方法技巧专题练2点的坐标变化规律探究问题
专题03 坐标变化类规律问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题03 坐标变化类规律问题一、单选题1．育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点1A ，第2次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则22021OA A △的面积是（ ）A ．1009B ．10112C ．505D ．10092【答案】D【分析】 先根据点15913,,,A A A A 的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点2021A 的坐标，再根据点2A 的坐标可得22021A A 的值，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】由题意得：点1A 的坐标为1(0,1)A ，点5A 的坐标为5(2,1)A ，点9A 的坐标为9(4,1)A ，点13A 的坐标为9(6,1)A ，归纳类推得：点43n A -的坐标为43(22,1)n A n --，其中n 为正整数，202145063=⨯-，∴点2021A 的坐标为2021(25062,1)A ⨯-，即2021(1010,1)A ，又2(1,1)A ，22021101011009A A ∴=-=，且22021OA A △的22021A A 边上的高为1，则22021OA A △的面积为110091009122⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点2021A 的坐标是解题关键．2．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 2C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）A ．（2n ﹣1，2n ﹣1）B ．（2n ﹣1，2n ﹣1）C ．（2n ﹣1，2n ﹣1）D ．（2n ﹣1，2n ﹣1）【答案】D【分析】由123B B B ，，的规律写出n B 的坐标．【详解】 ∵点B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2），∴点B 3的坐标为（7，4），∴Bn 的横坐标是：2n ﹣1，纵坐标是：2n ﹣1．则B n 的坐标是（2n ﹣1，2n ﹣1）．故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标规律探索，观察图形前面某些点的坐标，找出规律后再写出图形一般点的坐标． 3．如图，小球起始时位于(3,0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于(1,0)处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,1)，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）A．(3,4)B．(5,4)C．(7,0)D．(8,1)【答案】D【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置．【详解】如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,1)小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是(3,4)小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是(7,0)小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是(8,1)小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是(5,4)小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是(1,0)……∵2020÷6=336 (4)∴小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是(8,1)故选D【点睛】本题考查坐标位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．4．如图，过点A 1（1，0）作x 轴的垂线，交直线y =2x 于点B 1；点A 2与点O 关于直线A 1B 1对称：过点A 2（2，0）作x 轴的垂线，交直线y =2x 于点B 2；点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称：过点A 3作x 轴的垂线，交直线y =2x 于点B 3；按此规律作下去，则点B n 的坐标为（ ）A ．（2n ，2n -1）B ．（2n -1，2n ）C ．（2n +1，2n ）D ．（2n ，2n +1）【答案】B【分析】 根据图形规律，确定A 1、A 2、┅坐标，再通过横坐标相同代入直线解析式中，确定B 1、B 2┅的坐标，探究发现其规律即可得到结论．【详解】解：∵点A 1的坐标为（1，0），∴OA 1=1过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，可知B 1点的坐标为（1，2）∵点A 2的坐标为（2，0），代入直线y=2x 的解析式中，得到B 2的坐标为（2，4）又∵点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称，∴点A 3的坐标为（4，0），B 3的坐标为（4，8）以此类推，即可得到A n 的坐标为（2n -1，0），点Bn 的坐标为（2n -1，2n ）故选：B ．【点睛】本题考查平面坐标系中点的特点，一次函数上的点的特点，探索规律．5．在平面直角坐标系中抛物线2y x 的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)【答案】A【分析】 根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b把A 1（−1，1）代入得1=-1+b解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（−2，4），∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36）…，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3....都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3都在直线y=x 上，△OA 1B 1，△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3....都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2020的坐标是( )A ．(22018，22018)B ．(22019，22019)C ．(22019，22020)D ．(22020，22020)【答案】B【分析】 根据OA 1=1，可得点A 1的坐标为（1，0），然后根据△OA 1B 1，△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3…都是等腰直角三角形，求出A 1A 2，B 1A 2，A 2A 3，B 2A 3…的长度，然后找出规律，求出点B 2020的坐标．【详解】∵OA 1=1，∴点A 1的坐标为（1，0），∵△OA 1B 1是等腰直角三角形，∴A 1B 1=1，∴B 1（1，1），∵△B 1A 1A 2是等腰直角三角形，∴A 1A 2=1，B 1A 2=22221112112A B A A +=+=，同理：∵△B 2B 1A 2为等腰直角三角形，∴A 2A 3=2，∴B 2（2，2），可得，B 3（22，22），B 4（32，32），…B n （12n -，12n -），B 2020(22019，22019)，故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.也考查了等腰直角三角的性质以及勾股定理.7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 关于x 轴对称，60AOC ∠=︒， 90ABC ∠=︒，2OA =，将四边形OABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到四边形111OA B C ，依此方式，绕点 O 连续旋转2021次得到四边形202120212021OA B C ，那么点 2021B 的坐标是（ ）A ．()31B ．3,0C ．()0,31-D ．3,0【答案】A【分析】 连接AC 交OB 于E ．解直角三角形求出点B 的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：连接AC 交OB 于E ．由题意，2OA OC ==，60AOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，四边形AOCB 关于x 轴对称，30AOE ∴∠=︒，45ABE ∠=︒，cos303OE OA ．sin301AE EB OA ，(31B ，0)，1(0,31)B ，2(31B ，0)，3(0,31)B ，4(31B ，0)， 观察图象可知，4次一个循环，202145051，2021B 的坐标与1B 相同，故选：A ．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，熟悉探究规律的方法是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为()()()2,0,1,2,1,2A B C --．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点N 1，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N 点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为（ ）A ．()1,8-B ．()3,8--C ．()3,0-D ．（5，4）【答案】A【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解．【详解】解：由题意作出如下图形：N点坐标为（-1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6=336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．故选：A．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂ A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为（）A ．（0，21008）B ．（21008，0）C ．（0，21007）D ．（21007，0）【答案】A【分析】 先根据等腰直角三角形的性质发现11OA =，22OA =232OA =，…，201620172OA =的规律，再根据8个点一循环确定2017A 的位置，得到它的点坐标．【详解】 解：∵等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作等腰直角三角形34OA A …∴11OA =，22OA ，232OA =，…，201620172OA =，∵1A 、2A 、3A …每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，201782521÷=，∴点2017A 在y 轴的正半轴上， ∵20161008201722OA ==， ∴()100820170,2A ．故选：A ．【点睛】 本题考查坐标找规律，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系内点坐标的特点，以及循环问题的求解方法．10．如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律， A 2019的坐标为（ ）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（2，-506）【答案】A 【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】依题意列出前面几个n A 的坐标如下表 A 1（2，0） A 2（1，1） A 3（0，0） A 4（2，2） A 5（4，0） A 6（1，3） A 7（-2，0） A 8（2，4） A 9（6，0） A 10（1，5） A 11（-4，0） A 12（2，6） A 13（8，0） A 14（1，7)A 15（-6，0）A 16（2，8）观察表格发现：对于n A ，当n 除以4余1时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n +； 当n 除以4余2时，n A 的纵坐标为n2，横坐标1； 当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n --；当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为2n，横坐标2．运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为2019310082--=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ．故选：A ． 【点睛】本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）A ．(﹣1，1)B ．(20)-，C ．(﹣1，﹣1)D ．(02)-，【答案】C 【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】 解：如图，∵四边形OABC 是正方形，且OA=1， ∴B （1，1）， 连接OB ，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OB=OB 1=OB 2=OB 3= (2)∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB 1=∠B 1OB 2=…=45°， ∴B 1（0，2），B 2（-1，1），B 3（-2，0），B 4（-1，-1），…， 发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4， ∴点B 2020的坐标为（-1，-1） 故选：C ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．12．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形1OAP B 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，点1P 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，过1P A 的中点1B 作矩形112B AA P ，使顶点2P 落在反比例函数的图象上，再过21P A 的中点2B 作矩形2123B A A P ，使顶点3P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形18171819B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点19P 的坐标为（ ）A ．18181(2,)2B ．18181(,2)2C ．15151(2,)2D ．15151(,2)2【答案】A 【分析】先根据题意得出P 1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P 2，P 3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵正方形OAP 1B 的边长为1，点P 1在反比例函数y=kx（x ＞0）的图象上， ∴P 1（1，1）， ∴k=1，∴在反比例函数的解析式为：y=1x， ∵B 1是P 1A 的中点， ∴P 2A 1=AB 1=12， ∴OA 1=2， ∴P 2（2，12）， 同理，P 3（22，212）， … ∴P n （2n-1，112n -）． 当19n =时，则有19P 的坐标为：（182，1812） 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．13．如图，已知点C （0，1），A （0，0），点B 在x 轴上，∠ABC=30°，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，……，则第10个等边三角形的边长等于（ ）A 3B 3C ．1132 D ．1032 【答案】B【分析】根据题目已知条件可推出，AA 1=12B 1A 2=12A 1B 1B 2A 3=12A 2B 2n个等边三角形的边长等于2n．【详解】如图，∵点C （0，1），∠ABC=30°，∴OC=1， ∵∠OBA 1=30°，∴AA 1=12 ∵△AA 1B 1、△A 2B 1B 2为等边三角形， ∴∠A 1AB 1=∠AA 1B 1=∠A 2B 1B 2=60°，∴∠AA 1B=∠B 1A 2B=90°，∠A 1B 1A 2=60°，则∠B 1A 1A 2=30°，在Rt △B 1A 1A 2中，B 1A 2=12A 1B 1同理得：B 2A 3=12A 2B 2=32，依此类推，第n∴第10个等边三角形的边长=102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，从而归纳出边长的规律．14．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）A ．(5，44)B ．(4，44)C ．(4，45)D ．(5，45)【答案】B 【分析】根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是21(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到(0,6)是第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是21(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次． 2025142020，故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．15．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P 的坐标是（ ）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2021，1）D．（2021，2）【答案】C【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．【详解】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，因为2021＝505×4＋1所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，剩余一次运动向右走1个单位，且纵坐标为1．故点P坐标为（2021，1）故选：C．【点睛】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．二、填空题16．如图，已知直线上3:3l y x=，过点()0,1A作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点1A；过点1A作y轴的垂线交直线l于点1B，过点1B作直线的垂线交轴于点2A；按此作法继续下去，则1A的坐标为_________，2020A的坐标_________．【答案】（0，4）（0，20204）【分析】先求出点B3，1），得到OA=1，3，求出∠AOB=60°，再求出∠130OA B=得到133AA AB ==，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =，1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案． 【详解】 将y=1代入33y x =中得x=3， ∴B （3，1）， ∴OA=1，AB=3， ∴tan ∠AOB=3ABOA=， ∴∠AOB=60°， ∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =，∴133AA =， ∴14OA =， ∴1A (0，4)；同理：1143A B =1211312A A B =， ∴2OA =1624=， ∴2A （0，24），，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：（0,4）；()20200,4．【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形OA 1B 1C 1；第2次将正方形OA 1B 1C 1绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形OA 2B 2C 2；.....按此规律，绕点O 旋转得到正方形OA 2020B 2020C 2020，则点B 2020的坐标为______．【答案】（-1，-1） 【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形O A 1 B 1 C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA =1， ∴B （1，1）；连接OB ，由勾股定理得：OB =2，由旋转得：OB = OB 1= OB 2=OB 32；∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB =∠BO B 1=∠B 1O B 2=…=45°，∴B 1（02），B 2（-1，1），B 3（2，0），B 4（-1，-1），...，发现是8次一循环，所以2020÷8=252 (4)∴点B 2020的坐标为（-1，1）． 故答案为（-1，-1）．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
中考总复习数学02- 第二部分 专题二 规律性问题
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专题二 规律性问题—点坐标变换规律 类型三 点坐标变换规律
题型讲解
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点坐标变换型的题目主要考查了点的坐标规律,这类题目一般是点的坐 标在平面直角坐标系中递推变化或周期性变化.通过观察和归纳,从所给 的数据和图形中寻求规律是解答本类问题的关键.
例题 3
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专题二 规律性问题—点坐标变换规律
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（2）若第n个图案共有基础图形2 023个,则n的值是多少? 解：当1+3n=2 023时, 解得n=674, ∴n的值为674.
例题 2
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专题二 规律性问题—图形规律
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4.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三 角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形 地砖为连续排列. 当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块（如图2 ）; 当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块（如图3 ）,以此 类推.
排列,探究图形所反映的规律;另外一种是图形的变换规律,即根据一组
相关图案的变化,从中归纳图形的变换所反映的规律.在中考中以图形为
载体的数字规律最为常见.
例题 2
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4
专题二 规律性问题—图形规律
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方法点拨 数形规律题的解题关键是通过观察图形发现数量关系,并用代数式归纳 出规律,再进行验证,进而解决问题;图形变换规律题的解题关键是抓住 图形的变化特征,找出规律,进而解决问题.
