高中数学人教版选修2-2(理科) 第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念(包括3
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
人教版高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学案3.1：数系的扩充与复数的概念(学生版)
人教版高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学案3.1：数系的扩充与复数的概念（学生版）数系的扩充与复数的概念____________________________________________ __________________________________________________________________________________ ______________________________________1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．一．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R|}中的数，即形如a ＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝___________．(2)集合表示：四．复平面、实轴、虚轴点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)可用点___________表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做___________，y 轴叫做___________，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示___________．五．复数的几何意义六．复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|且|z|＝___________．类型一.复数的概念例1：请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？练习1：复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？练习2：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？类型二.复数相等的条件例2：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .练习1：满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.类型三.复数的分类例3：设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m∈R)，如果z 是纯虚数，求m 的值.练习1：已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 类型四.复数的几何意义例4：复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________________．练习1：实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．类型五.复数的模例5：已知复数z0＝a＋b i(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．1.若复数2-b i(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()A.-2B.1C.-1D.22.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()A.M∪R=IB.(∁I M)∪R=IC.(∁I M)∩R=RD.M∩(∁I R)=⌀3.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点2222来源:14.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为( )A.-2B.3C.-3D.±35.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i 6.已知0<a<2,复数z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是( )A.(1,) 5 C.(1,3)D.(1,5) 7. 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ８． 复数()i 2i -=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- ９． 设1z ，2C z∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件１０．已知z 1=-4a+1+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R,z 1>z 2,则a 的值为____________.１１.已知复数z 1=x+yi,z 2=x+(x-3y)i,x,y ∈R.若z 1=z 2,且|z 1|=,则z 1=____________._________________________________________________________________________________ ________________________________________ _________________________________________基础巩固1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( )A. B.2 C.0 D.12.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )A.4B.-1C.-1或4D.-1或63.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.14．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修2-
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标:1。
知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i。
2。
过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律.3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念.二、教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
三、教学难点:虚数单位i的引进和复数的概念.四、教学过程：（一）导入新课数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们由于计数的需要,就产生了1，2，3,4等数以及表示“没有"的数0。
自然数的全体构成自然数集N。
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将等分的问题,人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q。
显然N Q。
把自然数集（含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z。
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示,为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的
方法技巧 复数与函数的综合应用
对于求复数的题目，一般的解题思路是： 先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结 合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的 代数形式写出来. 例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.
12345
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中
点，则点C对应的复数是( A.4＋8i
)C B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3). 由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)， 故点C对应的复数为2＋4i.
答案 返回 第十页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型探究
重点突破
题型一 复数与复平面内的点 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚 轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m 的取值范围.
反第思十与一页感，悟编辑于星期五：十解七点析一答分。案
圆环，并且包括圆环的边界.
反思第十与六页感，悟编辑于星期五：十七解点析一答分。案
2π
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i， ∴|z－i|＝ x2＋y－12， 由|z－i|≤ 2知 x2＋y－12≤ 2，x2＋(y－1)2≤2.
解析答案 第十八页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型三 复数的模及其应用
例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2，
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》本章概览
第三章数系的扩充与复数的引入
本章要览
内容提要
本章的主要内容是复数的概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算及数系的扩充等.
本章知识在高中所学数学知识中相对独立,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,它体现了数学的发现和创造过程.学习复数的一些基本知识,可以深刻体会人类理性思维在数系扩充中的作用.
复数的有关问题,往往转化为实数范围内的代数问题,也常常转化为平面几何问题.因此在本章学习中,注意问题的转化,即复数问题实数化,以及数形结合的数学思想的灵活运用.
本章学习的重点是复数的概念,它是复数运算、复数应用的基础.对概念的理解、掌握是审清题意的关键,也是获得解题思路的源泉.
学法指导
在学习本章时,应注意复数与实数、有理数的联系,复数代数形式的加、减运算与平面向量加、减运算的联系,还应注意复数代数形式的四则运算与多项式加法、减法、乘法运算的联系,善于将复数问题实数化、几何化,注重整体思想的运用.。
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的
a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经
过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为
.
虚数单位
答案 第四页，编辑于星期五：十七点 一分。
思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.
