《根与系数之间的关系》课件
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根与系数的关系 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
3
∴
x12
x22
x1
x2 2
2x1x2
5 2
2
23
1 4
1 1 x1 x2 5 3 5
x1 x2 x1x2 2
6
【巩固练习1-1】一个直角三角形的两条直角边的和是14cm， 面积是24cm².求这两条直角边的长。
【巩固练习1-2】一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积 是12cm2，求菱形的周长。
化简得 2x²-12x+11=0
a=2 b=-12 c=11
b x1 x2 a 6
x1x 2
c a
11 2
【巩固练习3】已知关于x的一元二次方程 x2 mx 8 0 的一个实
数根为2，则另一实数根及m的值分别是多少？
方法一：将实数根x=2直接带代 入，求出m的值，解出方程； 解：把x=2带入 x2 mx 8 0 得 4 2m 8 0 解得m=2 ∴一元二次方程为 x2 2x 8 0 解得 x1 2, x2 4 ∴另一个根为-4
x²-4x-12=0
x1+x2= 4 x1·x2=-12
x²-2018x+2019=0 x²+201x+203=0
x1+x2=2018 x1·x2=2019 x1+x2=-201 x1·x2=203
（1）3x²+7x-9=0
a=3 b=7 c=-9
x1
x2
b a
7 3
x1x2
c a
3
（2）2x²-12x+14=3
方法二：利用根与系数的关系。 解：设另一个解为 x2 ，
由根与系数的关系得 2 x2 m ，2x2 8 解得 x2 4, m 2
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
《一元二次方程根与系数的关系》PPT 图文
我幸，今生在最美的时光遇见了你。张 爱玲说 ，因为 爱了， 所以慈 悲。因 为懂得 ，所以 宽容。 总有那 么一个 人，即 便全世 界都不 爱你， 也会为 你低眉 ，为你 垂泪， 为你留 一盏温 暖的灯 ，默默 守护在 你身旁 ，在清 浅的时 光里， 陪你看 草长莺 飞，陪 你数散 落星辰 ！
因为有缘，你我同住同修，同见同知， 相互依 靠，相 互取暖 。生死 契阔， 与子成 说;执子 之手， 与子携 老。爱 ，最长 情的告 白，不 是千万 句“我 爱你” ，也不 是春花 秋月前 的山盟 海誓， 天长地 久。而 是愿意 用其一 生的光 阴来陪 伴你， 来包容 你！即 便在寡 味的日 子里， 也会用 爱去 浇灌， 用心去 呵护， 为你种 出一朵 妖艳之 花，㶷 烂至极 。
“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。 千里孤 坟，无 处话凄 凉。纵 使相逢 应不识 ，尘满 面，鬓 如霜“ 。如若 今生， 你我遇 到一个 愿意为 自己陪 伴一生 的人， 那么， 请握紧 现在手 中的幸 福，珍 惜彼此 ，别等 失去， 再话凄 凉……
可惜，世间不是所有的缘份都来得刚刚 好，在 合适的 季节里 你我相 遇相逢 。就如 徐志摩 遇到林 徵因， 写下“ 轻轻的 我走了 ，正如 我轻轻 的来； 我轻轻 的招手 ，作别 西天的 云彩… …”一 首再别 康桥道 出无尽 的思念 ，却因 是一场 三角之 恋，不 得不放 手。还 有张爱 玲遇见 文人汉 奸胡兰 成，在 信里写 道：“ 在你面 前我变 得很低 很低， 低到尘 埃里。 但我的 心里是 喜欢的 ，从尘 埃里开 出花来 。”
4.6 一元二次方程根与 系数的关系
1. 填表
方程
x1, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0
根与系数的关系_课件
1 2
x , x2 ,则:
1
例题讲解与练习
例1：不解方程，写出下列方程 的两根和与两根积：
(1) x 3 x 1 0 2 (2)2 x 3 x 50
1 2 ( 3) x 2 x 0 3
2
例题讲解与练习
2
(4) 2 x 6 x 3
(5) x 1 0
2
(6) x 2 x 2 0
2
⑤ x12 x2 +x1x22
⑥ x13 +x23
⑦ 2x12 7 x1 +x2
③ |x1 x2 |
④
x1 +1 x2 +1
⑧ x 3x2 +6x2
2 1 2
例3 设实数s、t分别满足 19s 99s 1 0 ，
2
t 99t 19 0 ，并且 st 1 ，
k 0 1 k 4 1 k 2
k 0 1 k 4 1 k 2
解:由题意得:
k 2 0 2 2 (2k 1) 4k 0 2k 1 x1 x2 2 0 k
2
例题讲解与练习
例2：不解方程，检验下列方程 的解是否正确？
(1) x 2 2 x 10
2
(2)2 x 3 x 80
1
2
( x 2 1, x 2 1)
1 2
7 73 5 73 (x ,x ) 4 4
2
例题讲解与练习
例3 例4
求一个方程，使它的两根分别是2和-3 已知两个数的和等于8，积等于9， 求这两个数
2
st 4t 1 求 的值. t
x , x2 ,则:
1
例题讲解与练习
例1：不解方程，写出下列方程 的两根和与两根积：
(1) x 3 x 1 0 2 (2)2 x 3 x 50
