三角函数值的定义符号
三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号
三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号三角函数是数学中的一类重要函数，描述了直角三角形中角的性质和三角形的边长比例。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
首先，我们来定义这三个三角函数：1. 正弦函数（Sine）：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角A，则正弦函数的值等于A对边的长度与斜边的长度的比值。
符号为sin(A)。
2. 余弦函数（Cosine）：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角A，则余弦函数的值等于A邻边的长度与斜边的长度的比值。
符号为cos(A)。
3. 正切函数（Tangent）：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角A，则正切函数的值等于A对边的长度与A邻边的长度的比值。
符号为tan(A)。
接下来，我们来讨论三个三角函数在各个象限内的符号：1.正弦函数：在第一象限中，所有的角度都是锐角，因此sin(A)>0；在第二象限中，角度大于90度，但小于180度，因此sin(A)>0；在第三象限中，角度大于180度，但小于270度，因此sin(A)<0；在第四象限中，角度大于270度，但小于360度，因此sin(A)<0。
2.余弦函数：在第一象限中，所有的角度都是锐角，因此cos(A)>0；在第二象限中，角度大于90度，但小于180度，因此cos(A)<0；在第三象限中，角度大于180度，但小于270度，因此cos(A)<0；在第四象限中，角度大于270度，但小于360度，因此cos(A)>0。
3.正切函数：在第一象限中，所有的角度都是锐角，因此tan(A)>0；在第二象限中，角度大于90度，但小于180度，因此tan(A)<0；在第三象限中，角度大于180度，但小于270度，因此tan(A)>0；在第四象限中，角度大于270度，但小于360度，因此tan(A)<0。
总结：在第一象限中，正弦函数和正切函数的值为正，余弦函数的值为正；在第二象限中，正弦函数的值为正，余弦函数和正切函数的值为负；在第三象限中，正弦函数和正切函数的值为负，余弦函数的值为负；在第四象限中，正弦函数的值为负，余弦函数和正切函数的值为正。
高中物理需要的三角函数知识
一. 定义：r y =θsin rx=θcosθtan =x y =θθcos sin (θtan 也曾写为θtg ) #θθθsin cos cot ==y x =θtan 1(θcot 也曾写为θctg )平方关系：1cos sin 22=+θθ二. 特殊角值"三．常用公式：1．正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2. 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc*A cosbca cb A 2cos 222-+=3. 辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b acabBC A（其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且ab tg =ϕ）4诱导公试: 三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限；三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限5. 和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6. 二倍角公式：(含万能公式)：①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7. 半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg。
各象限角的三角函数值的符号
( B) ( D)
sin 0 且cos 0 sin 0 且cos 0
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A
( B) A BC (C ) cos tan 2 2
( D) tan A
二、填空题
25 1、计算： tan 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
(1) sin 280 (4)
25 sin 4
0
(2) cos473
0
742.3 ) (3) tan(
0
Hale Waihona Puke 38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
o
x
x 第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
高一数学-第七教时三角函数的值在各象限的符号 精品
