初中数学竞赛教程二元一次方程组
七年级数学竞赛 第13讲 二元一次方程组
阅读材料，善于思考的小军在解方程组
2x +5y 2x +11y
=3 =5
①
时，采用了一种“整体代换”的解法。
②
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即 2(2x+5y)+y=5。③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴ y=−1，
把
y=−1
代人①得，x=4。∴方程组的解为
x=4 y = −1
。
|
x |
− x
y +
|= x y |=
+ x
y +
− 2
2
；
（3）
xy
3x + 2y
xy
= =
1 8 1
。
2x + 3y 7
（《数学周报》杯全国竞赛题） （“五羊杯”竟赛题）
13．整体方法 整体思考方法是将问题看成一个整体，从大处着眼由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，
从整体上把握问题的特征和解题方向。
刻意练习
1．已知方程组
2a − 3b = 13 3a + 5b = 30.9
的解为
a b
= =
8.3 1.2
，则方程组
2(x + 2) − 3( y −1) = 13 3(x + 2) + 5( y −1) = 30.9
的解是
。
（山东省枣庄市中考题）
2．已知关于
x，y
的方程组
2x − ay = 6
例 8．能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后，任 3 个相邻数的和都等于 29?如果能，请举 一例；如果不能，请简述理由。 解题思路：假设存在 7 个整数 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 排成一圈后满足题意，
初中数学 优质课大赛 二元一次方程组的解法课件精品
2x-3y=4 ① 3x+2y=1 ②
用加减法消x的方法是
；
用加减法消y的方法是
。
化归转化
用加减法解方程组：
2x 3y 11 ① 6x 5y 9 ②
x 1
y
3
问题1．这两个方程直接相加减能 消去未知数吗？为什么？
问题2．那么怎样使方程组中某一 未知数系数的绝对值相等呢？
化归转化
本题可以用加减消元法来解吗？
法二：把②式转化为2x=3y+17③，把2x看成一个
整体，直接把③代入①解关于y的方程，求
出y再求x；
法三：因为2x=2x，把①-②消去x，得关于y的方
程，求出y，再求x。
解方程组:
2x 5y 9 2x 3y 17
Байду номын сангаас
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 2x5y 2x3y= 9 17
当两个二元一次方程中同一个未 知数的系数相反或相等时，把两个方 程的两边分别相加或相减，就能消去 这个未知数，得到一个一元一次方程。 这种方法叫做加减消元法，简称加减 法。
口决：同减异加
3x+4y=15
1.已知方程组
两个方程只要两边
y 2x-4y=10
分别相加 就可以消去未知数
2x-3y=4
2.已知方程组
（1）22xx
3y 4y
5 2
（2）
3a 2a
2b 5 b8
（3）84xx
7y 5y
13 11
（4）
1 2 1 3
m m
1 3 1 2
n n
8 1
2、（选做题）解方程组
二元一次方程组竞赛题集答案解析
【例1】方程组的解*，y满足方程5*-y=3，求k的值.【思考与分析】此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.〔１〕由方程组消去k，得*与y的关系式，再与5*-y=3联立组成方程组求出*，y的值，最后将*，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.〔２〕把k当做数，解方程组，再根据5*-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. 〔３〕将方程组中的两个方程相加，得5*-y=2k+11，又知5*-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5*-y=2k+11.又由5*-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
〔∵两个方程等效〕 ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
〔∵两个方程是矛盾的〕 ③ 当2121b b a a ≠〔即a 1b 2－a 2b 1≠0〕时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 〔这个解可用加减消元法求得〕 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，假设要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进展。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解〔把待定系数当己知数〕，再解含待定系数的不等式或加以讨论。
〔见例2、3〕例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解【例2】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得 y=4－m*，③把③代入②，得 2*+5〔4－m*〕=8，解得〔2－5m 〕*=-12，当2－5m ＝0，即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为将代入③，得 故当m ≠时， 原方程组的解为例3. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 例4. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解*和y 都是整数？ 二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
初中数学竞赛教程及练习之二元一次方程的整数解附答案
二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y yy y 2515101--=-- (1) , 设k k y(51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bkx x 00（x 0,y 0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y=-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y kx 5399 （k 为整数）又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==2y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。
二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。