1 2 ( 3) x 2 x 0 3
2
例题讲解与练习
2
(4) 2 x 6 x 3
(5) x 1 0
2
(6) x 2 x 2 0
2
⑤ x12 x2 +x1x22
⑥ x13 +x23
⑦ 2x12 7 x1 +x2
③ |x1 x2 |
④
x1 +1 x2 +1
⑧ x 3x2 +6x2
2 1 2
例3 设实数s、t分别满足 19s 99s 1 0 ，
2
t 99t 19 0 ，并且 st 1 ，
k 0 1 k 4 1 k 2
k 0 1 k 4 1 k 2
解:由题意得:
k 2 0 2 2 (2k 1) 4k 0 2k 1 x1 x2 2 0 k
2
例题讲解与练习
例2：不解方程，检验下列方程 的解是否正确？
(1) x 2 2 x 10
2
(2)2 x 3 x 80
1
2
( x 2 1, x 2 1)
1 2
7 73 5 73 (x ,x ) 4 4
2
例题讲解与练习
例3 例4
求一个方程，使它的两根分别是2和-3 已知两个数的和等于8，积等于9， 求这两个数
2
st 4t 1 求 的值. t
一元二次方程根与系数的关系PPT课件
∵方程的一个根为2,∴方程的另一个根为4.
∴ m2-2m+5=8，解得m=3或-1.
6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x-3=0的 两个解为x1和x2.
（1）求x12 x22的值；
（2）求
11 x1 x2
的值.
解:由方程根与系数之间的关系得
x1+x2=
b a
=-2,
x1x2=
c a
=-3 .
1.若x1, x2是一元二次方程
检测反馈
x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2的值是( C )
A.-4 B.-1 C.1
D.4
解析:考查根与系数之间的关系, x1, x2是一 元二次方程x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2=1. 故选C.
2.一元二次方程x2+x-2=0的两根之和是( A)
A.-1 B.-2 C.1
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十四章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
1.解一元二次方程的方法有几种?如何选择解 一元二次方程的方法?
2.由因式分解法可知,方程(x-2)(x-3)=0的两根
为
,而方程(x-2)(x-3)=0可化为x2-
5x+6=0的形式,所以方程x2-5x+6=0的两根
为
D.2
解析:根据根与系数之间的关系可得x1+x2=-1. 故选A.
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1, x2,则 x1+x2-x1·x2的值为 ( D ) A.-7 B.-3 C.7 D.3
解析:根据根与系数之间的关系可得
x1+x2
人教版《一元二次方程的根与系数的关系》课件初中数学ppt
利∵ △用=根K与2系-4k数-8的关系，求一元二次方程
2 K的2两-2个k-8根=分0 别是 、 。
一如元果二 一次元方二程次的方根程与系数的关次仅方当程根与系数的关时系，，才也叫韦达定理。
K分2别- 2是(k+2）、=4 ，那么，你可以发现什么结论？
(二次项系数为1)为: 解X1：+X设2方=-k程， X1×X2=k+2 的两个根
x +x =-p x ·x = q 若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
解要得特： 别k注=意4 ，或方k=程－有2 实根的条件1 ，即2在初
12
所以：
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. x2 2x 15 0 2. x2 6x 4 0
3. 2x2 3x 5 0 4. 3x2 7x 0
所要以特： 别注意，方程有实根的条件，即在初
例2： 已知方程
的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
若即关：于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
x 2 ( x1 x2 ) x x1 x2 这应就用是 一一元元二二次次方方程程的根与系数的关关系系时，也叫韦达定理。
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
如果一元二次方程
的两个根
得一：元k二=次-7方程根与系数的如关系果是什一么?元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2
是
且
求k的值。
那么 如果一元二次方程
如果一元二次方程
的两个根
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2 那么x1+x2= ，x1·x2=
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 3x 1 0 的两个实数根为 x1 、
2
-1
x2 ,则 x1 1 x2 1 的值为_________.
