第1章例题详解
空间向量及其运算 高中数学例题课后习题详解
第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。
化工原理 第1章 流体流动 典型例题题解
化工原理典型例题题解第1章 流体流动例1 沿程阻力损失水在一段圆形直管内作层流流动，若其它条件不变，现流量及管径均减小为原来的二分之一，则此时因流动阻力产生的压力损失为原来的（ ）。
A 2倍 B .4倍 C .8 倍 D. 16 倍解：因管内流体流动处于层流状态，根据哈根（Hahen ）-泊谡叶（poiseuille ）公式 232dlu P f μ=∆(1) 将式中的流速u 用流量v q 和管径d 表示出来， 24dq u vπ=(2)将(2)式代入(1)式得 4128dlq P vf πμ=∆ (3) 现流量125.0v v q q =; 管径d 2=0.5d 1 ， 根据(3)式，压力损失ΔP f2满足下式85.01/)5.0/(5.0//341141141142212====∆∆d q d q d q d q P P v v v v f f 故答案C 正确。
例2 流体在管内流动时剪应力的分布流体在管内流动的摩擦阻力，仅由流体与壁面之间的摩擦引起吗？ 解：圆管中沿管截面上的剪应力分布式为 r lg Z P g Z P 2)()(2211ρρτ+-+=由该式推导条件可知，剪应力分布与流动截面的几何形状有关，而与流体种类，层流或湍流无关。
对于定常态流动体系，可见剪应力随圆管内流体半径的增大而增大，在壁面处，此剪应力达到最大。
故剪应力（磨擦阻力）并非仅产生于壁面处，而是在流体体内亦存在。
例3 并联管路中的阻力损失首尾相同的并联管路中，流体流经管径较小的支路时，总压头损失较大吗？例 4 附图解：A 为分支点，B 为汇合点。
并联管路Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ具有相同的起始点A 和终点B ，分别利用柏努利方程式进行描述，得H f Ⅰ=H f Ⅱ=H f ⅢIIIIIIIII III IIIIII II III I gd u l gd u l gd u l 222222λλλ==因此，首尾相同的并联管路，各支路上总压头损失相等，并非仅取决于管径的大小，与各支路上的流速、管长均有关系。
第一章 或有事项
• 【例1－9】乙企业20×1年1月1日与某外贸公司 签订了一项产品销售合同，约定在20×1年2月15 日以每件产品100元的价格向外贸公司提供10 000 件A产品，若不能按期交货，乙企业需要交纳300 000元的违约金。这批产品在签订合同时尚未开始 生产，但企业开始筹备原材料以生产这批产品时， 原材料价格突然上涨，预计生产每件产品的成本 升至125元。 此例中，乙企业生产产品的成本为每件125元， 而售价为每件100元，每销售1件产品亏损25元， 共计损失250 000元。因此，这项销售合同是一项 亏损合同。如果撤销合同，乙企业需要交纳300 000元的违约金。
• 【答案】A
【例题7· 单选题】Y公司与X公司签订合同，购买X公 司10件商品，合同价格每件5000元。市场上同类商 品每件为3500元。Y公司购买的商品全部出售给Z公 司，单价为4000元。如Y公司单方面撤销合同，应 支付违约金为5000元。商品尚未购入。如满足预计 负债确认条件，Y公司应确认预计负债（ ）元。 A.10000 B.5000 C.1000 D.50000 • 【答案】B • 【解析】执行合同发生的损失=（5000-4000） ×10=10000（元），撤销合同支付违约金为5000 元，Y公司应确认预计负债5000元。
• 【例题6】关于或有事项，下列说法中正确的是 （ ）。 A.待执行合同变成亏损合同的，该亏损合同 产生的义务满足或有事项确认预计负债规定的， 应当确认为预计负债 B.待执行合同变成亏损合同的，应当确认为 预计负债 C.企业应当就未来经营亏损确认预计负债 D.企业在一定条件下应当将未来经营亏损确认 预计负债
第一章 习题讲解 PPT课件
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-505来自1015[11sin( t)]sin(8 t)/
f (t)
E
sin ( T
t)
(0 t T )
0
(其 他 )
即 f (t) E sin ( t)[u (t) u (t T )] T
113绘出下列各时间函数的波形图
(1)f1(t)sin(t)u(t);(2)f2(t)sin[(tt0)]u(t) (3)f3(t)sin[(t)]u(tt0);(4)f2(t)sin[(tt0)]u(tt0)
(t
-
t0 )u(t
t0 )dt； 2
(4)
(t
-
t0 )u(t
t0 )dt 2
(5) (et t) (t 2)dt； (6) (t sin t) (t )dt
-
-
6
(7)
e jt[ (t) (t
-
t0 )]dt
解 ： ( 1 )
f (t t0 ) (t ) d t
f (0 t0 )
高等代数第1章习题解
高等代数第1章习题解第一章习题解1.1数字1的基本知识。
找到9405和5313的最大公因数解：9405？5313? 4902，5313? 4902? 411，4909? 11? 411? 三百八十八411?388?23，而(23,388)?1，所以（9405，5313）=12.设置A1、A2、，？，一z、证据（A1、A2、an）？（A1，A2，an？1），an）证据：D1号命令？（a1，a2，an），d2？（（A1A，2？An，1a）n）由D1？（a1，a2，an），？d1ai，我？1,2,?, N1.d1and1(a1,a2,,an1),(d1an)d1((a1,a2,,an1),an)d1d2在D2之前？（（a1，a2，an？1），an）？d1（a1，a2，an？1），d1and1ai(i1,2,,n1),d1andai(i1,2,,n)d2(a1,a2,,an)d2d1那么D1呢？d23．求(504,630,1764,4536)解：630=504+126，504=1264→(630,504)=1264536=21764+1008,1764=1008+756,1008=756+252,756=2523→(1764,4536)=252252=1262所以(504,630,1764,4536)=1264.