例题 1
1
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专题二 规律性问题—竖式规律 例题1
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（ 2022·河北模拟）观察 1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25= 625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊点的变化规律，这个话题可真是有点儿意思呢！你知道吗，点在平面直角坐标系中可是有着千丝万缕的关系，它们之间的关系就像是一家人一样，有时候亲密无间，有时候又各自为政。
好了，废话不多说，让我们一起来揭开点的变化规律吧！我们来看看点的基本概念。
在平面直角坐标系中，点是指一个具有特定横纵坐标的确定位置。
我们可以把点想象成生活中的一个标志性建筑，比如一家餐厅、一座公园或者一条小巷子。
这些地方都有自己的特色和位置，而点也是如此。
它们在平面直角坐标系中的位置是固定的，不会随着时间的推移而发生改变。
接下来，我们来聊聊点的坐标。
在平面直角坐标系中，点的位置是由横纵坐标共同决定的。
横坐标表示点在水平方向上的位置，而纵坐标表示点在垂直方向上的位置。
有了横纵坐标，我们就可以准确地找到一个点在哪里。
这就像是我们在找朋友的时候，知道他们家的地址和电话号码，就能轻松地找到他们一样。
那么，点之间又是如何相互关联的呢？这就涉及到了点的平移、旋转和缩放等变换。
平移是指点沿着某一方向按照一定距离进行移动；旋转是指点绕着某一点按照一定角度进行旋转；缩放是指点的大小按照一定比例进行变化。
这些变换在我们日常生活中是非常常见的，比如我们去外地旅游时，可能会选择乘坐火车、飞机或者汽车等交通工具；在学习过程中，我们可能会阅读课本、做笔记或者参加讨论等活动。
这些都是点之间相互关联的例子。
点还有着丰富的性质。
比如，我们可以发现，在同一平面直角坐标系中，任意两点之间的距离是固定的；如果两个点的横纵坐标互为相反数，那么这两个点就是关于原点的对称点；如果一个点的横纵坐标分别等于另一个点的横纵坐标的一半，那么这两个点就是关于对角线的中点对称的。
这些性质在我们的日常生活中也是非常实用的，比如我们可以用来计算两点之间的距离、判断两个点是否关于某一点对称等等。
点在平面直角坐标系中的变化规律是丰富多彩的，它们之间的关系既有趣又实用。
七年级数学下册 专题训练：平面直角坐标系中点的规律探究(精选30题)(解析版)
七年级下册数学《第七章平面直角坐标系》专题：平面直角坐标系中点的规律探究一、选择题(共10题)1．（2022秋•定远县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（）A．（505，1009）B．（﹣506，1010）C．（﹣506，1011）D．（506，1011）【分析】设第n次跳动至点A n，根据部分点A n坐标的变化找出变化规律“A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可得出点A2022的坐标．【解答】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…，∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022＝505×4+2，∴A2022（506，1011）．故选：D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点A n坐标的变化找出变化规律是解题的关键．2．（2022秋•古田县期中）在平面直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去．设P n（x n，y n），n＝1，2，3…，则x1+x2+…+x2017的值为（）A．2016B．2017C．﹣2016D．2015【分析】根据给定的平移规律，可得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣1，x4＝3，进一步可得x1+x2+x3+x4＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x5+x6+x7+x8＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，再根据2017÷4＝504...1，进一步计算即可．【解答】解：根据题意，可得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣1，x4＝3，∴x1+x2+x3+x4＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x5+x6+x7+x8＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，∵2017÷4＝504...1，∴x2017＝2×504+1＝1009，∴x1+x2+…+x2017＝504×2+1009＝2017，故选：B．【点评】本题考查了坐标与平移，找出点坐标之间的规律是解题的关键．3．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…根据这个规律，点A2023的坐标是（）A．（2022，0）B．（2023，0）C．（2023，2）D．（2023，﹣2）【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，继而求得答案．【解答】解：观察图形可知，点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，2023÷4＝505……3，所以点A2023坐标是（2023，2）．故选：C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．4．（2021春•浉河区期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（）A．（﹣1009，1009）B．（﹣1010，1010）C．（﹣1011，1011）D．（﹣1012，1012）【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．【解答】解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4），…A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n为正整数），所以2n﹣1＝2021，n＝1011，所以A2020（﹣1011，1011），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．5．（2021秋•九江期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，0）D．（﹣1，﹣1）【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．【解答】解：由已知，矩形周长为12，∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，则两个物体每次相遇时间间隔为121+2=4秒，则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），∵2022＝3×673…3，∴第2022次两个物体相遇位置为（2，0），故选：A．【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律．6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为（a1，a2），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8）…，每个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a2020+a2021+a2022的值为（）A．2021B．2022C．1011D．1012【分析】观察已知点的坐标可得，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，进而可得结果．【解答】解：由直角坐标系可知A（1，1），B（2，﹣1），C（3，2），D（4，﹣2），……，即a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝﹣1，a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝﹣2，……，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，∴a2021＝﹣505，2023÷4＝505……3，∴a2022＝506，故a2020+a2021+a2022＝1012，故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，探索数字与字母规律是解题关键．7．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（）A．（﹣1012，−20232）B．（﹣1011，20232）C．（﹣1011，−20232）D．（﹣1012，−20212）【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果．【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，∵2022÷4＝505……2，∴点C2022在第二象限，∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，32），点C6的坐标为（﹣3，72），点C10的坐标为（﹣5，112），……∴点∁n的坐标为（−2，r12），∴当n＝2022时，−2=−20222=−1011，r12=2022+12=20232，∴点C2022的坐标为（﹣1011，20232），故选：B．【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．8．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A1（1，2）A2（2，2）A3（3，0）A4（4，﹣2）A5（5，﹣2）A6（6，0）……，按这样的规律，则点A2021的坐标为（）A．（2021，2）B．（2020，2）C．（2021，﹣2）D．2020，﹣2）【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．【解答】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵A6（6，0），∴OA6＝6，∵2021÷6＝336…5，∴点A2021的位于第337个循环组的第5个，∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点A2021所处的循环组是解题的关键．9．（2022春•宣化区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2021，﹣1）C．（2022，1）D．（2022，0）【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标．【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：12×2×1=，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，∴点P1秒走12个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2022÷4=505余2，∴P的坐标是（2022，0），故选：D．【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）【分析】观察图形可知，横坐标相等的点的个数与横坐标相同，根据求和公式求出第100个点的横坐标以及在这一横坐标中的所有点中的序数，再根据横坐标是奇数时从上向下排列，横坐标是偶数时从下向上排列，然后解答即可．【解答】解：由图可知，横坐标是1的点共有1个，横坐标是2的点共有2个，横坐标是3的点共有3个，横坐标是4的点共有4个，…，横坐标是n的点共有n个，1+2+3+…+n=or1)2，当n＝13时，13×(13+1)2=91，当n＝14时，14×(14+1)2=105，所以，第100个点的横坐标是14，∵100﹣91＝9，∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，∵第142=7个点的纵坐标是0，∴第9个点的纵坐标是2，∴第100个点的坐标是（14，2）．故选：D．【点评】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．二、填空题（共10题）11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是．A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用2022÷4可判断出第2022次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．【解答】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，∵2022÷4＝505……2，∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，∴横坐标为﹣（505×4+2）＝﹣2022，纵坐标为0，∴此时P（﹣2022，0）．故答案为：（﹣2022，0）．【点评】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…则点A2022的坐标是．【分析】根据题意可以发现规律：A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n ﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），根据规律求解即可．【解答】解：根据题意可以发现规律：A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），A6（2，﹣2），A7（﹣2，﹣2），A8（﹣2，2），…，∴A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴点A2022的坐标为（506，﹣506），故答案为：（506，﹣506）．【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．13．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为．【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1（3032，1010）．【解答】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，（3032，1010），∴A2n﹣1故答案为（3032，1010）．【点评】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．14．（2022•嘉峪关一模）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），……按这样的运动规律，动点P第2022次运动到的点的坐标是．【分析】根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案．【解答】解：∵第1次运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），…，∴第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次一个循环，从第一次运动到的纵坐标开始，分别为0、﹣2、0、1、…，∵2022÷4＝505⋯2，∴动点P第2022次运动到的点的坐标是（2022，﹣2），故答案为：（2022，﹣2）．【点评】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形运动坐标变化规律，得到点P的坐标是解题的关键．15．（2022秋•涡阳县校级月考）如图，一动点在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟，它从原点运动到（1，0），第二分钟，从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，每分钟运动1个单位长度．第30分钟，动点所在的位置的坐标是．【分析】根据移动次数与点的坐标的所呈现的规律进行计算即可．【解答】解：根据移动的方向，距离所呈现的规律可得，当移动到点（1，0）时，对应的移动次数为1次，当移动到点（2，0）时，对应的移动次数为4+2×2＝8次，当移动到点（3，0）时，对应的移动次数为8+1＝9次，当移动到点（4，0）时，对应的移动次数为9+3×2+1+4×2＝24次，当移动到点（5，0）时，对应的移动次数为24+1＝25次，所以移动30次，所对应的点的坐标为（5，5），故答案为：（5，5）．【点评】本题考查点的坐标，发现移动次数与点的坐标所呈现的规律是正确解答的关键．16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2022的在第三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：∵2022÷4＝505…2，∴点P2022在第二象限，∵P6（﹣1，2），P10（﹣2，3），P14（﹣3，4），…，6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…，∴P2022（﹣505，506）．故答案为：（﹣505，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，A n，若点A1的坐标为（3，1），则点A2022的坐标为．【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点A2022的坐标即可．【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2022÷4＝505余2，∴点A2022的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；故答案为：（0，4）．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．18．（2022春•长安区校级期中）如图1，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点P1，第2次碰到长方形的边时，记为点P2，…，第n次碰到长方形的边时，记为点P n，则点P3的坐标是；点P2022的坐标是．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，根据图形知点P3的坐标是（8，3），根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337，当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3），故答案为：（8，3），（0，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．19．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•••，发现4次一个循环，∵2022÷4＝505.....2，∴A2022的纵坐标与A2相同，横坐标＝505×6+5＝3035，∴A2022（3035，0），故答案为：（3035，0）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．20．（2022春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…根据这个规律，第87个点的坐标为，第2022个点的坐标为．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点的横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束．例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，......，右下角的点的横坐标为9时，共有92＝81个，9是奇数，以横坐标为9，纵坐标为0的点结束，故第87个点的坐标为（10，5），右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），∴第2020个点的坐标为（45，3）故答案为：（10，5），（45，3）．【点评】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．三、解答题（共10题）21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4，A6，A12，A14．（2）按此规律移动，n为正整数，则点A4n的坐标为，点A4n+2的坐标为．（3）动点A从点A2022到点A2023的移动方向是．（填“向上”、“向右”或“向下”）【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n的坐标（n为正整数）；（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A4（2，0），A6（3，1），A12（6，0），A14（7，1）；故答案为：（2，0），（3，1），（6，0），（7，1）；（2）根据（1）发现：点A4n的坐标（n为正整数）为（2n，0）；点A4n+2的坐标为（2n+1，1）；故答案为：（2n，0），（2n+1，1）；（3）因为每四个点一个循环，所以2023÷4＝505…3．所以从点A2022到点A2023的移动方向是向下．故答案为：向下．【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律．22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…（1）填写下列各点的坐标：P9（、），P12（、），P15（、）（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；（3）点P60的坐标是（、）；（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P3、P6、P9、P12，发现其中规律是脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．