1 1
（2）已知 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个实数根,则 的值
x1 x2
2
-2
为_____________.
A. x1 x2 2
B. x1 x2 2
C. x1 x2 3
2
D. x1 x2
3
解析：∵ x1 , x2 是方程 x 3x 2 0 的两个根,
2
∴ x1 x2 3 , x1 x2 2 ,观察四个选项,选项 A 符合题意,
故选：A.
练习 5 关于 x 的一元二次方程 x2 4 x m 0 的两实数根分别为 x1 、
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
4
注意公式自身的符
号及系数的符号．
用根与系数的
关系前，一定
要化成一般式
练习 1.关于 x 的方程 2 x2 6 x 7 0 的两根分别为 x1 , x2 ,则 x1 x2
解析：
（1）根据韦达定理,得 x1 x2 3 , x1 x2 1
则 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1=1 3 1 1
3
（2）根据题意得 x1 x2 3 , x1 x2 ,
2
x1 x2
2
-1
x2 ,则 x1 1 x2 1 的值为_________.
1 1
（2）已知 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个实数根,则 的值
x1 x2
2
-2
为_____________.
A. x1 x2 2
B. x1 x2 2
C. x1 x2 3
2
D. x1 x2
3
解析：∵ x1 , x2 是方程 x 3x 2 0 的两个根,
2
∴ x1 x2 3 , x1 x2 2 ,观察四个选项,选项 A 符合题意,
故选：A.
练习 5 关于 x 的一元二次方程 x2 4 x m 0 的两实数根分别为 x1 、
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
4
注意公式自身的符
号及系数的符号．
用根与系数的
关系前，一定
要化成一般式
练习 1.关于 x 的方程 2 x2 6 x 7 0 的两根分别为 x1 , x2 ,则 x1 x2
解析：
（1）根据韦达定理,得 x1 x2 3 , x1 x2 1
则 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1=1 3 1 1
3
（2）根据题意得 x1 x2 3 , x1 x2 ,
2
x1 x2
一元二次方程根与系数的关系—展示课件
一元二次方程的根与系数的关系
揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系
黔南民族师范学院 附属中学 陈拥凤
3
一. 第一章 教学内容分析
一元二次方程的 根与系数的关系
教学 内容
●猜想一元二次方程的根与系数的关系 ●证明一元二次方程的根与系数的关系 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
教学 重点
●探究一元二次方程的根与系数的关系 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
7
四. 第一章 教学策略分析
重点:
一元二次方程根与系数的关系以及应
兴趣点:
用
原生兴趣: 一元二次方程的根到底和
方程之间有什么样的关系？
伴生兴趣: 求根、观察、猜想、推理； 衍生兴趣：根与系数关系的作用？
四点突破 分析
难点:
发现并表达一元二次方程根
目标达成点： 通过观察、发现和推理一元二次方程根与
与系数之间的关系; 求两根的平方和；
黔南民族师范学院 附属中学 陈拥凤
11
五. 第四章 教学过程 2 观察猜想 探究新知
特殊 到 一般
● 观察：根与方程，培养数学观察能力 ● 猜想：根与系数的关系 伴生兴趣 ● 探究：探究对一般方程，这种关系是否成立？
黔南民族师范学院 附属中学 陈拥凤
12
五. 第五章 教学过程 3 推理论证 归纳总结
黔南民族师范学院 附属中学 陈拥凤
13
五. 第四章 教学过程 3 推理论证 归纳总结
意图
通过猜想和证明一元二次方程根与系数的关系， 培养学生观察、思考、归纳、逻辑推理等能力.
黔南民族师范学院 附属中学 陈拥凤
14
五. 第五章 教学过程 4 运用新知 能力提升
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
根与系数的关系的应用PPT课件
2.解方程组
(提示:将x,y视为x1,x2)
返回
求未知系数的取值范围
例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何于1,另一根小于1?
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0 解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0 ∴方程总有两个不相等的实数根
对于方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,有
对于方程x2+px+q=0的两根x1,x2,有
应用
小结
知一根(两根关系)，求另一根及未知系数的值； 不解方程,求方程两根的对称式的值; 构造新方程； 求未知系数的取值范围。
返回
知一根，求另一根与未知系数的值
例题：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实
是方程(1)的两根的平方,则关于y的方程是__________
分析: 由y1+y2=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2= y1y2=x12x22=(x1x2)2= 再由知识点的第二个种情况可列出方程
练习
返回
1.已知关于x的方程2x2+5x-6=0,且关于y的方程的两根是 关于x的方程的两根的倒数,则关于y的方程是__________
返回
根与系数的关系在人教版中属于选学内容,也是高 中招生考试的重点内容之一; 在根与系数的关系的应用中,考试的热点是应用一 与应用四; 根与系数的关系常常还与三角形的有关知识相结 合一起应用.