第七教时三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作： 第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.><y x ∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：0,0.<<y x ∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x ∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0记忆法则：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正1．由定义：sin(α+2k π)=sin α cos(α+2k π)=cos α tan(α+2k π)=tan α cot(α+2k π)=co α sec (α+2k π)=sec α csc (α+2k π)=csc α三、例一 （P18例三 略）例二 （P18例四）求证角θ为第三象限角的充分条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin ϑθ )2()1( 证：必要性：若θ是第三象限角，则必有sin θ<0,tan θ>0充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin θ<0 则θ角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴若tan θ>0，则角θ的终边可能位于第一或第三象限∵⑴ ⑵ 都成立 ∴θ角的终边只能位于第三象限∴角θ为第三象限角例三 （P19 例五 略）四、练习：1．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A ：锐角三角形 B ：钝角三角形 C ：直角三角形 D ：以上三种情况都可能2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………（B ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<03．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos <ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 4．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π ∴θ为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业： 课本 P19 练习4,5,6P20-21习题4.3 6-10。
1.2.1 任意角的三角函数重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。
5.4三角函数在各象限的符号
解 （2）因为 27 角为第 象限角，
解 （1） 因为 54327º角为第
象限角，
故故sinsin2754327o 0， co0s，275
0，
co2s74327o tatnan54327o
0．
0， 0．
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 y
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
三 角 函 数
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
再见
y
函
++
-+
数
-o - x
sinα
+o - x
tanα
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号
（1）525º；（2）-235
º；（3）
19 6
；（4）
3 4
．
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 ,
确定 是第几象限的角．
几个特殊角的三角函数
sinα>0 y
cosα<0 tanα<0
sinα>0 cosα>0 tanα>0
sinα<0 o
cosα<0 tanα>0
sinα<0 x
cosα>0 tanα<0
动脑思考 探索新知
三
任意角三角函数的符号：
y
角++
y
-+
三角恒等变换符号
三角恒等变换符号三角恒等变换是数学中的一种重要工具，它通过对三角函数的运算变换，能够推导出其他三角函数的性质和公式。
在这里，我将为大家介绍一些三角恒等变换符号的知识。
1. 基本的三角恒等变换符号在三角恒等变换中，有一些基本的符号，包括等于号“=”，加号“+”，减号“-”，乘号“×”，除号“÷”等。
这些符号可以用来表示三角恒等式中各种运算的关系。
2. 三角函数常用的符号在三角函数中，常用的符号有正弦符号“sin”，余弦符号“cos”，正切符号“tan”，正割符号“sec”，余割符号“csc”，以及反正弦符号“arcsin”等。
这些符号可以用来表示三角函数中不同的运算和变换。
3. 倍角恒等变换符号在三角恒等变换中，有一些常用的倍角恒等变换符号，包括2sinθcosθ=sin2θ，cos2θ=cos²θ-sin²θ，tan2θ=(2tanθ)/(1-tan²θ)等。
这些符号可以用来表示三角函数中的倍角公式，可以用来将一个角度的三角函数转换成对应角度的双倍角函数的值。
4. 半角恒等变换符号半角恒等变换符号也是三角恒等变换中的一种基本符号。
在半角恒等变换中，有一些常用的公式，如sin(θ/2)=±[(1-cosθ)/2]^(1/2)，cos(θ/2)=±[(1+cosθ)/2]^(1/2)等。
这些符号可以用来将一个角度的三角函数转换成对应角度的一半的三角函数的值。
5. 和差恒等变换符号和差恒等变换符号也是三角恒等变换中的一种常见符号。
在和差恒等变换中，有一些常见的公式，如sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ等。
这些符号可以用来将一个角度的三角函数转换成对应两角之和或之差的三角函数的值。
总之，三角恒等变换符号是数学中非常重要的工具，可以用来推导出各种三角函数的公式和性质。
在数学学习中，我们需要熟练掌握这些符号，并学会如何正确地运用它们。
了解三角函数值符号