设a,b,c?z,ab,ac,证明a2bc证明:ab?b?aq;ac?c?ap?bc?a2(pq)?a2bc5.设a,b?z,ab,ba,证明a??b证明:ab?b?aq;ba?a?bp?b?(bp)q?pq?1P1.A.B6.设a是整数x是任意整数,那么ax?a??1;xa?a?0证明:若ax对任意整数x成立,那么取x?1,有a1?a??1;反之,若a??1,ax显然成立;如果XA适用于任何整数x，也就是a？XP适用于任何整数x，取x？0 a？相反，如果a?0,xa显然成立.7.假设a，B，D？z、 D呢？（a，b），证明u，v的存在？z、做D？欧？Bv证明：如果是？B0，那么（a，b）？0 a？0 b？0，因此结论成立；如果a和B不都是零，那么必须有一个整数s，t来表示as？英国电信？0令所有这样的正整数组成的集合为d,即:d?{as?bt?0|s,t?z},由于d是正整数组成的集合,故必有一个最小整数,设这个正整数为d?,即有整数u,v使d??au?bv我们说d?就是a,b的最大公因数.事实上，有一个任意因素，哈，B？bv？hd？；如果d?不是a,b的公因数,不妨设d?不是a的因数,那么由带余除法,有A.DQr、 0？RD于是a?(au?bv)q?r?r?a(1?qu)?b(?qv)?r?d这与d?是d中最小数的假设矛盾.8.设p为大于1的整数，a和B为任意整数。
第1章数据库系统概论习题及解答
第 1 章数据库系统概论1.1复习纲要本章介绍的主要内容：·数据管理技术的发展·数据模型·数据库系统结构1.1.1 数据管理技术的发展从20世纪50年代中期开始，数据管理技术大致经历了三个发展阶段：人工管理阶段、文件系统管理阶段和数据库系统管理阶段。
1. 人工管理阶段20世纪50年代中期以前，计算机主要从事计算工作，计算机处理的数据由程序员考虑与安排。
这一阶段的主要特点是：数据不长期保存；数据与程序不具有独立性；系统中没有对数据进行管理的软件。
2. 文件系统管理阶段20世纪50年代后期到60年代中后期，计算机系统中由文件系统管理数据。
其主要特点：数据以文件的形式可长期存储在磁盘上，供相应的程序多次存取；数据文件可脱离程序而独立存在，使得数据与程序之间具有设备独立性。
如果数据文件结构发生变化时，则对应的操作程序必须修改。
即文件系统管理文件缺乏数据独立性，并且数据冗余度大。
数据之间联系弱，无法实施数据统一管理标准。
这些都是文件系统管理的主要缺陷。
3.数据库系统管理阶段70年代初开始，计算机采用数据库管理系统管理大量数据，使计算机广泛应用于数据处理。
数据库系统管理数据的主要特点：·采用数据模型组织和管理数据，不仅有效地描述了数据本身的特性，而且描述了之间的联系。
·具有较高的数据独立性。
即数据格式、大小等发生了改变，使得应用程序不受影响。
·数据共享程度更高，冗余度比较小。
·由DBMS软件提供了对数据统一控制功能，如安全性控制、完整性控制、并发控制和恢复功能。
·由DBMS软件提供了用户方便使用的接口。
数据库系统管理数据是目前计算机管理数据的高级阶段，数据库技术已成为计算机领域中最重要的技术之一。
1.1.2 数据模型数据模型是构建数据库结构的基础，在构建时要经历从概念模型设计到DB逻辑模型和物理模型转换过程。
因此，数据模型可分为两类共4种，两类为概念模型和结构模型，其中结构模型又分为外部模型、逻辑模型和内部模型三种。
2006典型例题解析--第1章 几何组成分析
第1章几何组成分析§1 – 1 基本概念1-1-1 名词解释●几何不变体系——结构（静定或超静定）在不考虑材料变形情况下,几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。
●几何可变体系在不考虑材料变形情况下,形状或位置可变的体系，称为几何可变体系。
●刚片在平面上的几何不变部分。
●自由度确定体系位置所需的独立坐标数目。
●约束（联系）能够减少自由度的装置。
减少自由度的个数为约束个数。
①链杆——相当1个约束②铰——相当2个约束③虚铰——相当2个约束④复铰——相当n-1个单铰的作用●多余联系不能减少自由度的联系，称Array为多余联系。
●必要联系去掉时能够增加自由度（或维持体系不变性必须）的联系。
●瞬变体系几何特征：几何可变体系经过微小位移后成为几何不变体系。
静力特征：受很小的力将产生无穷大内力，因此不能作结构。
1-1-2 分析规则在不考虑材料应变所产生变形的条件下，构成无多余约束几何不变体系（静定结构）的基本规则如下：●三刚片规则三个刚片用不在同一条直线上的三个铰（或虚铰）两两相联。
●二刚片规则2结构力学典型例题解析两个刚片用不交于一点也不全平行的三根链杆相联；或：两个刚片用一个铰和不通过该铰心的链杆相联。
●二元体规则什么是二元体（二杆结点）：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，称为二元体。
在一个体系上增加或减少二元体不影响其几何不变性。
1-1-3 几何组成分析一般方法（步骤）(1)去二元体（二杆结点）。
(2)分析地基情况：上部体系与地基之间●当有满足二刚片规则的三个联系时，去掉地基，仅分析上部体系；●当少于三个联系时，必为几何常变体系；●当多于三个联系时，将地基当作一个刚片进行分析。
(3)利用规则找大刚片(最简单情况为:三个铰接杆件为刚片)。
(4)使用几何组成规则进行分析。
利用三刚片规则分析时：首先找出三个刚片，（满足三刚片规则的连接条件，即每两个刚片间有一个铰（或虚铰），然后再标出虚铰位置，最后看三个铰是否构成三角形。
数学初一上册第一章案例分析
数学初一上册第一章案例分析案例一：小明的饮料小明去超市买了一瓶饮料，他支付了9元钱，收到了1张5元的纸币和4枚1元的硬币作为找零。
这时，小明想知道这瓶饮料的价格是多少。
解析：假设饮料的价格为x元，根据题目给出的信息，我们可以列出方程式：5 + 1 + 1 + 1 + 1 = x整理方程，得到：9 = x因此，这瓶饮料的价格是9元。
案例二：小华的汽车旅程小华驾驶自己的汽车从A市到B市，全程480公里。
在开始旅程的时候，她的油箱已经有6升汽油。
小华发现，每行驶50公里就要耗尽1升的汽油。
在没有加油的情况下，她能否顺利到达B市？解析：假设小华需要行驶x升的汽油才能到达B市。
