三角法与向量法解平面几何题(正)

第27讲 三角法与向量法解平面几何题

相关知识

在ABC ∆中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2

a b c

p ++=,则 1,正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===, 2,余弦定理:2

2

2

2cos a b c bc A =+-,2

2

2

2cos b a c ac B =+-,2

2

2

2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R

=

==== = (sin sin sin )rR A B C ++

2

221(cot cot cot )4

a A

b B

c C =

++. A 类例题

例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900

-B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。

解 由条件c = asin (900

- B ) = acosB = c

b c a ac b c a a 222

22222-+=-+

2

2222c b c a =-+⇒ 是直角A b c a ⇒+=⇒2

22

1sin sin sin =⇒=A A C c

A a 是直角⎫⎬

⎭

C a c C

c

a sin sin

=⇒=⇒. C a b sin =⇒=⇒c b ΔABC 是等腰直角三角形。

例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13

5，sinB =53

，则cosC 的值为（ ）

A ．6516

B ．6556

C ．65566516或

D ． 65

16-

解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13

12,而sinB =53

显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5

4

∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65

1654135531312=⨯-⨯.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ⇔A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。

（2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，

当θ为 时，R

r 的值最小。 解答 由题意，R ＝2c ，r ＝2a b c

+-．（其中a 、b 、c 为Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长）

∴R

r ＝c a b c +-＝1sin cos 1θθ+-＝12sin()14

πθ+-．

∵

sin （α＋

4π）≤1，∴R

r ≥121

-＝2＋1． 当且仅当θ＝

4π时，R

r

的最小值为2＋1。 例3 在△ABC 中，tan tan tan tan A B A B -+＝c b

c

-，求证：B 、A 、C 成等差数列。

分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正

弦定理将边转化为角。而B 、A 、C 成等差数列的充要条件是A ＝60°,故应证A ＝60°。 证明 由条件得

sin()sin()A B A B -+＝sin sin sin C B

C

-．∵sin （A ＋B ）＝sinC ，

∴sin （A －B ）＝sinC －sinB ，∴sinB ＝sin （A ＋B ）－sin （A －B ）＝2cosAsinB ． ∵sinB ≠0，∴cosA ＝

1

2

，A ＝60°．∴B 、A 、C 成等差数列。 例4 ∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若2

2

2

a c

b a

c +=+，

:31):2a c =+且，求角C 的大小。

解 由2

1

22222

2

2

=-++=+ac b c a ac b c a 可得

=cosB ，故B =60，A ＋C =120. 由正弦定理有：

213sin sin +==c a C A ，31sin sin ,2

A C ∴= 又sinA =sin (120-C )=

C C sin 2

1

cos 23+，于是=+C C sin 21cos 2331

sin ,2

C ∴sinC =cosC ，∴tanC =1, ∴C =45。 ∴A ＋C =120,31

sin sin ,2

A C =

要求C 需消去A 。 说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于A 、C 的两个方程