第五页，编辑于星期五：十七点 一分答。 案
(2)虚数单位i有哪些性质？ 答案 虚数单位i有如下几个性质： ①i的平方等于－1，即i2＝－1；
12345
C
答案 第二十五页，编辑于星期五：十七点 一分。
12345
4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实
数m的值为
.1或2
解析 ∵M∪N＝N，
∴M⊆N，
∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件，得mm22＋－m2m－＝2＝－01， 或mm22－ ＋2mm－＝20＝，4， 解得m＝1或m＝2.
②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；
③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
答案 第六页，编辑于星期五：十七点 一分。
知识点二 复数的概念、分类
1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a,b∈R,i叫做 虚数单位 .a 叫做复数的 实部，b叫做复数的 虚部. (2)复数的表示方法：复数通常用字母 表z示，即 z＝. a＋bi (3)复数集定义： 全体复数 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.
第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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(2)如图是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个 单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．
答案： (1)以(－3,2)为圆心，2为半径的圆
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3.1.2 复数的几何意义
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答案： B
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答案： 1＋2i或－1－2i
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4．当实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x －15)i：
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高中数学人教A版选修2-2课件 第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
������2-2m = -1, ������2 + m-2 = 0,
解之,得 m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得
������2-2m = 0, ������2 + m-2 = 4,
解之,得 m=2.
综上可知 m=1 或 m=2.
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迁移与应用
复数 cos θ+isin θ 与 sin θ+icos θ 相等,则 θ 的值是( )
m=-3
时,复数
z
是纯虚数.
������2-2m ≠ 0,
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迁移与应用
1.若复数 z=(a+|a|)i(a∈R)是纯虚数,则必有(
A.a=0
B.a≠0
C.a≥0
D.a>0
解析:由题意知 a+|a|≠0,从而必有 a>0.
答案:D
2.设 z=(m2-5m+6)+(m2-2m-3)i(m∈R),当 m=
(2)应特别注意 z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的条件是 a=0 且 b≠0, 不能忘记 b≠0 这一限制条件.
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三、复数相等
活动与探究 3 (1)已知(a2-b)+4i=6+(a-b)i,求实数 a,b 的值. (2)已知 M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若 M∪P=P,求 实数 m 的值. 思路分析:(1)根据复数相等的充要条件,由实部和虚部分别相等, 建立关于实数 a,b 的方程组求解. (2)本题考查复数相等的充要条件.由 M∪P=P 知,M 是 P 的子集, 从而可知(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1 或 4i,利用复数相等的条件就可求 得 m 的值.
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计教学目标1.了解实数系中的全序性、稠密性等性质，掌握有理数集、无理数集的基本概念及其运算；2.通过数系的扩充引入复数，掌握复数的定义、性质及四则运算；3.学会应用复数解决实际问题，理解复数概念在物理、工程等领域的重要性。
教学内容及教学步骤教学内容1.数系的扩充–实数集的基本概念–有理数集和无理数集的运算–实数集中的全序性、稠密性2.复数的引入–复数的定义–复数的加减法–复数的乘法–复数的除法–复数的共轭–复数的模及其性质–复数的辐角及其性质3.复数的应用–两个复数的等式与不等式–解二次方程–用复数解决物理、工程等实际问题教学步骤1. 导入•介绍数系的扩充概念，通过实际生活中的例子，让学生意识到数学思想存在于日常生活中，并引出本节课的主要内容——数系的扩充和复数的引入。
2. 讲解实数集•通过具体实际生活中的例子，引出实数集的定义，教师向学生明确有理数集和无理数集的概念以及其基本性质。
3. 讲解复数的引入•介绍复数的定义和基本性质，通过实际生活中的例子进行说明，使学生明白复数是怎么来的，具有什么样的意义。
4. 讲解复数的运算•详细讲解复数的加减、乘除及模与辐角的性质，并通过例题加强巩固。
5. 复数应用•通过实际的案例，讲解复数在物理、工程等领域的应用，让学生更加深入地理解并意识到复数的重要性。
6. 总结•对本节课的主要内容进行概括性讲解，帮助学生加深对数系扩充和复数引入的理解，并向学生明确下一步的学习目标。
教学反思本节教学难度较大，需要学生具有一定的数学基础，并且对抽象的概念有一定的理解。
因此，在教学过程中，应重点强化概念的理解和例题的演示，同时在教学前期，为学生做好概念的铺垫，以便在后续的教学中更好地理解和掌握相关知识。
在教学过程中，需要讲师灵活运用多种方法，如课堂讲解、案例分析、数学实验、小组讨论等，以便提高学生的参与程度和知识掌握程度。
最后，在教学过程中，应结合实际应用，将抽象的数学知识与实际生活联系起来，让学生明白这些概念和知识的实际意义和用途。
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充与复数的概念》名师教案
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102，思考：方程210到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3、阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案：C解析：略2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案：C解析：略3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一：数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二：类比旧知，探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i ，它的平方等于－1 ●活动三：类比探究，研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： ①虚数单位i 的平方等于-1，即21i =-②i 的周期性：41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（1-可以开平方，而且1-的平方根是i ±）.问题探究二：复数的概念 ●活动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单位i 的第③条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a bi +这样，数的范围又扩充了，出现了形如(,)a bi a b R +∈的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi ，(其中a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数; ●活动二：剖析概念复数m ＋ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗？不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？复数z =(,)a bi a b R +∈包括：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数答案：见解析解析：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数； (2)当10m -≠即1m ≠时，复数z 是虚数；(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时，复数z 是纯虚数.点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i (x ∈R )，求x 的值.答案：见解析解析：由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求.点拨：本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等例3、设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1＜z 2，求实数m 的取值范围. 答案：见解析解析：由于z 1＜z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0， m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1＜z 2. ∴z 1＜z 2时，实数m 的取值为m ＝1.点拨：本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a +bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对（a,b ）唯一确定.因为有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )；如图：复数z =a +bi 可以用点Z （a,b ）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点（1）位于第四象限；（2）位于y =x 上. 