三角函数值符号三角学是研究三角函数及其应用的一个数学分支．三角函数包括正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，再加上正矢，余矢，在我国总称为八线．在建立了直角坐标系以后，人们利用坐标的观点，给出了三角函数的意义．如图所思，在角α终边上任取一点P（x，y），它到原点的距离为r，则r=角α的六个三角函数的定义如下：1464年，德国数学家雷基奥蒙坦在其著作《论各种三角形》中，开始用符号“sine”表示正弦．1626年，数学家阿贝尔特·格洛德进一步把sine简化为“sin”，这就是正弦号．英国数学家根日尔，1620年在伦敦出版的著作《炮兵测量学》中，开始用符号“cosine”“cotangent”分别表示余弦、余切．到1675年，英国数学家奥屈特进一步把“cosine”“cotan- gent”简化为“cos”“cot”，它们分别是余弦号和余切号．丹麦数学家托玛斯·劳克，1591年在其著作《圆几何学》一书中，采用符号“secant”“tangent”分别表示正割和正切．到1626年，还是阿贝尔·格洛德，把“secant”“tangent”，简化为“sec”“tan”，它们分别是正割号和正切号．建国后，由于受前苏联教材的影响，把“cot”改成为“ctg”，“tan”改成为“tg”，至今仍在我国使用着．1596年，英国数学家锐梯卡斯在他的著作《宫廷乐曲》一书中，用符号“cosecant”表示余割，到1675年，英国人奥屈特把cosecant进一步简化为“csc”，这就是余割号．正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，总称为三角函数．我国对三角早有研究．春秋战国时代，齐国有一部叫《考工记》的书，书中就记载过几种特殊角的名称，比如把90度的角叫做“矩”，45度的角叫做“宣”，135度角叫做“罄折”等．公元3世纪我国著名数学家刘徽在计算圆内接正六边形的边长及13世纪数学家赵友钦在计算圆内接正方形的边长时，实际上已求得了某些特殊的正弦值．我国古代历法中，根据竿的不同影长来确定季节的方法，实际上已构成了一份余切值表．18世纪末期，数学家欧拉把三角函数看成是线段比的新观点，使三角学无论在理论上，还是应用方面都得到了较大的发展．欧拉本人非常欣赏前人创用的三角函数符号，由于他的大力倡导，表示三角函数的符号终于得到了公认．。
三角函数和反三角函数详解
[三角函数的定义和符号变化][三角函数的图形与特征]标准正弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：,2,1,0),0,(±±=k k B k π极值点（极大点或极小点）：,2,1,0,)1(,)21(±±=⎪⎭⎫⎝⎛-+k k A k k π余弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：,2,1,0,0,)21(±±=⎪⎭⎫⎝⎛+k k B k π极值点：,2,1,0),)1(,(±±=-k k A kk π 一般正弦曲线)sin(0ϕω+=x A y 周期：ωπ2=T式中A >0为振幅，ω为角频率，0ϕ为初相 与x 轴交点（同拐点）：,2,1,0,0,0±±=⎪⎭⎫⎝⎛-k k B k ωϕπ 极值点：,)1(,)21(0⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+A k A k k ωϕπ ,2,1,0±±=k同时，)cos(1ϕω+=x A y 也属于一般正弦曲线(设210πϕϕ+=，可化为))2sin(1πϕω++x A ，它是将标准正弦曲线在y 轴方向上伸长A 倍，在x 轴方向上压缩ω倍，并向左平移ωϕ0一段距离而得到.正切曲线 y =tan x周期：π=T与x 轴交点（同拐点）： ,2,1,0),0,(±±=k k A k π， 该点切线斜率为1.渐近线：π)21(+=k x 余切曲线:周期：π=T与x 轴交点（同拐点）：,2,1,0,0,)21(±±=⎪⎭⎫⎝⎛+k k A k π，该点切线斜率为－1.渐近线：πk x = 正割曲线周 期：π2=T 极大点：)1,)12((-+πk A k 极小点：,2,1,0),1,2(±±=k k B k π渐近线：π)21(+=k x 余割曲线周 期：π2=T极大点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1,)232(πk A k 极小点：⎪⎭⎫⎝⎛+1,)212(πk B k,2,1,0±±=k渐近线：πk x =3. 特殊角的三角函数值表中02 π表示02 πϕ→，（即左、右极限）.一个锐角的余角的三角函数值等于这个角的余三角函数值，例如︒=︒15sin 75cos ，︒=︒18cot 72tan ，︒=︒5.22sec 5.67csc .4. 三角函数的基本关系和公式 [诱导公式]三角函数的诱导公式表表中n 为整数. [基本关系]sin cos 221αα+=αααcos sin tan =αααsin cos cot =1cot tan =⋅αα sin csc αα⋅=1cos sec αα⋅=11tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα三角函数的相互关系表例如，若sin α=x ，则cos α=±-12x[加法公式]αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±=±±=±=±±=±[和差与积互化公式]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin cos )cos(cot tan sin sin )sin(cot cot cos cos )sin(tan tan 2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos2sin2sin