隧道的结构计算

二、单位变位及荷载变位的计算
由结构力学求变位的方法(轴向力与剪力影响不计)
知道：
ik
ip
MiMk ds EJ 0 M iM p ds EJ
(4 2)
式中： M i ——基本结构在 M i 1作用下所产生的弯矩；
M k ——基本结构在M k 1作用下所产生的弯矩；
1
k
由于拱脚截面仅绕a点转过一个角度，a点不产生水平位移 ，故
1 1
h 2 12 2 k bh 3
bh 。 12
(4 5)
u1 0
J 式中： J ——拱脚截面惯性矩，
2. 单位水平力作用时
cos )和切向分力 单位水平力可以分解为轴向分力(1· sin )，计算时只需考虑轴向分力的影响，见图4-7。作用在 (1·
以分解为垂直方向和水平方向两个分位移。在结构对称、荷载 对称条件下，两拱脚的位移也是对称的。对称的垂直分位移对 拱圈内力不产生影响。拱脚的转角 和切向位移的水平分位移
u 是必须考虑的。图中所示为正号方向，即水平分位移向外为
正，转角与正弯矩方向相同时为正。采用力法计算时，将拱圈
在拱顶处切开，取基本结构如图4-4之(b)所示。固端无铰拱为 三次超静定，有三个多余未知力，即弯矩X1，轴向力X2和剪切力
0 X 1 (11 1 ) X 2 (12 2 f 1 ) (1 p p) 0
令
2 a22 22 u 2 f u1 f 2 f 1 a12 a21 12 2 f 1 21 u1 f 1 0 a10 1 p ap 0 0 a20 2 p f ap u ap 则式(7-9)可以简写为： a11 11 1
围岩)中。用先拱后墙法施工时，在拱圈已作好，但
马口尚未开挖前，拱圈处于半衬砌工作状态。 一、计算图式、基本结构及正则方程
道路隧道中的拱圈，一般矢跨 比不大，在垂直荷载作用下拱圈向 坑道内变形，为自由变形，不产生 弹性抗力。由于支承圈的围岩是弹
性的，即拱圈支座是弹性的，在拱
图4-3
脚反力的作用下围岩表面将发生弹性变形，使拱脚产生角位移
M 1 1 2 bh W

6
6 2 bh
式中：h ——拱脚截面厚度； b ——拱脚截面纵向单位宽度，
2 bh W ； W——拱脚截面的截面模量， 6
取b=1m；
图4-6
根据温克尔假定，拱脚内(外)缘的最大沉陷 1为：
6 1 2 k k bh
式中： ——拱脚围岩基底弹性抗力系数。
转角为零：
(4 14)
上述计算是将拱圈视为自由变形得到的计算结构。由于没
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有考虑弹性抗力，所以弯矩是比较大的，因此，截面也较厚。
如果围岩缴坚硬，或者拱的形状较尖，则可能有弹性抗力。衬 砌背后的密实回填是提供弹性抗力的必要条件，但是拱部的回 填相当的困难，不容易做到密实。仅在起拱线以上1～1.5m范 围内的超挖部分，由于是用与拱圈同级的混凝土回填的，可以
表面的变形，即共同的变形，见图4-2(b)。但温氏假定能反映
衬砌的应力一变形的主要因素，且计算简便实用，可以满足工 程设计的需要。应当指出，弹性抗力系数K并非常数，它取决 于很多的因素，如围岩的性质、衬砌的形状和尺寸、以及荷载 类型等。不过对于埋深隧道，可以视为常数。
共同变形理论把围岩视为弹性半无限体，考虑相邻点之间
四、计算各截面内力并校核计算正确性
(4 8)
将式(4-7)、式(4-8)代入正则方程式(4-1)整理得：
2 X 1 ( 21 u1 f 1 ) X 2 ( 22 u 2 fu1 f 2 f 1 ) (4 9) 0 0 ( 2 p f u ) 0 p p
二、隧道衬砌上的荷载与分类
作用在衬砌上的荷载，按其性质可以区分为主动荷载与被 动荷载。主动荷载是主动作用于结构、并引起结构变形的荷载 ；被动荷载是因结构变形压缩围岩而引起的围岩被动抵抗力，
即弹性抗力，它对结构变形起限制作用。
第二节 半衬砌的计算
拱圈直接支承在坑道围岩侧壁上时，称为半衬砌
，见图4-3。常用于坚硬、较完整的围岩(Ⅲ级、Ⅱ级