根据题目给出的条件，我们可以列出方程式：6 + (480/50) = x化简方程，得到：6 + 9.6 = x因此，小华需要15.6升的汽油才能顺利到达B市。
案例三：小林的图书收藏小林有一些数学书和物理书，其中数学书的数量是物理书数量的2倍。
如果他共有42本书，那么数学书和物理书各有多少本？解析：假设物理书的数量为x本，根据题目给出的条件，数学书的数量为2x本。
可以列出方程式：x + 2x = 42化简方程，得到：3x = 42解方程，得到：x = 14因此，小林有14本物理书和28本数学书。
案例四：小明的球小明有几颗篮球和足球，总共8颗。
如果所有球都只有两种颜色：红色和蓝色。
已知篮球数量比足球数量多2颗，那么红色球的数量等于多少？解析：假设足球的数量为x颗，根据题目给出的条件，篮球的数量为x+2颗。
可以列出方程式：x + (x+2) = 8化简方程，得到：2x + 2 = 8解方程，得到：2x = 6因此，足球的数量为3颗，篮球的数量为5颗。
红色球的数量等于篮球的数量，即为5颗。
这些案例分析展示了初一上册数学第一章的一些典型题目，通过应用基本的代数方程解题的方法，学生可以逐步掌握解决实际问题的能力。
在学习数学的过程中，我们要善于分析问题、抽象问题、建立数学模型，并通过解方程等方法求解问题，培养自己的逻辑推理能力和解决实际问题的能力。
高考生物 学考例题解析及练习 第1章 遗传因子的发现2
女性正常4623男性正常4819避躲市安闲阳光实验学校第一章遗传因子的发现例题示范一、单项选择题(1-2小题每小题1分；3-4小题每小题2分) 【例1】 下列各组生物性状中，属于相对性状的是 ( ) A ．草莓的红果和大果 B ．狗的长毛和短腿 C ．水稻的早熟和晚熟 D ．棉花的短绒和粗绒【例2】家兔的毛色中白色和黑色是一对相对性状。
请你观察下列四种亲本杂交组合的亲子代性状，其中发生了性状分寓的一组是 ( )【例3】 已知厚壳紫种皮与薄壳红种皮落花生杂交（两对性状遗传），F1全 为厚壳紫种皮。
在F2中，稳定遗传的薄壳紫种皮落花生为3966株，则能稳定遗传的厚壳红种皮落花生株数大约为 ( )A. 1322B.1983C.3966D. 7932【例4】豌豆种子黄色对绿色为显性，圆粒对皱粒为显性（两对性状的遗传遵循自由组合定律）。
现用黄色皱粒与绿色圆粒两个纯系豌豆的亲本杂交得F1，F1自交，理论上F2植株中黄色皱粒纯合子豌豆数量比为 ( ) A. 1／3 B.2/3 C.3/16 D. 1/16二，双项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有两个选项正确，全部选对得3分，选对一项得2分，有错选的得0分。
） 【例5】下图为鼠的毛色（灰色和白色）遗传图 解，已知6号是一只雌性鼠。
下列 说法正确的是 ( )A. 6号鼠是杂合子 B ．鼠的灰色为显性性状C ．鼠的白色为显性性状 D.7号鼠为杂合子的概率是2/3 三、复合选择题某生物研究小组的同学对一地区的人类遗传病进行调查，发现有一种遗传病表现出明显家族倾向，且往往是代代相传，下图为该研究小组绘制的该病在这个地区10000人中的发病情况图。
研究小组同学还对某一患该病男生的家族进行了分析，绘制出如下遗传系谱图：请分析上图回答例6—9小题：【例6】 由上图所示发病情况的调查结果可以推知，控制该病的基因最可能位于( )A ．常染色体上B ．X 染色体上C ．Y 染色体上D ．性染色体上【例7】 作出6题结论判断的主要理由是 ( ) A ．男女患病几率均等 B ．男患者多一点 C ．男正常比女正常多 D ．出现了女患者【例8】 分析上述系谱图，可以推知该患病男生与其患病姑姑的女儿基因型相同的概率是 ( )A.25%B.50%C.75%D. 100%【例9】 系谱图中的患病男生经手术治疗后表现正常，若他与表现型正常的女性婚配，你认为其后代还有可能患该病吗？ ( )A ．不能B ．可能C ．取决与环境D ．取决于女方【例1】答案：C 【例2】答案C 【例3】答案C 【例4】答案D 【例5】答案BD 复合选择题答案 6. A 7.A 8．D 9.B 学业水平测试题一、单项选择题（1～9小题每小题1分，10～18小题每小题2分） 1．“种瓜得瓜，种豆得豆”这句俗语说明自然界中普遍存在着 ( ) A ．生殖现象 B ．遗传现象 C ．进化现象 D ．变异现象 2．生物的性状是指 ( )A ．生物体的外在形状B ．生物体的性别C ．生物体的形态、生理特征D ．生物体的大小 3．下列性状中属于相对性状的是 ( ) A ．人的黑发和卷发 B ．兔的长毛和短毛 C ．猫的白毛与蓝眼 D ．棉花的细绒与长绒 4．遗传的基本定律是指 ( )A ．性状的传递规律B ．蛋白质的传递规律C ．基因的传递规律D ．染色体的传递规律 5．下列表示测交的组合是 ( )A.AA×AaB.aa×aaC.Aa×aaD.Aa×Aa 6．下列属于等位基因的是 ( ) A ．Ab B ．Yy C ．EE D ．dd7．Aa 自交得F2，F2自交得F3，F3表型比为 ( ) A. 1:1 B.1:2:1 C.3:2:3 D.7:2:78．下图能正确表示基因分离定律实质的是 ( )9．基因型为DdTt 和ddTT 的亲本杂交，子代中不可能．．．出现的基因型是 ( ) A. DDTT B.ddTT C.DdTt D.ddTt10.一对肤色正常的夫妇生了一个白化病男孩。
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
(完整版)高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌
第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
电路分析基础例题集(第1-5章)讲解
（b）图中的 、 为关联参考方向，故其功率为
所以
（c）图中的 、 为非关联参考方向，故其功率为
所以
例1.3如图1.3所示电路，已知 ，求 和 。
图1.
解题思路：可由电容的 求出电容电流，由欧姆定律求出电阻电流，然后由后面将要介绍的基尔霍夫电流定律（ ）求出电感电流 ，再由电感的 求出电感电压，最后由基尔霍夫电压定律（ ）求出 。
图2.14 图2.13的等效变换电路
由图2.14可得
例2.10用电源等效变换法求图2.15所示电路中的电流 。
图2.