二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。
然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。
具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。
然后可以通过消元法或其他方法求解。
三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。
2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。
3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。
这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。
四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。
总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。
最新【竞赛讲座】七年级上学期数学竞赛专家讲座：第10讲-二元一次方程组资料
第十讲：二元一次方程组一、相关知识点1、 二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。
2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。
4、 二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
5、 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，． Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，． Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，． 2．有这样一道题目：判断31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =⎧⎨=⎩，是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ B ） A 、k=-4 B 、k=4 C 、k=-3 D 、k=3 分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx-9求出k 值。
解⎩⎨⎧=+=-②y x ①y x 13273 得：⎩⎨⎧-==12y x将⎩⎨⎧-==12y x 代入y=kx-9，k=44．解方程组()()63101321002m n m n -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 ()10332mn -=把（3）代入（1），得 43m = 把43m =代入（3），得 3n = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法二：（加减消元法）解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3把3n =代入（3），得43m = ∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2327103m n n +-+=由（2）得：()32104m n += 把（4）代入（3），得 3n = 把3n =代入（4），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2321072103m n n +--+=由（2）代入（3），得3n =把3n =代入（2），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（ C ）A ．⎩⎨⎧==2.13.8y x B ．⎩⎨⎧==2.23.10y x C ．⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x6．4513453x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：设11,a b x y ==，则原方程组可化为()()451314532a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：21a b =⎧⎨=⎩∴121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 7．解方程组()():3:213532x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：（参数法）∵32x y = ∴设3,2x k y k ==。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。
下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。
一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。
例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。
解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。
例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。
将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。
例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。
将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。
初中数学 优质课大赛 二元一次方程组的解法课件
义务教育课程标准实验教科书
华师大版七年级（下）数学
3x 4 y 10 ① ② 5 x 6 y 42
初中数学
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本思路: 二元 消元 一元 2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 用含有一个未知数的代数式 ①变形
表示另一个未知数,写成 y=ax+b或x=ay+b 把变形后的方程代入到另一个方程 中，消去一个元 分别求出两个未知数的值
分析:
2 x 5 y 2 x 3 y = 9 17
①左边
②左边
= ①右边 ②右边
左边与左边相减所得到的代数式 和右边与右边 相减所得到的代数式有什么关系？
初中数学
联系上面法三的解法，想一想应怎样解方程组：
7 x 3 y 1 2 x 3 y 8
①
②
x 1 y 3
问题1．这两个方程直接相加减能 消去未知数吗？为什么？ 问题2．那么怎样使方程组中某一 未知数系数的绝对值相等呢？
初中数学
化归转化
本题可以用加减消元法来解吗？
3x 4 y 16 5 x 6 y 33
①
②
x 6 1 y 2
上述哪种解法更好呢？
初中数学
