随机变量及分布列

所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值 范围，并说明X的不同取值所表示的事件。
解：X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中 {X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”； {X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”； {X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”； {X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；
故其概率为
P(X
2)
C
2 3
C
3 5
3 10
当X=3时，只可能是3，4，5这种情况，
概率为 P( X 3) 1 10
例4：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
P 632
例4：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
解：因为同时取出3个球，故X的取值只能是1，2，3
当X=1时，其他两球可在剩余的4个球中任选
故其概率为
P(X
1)
C42 C53
3 5
当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) 1 3
三、离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x1，x2，…，xi，…，xn
X取每一个xi (i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：
X
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 有时为了表达简单，也用等式
按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？
随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而 函数是实数与实数的一种对应关系，它们都是一种映射
在这两种映射之间， 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值结果相当于函数的值域。
P(X=xi)=Pi 来表示X的分布列
i=1，2，…，n
离散型随机变量的分布列应注意问题：
X
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Байду номын сангаас
Pi
…
1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率；
2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
n
（2） pi p1 p2 pn 1 i 1
下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？ （1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个
电线铁站，这些电线铁站的编号； （2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量
与规定量之差； （3）某城市1天之内的温度； （4）某车站1小时内旅客流动的人数； （5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数. （6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，
某同学可能取得的等级。
若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数， 请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生 的概率是多少？ （1）{X是偶数}；（2） {X<3}；
X1 2 3 4 5 6
1 11 111
P
6 66 666
解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) 1 2
变题：{X < 3}在这里又表示什么事件呢？
“取出的3个球中，白球不超过2个”
写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自 所表示的随机试验的结果：
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，
被取出的卡片的号数x ；（x=1、2、3、···、10）
（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；（Y=2、3、···、12） （3）某城市1天之中发生的火警次数X（；X=0、1、2、3、···）
求离散型随机变量分布列的基本步骤： （1）确定随机变量的所有可能的值xi （2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi （3）列出表格
定值 求概率 列表
说明：在写出X的分布列后，要及时检查所有的 概率之和是否为1．
例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到
分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出 现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出 现的。
一、随机变量的概念：
在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果 都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就 可看成是这些数字的变化。
若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量
就叫做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。
高二数学 选修2-3
2.1.1离散型随机变 量的分布列
引例：
（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？
1，2，3，4，5，6 能否把掷硬
（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几币种的情结况果？也
0分，1分，2分 用数字来表
示呢？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？
正面向上，反面向上
思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？
黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
P( X 1) 1 , P( X 0) 2 1 ,
6
63
P( X 1) 3 1 62
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：
X 1 0 -1 111
2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的
随机变量叫做连续型随机变量。
（如灯泡的寿命，树木的高度等等）
注意：
（1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； （2）变量离散与否,与变量的选取有关； 比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量
0, 寿命 1000小时
Y 1,
寿命 1000小时
（4）某品牌的电灯泡的寿命X； [0，+∞)
（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场
任意一棵树木的高度x． [0.5，30]
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
二、随机变量的分类：
1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一
列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。
（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）