解题思路：将待求支路左边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：其电源等效变换电路如图2.15所示，由欧姆定律得
例2.11求图2.16（a）所示电路的输入电阻 。
图2.
解题思路：在 端外加一个电压源，用“ ”法求取。为方便计算，假设电压源的极性与 一致，如图2.16（b）所示。
由图2.11可得
各元件的功率为
电压源的功率为
电流源的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
因为
所以整个电路的功率是平衡的。
例2.9用电源等效变换法求图2.13所示电路中的电流 。
图2.13
解题思路：根据本题的电路结构，只需将待求支路两边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：将图2.13所示电路进行电源等效变换，如图2.14所示。
图1.9
解题思路：先用 求出 的电压 ，再用电阻功率公式求出 ，最后由欧姆定律和 求出 和 。
解： 、 和 标注如图1.9（b）所示，由题知
，
，
，
例1.10如图1.10（a）所示电路，求 、 和 的值。
七年级数学上册 第1章1.1 正数和负数例题与讲解 试题
1.1 正数和负数1．相反意义的量(1)生活中存在大量具有相反意义的量生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西、西北和东南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和赔本、买进和卖出等．生活中存在着数不清的具有相反意义的量，如前进3 m与后退5 m，收入300元与支出80元等．(2)具有相反意义的量的特点①具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为相反意义的量；②与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升2 m成相反意义的量就很多，如：下降1 m，下降0.2 m等；③相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量．如前进8 m与前进5 m，上升与下降都不是相反意义的量，因为前者意义不相反，后者缺少数量；④相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约汽油3吨与浪费1吨水就不是具有相反意义的量．(3)应用方法相反意义的量可用正数和负数表示．至于哪一种量为正，可以自由确定，当一个量用正数表示时，与其相反意义的量就用负数表示，反之亦然．习惯上把“前进、上升、零上温度、增加〞等规定为正，而把“后退、下降、零下温度、减少〞等规定为负．谈重点对相反意义的量的理解表示相反意义的量必须具有相反的意义，且数量必须带单位．表示相反意义的量的数值可以不同．【例1－1】添上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量．(1)库存增加1 000千克与________500千克；(2)商店买进50支铅笔与________20支铅笔；(3)股票上涨a元与__________b元．解析：所填的词必须使前后的量具有相反的意义．增加与减少、买进与卖出、上涨与下跌分别具有相反的意义．答案：减少卖出下跌【例1－2】 (1)假如零上3 ℃记为＋3 ℃，那么－8 ℃表示的意义是__________；(2)假如下降3米记为－3米，那么上升5米应记为__________；(3)假如前进5千米，记为＋5千米，那么后退6千米应记为__________；(4)支出10元人民币记账为－10元，那么＋20元表示的意义是__________；(5)某仓库运出货物20千克记为－20千克，那么运进35千克货物应记为__________．解析：(1)零上3 ℃记作＋3 ℃，即“＋〞号表示“零上〞，那么与它相反意义的量“零下〞就记作“－〞；(2)本小题的“－〞号表示“下降〞，因此，“上升〞应记为“＋〞，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负；(3)～(5)小题类似．答案：(1)零下8 ℃(2)＋5米(3)－6千米(4)收入20元人民币(5)＋35千克析规律正数、负数的实际应用此题中的“零上、上升、前进、收入、运进〞表示的量均为正数，与它们意义相反的量那么都用负数表示．(1)正数的概念：为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的，用原来熟悉的数如1,6,7,9,8 844来表示它们，这样的数叫做正数．正数的前面也可添上正号“＋〞，如＋1，＋5，＋16，通常情况下，正数前的正号可略不写．(2)负数的概念：把与正数相反意义的量，如零下温度、低于海平面高度等规定为负的，用在正数前面添上负号“－〞的数，如－3，－14，－155来表示它们，这样的数叫做负数．(3)关于正数和负数的几点说明①正数前面的“＋〞号可以略，如＋3前面的“＋〞号可略不写；负数前面的“－〞号不能略，如负5写作－5.②正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面高度为正，低于海平面高度为负．③判断一个数是否是负数，关键是看是否正数前面带有“－〞号，而不是看它是否有“－〞号．辨误区 正、负数的意义对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋〞号的数是正数，带“－〞号的数是负数．而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数〞．【例2】 指出以下各数中，哪些是正数？哪些是负数？－2，＋213，315，204，－0.02，＋3.65，－517. 分析：根据正数和负数的意义来判断，尤其要弄明白负数的意义：在正数前面加上“－〞号．解：正数是：＋213，315，204，＋3.65； 负数是：－2，－0.02，－517. 3．零的意义(1)0既不是正数，也不是负数，是我们认识的数中唯一的一个“中性数〞．(2)0比任何正数小，比任何负数大，它是正数与负数的分界．(3)0在计数时表示“没有〞．(4)0是表示具有相反意义量的基准数．此时它不能表示没有．例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高，收支平衡可记作0元． 辨误区 正确判断字母表示的数的性质要特别注意：“大于0〞是正数的本质，当用字母表示数时，不能只看带不带“＋〞号，不要误认为“a〞前面是正号就是正数，也不要以为“－a〞前面带有“－〞号就是负数，关键是看这个数是不是大于0.【例3】以下说法正确的选项是( )．A．零是正数不是负数B．零既不是正数也不是负数C．零既是正数也是负数D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数解析：根据正数和负数的概念，对选项进展一一分析，排除错误答案.0既不是正数，也不是负数．只有B符合．答案：B4．有理数(1)有理数的概念整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数；整数和分数统称为有理数．(2)有理数的分类①有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类．即②有理数还可以按照性质分为：正有理数、零和负有理数三类．即谈重点 有理数的分类既是正数又是整数的数是正整数，既是负数又是整数的数是负整数，既是正数又是分数的数是正分数，既是负数又是分数的数是负分数．【例4】 把以下各数填在相应的横线上：－35,0.7,80，－1909，－0.88,0,3.14，－7.9，234，13，3，－10. 正整数_______________________________________________________________； 正分数_______________________________________________________________； 负整数_______________________________________________________________； 负分数_______________________________________________________________． 