【解答】解：（1）由动点运动方向与长度可得P3（1，0），P6（2，0），可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，即动点运动三次与横轴相交，故答案为P9（3，0），P12（4、0），P15（5、0）．（2）由（1）可归纳总结点P3n的坐标为P3n（n，0），（n是正整数）；（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P60的横坐标是20故点P60的坐标是（20、0）故答案为（20、0）．（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律∴点P210在x轴上，又由图象规律可以发现当动点在x轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，而点P210是在x轴上的偶数点所以动点从点P210到点P211的移动方向应该是向上．【点评】本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定动点移动的数字与方向上的规律，然后再进一步按规律解决要求的点的位置．23．（2021秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示．（1）请直接写出A5、A6、A7、A8的坐标；（2）根据规律，求出A2022的坐标．【分析】（1）看图观察即可直接写出答案；（2）根据正方形的性质找出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n 为自然数）”，依此即可得出结论．【解答】解：（1）A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2）；（2）观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），…，∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数），∵2022＝505×4+2，∴A2022（﹣506，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．（1）该质点移动到（1，1）的时间为秒，移动到（2，2）的时间为秒，移动到（3，3）的时间为秒，…，移动到（n，n）的时间为秒．（2）该质点移动到（7，4）的时间为秒．【分析】（1）根据图形可得出质点移动到（1，1），（2，2），（3，3）的时间，根据规律可得出质点移动（n，n）的时间；（2）现有（1）的结论得出（7，7）的时间，再加上3即可得出移动到（7，4）的时间．【解答】解：（1）由图可知移动到（1，1）的时间为2秒，移动到（2，2）的时间为6秒，移动到（3，3）的时间为12秒，根据变化规律可得移动到（n，n）的时间为n（n+1），故答案为：2，6，12，n（n+1）；（2）由（1）可得移动到（7，7）的时间为7×8＝56，56+3＝59，∴移动到（7，4）的时间为59秒，故答案为59．【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能找到质点移动到（n，n）的时间的规律．25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为，A n的坐标为用含n的代数式表示；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形个，大正方形个．【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．【解答】解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3，∴A 3（5+3，2），A n （2+3+3+⋅⋅⋅+3︸(K1)个3，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．【点评】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变成△OA 3B 3，已知A （1，5），A 1（2，5），A 2（4，5），A 3（8，5）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA 3B 3变成△OA 4B 4，则A 4的坐标是，B 4的坐标是．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是，B n 的坐标是．【分析】（1）对于A 1，A 2，A n 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是5，同理B 1，B 2，B n 也一样找规律．（2）根据第一问得出的A 4的坐标和B 4的坐标，再此基础上总结规律即可知A n 的坐标是（2n ，5），B n 的坐标是（2n +1，0）．【解答】解：（1）因为A（1，5），A1（2，5），A2（4，5），A3（8，5）…纵坐标不变为5，同时横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，5）；因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；故答案为：（16，5），（32，0）；（2）由上题第一问规律可知A n的纵坐标总为5，横坐标为2n，B n的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，∴A n的坐标是（2n，5），B n的坐标是（2n+1，0）．故答案为：（2n，5），（2n+1，0）．【点评】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…∁n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，∁n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．【分析】（1）根据点的坐标规律解答即可；（2）根据点的坐标规律解答即可；（3）根据四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5计算即可．【解答】解：（1）A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．（2）A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．（3）∵A5（17，0），B5（0，18），C5（﹣19，0），D5（0，﹣20）．∴四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5=12×17×18+12×18×19+12×19×20+12×20×17＝684．故答案为：A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．【点评】此题考查点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析．28．（2021春•自贡期末）综合与实践问题背景：（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1，P2．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．【解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为(1+22，1+22)．故答案为：(1+22，1+22)．（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，32）、（2，52）、（0，3）∴①HG过EF中点（1，32）时，r12=1，r42=32解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；②EH过FG中点（2，52）时，−1+2=2，2+2=52解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；③FH过EG的中点（0，3）时，3+2=0，1+2=3解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．【点评】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．29．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…分别作x轴垂线，交直线y＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…（1）由题意可知：P1＝3、S1=12；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3=92；则P4＝、S4＝；（2）P7﹣S7＝；。
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点A (－1，2)，将长方形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过1次翻滚点A 对应点记为A 1，经过2次翻滚点A 对应点记为A 2……依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标为( )A ．(5，2)B ．(6，0)C ．(8，0)D ．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第2次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第3次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3.已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．。
和点的坐标有关的规律探索题的归类解析
图 ８
分析
可发现变换 的过程 中 ， Ａ和点 Ｂ坐标变化 点
时 ， 点 Ｐ第 顶
的规律为 ： 纵坐标不变 ， 横坐标乘 以 ２ 所 以得 Ａ ． 的坐标
次 回到原来 的起始位置．
为 （６ ３ ， 的坐标 为 （ ２ ０ ， １ ，） ３ ， ） 依此 规律 类 推 ， 难得 不
何变化 ， 出规律 ， 找 推测 Ａ 的坐标是
— —
，
Ｂ 的坐标
是
＿
ｙ
沿着正方形 的边 Ａ Ｂ 、 Ｄ、 Ａ Ａ 、 Ｂ、 Ｃ Ｃ Ｄ 、 Ｂ ……连续 地翻转 １ ７ ，
次， 使顶 点 Ｐ第 一次回到原来 的起始 位置．
（ ） 果 我们 把 正 方 形 Ａ Ｃ 的边 展 开 在 一直 线 １如 ＢＤ 上， 那么这一翻转过程 可 以看 作是 ＡＰ Ｅ在直线 上作连 Ａ 续 的翻转运动． ７是 ｋ＝１时 ， Ａ 图 ＡＰ Ｅ沿正 方形 的边 连 续翻转过程 的展 开示 意 图． 请你 探索 ： ｋ ， ＡＰ Ｅ 若 ＝１则 Ａ 沿正方形 的边连 续翻转 的次数 ｎ＝
－ － －
入． Ｐ． ３
Ｐ（ ） Ｐ
图 ２
．Ｐ ．６ 入
】
标 系下 的点 Ｐ 的横坐标为 ２０ ０ ７—１ ２ ０ ． ＝ ０６
＾
Ｄ
Ｊ（ Ｐ Ｐ）
法 ２ 如图 ３ 可 以将 ｙ轴 向左 平移 ０ ５ 在新 坐标 ， ．， 系下易知点 Ｐ 瑚 的横坐标为 ２０ ， 以点 瞄的横坐标 ０７所
Ｐ
Ａ
／ 、 、 、… 入， ， ＼ ，…
０ Ｐｌ ｊ Ｐ
Ｙ
８
、 、
Ｐ
、
Ｐｔ
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题探究平面直角坐标系中点的变化规律亲爱的朋友们，你们好！今天我要和大家聊聊一个挺有意思的问题——平面直角坐标系里点的移动变化。
咱们都知道，数学这门学问，它可不仅仅是算数那么简单，它里面藏着好多有趣的秘密呢。
比如说，点在平面上怎么动？它们之间又是怎么相互影响的？这些问题可都是我们得好好琢磨的。
咱们得明白一点，那就是点啊，就像是小石头一样，在平面上自由自在地跑来跑去。
想象一下，你站在一片草地上，脚下踩着一块大石子，这块石子就是你的一个点。
当你往前迈一步，那块石子也跟着往前走了一小段；你往后退一步，石子就往后退了一小段。
这就是最简单的点在平面上的移动啦。
再来说说两点之间的距离吧。
想象一下，你面前有两块石头，它们之间的距离就是这两点之间的直线距离。
这个距离啊，可不是固定的哦，它会随着你移动的方向、角度甚至是速度而改变。
就像你跑起来的时候，两脚之间的距离会变长，速度越快，距离就越长。
这是因为两点之间的距离是由它们之间的线段决定的，而不是由某个固定的距离值决定的。
那么，点的变化规律又是什么呢？咱们来举个例子。
假设你在一个正方形的边上走，起点是左上角，终点是右下角。
你会发现，无论你怎么走，起点和终点之间的距离总是保持不变的。
这是因为正方形的对角线长度是固定的，所以无论怎么走，起点和终点之间的距离都是相等的。
这就是点的变化规律之一——对于封闭图形来说，它的内部任意两点之间的距离是不变的。
除了这些，还有更复杂的规律呢。
比如说，如果你在一个圆上走，你会发现，无论怎么走，起点和终点之间的距离总是会变。
这是因为圆是一个旋转对称图形，它的内部任意两点之间的距离会随着你移动的方向而改变。
但是，有一点很重要，那就是无论你怎么走，起点和终点之间的距离总是大于0且小于等于圆的半径。
这是因为圆是一个无限延伸的图形，所以它的内部任意两点之间的距离是有上限的。
我想说的是，点的变化规律是数学中非常重要的一环。
点的坐标找规律题
点的坐标找规律题
问题描述
本题给出一组点的坐标，要求找出这组点的规律或者特征。
解决思路
要找出一组点的规律或者特征，可以尝试以下几种方法：
1. 绘制点的图形
将所有点的坐标在二维平面上绘制出来，观察是否有一定的几何形状或者分布模式。
通过观察图形，可以初步判断出点的规律。
2. 计算点的距离或者角度
对于一组点，可以计算点与点之间的距离或者角度，然后观察这些值之间是否存在一定的关系或者规律。
例如，可以计算点到原点的距离，点与点之间的距离之比等等。
3. 分析点的坐标数值
观察点的坐标数值，尤其是x轴和y轴之间的关系。
可以计算
点的坐标差值或者比值，看是否存在一定的数学关系，例如等差数列、等比数列等等。
4. 使用数学公式或者方程
根据点的坐标特征，可以尝试运用数学公式或者方程进行计算
和推导。
例如，可以使用线性方程、二次方程等来描述点的规律。
总结
通过上述方法的尝试和分析，可以找出一组点的规律或者特征。
在解决问题的过程中，可以结合不同的方法进行综合分析，以获得
更准确和全面的答案。
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题1. 引言哎呀，坐标系的世界真的很奇妙呢！你有没有觉得，在直角坐标系中，点的移动就像在玩一场拼图游戏，每一步都让你发现新规律。
今天，我们就来一起探讨一下这些点是怎么“变脸”的，看看能否找到一些有趣的规律和技巧。
2. 坐标系基础2.1 坐标系的组成首先，我们得了解一下直角坐标系的基本构成。
直角坐标系由横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成，交点叫做原点。
每一个点都可以用一对数字（x, y）来表示，这两个数字分别告诉我们点在横轴和纵轴上的位置。
简而言之，x坐标告诉我们点向右走了多远，y坐标则告诉我们点向上走了多高。
2.2 如何读懂坐标比如说，点A的坐标是(3, 4)，那就意味着我们从原点出发，向右走3步，再向上走4步，咱们就找到了点A。
是不是很简单？不过，问题来了，当这些点开始移动时，我们要如何判断它们的新位置呢？3. 点的变化规律3.1 点的平移说到点的变化，首先要提到的是平移。
平移就像是在画布上移动画笔，点的坐标在这种情况下会以某种固定的方式改变。
假如我们把点A(3, 4)向右平移2步，向上平移3步，那么新坐标就是(5, 7)。
这就像是把点A挪到了新地方，却没改变它的形状和方向。
3.2 点的对称再来聊聊对称。
对称就像是一面镜子，把点对折过来。
比如，点A(3, 4)相对于y轴对称的点是(3, 4)，因为我们把x坐标取了相反数，y坐标保持不变。
若是相对于x轴对称，点A会变成(3, 4)。
就像把点A在镜子前面照一照，镜中点的坐标自然就变了。
4. 实际例题解析4.1 例题背景假设我们有一个点B，它的坐标是(6, 2)，现在我们要把它先向左移动4步，再向下移动3步。
这个问题就像是在解谜题一样，需要我们运用之前学过的知识。
4.2 解决过程首先，点B(6, 2)向左移动4步，这就意味着x坐标减少4，所以新的x坐标是6 4= 2。
然后，向下移动3步，就意味着y坐标减少3，所以新的y坐标是2 3 = 5。
点坐标规律探究(解析版)
专题25 点坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O 运动到点()11,1P ，第二次运动到点()22,0P ，第三次运动到()33,2P -，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点2022P 的坐标是（ ）A ．()2022,1B ．()2022,2C ．()2022,2-D ．()2022,0 【答案】D【分析】观察图象，结合动点P 第一次从原点O 运动到点P 1（1，1），第二次运动到点P 2（2，0），第三次运动到P 3（3，﹣2），第四次运动到P 4（4，0），第五运动到P 5（5，2），第六次运动到P 6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P 运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．【详解】解：观察图象，结合动点P 第一次从原点O 运动到点P 1（1，1），第二次运动到点P 2（2，0），第三次运动到P 3（3，﹣2），第四次运动到P 4（4，0），第五运动到P 5（5，2），第六次运动到P 6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∵经过第2022次运动后，动点P 的纵坐标是0，故选：D ．【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系上有点()1,0A ，点A 第一次跳至点1(1,1)A -，第二次向右跳动3个单位至点()22,1A ，第三次跳至点()32,2A -，第四次向右跳动5个单位至点()43,2A ，…依此规律跳动下去，点A 第100次跳至点100A 的坐标是（ ）A ．()51,51-B ．()51,50C ．()50,49D ．()50,49- 【答案】B【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），… 第2n 次跳动至点的坐标是（n +1，n ），故第100次跳动至点的坐标是（51，50）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．3．如图，在一单位长度为1cm 的方格纸上，依如所示的规律，设定点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 、n A ，连接点O 、1A 、2A 组成三角形，记为1∆，连接O 、2A 、3A 组成三角形，记为2∆，连O 、n A 、1n A +组成三角形，记为n ∆（n 为正整数），请你推断，当n 为50时，n ∆的面积=（ ）2cmA ．1275B ．2500C ．1225D ．1250 【答案】A【分析】根据图形计算发现：第一个三角形的面积是11212⨯⨯=，第二个三角形的面积是12332⨯⨯=，第三个图形的面积是13462⨯⨯=，即第n 个图形的面积是1(1)2n n +，即可求得，△n 的面积． 【详解】由题意可得规律：第n 个图形的面积是1(1)2n n +， 所以当n 为50时，n 的面积()150********=⨯⨯+=． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，通过计算前面几个具体图形的面积发现规律是解题关键．4．在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P 从原点O 出发，沿着“1234O A A A A →→→→…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知1A 坐标为()()()231,12,0,,1,3A A ()44,0A ···，设第n 秒运动到点(n P n 为正整数)，则点2020P 的坐标是)（ ）A ．()2020,0B ．()2019,1C ．()1010,0D ．()2020,1-【答案】A【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．【详解】解：由题意知，A 1（1，1），A 2（2，0），A 3（3，1），A 4（4，0），A 5（5，-1），A 6（6，0），A 7（7，1），…由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，-1，0这样循环， ∵A 2020（2020，0），故选：A ．【点睛】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．5．如图，将点A 0（-2，1）作如下变换：作A 0关于x 轴对称点，再往右平移1个单位得到点A 1，作A 1关于x 轴对称点，再往右平移2个单位得到点A 2，…，作A n －1关于x 轴对称点，再往右平移n 个单位得到点A n （n 为正整数），则点A 64的坐标为（ ）A ．（2078，-1）B ．（2014 ，-1）C ．（2078 ，1）D ．（2014 ，1）【答案】C【分析】观察不难发现，角码为奇数时点的纵坐标为-1，为偶数时点的纵坐标为1，然后再根据向右平移的规律列式求出点的横坐标即可．【详解】解：由题意得： ()()()()()123451,1,1,1,4,1,8,1,13,1A A A A A ----……由此可得角码为奇数时点的纵坐标为-1，为偶数时点的纵坐标为1，故64A 的纵坐标为1，则点64A 的横坐标为()16464212345 (64220782)+⨯-+++++++=-+=，所以()642078,1A ． 故选C ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律，关键是根据题目所给的方式得到点的坐标规律，然后求解即可．6．如图，在平面直角坐标系中，()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -，把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A B C D A →→→→⋯的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )A ．()1,0-B ．()1,2-C ．()1,0D ．