用加减法解同一个未知数的系数 绝对值不相等，且不成整数倍的二元 一次方程组时，把一个（或两个）方 程的两边乘以适当的数，使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从 而化为第一类型方程组求解．
初中数学
第一类：……
第二类：……
初中数学
1、用加减法解下列方程组时，你认为先消哪个 未知数较简单，填写消元的过程．
初中七年级数学教案 二元一次方程组-“十校联赛”一等奖
课题：二元一次方程组教材的地位和作用《二元一次方程组》是九年义务教育课程标准实验教科书人教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。
在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。
本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。
教学目标知识与技能1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程；2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一性；3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
4、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；数学思考1、体会学习二元一次方程（组）的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。
2、体验二元一次方程（组）在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣．问题解决1、通过与一元一次方程的类比，知道二元一次方程及其解的概念。
2、初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。
获得求二元一次方程解的思路方法。
3、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；情感态度培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。
重点、难点教学重点:二元一次方程（组）的含义；会检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解。
教学难点:检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解。
教学方法合作探究教学手段多媒体课件教学设计意图：依照课程标准，通过分析教材中教学情境设计和例习题安排的意图，在此基础上依据学生实际，制订了本堂课的教学目标，教学重点和难点，课堂教学的设计始终围绕这教学重点和难点展开.在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学生的已有经验出发，创设了教学情境：关心老人，突出情感主线，并贯穿整个教学. 并对教学内容进行适当的重组、补充和加工等，创造性地使用了教材. 所选择的例习题都体现实际问题数学化的思想，让学生感受到数学的魅力. 这两个方面的设计贯穿整堂课，把知识内容和情感体验自然连贯起来.其次，在教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，通过几个合作学习，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养.。
人教版初中数学七年级下册 二元一次方程组-市赛
《二元一次方程组》教学设计
教学目标:
知识与技能
1、使学生掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念。
2、使学生了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义。
数学思考
1、通过学习二元一次方程、二元一次方程组的概念让学生体验方程组的特征。
2、了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，同时学会探究问题的方法。
解决问题
1、会检验一组未知数的值是否是方程的解或方程组的解；
2、能通过设两个未知数，将实际问题转化为二元一次方程组。
情感态度
通过探究实际问题，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点与难点:
教学重点：学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的二元一次方程组的解。
掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。
教学难点：理解二元一次方程组的解的含义。
教学过程：。
初中七年级数学教案 二元一次方程组-“十市联赛”一等奖
《二元一次方程组》教学设计一、教学目标知识与技能：深刻理解方程组解的意义，并会利用解的概念解决问题；过程与方法：在解决问题的过程中，体会方程是刻画现实世界的一个比较有效的模型，进而感受方程思想，能够判断一个方程组是否是二元一次方程组；能够利用二元一次方程组解的概念解决相关问题；情感态度与价值观：培养学生探究问题的兴趣，调动学生学习数学的积极性；二、教学重难点重点：使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解。
难点：了解二元一次方程组的解的含义。
这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作二元一次方程组的解。
用大括号来表示二元一次方程组的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答。
这是克服这一难点的关键所在。
三、教学过程1．通过复习方程及其方程的解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念。
2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组。
3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题。
一、创设情境我国古代数学著作<<孙子算经>>中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何[设计意图]：从学生感兴趣的话题引入，激发学生的学习兴趣。
提出问题：现在我们怎样来解答这个问题呢这个实际问题中含有哪些等量关系让学生尝试根据关系式设出未知数，列出方程，（教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解．）由一名学生板演，其余学生自行完成)解：设有x只鸡，则有(35-x)只兔．根据题意，得2x＋4(35-x)=94．进一步提问：问题中有几个未知数（两个）我们能否设出两个未知数解决问题呢学生讨论得出结果。
解：设有x只鸡，y只兔，依题意得x＋y=35，2x+4y=94．[设计意图]：此题的解答既是对一元一次方程的复习与巩固，又为学习二元一次方程组提供了类比的素材。
初中七年级数学教案 二元一次方程组-“黄冈赛”一等奖