解析：先把有理数分为正数和负数两类，再把正数分为正整数和正分数两类，把负数分为负整数和负分数两类，分别填写上在相应的横线上．答案：80,234,3 0.7,3.14，13 －35，－10 －19095．正确理解具有相反意义的量的意义在实际生活中，常常把零上温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正，而把与它们意义相反的量规定为负，用负数表示．引入负数后，“0〞不再仅仅表示没有，而是正数和负数的分界，具有初始位置的意义．(1)相反意义的量基准明确就是说变化过程方向明确，数量明确，不受其他数的影响，也不用关心起始点，此类问题只要规定好一个方面为正，那么另一个方面为负就可以．(2)相反意义的量基准不明确有些数据型的量，起点不是以0开场的，那么需要把某一个数值视为基准点0，如平均数等，以这个基准值为界，以上的记为“＋〞，以下的记为“－〞．把具有相反意义的量的表示方法和取“HY〞(或者“起始〞位置)等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一．【例5－1】某项科学研究，以45分钟为一个时间是单位，并记每天上午10时为0,10时以前记为负，10时以后记为正，例如，9：15记为－1,10：45记为1等等．依次类推，上午7：00应记为( )．A．3 B．－4解析：此题中的HY是上午10时为0，表示方法是10时以前记为负，10时以后记为正，要求用新规定来表示7：00.7：00到10：00是180分钟，180÷45＝4，因为7：00在10：00以前，所以7：00应记为－4.答案：B【例5－2】一个物体可以左右挪动，假设规定向右挪动为正，那么向右挪动10 m应记作__________，向左挪动4 m应记作__________，－8 m表示物体__________,0 m表示物体__________，向左挪动－2 m就是向__________挪动2 m.解析：正、负数可以表示具有相反意义的量，假设向右记为“正〞，那么向左那么记为“负〞；或者者说假设正数表示向“右〞，那么负数表示向“左〞，零表示不动．答案：＋10 m －4 m 向左挪动8 m 原地不动右【例5－3】小王骑车向东走了10千米，又向西走了5千米．怎样用正负数表示？解：假设规定向东为正，那么小王骑车向东走了10千米，表示为＋10千米，向西走了5千米，可表示为－5千米；假设规定向西为正，那么小王骑车向东走了10千米，表示为－10千米，向西走了5千米，可表示为＋5千米．有理数有两种根本的分类方法，一种分类根据定义，另一种分类根据数的符号，即有理数的性质．不管哪种分类形式都要有明确分类的根据，分类时要做到不重不漏，两种分类形式不能混淆．必须弄清楚非负数和非正数的范围．正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数．注意：①“小数〞属于分数；“自然数〞属于整数．②在所有含“正〞“负〞字眼的数集中，都不能出现“0”．因为“0”既不是正数也不是负数．【例6】 把以下各数填在相应的括号内：－3,2，－1，－14，－0.58,0，－3.141 592 6,0.618，139，5.23. 整数：{ …}；负数：{ …}；分数：{ …}；非负有理数：{ …}；负分数：{ …}．答案：整数：{－3,2，－1,0，…}；负数：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－1，－14，－0.58，－3.141 592 6，…； 分数：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，－0.58，－3.141 592 6，0.618，139，5.23，…； 非负有理数：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，0，0.618，139，5.23，…； 负分数：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，－0.58，－3.141 592 6，….7．正负数在实际生活中的应用(1)在股票交易中的应用日常生活中水位的变化，HY 行情变化，温度升降等都可以用正数和负数表示，不仅能表示出变化的方向，而且还能表示出变化幅度的大小．例如：在HY 上，上涨记为“＋〞，下跌记为“－〞，不涨不跌记为“0〞．(2)在产品检测中的应用某一产品质量是否合格，都有一定的指标数值，而实际消费的产品，可能在这一HY上下波动，波动值在规定的范围内称为合格，超出了规定值，那么不合格，某粮店出售的某种品牌的面粉袋上标有质量为(25±0.2) kg的字样，从中可以看出，在这袋面粉中，最多可以超出HY质量0.2 kg，最低低于HY质量0.2 kg，它的HY值是25 kg.一般把产品的HY值记为0，在HY值以上的记为正，以下的记为负．解技巧根据HY数确定正、负数抓住HY数，HY以上记为“＋〞，HY以下记为“－〞，即比HY数量多多少记为“＋〞的多少，少多少记为“－〞的多少．【例7－1】 HY有风险，HY须慎重，王先生上周五买进某种股票3 000股，每股16元，下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位：元)：分析：根据股票交易表示法，正数表示上涨，负数表示下跌．解：周一、周二、周五这三天是上涨的，周三、周四是下跌的．【例7－2】某品牌奶粉HY质量是454克，超出2克的记为＋2克，假设低于HY质量3克以上，那么视为不合格．现抽取10袋进展检测，结果如下：(2)质量最大的是哪袋，实际质量是多少？(3)质量最小的是哪袋，实际质量是多少？分析：此题是在基准数的根底上波动，所以在基准数的根底上加减．解：(1)有3袋不合格，分别是第4袋、第6袋和第9袋．(2)质量最大的是第7,8袋，实际质量均是454＋4＝458(克)；(3)质量最小的是第6,9袋，实际质量均为454－5＝449(克)．,当数的范围扩大到有理数之后，按一定的规律排列有理数，就成为考察有理数的意义以及分类的有效手段，并且成为中考命题的热点．研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探究、研究数学规律并运用数学规律的过程．解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系，其中数的符号是首先要考虑的，数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定．对于数字规律性问题，我们要注意观察各局部数字的变化规律以及各数字之间的关系．解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法．数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜测、费尔玛大定理等就是由数学家的探究、猜测而得到的，学习数学必须不断去探究、猜测、总结规律，才会有所发现，有所创造．【例8】 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的三个数，并说出第99个数是什么？第2 013个数是什么？(1)1，－1,1，－1,1，－1,1，－1，__________，__________，__________，…；(2)1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，__________，__________，__________，…；(3)－1，12，－13，14，－15，16，－17，__________，__________，__________，…. 