答案：见解析解析：(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限，得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩，解得，2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上，得22815=514m m m m -+--即293m =点拨：本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z （a,b ）一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ，分别由条件，点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！ 设复平面内的点Z （相对于原点来说）也可以由向量OZ 唯一确定.反之，也成立.因此，复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z ，点Z (a,b ),OZ 三者关系如下：复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三：探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z ＝3＋ai ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：方法一：∵z ＝3＋ai (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知：－7<a <7点拨：本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2. 答案：见解析解析：(1)方法一：|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2， 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二：设z ＝a ＋bi ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类：复数(z =a ＋bi ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋bi ＝c ＋di ⇔ a ＝c 且b ＝d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,平面向量OZ →＝(a ，b ).(4)复数的模复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 【重难点突破】（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i (a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2 答案：C.解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 答案：B解析：由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0m 2－1≠0∴m ＝0.点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i 答案：B解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i点拨：复数几何意义 （三）课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案：见解析解析： 复数2+3i 的实部是2，虚部是3；-5的实部是-5，虚部是0；i 31-的实部是0，虚部是31-点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-实数： 虚数： 纯虚数： 答案：实数有：72+，618.0，0，2i虚数有：i 72，i ，85+i ，i 293-纯虚数有：i 72，i 解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（ ）.55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案：B解析：BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨：复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案：C.解析：因为41i =,点拨：复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，点拨：复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.答案：见解析解析：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.点拨：复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）.0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案：C 解析：需要110a --≠，即02a a ≠≠且.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i｝D.｛0，2，－2，2i，－2i｝答案：A解析：略点拨：根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B､A､C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨：复数的几何意义，代数形式12、在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1（4）若将（2）中的等于改为小于呢？答案：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线延伸：（4）椭圆及其内部解析：略点拨；复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案：D解析：略点拨：复数的乘法运算2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案：B解析：略点拨：复数的乘法运算3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案：B解析：略点拨：复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A.B.C.±1D.答案：D解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2＋7，27i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C.解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i是虚数.点拨：复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.0或－1 答案：C.解析：因为复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则⎩⎨⎧a2－1＝0，a－1≠0，解得a ＝－1点拨：复数的概念、复数的代数形式7.复数z ＝i cos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D.C 中线段PQ ，但应除去原点答案：C解析：略点拨：复数的几何意义8.已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.答案：－10解析：根据复数相等的充要条件可知：⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________.答案：m ≠－1且m ≠6解析：m ≠－1且m ≠6. 因为m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，所以m 2－5m －6≠0，所以m ≠－1且m ≠6.点拨：复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，如何求自然数m ，n 的值？答案：m ＝0，n ＝1 解析：因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数， 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.点拨：复数的概念、复数的代数形式11.设复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)当实数m 为何值时，z 是纯虚数？(2)当实数m 为何值时，z 是实数？答案：见解析解析：(1)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －3＞0，lg(m 2－2m －3)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝1±5，所以当m ＝1±5时，z 是纯虚数.(2)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －3＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，z 是实数.点拨：复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值.答案：见解析解析：令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i ).∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i )|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆， 如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨：复数的几何意义数学视野自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855～1939)、康托尔(G.Cantor，1845～1918)、戴德金(R.Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z 对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．复数i－i2的虚部为( ) A．0 B．1 C．i D．－2 解析： i－i2＝1＋i. 答案： B
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复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋ a＝c且b＝d di⇔___________.