()0,2- 【答案】C【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】∵A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），∵AB =1﹣（﹣1）=2，BC =1﹣（﹣2）=3，CD =1﹣（﹣1）=2，DA =1﹣（﹣2）=3，∵绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3=10，2019÷10=201…9，∵细线另一端在绕四边形第201圈的第9个单位长度的位置点的坐标为（1，0）．故选C ．【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD 一周的长度，从而确定2019个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．7．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x 轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为( )A．64B．49C．36D．25【答案】B【详解】试题解析：设边长为8的正方形内部的整点的坐标为（x，y），x，y都为整数．则-4＜x＜4，-4＜y＜4，故x只可取-3，-2，-1，0，1，2，3共7个，y只可取-3，-2，-1，0，1，2，3共7个，它们共可组成点（x，y）的数目为7×7=49（个）．故选B．考点：规律型：点的坐标．8．如图，在一单位为1的方格纸上，∵A1A2A3，∵A3A4A5，∵A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，﹣1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2020的坐标为（）A．(1010，0)B．(1012，0)C．(2，1012)D．(2，1010)【答案】D【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2020个点的坐标即可．【详解】解：观察点的坐标变化发现：当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，因为2020能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为1010，故选：D ．【点睛】本题考查点坐标的变化规律，根据所要求的点坐标确定类似点的变化规律是解题关键． 9．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，1A 、2A 、3A 、…都在格点上，123A A A ∆、345A A A ∆、567A A A ∆、…都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2、4、6、…的等腰直角三角形.若123A A A ∆的三个顶点坐标为()12,0A 、()21,1A -、()30,0A ，则依图中规律，20A 的坐标为（ ）A ．()2,10B ．()1,9-C ．()10,0D ．()10,0-【答案】A【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式，然后求出A 20所在的三角形，并求出斜边长，然后根据第奇数个三角形关于直线x=1对称，第偶数个三角形关于直线x=2对称，根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．【详解】设到第n个三角形时共有y个顶点，∵第一个三角形有3个顶点，到第二个三角形有5个顶点，到第三个三角形有7个顶点，……∵到第n个三角形的顶点个数y=2n+1，当2n+1=20时，n=9……1，∵A20是第10个三角形的直角顶点，∵第10个三角形为A19A20A21，且A19A21为斜边，∵斜边长分别为2、4、6、……，∵第10个三角形的斜边长为10×2=20，即A19A21=20，由图可知：第奇数个三角形关于直线x=1对称，第偶数个三角形关于直线x=2对称，∵A1A20为∵A19A20A21斜边中线，∵A1A20=10，∵A20的坐标为（2，10）故选A.【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据顶点个数与三角形的关系判断出A20所在的三角形是解题的关键．10．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．(4，O)B．(5，0)C．(0，5)D．(5，5)【答案】B【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，即可解答．【详解】跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依次类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（5，0）．故选B ．【点睛】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．11．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（ ）A ．（－8，0）B ．（0，8）C ．（0，2）D ．（0，16） 【答案】D 【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以2，可求出从A 到A 3变化后的坐标，再求出A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，继而得出A 8坐标即可.【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘2， ∵从A 到3A 经过了3次变化，∵45°×3＝135°，1×()32＝22， ∵点3A 所在的正方形的边长为22，点3A 位置在第四象限，∵点3A 的坐标是（2，－2），可得出：1A 点坐标为（1，1），2A 点坐标为（0，2），3A 点坐标为（2，－2），4A 点坐标为（0，－4），5A 点坐标为（－4，－4），6A （－8，0），A 7（－8，8），8A （0，16），故选D.【点睛】本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，点1A 在x 轴的正半轴上，1B 在第一象限，且△11OA B 是等边三角形．在射线1OB 上取点2B ，3B ，⋯，分别以12B B ，23B B ，⋯为边作等边三角形△122B A B ，△233B A B ，⋯使得1A ，2A ，3A ，⋯在同一直线上，该直线交y 轴于点C ．若11OA =，130OAC ∠=︒，则点9B 的横坐标是（ ）A ．2552B ．5112C ．256D ．5132【答案】B【分析】首先证明OA 1∵B 1A 2，∵B 1A 1A 2＝90°，求出B 1A 2＝2A 1B 1＝2，然后同理可得B 2A 3，B 3A 4的长，根据等边三角形边长的规律，即可求出B 9的横坐标．【详解】解：∵∵OA 1B 1是等边三角形，OA 1＝1，∵B 1的横坐标为12，OA 1＝OB 1＝A 1B 1＝1，∵OA 1B 1＝60°，∵△B 1B 2A 2是等边三角形，∵∵B 2B 1A 2＝60°，∵OA 1∵B 1A 2，∵A 2B 1A 1＝60°，∵∵OA 1C ＝30°，∵∵B 1A 2A 1＝30°，∵∵B 1A 1A 2＝90°，∵B 1A 2＝2A 1B 1＝2，同理：B 2A 3＝2A 2B 2＝4，B 3A 4＝2A 3B 3＝8，…，∵B 1的横坐标为12，B 2的横坐标为12＋1＝32，B 3的横坐标为12＋1＋2＝72，B 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152， ...，∵点B 9的横坐标是12＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝5112． 故选：B ．【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质得到等边三角形边长的规律．13．已知平面直角坐标系内有一点()1,1A -，把点A 向上平移5个单位得到点B ，点C 和点B 关于y 轴对称，点D 和点A 关于y 轴对称，有一小虫从点A 出发，沿着A B C D A B C D →→→→→→→⋅⋅⋅⋅⋅⋅的路径爬行，那么当小虫的爬行路程为2021时，它在第________象限． 【答案】一．【分析】根据题意可知点B 的坐标，根据“平面直角坐标系中，关于y 轴对称的两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数”可得点C 和点D 的坐标，由此，可计算出AB 、BC 、CD 、DA 的长，从而得到小虫爬行一周的长度，然后即可得出当小虫的爬行路程为2021时，小虫到达的位置，从而可确定它在第几象限．【详解】解：∵把点A 向上平移5个单位得到点B ，()1,1A -， ∵点B 的坐标为(1,4)，∵点C 和点B 关于y 轴对称，点D 和点A 关于y 轴对称， ∵点C 的坐标为(-1,4)，点D 的坐标为(-1,-1)， ∵AB =()()2211415-+--=⎡⎤⎣⎦， BC =()()2211442--+-=， CD =()()2211145---+--=⎡⎤⎣⎦， DA =()()2211112--+---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∵AB +BC +CD +DA =5+2+5+2=14，∵有一小虫从点A 出发，沿着A B C D A B C D →→→→→→→⋅⋅⋅⋅⋅⋅的路径爬行， ∵小虫爬行一周的路程为14，∵2021=14×144+5，∵当小虫的爬行路程为2021时，小虫爬行完144周，然后从点A 出发，爬行5个单位长度刚好到达点B ，而点B 的坐标(1,4)在第一象限，∵当小虫的爬行路程为2021时，它在第一象限． 故答案为一．【点睛】本题考查了点所在的象限，平移，点坐标规律特征，两点间的距离公式等知识点．熟记各个知识点是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，将ABO 沿x 轴向右滚动到11AB C △的位置，再到112A B C 的位置…依次进行下去，若已知点()()3,0,0,4A B ，则点49A 的坐标为_________．【答案】（300，3）【分析】根据点A （3，0），B （0，4）得AB =5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解． 【详解】解：∵∵AOB =90°， 点A （3，0），B （0，4）， 根据勾股定理，得AB =5， 根据旋转可知：∵OA +AB 1+B 1C 2=3+5+4=12， 所以点B 2 （12，4），A 1 （12，3）； 继续旋转得，B 4 （2×12，4），A 3 （24，3）； B 6 （3×12，4），A 5 （36，3） …发现规律：B 50 （25×12，4），A 49 （300，3）． 所以点A 49 的坐标为（300，3）． 故答案为：（300，3）．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．15．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如()1,0，()2,0，()2,1，()1,1，1,2，()2,2根据这个规律，第2020个点的坐标为______．【答案】()45,5【分析】根据题意，得到点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，由于22025=45，所以第2020个点在第45个矩形右下角顶点，向上5个单位处． 【详解】根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准， 点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，211= 右下角的点的横坐标为2时，共有2个，242=， 右下角的点的横坐标为3时，共有3个，293=， 右下角的点的横坐标为4时，共有16个，2164=， 右下角的点的横坐标为n 时，共有2n 个，2452025=，45是奇数，∴第2025个点是()45,0，第2020个点是()45,5， 故答案为：()45,5．【点睛】本题考查了规律的归纳总结，重点是先归纳总结规律，然后在根据规律求点位的规律． 16．如图，在平面直角坐标系中，()()()()1,1,1,1,1,2,1,2A B C D ----，把一条长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处， 并按 A B C D A ----⋯的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ____．【答案】()0,1【分析】先根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），∴AB ＝1﹣（﹣1）＝2，BC ＝1﹣（﹣2）＝3，CD ＝1﹣（﹣1）＝2，DA ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3＝10， 2021÷10＝202…1，∴细线另一端在绕四边形第203圈的第1个单位长度的位置， 即细线另一端所在位置的点的坐标是（0，1）． 故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查了点的坐标规律探求，根据点的坐标求出四边形ABCD 一周的长度，从而确定2021个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．17．在直角坐标系中，已知(3,0)A -、(0,4)B ，对ABO 连续作如图翻转变换，依次得到三角形1、2、3……则2018的直角顶点的坐标是___________．【答案】(807115，125)【分析】由(3,0)A -、(0,4)B ，得AB=5，过O′作O′D∵x 轴于点D ，根据面积法，得O′D=125，由勾股定理得，B′D=165，由ABO 连续作如图翻转变换，三次一个循环，进而可得2018的直角顶点的坐标．【详解】∵(3,0)A -、(0,4)B ， ∵OA=3，OB=4，AB=22345+=, 过O′作O′D∵x 轴于点D ， ∵O′D=341255⨯=，B′D=2212164()55-=， ∵对ABO 连续作如图翻转变换，三次一个循环，2018÷3=672…2， ∵2018的直角顶点的横坐标为：12×672+4+165=807115，纵坐标为：125，∵2018的直角顶点的坐标是：(807115，125)．故答案是：(807115，125)．【点睛】本题主要考查几何图形与点的坐标，掌握直角三角形的勾股定理和面积法求斜边上的高，是解题的关键．．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点边上的整点的个数，请你猜测由里向外第11个正方形(实线)四条边上的整点一共有_____个.【答案】44【分析】可以发现第n 个正方形的整点数有4n 个点，故第11个有44个整数点． 【详解】由图象可知，第1个正方形四条边上整点数为4， 第2个正方形四条边上整点数为8， 第3个正方形四条边上整点数为12，则第n个正方形四条边上整点数为4n.n=时，第11个正方形四条边上整点数为44.当11故答案为44.【点睛】此题考查点的坐标规律、正方形各边相等的性质，解决本题的关键是观察分析，得到规律，这是中考的常见题型．19．如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(0,1)运动到-，第3次运动到点(3,0)，⋯按这样的运动规律，动点P第2021次点(1,0)，第二次运动到点(2,2)运动到的点的坐标是________．【答案】(2021,0)【分析】根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案．-，第3次运动到点(3,0)，⋯，【详解】解：∵第1次运动到点(1,0)，第二次运动到点(2,2)∵第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，每个循环向右移动4个单位÷=，∵202145051∵动点P第2021次运动到的点的坐标是(2021,0)，故答案为：(2021,0)．【点睛】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形得到点P的运动规律并应用是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）我们把P（﹣y＋1，x＋1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2021的坐标为_________．【答案】（3，1）【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021A的坐标即可．除以4，根据商和余数的情况确定点2021A的坐标为(3,1)，【详解】解：12(0,4)A ∴，3(3,1)A -，4(0,2)A -，5(3,1)A ，⋯⋯，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，202145051÷=⋯⋯，∴点2021A 的坐标与1A 的坐标相同，为(3,1)．故答案是：(3,1)．【点睛】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每4个点为一个循环组依次循环．21．如图，点(0,0),(0,1)O A 是正方形1O AA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 为边作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点1000A 的坐标是_________．【答案】（0，2500）【分析】根据正方形的性质找出点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8、A 9、A 10、…的坐标，根据坐标的变化可找出变化规律“A 8n （0，24n ）（n 为自然数）”，依此规律即可求出点A 1000的坐标． 【详解】解：∵A 1（1，1），A 2（2，0），A 3（2，-2），A 4（0，-4），A 5（-4，-4），A 6（-8，0），A 7（-8，8），A 8（0，16），A 9（16，16），A 10（32，0），…， ∵A 8n （0，24n ）（n 为自然数）． ∵1000=125×8，∵点A 1000的坐标为（0，2500）． 故答案为：（0，2500）．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“A 8n （0，24n ）（n 为自然数）”是解题的关键．22．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将OAB 变换成11OA B ，第二次将11OA B 变换成22OA B △，第三次将22OA B △变换成33OA B ，…，将OAB 进行n 次变换，得到n n OA B △，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测2020A 的坐标是__________．【答案】()20202,3【分析】根据图形写出点A 系列的坐标与点B 系列的坐标，根据具体数值找到规律即可． 【详解】∵(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，4(16,3)A ，(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ， ∵1n A +的横坐标与n B 的横坐标相同，纵坐标为3，点n B 的横坐标为12n +，纵坐标为0，∵n A 的坐标是()2,3n，∵()202020202,3A ．【点睛】依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA ＝1，以点A 1为直角顶点，0A 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2019的坐标是_____．【答案】（﹣21009，21009）【分析】利用等腰直角三角形的性质可得出部分点A n 的坐标，根据点的坐标的变化可得出变化规律“点A 8n+3的坐标为（﹣24n+1，24n+1）（n 为自然数）”，结合2019＝252×8+3即可得出点A 2019的坐标．【详解】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵点A 8n+3的坐标为（﹣24n+1，24n+1）（n 为自然数）．∵2019＝252×8+3，∵点A 2019的坐标为（﹣24×252+1，24×252+1），即（﹣21009，21009）， 故答案为（﹣21009，21009）．【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点A 8n+3的坐标为（﹣24n+1，24n+1）（n 为自然数）”是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点()1A 0,1，()2A 1,1，()3A 1,0，()4A 2,0，⋯那么点2018A 的坐标为______．【答案】（1009，1）【分析】任选一个除原点外的点找出它的坐标，往后每隔4取一个点找出它的坐标，这样以4为周期得到相应位置的点的坐标规律，找出比2018小且最接近2018的这个位置的点的坐标即可求解． 【详解】解：根据题意得：A 1(0，1)，A 5(2，1)，A 9(4，1)，A 13(6，1)，…… 所以A 4n ＋1(2n ，1)．因为2017＝4×504＋1＝2×1008＋1，所以A 2017(1008，1)， 则A 2018(1009，1)． 故答案为A 2018(1009，1)．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，探索规律的步骤：①从具体的题目出发，用列表或列举的方式，把各数量或图形的变化特点展现出来；②认真观察图表或图形，通过合理联想，大胆猜想，总结归纳，得出数字或图形间的变化规律，形成结论；(4)由此及彼验证结论的正误．。
中考数学复习指导：探究点的坐标变化规律