分析：(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数……的规律排列的一组整数，(1)去掉数的符号后是1，(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数；(3)是按负数、正数、负数、正数……的规律排列的一组分数，其分母是按顺序排列的自然数，即分母就是数的序号，分子是1.解：(1)1，－1,1，第99个数是1，第2 013个数是1；(2)9，－10,11，第99个数是99，第2 013个数是2 013；(3)18，－19，110，第99个数是－199，第2 013个数是－12 013. 谈重点 寻找数字规律的方法仔细观察数字以及它的符号的特点，把数和它的序号建立联络，特别注意其中符号确实定方法．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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第一章习题Al.设A、B、C为二事件，用A、B、C及其运算关系表示下列事件.(DA发生而B与C不发生；(2)A、B、C中恰好发生一个；(3)A、B、C中至少有一个发生；(4)A、B、C中恰好有两个发生；(5) A、B、C中至少有两个发生；(6)A、B、C中有不多于一个事件发生.解：(1) ABC 或A?B ?C 或A?(B UC) ；(2) ABC U ABC U ABC ；(3) A UB UC 或ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4)ABC U ABC U ABC. (5) ABU AC U BC 或ABC U ABC U ABC UABC ；(6) ABC U ABC U ABC U ABC . 2.桓簸究占淑腥簸镜悖?其对应的概率分别为2p,p2,4p?l,求p的值.解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2p + p2 + 4p?l = l.解之得pl = ?3 + ll,p2 = ?3?ll , 又因为一个事件的概率总是大于0,应以p = ?3+ 11 . 3.已知P( A) =0.3, P( B)=0.5, P(A U B) =0.8,求(l)P(AB) ；(2) P( A ? B) ；1(3) P ( AB ),解：⑴由P(A U B) = P( A) + P( B) ? P( AB)得P ( AB) = P( A) + P( B) ? P( A UB) = 03 + 0.5 ? 0.8 = 0 . (2) P ( A ? B) = P( A) ? P( AB) = 0.3 ? 0 = 0.3 . (3) P ( AB ) = 1 ? P ( AB ) = 1 ? P ( A U B ) = 1 ? 0.8 = 0.2. 4.设P ( AB)=P( AB ),旦P ( A) = p ,求P(B ). I?：由P ( AB) = P ( AB ) = 1 ? P ( AB ) = 1 ? P (A U B) = 1 ? P( A) ? P( B) + P( AB)得P ( A) + P( B) = 1 ,从而P( B) = 1 ?p. 5.设3 个事件A、B、, P(A) = 0.4 , P( B) = 0.5 , P(C ) = 0.6 , P( AC )= 0.2 , C P( BC ) = 0.4 ft AB = O ,求P (A U B U C).解：P( A U B U C ) = P( A) + P ( B ) + P(C ) ? P( AB) ?P( AC ) ? P( BC ) + P( ABC ) = 0.4 + 0.5 + 0.6 ? 0 ? 0.2 ? 0.4 + 0 = 0.9. 6.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.解：依题意可知，基本事件总数为43个.以Ai, i= 1, 2,3表示事件“杯子中球的最大个数为i”，则A1表示每个杯子最多3放一个球，共有A4种方法，故P( A1 ) = 3 A4 6 = . 43 16 A2表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3 1 1个杯子中，放法总数为C32C4C3种，故2P ( A2 ) = 1 1 C32C4C3 9 = . 43 16 1 A3表示3个球放入同一个杯子中，共有C4种放法，故P( A3 ) = 1 C4 1 = . 43 16 7.在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：从0至9中任取4个数进行排列共有10x9x8x7种排法.其中有(4x9x8x7 —4x8x7+9x8x7)种能成4位偶数.故所求概率？= 4x9x8x774x8x7 + 9x8x7 41. = 10x9x8x7 90 8.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边; (2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第二卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以p = 2x4!/5!=2/5.(2) 可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下二卷可在中间二人上位置上任意排，所以p = 2x3 !/5 != 1/10. (3) p = P ｛第一卷出现在旁边｝+P｛第五卷出现旁边｝-P｛第一卷及第五卷出2 2 17现在旁边)= + ? = . 5 5 10 10 (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以P = 1 ?7 / 10 = 3/10.(5)第二卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P=lx4!/5 !=1/5. 9.把2, 3, 4, 5诸数各写在一张小纸片上，任取其二而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下四个数2 3字中选排，所以P =2 x A4 / A5 = 2 / 5 . 10. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层3都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9 7 .事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含A97个样本点，于是A97 P( A) = 7.9 11.两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解：分别用x, y表示第一、二艘船到达泊位的时间.一艘船到达泊位时必须等待当旦仅当OMx? y M 2,0 M y ? x M 1 .因此所求概率为1 1 24 2 ? x 23 2 ? x 22 2 2 2 P ( A) = ~ 0.121 . 24 2 12. 10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.证明3人抽到难签的概率相同.证明：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为A,B,C ,贝U，显然P(A)= 4.10 P(B)。
八年级数学上册第1章《勾股定理的应用》例题与讲解(北师大版)
3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt △ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s.小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm 和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C ＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt △MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm.于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt △BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3.故CD 的长为3 cm.。
