直角三角形的判定定理“HL”

第2课时 直角三角形的判定定理“HL ”
(参考用时:30分钟
)
1. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等.以下给出的条件:
①∠ABC=∠ABD;②AC=AD; ③BC=BD;④∠BAC=∠BAD. 适合的有( B ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2. 如图,△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 和CE 交于O,AO 的延长线交BC 于F,则图中全等的直角三角形有( D ) (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是经过A 点的一条直线,且B,C 在AE 的两侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E,CE=2,BD=6,则DE 的长为( D )
(A)2 (B)3 (C)5 (D)4 4.已知:如图,AE ⊥BC,DF ⊥BC,垂足分别为
E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ABE ≌△ DCF (HL).
第4题图
5.如图,MN ∥PQ,AB ⊥PQ,点A,D,B,C 分别在直线MN 与PQ 上,点E 在AB 上,AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= 7 .
第5题图 6. 如图,在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC 与BD 相交于点
O.
(1)求证:△ABC ≌△DCB;
(2)△OBC 是何种三角形?证明你的结论. (1)证明:在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,
AC=BD,BC=CB.所以Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL). (2)解:△OBC 是等腰三角形.
因为Rt △ABC ≌Rt △DCB,所以∠ACB=∠DBC, 所以OB=OC,所以△OBC 是等腰三角形. 7. 如图,已知Rt △ABC 中,∠
ACB=90°,CA=CB,D 是AC 上一点,E 在BC 的延长线上,且AE=BD,BD 的延长线与AE 交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与AE 有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性
.
解:猜想:BF ⊥AE.
理由:因为∠ACB=90°,所以∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC,BD=AE,所以△BDC ≌△AEC(HL). 所以∠CBD=∠CAE.
又因为∠CAE+∠E=90°,所以∠EBF+∠E=90°.
所以∠BFE=90°,即BF ⊥AE.
8.(1)如图1,点A,E,F,C 在一条直线
上,AE=CF,过点E,F 分别作DE ⊥AC,BF ⊥AC,若AB=CD,试证明BD 平分线段EF;
(2)若将图1变为图2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由
.
(1)证明:因为DE ⊥AC,BF ⊥AC, 所以∠DEC=∠BFA=90°. 因为AE=CF,
所以
AE+EF=CF+EF,
所以AF=CE.
在Rt △ABF 和Rt △CDE 中, 因为AB=CD,AF=CE,
所以Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL). 所以BF=DE.
在△BFG 和△DEG 中,
因为∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE,BF=DE, 所以△BFG ≌△DEG(AAS).
所以FG=EG,即BD 平分线段EF. (2)解:结论仍然成立,理由如下: 因为AE=CF, 所以AF=CE.
因为BF ⊥AC,DE ⊥AC,AB=CD, Rt △ABF ≌Rt △CDE. 所以BF=DE.
易证△BFG ≌△DEG,
所以FG=EG,即结论仍然成立
.
9.(拓展探究题)【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究
.
【深入探究】第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC ≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC 和△DEF
中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道 Rt △ABC ≌Rt △DEF.
第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC ≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC 和△DEF
中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是钝角.求证:△ABC ≌△DEF.
第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等.
(3)在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是锐角.请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B 还要满足什么条件,就可以使△ABC ≌△DEF?请直接填写结论:在△ABC 的△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是锐角,若 ,则△ABC ≌△DEF. 解:(1)HL.
(2)证明:如图①,分别过点C,F 作对边AB,DE 上的高CG,FH,其中G,H 为垂足. 因为∠ABC,∠DEF 都是钝角,
所以G,H 分别在AB,DE 的延长线上. 因为CG ⊥AG,FH ⊥DH,
所以∠CGA=∠FHD=90°. 因为∠CBG=180°-∠ABC, ∠FEH=∠180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF, 所以∠CBG=∠FEH. 在△BCG 和△EFH 中, 因为∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF, 所以△BCG ≌△EFH. 所以CG=FH. 又因为AC=DF. 所以Rt △ACG ≌△DFH.
所以∠A=∠D.
在△ABC 和△DEF 中,因为∠ABC=∠DEF, ∠A=∠D,AC=DF, 所以△ABC ≌△
DEF.
(3)如图②,△DEF 就是所求作的三角形,△DEF 和△ABC 不全等.
(4)本题答案不唯一,如∠B ≥∠A.。