探究点的坐标变化规律“图形与坐标”是“图形与几何”领域的主要内容之一其中有这样一类问题，根据已知点的变化情况，利用猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标变化规律.这类问题要求通过归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证，这是提高合情推理能力的重要途径，也是培养创新精神的重要方法.现结合实例，对点的坐标规律探索作一个归类整理.一、循环规律例1 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x -++叫做点P 的伴随点.已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ,点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点123,,,,,n A A A A ⋯⋯例如:点1A 的坐标为(3,1)，则点2A 的坐标为(0,4),…若点1A 的坐标为(,)a b ，则点2015A 的坐标为( )(A) (1,1)b a -++ (B) (,2)a b --+(C) (1,1)b a --+ (D) (,)a b析解 通过计算，得2(1,1)A b a -++，3(,2)A a b --+，4(1,1)A b a --+，5(,)A a b ，从而4个一循环，2015÷4=503…3，对应着3A ，选B.例2 如图1，在平面直角坐标系中，(1,1),(1,1),(1,2),(1,2)A B C D ----.把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A B C D A ----…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )(A) (1,0)- (B) (1,2)- (C) (1,1) (D) (1,1)--析解 长方形的周长为10 ,10个一循环，线长÷10，其余数从0到9分别对应着(1,1),(0,1),(1,1),(1,0----(1,2),(0,2),(1,2),(1,-----20141020÷= …4， ∴对应(1,1)--，选D.例3 如图2的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中C D 、两点坐标分别为(1 ,0)、(2 ,0).若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，经过点(75,0)的是 (填A 、B 、C 、D 或E).析解 据题意知，5个点为一循环，将点的横坐标÷5，余数从0到4分别对应着B 、C 、D 、E 、A ，而75整除5，故填B.以上三题的问题情境不同，但解决方法异曲同工，通过仔细计算，得出正确规律;找 到几个数一循环，然后看余数是几便可找到对应的数.二、递进规律递进规律问题是坐标按照一定的规律递进变化，根据解决问题的方法不同又可分为两类:第一类:所有点可以按一定规律分类，每一类有各自的变化规律.先归纳其变化规律，再确定要求的点在哪一类.例4在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图3所示:(1)填写下列各点的坐标: 4A ( )，8A ( )，12A ( );(2)写出点4n A 的坐标(n 为正整数);(3)指出蚂蚁从点100A 到点101A 的移动方向.析解 解决此类问题通常有两种方法:①按照坐标变化规律对点进行分类，本题可把点分4类，第一类: 1A ，5A ，9A …；第二类: 2A ，6A ，10A …；第三类: 3A ，7A ，11A …；第四类: 4A ，8A ，12A …归纳出每一类坐标规律，分别为43(22,1)n A n --，42(21,1)n A n --，41(21,0)n A n --，4(2,0)n A n从第一类到第二类，第二类到第三类，第三类到第四类，第四类到第一类，…每一类到下一类移动方向依次为向右、向下、向右、向上，不断循环;②写出其中一类，再根据正方形各顶点与其关系写出其他类坐标.本题很容易写出4(2,0)n A n ，后退1个单位得41(21,0)n A n --；类似可得出42(21,1)n A n --，43(22,1)n A n --，移动方向同样可得.两种方法都需要在观察分析基础上进行分类归纳推理，第①种合情推理成分更多些，第②种逻辑推理成分更多些.第(1)问可直接求，也可代入通式，得4(2,0)A ，8(4,0)A ，12(6,0)A(2)问，点4n A 的坐标为4(2,0)n A n(3) 蚂蚁从点100A 到点101A 的移动方向为：向上变式 如图4，已知1(1,0)A 、2(1,1)A 、3(1,1)A -、4(1,1)A --、5(2,1)A -…则点2016A 的坐标析解 根据点A 所在象限，将所有点分成4类，42(,)n A n n -，41(,)n A n n --，4(,)n A n n --，43(,1)n A n n --因为2016整除4，所以2016A 在4n A 类，求出504n =，从而，2016(504,504)A -- . 解决此类问题需要仔细观察，对坐标进行分类，归纳每一类坐标规律.通过计算所属哪一类，求出n ，代入通式即可.第二类:点的位置按照一定程序变化，这类问题有一定的难度和灵活性，有时可以某些特殊位置的特殊点为突破口.例5 如图5，一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动.在第一秒，它从原点跳到点(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)→→→→ ，且每秒跳动一个单位长度，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )(A) (4,0) (B) (5,0)(C) (0,5) (D) (5,5)析解 这里找到点落在哪一圈很重要.先考察特殊点，如第n 圈右上角顶点步数为(1)n n +，或者第n 圈最后一点步数为2(1)1n +-，再结合奇数圈顺时针方向，偶数圈逆 时针方向的跳动方向，确定要求的点的位置，最后得出点的坐标.因为235(51)1=+-，位 置落在第5圈的最后一步，顺时针方向，因而是(5,0)，选B .解决此类问题关键要找到最接近的数，以2016秒为例，因为44451980⨯=，与 2016 最接近，第2016秒在第44圈上，逆时针方向，2016198036-=，从(44,44)往左平移36个单位得坐标为(8,44).变式 将正整数按如图6所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(,)x y ，且,x y 均为整数，如数5对应的坐标为(1,1)-，试探求2015对应的坐标.析解 观察发现标注数字为9、25、49…的特殊点，归纳规律，数字为2(21)n +的点的 坐标为(,)n n -. 22244201545(2221)2025<<=⨯+=2025∴对应的坐标为(22,22)-2015∴对应的坐标为(12,22)-例6 如图7，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,1)-…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为( )(A) 14,0（） (B) 14,-1（）(C) 14,1（） (D) 14,2（）析解 从两个角度观察:(1)点数量的变化.点(1,0)，(2,0)， (3,0)，…所在纵列的点数分别为1,2,3个…，偶数列x 轴上方点数比下方多1个点.(2)方向的变化.偶数列向上，奇数列向下.因为121391100+++=<<+++ ，所以第100个点在第14列，方向向上，x 轴下方连同x 轴上的点有7个，因为100919-=，972-=，所以第100个点对应坐标为(14,2)，选D.以上问题一般在七、八年级的解决范围内，主要考查坐标知识和推理能力.当学习了全等、相似及三角函数等知识后，点的坐标规律的探索问题还将结合几何知识，把求坐标转化为求线段长度，然后通过猜想归纳得出结论例7如图8，在平面直角坐标系中，线段11OA =，1OA 与x 轴的夹角为30︒，线段121A A =，211A A OA ⊥，垂足为1A ;线段231A A =，3212A A A A ⊥，垂足为2A ;线段341A A =，4323A A A A ⊥，垂足为3A …按此规律，点2012A 的坐标为析解 这是递进规律第二类的模型，有几何知识的参与，遇见直角构造“三垂直”或“双直”模型是比较典型的方法.于是过点1A 作1AB x ⊥轴，作1AC //x 轴，2A C //y 轴，1AC 与2A C 相交于点C ，构造“双直”模型，求出点1A 的坐标以及1AC 、2A C 的长度，得2A 坐标，类似求3A 、4A 、5A 、6A 的坐标.观察归纳点的坐标的变化规律:当n 为奇数时，点n A 坐标为11)44n n -+ 当n 为偶数时，点n A 坐标为)44n n 把2012代入规律进行计算可得2012503)A。
关于“点的坐标”的规律探索题归类解析
关于“点的坐标”的规律探索题归类解析作者：徐骏来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2009年第07期课改后,开放性、探索性试题频频出现,已然成为一道亮丽的风景线.而其中和点的坐标有关的规律探索试题,更以其丰富的知识性和趣味性,绽放出夺目的光彩.本文以近几年中考题作为原型进行编创,归纳其类型与解法,希望教师认真探索、总结,在碰到此类型题目时能冷静处理,进行有条理的思考,寻找解题的途径和方法.一、滚动型问题1.三角形的滚动问题.例1:如图1,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2 008的位置,则点P2 008的横坐标为_________.【分析】此题关键是要发现P点坐标变化的规律,可用两种方法解答此题:法一:如图2,正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转3次,也就是正三角形OAP沿x轴滚动一周,点P的横坐标增加3(其中点P翻转至点P1,横坐标增加1.5;点P1翻转至点P2,横坐标增加0;点P2翻转至点P3,横坐标增加1.5).因为2 008=669×3+1,正三角形OAP滚动669周后又翻转了1次,所以点P2 008的横坐标为:-0.5+669×3+1.5=2 008.法二:如图3,可以将y轴向左平移0.5,在新坐标系下易知点P2007的横坐标为2 007, 所以点P2 008的横坐标为:2 007+1.5=2 008.5,再还原成原坐标系下的点P2 008 的横坐标为:2 008.5-0.5=2 008.2.正方形的滚动问题.例2:如图4,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2 006的位置,则P2 006的横坐标x2 006=_______.【分析】如图5,正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转4次,也就是正方形OAPB沿x轴滚动一周,点P的横坐标增加4(其中从点P→点P1→点P2→点P3→点P4,横坐标分别增加2,1,0,1).因为2 006=501×4+2,正方形OAPB滚动501周后又翻转了两次,所以点P2 006的横坐标为:-1+501×4+2+1=2 006.或者仿例1一样将点P2 006放在新坐标系下,易知点P2 004的横坐标为2 004,所以点P2 006的横坐标为:2 004+2+1=2 007,再还原成原坐标系下的点P2 006的横坐标为:2 007-1=2 006.3.三角形与正方形结合的滚动问题.例3:已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1. 将△PAE在正方形内按图6中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB……连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置.(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图7是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索:若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_______时,顶点P第一次回到原来的起始位置.(2)若k=2,则n=_______时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则n=_______时,顶点P第一次回到原来的起始位置.(3)请你猜测:使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式表示n).【分析】正△PAE沿正方形的边AB、BC、CD、DA连续翻转4k次,也就是正△PAE沿正方形的边滚动一周,而正△PAE连续翻转3次自身滚动一周,于是当正△PAE沿正方形的边连续翻转的次数为4k与3的最小公倍数(即若k是3的倍数时为4k,若k不是3的倍数时为12k)时,顶点P第一次回到原来的起始位置.故当k=1时,n=12;k=2,则n=24;k=3,则n=12.二、变换型问题例4:如图8,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3已知:A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).(1)观察每次变换前后的三角形系有何变化,找出变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是______,B4的坐标是 _________ ,变换的规律是_________.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是__________,Bn的坐标是_______.【分析】可发现变换的过程中,点A和点B坐标变化的规律为:纵坐标不变,横坐标乘以2.所以得A4的坐标为(16,3),B4的坐标为(32,0),依此规律类推,不难得出An的坐标为(2n,3),Bn的坐标为(2n+1,3).例5:如图9,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3已知:A(1,3),A1(-2,-3),A2(4,3),A3(-8,-3);B(2,0),B1(-4,0),B2(8,0),B3(-16,0).(1)观察每次变换前后的三角形系有何变化,找出变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是_______,B4的坐标是_______,变换的规律是________.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,推测An的坐标是________,Bn的坐标是______.【分析】可发现变换的过程中,点A坐标变化的规律为:纵坐标乘以-1,横坐标乘以-2;点B坐标变化的规律为:纵坐标不变(为零),横坐标乘以-2.所以得A4的坐标为(16,3), B4的坐标为(32,0),依此规律类推,不难得出An的坐标为[(-2)n,3×(-1)n ],Bn的坐标为[ -(-2)n+1,0].例6:如图10,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0),(0,1),(0,0).点列P1,P2,P3,…,中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点成中心对称.点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称……对称中心分别是A,B,O,A,B,O……且这些对称中心依次循环.已知P1的坐标是(1,1),试写出点P2 009的坐标.【分析】P1(1,1),P2(1,-1),P3(-1,3),P4 (1,-3), P5(1,3),P6(-1,-1),P7(1,1).如图11,P点坐标变化的规律是以6为一个周期进行循环.因为2 009=364×6+5,点P2 009的坐标相当于点P5的坐标(1,-3).三、交点型问题例7:如图12,在平面直角坐标系中,点A1是以原点O为圆心,半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x轴的直线l1的一个交点;点A1是以原点O为圆心,半径为3的圆与过点(0,2)且平行于x 轴的直线l2的一个交点;…;按照这样的规律进行下去,点An的坐标为_____.四、跳跃型问题例9:已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后,再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后,再水平向左运动3个单位长度.在平面直角坐标系内,现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1,第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,…,依此运动规律,则经过第2 009次运动后,动点P所在位置P2 009的坐标是 .【分析】如图15,点P2、P4、P6、P8…在直线y=x上,点P1、P3、P5、P7、P9、P11…在直线y=x-1上.P点坐标变化的规律是 P2n(-n,-n),P2n+3(1-n,-n).故点P2 009的坐标为(-1 002, -1 003).例10:如图16,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P关于点A的对称点M处,接着跳到点M关于点B的对称点N处,第三次再跳到点N关于C的对称点处,…,如此下去.(1)在图中画出点M、N,并写出点M、N的坐标 .(2)求经过第2 008次跳动之后,棋子落点与点P的距离.【分析】P(1,0),P4(2,2),P8(3,4),P12(4,6).P点坐标变化的规律是每跳动4次横坐标增加1,纵坐标增加2,于是可得P4n的坐标(1+n,2n).故点P2 008的坐标是(503,1 004).例12:电子跳蚤游戏盘为△ABC(如图19),AB=8,AC=9,BC=10,如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点,BP0=4,第一步跳蚤跳到AC边上P1点,且CP1=CP0;第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点,且AP2=AP1;第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点,且BP3=BP2;…;跳蚤按上述规定跳下去,第2 008次落点为P2 008,则点P2 008与A点之间的距离为 .【分析】从P0→P1,CP1=CP0=6,故AP1=9-6=3.同理,可求得BP2=5,CP3=5,AP4=4,BP5=4,BP6=4,发现点P6与P0点重合.电子跳蚤落点位置变化的规律是棋子每跳动6次后又回点P0处,因为2 008=334×6+4,所以经过第2 008次跳动后,电子跳蚤落在点P4处,点P2与A点之间的距离就是点P4与A点之间的距离,即点P2 008与A点之间的距离是4.E-mail:hit790205@编辑/张烨。
人教版七年级数学下册难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A．10个 B．20个C．40个 D．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25) ◆类型三 图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A (2，0)，B (0，2)，将扇形AOB 沿x 轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O 的对应点依次记为点O 1，点O 2，点O 3…，则O 10的坐标是( )A ．(16＋4π，0)B ．(14＋4π，2)C ．(14＋3π，2)D ．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1) 解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C 解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B 解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n，3) (2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m 的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
坐标系规律探索习题