sin ±=±±±=±±=±-+-=--+=+-+=--+=+sin sin [cos()cos()]cos cos [cos()cos()]sin cos [sin()sin()]αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=-+--=++-=++-121212[倍角公式]αααααααααααααααααααααααααtan cot tan cot tan 1sec 2sec cot 21cot 2cot tan 1tan 22tan tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin 22sin 22222222222-+=-=-=-=+-=-=-=-=+== 1cot 3cot 3cot 3cot tan 31tan tan 33tan cos 3cos 43cos sin 3sin 43sin )cot (tan 21csc sec 212csc 232333--=--=-=+-=+==ααααααααααααααααααα[半角公式]下列公式中根号所取符号与等号左边的符号一致.1sec sec 22csc 1sec sec 22sec cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan 2cos 12cos 2cos 12sin -±=+±=-=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=αααααααααααααααααααααααα[降幂公式]sin (cos )sin (sin sin )sin (cos cos )sin ()cos()sin()sin()2342212012212210121214331834241212212121221αααααααααααα=-=-=-+=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--+-+=-+++=∑∑nn n k n k k n n n n nn k n kk nC n k C C n kcos (cos )cos (cos cos )cos (cos cos )cos cos()coscos()2342212012212211212143318342412221212221αααααααααααα=+=+=++=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-+-=-++=∑∑nn n k k n n n n nn k k nC n k C Cn k以上式中的n 为正整数.5. 反三角函数定义[反三角函数的定义域与主值范围]一般反三角函数与主值的关系为x n x xn x xn x n tan arc tan Arc arccos 2Arccos arcsin )1(sin Arc +=±=-+=πππ式中n 为任意整数.[反三角函数的图形与特征]反正弦曲线 反余弦曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点（同曲线对称中心）：)0,0(O ，该点切线斜率为1 )2,0(πA ，该点切线斜率为－1反正切曲线 反余切曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点：)0,0(O ，该点切线斜率为1)2,0(πA ，该点切线斜率为－1 渐进线：2π±=y曲线对称中心：)2,0(πA 渐近线：π==y y ,0反正割曲线 反余割曲线顶点：),1(),0,1(π-B A 顶点：)2,1(),2,1(ππ--B A渐近线：2π=y渐近线：0=y6. 反三角函数的相互关系与基本公式[反三角函数的相互关系]带有*号者只当x为正值时适用. [反三角函数基本公式]7. 三角形基本定理[正弦定理]a Ab B cC R sin sin sin ===2式中R 为∆ABC 的外接圆半径(图1.3). [余弦定理]a b c bc A b c a ca B c a b ab C 222222222222=+-=+-=+-cos cos cos[勾股定理]在直角三角形(C 为直角)中，勾方加股方等于弦方(图1.4)，即a b c 222+=勾股定理也称商高定理，外国书刊中称毕达哥拉斯定理.8. 斜三角形解法。
各象限角的三角函数值的符号
角，或θ的终边落在y轴的非负半轴上；
又因为 tan 0，所以θ是第二象限或第四象限的角. 因为，要使 sin 0与tan 0 同时成立，所以θ
只能是第二象限的角.
一、选择题 1、已知角α的终边不落在坐标轴上，且 | cos | cos， 则α是 （ B）
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A (B) tan A (C) cos B C
2
2
(D) tan A
二、填空题
1、计算：tan 25
3
3
2、三角函数值：cos490° < 0.（填“>”或“<”号）
3、若cosα<0且tanα>0，则角α是第 三象限的角.
（A） 第一或第二象限角. （B） 第二或第三象限角.
（C） 第三或第四象限角.（D） 第一或第四象限角.
2、若θ是第三象限的角，则下列结论正确的是 （ C）
(A) sin 且tan 0 (C) sin 0 且tan 0
(B) sin 0 且cos 0 (D) sin 0 且cos 0
5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 2800 < 0
(2) cos 4730 0 (3) tan(742 .30) 0 (4)
(5) cos( 38 ) 0
5
(6) tan( 62 ) 0
5
sin 25 0
4
例2、如果 sin 0 ， tan 0 .试确定θ是第几象
限的角.