电磁场与电磁波例题详解
第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。
其等值面方程为 ：0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x++=的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为 ：zy dzy x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xydx yx dy xy dx 2222解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2221c y x xc z ，c 1和c 2是积分常数。
例 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点〔1，1，2〕处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。
解：由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy x ϕ, 02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xzxy yϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα 所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ例 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
电工电子学学习指导练习题题解-第1章-电路的基本概念和基本定律
图1.8
分析如下：仍然是典型电阻串、并联套公式的题目，它是本课程非 常基本的内容，在以后各章节中都会用到。比如图1.8（b）的电路 中，四个电阻两两组成三个回路，都是并联。尽管并联分流公
1.2典型例题和典型错误
式是两个电阻的公式，但要灵活运用。
I= R//R
2R+R//R
×
2R 2R+2R
×
IS
= 2R//R//R
1.1.5简单电路的分析
1.1知识梳理
表1.2 简单电路的分析公式
1.1知识梳理
可以套用公式的电路称为简单电路，表1.2汇总了相关公式，以 及分析要点。
1.1.6利用元件VCR、KCL和KVL分析电路的原则：
1.求电路中某电压的方法： （1）无源元件的VCR，已知电流求电压;(2)用KVL求解，典型 的求开路电压、理想电流源的电压。 2.求电路中某电压的方法： （1）无源元件的VCR，已知电压求电流；（2）用KCL求解，典 型的求短路（导线）电流、理想电压源的电流等。 经验分享：选择回路写KVL时，应优先选择含有理想电压源、 避开理想电流源，且元件较少的回路，简单时写出的是一元一次方 程；选择结点写KCL时，应优先选择与理想电流源相连的、避开与 理想电压源相连且支路较少的结点。
1.1知识梳理
1.1.1参考方向
定义：人为规定电压、电流等代数量取正的方向，通常 用符号直观的表示在电路图上。 1.电流的符号表示（如图1.1）
2.电压的符号表示（如图1.2）
图1.1
图1.2 3.电动势的符号表示（图1.3）
有时也用参考方向表示，图1.3（a）是理想电压源电动 势的符号表示，但是理想电流源不用电动势，用端电压。
1.1.3 电路的基本元件
第一章会计法律制度典型例题 (1)
第一章会计法律制度第一节会计法律制度的构成【考点回顾】1.掌握会计法律体系的三个层次并分清效力高低；2.每一层次分别由谁制定；3.每个层次包含的内容或者说《×××》属于会计法律体系的哪个层次。
【典型例题】【例题·多选题】下列各项中，属于会计行政法规的有（）。
A.《总会计师条例》B.《企业财务会计报告条例》C.《事业单位会计准则》D.《企业会计准则》『正确答案』AB『答案解析』本题考核会计行政法规的范围。
根据规定，会计行政法规是由国务院制定，或者国务院有关部门拟订、经国务院批准发布，调整经济生活中某些方面会计关系的法律规范，主要有《总会计师条例》、《企业财务会计报告条例》。
【例题·多选题】根据规定，《会计档案管理办法》属于（）。
A.会计法律制度B.会计行政法规C.国家统一的会计制度D.会计部门规章『正确答案』AC『答案解析』根据规定，《会计档案管理办法》属于会计规范性文件。
【例题·多选题】关于国家统一的会计制度，下列表述正确的有（）。
A.国家统一的会计制度的法律效力仅次于会计法律B.《会计从业资格管理办法》、《代理记账管理办法》属于会计部门规章C.《企业会计准则——基本准则》属于会计规范性文件D.《企业会计准则——基本准则》由会计核算的前提条件、一般原则、会计要素准则和会计报表准则组成，是对会计核算要求所做的原则性规定『正确答案』BD『答案解析』国家统一的会计制度的法律效力低于于会计法律；《企业会计准则——基本准则》属于会计部门规章。
【例题·判断题】财政部于1993年制定发布了《中华人民共和国注册会计师法》。
（）『正确答案』×『答案解析』全国人民代表大会及其常务委员审核通过了《中华人民共和国注册会计师法》。
【例题·判断题】我国会计法律制度中层次最高的法律规范是《会计法》和《注册会计师法》。
（）『正确答案』×『答案解析』《注册会计师法》是为加强对注册会计师的管理，规范会计师事务所及注册会计师行为而制定的会计法律，而《会计法》才是调整我国经济生活中会计关系的总规范，是会计法律制度中层次最高的法律规范。
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第1章化学热力学基础[例1-1]用管道输送天然气，当输送压力为200kPa，温度25℃，管道内天然气的密度为多少？假设天然气可以看作是纯的甲烷。
解：p＝(ρ/M) RT;ρ＝pM/ RTp=200kpa, T=(25+273.15)K, M=16.04×10-3kg/mol, R=8.314 J·mol-1·K-1代入公式即可，ρ＝1.294 kg/m3。
[例1-2]今有104.365kPa温度为300K的含水蒸气的烃类混合气体，其中水蒸气的分压为3.167kPa。
现欲得到除去水蒸气的1kmol干烃类混合气体，试求：（1）应从湿烃混合气体中除去水蒸气的物质的量；（2）所需湿烃类混合气体的初始体积解：（l）已知p=104.365kPa，T=300K，p A=3.167kPa，n B=1kmol则p B=p－p A =104.365 kPa－3.167 kPa=101.198kPa；p A=n A/V×RT，p B= n B/V×RTp A/p B=n A/n Bn A=p A/p B×n B＝3.167/101.198×1000＝31.30mol。
（2）p＝n/V×RT，P、T已知，n=n A + n B=1000+31.30=1031.30 molV＝nRT/p＝1031.30×8.314×300/（104.365×1000）＝24.65m3[例1-3]始态T=300K，p1＝150kPa的某理想气体，n＝2mol，经过下属两不同途径等温膨胀到同样的末态，其p2＝50kPa。
求两途径的体积功：①反抗50kPa的恒外压一次膨胀到末态；②先反抗100kPa的恒外压膨胀到中间平衡态，再反抗50kPa的外压膨胀到末态。
解：两途径如图所示：两途径均属反抗恒外压膨胀：W ＝－p 外×ΔV根据理想气体状态方程计算出始、终及中间态的体积分别为33.26dm 3、99.78dm 3、49.89drn 3。
途径①的体积功：W ＝－p 外×ΔV ＝－3.326kJ 。