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．理解复数与复数集的概念时应注意以下几点 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a， b∈ R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈ R时才是复数的代数形式， 否则不是代数形式．
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3．(1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________. (2)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．
答案： (1)－4
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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◎ 求满足条件－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i的实 数a，b的取值情况．
A．0
B．1
C．2
D．3
[思路点拨] 本题主要考查复数的基本概念及分类，解
题时要注意a＋bi中，a，b的取值为实数．
课标人教版选修2-2第三章3.1.1数系的扩充与复数的概念
a = c ⇔ b = d
求x，y
(
x + y + x + yi = 2 + 4i
2 2
)
2.若 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值. 3x=0， 的值.
i
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位 的引入 1.虚数单位i的引入； 虚数单位 的引入； 2.复数有关概念： 2.复数有关概念： 复数有关概念
实部 虚部
其中
称为虚数单位。 虚数单位 i 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b = 0 复数a+bi 复数a+bi 纯虚数 a = 0，b ≠ 0 虚数 b ≠ 0 非纯虚数 a ≠ 0，b ≠ 0
⊂C R≠
数系的扩充
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 ∈ 的数叫做复数 的数叫做复数. 形如
全体复数所形成的集合叫做复数集 复数集， 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 复数的代数形式： 表示，
z = a + bi (a ∈ R, b∈ R)
引入一个新数： 引入一个新数：
i
满足
i = −1
2
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位， 叫做虚数单位， 并且规定： 并且规定： （1）i2=−1； ） =−1 进行四则运算， （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 ） 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、 合率和分配率)仍然成立。 合率和分配率)仍然成立。
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
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高中数学人教版选修2-2（理科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2复数的几何意义）同步练
习（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）设i是虚数单位，复数的虚部为（）
A . -i
B . -1
C . i
D . 1
2. （2分）若，其中、，是虚数单位，则
A . ０
B . ２
C .
D . ５
3. （2分）已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 是边长为2的等边三角形，是边上的动点，
于，则的最小值是（）
A . 1
B .
C .
D .
5. （2分）已知复数，则z的虚部为（）
A . 1
B . －1
C . i
D . －i
6. （2分）在复平面上，点对应的复数是，线段的中点对应的复数是，则点对应的复数是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）已知复数的实部为1，且，则复数的虚部是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）(2016·商洛模拟) 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）
A . （0，﹣1）
B . （0，1）
C . （，﹣）
D . （，）
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2019高三上·大庆期中) 已知，i是虚数单位，若（1 i）（1 bi）=a，则的值为________.
10. （1分） (2019高二下·邗江月考) 设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所表示的点位于第________象限.
11. （1分）已知=1+ni，其中n∈R，i是虚数单位，则n=________
三、解答题 (共3题；共20分)
12. （10分） (2019高二下·舒兰月考) 已知复数，复数，其中是虚数单位，，
为实数．
（1）若，为纯虚数，求；
（2）若，求，的值．
13. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.
14. （5分）复数z=x+yi（x，y∈R），且2x+y+ilog2x﹣8=（1﹣log2y）i，求z．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共20分)
12-1、
12-2、
13-1、14-1、。