2 0

3. 外荷载作用时
在外荷载作用下，基本结构中拱脚a点处产生弯矩M p 和轴
0 0 u 为： 向力Np，见图4-8，拱脚截面的转角 p和水平位移 p
0
0
0 0 0 0p M H M p 1 p 2 1 1
cos u M u1 H u2 N k bh
(4 3)
利用式(4-3)，参照图4-5，容易求得下列变位：
图4-5
s 1 E J s y 12 E J s y2 22 J E 0 Mp s 1 p J E 0 yM p s 2 p J E
11

2为： 围岩表面的均匀分布应力
1 cos 2 bh
拱脚产生的均匀沉陷 2 为：
2 cos 2 k k bh
式中： ——拱脚截面与垂直面之 间的夹角；其余符号意义同 前。 图4-7 2的水平投影即为a点的水平位移u 2 ，均匀沉陷时拱脚截 2 cos 面不发生转动，故 u 2 cos 2 (4 6) k bh
(4 4)
式中： s ——半拱弧长n 等分后的每段弧长。
就算表明，当拱厚d﹤L/10(L——拱的跨度)时，曲率和剪力
的影响可以略去。当矢跨比f/L﹥1/3时，轴向力影响可以略去。
三、拱脚位移计算
1. 单位力矩作用时 单位力矩作用在拱脚围岩上时，拱脚截面绕中心点a转过 一个角度 1 ，见图4-6，拱脚截面仍保持平面，其内(外)缘处 围岩的最大应力 1为：
变形的相互影响。它用纵向变形系数E和横向变形系数 表示
地层特征，并考虑粘结力C和内摩擦角 的影响。但这种方法 所需围岩物理力学参数较多，而且计算颇为复杂，计算模型也 有严重缺陷，另外还假定施工过程中对围岩不产生扰动等，更 是与实际情况不符。因而，我国很少使用。
本章主要讨论局部变形理论中目前仍有实用价值的方法。
(4 11)
解此二元线性方程组，即可求出多余未知力X1和X2：
(4 12)
根据平衡条件可以计算出任一截面i处的内力，见图7-9：
0 M i X 1 X 2 yi M ip 0 N i X 2 cos i N ip
(4 13)
0 0 式中： 、 ——基本结构中因外荷载作用，在任一截面i处产生 M ip N ip
X3。结构对称、荷载对称时X3=0，变成二次超静定结构，而且只
需计算一半。按拱顶切开处的截面相对变位为零的条件，可建 立如下正则方程：
图4-4
X 111 X 212 1 p 0 X 1 21 X 2 22 2 p f u 0
上所产生的变位；
0 p 0 p 0 p 0 p
即：
0 0 M p p 1
图4-8
u
0 p
N
0 p
cos (4 7) k bh
4. 拱脚位移
0 拱脚的最终转角p和水平位移up，可以按叠加原理，分别
0
考虑X1、X2和外荷载的影响，用下式表示：
X 1 1 X 2 ( 2 f 1 ) 0p 0 u X 1 u1 X 2 (u 2 f u1 ) up
0 Mp ——基本结构在外荷载作用下所产生的弯矩；
EJ ——结构的刚度。
在进行具体计算时，由于结构对称、荷载对称，只需计算 半个拱圈。在很多情况下，衬砌厚度是改变的，给积分带来不 便，这时可将拱圈分为偶数段，用抛物线近似积分法代替，式 (4-2)可以改写为：
s MiMk ik J E 0 M M i s p ip J E
的弯矩和轴向力；
yi ——截面i的纵坐标；
i