坐标系规律探索习题一．选择题（共3小题）1．如图，动点P 按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3,2)，⋯，按这样的运动规律，则第2021次运动到点( )A ．(2021,1)B ．(2021,2)C ．(2020,1)D ．(2021,0)2．如图，在平面直角坐标系中，(1,1)A ，(1,1)B -，(1,2)C --，(1,2)D -．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A -----⋯的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(1,2)--D ．(1,2)-3．点1A ，2A ，3A ，⋯，(n A n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；⋯，依照上述规律，点2008A ，2009A 所表示的数分别为( ) A ．2008，2009-B ．2008-，2009C ．1004，1005-D ．1004，1004-二．填空题（共17小题）4．如图，在平面直角坐标系中，函数2y x =和y x =-的图象分别为直线1l ，2l ，过点(1,0)作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，⋯依次进行下去，则点2022A 的坐标为 ．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1(1,0)A ，2(3,0)A ，3(6,0)A ，4(10,0)A ，⋯，以12A A 为对角线作第一个正方形1121AC A B ，以23A A 为对角线作第二个正方形2232A C A B ，以34A A 为对角线作第三个正方形3343A C A B ，⋯，顶点1B ，2B ，3B ，⋯都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点5B 的坐标为 ；点n B 的坐标为 ．6．如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点1(0,1)P ，2(1,1)P ，3(1,0)P ，4(1,1)P-，5(2,1)P -⋯则2018P 的坐标是 ．7．如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以它的对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，写出点3B 的坐标为 ；再以正方形232OB B C 的对角线3OB 为一边作正方形343OB B C ，⋯依此规律作下去，点2013B 的坐标为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点(1,0)A 处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点1A ； 第二次，它从点1A 先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点2A ； 第三次，它从点2A 先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点3A ； 第四次，它从点3A 先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点4A ；⋯依此规律进行，点6A 的坐标为 ；若点n A 的坐标为(2013,2012)，则n = ． 9．如图，在平面直角坐标系中，有一个正六边形ABCDEF ，其中C 、D 的坐标分别为(1,0)和(2,0)．若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，会经过点(54,2)的是 ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1A 是以O 为圆心，2为半径的圆与过点(0,1)且平行于x 轴的直线1l 的一个交点；2A 是以原点O 为圆心，3为半径的圆与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线2l 的一个交点；3A 是以原点O 为圆心，4为半径的圆与过点(0,3)且平行于x 轴的直线3l 的一个交点；4A 是以原点O 为圆心，5为半径的圆与过点(0,4)-且平行于x 轴的直线4l 的一个交点；⋯，且点1A 、2A 、3A 、4A 、⋯都在y 轴右侧，按照这样的规律进行下去，点6A 的坐标为 ，点n A 的坐标为 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．11．如图，在平面直角坐标系上有个点(1,0)P ，点P 第1次向上跳动1个单位至点1(1,1)P ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点2(1,1)P -，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，⋯，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点100P 的坐标是 ．12．如图，在平面直角坐标系上有点(1,0)A ，点A 第一次跳动至点1(1,1)A -，第四次向右跳动5个单位至点4(3,2)A ，⋯，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至点100A 的坐标是 ．13．在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为：1(1,1)A 、2(0,2)A 、3(1,1)A -．一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以1A 为对称中心的对称点1P ，第2次电子蛙由1P 点跳到以2A 为对称中心的对称点2P ，第3次电子蛙由2P 点跳到以3A 为对称中心的对称点3P ，⋯，按此规律，电子蛙分别以：1A 、2A 、3A 为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是2009P ．14．观察下列有序数对：(3，1)(5--，1)(72，1)(93--，1)4⋯根据你发现的规律，第100个有序数对是 ．15．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，(3，0)(4，0)⋯⋯，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 ．16．如图，已知直线l 与x 轴夹角为30︒，过点(2,0)A 作直线l 的垂线，垂足为点1A ，过点1A 作12A A x ⊥轴，垂足为点2A ，过点2A 作23A A l ⊥，垂足为点3A ，⋯，这样依次下去，得到一组线段：1AA ，12A A ，23A A ，⋯，则线段20202021A A 的长为 ．17．如图，点(0,0)O 、(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，再以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，⋯，依次下去，则对角线2020OB 的长= ．18．以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为 ．19．如图所示，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向翻转2008次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，⋯，2008P 的位置，则2008P 的横坐标2008x = ．20．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1P ，2P ，32008P P ⋯的位置，则点2008P 的横坐标为 ．三．解答题（共2小题）21．如图：在直角坐标系中，第一次将AOB ∆变换成△11OA B ，第二次将三角形变换成△22OA B ，第三次将△22OA B ，变换成△33OA B ，已知(1,3)A ，1(3,3)A ，2(5,3)A ，3(7,3)A ；(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△33OA B 变换成△44OA B ，则4A 的坐标是 ，4B 的坐标是 ．（2）若按（1）找到的规律将OAB ∆进行了n 次变换，得到△n n OA B ，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 的坐标是 ，n B 的坐标是 ．22．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标： 1(A ， )， 3(A ， )， 12(A ， )；（2）写出点4n A 的坐标(n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向．坐标系规律探索习题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题） 1．解：由图可知，每运动四次出现的形状都是一样的， 202145051÷=⋯⋯，∴第2021次运动到点(2021,1)，故选：A ． 2．解：(1,1)A ，(1,1)B -，(1,2)C --，(1,2)D -，1(1)2AB ∴=--=，1(2)3BC =--=，1(1)2CD =--=，1(2)3DA =--=，∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为232310+++=，2012102012÷=⋯，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B 的位置，点的坐标为(1,1)-． 故选：B ．3．解：根据题意分析可得：点1A ，2A ，3A ，⋯，n A 表示的数为1-，1，2-，2，3-，3，⋯依照上述规律，可得出结论： 点的下标为奇数时，点在原点的左侧；点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2； 当n 为偶数时，11n n A A +=--；所以点2008A 表示的数为：200821004÷=， 2009A 表示的数为：20081100411005A --=--=-．故选：C ．二．填空题（共17小题） 4．解：当1x =时，2y =，∴点1A 的坐标为(1,2)；当2y x =-=时，2x =-，∴点2A 的坐标为(2,2)-；同理可得3(2,4)A --，4(4,4)A -，5(4,8)A ，6(8,8)A --，7(8,16)A --，8(16,16)A -⋯⋯，∴22141(2,2)n n n A ++，212142(2,2)n n n A +++-， 212243(2,2)n n n A +++--，222244(2,2)(n n n A n +++-为自然数）， 202250542=⨯+，∴点2022A 的坐标为50521(2⨯+-，505212)⨯+，即点2022A 的坐标为1011(2-，10112)． 故答案为：1011(2-，10112)．5．解：分别过点1B ，2B ，3B ，作1B D x ⊥轴，2B E x ⊥轴，3B F x ⊥轴于点D ，E ，F ， 1(1,0)A ，12312A A ∴=-=，1A D ，1=，2OD =，11B D A D =，1=，可得出1(2,1)B ，2(3,0)A ，32633A A ∴=-=，232EB =，2232B E EA ==，39622OE =-=， 可得29(2B ，3)2，同理可得出：3(8,2)B ，425(2B ，5)2，⋯， 1B ，2B ，3B ，⋯的横坐标分别为：42，92，162，252⋯，∴点5B 的横坐标为：362， 点n B 的横坐标为：2(1)2n +，1B ，2B ，3B ，⋯的纵坐标分别为：1，32，42，52，⋯，∴点5B 的纵坐标为：632=， 点n B 的纵坐标为：12n +， ∴点5B 的坐标为(18,3)；点n B 的坐标为：2(1)1(,)22n n ++．故答案为：(18,3)，2(1)1(,)22n n ++．6．解：由图可得，6(2,0)P ，12(4,0)P ，⋯，6(2,0)n P n ，61(2,1)n P n +， 20166336÷=，6336(2336,0)P ⨯∴⨯，即2016(672,0)P ，2017(672,1)P ∴，2018(673,1)P故答案为：(673,1)．7．解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45︒， 从B 到3B 经过了3次变化，453135︒⨯=︒，31⨯=．∴点3B 所在的正方形的边长为3B 位置在第四象限． ∴点3B 的坐标是(2,2)-；可得出：1B 点坐标为(1,1)， 2B 点坐标为(2,0)， 3B 点坐标为(2,2)-，4B 点坐标为(0,4)-，5B 点坐标为(4,4)--， 6(8,0)B -，7(8,8)B - 8(0,16)B ，9(16,16)B ，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的倍， 201382515÷=⋯，2013B ∴的纵横坐标符号与点5B 的相同，纵横坐标都是负值，2013B ∴的坐标为1006(2-，10062)-．故答案为：(2,2)-，1006(2-，10062)-． 8．解：青蛙在点(1,0)A 处，∴第一次在点(2,1)，第二次在点(0,1)-， 第三次在点(3,2)， 第四次在点(1,2)--， 第五次在点(4,3)， 第六次在点(2,3)--，从上可以看出除去一二两次，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一， 6(162,062)A ∴-÷-÷得：(2,3)--，点n A 的坐标为(2013,2012)，在第一象限，若以第一次的结果为基础，设置为m ， (22,12)An m m +÷+÷， 222013m +÷=， 4022m =，1402214023n m =+=+=；故答案为：(2-，3-，)，4023． 9．解：如图所示：当滚动到A D x '⊥轴时，E 、F 、A 的对应点分别是E '、F '、A '，连接A D '，过点F '作F G A D '⊥'于点G ，过点E '作E H A D '⊥'于点H ，六边形ABCDEF 是正六边形， 1602F A D FAB ∴∠''=∠=︒，906030A F G ∴∠''=︒-︒=︒， 1122A G A F ∴'=''=，同理可得12HD =， 2A D ∴'=，(2,0)D(2,2)A ∴'，2OD =，正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点(2,2)开始到点(54,2)正好滚动52个单位长度，52846=⋯， ∴恰好滚动8周多4个， ∴会过点(54,2)的是点E ．故答案为：E ．10．解：点1A 是以原点O 为圆心，半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x 轴的直线1l 的一个交点，1A ∴的坐标为：，1)，即1)，2A 是以原点O 为圆心，3为半径的圆与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线2l 的一个交点，2A ∴的坐标为2)-同理可得：3A 的坐标为3)点n A 的坐标为1(1))n n +-⋅，则：点6A 的坐标为6)-；故答案为：6)-，1(1))n n +-⋅；11．解：经过观察可得：1P 和2P 的纵坐标均为1，3P 和4P 的纵坐标均为2，5P 和6P 的纵坐标均为3，因此可以推知99P 和100P 的纵坐标均为100250÷=；其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴右侧．1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，依此类推可得到：n P 的横坐标为41(n n ÷+是4的倍数）．故点100P 的横坐标为：1004126÷+=，纵坐标为：100250÷=，点P 第100次跳动至点100P 的坐标是(26,50)． 故答案为：(26,50)．12．解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是(2,1)， 第4次跳动至点的坐标是(3,2)， 第6次跳动至点的坐标是(4,3)， 第8次跳动至点的坐标是(5,4)，⋯第2n 次跳动至点的坐标是(1,)n n +，∴第100次跳动至点的坐标是(51,50)．故答案为：(51,50)．13．解：根据题意1P 点为原点关于点1A 为对称中心的点，所以1(2,2)P ，类似地2(2,2)P -，3(0,0)P ，即回到了原点，所以可以看出电子蛙每从原点开始，每跳三次就会回到原点，20093÷余数是2，所以第2009次电子蛙落点的坐标为2P 点的坐标(2,2)-．故答案为：(2,2)-．14．解：观察后发现第n 个有序数对可以表示为： 第n 个有序数对的坐标为1((1)(21)n n +-⋅+，1(1))n n-⋅．∴第100个有序数对是1(201,)100-．故答案填1(201,)100-． 15．解：因为1231391+++⋯+=，所以第91个点的坐标为(13,0)．因为在第14列点的走向为向上，故第100个点在此行上，横坐标就为14，纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8； 故第100个点的坐标为(14,8)． 故填(14,8)．16．解：由题可知，直线l 与x 轴的夹角为30︒， 12sin301AA ∴=︒=， 130AOA ∠=︒， 160A AO ∴∠=︒，1230AA A ∴∠=︒， 121cos30A A AA ∴=︒，同理，223121cos30cos 30A A A A AA =︒=︒，234231cos30cos 30A A A A AA =︒=︒，⋯11cos 30n n n A A AA +∴=︒，当2010n =，202020192020A A =，故答案为2020．17．解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45︒，∴旋转8次则OB 旋转一周，从B 到2020B 经过了2020次变化， 202082524÷=⋯，∴从B 到2020B 与4B 都在y 轴负半轴上，202010102∴=，∴点2020B 的坐标是1010(0,2)-．2020OB ∴的长10102，故答案为10102．18．解：如图所示：点C 的坐标表示为(3,240)︒． 故答案为：(3,240)︒． 19．解：根据规律1(1,1)P ，23(2,0)P P =，4(3,1)P ， 5(5P ，671)(6,0)P P =，8(7,1)P ⋯每4个一循环，可以判断2008P 在502次循环后与4P 一致：纵坐标为1，横坐标比下标小1，坐标应该是(2007,1)，故答案为2007．20．解：观察图形结合翻转的方法可以得出1P 、2P 的横坐标是1，3P 的横坐标是2.5，4P 、5P 的横坐标是4，6P 的横坐标是5.5⋯依此类推下去，2005P 、2006P 的横坐标是2005，2007P 的横坐标是2006.5，2008P 、2009P 的横坐标就是2008．故答案为：2008． 三．解答题（共2小题）21．解：（1）已知(1,3)A ，1(3,3)A ，2(5,3)A ，3(7,3)A ；对于1A ，2A ，n A 坐标找规律比较从而发现n A 的横坐标为21n +，而纵坐标都是3； 同理1B ，2B ，n B 也一样找规律，规律为n B 的横坐标为12n +，纵坐标为0． 由上规律可知：（1）4A 的坐标是(9,3)，4B 的坐标是(32,0)； （2）n A 的坐标是(21,3)n +，n B 的坐标是1(2n +，0) 22．解：（1）1(0,1)A ，3(1,0)A ，12(6,0)A ； （2）当1n =时，4(2,0)A ， 当2n =时，8(4,0)A ， 当3n =时，12(6,0)A ， 所以4(2,0)n A n ；（3）点100A 中的n 正好是4的倍数，所以点100A 和101A 的坐标分别是100(50,0)A ，101A 的(50,1)，所以蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向是从下向上．。
专题02 图形规律探究问题(解析版)
专题02 图形规律探究问题【类型】一、图形周期性规律探究问题 一、单选题1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O 运动到点1(1,1)P ，第二次运动到点2(2,0)P ，第三次运动到3(3,2)P -，⋯，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点2021P 的纵坐标是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．0【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，结合第一次从原点O 运动到点1(1,1)P ，第二次运动到点2(2,0)P ，第三次运动到3(3,2)P -，⋯，运动后的点的坐标特点，分别得出点P 运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案． 【详解】解：观察图象，结合第一次从原点O 运动到点1(1,1)P ，第二次运动到点2(2,0)P ，第三次运动到3(3,2)P -，⋯，运动后的点的坐标特点，由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：1(1,1)P ，2(2,0)P ，3(3,2)P -，4(4,0)P ，()55,2P ，()66,0P ⋯202163365÷=⋯，∴经过第2021次运动后，动点P 的坐标与5P 坐标相同，为(5,2)， 故经过第2021次运动后，动点P 的纵坐标是2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．2．等边ABC 在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数分别为0和1-，若ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转100次后，点B （ ）A ．不对应任何数B ．对应的数是99C ．对应的数是100D ．对应的数是101【答案】C 【解析】 【分析】结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：1，1，2.5；4，4，5.5；7，7，8.5…，即第1次和第二次对应的都是1，第四次和第五次对应的都是4，第7次和第8次对应的都是7．根据这一规律：因为100＝33×3＋1＝99＋1，所以翻转100次后，点B 所对应的数是100． 【详解】解：因为100＝33×3＋1＝99＋1， 所以100次翻折对应的数字是100． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意翻折的时候，点B 对应的数字的规律：只要是3n ＋1和3n ＋2次翻折的对应的数字是3n ＋1．3．如图，在平面直角坐标系中，123A A A △，345A A A △，567A A A ，…均是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若123A A A △的顶点坐标分别为()12,0A ，()21,1A ，()30,0A ，则依图中所示规律，2021A 的坐标为（ ）A ．()1012,0B ．()1010,0C ．()1010,0-D ．()1012,0-【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可以看出A 1--A 4；A 5--A 8…每4个为一组，由于2021÷4=505余1，A 2021在x 正半轴，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答. 【详解】观察图形可以看出A 1--A 4；A 5--A 8…每4个为一组， ∵2021÷4=505......1，∵A 2021在x 正半轴，纵坐标为0，∵A 1、A 5、A 9的横坐标分别为2， 4， 6， ∵A 2021的横坐标为1012， ∵A 2021的坐标为()1012,0. 故选A. 【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，每4个数一循环的变化规律是解题的关键.4．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2-，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P 的坐标是（ ）A ．()2018,0B ．()2017,1C ．()2021,1D ．()2021,0【答案】C 【解析】 【分析】根据第1、5、9、......位置上点的变化规律即可求出第2021个位置的点的坐标． 【详解】解：设第n 次运动后的点记为An ，根据变化规律可知()111A ，，()551A ，，()991A ， .....．， ∵()43431n A n --，，n 为正整数， 取506n =，则432021n -=，∵()202120211A ，， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要发现第1、5、9、......的位置上的点的变化规律，第2021个点刚好满足此规律．5．在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），我们把点P ′（y ﹣1，﹣x ﹣1）叫做点P 的友好点，已知点A 1的友好点为点A 2，点A 2的友好点为点A 3，点A 3的友好点为点A 4，∵∵以此类推，当点A 1的坐标为（2，1）时，点A 2021的坐为（ ）A．（2，1）B．