一元二次方程的根与系数的关系 PPT课件
倒数和为 8 ，求k的值。
3
4.已知关于x的方程x2+（2k+1） x+k2-2=0的两个实数根的平方和为11， 求k的值。
5 . 已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求 证：无论k取何值，方程总有实数根；（2） 若等腰三角形边长a=1,另两边b,c恰好是这 个方程的根，求△ABC的周长
两个根为x1, x2 , 求x12+x22=____.
(2).已知方程 2x2 4x 2m 0
的两个根的倒数和等于6，求m的值
（3）设 x1, x2 是方程2x2 4x 3 0的
两个根，不解方程，求 x2 x1
的值。
x1
x2
当堂训练
1.（1）已知关于x的方程x2 - p x+q=0的两 个根是0和-3，求p和q的值。
则x1+x2=-
b aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，x1
x2=
c a
，这说明一元二次
方程的系数与方程的两个根之间总存在一定
的数量关系。用这种关系可以在已知一元二
次方程一个根的情况下求出另一个根及未知
系数，或求作一个一元二次方程。
自学检测（一）：4分钟 不解方程，求方程两根的和两根 的积：
(1)3x2 6x 2 0 (2)5x2 x 10 0
自学指导（一）：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中
（1）x2 - 2 x + 1＝0；（2）x2 （3）2x2 -3x+ 1＝0
x-1＝0；
观察两个解的和与积，它们和原来的方程 的系数有什么联系？
探索:一般地，对于关于x的方程 ax2+b x+c=0 （a 0 ，b2-4ac≥0），试 用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算 X1+x2、x1 ·x2 的值，你能发现什么结论？ 与前面的观察的结果是否一致？
3
4.已知关于x的方程x2+（2k+1） x+k2-2=0的两个实数根的平方和为11， 求k的值。
5 . 已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求 证：无论k取何值，方程总有实数根；（2） 若等腰三角形边长a=1,另两边b,c恰好是这 个方程的根，求△ABC的周长
两个根为x1, x2 , 求x12+x22=____.
(2).已知方程 2x2 4x 2m 0
的两个根的倒数和等于6，求m的值
（3）设 x1, x2 是方程2x2 4x 3 0的
两个根，不解方程，求 x2 x1
的值。
x1
x2
当堂训练
1.（1）已知关于x的方程x2 - p x+q=0的两 个根是0和-3，求p和q的值。
则x1+x2=-
b aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，x1
x2=
c a
，这说明一元二次
方程的系数与方程的两个根之间总存在一定
的数量关系。用这种关系可以在已知一元二
次方程一个根的情况下求出另一个根及未知
系数，或求作一个一元二次方程。
自学检测（一）：4分钟 不解方程，求方程两根的和两根 的积：
(1)3x2 6x 2 0 (2)5x2 x 10 0
自学指导（一）：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中
（1）x2 - 2 x + 1＝0；（2）x2 （3）2x2 -3x+ 1＝0
x-1＝0；
观察两个解的和与积，它们和原来的方程 的系数有什么联系？
探索:一般地，对于关于x的方程 ax2+b x+c=0 （a 0 ，b2-4ac≥0），试 用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算 X1+x2、x1 ·x2 的值，你能发现什么结论？ 与前面的观察的结果是否一致？
《一元二次方程的根与系数的关系》ppt全文课件
-5 2
(3) x1－x2. 41
2
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
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巩固练习
练 习 8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-
1=0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤
x1x2
c a
自主探究
3.典型例题
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
m=8
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师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你还有什么疑惑？说给大家听听.