——截面i与垂直线间的夹角。
图4-9
图4-10
求出各截面的弯矩Mi和轴向力Ni后，即可绘出内力图，见 图4-10，并确定出危险载面。同时用偏心距e=Mi/Ni表示出压力 曲线图。 拱圈内力计算比较繁琐，数值运算很多，容易出错和造成 累计误差，因此应该校核计算结果的正确性。 计算过程中，可以校核单位变量、多余未知力以及最终内 力计算结构的正确性。这里仅介绍最终内力计算结构的校核方
和线位移。拱脚位移将使拱圈内力发生改变，因而计算中除按
固端无铰拱考虑外，还必须考虑拱脚位移的影响。对于拱脚位 移，还可以作些具体分析，使计算图式得到简化。通常，拱脚 截面剪力很小，它与围岩之间的摩擦力很大，可以认为拱脚没 有径向位移只有切向位移，所以在计算图式中，在固端支座上
用一根径向刚性支承链杆加以约束，见图4-4(a)。切向位移可
道工程实践表明，衬砌厚度可以减小，所以，后来上述两种计
算方法不在使用了。 进入本世纪以后，通过长期的观测，发现围岩不仅对衬砌 施加压力，同时约束着衬砌的变形。围岩对衬砌的变形的约束 ，对改善衬砌结构的受力状态有利，不容忽视。衬砌在受力过
程中的变形，一部分结构有离开围岩形成“脱离区”的趋势，
一部分压紧围岩形成所谓“抗力区”，如图4-1所示。在抗力 区内
(4 10)
a11 X 1 a12 X 2 a10 0 a21 X 1 a22 X 2 a20 0
X1 X2 a22 a10 a12 a20 2 a12 a11a22 a11 a20 a12 a10 2 a12 a11a22
，约束着衬砌变形的围岩，相应地产生被动抵抗力，即“弹性 抗
力”。抗力区的范围和弹性抗力的大小，因围岩性质、围岩压 力 大小和结构变形的不同而不同。但是这个问题有不同的见解， 即局部变形理论和共同变形理论。
图4-1
图4-2
局部变形理论是以温克尔(E.Winkler)假定为基础的。它认 为应力( i)和变形( i )之间呈直线关系，即 i K i ，K是围岩 弹性抗力系数，见图4-2(a)。这一假定，相当于认为围岩是一 组各自独立的弹簧，每个弹簧表示一个小岩柱。虽然实际的弹 性体变形是相互影响的，施加于一点的荷载会引起整个弹性体

(4 1)
式中： ik——单位变位，即在基本结构上，因 M k 1作用时，在Xi方向
ip——荷载变位，即基本结构因外荷载作用，在Xi方向的变位；
f ——拱圈的矢高；
， u ——拱脚截面的最终转角和水平位移。
如果式(4-1)中变位都能求出，则可用结构力学的力法 知识解算出多余未知力X1和X2，那时，拱圈内力即可求出。
法。
拱顶截面因内力Mi,Ni作用而产生的变位与因拱脚弹性变 位而产生的拱顶截面变位的总和，应满足拱顶截面的变形连续 性条件，即拱顶相对转角和水平位移为零的条件。
M i ds s M i 0 EJ E J M i yi s M i yi 水平位移为零： ds f u f u 0 EJ E J
在十九世纪末，混凝土已经是广泛使用的建筑材料，它具
有整体性好，可以在现场根据需要进行模注等特点。这时，隧
道衬砌结构是作为超静定弹性拱计算的，但仅考虑作用在衬砌 上的围岩压力，而未将围岩的弹性抗力计算在内，忽视了围岩 对衬砌的约束作用。由于把衬砌视为自由变形的弹性结构，因 而，通过计算得到的衬砌结构厚度很大，过于安全。大量的隧