（0，﹣3）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣2，3）【答案】A【解析】【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．【详解】解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，-3），A3（-4，-1），A4（-2，3），A5（2，1），…，∵A4n+1（2，1），A4n+2（0，-3），A4n+3（-4，-1），A4n+4（-2，3）（n为自然数）．∵2021=505×4+1，∵点A2021的坐标为（2，1）．故选：A．【点睛】本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为（）A．(﹣1，1)B．(20)C．(﹣1，﹣1)D．(02)【答案】C【解析】【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），∵OA=AB=OC=BC=1，∵OAB=90°，∵AOB=45°，∵B （1，1），由勾股定理得：2222112OB OA AB ++ 由旋转性质得：OB =OB 1=OB 2=OB 32，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针连续旋转45°，相当于将OB 绕点O 逆时针连续旋转45°， ∵依次得到∵AOB =∵BOB 1=∵B 1OB 2=…=45°，∵B 1（0，2），B 2（－1，1），B 2(2，0)，B 4（－1，－1），B 5（0，2，B 6（1，－1），B 720）， B 8（1，1），……，发现规律：点B 旋转后对应的坐标8次一循环， ∵2020=8×252+4， ∵点B 2020与点B 4重合，∵点B 2020的坐标为（－1，－1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知11,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，以1OA 为直边构造等腰12Rt OA A ，再以2OA 为直角边构造等腰23Rt OA A ，再以3OA 为直角边构造等腰34Rt OA A ，…，按此规律进行下去，则点1033A 的坐标为（ ）A ．()5152,0- B ．()5155152,2- C ．()5145142,2- D ．()5142,0-【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1＝12，OA 22OA 32(2)，…，OA 10331032(2)A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到x 轴的负半轴的特点可得到点A 1033在x 轴负半轴，即可确定点A 1033的坐标． 【详解】解：∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在x 轴的负半轴上，且OA 1＝A 1A 2＝12，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∵OA 1＝12，OA 22OA 32(2)，……，OA 10331032(2)∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到x 轴的负半轴， 1033＝8×129+1， ∵点A 1033在x 轴负半轴， ∵OA 10331032515(2)2=，∵点A 1033的坐标为：()5152,0-，故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．8．如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，菱形的对角线的交于点D ；若将菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D 的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．(﹣1，﹣1)C ．(-1，1)D ．(1，﹣1)【答案】B 【解析】 【分析】分别过点D 和点B 作DE x ⊥轴于点E ，作BF x ⊥轴于点F ，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点D 的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D 坐标 【详解】如图，分别过点D 和点B 作DE x ⊥轴于点E ，作BF x ⊥轴于点F ，∵DE BF ∥，∵四边形OABC 为菱形， ∵点D 为OB 的中点， ∵点E 为OF 的中点， ∵12DE BF =，12OE OF =， ∵(2,2)B ， ∵(1,1)D ；由题意知菱形OABC 绕点O 逆时针旋转度数为：45602700︒⨯=︒， ∵菱形OABC 绕点O 逆时针旋转27003607.5︒÷︒=周， ∵点D 绕点O 逆时针旋转7.5周， ∵(1,1)D ，∵旋转60秒时点D 的坐标为()1,1--． 故选B 【点睛】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D 坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D 的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．9．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2021秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2020，0）B ．（2021，1）C ．（2021，0）D ．（2022，﹣1）【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为12⨯2π×1＝π，∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度， ∵点P 每秒走12个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0）， …，∵2021÷4＝505余1， ∵P 的坐标是（2021，1）， 故选：C ． 【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．10．如图，正方形ABCD 的边长是2个单位长度，一只乌龟（看作一点）从点A 出发以2个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，另有一只兔子（看作一点）也从点A 出发以6个单位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动，1秒后乌龟运动到点D，兔子也运动到点D，记为第1次相遇，则第2022次相遇在（）A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处【答案】C【解析】【分析】用方程求出乌龟和兔子相遇一次所用的时间为1秒，即按乌龟路线每一次相遇正好前进一个边长，到达下一个顶点，再由2021÷4=505…2，可求出结果．【详解】解：设乌龟和兔子相遇一次的时间为x秒，(2+6)x=2×4，解得x=1，即每一次相遇乌龟正好前进一个边长，到达下一个顶点，∵2022÷4=505…2，∵第2021次相遇在点C．故选：C．【点睛】此题考查了实际问题中周期性规律归纳能力，关键是发现它们相遇点周期性循环出现的规律．11．如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（）A．(2022，1)B．(2021，0)C．(2021，1)D．(2021，2)【答案】C【解析】【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，所以2021÷4＝505…1，所以经过第2021次运动后，动点P的坐标是（2021，1）．故选：C．【点睛】本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．12．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，2==，42OA OBAD=ABCD绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（）A ．(4,6)B ．(6,4)C ．(6,4)-D ．(4,6)-【答案】A【解析】【分析】 过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接OD ，根据已知条件求出点D 的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点D 的坐标，发现规律，进而求出第2021次旋转结束时，点D 的坐标．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接OD ，2OA OB ==，45ABO BAO ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒，45DAE ∴∠=︒，42BC AD ==4AE DE ∴==，6OE OA AE ∴=+=，(6,4)D ∴-，矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)--；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；…发现规律：旋转4次一个循环，202145051∴÷=，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)．故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．13．在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点(),0A p （p 是常数，且1p >），第一次爬到射线OA 绕O 点逆时针旋转60︒方向上的1A 点，且1OA POA =；第二次爬到射线1OA 绕O 点逆时针旋转60︒方向上的2A 点，且21OA pOA =；…；第2021次爬行到2021A 点的坐标是（ ）A ．()2021,0pB ．20222021132p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()2021,0p -D ．2022202213,2p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】先根据(),0A p 及1OA POA =，21OA pOA =，归纳可得：20222021,OA p 再蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而20216=3365, 所以2021A 与5A 在同一条射线上，且202160,A OA 如图，过2021A 作2021A Qx 轴于,Q 则202130,OA Q ∠=︒ 利用含30的直角三角形的性质，从而可得答案.【详解】解： (),0A p21,OA pOA p 321,OA pOA p432,OA pOA p20222021,OA p又由题意可得：蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而20216=3365,所以2021A 与5A 在同一条射线上，且202160,A OA如图，过2021A 作2021A Q x 轴于,Q 则202130,OA Q ∠=︒2022222022202120212021113,,222OQ OA p A Q A O OQ p 20222022202113,,22A p p 故选D【点睛】本题考查的是图形与坐标，坐标规律的探究，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“从具体到一般的探究方法并归纳总结”是解题的关键.14．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴，一物体从点A（﹣2，1）出发沿矩形ABCD的边按逆时针作环绕运动，速度为1个单位/秒，则经过2021秒后，物体所在位置的坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（1，﹣1）D．（2，1）【答案】C【解析】【分析】用2021除以12即可知道物体运动了几周，且继续运动几个单位，由此可判断2021秒后物体的位置．【详解】解：由图可得，长方形的周长为2×（1×2＋2×2）＝12，∵2021＝168×12＋5，∵经过2021秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动5个单位，∵从A点开始按逆时针运动6秒到达了C点左边一个单位长度，∵经过2021秒后，物体所在位置的坐标为（1，−1）．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、点的坐标规律，解决本题的关键是得出2021＝168×12＋5，即经过2021秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动5个单位．二、填空题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是___；B2020的坐标是___．【答案】 (0,22 (()20212,0-【解析】【分析】 根据已知条件和勾股定理求出OB 2的长度即可求出B 2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转45°2所以可求出从B 到B 2020变化的坐标．【详解】解：∵四边形OABC 是边长为1正方形， ∵2OB = ∵221(2)(2)2OB =+=∵B 1的坐标是(2,2)， ∵22212122OB OB B B =+=∵B 2的坐标是(022)，根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转45°2，∵B 3的坐标是(-22,22)∵B 4的坐标是(-42,0)∵旋转8次则OB 旋转一周，∵从B 到B 2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，∵从B 到B 2020与B 4都在x 轴负半轴上，∵点B 2020的坐标是()20212,0-【点睛】本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．16．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2022的坐标是__________．【答案】（1011，-1）．【解析】【分析】由点的移动规律发现每移动8次构成一个循环，一个循环相当于向右平移4个单位，用2022÷8即可解决问题．【详解】解：由题意知：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-1），A7（3，0），A8（4，0），可以发现每移动8次构成一个循环，一个循环相当于向右平移4个单位，∵2022÷8=252∵6，∵252×4=1008，∵A2022（1011，-1），故答案为：（1011，-1）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律探索问题，仔细观察图形，得出每移动8次构成一个循环，一个循环相当于向右平移4个单位结论是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为____．【答案】(0,2【解析】【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∵B（1，1），连接OB，∵A（1，0），∵OA=1，∵四边形OABC是正方形，∵∵OAB=90°，OA=AB=1，∵由勾股定理得：222=+，OB OA AB∵由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∵AOB＝∵BOB1＝∵B1OB2＝…＝45°，∵B1（02），B2（﹣1，1），B320），B4（﹣1，﹣1），B5（02，…，发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，∵点B2021的坐标为（02．故答案为：（02．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，点的坐标规律探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够理解将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，由此得到坐标规律．18．如图，已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点M ，顶点A ，B ，C 的坐标分别为()1,3，()1,1，()3,1，规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M 的坐标变为_________．【答案】()2022,2【解析】【分析】根据正方形的性质和中点坐标公式求出点M 坐标，然后根据轴对称与平移坐标变换特征总结出点M 坐标变换规律：第n 次变换后点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时，22n +-（，），当n 为偶数时，22n +（，），根据规律求解即可．【详解】解： 正方形ABCD ，顶点()13A ，，()11B ，，()31C ，， ∴对角线交点M 坐标为()22，．根据翻折与平移的性质，第1次变换后点M 的对应点的坐标为()212+-，，即()32，-； 第2次变换后点M 的对应点的坐标为()222+，，即()42，； 第3次变换后点M 的对应点的坐标为()232+-，，即()52-，； 第n 次变换后点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时，点M 的坐标为()22n +-，； 当n 为偶数时，点M 的坐标为()22n +，， ∴连续经过2020次变换后，点M 的对应点的坐标为()202022+，，即()20222，． 故答案为：()20222，． 【点睛】此题主要考查坐标的变换，解题的关键是根据题意找到变换的规律进行求解． 19．在如图所示的平面直角坐标系中，11OA B 是边长为2的等边三角形，点(13A ．作221B A B 与11OA B 关于点1B 成中心对称，再作233B A B 与221B A B 关于点2B 成中心对称，如此作下去，则22121n n n B A B ++（n 是正整数）的顶点21n A +的坐标是________．【答案】(43n +【解析】【分析】根据中心对称的性质，分别求出点234,,A A A 的坐标，然后总结出n A 的坐标的规律，求出21n A +的坐标即可．【详解】解：∵11OA B 是边长为2的等边三角形，∵1A 的坐标为(1,3，1B 的坐标为()20,， ∵221B A B 与11OA B 关于点1B 成中心对称， ∵点2A 与点1A 关于点1B 成中心对称， ∵2213⨯-=，2033⨯- ∵点2A 的坐标是(33,，∵233B A B 与221B A B 关于点2B 成中心对称， ∵点3A 与点2A 关于点2B 成中心对称， ∵2435⨯-=，(2033⨯-= ∵点3A 的坐标是(3，∵344B A B 与332B A B 关于点3B 成中心对称， ∵点4A 与点3A 关于点3B 成中心对称， ∵2657⨯-=，2033⨯= ∵点4A 的坐标是(7,3，∵1211=⨯-，3221=⨯-，5231=⨯-，7231=⨯-，…， ∵n A 的横坐标是21n -，21n A +的横坐标是()221141n n +-=+，∵当n 为奇数时，n A 3n 为偶数时，n A 的纵坐标是3 ∵顶点21n A +3∵22121n n n B A B ++（n 是正整数）的顶点21n A +的坐标是(43n +． 故答案为：(43n +． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化和旋转问题，解题的关键是根据题意找到坐标之间的规律．20．如图，边长为4的等边ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，以OB 为边作等边1OBA △，边1OA 与AB 交于点1O ，以1O B 为边作等边12O BA △，边12O A 与1A B 交于点2O ，以2O B 为边作等边23O BA △，边23O A 与2A B 交于点3O ，，依此规律继续作等边1n n O BA -△，则2021A 的横坐标________．【答案】0 【解析】 【分析】根据正三角形与旋转的特点得到旋转12次为一个循环，故可求出2021A 的横坐标． 【详解】解：∵∵ABC 是正三角形，BO ∵AC ∵∵ABO =30°同理1122334ABA A BA A BA A BA ∠=∠=∠=∠=30°， 360°÷30°=12，∵n A 的横坐标旋转12次为一个循环， ∵2021121685÷=，∵2021A 与5A 在同一直线上，即y 轴上， ∵2021A 的横坐标为0． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查坐标的旋转变换，解题的关键是根据图形的特点找到变换规律．21．如图，边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，顶点A 与坐标原点O 重合，点B 在x 轴上.将正方形ABCD 沿x 轴正方向作无滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，D 点的坐标是________,D 点经过的路径的总长度是________；当点D 第2014次落在x 轴上时，D 点经过的路径的总长度是_______.【答案】 （3，0） 21+ 40272π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【详解】试题分析：根据题意画出图形，可知点D 第一次落在x 轴上时，点D 的坐标是（3，0），点D 经过的路径的总长度是90909029012+1180180180BD AB ππππ⨯⨯⨯⨯+=，当点D 第二次落在x 轴上时，经过的路径总2+12+2，依此类推，当点D 第2014次落在的x 轴上时，经过的路径的总长度是()2+12+22014-1⨯=40272+2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为（3，0）2+1，40272+2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：1、弧长公式；2、有关图形的规律型问题.22．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边∵OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，第2021秒时点P 的坐标是__________________．