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x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
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巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
根与系数的关系(课堂PPT)
∴a.b是方程x2-15x-5=0的两根
∴a+b=15,ab= -5
aba2b2(ab)22ab ba ab ab
ab1252(5)47 b a 5
9
(3)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,
求正数c的最小值。
解：
∵a+b+c=0,abc=16,c>0
abc,ab16
c ∴a、b是一元二次方程x2+cx+
两实数根和为-4的是( D )
A．x2+2x- 4=0
B．x2-4x+4=0
C．x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
例4(2012广西来宾3分)已知关于x的一元二次方程
x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( B )
A．-2 B．0 C．1 D．2 4
二、求对称代数式的值：
与已知不符，不符合题意
∴c≠0
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
13
∴ mx12- 4m2x1x2+mx22=m[(x1+x2)2-2x1x2]-4m2x1x2=12
∴ m2+5m-6=0，解得，m=-6或m=1
11
例3：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程x2+x -1=0，
求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x
（2）设(1)中方程的两根分别为x1，x2，且 mx12- 4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
解（1）
设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，
∴a+b=15,ab= -5
aba2b2(ab)22ab ba ab ab
ab1252(5)47 b a 5
9
(3)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,
求正数c的最小值。
解：
∵a+b+c=0,abc=16,c>0
abc,ab16
c ∴a、b是一元二次方程x2+cx+
两实数根和为-4的是( D )
A．x2+2x- 4=0
B．x2-4x+4=0
C．x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
例4(2012广西来宾3分)已知关于x的一元二次方程
x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( B )
A．-2 B．0 C．1 D．2 4
二、求对称代数式的值：
与已知不符，不符合题意
∴c≠0
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
13
∴ mx12- 4m2x1x2+mx22=m[(x1+x2)2-2x1x2]-4m2x1x2=12
∴ m2+5m-6=0，解得，m=-6或m=1
11
例3：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程x2+x -1=0，
求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x
（2）设(1)中方程的两根分别为x1，x2，且 mx12- 4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
解（1）
设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，
2014.9九年级根与系数的关系课件
一元二次方程的 根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。因此，他获 得了“代数学之父”之称。
加深理解：
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=-2
2
⑵ 、3X2－2X=2
在使用根与系数的关系时，应注意：
1
另一根为x ，那么
2
｛
3 答：方程的另一根是－ ，k的值是 7。 5
k 2＋x ＝－ 5 解得 6 2x =5
2 2
｛
3 x ＝－ 5 k 7
2
• 练习:
• 一元二次方程 2x2 7 x n 0 的一个根是3, 求它另一个根及n的值
一元二次方程根与系数关系的应用 （2）验根。
x2 x1 x1 x2
一元二次方程根与系数关系的应用
（1）已知方程一根，求另一根。 例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。 方法（一） ∵ 2是方程 的根， ∴ ∴ 原方程可化为 解得：
例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。
方法（二） 设方程的一根为x =2,
1 2 1 2
推理论证
设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
b b 2 4ac 则x1= 2a b b 2 4ac X2= 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac ∴x1+x2= + 2a 2a
2b b = = 2a a 2 2 2 2 2 ( b ) ( b 4 ac ) b b 4ac b b 4ac x1•x2= = • 2 2a 4 a 2a
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即( X 1+ X 2
2(k+2）=4
K2-2k-8=0
思考
1
1、对于一元二次方程2 x x 6
2
两根的和、两根的积分别是多少？
思考
一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0) 变形，得 X2+b/ax+c/a=0(a≠0) 根据根与系数的关系，得 X1+X2=- b/a，X1•x2=c/a
1、以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是 B ） （ A、y2＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0 B、 D、 y2－3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 ) 3 新方程的两根之积为 ( x1 ) ( x2 ) 5 故所求方程为y －3y-5=0
22.2.5 一元二次方程的
根与系数的关系
练习题
１、口答
不解方程，求下列方程的两根和与两 根积。 ⑴.X －3X+1=0
（3).X2+5X-10=0
2
⑵.X －2X=2
2
2、 求值
则：
x1 x2
2 1 2 2
2
4
x1 x2
2
1
x x ( x1 x2 ) 2 x1 x2 ＝ 14
2 x kx k 2 0 5、已知方程 的两个实数根 2 2 x x 是 1, 2 且 x1 x2 4 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 K 2X 1 2+ X 2 2 = 4 )2 -2X
1X2=4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＝ 12
2
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
2 2、点p(m,n)既在反比例函数 y ( x 0) 的 x
图象上, 又在一次函数
y x 2 的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 解:由已知得,
{n m 2
2 n m
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
小结：
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
2
当m= 分析:1. 2.
1
时,此方程的两根互为倒数.
x1 x2 m 1 0， m 1
x1x2 2m 1 1， m 1
4、求方程中的待定系数
如果2是方程
x 6x m 0
2
4 ｍ=____ 8 。 的一个根，则另一个根是___
（还有其他解法吗？)
即
2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为
x 2x 2 0
小结
1.一元二次方程的标准形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
2.两根和 3.两根积
x1+x2= － b/a x1· x2=c/a