二元一次方程组教学目标1.能说出二元一次方程、二元一次方程组和它解的概念,会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程（组）的解;2.通过实例认识二元一次方程（组）是反映数量关系的重要数学模型，能通过设两个未知数并列出方程组来表示实际问题中两种相关的等量关系;3.通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力。
重点难点重点：二元一次方程（组）及其解的意义解决办法：(1)简单实例引入，直观感受；（2）古典问题温故知新。
难点：理解二元一次方程组解的意义突破措施：（1）借助实际问题，由二元一次方程解的不唯一性自然过渡到方程组解的存在或唯一性；（2）利用学生已知的“鸡兔同笼”问题，具体体会公共解的意义。
课时安排：1课时教学准备：多媒体课件教学方法：自主、合作、探究教学过程：一、创设情境、直观感知问题：1.文具盒中有红、黄两种颜色的彩笔共8支，请猜一猜红色、黄色彩笔各多少支2.某班女生人数是男生人数的两倍，你知道该班的男、女生分别是多少人吗先引导学生畅所欲言，接着提出下面的问题：思考：（1）第1题中，若用 x,y 分别表示红色彩笔、黄色彩笔的支数，则可以得到怎样的一个方程x+y=8第2题中，若用 x,y 分别表示男、女生，则可以得到怎样的一个方程y=2x （2）你得到的两个方程是一元一次方程吗与一元一次方程比较有什么不同如果让你给它起名字，你认为应该叫它什么(设计意图：学生对这两个问题的猜想会有多种答案，为下一步理解二元一次方程解的不唯一性做准备，思考中的两个问题引导学生初步体会二元一次方程的特点。
)二、尝试探究、类比学习1.二元一次方程的概念在学习给方程x＋y=8, y=2x命名之后,类比一元一次方程进一步讨论下面的问题:问题1：请你写几个二元一次方程,和同组同学交流,判断写出的方程是否符合要求。
问题2：请找出二元一次方程的特点。
①含有两个未知数；②含未知数项的次数是1；③是整式方程。
初中七年级数学教案 二元一次方程组-市赛一等奖
《二元一次方程组》教学设计一、教学目标1．知识与技能目标：（1）理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义；（2）会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解；（3）通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力。
2．过程与方法目标从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过“辩一辩”“填一填”“试一试”“做一做”，加深学生对“二元一次方程组”和“二元一次方程组的解”的概念的理解；并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元一次方程组的解，并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。
3．情感与态度目标从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人，培养一种社会的责任感。
二、教学重点、难点重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。
难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。
三、教学准备多媒体、实物投影仪。
四、教学方法和手段基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。
与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。
在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。
五、教学过程环节一创设情境，探索新知问题1：假设你们每人手上有一根长20cm的铁丝，将这根铁丝首尾相连围成一个正方形，围出来的正方形都完全一样吗问题2：同样用这根20厘米长的铁丝，首尾相连围成的长方形都完全一样吗你能用二元一次方程来表示吗【设计意图】①通过问题情境复习旧知，真正理解二元一次方程的意义； ②为探索新知做好铺垫。
问题3：前面两个问题中都存在二元一次方程10=+y x ,为何围成的长方形有无数种情况，而围成的正方形只有一种情况 【设计意图】通过两个问题的对比，让学生感受到10=+y x 与y x =同时满足时，存在解的唯一性的过程，为二元一次方程组的形成做铺垫。
初中七年级数学教案 二元一次方程组-“十市联赛”一等奖
人教版二元一次方程组【教学目标】知识与技能目标1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程；2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一性；3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
过程与方法目标经历观察、比较、猜想、验证等数学学习活动，培养分析问题的能力和数学说理能力；情感与态度目标1、通过与一元一次方程的类比，探究二元一次方程及其解的概念，进一步培养运用类比转化的思想解决问题的能力；2、通过对实际问题的分析，培养关注生活，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养良好的数学应用意识。
【重点、难点】重点：二元一次方程的概念及二元一次方程的解的概念。
难点1、了解二元一次方程的解的不唯一性和相关性。
即了解二元一次方程的解有无数个，但不是任意的两个数是它的解。
2、把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
【教学方法与教学手段】1、 通过创设问题情境，让学生在寻求问题解决的过程中认识二元一次方程，了解二元一次方程的特点，体会到二元一次方程的引入是解决实际问题的需要。
2、 通过观察、思考、交流等活动，激发学习情绪，营造学习气氛，给学生一定的时间和空间，自主探讨，了解二元一次方程的解的不唯一性和相关性。
3、 通过学练结合，以游戏的形式让学生及时巩固所学知识。
【教学过程】一、 创设情境 导入新课1、一个数的3倍比这个数大6，这个数是多少2、写有数字5的黄卡和写有数字2的蓝卡若干张，问黄卡和蓝卡各取几张，才能使取到的卡片上的数字之和为22思考：这个问题中，有几个未知数能列一元一次方程求解吗如果设黄卡取x 张，蓝卡取y 张，你能列出方程吗3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。
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2013年暑期初一数学竞赛第五讲：二元一次方程组（1）
【典型例题】
例1、二元一次方程组的解
x?3?m2?2ymx?的值是？1、已知是方程的一个解，则?y?5?
x?y?2?mm的值为多少？使方程组62、若，则的解的和为?x?2y?m?
ax?by??16x?8??c抄错了，得到解的解应为，小明解题时把3、已知方程组
??cx?20y??224y??10??x?12?222a?b?c值为多少？，则?y??13?