观察下图A当角α分别为第一、二、三、四象限角
时 sin yp cos xp tan yp cot xp 的符号
2、三角函数值在各象限的符号
y
x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
o
x
y 3 、正切函数值 tan x
y 第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x
三角函数值在各象 限的符号
复习旧知
任意角三角函数的定义：
在角α的终边上任取一点P(x,y),点P到原点的距离记作r，
有：r | OP |
x2 y 2 r 0
x r , tan α y x
那么我们定义
sin α
y r
, cos α
新课讲授
三角函数值在各象限内的符号：
y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y
y 第三象限：xБайду номын сангаас 0, y 0, 故 为正值； x
第四象限：x 0, y 0, 故 y 为负值； x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
口诀：
cos
tan 、 cot
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”
例题赏析
例1 、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y 1 、正弦函数值 sin r
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r
y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
8个三角函数名称及符号
八个三角函数名称及符号中的特定函数三角函数是数学中重要的一类函数，由于其在几何学、物理学、工程学等领域的广泛应用，具有重要的意义。
常见的三角函数有八个，它们分别是正弦函数（sine function）、余弦函数（cosine function）、正切函数（tangent function）、余切函数（cotangent function）、正割函数（secant function）、余割函数（cosecant function）、反正弦函数（arcsine function）和反余弦函数（arccosine function）。
下面将分别对这八个函数进行详细解释。
1. 正弦函数（sine function）定义正弦函数是一个周期函数，记作sin(x)，其中x是角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，周期为360度或2π弧度，振幅为1。
用途正弦函数在几何学中被广泛应用，可以描述周期性的运动、波动等现象。
在物理学中，正弦函数可以用来描述振动、波动、周期性变化等现象。
在工程学中，正弦函数可以用来分析交流电流、声音波动等。
工作方式正弦函数的工作方式是根据给定的角度值，计算出对应的正弦值。
正弦值可以通过查表或计算器等工具来获得。
2. 余弦函数（cosine function）定义余弦函数是一个周期函数，记作cos(x)，其中x是角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，周期为360度或2π弧度，振幅为1。
用途余弦函数在几何学中被广泛应用，可以描述周期性的运动、波动等现象。
在物理学中，余弦函数可以用来描述振动、波动、周期性变化等现象。
在工程学中，余弦函数可以用来分析交流电流、声音波动等。
工作方式余弦函数的工作方式是根据给定的角度值，计算出对应的余弦值。
余弦值可以通过查表或计算器等工具来获得。
3. 正切函数（tangent function）定义正切函数是一个周期函数，记作tan(x)，其中x是角度。
三角函数符号关系
三角函数符号关系三角函数符号关系是数学中极为重要的概念，在初等数学中有着非常重要的作用。
本文旨在介绍三角函数符号的概念，以及它们之间的关系及其相关的应用。
首先，我们来谈谈三角函数符号本身的概念。
三角函数符号是由三角形和相应的三角函数组成的，可以用来判断两个角度之间的相互关系。
常见的三角函数符号有正弦、余弦和正切，它们分别表示两个角度之间的正弦、余弦和正切关系。
正弦符号（sin）表示两个角度之间的正弦关系，即在一个三角形中，当其一边与两个角度的夹角相等时，它的另一边的长度将等于两个角度的正弦的乘积。
余弦符号（cos）表示两个角度之间的余弦关系，即在一个三角形中，当其一边与两个角度的夹角相等时，它的另一边的长度将等于两个角度的余弦的乘积。
正切符号（tan）表示两个角度之间的正切关系，即在一个三角形中，当其一边与两个角度的夹角相等时，它的另一边的长度将等于两个角度的正切的乘积。
三角函数符号之间也存在着关系，即三角形的一边长度可以由另一边的长度来确定，而正弦、余弦和正切的关系也可以用来计算三角形的边长。
这也是三角函数符号关系的主要作用，也是三角函数之间紧密联系在一起的原因之一。
在中学物理课程中，学生需要学习三角函数，以便他们能够解决一些问题，比如计算三角形的面积，解决由三角形形成的物理问题等。
这些问题都需要依赖三角函数符号关系，才能够得到准确计算结果。
三角函数符号关系也经常应用于实际的工程领域，比如在建筑设计中通过三角形的边长来计算建筑物的高度，在地理学中利用三角函数来计算两点之间的距离，在测量学中通过三角函数来分析物理量的测量结果。
此外，三角函数符号关系也被广泛应用于电子电路技术中，比如高斯滤波原理，余弦变换等。
另外，在信号处理、数据处理及图像处理等领域中也使用到了三角函数符号关系。
通过本文的介绍，我们可以看出三角函数符号关系在初等数学中的重要作用和应用，同时它也在实际工程中的广泛运用。
因此，学习三角函数关系有助于我们更好地理解数学，并掌握数学技术，从而有助于我们在实际工作中更好地解决实际问题。