途径②的体积功：W ＝（－p 外’×ΔV 1）+（－p 外’’× ΔV 2）＝－4.158kJ可以看出：①虽然两过程的始终态相同，但功却不相同，说明功与过程有关，功不是状态函数。
②保持始、终态相同，两次等温膨胀系统所做的功大于一次膨胀时系统所做的功。
[例1-4] 物质的量为n 的理想气体由始态p 1、V 1、T ，恒温变化压力、体积到终态p 2、V 2、T ，求过程的ΔH 。
解：ΔH ＝ΔU ＋Δ（pV ）＝ΔU ＋Δ（nRT ）＝0[例1-5] 始态T 1＝298K ，p 1＝500kPa ，体积为V 1＝1dm 3的某理想气体等温可逆膨胀到最后压力为p 2＝100Kpa 。
求体积功、热力学能的改变量和焓的改变量。
解：气体的物质的量为：由理想气体状态方程计算得n ＝pV/RT =0.204mol对等温可逆膨胀：ΔU ＝0，ΔH ＝0，Q ＝－W21lnp W nRT p =＝0.204×8.314×ln （100/500）＝－805.47 J Q = －W ＝805.47 J[例1-6] 设有0.1mol 正庚烷C 7H 16（l ）在量热计中完全燃烧。
在25℃测得放热480.4kJ 。
分别计算下列两个方程的Δr H m 、Δr U m 。
（P151例5.8）解：在量热计中测出的是等容热效应，即ΔU ＝Q V ＝－480.4 KJ（1）716716()00.10.1()1n C H molmol C H ζν∆-∆===-480.44804/0.1r m U kJ U kJ mol ζ∆-∆===-∆ 114804/(117)8.314298r m r m B BH U RT kJ mol J K mol Kν--∆=∆+=-+-+⨯⋅⋅⨯∑4814/kJ mol =-（2）716716()00.10.05()2n C H molmol C H ζν∆-∆===-480.49608/0.05r m U kJ U kJ mol ζ∆-∆===-∆119608/(2214)8.314298r m r m B BH U RT kJ mol J K mol Kν--∆=∆+=-+-+⨯⋅⋅⨯∑9628/kJ mol =-可见，方程（2）的计量系数是方程（1）的两倍。
方程（2）的Δr H m 、Δr U m 也是方程（1）的两倍，因此，方程式的写法不同，其Δr H m 、Δr U m 也不同。
[例1-7] 已知下列反应的热效应：2212382231 () 393.5/2 393.5/1 (3) ()53+ 4 2219.9/m m m C O CO H kJ mol H kJ mol C H g O CO H kJ mol θθθ+=∆∆+=∆r 222r 2r （）石墨＝－（） H + 0.5O = H O(l) ＝－（）H O(l)＝－ 求：2383()4 ?m C H C H H θ+=∆r 石墨＝解：（1）×3 + （2）×4－（3）即为所求方程∴ 1234m m m m H H H H θθθθ∆∆+∆-∆r r r r ＝3＝－130.93kJ/mol[例1-8] 利用标准摩尔生成焓数据，计算反应：CH 4（g ）＋2O 2（g ）＝CO 2（g ）＋2H 2O （l ）的标准摩尔反应焓变。
解：从附录中查出各物质标准摩尔生成焓CH 4（g ）＋2O 2（g ）＝CO 2（g ）＋2H 2O （l ）Δf H m θ kJ/mol －74.85 0 －393.5 －285.83 则：m m m H H H θθθ∆∆∆∑∑r ff 生成物反应物＝－＝－890.31 kJ/mol [例1-9] 已知25℃时：CO 2 (g) H 2O(l) C 2H 5OH(l)Δf H m θ /kJ·mol－1-393.5 -285.83Δc H m θ/kJ·mol －1: -1366.8 求乙醇在25℃时Δf H m θ(C 2H 5OH ，l)。
解：乙醇的燃烧反应为：),(),(3),(2),()(3)(2)(3)(52225222252l OH H C H l O H H g CO H l OH H C H H l O H g CO g O l OH H C m f m f m f m c m r θθθθθ∆-∆+∆=∆=∆+=+∴ 252225(,)2(,)3(,)(,)f m f m f m c m H C H OH l H CO g H H O l H C H OH l θθθθ∆=∆+∆-∆＝－277.69 kJ·mol －1[例1-10] 1mol 理想气体在298K 时等温膨胀，体积增大10倍，求系统的熵变。
假定膨胀过程：（1）可逆膨胀；（2）自由膨胀。
解：（1）可逆膨胀用V 2/V 1＝10代入上式得：12lnV V nR S =∆＝1mol×8.314J/K/mol×ln10＝19.14J/K ΔS 为正值，并不意味着过程是不可逆的，因为它不是孤立系统。
考虑到环境熵变：10ln ln n 12rev nR V VR T Q S -===∆－环＝-1mol×8.314J/K/mol×ln10＝-19.14J/K 大孤立系统的总熵变：（ΔS ）总＝（ΔS ）系 +（ΔS ）环＝0，所以该过程是可逆过程。
（2）自由膨胀是不可逆过程，不能用过程的热温商来计算。
但这个过程的始态、终态和过程（1）完全相同，所以系统的熵变仍是：ΔS ＝19.14J/K W=0，ΔU=0，Q ＝0，则0==∆TQ S －环大孤立系统的总熵变：（ΔS ）总＝（ΔS ）系 +（ΔS ）环＝（ΔS ）系＝19.14 J/K>0 故理想气体等温自由膨胀是自发过程。
[例1-11] 1mol 理想气体在298K 时由1000kPa 等温膨胀至100kPa ，假设过程为：（1）可逆膨胀；（2）在等外压力100kPa 下膨胀；（3）向真空膨胀。
计算各过程的Q 、W 、ΔU 、ΔH 、ΔS 和ΔG 。
解：（1）理想气体的等温膨胀，ΔU ＝0、ΔH ＝0Q ＝－W ＝J K K J mol p p nRT 7.5707kPa100kPa1000ln 15.298mol //314.81ln21＝⨯⨯⨯= ΔS ＝Q rev/T ＝5707.7/298.15＝19.14J/K ΔG ＝ΔH －TΔS ＝－5707.7J（2）等外压等温膨胀，ΔU ＝0、ΔH ＝0Q ＝－W ＝p 外×ΔV ＝p 外×（nRT/p2－nRT/p1）＝2230.9J ΔS 和ΔG 和过程（1）可逆膨胀相同。
（3）向真空膨胀Q=0，W ＝0，ΔU 、ΔH 、ΔS 和ΔG 均和过程（1）可逆膨胀相同。
[例1-12] 分别计算反应C （s ）+CO 2=2CO 在298K 和1173.15K 时（近似计算）的标准吉布斯函数变，并判断在此条件下能否自发进行。
解：1）计算298.15K 时的标准摩尔吉布斯函数变。
查表：C （s ）+ CO 2 = 2CO Δf G m θ 0 －394.4 －137.2，不能自发）＝（）－（0mol /kJ 1204.39412.1372 )({>-⨯-⨯=∆⋅=∆∑B G G m f BB m r θθν2）计算1173.15K 时的标准摩尔吉布斯函数变。
)15.298()15.298()(θθθm r m r m r S T K H T G ∆∆=∆－查表： C （s ）+ CO 2 = 2CO S m θ/J/K/mol 5.74 213.8 197.7 Δf H m θ/kJ/mol 0 －393.5 －110.5计算得： )15.298()15.298()(θθθm r m r m r S T K H T G ∆∆=∆－＝－34.5 kJ/mol ，自发。
[例1-13] 已知在298.15K 时（1）CO （g ）+ 0.5O 2 （g ） = CO 2（g ）；Δr G m θ＝－257.19kJ/mol （2）C （石墨）+ O 2（g ）= CO 2（g ）；Δr G m θ＝－394.36kJ/mol 求反应（3）：C （石墨）+ CO 2（g ）= 2CO （g ）；Δr G m θ＝?解：反应（3）＝反应（2）－反应（1）×2则Δr G m3θ＝Δr G m2θ－2Δr G m1θ＝（－394.36）－2×（－257.19）＝121.02 kJ/mol[例1-14] 分别计算反应C （s ）+ CO 2（g ） ＝2CO （g ） 在298.15K 和1173.15K 时的K θ。