴通过杆的端 点 J=M l 2/3 •对通过盘心垂直盘面的转 轴 J=MR 2/2

－0
t
10 15 1rad/s 2 5
(2) 利用公式
2 02 102 152 0 62.5rad 2 2 (1)
5秒内转过的圈数
0 10rad/s 0 0 t
0 10 10s 1
0 62 .5 N 10圈。 2 2 3.14
M ＝m r
i
其中Mi为外力矩和内力矩之和。
M ＝ m r
m r
2 i i
2
i i

2
合力矩＝外力矩之和＋内力矩之和=外力矩之和=M
＝ mi ri


J＝ mi ri
2
M J
转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受
的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
dm dV
2
2rdr l
3
Z
O
dJ r dm 2lr dr
J dJ
R 0
R
m 1 2 J mR R 2 l 2
1 2lr dr R 4 l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以实心圆柱对其轴的转 动惯量也是mR2/2。
东华理工大学教学课件
大学物理学电子教案
刚体的转动(1)
3-1 刚体运动的描述 3-2 转动动能 与 转动惯量 3-3 刚体定轴转动定律
第三章
刚体的定轴转动
引言
物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两 点之间的距离都保持不变——刚体。
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变 ；
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O 的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，重力矩为：
xc
O

X
mg 1 M mgxC M mgl cos 2 1 xc l cos 1 2 m glcos M 2 3g cos
J 1 2 ml 3 2l
再求角速度
说明：
1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是 解决刚体定轴转动问题的基本方程。
三、刚体定轴转动的转动定律的应用 题目类型
已知两个物理量，求另一个： 1.已知J和M，求 2.已知J和，求M 3.已知M和，求J
解题步骤
1.确定研究对象； 2.受力分析； 3.选择参考系与坐标系； 4.列运动方程； 5.解方程； 6.必要时进行讨论。
5、影响刚体转动惯量的因素 •刚体的总质量； •刚体的质量分布； •转轴位置。
三、平行轴定理
L J A＝J C＋m 2 1 1 1 2 2 mL mL mL2 12 4 3
推广：若有任一轴与过质心的轴平行， 相距为d，刚体对其转动惯量为J，则 有——平行轴定理
2
A
L C L/2 L/2 c
F2
二、转动定律
1、一个质点的情况
Fn=man，通过转轴，力矩为零 切向力 Fτ=maτ=mrβ 对转轴的力矩为 M= Fτr= mr2β
法向力
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。
d
f
f’
3、刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i，假设它的质 量为△mi，所受的外力为Fi， 内力为f i，则 2 i i i
角加速度β
转动平面
o
rwenku.baidu.com
·
p
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt

三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。
角加速度
角速度 角位移 角位置
四、角量与线量的关系
＝const ＝0 t 1 2 ＝0 t t 2 1 2 ＝ 0＋0 t t 2
例4、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯 R 量 在球面取一圆环带，半径
r R sin
R sin d
m dm 2 rRd 2 4R
J r dm
2

2 mR 2 sin 3 d
0
2
2 mR 2 3
4、几种刚体的转动惯量
•垂直于杆的轴通过杆的中心 • 杆的端点 •对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变 的质点系。
3－1 刚体运动的描述
一、刚体运动
1、平动
平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做 平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上 任何一点的运动来代表整体的运动。
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线时， 刚体的运动叫作平动。
水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘 与桌面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速 度ω0旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支 持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为dr，整个圆环所受摩 擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点 所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向 为正方向，则整个圆环所受的力矩为
角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动
R
0 t
当圆盘停止转动时，ω=0，则得
3R0 t 4g
0
小结
转动惯量
i i 刚体的概念 i 2 J r dm 刚体的平动和转动 刚体转动的角速度和角加速度 几种刚体的转动惯量
J＝ m r
2

d ＝lim dt t 0 t
3－2 转动动能 与 转动惯量
一、转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动 质元——Δmi，距转轴—— ri，速度为——vi=riω 动能为
1 1 2 2 2 E ki m i v i m i ri 2 2
整个刚体的动能就是各个质元的动能之和
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
d d d d dt d dt d
d d
O
xc

X
3g cosd d mg 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3 g sin 3g 1 2 si n 2l 2 l
例3(4-15)匀质圆盘的质量为m，半径为R，在
dM grdm
r2 dM 2mg 2 dr R
m 2mrdr dm dS 2rdr 2 R R2
整个圆盘所受的力矩为
r2 2 M 2mg 2 dr mgR R 3 0 2 根据转动定律，得 m gR M 4g 3 1 J 3 R 2 mR 2
B X B X o
A
Jc
J d
J＝JC＋m d 2。
说明： 1)通过质心的轴线的转动惯量最小； 2)平行轴定理可以用来计算刚体的转 动惯量。 c
o
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
0
JC

L 2 L 2
x 2dx mL2 / 12
A L/2
C L/2
B X
例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解：
J R dm R
2
2
dm mR
2
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
O
R R
dm
例3、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,