三角函数符号读法
三角函数符号，又称三角函数图形，是数学中一类重要而又常见的符号，主要用于描述三角形
和其他三角几何图形中的特殊性质。
它主要包括sin（正弦）、cos（余弦）、tan（正切）、cot（余切）、sec（正割）和csc（余割）函数符号，它们的作用是记录三角形的角度和边长，并计算出两边之间的关系。
举例来说，sin（正弦）函数符号用来表示三角形中一条边与另一条边之间的夹角，而cos
（余弦）函数符号则用来表示三角形中夹角与另一条边的比值。
比如，一个三角形的边长为3，夹角为30°，那么它的sin值就是0.5，cos值就是0.866。
tan（正切）函数符号则用来表示三角形中夹角和对边的比值，而cot（余切）函数符号则用
来表示三角形中对边和夹角的比值。
比如，一个三角形的边长分别为3和4，夹角为30°，那
么它的tan值就是0.577，cot值就是1.732。
sec（正割）函数符号用来表示三角形中一条边和夹角的比值，而csc（余割）函数符号则用
来表示三角形中夹角和一条边的比值。
比如，一个三角形的边长分别为3和4，夹角为30°，
那么它的sec值就是1.155，csc值就是1.273。
三角函数符号在数学中的应用非常广泛，它们可以用来解决各种复杂的三角形计算问题，例如
求解三角形的面积，求解三角形的夹角大小，求解三角形中两条边之间的关系等等。
此外，三
角函数符号还可用于求解更复杂的几何问题，例如求解圆锥、圆柱、椭圆等图形的体积、表面
积等。
由此可见，三角函数符号在数学中的作用非常重要，它们可以为我们提供更多的计算方法，将复杂的数学问题变得更加容易解决。
7.2.4三角函数值在各象限的符号(单位圆)
sin y
x
+
0
y + x
0
y + x +
0 +
y + x -
正弦
余弦
正切
结论：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如限
cos
sin
+ +
+
+ －
－
－
－ +
－
+ －
cos
tan
你可以采用自己喜欢的方法记住它们
例题分析
x 叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα= x r r y y x 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα= x
O
任意角三角函数的定义 sinα
cosα
tanα
2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么
y sin = ____
1
y
P(x,y)
x cos = ____
y ( x 0) tan = ____ x
O
1
x
故：P(x,y)=P(cosα,sinα) 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的横坐标和纵坐标。
复习：
1、直角坐标系中四个象限内的点（x，y）的横坐标x、 纵坐标y的符号有何特点？
y
第二象限
X<0 ,y>0 0
第一象限
x>0 ,y>0
x
第四象限
第三象限
X<0 ,y<0
• 例7 确定下列三角函数值的符号
π 11 π （ 1 ） sin( )；（2） cos 250 ；（3） tan( 600 )；（4） cos 4 3
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南京城市职业学院课程教案
第三象限：0,0.<<y x
∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x
∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0 记忆法则：一全正,二正弦，三正切，四余弦. 2. 终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和-330°都与30°终边位置相同， 由三角函数定义可知它们的三角函数值相同， 即sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°
诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成
ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k
例1 确定下列三角函数值的符号 (1) sin 250° （2）)4
tan(π-
（3）cos850° (4) sin(-672°)
解：(1)∵250°是第三象限角 ∴sin250°＜0 (2)∵4π-
是第四象限角，∴0)4
tan(<-π (3) cos850°＝cos （2×360°+130°）＝cos130° 而130°是第二象限角，∴cos850°< 0
(4) sin(-672°)=sin(-2×360°+48°)= sin48° 而48°是第一象限角，∴sin(-672°)0>. 例2根据下列条件，确定角α所在的象限
（1）0sin >α且0cos <α （2）0tan sin <⋅θθ 解：（1）由0sin >α可知 α在第一象限角和第二象限角
由0cos <α可知 α在第二象限角和第四象限角 所以α在第二象限角 （2）由0tan sin <⋅θ
θ可知，⎩⎨
⎧<>0
tan 0
sin θθ① 或⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ② 由①得 θ在第二象限角 由②得 θ在第三象限角
所以 θ在第二象限角或第三象限角 练习：1.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
2. 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）。