例2、二元一次方程组的两种通用解法
x?1?y? 1、用代入法解方程组?2x?3y?5?
2x?3y?1? 2、用加减法解方程组?3x?5y?1?
例3、解二元一次方程组及高元一次方程组（综合）
21???1?63y?23x?173y?x?16??、解方程组1、解方程组
2??1117x?23y?57????0?2x?22y?1?
?115???xy16?zyy?x????8y?23x?711???、解方程组、解方程组43 ??y?zz?x12xy1?????2x?3y7311????
z?xx?y4?
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a?a?a?aa?a?a?aa?a?a?aa?a?a?a5324245553112431??? 5、若
aaaa4132a?a?a?a4312a?a?a?a?a?0k??k的值。
，求，且51432a5
bcdef??4?a?acdef?9??b?abdef?16??c(a?c?e)?,d,ef(b?d?f),ab,c,的满足解方程组，求6、已知正数?abcef1??4d??abcdf1??
e9??abcde1??f16?值。
x?x?x?x?x?x?...?x?x?x?x?1?19994219972199831199837、解方程组?x?x?...?x?x?1999?1219981999
例4、含绝对值的方程组
|x|?|y|?7|x?y|?1??1、解方程组2、解方程组??2|x|?3|y|??1|x|?2|y|?3??
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例5、含字母系数方程组的解及杂题
y?kx?b?bk,有唯一解，无解，有无穷多解？为何值时，方程组、当1?y?(3k?1)x?2?
a0a?a(?2)y?5?2(a?1)x?y,x每取一个值时就有一的二元一次方程，、已知关于2 个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个解吗？
222z??25xy4x?3y?6z?0,x?2y?7z?0(xyz?0)则代数式的值为多少？、若3
2222x?3y?10z
4x?3y?6?mm的值。
是整数，方程组4、已知有整数解，求?6x?my?26?
x,x,...xx?x?...?x??17,2,0,1?中每一个数值只能取5、已知中的一个，且满足
n2211n223332?x?...?x?37,x?xx?...?x求的值。
n12n21
【拓展训练】
1、若一个两位正整数的十位上的数字与个位数上数字的和为6，那么符合条件的两位数的个数是（）个
4567．．A．B． D C x?y?5k?k、26?3yx2?y,x值为的方程组的解也是二元一次方程若关于的解，则?x?y?9k?（）
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3344?? D．A．．BC．44332a、3b1)a?b?(1|b?|a?的大小关系是（若互为相反数，则与）与
a?ba?ba?ba?b D．A．C．．B ax?2y?7x?5x?3???a、4看错后得到，而正确的解是，解方程组时，一学生把???cx?dy?4y?1y??1???a,c,d值为（则）
a?3,c?1,d?1a?3,c,da?3,c?2,d??2．不能确定C．DA．不能确定B．ax?3y?9?a、5y,x的值为（若关于无解，则）的方程组?2x?y?1??66930．．B．DA．C6、ax?b1,1,2,4?,abx?的值，依次得到下列是给定的整数，某同学分别计算时代数式四个结果，已知其中3个是正确的，那么错误的是（）
?a?b??1a?b?52a?b?74a?b?14 C B．A．．D．x?2y?3z?0?7、x,y,zx:y:z是（）都不为0，由方程组可得若?2x?3y?4z?0?1:2:11:(?2):1(?1):2:11:2:(?1)．．．A． D C B1233211118、???7????5,??。
，则若xyzxyzxyz2x?y?7?9、x?y?x?y?。
，则已知二元一次方程组，?x?2y?8?ax?by?4x?2??10、2a?3b?。
的解为已知方程组，则??ax?by?2y?1??2x?ay?6?aa?、11y,x________。
的方程组的解是整数，已知关于是正整数，那么?4x?y?7?2a?3b?13a?8.32(x?2)?3(y?1)?13???12、已知方程组的解为，则方程组???3a?5b?30.93(x?2)?5(y?1)?30.9b?1.2???的解是。
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