【答案】132⎛ ⎝⎭，【解析】 【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）； 第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）； 第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D 点作x 轴的垂线交于x 2处， ∵∵OAB 是等边三角形，且OA =2， ∵在Rt ∵AD x 2中，∵DA x 2=60°，AD =1，∵212Ax =，2222221312Dx AD Ax ==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故D 点的坐标为332⎛ ⎝⎭，，即P3332⎛ ⎝⎭，; 第4秒结束时P 点运动到了点B 的位置， 同理过B 点向x 轴作垂线恰好交于点C ， 在Rt ∵OBC 中，∵BOC =60°，2OB =，1OC =,2222213BC O =B C =O --=，故B 点的坐标为（13，即P 4（13；第5秒结束时P 点运动到了线段OB 的中点E 的位置，根据点D 即可得出E 点的坐标为132⎛ ⎝⎭，，即 P 5132⎛ ⎝⎭，； 第6秒结束时运动到了点O 的位置，所以P 6的坐标为P 6（0，0）； 第7秒结束时P 点的坐标为P 7（1，0），与P 1相同； ……由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∵第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为132⎛ ⎝⎭，，故答案为：132⎛ ⎝⎭，．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律． 23．已知菱形1111D C B A 的边长为2，111A B C ∠=60°，对角线11A C ，11B D 相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以1OA ，1OB 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以11B D 为对角线作菱形1212B C D A ∵菱形1111D C B A ，再以22A C 为对角线作菱形2222A B C D ∵菱形1212B C D A ，再以22B D 为对角线作菱形2323B C D A ∵菱形2222A B C D ，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点1A ，2A ，3A ，．．．．．．，n A ，则点n A 的坐标为________．【答案】（3n －1，0）．【解析】 【详解】试题分析：∵菱形1111D C B A 的边长为2，111A B C ∠=60°，∵11A C =2，∵1OA =1，∵点A 1的坐标为（1，0），∵1OA =1，∵1OB 3∵2OA =3，点A 2的坐标为（3，0），即（32－1，0）， 同理可得：点A 3的坐标为（9，0），即（33－1，0）， 点A 4的坐标为（27，0），即（34－1，0）， ………∵点A n 的坐标为（3n －1，0）．故答案为（3n －1，0）． 考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型． 三、解答题24．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形11OA B ，第二次将三角形11OA B 变换成三角形22OA B ，第三次将三角形变换成三角形33OA B ，已知()1,3A ，()12,3A ，()24,3A ，()38,3A ，()2,0B ，()14,0B ，()28,0B ，()316,0B ．（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形33OA B 变换成三角形44OA B ，求4A 和4B 的坐标；（2）若按第（1）题的规律将三角形OAB 进行了n 次变换，得到三角形n n OA B ，请推测n A 和n B 的坐标．【答案】（1）()416,3A ，()432,0B ；（2）()2,3n n A ，()12,0n n B +【解析】 【分析】(1)据图形，A 4的横坐标是A 3的横坐标的2倍，纵坐标相同，B 4横坐标是B 3的2倍，纵坐标是0； (2)由（1）知A n 的纵坐标总为3，横坐标为2n ，B n 的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可写出A n 、B n 的坐标． 【详解】（1）()()()()1231,3,2,3,4,3,8,3A A A A ，它们的纵坐标都是3， 而横坐标依次为01232,2,2,2．因此，()442,3A ，即()416,3A()()()()1232,0,4,0,8,0,16,0B B B B ，它们的纵坐标都是0，而横坐标依次是12342,2,2,2，因此，()4142,0B +，即()432,0B ；（2）由上题规律可知A n 的纵坐标总为3，横坐标为2n ，B n 的纵坐标总为0，横坐标为2n+1． 所以A n （2n ，3），B n （2n+1，0）．故答案分别为()2,3n n A ，()12,0n n B +．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数幂是解题的关键.【类型】二、图形递推类规律探究问题 一、单选题1．下列图形按照一定的规律排列，依此规律，第n 个图形中小正方形的个数是（ ）A ．3n +4B ．3n +1C ．2n +2D ．n 2+3【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出前面4个图形的小正方形的个数，把每个数据以相同规律呈现出来，再归纳总结可得答案. 【详解】解：第1个图形有4个小正方形，记4311, 第2个图形有7个小正方形，记7321,=⨯+ 第3个图形有10个小正方形，记10331, 第4个图形有13个小正方形，记13341,第n 个图形中小正方形的个数是：31n + 故选B 【点睛】本题考查的是图形类规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解题的关键.2．按照图中图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（）A．1010B．1012C．3030D．3032【答案】D【解析】【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可．【详解】解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第4个图形中黑色正方形的数量为6，...，当n为奇数时，黑色正方形的个数为[3×1（n+1）﹣1]，2n），当n为偶数时，黑色正方形的个数为（3×12∵第2021个图形中黑色正方形的数量是[3×1（2021+1）﹣1]，2故选：D．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键．3．如图所示，用火柴棍按如下规律拼图，若第∵个图形需要4根火柴棍，则第∵个图形需要的火柴棍根数为（）A ．110B ．180C ．220D ．264【答案】C 【解析】 【分析】观察图形得：第一个图形有41⨯根火柴，第二个图形有4(12)⨯+根火柴，第三个图形有4(123)⨯++根火柴，据此规律求解即可． 【详解】 解：观察图形得： 第1个图形有41⨯根火柴， 第2个图形有4(12)⨯+根火柴， 第3个图形有4(123)⨯++根火柴， 第4个图形有4(1234)40⨯+++=根火柴，⋯所以第n 个图形有24(123)(22)n n n ⨯+++⋯+=+根火柴， 所以第10个图形所需要的火柴棍的根数是：2100210220⨯+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题是一个找规律的题，解题的关键是根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n 个图形中的火柴棒的个数．4．搭建如图∵的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图∵、图∵的方式串起来搭建，则搭建7顶这样的帐篷需要（ ）根钢管．A ．83B ．94C ．102D ．119【答案】A 【解析】 【分析】先分析前几个帐篷需要的钢管数，进而找到规律，当1n >时，每加一个帐篷需要多11根钢管，进而得出第n 个帐篷需要的钢管数，将7n =代入求解即可． 【详解】搭一个帐篷需要17根钢管， 搭两个帐篷需要()1711+根钢管， 搭三个帐篷需要()17112+⨯根钢管， 搭四个帐篷需要()17113+⨯根钢管， ……搭n 个帐篷需要()17111n +-⎡⎤⎣⎦根钢管， 故7n =时为83根． 故选A 【点睛】本题考查了图形类找规律，找到规律是解题的关键．5．如图所示，第一个图形共6个小四圈，第二个图形共12个小圆圈，第三个图形共20个小圆圈，则按此规律，第五个图形共（ ）个小圆圈．A ．30B ．38C ．40D ．42。
点的坐标变化规律探究问题(最新课件)
整合方法分类练
4．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单 位长度，其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：A4(__2__，__0__)，A8(__4__，__0__)， A12(__6__，__0__)；
整合方法分类练
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)； A4n(2n，0)．
【点拨】以原点为中心，它们的数阵图形成多层正方形
(不完整)，观察图形得出下表：
正方形 的层数
1 2 3 … n
正方形每边上正整 数的个数
3 5 7 … 2n＋1
正方形在第四象限的顶点
表示的数 对应的坐标
9
(1，－1)
25
(2，－2)
49
(3，－3)
… (2n＋1)2
… (n，－n)
整合方法分类练
因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以数2 025对应的坐标为(22，－22)． 所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．
夯实基础逐点练
1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度
的半圆 O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点 P
从原点
O
出发，沿这条曲线向右运动，速度为π个单 2
位长度/s，则第 2 018 s 时，点 P 的坐标是( A )
A．(2 018，0)
B．(2 018，－1)
C．(2 018，1)
整合方法分类练
6．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成 △OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次 将 △OA2B2 变 换 成 △OA3B3 ， 已 知 A(1 ， 3) ， A1(2 ， 3) ， A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)， B3(16，0)．
专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(原卷版)
专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（原卷版） 第一部分 典例精析类型一 点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P 的坐标是 ．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2，…，第n 次移动到点A n ，则点A 2021的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从O 点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2022的坐标为．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是．7．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1第二次将OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)求三角形OAB的面积；(2)写出三角形OA4B4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n的面积与三角形OAB的面积的大小关系吗？8．如图所示，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3)．(1)在同一直角坐标系中，将正方形向左平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．(2)将正方形向下平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标．(3)在(1)(2)中，你发现各点的横、纵坐标发生了哪些变化？第二部分专题提优训练一．试题（共6小题）1．（2019春•马山县期中）如图，一个点在第一，四象限及x轴上运动，在第1次，它从原点运动到点（1，﹣1），用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，它每运动一次需要1秒，那么第2019秒时点所在的位置的坐标是．2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是，经过第2020次运动后，动点P的坐标是．3．（2021春•新抚区期末）一只电子玩具在第一象限及x，y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点．4．（2022秋•承德期中）如图，动点P从（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（）A．（7，4）B．（8，3）C．（5，0）D．（1，4）5．（2014•惠安县二模）如图，直角坐标平面xoy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的运动规律，动点P第11次运动到点（，）；第2014次运动到点（，）．6．（2021春•新疆期中）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，…已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．（1）求三角形OAB的面积；（2）求A5和B5的坐标；（3）直接写出点A n与B n的坐标．。
方法技巧专题练2点的坐标变化规律探究问题
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5．(中考•安徽)在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O
出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断
移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示。
2 ，____) 0 ，A8(____ 4 ， (1)填写下列各点的坐标：A4(____ 0 ，A12(____ 6 ，____) 0 ； ____) (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；A4n(2n，0) (3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向。 向上
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按 此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4， (16，3) ，点B 的坐标是_______ (32，0)； 则点A4的坐标是________ 4
(2) 若按(1)题中找出的规律，将三角形OAB进行n(n为正
整数)次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换前
第十一章 平面直角坐标系
方法技巧专题练2
点的坐标变化规律探究问题
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5
4
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类型
1
沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1．(中考•河南)如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑 的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动， 速度为每秒 个单位长度，则第2 015秒时，点P的 2 B 坐标是( ) A．(2 014，0) B．(2 015，－1) 返回 C．(2 015，1) D．(2 016，0)
2．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF
(各边相等，各内角相等的六边形叫做正六边形)，
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5．(中考•安徽)在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O
出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断
移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示。
2 ，____) 0 ，A8(____ 4 ， (1)填写下列各点的坐标：A4(____ 0 ，A12(____ 6 ，____) 0 ； ____) (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；A4n(2n，0) (3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向。 向上
2．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF
(各边相等，各内角相等的六边形叫做正六边形)，
其中C，D的坐标分别为(1，0)和(2，0)。若在无滑
动的情况下，将这个正六边形沿着x轴
向右滚动，则在滚动过程中，这个正
六边形的顶点A，B，C，D，E，F E。 中，会过点(45，0) 的是点________
第十一章 平面直角坐标系
方法技巧专题练2
ห้องสมุดไป่ตู้
点的坐标变化规律探究问题
1
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类型
1
沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1．(中考•河南)如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑 的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动， 速度为每秒 个单位长度，则第2 015秒时，点P的 2 B 坐标是( ) A．(2 014，0) B．(2 015，－1) 返回 C．(2 015，1) D．(2 016，0)
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6．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变 换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三 角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形 OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3) ，B(2，0)，B1(4，0)，
B2(8，0)，B3(16，0)。
返回
类型
2
绕原点呈“回”字形运动的点的坐标探究
4．(阜阳模拟)将正整数按如图所示的规律在平面直角 坐标系中进行排列，每个正 整数对应一个整点坐标(x，y)， 其中x，y均为整数，如数5对 应的坐标为(－1，1)，则数 (13，－22) 2016对应的坐标为___________ 。
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类型
3
图形变换的点的坐标探究
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按 此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4， (16，3) ，点B 的坐标是_______ (32，0)； 则点A4的坐标是________ 4
(2) 若按(1)题中找出的规律，将三角形OAB进行n(n为正
整数)次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换前
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3．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，
第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运 动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运 动 (在第一象限内运动时，运动方向 与x轴或y轴平行)，且每分钟移动 1个单位。
(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是 6分钟 ； ________ (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 （44, 7） 。 _________
后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点An (2n，3) ，点Bn的坐标是__________ (2n＋1，0) 。 的坐标是__________
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